Chuyên đề ôn tập Toán 7 - Chuyên đề 16: Đơn thức – Đơn thức đồng dạng

Nội dung text: Chuyên đề ôn tập Toán 7 - Chuyên đề 16: Đơn thức – Đơn thức đồng dạng

1. Chuyên đề 16 ĐƠN THỨC – ĐƠN THỨC ĐỒNG DẠNG A. Kiến thức cần nhớ 1. Đơn thức là biểu thức đại số chỉ gồm một số, hoặc một biến, hoặc một tích giữa các số và các biến. 2. Đơn thức thu gọn là đơn thức chỉ gồm tích của một số với các biến, mà mỗi biến đã được nâng lên lũy thừa với số mũ nguyên dương. Số nói trên gọi là hệ số, phần còn lại gọi là phần biến của đơn thức thu gọn. * Một số cũng được coi là một đơn thức thu gọn * Trong đơn thức thu gọn, mỗi biến chỉ được viết một lần. Thông thường ta viết hệ số trước, các biến được viết tiếp theo thứ tự bảng chữ cái. 3. Bậc của đơn thức có hệ số khác 0 là tổng số mũ của tất cả các biến có trong đơn thức đó. Số thực khác 0 là đơn thức bậc 0. Số 0 được coi là đơn thức không có bậc. 4. Để nhân hai đơn thức ta nhân các hệ số với nhau và nhân các phần biến với nhau. 5. Hai đơn thức đồng dạng là hai đơn thức có hệ số khác 0 và có cùng phần biến. Các số khác 0 cũng được coi là các đơn thức đồng dạng. 6. Để cộng (hay trừ) các đơn thức đồng dạng, ta cộng (hay trừ) các hệ số với nhau và giữ nguyên phần biến. B. Một số ví dụ Ví dụ 1: Trong các biểu thức sau, biểu thức nào là đơn thức. Thu gọn các đơn thức. Những đơn thức nào đồng dạng? a) 15x2 3x3 y3 ; b) 5,3x3 . 3 x5 y2 ; c) 25x2 3x4 y3 ; d) 25 x2 3x4 y3 ; 5bc e) ; 6a 5bc f) x5 y2 z3 .1,2bxy3 ; 6a 5bc g) x5 y2 z3 1,2bxy3 ; 6a h) 25ax3 y2 . 3bx4 y3 .0,4cx5 y4 ; i) 25ax3 y2 3bx4 y3 .0,4cx5 y4 ; k) 25ax3 y2 3bx4 y3 .0,4cx5 y4 k ; Trang 1
2. 2a l) ; 3c 2a m) x8 ; 3c 2a n) x8 y2 3c 2a p) x8 y2 . 3c  Tìm cách giải: Đơn thức thu gọn là đơn thức chỉ gồm tích của một số với các biến, mà mỗi biến đã được nâng lên lũy thừa với số mũ nguyên dương. Do đó muốn thu gọn đơn thức ta thực hiện nhân các số với nhau nhân các lũy thừa của cùng một biến (cơ số) với nhau. Giải Đơn thức: b) 5,3x3 . 3 x5 y2 15,9x8 y2 ; 5bc e) ; 6a 5bc b2c f) x5 y2 z3 .1,2bxy3 x6 y5 z3 ; 6a a h) 25ax3 y2 3bx4 y3 .0,4cx5 y4 30abcx12 y9 ; 2a l) ; 3c 2a m) x8 ; 3c 2a 2a n) x8 y2 x8 y2 3c 3c 2a Hai đơn thức 15,9x8 y2 và x8 y2 đồng dạng. Bậc của đơn thức là 10. 3c 2a 5bc Hai đơn thức và đồng dạng. Bậc của đơn thức: bậc 0. 3c 6a Ví dụ 2: Tính tích của các đơn thức và tìm bậc của các đơn thức, sau đó tính tổng các đơn thức đồng dạng: 2 25 6 5 3 3 3 4 5 a) x y z và x y z ; 36 5 3 b) 0,5x3 y2 z4t và 2yz3 ; c) 2,5x5 y6 z3 và 8,4x4 y3z5 ; Trang 2
3. 2 d) 3xy2 z3 và 8xyz4t .  Tìm cách giải: Để nhân hai đơn thức ta nhân các hệ số với nhau và nhân các phần biến với nhau. n Lưu ý các phép tính về lũy thừa am .an am n và am am.n . Để cộng các đơn thức đồng dạng, ta cộng các hệ số với nhau và giữ nguyên phần biến. Giải 2 25 6 5 3 3 3 4 5 1 9 9 8 9 9 8 a) x y z . x y z x y z 0,25x y z . Bậc 26. 36 5 4 3 b) 0,5x3 y2 z4t . 2yz3 0,5x3 y2 z4t .8y3 z9 4x3 y5 z13t . Bậc 22. c) 2,5x5 y6 z3 8,4x4 y3 z5 21x9 y9 z8 . Bậc 26. 2 d) 2xy2 z3 . 8xyz7t 4x2 y4 z6 . 8xyz7t 32x3 y5 z13t . Bậc 22. Tổng các đơn thức đồng dạng: 0,25x9 y9 z8 21x9 y9 z8 21,25x9 y9 z8 . 4x3 y5 z13t 32x3 y5 z13t 36x3 y5 z13t . 2 3 Ví dụ 3: Cho 3 đơn thức: 3a2 xm yn 1; b2 xn ym ; 2,5c2 xm 2n y3 với a; b; c là các hằng số, m; n là các 15 số tự nhiên. a) Tìm tích P của ba đơn thức trên. 1 b) Tính giá trị của tích P với a 1; b ; c 2; m 2; n 3; x 1; y 1 . 2 Giải 2 3 a) P 3a2 xm yn 1. b2 xn ym . 2,5c2 xm 2n y3 15 2 2 2 5 2 m 3n m 2n n 1 3m 3 3a . b . c .x .x .x .y .y .y 15 2 a2b2c2 x2m 5n yn 3m 2 . 1 Thay a 1; b ; c 2; m 2; n 3; x 1; y 1 2 2 2 2 2 2m 5n n 3m 2 2 1 2 19 11 P a b c x y 1 . .2 1 .1 1. 2 Ví dụ 4*: Tìm tích B của các đơn thức B1; B2 ; B3 ; ; B2018 với Trang 3
4. 1 1 2 1 3 1 2018 B1 1 x; B2 1 x ; B3 1 x ; ; B2018 1 x . 2 3 4 2019  Tìm cách giải: Lưu ý nhân nhiều lũy thừa của cùng cơ số: am .an a p am n p Và tổng 1 2 3 n 1 n .n:2 Với n 2018 thì 1 2 3 2018 2019.2018:2 2037171 . Giải 1 1 1 2 1 3 1 2018 1 ; 1 ; 1 ; ; 1 2 2 3 3 4 4 2019 2019 1 2 3 2018 1 2 3 2018 Do đó: B x. x2 . x3 x2018 . . .x.x2 .x3 x2018 2 3 4 2019 2 3 4 2019 1 2 3 2018 1 Ta có: . . 2 3 4 2019 2019 1 2018 2018 x.x2 .x3 x2018 x1 2 3 2018 x 2 x2037171 1 1 Vậy B x1 2 3 2018 x2037171. 2019 2019 Ví dụ 5: Viết các đơn thức sau dưới dạng tích của hai đơn thức trong đó một đơn thức bằng 2,5x3 y2 . a) 25x6 y4 ; b) 15x3 y6 n z3 n N .  Tìm cách giải: a) Gọi đơn thức nhân với 2,5x3 y2 để được đơn thức 25x6 y4 là B. Ta có 25x6 y4 2,5x3 y2 .B và B axm yn , trong đó: a.2,5 25; x3 .xm x6 ; y2 .yn y4 Suy ra a 25 : 2,5 10; 3 m 6 m 3; 2 n 4 n 2 b) Ta có: 15x3 y6 n z3 2,5x3 y2 .bxd ye z g Suy ra b 15 : 2,5 6; 3 d 3 d 0 ; 2 e 6 n e 4 n và g 3 . Lại có x0 1 . Giải a) Ta có 25x6 y4 2,5x3 y2 . 10x3 y2 ; b) 15x3 y6 n z3 2,5x3 y2 .6y4 n z3 . Ví dụ 6: Xác định hằng số a và b để tổng các đơn thức sau đây bằng 1975x32 y23 z54 Trang 4
5. a) 68ax32 y23 z54 ; 8ax32 y23 z54 ; 86ax32 y23 z54 ; 67ax32 y23 z54 . b) ax32 z50 .2y23 z4 a b x32 y23 z54 7bx23 y23 z51.4x9 z3 với a 2b .  Tìm cách giải: Để cộng các đơn thức đồng dạng, ta cộng các hệ số với nhau và giữ nguyên phần biến. Các đơn thức ở câu a) và đơn thức ở câu b) sau khi thu gọn đều là đơn thức đồng dạng. Do đó 1975 chính là tổng các hệ số của các đơn thức. Giải a) 68ax32 y23 z54 8ax32 y23 z54 86ax32 y23 z54 67ax32 y23 z54 1975x32 y23 z54 Do đó: 68a 8a 86a 67a 1975 hay 79a 1975 a 25 b) ax32 z50 .2y23 z4 a b x32 y23 z54 7bx23 y23 z51.4x9 z3 1975x32 y23 z54 Hay ax32 y23z54 a b x32 y23z54 28bx32 y23z54 1975x32 y23z54 Ta có: a a b 28b 1975 hay 2b 2b b 28b 25b 1975 b 79; a 158 C. Bài tập áp dụng 16.1. Thu gọn các đơn thức sau và chỉ ra phần hệ số, phần biến và bậc của đơn thức thu gọn: (a; b; c là các hằng số) 2 a) 2xy. 0,5x2 y .3x3 yz ; b) 2,5ax2 .6a2 xy2 ; 2c 2 c) ax3 y2 . 6a2bx2 y 3 2 a b 3 d) x2 yz. 2cx3 y2 . 3 16.2. Hãy xếp các đơn thức sau thành nhóm các đơn thức đồng dạng với nhau sau đó tìm tổng các đơn thức đồng dạng đó. (với a, b là các hằng số) 2 3 3x2 yz; 5axyz2 ; 7,5axy2 z; bxyz2 ; 18x2 yz; 2,5xy2 z; bxyz2 ; 2,5axy2 z 5 5 16.3. Tìm các đơn thức A, B, C, D thích hợp trong các trường hợp sau: a) 75x3 y2 A 25x xy 2 ; 1 1 2 b) B ax3 y4 z2 ax3 y4 z2 ax3 y4 z2 (a là hằng số); 2 6 3 c) C 4000b2 x3 y4 D 34b2 x3 y4 và C 98b2 x3 y4 D 96b2 x3 y4 Trang 5
6. 16.4. 1) Tính tích của các đơn thức, tìm bậc của các đơn thức tích vừa tìm (a, b là các hằng số khác 0): 14 5 a) x5 y2 và x3 y2 z4t ; 15 7 b) 0,2ax3 y2t và 4,5abx3 yzt 2 ; 1 c) 5ax2 y3 và x4 zt 6 ; 6a 2 a 1 2 4 2 3 1 3 d) x y t và x y . 5 2b 16.5. Cho a, b, c là những số khác 0: a) Hai đơn thức 5a6b2 và 4a2b5 có thể có cùng giá trị dương không. Tại sao? Khi nào chúng có cùng giá trị âm? b) Hai đơn thức 4a5b2 và 5a4b6 cùng dấu. Tìm dấu của a. c) Xác định dấu của c biết 3a2b5c và 12a4b5c2 trái dấu nhau. 2 3 4 16.6. Cho ba đơn thức x3 y2 z5 ; x2 yz3 ; xy5 z2 . Chứng minh rằng khi x, y, z lấy những giá trị bất kỳ 3 4 5 khác 0 thì trong ba đơn thức đã cho có ít nhất một đơn thức có giá trị âm. 16.7. Cho M 10n 10n 1 10n 2 10n 3 10n 4 P 2n 4 2n 3 2n 2 2n 1 2n với n N * a) Tính M P ; b) Tính M .P . 16.8*. Tìm tích A của các đơn thức A1; A2 ; A3 ; ; A100 với 1 1 2 1 3 1 100 A1 1 x; A2 1 x ; A3 1 x ; : A100 1 x . 2 3 4 101 2015.2016 2 Sau đó tính giá trị của A với x . 2014.2016 2018 1 1 1 1 3 4 5 6 16.9. Cho C 2 1 . 2 1 . 2 1 2 1 x y z t 2 3 4 10 7 13 19 25 31 37 6 5 4 3 D x y z t 2.5 5.8 8.11 11.14 14.17 17.20 Trang 6
7. 202 Tính tích E CD . 11 5 6 7 16.10*. Cho Q x8 y9 z10 ; Q x8 y9 z10 ; Q x8 y9 z10 ; 1 10.15 2 15.21 3 21.28 8 14 Q x8 y9 z10 ; Q x8 y9 z10 4 28.36 5 36.50 Tính T Q1 Q2 Q3 Q4 Q5 1 1 1 1 m 1 m 2 m 3 16.11*. Cho G 1 1 1 1 x y z ; 3 6 10 15 1 1 1 1 n 1 n 2 m 3 H 1 1 1 1 x y z với m,n N; n 2; m 3 ; 21 28 36 45 Tính G.H . Trang 7
8. HƯỚNG DẪN GIẢI – ĐÁP SỐ 16.1. 2 a) 2xy. 0,5x2 y .3x3 yz 3x8 y4 z . Hệ số: 3 ; phần biến: x8 y4 z ; bậc: 13. b) 2,5ax2 .6a2 xy2 15a3 x3 y2 . Hệ số: 15a3 ; phần biến: x3 y2 ; bậc: 5. 2c 2 c) ax3 y3 . 6a2bx2 y5 4a4bcx8 y11 . 3 Hệ số: 4a4bc ; phần biến: x8 y11 ; bậc: 19; 2 2 2 a b 3 4c a b d) x2 y2 z. 2cx3 y2 x11 y8 z 3 3 4c a b 2 Hệ số: ; phần biến: x11 y8 z ; bậc: 20. 3 16.2. Nhóm 1: 3x2 yz 18x2 yz 15x2 yz . 2 2 2 3 2 2 Nhóm 2: 5axyz bxyz bxyz 5a b xyz . 5 5 Nhóm 3: 7,5axy2 z 2,5xy2 z 2,5axy2 z 10a 2,5 xy2 z 16.3. a) A 25x3 y2 75x3 y2 100x3 y2 ; 1 1 2 b) B ax3 y4 z2 ax3 y4 z2 ax3 y4 z2 ax3 y4 z2 2 6 3 c) C D 4034b2 x3 y4 và C D 2b2 x3 y4 Tìm được C 2018b2 x3 y4 và D 2016b2 x3 y4 . 16.4. 14 5 2 a) x5 y2 . x3 y2 z4t10 x8 y4 z4t10 . Bậc 26. 15 7 3 b) 0,2ax3 y2t.4,5abx3 yzt 2 0,9a2bx6 y3 zt3 . Bậc 13. 1 5 c) 5ax2 y3 . x4 zt 6 x6 y3 zt 6 . Bậc 16. 6a 6 Trang 8
9. 2 a 1 2 4 2 3 1 3 a 1 12 14 6 d) x y t . x y 2 x y t . Bậc 32. 5 2b 20b 16.5. a) 5a6b2 0 với mọi giá trị của a và b nên không thể có giá trị dương. Do đó hai đơn thức 5a6b 2và 4a2b5 không thể có cùng giá trị dương. Xét 4a2b5 nhận giá trị âm khi b 0 nên hai đơn thức 5a6b2 và 4a2b5 có cùng giá trị âm khi b 0 . b) Hai đơn thức cùng dấu nên 4a3b2 . 5a4b6 20a9b8 0 b8 0 ; do đó a9 0 . Khi ấy a 0 . c) 3a2b5c và 12a4b5c2 trái dấu nhau nên 3a2b5c. 12a4b5c2 36a6b10c3 0 mà a6b10 0 c3 0 c 0 . 16.6. 2 3 2 5 3 2 3 4 5 2 2 6 8 10 Xét tích ba đơn thức x y z . x yz . xy z x y z 0 với mọi giá trị khác 0 của x, y, z. 3 4 5 5 Do đó có ít nhất một đơn thức có giá trị âm. 16.7. M 10000.10n 1000.10n 100.10n 10.10n 10n 8889.10n P 2n 4 2n 3 2n 2 2n 1 2n 16.2n 8.2n 4.2n 2.2n 2n 9.2n a) M P 8889.10n 9.2n ; b) M.P 80001.20n . 16.8*. Lưu ý: am.an a p am n p ; Ta có 1 2 3 100 1 100 .100 : 2 5050 ; 1 1 1 2 1 3 1 100 và 1 ; 1 ; 1 ; ; 1 . 2 2 3 3 4 4 101 101 1 2 3 100 2 3 100 Do đó A . . x.x .x x . 2 3 4 101 Tích có 100 thừa số âm nên tích dương và 1 1 A x1 2 3 100 x5050 . 101 101 Trang 9
10. 2015.2016 2 2014 1 .2016 2 2014.2016 2018 x 1 2014.2016 2018 2014.2016 2018 2014.2016 2018 1 5050 1 Vậy A 1 . 101 101 1 1 1 1 16.9. Ta thấy tích P 2 1 . 2 1 . 2 1 2 1 có 9 thừa số âm nên tích âm. Do đó: 2 3 4 10 3 8 15 80 99 1.3 2.4 3.5 8.10 9.11 P . . . . . . 4 9 16 81 100 2.2 3.3 4.4 9.9 10.10 1.2.3 8.9 3.4.5 10.11 11 . 2.3.4 9.10 2.3.4 9.10 20 7 13 19 25 31 37 Xét Q 2.5 5.8 8.11 11.14 14.17 17.20 a b 1 1 mỗi số hạng đều có dạng do đó a.b b a 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Q 5 2 8 5 11 8 14 11 14 17 20 17 1 1 9 2 20 20 Do đó E 9x9 y9 z9t9 16.10*. 5 6 7 8 14 8 9 10 T x y z 10.15 15.21 21.28 28.36 36.50 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 8 9 10 x y z 10 15 15 21 21 28 28 36 36 50 1 1 8 9 10 2 8 9 10 x y z x y z 10 50 25 16.11*. Ta có: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 6 10 15 21 28 36 45 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 2.3 3.4 4.5 5.6 6.7 7.8 8.9 9.10 1.4 2.5 3.6 4.7 5.8 6.9 7.10 8.11 11 . . . . . . . . 2.3 3.4 4.5 5.6 6.7 7.8 8.9 9.10 27 Trang 10
11. 11 Vậy G.H xm n ym n z2m . 27 Trang 11