Đề khảo sát học sinh giỏi lần 4 môn Toán Lớp 8 - Năm học 2017-2018 - Trường THCS Nga Thắng (Có đáp án)

Nội dung text: Đề khảo sát học sinh giỏi lần 4 môn Toán Lớp 8 - Năm học 2017-2018 - Trường THCS Nga Thắng (Có đáp án)

1. PHềNG GD&ĐT NGA SƠN ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LẦN 4 TRƯỜNG THCS NGA THẮNG NĂM HỌC 2017-2018 MễN TOÁN LỚP 8 Ngày 23/3/2018 Thời gian làm bài 150 phỳt, khụng kể giao đề Cõu 1: (4 điểm) a) Phõn tớch đa thức thành nhõn tử: x4 2018x2 2017x 2018 b) Cho đa thức: A x y y z z x xyz Chứng minh rằng nếu x, y, z là cỏc số nguyờn và x + y + z chia hết cho 6 thỡ A - 3xyz chia hết cho 6 Cõu 2: (4 điểm): 2 x 1 1 2x2 4x 1 x2 x 1. Cho biểu thức P : 2 x3 1 x 1 x3 x 3x x 1 a) Tỡm điều kiện xỏc định và rỳt gọn P b) Tỡm giỏ trị của x để P 1 2. Đa thức P(x) bậc 4 cú hệ số bậc cao nhất là 1. Biết P(1)=0 ; P(3)=0 ; P(5)= 0. Hóy tớnh giỏ trị của biểu thức: Q= P(-2)+7P(6) Cõu 3: (4 điểm) a 2 b 2 c 2 c b a a) Chứng minh rằng: b 2 c 2 a 2 b a c b) Cho 3 số a, b, c khỏc 0 thỏa món điều kiện: (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 a2 b2 c2 Chứng minh rằng: 1 a2 2bc b2 2ca c2 2ab Cõu 4: (6 điểm) Cho hỡnh chữ nhật ABCD. Trờn đường chộo BD lấy điểm P, gọi M là điểm đối xứng của điểm C qua P. a) Tứ giỏc AMDB là hỡnh gỡ? b) Gọi E và F lần lượt là hỡnh chiếu của điểm M lờn AB, AD. Chứng minh ba điểm E, F, P thẳng hàng. c) Chứng minh rằng tỉ số cỏc cạnh của hỡnh chữ nhật MEAF khụng phụ thuộc vào vị trớ của điểm P. PD 9 d) Giả sử CP  BD và CP = 2,4 cm, . Tớnh cỏc cạnh của hỡnh chữ nhật PB 16 ABCD. Cõu 5: (2 điểm): Chứng minh bất đẳng thức: a b c 3 Với a b c 0 a b b c c a 2 HẾT
2. HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ KHẢO SÁT HSG TOÁN 8 LẦN 4 Cõu 1: 4đ a) 2đ. x4 + 2018x2 + 2017x + 2018 = x4 + x2 + 2017x2 + 2017x + 2017 +1 = x4 + x2 + 1+ 2017(x2 + x + 1) 0,5 = (x2 + 1)2 - x2 + 2017(x2 + x + 1) 0,5 = (x2 + x + 1)( (x2 - x + 1) + 2017(x2 + x + 1) 0,5 = (x2 + x + 1)( x2 – x + 2018) 0,5 b) 2đ. Ta cú: A x y y z z x xyz = (x + y + z)(xy + yz + zx 0,75 Vỡ x, y, z là cỏc số nguyờn và x + y + z  6 nờn A  6 Mặt khỏc: x + y + z  6 nờn trong ba số x, y, z phải cú ớt nhất một số chẵn, suy ra: xyz  2 0,5 => 3xyz  6 0,25 => A - 3xyz chia hết cho 6 0,5 Cõu 2: 4đ 1. 2đ. a) 1đ. Điều kiện: x 0; x 1; x 1 0,25 2 x 1 1 4x 2x2 1 x2 x P 2 3 : 3 x x 1 x 1 x 1 x x 3 2 2 x 1 1 4x 2x x x 1 x3 x . x3 1 x2 x x3 3x2 3x 1 1 4x 2x2 x2 x 1 x(x2 1) . 0,5 x3 1 x(x 1) x3 1 x2 1 . x3 1 x 1 x2 1 x 1 0,25 b) 1 đ. Vỡ P 1 nờn P = 1 hoặc P = -1 x2 1 + Nếu: P = 1 thỡ 1 x2 1 x 1  x x 1 0 x 0; x 1 x 1 hai giỏ trị này khụng thỏa món điều kiện 0,5 x 2 1 + Nếu: P = -1 thỡ 1 x 2 1 = - x - 1 x2 + x + 2 = 0 x 1
3. Mà x2 + x + 2 = (x + 1 )2 + 7 > 0 với mọi x 2 4 Vậy khụng cú giỏ trị nào của x để P 1 0,5 2. 2đ. Ta cú P(x) là đa thức bậc 4 cú hệ số bậc cao nhất là 1 và P(x) (x-1), P(x) (x-3), P(x)  (x-5) Nờn P(x) cú dạng P(x) = (x-1)(x-3)(x-5) (x+a) Khi đú: P(-2) +7P(6) = (-3).(-5).(-7).(-2 +a) +7.5.3.1.(6+a) = -105.(-2+a) +105.(6+a) = 105.( 2 –a +6 +a) = 840 Cõu 3. 4đ a) 2đ. Áp dụng bất đẳng thức: x2+y2 2xy. Dấu bằng khi x=y 0,5 a 2 b 2 a b a a 2 c 2 a c c c 2 b 2 c b b Ta cú: 2. . 2. ; 2. . 2. ; 2. . 2. 0,75 b 2 c 2 b c c b 2 a 2 b a b a 2 c 2 a c a Cộng từng vế ba bất đẳng thức trờn ta cú: a 2 b 2 c2 a c b a 2 b 2 c2 a c b 2( ) 2( ) 0,75 b 2 c2 a 2 c b a b 2 c2 a 2 c b a b) 2đ. Từ: (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 => ab + bc + ca = 0 0,25 => a2 + 2bc = a2 + bc – ab – ca = ( a – b)( a – c) Tương tự: b2 + 2ca = ( b – c)( b – a) ; c2 + 2ab = ( c – a)( c - b) 0,5 a2 b2 c2 Đặt: P a2 2bc b2 2ca c2 2ab Thay vào ta được: P = a2 (b c) b2 (c a) c2 (a b) (a b)(b c)(c a) (a b)(b c)(c a) 1 (a b)(b c)(c a) 1 a2 b2 c2 Vậy: 1 0,25 a2 2bc b2 2ca c2 2ab Cõu 4. 6đ Vẽ hỡnh, ghi GT, KL đỳng 0,5 D C P M O I F E A B
4. a) 1,5 đ. Gọi O là giao điểm 2 đường chộo của hỡnh chữ nhật ABCD.  PO là đường trung bỡnh của tsm giỏc CAM.  AM//PO tứ giỏc AMDB là hỡnh thang. 1,5 b). 1,5 đ. Do AM //BD nờn gúc OBA = gúc MAE (đồng vị) Tam giỏc AOB cõn ở O nờn gúc OBA = gúc OAB 0,5 Gọi I là giao điểm 2 đường chộo của hỡnh chữ nhật AEMF thỡ tam giỏc AIE cõn ở I nờn gúc IAE = gúc IEA. Từ chứng minh trờn : cú gúc FEA = gúc OAB, do đú EF//AC (1) 0,5 Mặt khỏc IP là đường trung bỡnh của tam giỏc MAC nờn IP // AC (2) Từ (1) và (2) suy ra ba điểm E, F, P thẳng hàng. 0,5 MF AD c) 1đ. MAF : DBA g g nờn khụng đổi. 1 FA AB PD 9 PD PB d) 1,5đ . Nếu thỡ k PD 9k, PB 16k PB 16 9 16 CP PB Nếu CP  BD thỡ CBD : DCP g g 0,5 PD CP do đú CP2 = PB.PD hay (2,4)2 = 9.16 k2 => k = 0,2 0,25 PD = 9k = 1,8(cm) PB = 16k = 3,2 (cm) BD = 5 (cm) C/m BC2= BP.BD = 16 do đú BC = 4 (cm) CD = 3 (cm) 0,75 Cõu 5. 2đ Gọi vế trỏi là A, ta cú: 3 a 1 b 1 c 1 A 2 a b 2 b c 2 c a 2 a b b c c a 0,5 2(a b) 2(b c) 2(c a) a b (b a) (a c) c a 2(a b) 2(b c) 2(c a) a b 1 1 a c 1 1 . 2 a b b c 2 b c c a a b c a a c a b . . 2 (a b)(b c) 2 (b c)(c a) 1 (a b)(a c) 1 1 . 2(b c) a b c a (a b)(a c)(b c) 0 (Do a b c 0) 2(b c)(b c)(c a) 3 Vậy A 0,5 2