Đề khảo sát chọn học sinh giỏi huyện - Môn Toán 7

Nội dung text: Đề khảo sát chọn học sinh giỏi huyện - Môn Toán 7

1. PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ KHẢO SÁT CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN THÁI THỤY MÔN TOÁN 7 Thời gian làm bài 120 phút (không kể giao đề) Bài 1 (3 điểm). 7 5 5 2 5 18 a. Tính giá trị biểu thức    13 9 9 13 9 13 b. Cho a; b là các số tự nhiên thỏa mãn : a + 4b chia hết cho 13. Chứng minh rằng 10a +b cũng chia hết cho 13 Bài 2 (4 điểm). x2 3 Cho biểu thức A . x 2 a. Tìm điều kiện của x để giá trị của biểu thức A không xác định được. b. Với những giá trị nào của x thì biểu thức A nhận giá trị là số âm ? c. Tìm tất cả các số nguyên x để biểu thức A nhận giá trị nguyên. Bài 3 (2 điểm). Cho 3 số x; y; z thỏa mãn các điều kiện sau: 5z 6y 6x 4z 4y 5x và 3x 2y 5z 96 . 4 5 6 Tìm x; y; z. Bài 4: (3 điểm). Cho đa thức f(x) = ax2 + bx + c a. Biết f(0) = 0, f(1) = 2013 và f(-1) = 2012. Tính a; b ; c b. Chứng minh rằng nếu f(1)= 2012; f(-2) = f(3) = 2036 thì đa thức f(x) vô nghiệm. Bài 5 (8 điểm). Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Trên tia đối của tia AC lấy điểm D sao cho AD = AC. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC và BD. a. Tam giác BDC là tam giác gì ? Vì sao ? So sánh DM và CN. b. Từ M kẻ đường thẳng vuông góc với CN cắt tia BA tại K. Chứng minh BMK CMD . c. Biết AB = a , tính chu vi tam giác DMK. Họ và tên thí sinh: . Số báo danh .
2. HƯỚNG DẪN CHẤM TOÁN 7 Bài Nội dung Điểm Bài 1 (3đ) 7 5 5 2 5 18 a. Tính giá trị biểu thức    13 9 9 13 9 13 7 5 5 2 5 18    13 9 9 13 9 13 5 7 2 18 5 7 2 18 5 9 5 1.5đ . . . 9 13 13 13 19 13 13 13 9 13 13 b. Cho a; b là các số tự nhiên thỏa mãn : a + 4b chia hết cho 13. Chứng minh rằng 10a +b cũng chia hết cho 13 (a + 4b)  13 10(a + 4b)  13 0.5đ Xét 10.(a + 4b) –(10a +b ) = 10a + 40b -10a – b = 39b  13 0.5đ Do 10(a + 4b)  13 nên (10a +b )  3 0.5đ Bài2 (4đ ) x2 3 Cho biểu thức A . x 2 a. Tìm điều kiện của x để giá trị của biểu thức A không xác định được. Giá trị của biểu thức A không xác định được khi x-2 = 0 0.5đ Kết luận : Giá trị của biểu thức A không xác định được khi x = 2 0.5đ b. Với những giá trị nào của x thì biểu thức A nhận giá trị là số âm ? Nhận xét : x2 0  x x2 +3 > 0  x 0.5đ A nhận giá trị là số âm khi x-2 nhận giá trị là số âm 0.5đ A nhận giá trị là số âm khi x < 2 0.5đ c. Tìm tất cả các số nguyên x để biểu thức A nhận giá trị nguyên 2 x 3 x4 4 7 7 0.5đ A (x 2) x 2 x 2 x 2 7 A nhận giá trị nguyên khi nhận giá trị nguyên 0.5đ x 2 7 nhận giá trị nguyên khi 7  (x-2) x 2 x-2 nhận các giá trị : -7 ; -1 ; 1; 7 Giải ra, thử lại và kết luận: x 5;1; 3; 9 0.5đ Bài 3(2đ) Cho 3 số x; y; z thỏa mãn các điều kiện sau: 5z 6y 6x 4z 4y 5x và 3x 2y 5z 96 . 4 5 6 Tìm x; y; z. 5z 6y 6x 4z 4y 5x Từ 4 5 6 20z 24y 30x 20z 24y 30x 20z 24y 30x 20z 24y 30x 0 0.5đ 16 25 36 10 25 36 0.5đ
3. 20z – 24y = 30x -20z = 24y -30x = 0 20z = 24y = 30x x y z 3x 2y 5z 3x 2y 5z 96 0.5đ 10z = 12y = 15x 3 4 5 6 12 10 30 12 10 30 32 0.5đ Giải ra và kết luận : x = 12 ; y = 15 và z = 18 Bài 4 (3đ) Cho đa thức f(x) = ax2 + bx + c a. Biết f(0) = 0, f(1) = 2013 và f(-1) = 2012. Tính a; b ; c Tính được 0 = f(0) = c ; 2013 = f(1) = a+b+c và 2012 = f(-1) = a-b+c 0.5đ Tính được: a + b = 2013 và a - b = 2012 0.25đ 4025 1 Tính được: 2a = 4025 và tính được a ; b 2 2 0.5đ 4025 1 Kết luận : a ; b và c = 0 0.25đ 2 2 b. Chứng minh rằng nếu f(1)= 2012; f(-2) = f(3) = 2036 thì đa thức f(x) vô nghiệm. Tính được : 2012 = f(1) = a + b +c (1) 2036 = f(-2) = 4a - 2b +c (2) 2036 = f(3) = 9a +3b +c (3) 0.5đ Từ (1) và (2) có a – b = 8 (4) Từ (2) và (3) có a + b = 0 (5) 0.5đ Từ (4) và (5) tìm được a = 4 ; b = -4 và tìm được c = 2012. Như vậy f(x) = 4x2 - 4x + 2012 = .= (2x – 1)2 + 2011 > 0  x Kết luận: Đa thức vô nghiệm 0.5đ Bài 5 (8đ) Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Trên tia đối của tia AC lấy điểm D sao cho AD = AC. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC và BD. B N M E D A C K
4. a. Tam giác BDC là tam giác gì ? Vì sao ? So sánh DM và CN * Chứng minh được: BAD = BAC (c.g.c) suy ra BD = BC và 1.0đ · · · 0 0 0 DBC DBA ABC = 45 + 45 = 90 0.5đ Kết luận BDC vuông cân tại B. 0.5đ 1.0đ * Chứng minh được BDM = BCN DM = CN b. Từ M kẻ đường thẳng vuông góc với CN cắt tia BA tại K. Chứng minh BMK CMD . Vì BDM = BCN suy ra B· NC B· MD 0.5đ BNC vuông tại B nên B· NC B· CN 900 0.5đ CME vuông tại E nên M· CE C· ME 900 0.5đ · · Từ đó suy ra CME BMD 0.5đ Vì C· ME B· MD B· MK C· MD 0.5đ Chứng minh BMK = CMD (g.c.g) 0.5đ c. Biết AB = a , tính chu vi tam giác DMK * AB = a, tính được BC = a2 do áp dụng định lý Pitago với tam giác ABC 1 a 2 Và cũng tính được BD = BC = a2 ; BM = BC 2 2 0.5đ * Vì BMK = CMD suy ra MD = MK. Vậy chu vi DMK bằng 2MD + DK a 5 Tính được DM do áp dụng định lý Pitago với tam giác vuông BDM 0.5đ 2 Chứng ming được BDK = BCK DK BC a 2 Chu vi tam giác DMK bằng 0.5đ 5 2DM DK 2a a 2 a 10 a 2 a 10 2 0.5đ 2 Lưu ý: - Các tổ cần nghiên cứu kỹ hướng dẫn trước khi chấm. - Học sinh làm bài các cách khác nhau mà đúng thì vẫn cho điểm tối đa. - Bài hình không có hình vẽ thì không chấm. - Tổng điểm của bài cho điểm lẻ đến 0,25đ (ví dụ : 13,25đ , 14,5đ, 26,75đ).