Đề khảo sát học sinh giỏi - Môn thi: Toán lớp 7

Nội dung text: Đề khảo sát học sinh giỏi - Môn thi: Toán lớp 7

1. PHềNG GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI TIỀN HẢI MễN: TOÁN 7 (Thời gian làm bài 120 phỳt) ĐỀ CHÍNH THỨC Bài 1 (4,0 điểm) Cho A = 3 + 32 + 33 + + 32015 + 32016. a) Tớnh A. b) Tỡm chữ số tận cựng của A. c) A cú là số chớnh phương khụng? Vỡ sao? Bài 2 (4,0 điểm) a) Tỡm x, biết: x 1 2 3 1 b) Tỡm 3 phõn số cú tổng của chỳng bằng 1 , cỏc tử của chỳng tỉ lệ với 3; 4; 5 và 70 cỏc mẫu tương ứng của chỳng tỉ lệ với 5; 1; 2. Bài 3 (3,0 điểm) Cho hàm số: y = f(x) = ax + 4 cú đồ thị đi qua điểm A(a + 1; a2 – a). a) Tỡm a. b) Với a vừa tỡm được, tớnh giỏ trị của x thỏa món: f(3x- 1) = f(1- 3x). Bài 4 (7,0 điểm) Cho tam giỏc ABC cú gúc A nhọn. Vẽ ra phớa ngoài tam giỏc đú cỏc tam giỏc ABM, ACN vuụng cõn tại A. BN và MC cắt nhau tại D. a) Chứng minh: AMC = ABN. b) Chứng minh: BN  CM. c) Cho MB = 3cm, BC = 2cm, CN = 4cm. Tớnh MN. d) Chứng minh rằng DA là phõn giỏc của gúc MDN. Bài 5 (2,0 điểm) Tỡm cỏc số tự nhiờn a, b sao cho: 2016a 13b 1 2016a 2016a b 2015 Họ và tờn thớ sinh: Số bỏo danh: Phũng 1
2. PHềNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO KỲ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI TIỀN HẢI ĐÁP ÁN BIỂU ĐIỂM CHẤM mÔN: TOÁN 7 (Đỏp ỏn và biểu điểm chấm gồm 03 trang) Bài 1 (4,0 điểm) Cho A = 3 + 32 + 33 + + 32015 + 32016. a) Tớnh A. b) Tỡm chữ số tận cựng của A. c) A cú là số chớnh phương khụng? Vỡ sao? Cõu Nội dung Điểm Ta cú: A = 3 + 32 + 33 + + 32015 + 32016 0,5 3A = 32 + 33 + 34 + + 32016 + 32017 a/ Suy ra: 3A - A = (32 + 33 + 34 + + 32016 + 32017 )- (3 + 32 + 33 + 0,5 (1,5 đ) + 32015 + 32016) 32017 3 A = . 0,5 2 Ta cú: A = (3 + 32 + 33 + 34) + +(32013 + 32014 + 32015 + 32016) 0,75 b/ = 3(1 + 3 + 32 + 33) + + 32013(1 + 3 + 32 + 33) (1,5 đ) = 3.40 + + 32013.40 = 40.(3 + 35 + + 32013) 0,5 Suy ra A cú chữ số tận cựng là 0 0,25 Lập luận được A chia hết cho 3 0,25 c/ Lập luận được A khụng chia hết cho 32 0,25 (1,0 đ) Mà 3 là số nguyờn tố nờn suy ra A khụng là số chớnh phương 0,5 Bài 2 (4,0 điểm) a) Tỡm x, biết: x 1 2 3 1 b) Tỡm 3 phõn số cú tổng của chỳng bằng 1 , cỏc tử của chỳng tỉ lệ với 3; 4; 5 và 70 cỏc mẫu tương ứng của chỳng tỉ lệ với 5; 1; 2. Cõu Nội dung Điểm Lập luận được x 1 2 > 0. 0,5 a/ Nờn x 1 2 3 x 1 2 = 3 x 1 1 (2,0 đ) 0,75 x -1 = 1 hoặc x – 1 = -1 x = 2 hoặc x = 0. 0,5 Vậy x = 2 ; x = 0 0,25 a b c Gọi 3 phõn số cần tỡm lần lượt là ; ; thỡ ta cú b/ x y z 0,5 (2,0 đ) a b c 1 a b c x y z 1 và ; x y z 70 3 4 5 5 1 2 2
3. a b c a x b y c z y : : : x z 0,75 3 5 4 1 5 2 3 4 5 5 1 2 Theo tớnh chất dóy tỉ số bằng nhau ta cú: a b c a b c 1 1 y x y z 1 a 3 b 4 c 5 x z = 70 = ; ; 0,5 3 4 5 3 4 5 71 7 x 35 y 7 z 14 5 1 2 5 1 2 10 3 4 5 Vậy 3 phõn số cần tỡm là ; ; . 0,25 35 7 14 Bài 3 (3,0 điểm) Cho hàm số: y = f(x) = ax + 4 cú đồ thị đi qua điểm A(a + 1; a2 – a). a) Tỡm a. b) Với a vừa tỡm được, tớnh giỏ trị của x thỏa món: f(3x- 1) = f(1- 3x). Cõu Nội dung Điểm Đồ thị hàm số y = ax + 4 đi qua điểm A(a+1; a2- a) nờn cú: 0,5 a/ a2- a = a(a+1) +4. (1,5đ) a2 - a = a2 +a + 4 a = -2. 0,75 Vậy a = -2 thỡ đồ thị đi qua điểm A(a + 1; a2 – a). 0,25 Với a = -2 ta cú hàm số y = f(x) = -2x + 4 0,5 f(3x- 1) = -6x + 6; f(1- 3x) = 6x + 2. b/ 1 Do đú: f(3x- 1) = f(1- 3x) -6x + 6 = 6x + 2 x = . 0,75 (1,5đ) 3 1 Vậy khi x = thỡ f(3x- 1) = f(1- 3x). 0,25 3 Bài 4 (7,0 điểm) Cho tam giỏc ABC cú gúc A nhọn. Vẽ ra phớa ngoài tam giỏc đú cỏc tam giỏc ABM, ACN vuụng cõn tại A. BN và MC cắt nhau tại D. a) Chứng minh: AMC = ABN. b) Chứng minh: BN  CM. c) Cho MB = 3cm, BC = 2cm, CN = 4cm. Tớnh MN. d) Chứng minh rằng DA là phõn giỏc của gúc MDN. Cõu Nội dung Điểm N M A E F D B C 3
4. a/ C/minh được Mã AC Bã AN (Cựng bằng 900 +Bã AC ). 0,75 (2,0đ) MA = AB ( MAB vuụng cõn tại A) 0,75 AC = AN ( tam giỏc NAC vuụng cõn tại A) AMC = ABN(c-g-c) 0,5 Gọi giao điểm của BN với AC là F. 0,5 Chỉ ra được à FN Dã FC ( vỡ AMC = ABN) b/ ã ã 0,5 (2,0đ) ANF = FCD ( vỡ AMC = ABN ) Từ đú suy ra FãDC = FãAN = 900 1,0 Do đú: BN  CM. Áp dụng định lý Pi-ta-go vào cỏc tam giỏc vuụng MDN, BDC, 1,0 c/ MDB, NDC để C/m được hệ thức MN2 = MB2 + NC2 – BC2. (1,5đ) Tớnh được MN = 21 cm 0,5 Trờn tia BN lấy điểm E, sao cho BE = MD 0,5 CM AMD = ABE (c-g-c) Suy ra AD = AE ADE cõn tại A (1) d/ AMD = ABE Mã A DADE Bã A E Dã AE Mã AB 900 0,75 (1,5đ) vuụng tại A (2) 1 Từ (1) và (2) à DE 450 à DE Mã DN 2 0,25 DA là phõn giỏc của Mã DN Bài 5 ( 2,0 điểm) Tỡm cỏc số tự nhiờn a, b sao cho: 2016a 13b 1 2016a 2016a b 2015 Cõu Nội dung Điểm Vỡ 2016a 13b 1 2016a 2016a b 2015 0.25 ị 2016a + 13b – 1 và 2016a + 2016a + b là 2 số lẻ (*) * Nếu a 0 ị 2016a + 2016a là số chẵn Vỡ 2016a + 2016a + b lẻ ị b lẻ 0.5 Với b lẻ ị 13b – 1 chẵn do đú 2016a + 13b – 1 chẵn (khụng t/m (*)) * Nếu a = 0 ị (13b – 1)(b + 1) = 2015 = 1.5.13.31 Vỡ b N ị (13b – 1)(b + 1) = 5.403 = 13.155 = 31.65 0,25 và 13b – 1 > b + 1 +) Nếu b + 1 = 5 ị b = 4 ị 13b – 1 = 51 (loại) +) Nếu b + 1 = 13 ị b = 12 ị 13b – 1 = 155 (t/m) 0.75 +) Nếu b + 1 = 31 ị b = 30 ị 13b – 1 = 389 (loại) Vậy (a; b) = (0; 12) 0.25 *) Mọi cách giải khác đúng vẫn cho điểm tối đa theo thang điểm. *) Giám khảo bám sát biểu điểm thảo luận đáp án và thống nhất. *) Chấm và cho điểm từng phần, điểm của toàn bài là tổng các điểm thành phần không làm tròn. 4