Đề giao lưu học sinh giỏi - Môn thi: Toán khối 6

Nội dung text: Đề giao lưu học sinh giỏi - Môn thi: Toán khối 6

1. PHÒNG GD&ĐT ĐÔNG SƠN ĐỀ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2017 – 2018 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn thi: Toán - Lớp 6 (Gồm có 01 trang) Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Câu 1(2,0 điểm): Tính hợp lí a) 21.72 - 11.72 + 90.72 + 49.125.16 5.415.99 4.320.89 c) 5.29.619 7.229.276 Câu 2(6,0 điểm): Tìm x là số tự nhiên, biết: 2 2 0,4 1 3 x 1 8 a) x : (9 - ) = 9 11 b) = 2 2 8 8 2 x 1 1,6 9 11 c) 52x - 3 – 2.52 = 52.3 d) 2x 7 20 5.( 3) Câu 3(6,0 điểm): a) Tìm số nguyên x và y, biết : xy - x + 2y = 3. b) Tìm các số tự nhiên x, y biết: 2x + 1 . 3y = 12x c) Cho số 155*710* 4*16 có 12 chữ số. Chứng minh rằng nếu thay các dấu (*) bởi các chữ số khác nhau trong ba chữ số 1; 2; 3 một cách tuỳ ý thì số đó luôn chia hết cho 396. d) Tìm số tự nhiên n để biểu thức sau là số tự nhiên: 2n 2 5n 17 3n B = n 2 n 2 n 2 Câu 4(5,0 điểm): Cho đoạn thẳng AB = 5cm. Lấy điểm M thuộc đoạn thẳng AB, trên tia đối của tia AB lấy điểm N sao cho AN = AM. a) Tính BN khi BM = 2cm. b) Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng AB, vẽ các tia Ax và Ay sao cho B· Ax 400 , B· Ay 1100 . Tính y· Ax, N· Ay . c) Xác định vị trí của điểm M trên đoạn thẳng AB để đoạn thẳng BN có độ dài lớn nhất. Câu 5(1,0 điểm): Tìm số tự nhiên n và chữ số a biết rằng: 1 + 2 + 3 + .+ n = aaa Hết Họ và tên thí sinh: Số báo danh:
2. PHÒNG GD&ĐT ĐÔNG SƠN HƯỚNG DÃN CHẤM GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2017 – 2018 Môn : Toán - Lớp 6 Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Câu Nội dung Điểm a) 21.72 - 11.72 + 90.72 + 49.125.16 = 72(21 – 11 + 90) + 49.125.16 0.5đ = 49. 100 + 49. 100. 20 = 49.100(1 + 20) = 49.100.21 0.5đ 15 9 20 9 5.4 .9 4.3 .8 5 .2 3 0.3 1 8 2 2.3 2 0.2 2 7 0.5đ 1 b) = (3,0đ) 5.29.619 7.229.276 5 .2 9.2 1 9.3 1 9 7 .2 2 9.3 1 8 229.318 (5.2 32 ) = 2 0.5đ 228.318 (5.3 7.2) 2 2 2 2 0,4 0,4 1 3 0.5đ a) x : (9 - ) = 9 11 x :8 7 11 2 2 8 8 2 2 1,6 4 0,4 9 11 7 11 1 x : 8 = x = 2 .Vậy x = 2 1.0đ 4 x 1 8 b) = (x + 1)2 = 16 = ( 4)2 0.75đ 2 x 1 2 *) x + 1 = 4 x = 3 (6,0đ) *) x + 1 = - 4 x = - 5 . 0.5đ Do x N nên x = 3. 0.25đ c) 52x - 3 – 2.52 = 52.3 52x - 3 = 52.3 + 2.52 0.5đ 52x - 3 = 52.5 52x - 3 = 53 0.5đ 2x - 3 = 3 2x = 6 x = 3. Vậy x = 3 0.5đ d) 2x 7 20 5.( 3) 2x 7 5 2x 7 5 0.75đ *) 2x – 7 = 5 2x =12 x = 6 *) 2x – 7 = - 5 2x = 2 x = 1 0.5đ Vậy x 6;1 0.25đ a) Tìm số nguyên x và y, biết : xy - x + 2y = 3. xy - x + 2y = 3 ( xy – x) + (2y – 2) = 1 x( y – 1) + 2( y – 1) = 1 (y – 1)( x + 2) = 1 0.75đ y 1 1 y 2 *) x 2 1 x 1 y 1 1 y 0 *) x 2 1 x 3 3 (6,0đ) Vậy x = - 1 ; y = 2 hoặc x = -3 ; y = 0 0.75đ
3. b) 2x + 1 . 3y = 12x 2x + 1 . 3y = (4.3)x = 22x.3x 0.5đ 22x 3y 2x 1 3y x 2x 1 3x 0.5đ Nhận thấy : ( 2, 3) = 1 x – 1 = y - x = 0 x = y = 1 0.5đ c) Ta thấy, vị trí của các chữ số thay thế ba dấu sao trong số trên đều ở hàng chẵn và vì ba chữ số đó đôi một khác nhau, lấy từ tập hợp 1;2; 3 nên tổng của chúng luôn bằng 1+ 2+ 3 = 6. Mặt khác 396 = 4.9.11 trong đó 4;9;11 đôi một nguyên tố cùng nhau nên ta cần chứng minh A = 155*710* 4*16 chia hết cho 4 ; 9 và 11. 0.5đ Thật vậy : *) A  4 vì số tạo bởi hai chữ số tận cùng của A là 16 chia hết cho 4 *) A  9 vì tổng các chữ số chia hết cho 9 : 1+ 5+ 5 +7+ 1 + 4 + 1+ 6 + (*+*+*) = 30 + 6 = 36 chia hết cho 9 *) A  11 vì hiệu số giữa tổng các chữ số hàng chẵn và tổng các chữ số 0.75đ hàng lẻ là 0, chia hết cho 11. {1+5+7+4+1)-(5+1+6+(*+*+*)} = 18 – 12 – 6 = 0 0.25đ Vậy A  396 2n 2 5n 17 3n 2n 2 5n 17 3n 4n 19 d) B = n 2 n 2 n 2 n 2 n 2 4n 19 4(n 2) 11 11 0,5đ B = 4 n 2 n 2 n 2 11 0,5đ Để B là số tự nhiên thì là số tự nhiên n 2 11  (n+2) n + 2 Ư(11) = 1; 11 Do n + 2 > 1 nên n + 2 = 11 n = 9 0,5đ Vậy n = 9 thì B N Vẽ hình y x 0.5đ 400 ) M 4 N B (5.0đ) A a) Vì M thuộc AB nên AM + MB = AB Þ AM + 2 = 5 AM = 3 cm Có AN = AM AN = 3 cm 1.5đ Do N thuộc tia đối của tia AB nên điểm A nằm giữa N và B BN = AB + AN = 5 + 3 = 8 cm. Vậy BN = 8cm b) + Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ chứa tia AB có: 0.75đ B· Ax B· Ay(400 1100 ) Þ Tia Ax nằm giữa hai tia AB và Ay nên ta có: B· Ax x· Ay B· Ay hay 400 + x·Ay = 1100 Þ x·Ay = 1100 - 400 = 700
4. + Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ AB, ta có B· Ay và N· Ay là hai 0.75đ góc kề bù Þ B·Ay + N· Ay = 1800 hay 1100 + N· Ay = 1800 Þ N· Ay = 1800 - 1100 = 700 c) Vì BN = AB + AN = 5 + AN BN có độ dài lớn nhất khi AN có độ dài lớn nhất Mà AN = AM BN có độ dài lớn nhất khi AM có độ dài lớn nhất 1,5đ Có AM AB AM lớn nhất khi AM = AB khi đó điểm M trùng với điểm B. Vậy khi điểm M trùng với điểm B thì BN có độ dài lớn nhất. (n 1).n Dãy số 1; 2; ; n có n số hạng 1 + 2 + + n = 2 Mà 1 + 2 + 3+ + n = aaa (n 1).n Suy ra = aaa = a . 111 = a . 3.37 n(n + 1) = 2.3.37.a 2 0.5đ 5 Vì tích n(n + 1) Chia hết cho số nguyên tố 37 nên n  37 hoặc n + 1  37 (n 1).n (1.0đ) Vì số có 3 chữ số n+1 < 74 n = 37 hoặc n + 1 = 37 2 37.38 +) Với n = 37 thì 703 ( loại) 2 36.37 +) Với n + 1 = 37 thì 666 ( thoả mãn) 2 Vậy n = 36 và a = 6. Ta có: 1+ 2 + 3+ + 36 = 666 0.5đ Chú ý: 1. Thí sinh có thể làm bài bằng cách khác, nếu đúng vẫn được điểm tối đa. 2. Nếu thí sinh chứng minh bài hình mà không vẽ hình thì không chấm điểm bài hình. 3. Chấm và cho điểm từng phần, điểm của toàn bài là tổng các điểm thành phần không làm tròn.