Đề khảo sát học sinh giỏi Toán 6 - Năm học 1999-2000

Nội dung text: Đề khảo sát học sinh giỏi Toán 6 - Năm học 1999-2000

1. Phòng giáo dục Đề khảo sát học sinh giỏi Toán 6 Trường thcs Năm học: 1999-2000 Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề) Giáo viên ra đề : Nguyễn Văn Hải Câu 1 Chứng minh rằng a) Tổng của 4 số tự nhiên liên tiếp là một số không chia hết cho 4. b) Trong 4 số tự nhiên tùy ý bao giờ cũng có ít nhất 2 số có hiệu chia hết cho 3. Câu 2. Một buổi tập đồng diễn thể dục có khoảng từ 350 đến 500 người tham gia. Khi tổng chỉ huy xếp hàng 5, hàng 6 và hàng 8 thì thấy đều lẻ 1 người. Khi cho đoàn người xếp hàng 13 thì vừa không lẻ người nào. Hỏi số người dự đồng diễn chính xác là bao nhiêu? Câu 3. 2 3 n a) Tính tổng:Sn =1+a+a +a + .+a . b) Ap dụng tính tổng sau: 2 3 100 S =1- 2 + 2 - 2 + + 2 T=3- 32 + 33 + .+ 31999- 32000. Câu 4. a) Cho bốn điểm A1,A2,A3,A 4 trong đó không có ba điểm thẳng hàng. Cứ qua hai điểm ta kẻ được một đường thẳng. Có bao nhiêu đường thẳng? b) Cũng hỏi như thế với 5 điểm,10 điểm?
2. Đáp án và thang điểm Câu 1 : (2,5điểm ) a) Tổng của 4 số tự nhiên liên tiếp là : S = a+ (a+1) +(a+2) +(a+3) =4a +6 (0,25đ) Bởi vì 4a4; 6 không chia hết cho 4 suy ra S không chia hết cho 4 (0,25đ) b) Giả sử 4 số tự nhiên tùy ý là a1 ,a2 ,a3 ,a4 (0,25đ) Chia các số dư này cho 3 ta được các số dư là r1 ,r2 ,r3 ,r4 (0 r1 ,r2 ,r3 ,r4 3) (0,25đ) a1 3q1 r1 (0,25đ) a2 3q2 r2 (0,25đ) a3 3q3 r3 (0,25đ) a4 3q4 r4 (0,25đ) Vì các sốr1 ,r2 ,r3 ,r4 chỉ nhận một trong các giá trị 0,1,2 nên chắc chắn có ít nhất hai số bằng nhau. Giả sử r1 r2 thế thì a1 a2 =3q1 r1 ( 3q2 r2 ) =3(q1 q2 )3. (0,25đ) Đó là điều phải chứng minh. Câu 2: (2,5 điểm) Nếu số người tham dự đồng đồng diễn là n. Khi xếp hàng 5 mỗi hàng k người thì lẻ 1 người tức là: n = 5. k+1 => n-1=5k => n-1 5 lập luận tương tự ta thấy n-16 và n-18 (0,25đ) vậy n-1 là một bội chunh của 5,6,8. Ta có BCNN (5 , 6 , 8) = 120. Mọi bội chung của 5,6,8 đều là bội của 120. Điều này nghĩa là số n phải thỏa mãn các điều kiện n-1= 120k, k N 350 n 500;n13 (0,25) (1 ) Nếu n-1 = 360 => n =361 (loại ) (0,25đ) Nếu n-1 = 480 => n= 481 (nhận) (0,25đ) Vậy số người tham gia đồng diễn là 481 người. (0,25đ) Câu 3: (2,5điểm ) 2 n a) Xét tổng : Sn= 1+a+a + + a (0,25đ) khi a= 1 ta có ngay : Sn= n+1 khi a: 1 n 1 2 n n+1 n+1 a 1 a.Sn= a + a + + a +a => a .Sn – Sn = a -1 => Sn= (0,75đ) a 1 100 2 100 a 1 b) áp dụng : S100 = 1+a +a + + a = (0,25đ) a 1 Với a= -2 ta được : ( 2)101 1 2101 1 2101 1 S = 1 – 2 +22 -23 + .+2100= (0,5đ) 2 1 3 3 * T = 3 - 32 + 33 - + 31998 – 32000 = 3( 1-3 +32 -33 + +31998-31999) = (0,5đ) ( 3) 2000 1 32000 1 3(1 32000 ) 3. 3. (0,25đ) 3 1 4 4
3. Câu 4: (2,5điểm ) a) Qua A1 kẻ được 3 đường thẳng A1A2 , A1A3 , A1A4 (0,25đ) Qua A2 kẻ được 2 đường thẳng A2 A3, A2A4 (0,25đ) Qua A3 kẻ được 1 đường thẳng A3 A4 (0,25đ) Qua A4 không còn kẻ thêm được đường thẳng nào mới. Vậy có tất cả 3+2+1=6 đường thẳng. (0,25đ) b) Nếu cho 5 điểm A1, A2 , A3 ,A4 , A5 trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng thì (0,25) Qua A1 kẻ được 4 đường thẳng A1A2 , A1A3 , A1A4, A 1A5 (0,25đ) Qua A2 kẻ được 3 đường thẳng A3A2 , A2A5 , A2A4 (0,25đ) Qua A3 kẻ được 2 đường thẳng A4 A3, A3A5 (0,25đ) Qua A4 kẻ được 1 đường thẳng A4A5 (0,25đ) Qua A5 không còn kẻ thêm được đường thẳng nào mới (0,25đ) Vậy có tất cả 4+ 3+2+1=10 đường thẳng. Lập luận như trên số đường thẳng kẻ được khi cho 10 điểm trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng là : 9+8+7+6+5+4+3+2+1 = 45 đường thẳng . (0,25đ)