Đề khảo sát học sinh giỏi năm học 2007 - 2008 môn Toán 7

Nội dung text: Đề khảo sát học sinh giỏi năm học 2007 - 2008 môn Toán 7

1. PHÒNG GD & ĐT DUY XUYÊN ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2007 - 2008 ĐỀ CHÍNH THỨC MÔN: TOÁN 7 Thời gian làm bài: 120 phút Bài 1: (1,5đ) 52.69.10 65.23.153 a/ Rút gọn: 52.68.10 2.68.103 b/ Biết 14 + 24 + 34 + + 94 + 104 = 25333 Tính tổng S = 24 + 44 + 64 + + 184 + 204 Bài 2: (2,0đ) x 2y x 2y Cho tỉ lệ thức 22 14 x a/ Tính tỉ số y b/ Tìm x, y biết x2 + y2 = 82 Bài 3: (3,0đ) x2 y2 3x a/ Cho M = x2 1 N = (x + 1)2 + (y - 2 )2 + 2008 Tính giá trị của M tại x, y thỏa mãn N đạt giá trị nhỏ nhất 1 b/ Cho A = 2x4y2 – 7x3y5 ; B = x4y2 + 2x3y5 ; C = 5x3y5 2 Chứng tỏ rằng trong ba biểu thức A, B, C có ít nhất một biểu thức luôn có giá trị không âm với mọi x, y. c/ Tìm x N biết 2x+1 + 2x+4 + 2x+5 = 26.52 Bài 4: (2,5đ) Cho ABC cân tại A (AB > AC). M là trung điểm AC. Đường thẳng vuông góc với AC tại M cắt BC tại P. Trên tia đối tia AP lấy điểm Q sao cho AQ = BP. a/ Chứng minh rằng: +/ ·APC B· AC +/ PC = QC b/ ABC cần thêm điều kiện gì để CQ  CP Bài 5: (1,0đ) Cho ABC có µA = 300. Dựng bên ngoài tam giác đều BCD. Chứng minh: AD2 = AB2 + AC2 *=*=*=*=*= Hết =*=*=*=*=*
2. PHÒNG GD & ĐT DUY XUYÊN ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2008 - 2009 ĐỀ CHÍNH THỨC MÔN: TOÁN 7 Thời gian làm bài: 120 phút Bài 1: (1,5đ) Thực hiện phép tính sau một cách hợp lí: 45.95 69.30 a/ 611 84.312 3 3 3 0,375 0,3 1,5 1 11 12 4 b/ 5 5 5 5 0,625 0,5 2,5 11 12 3 4 Bài 2: (3,0đ) a/ Cho hai đa thức P(x) = x2 + 2mx + m2 và Q(x) = x2 – (2m + 1)x + m2. Tìm m biết P(3) = Q(-2) b/ Tìm giá trị lớn nhất của M = 2009 - x 7 - (2m + 4)2008 c/ Tìm x biết x 2 x 4 5 Bài 3: (2,5đ) 1 1 1 1 a/ Cho a + b + c = 2009 và a b b c c a 7 a b c Tính S = b c a c a b b/ Tổng các lũy thừa bậc ba của 3 số là -1009. Biết tỉ số của số thứ nhất với số thứ hai 2 4 là , giữa số thứ nhất với số thứ ba là . Tìm 3 số đó. 3 9 Bài 4: (2,0đ) Cho ABC có µA < 900. Trên nữa mặt phẳng bờ AC không chứa B vẽ tia Ax vuông góc với AC và lấy trên tia đó điểm E sao cho AE = AC. Trên nửa mặt phẳng bờ AB không chứa C vẽ tia Ay vuông góc với AB và lấy trên đó điểm D sao cho AD = AB. a/ Chứng minh DC = BE và DC  BE. b/ Gọi N là trung điểm của DE. Trên tia đối của tia NA lấy điểm M sao cho NA = NM. Chứng minh AB = ME và ABC = EMA Bài 5: (1,0đ) Cho ABC vuông tại A, một đường thẳng d cắt hai cạnh AB và AC lần lượt tại D và E. Chứng minh rằng CD2 – CB2 = ED2 – EB2. *=*=*=*=*= Hết =*=*=*=*=*
3. ĐÁP ÁN & BIỂU ĐIỂM 1/ 212.35 46.92 510.73 255.492 212.35 212.34 510.73 510.74 1,0đ (22.3)6 84.35 (125.7)3 59.143 212.36 212.35 59.73 59.23.73 0,25đ 212.34.(3 1) 510.73.(1 7) 212.34.2 510.73.( 6) 1 10 7 212.35.(3 1) 59.73.(1 23 ) 212.35.4 59.73.9 6 3 2 0,75đ 2a/ (x – 1)3 = -8 x – 1 = -2 0,25đ 0,5đ x = -1. Vậy x = -1 0,25đ 2b/ 3 9 7x 5x 3 9 7x 5x 3 . ĐK x 0,5đ 5 9 7x 3 5x 0,25đ 12x 12 x 1 (TMĐK) vậy x = 1 hoặc x = 3 0,25đ 2x 6 x 3 2c/ x 0 x - 3x = 0. ĐK x ≥ 0 x( x 3) 0 (TMĐK) 0,5đ x 9 0,5đ x y z x y z 48 2d/ 12x = 15y = 20z 4 x 20; y 16; z 12 0,5đ 0,5đ 5 4 3 12 12 3a/ Vì a Z+ 4a  1 (mod 3) 4a + 2  0 (mod 3) 0,25đ 0,75đ Mà 4a + 2  0 (mod 2) 4a + 2  6 Khi đó ta có 4a + a + b = 4a + 2 + a + 1 + b + 2007 – 2010  6 0,25đ Vậy với a, b Z+ sao cho a + 1 và b + 2007  6 thì 4a + a + b  6 0,25đ 3b/ Từ 6x2 + 5y2 = 74 6x2 ≤ 74 x2 ≤ 74/6 mà x Z x {0; 1; 4; 9} 0,25đ 0,75đ Mặt khác ta có x2 + 1 = 75 – 5x2 – 5y2  5 x2 = 4 hoặc x2 = 9 Nếu x2 = 4 y2 = 10 (loại vì y Z) 0,25đ Nếu x2 = 9 y2 = 4 (x, y) {(3, 2); (3; -2); (-3; 2); (-3; -2)} 0,25đ a c a c c a a c a c a c 4a/ . . 1,0đ b d b d d b b d b d b d 0,5đ (a c).a (c a).c a2 ac c2 ac đpcm (b d).b (d b).d b2 bd d 2 bd 0,5đ x x x y y y 4b/ Ta có ; 1,0đ x y z t x y z x y x y z t x y t x y 0,25đ z z z t t t ; x y z t y z t z t x y z t x z t z t 0,25đ x y z t x y z t M x y z t x y x y z t z t 0,25đ Hay 1 < M < 2. Vậy M có giá trị không phải là số tự nhiên 0,25đ 4c/ Ta có AB + BM = AM = AN = AC – NC 1,0đ AB + BM = AC – BM 2BM = AC – AB BM = (b – c):2 0,5đ AM = AB + BM AM = (b + c):2 0,5đ 5/ Qua M kẻ HK // BC (H AB; K CD) A H B 1,0đ MA2 = MH2 + HA2 MC2 = MK2 + KC2 MA2 + MC2 = MH2 + HA2 + MK2 + KC2 M 0,25đ MB2 = MH2 + HB2 D C K
4. MD2 = MK2 + DK2 MB2 + MD2 = MH2 + HB2 + MK2 + DK2 0,25đ Ta có AH = DK; HB = KC 0,25đ MA2 + MC2 = MB2 + MD2 0,25đ
5. PHÒNG GD & ĐT DUY XUYÊN ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2009 - 2010 ĐỀ CHÍNH THỨC MÔN: TOÁN 7 Thời gian làm bài: 120 phút 212.35 46.92 510.73 255.492 Bài 1: (1,0đ) Thực hiện phép tính sau: 6 3 22.3 84.35 125.7 59.143 Bài 2: (2,0đ) Tìm các số x, y, z biết. a/ (x – 1)3 = -8 b/ 9 7x 5x 3 c/ x - 3x = 0 d/ 12x = 15y = 20z và x + y + z = 48 Bài 3: (1,5đ) a/ Với a, b là các số nguyên dương sao cho a + 1 và b + 2007 chia hết cho 6. Chứng minh rằng: 4a + a + b chia hết cho 6. b/ Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn: 6x2 + 5y2 = 74 a c a2 ac b2 bd Bài 4: (2,0đ) a/ Cho . Chứng minh rằng: b d c2 ac d 2 bd b/ Cho x, y, z, t N. Chứng minh rằng: x y z t M = có giá trị không phải là số tự nhiên. x y z x y t y z t z t x Bài 5: (3,0đ) Cho ABC có góc A nhọn. Về phía ngoài ABC vẽ BAD vuông cân tại A, CAE vuông cân tại A. Chứng minh: a/ DC = BE; DC  BE b/ BD2 + CE2 = BC2 + DE2 c/ Đường thẳng qua A vuông góc với DE cắt BC tại K. C/m K là trung điểm của BC. Bài 6: (0,5đ) Cho ABC nhọn với gócBAC = 600. Chứng minh rằng: BC2 = AB2 + AC2 – AB.AC ĐÁP ÁN & BIỂU ĐIỂM 1/ 212.35 46.92 510.73 255.492 212.35 212.34 510.73 510.74 1,0đ (22.3)6 84.35 (125.7)3 59.143 212.36 212.35 59.73 59.23.73 212.34.(3 1) 510.73.(1 7) 212.34.2 510.73.( 6) 1 10 7 212.35.(3 1) 59.73.(1 23 ) 212.35.4 59.73.9 6 3 2 2a/ (x – 1)3 = -8 x – 1 = -2 0,5đ x = -1. Vậy x = -1 2b/ 3 9 7x 5x 3 9 7x 5x 3 . ĐK x 0,5đ 5 9 7x 3 5x 12x 12 x 1 (TMĐK) vậy x = 1 hoặc x = 3 2x 6 x 3 2c/ x 0 x - 3x = 0. ĐK x ≥ 0 x( x 3) 0 (TMĐK) 0,5đ x 9 x y z x y z 48 2d/ 12x = 15y = 20z 4 x 20; y 16; z 12 0,5đ 5 4 3 12 12 3a/ Vì a Z+ 4a  1 (mod 3) 4a + 2  0 (mod 3) 0,75đ Mà 4a + 2  0 (mod 2) 4a + 2  6 Khi đó ta có 4a + a + b = 4a + 2 + a + 1 + b + 2007 – 2010  6 Vậy với a, b Z+ sao cho a + 1 và b + 2007  6 thì 4a + a + b  6 3b/ Từ 6x2 + 5y2 = 74 6x2 ≤ 74 x2 ≤ 74/6 mà x Z x {0; 1; 4; 9}
6. 0,75đ Mặt khác ta có x2 + 1 = 75 – 5x2 – 5y2  5 x2 = 4 hoặc x2 = 9 Nếu x2 = 4 y2 = 10 (loại vì y Z) Nếu x2 = 9 y2 = 4 (x, y) {(3, 2); (3; -2); (-3; 2); (-3; -2)} a c a c c a a c a c a c 4a/ . . 1,0đ b d b d d b b d b d b d (a c).a (c a).c a2 ac c2 ac đpcm (b d).b (d b).d b2 bd d 2 bd x x x y y y 4b/ Ta có ; 1,0đ x y z t x y z x y x y z t x y t x y z z z t t t ; x y z t y z t z t x y z t x z t z t x y z t x y z t M x y z t x y x y z t z t Hay 1 < M < 2. Vậy M có giá trị không phải là số tự nhiên 5a/ CM được ABE = ADC (c.g.c) DC = BE 1,0đ CM được DC  BE 5b/ Viết được CE2 = ME2 + MC2; DB2 = MD2 + MB2 ; DE2 = MD2 + ME2; 1,0đ BC2 = MB2 + MC2 BD2 + CE2 = MD2 + MB2 + ME2 + MC2; BC2 + DE2 = MD2 + MB2 + ME2 + MC2 BD2 + CE2 = BC2 + DE2 5c/ Trên tia AK lấy điểm P sao cho AP = DE 1,0đ CM được ADE = CPA CP = AD CP = AB CM được Pµ B· AK ; ·ABK P· CK CPK = BAK (g.c.g) BK = KC đpcm 5/ Hình vẽ bài 5: E Hình vẽ bài 6 D A A 600 M H B K C B C AB 6/ Kẻ BH  AC Vì B· AC 600 P ·ABH 300 AH (1) 0,5đ 2 Áp dụng định lý Pitago ta có: AB2=AH2+BH2 và BC2 = BH2 + HC2 BC2 = AB2 – AH2 + HC2 BC2 = AB2 – AH2 + (AC – AH)2 BC 2 = AB2 – AH2 + AC2 – 2AC.AH + AH2 BC2 = AB2 + AC2 – 2AC.AH (2) Từ (1) & (2) đpcm
7. PHÒNG GD & ĐT DUY XUYÊN ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2010 - 2011 ĐỀ CHÍNH THỨC MÔN: TOÁN 7 Thời gian làm bài: 120 phút Câu 1: (2đ) Thực hiện phép tính sau một cách hợp lí: 1 1 1 3 3 3 3 5 3 7 13 . 4 16 64 256 1/ A = 2 2 2 1 1 1 1 8 3 7 13 4 16 64 2.522 9.521 5.(3.715 19.714 ) : 2/ B = 2510 716 3.715 Câu 2: (3đ) a/ Tính giá trị của biểu thức M = (2x – 1)(2y – 1) biết x + y = 10 và xy = 16 1 b/ Tìm x, y để biểu thức N = (x + 2)2010 + y - 10 đạt giá trị nhỏ nhất. 5
8. c/ Cho đa thức f(x) = ax 2 + bx + c, xác định a, b, c biết f(-2) = 0; f(2) = 0 và a là số lớn hơn c ba đơn vị Câu 3: (1,5đ) Cho 4 số nguyên dương a, b, c, d trong đó b là trung bình cộng của a và c đồng thời 1 1 1 1 a c . Chứng minh c 2 b d b d Câu 4: (2,5đ) Cho ABC (AB < AC), qua trung điểm D của cạnh BC vẽ đường thẳng vuông góc với đường phân giác trong của góc A, nó cắt các đường thẳng AB, AC lần lượt tại M và N. Qua B vẽ đường thẳng Bx song song với AC, Bx cắt MN tại E. a/ Chứng minh AMN và BME là những tam giác cân. b/ Chứng minh BM = CN c/ Tính AM và BM theo b và c biết AC = b và AB = c. Câu 5: (1,0đ) Cho một điểm M bất kì trong hình chữ nhật ABCD. Chứng minh: MA2 + MC2 = MB2 + MD2 *=*=*=*=*= Hết =*=*=*=*=* ĐÁP ÁN & BIỂU ĐIỂM 1a/ 1 1 1 3 1 1 1 1 1,5đ 4 4 16 64 5 A = 3 7 13 . 1 1 1 1 1 1 8 0,5đ 2 1 3 7 13 4 16 64 1 3 5 . 1 2 4 8 0,5đ 1b/ 521 2.5 9 5.714 3.7 19 B = 10 : 15 1,5đ 52 7 7 3 0,5đ 1 = 5: 35 0,5đ 7 2a/ M = (2x – 1)(2y – 1) = 4xy – 2x – 2y + 1 0,25đ 1,0đ = 4xy – 2(x + y) + 1 0,25đ M = 45 0,5đ
9. 2b/ 1 0,25đ Lí luận (x + 2)2010 ≥ 0; y 0 1,0đ 5 N ≥ -10. GTNN của N là -10 0,25đ Tìm được x = -2; y = 1/5 0,5đ 2c/ Ta có f(-2) = 0 4a – 2b + c = 0 1,0đ f(2) = 0 4a + 2b + c = 0 và a – c = 3 0,25đ 4b = 0 b = 0 0,25đ Từ 8a + 2c = 0 và a – c = 3 a = 3/5 ; c = -12/5 0,5đ 3/ Vì b là trung bình cộng của a và c b = (a + c)/2 2b = a + c 0,25đ 1,5đ 1 1 1 1 1 1 b d Từ . 2bd c(b d) c 2 b d c 2 bd 0,5đ Thay 2b = a + c, ta có (a + c)d = c(b + d) 0,25đ a c ad = bc b d 0,5đ 4/ AMN cân (đ/c vừa là p/g) 0,25đ A 2,5đ BE // AC B· EM ·ANM B· ME ·ANM ( AMN cân tại A) 0,5đ B· EM B· ME BME cân tại B N B C D E M 4b/ BED = CND (g.c.g) BE = NC 0,5đ 0,75đ BM = NC (= BE) 0,25đ 4c/ Ta có AB + BM = AM = AN = AC – NC 1,0đ AB + BM = AC – BM 2BM = AC – AB BM = (b – c):2 0,5đ AM = AB + BM AM = (b + c):2 0,5đ 5/ Qua M kẻ HK // BC (H AB; K CD) A H B 1,0đ MA2 = MH2 + HA2 MC2 = MK2 + KC2 MA2 + MC2 = MH2 + HA2 + MK2 + KC2 M 0,25đ MB2 = MH2 + HB2 2 2 2 MD = MK + DK D C MB2 + MD2 = MH2 + HB2 + MK2 + DK2 K 0,25đ Ta có AH = DK; HB = KC 0,25đ MA2 + MC2 = MB2 + MD2 0,25đ