Đề khảo sát chất lượng học sinh giỏi huyện môn Toán Lớp 8 - Năm học 2017-2018 - Phòng GD & ĐT Yên Thành

Nội dung text: Đề khảo sát chất lượng học sinh giỏi huyện môn Toán Lớp 8 - Năm học 2017-2018 - Phòng GD & ĐT Yên Thành

1. PHÒNG GD&ĐT YÊN THÀNH CỤM CHUYÊN MÔN SỐ 1 ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI HUYỆN NĂM HỌC 2017-2018 Môn: Toán 8. Thời gian làm bài 120 phút Câu 1(4điểm). a. Gi¶i c¸c ph­¬ng tr×nh sau: x 3 2x 2 3x 6 = 0 b, Tìm a,b sao cho: f x ax3 bx2 10x 4 chia hết cho đa thức g x x2 x 2 Câu 2: (4 điểm) a, Tìm số nguyên dương n để n2 – n + 2 là số chính phương . b) Cho x + y + z = 1 và x3 + y3 + z3 = 1 Tính giá trị biểu thức P = x 2017+ y2017 + z2017 Câu 3. (4 điểm) x 2 y 2 x y 4 3 b) Cho x, y > 0. Chứng minh rằng: 2 2 y x y x c) Giải phương trinh nghiệm nguyên sau: x2 xy 2016x 2017y 2018 0 Câu 4: (6 điểm) Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a, trên tia đối của tia CD lấy E sao cho CE=a . Gọi N là trung điểm của BE, từ B vẽ BH vuông góc với DN (H DN ). a/ Chứng minh A· HC 900 b/ Gọi M là trung điểm của AB. Chứng minh tam giác DMN vuông cân. c/ Tính HA4 HB4 HC 4 HD4 theo a Câu 5 (2đ) Cho a, b d­¬ng vµ a2000 + b2000 = a2001 + b2001 = a2002 + b2002 Tinh: M=a2018 + b2018
2. Đáp án: Câu Đáp án Điểm 1a x 3 2x 2 3x 6 = 0 (2đ) (x 1)(x 2 3x 6) =0 1đ x 1 0 0,25đ 2 x 3x 6 0(vn) 0,25đ X=1 0,25đ Vậy phương trình có tập nghiệm S 1 0,25đ 1b * g x x2 x 2 = (x -1)(x - 2) (2đ) * f x ax3 bx2 10x 4 chia hết g x 0,5đ 3 2 f x ax bx 10x 4 = (x – 1)(x - 2).Q(x) (1) (mọi x R) 0,25 đ - Thay x1 = 1, x2 = 2 vào (1) ta có: a + b + 6 = 0 và 8a + 4b + 16 = 0 0,5đ a = 2 và b = -8 0,5đ Vậy f x ax3 bx2 10x 4 chia hết g x a = 2 và b = -8 0,25đ 2a Ta gọi : n2 – n + 2 = a2 0.25đ (2đ) 4n2 - 4n +8 = 4a2 0.5đ (2a + 2n - 1)(2a - 2n + 1) = 7 0,5đ Lập bảng giá trị 0,5đ Kết luận: n = 2 0,25 Ta có x + y + z = 1 (x+ y+ z)3= 1 0,25đ Suy ra (x+ y+ z)3 = x3 + y3 +z3 (x+ y+ z)3 – ( x3 + y3 +z3) = 0 2b ( x+ y) (y+ 0,25 (2đ) z)( z+ x) = 0 0,25 x y 0,25 y z 0,25 z x 0,25 Với x=-y z = 1 P= 1 0,25 Với y =-z x = 1 P = 1 0,25đ Với z = -x y= 1 P = 1 Vậy P = 1
3. 3a 0,25 x y - HSCM: ≥ 2 với mọi x, y > 0 y x (2đ) x y x y 0,5 -2 ≥ 0; - 1 ≥ 1 y x y x x y x y ( -2)( -1) ≥ 0 0,25 y x y x x2 y2 x y x y 0,5 2 ( ) 2( ) 2 0 y2 x2 y x y x x 2 y 2 x y 4 3 0,25 2 2 y x y x 0.25 Dấu “=” xảy ra x = y > 0 3b (2đ) b, x2 xy 2016x 2017y 2018 0 0,5đ x2 xy x 2017x 2017y 2017 1 0,5đ x(x y 1) 2017(x y 1) 1 0,5đ (x 2017)(x y 1) 1 Lập bảng giá trị 0,5đ Vậy: (x,y) = (2018,-2018), (2016,-2018) 4 A M B (6đ) E N 0,5 0,5 O H K E D C 0,5 Gọi O là giao điểm của AC và BD, ta có OA=OC ( tc hv) HO là trung tuyến a/ tam giac AHC. 1đ 2đ Xét tam giác BHD vuông tại H , có OB=OC ( tc hv) HO là trung tuyến thuộc 1 1 cạnh huyền BD HO= BD mà AC=BD ( tc hv) nên HO= AC. 2 2 1 0,25 Xét tam giác AHC có HO là trung tuyến, mà HO= AC.nên AHC vuông tại 2 0,25
4. · H.Vậy AHC 900 0,25 Ta có OA=OB và ·AOB 900 ( tchv) AOB vuông cân, mà MA=MB nên b/ 0,25 1 2đ OA là trung tuyến của AOB vuông tại O OM AB MB và 2 1 0,25 OM là phân giác ·AOB M· OB ·AOB 450 M· OD 1350 2 Ta có CE=CB=a , B· CE 900 (gt) ECB vuông cân 0,25 C· BE 450 M· BE 1350 M· OD M· BE 1 Ta có OC là đường TB của BDE OC BE BN , mà OD=OC 0,25 2 0.25 OD BN Xét MOD và MBN có MO=MB; OD=BN; 0.25 M· OD M· BN 1350 MOD MBN MD MN và D· MO N· MB , ta có cân tại O mà OM là trung tuyến nên OM là đường cao 0,25 B· MO 900 D· MN D· MO O· MN N· MB O· MN B· MO 900 Vậy tam giác DMN vuông cân c/ 1,5đ Ta có AHC vuông tại H, theo Pitago ta có 0,25 HA2 HC 2 AC 2 BA2 BC 2 a2 a2 2a2 HA2 HC 2 2a2 HA4 HC 4 2HA2 HC 2 4a4 0,25 Vẽ HK vuông góc với AC ta có HA HC HK  AC ( vì cùng bằng 2 diện tích tam giác AHC) HA2 HC 2 AC 2 HK 2 2a2 HK 2 Vây ta có HA4 HC 4 4a2 HK 2 4a4 HA4 HC 4 4a4 4a2 HK 2 A M B Vẽ HF vuông E góc với BD, N chứng minh tương tự ta có O H HB4 HD4 4a4 4a2 HF 2 0,25 K 4 4 4 4 4 2 2 2 Vây Ta có E HA HB HC HD 8a 4a HK HF D C Xét tứ giác OKHF có Oµ Kµ Fµ 900 nên tứ giác OKHF là hình chữ nhật
5. 2 AC AC 2 2a2 a2 0,25 Vậy ta có HK2 +HF2 =KF2 =OH2= 2 4 4 2 a2 0,25 Vậy HA4 HB4 HC 4 HD4 8a4 4a2  6a4 2 0,25 Ta có: (a2001 + b2001).(a+ b) - (a2000 + b2000).ab = a2002 + b2002  (a+ b) – ab = 1 Câu5  (a – 1).(b – 1) = 0 (2đ)  a = 1 hoÆc b = 1 2000 2001 Víi a = 1 => b = b => b = 1 hoÆc b = 0 (lo¹i) 0,5 Víi b = 1 => a2000 = a2001 => a = 1 hoÆc a = 0 (lo¹i) 0,25 VËy a = 1; b = 1 =>M= 2 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25