Đề cương ôn tập Toán 7- Học kì I - Trường THCS Đoàn Thị Điểm

Nội dung text: Đề cương ôn tập Toán 7- Học kì I - Trường THCS Đoàn Thị Điểm

1. TRƯỜNG THCS ĐOÀN THỊ ĐIỂM ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP TOÁN 7- HỌC KÌ I NĂM HỌC 2017 – 2018 I. MỤC TIÊU 1. Kiến thức Học sinh làm được các bài tập trong phần trắc nghiệm và phần tự luận trong đề cương. 2. Kỹ năng - Học sinh làm thành thạo, chính xác các dạng toán: thực hiện phép tính, tìm số chưa biết, toán có lời văn, toán hình tổng hợp. - Học sinh thao tác nhanh, lập luận chặt chẽ. 3. Thái độ - Học sinh tích cực học tập, chú ý lắng nghe. - Rèn tính cẩn thận trong tính toán cho học sinh. II. CHUẨN BỊ - GV: Phấn màu, đề cương, thước đo góc. - HS: Đề cương, ôn tập kiến thức. NỘI DUNG I. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM. Chọn phương án đúng trong các phương án sau: Câu 1: Điền chữ Đ (đúng) hoặc chữ S (sai) vào ô vuông để có nhận xét đúng 5 ¢ 5 ¥ 5 ¤ 7 ¢ 4 4 ¢ 3 I ¤ 1,(3) ¤ 17 17 Đáp án 5 ¢ Đ 5 ¥ S 5 ¤ Đ 7 ¢ Đ 4 4 ¢ S 3 I Đ ¤ Đ 1,(3) ¤ Đ 17 17 Câu 2: Số n mà 52.5 4.5n 58 là: A.-1 B.10 C.-4 D.6 E.8 Đáp án: B 1 Câu 3: Số n mà .27n 9n là: 9 A.0 B.1 C.2 D.3 E.-1 Đáp án: C Câu 4: Nối mỗi dòng ở cột bên trái với một dòng ở cột bên phải để được một khẳng định đúng A. Kết quả của phép tính 3 2 2 3 là 1)214 42.43 B. Kết quả của phép tính là 2)24 25 (2,12)4 C. Kết quả của phép tính là 3)25 1,064 810 D. Kết quả của phép tính là 4) 22 48 17 5) 72 Đáp án: A-5 B-3 C-2 D-1
2. Câu 5: Các tỉ số nào sau đây lập thành tỉ lệ thức? 1 19 6 14 7 2 15 1,25 7 5 4 A. và B. : và : C. và D. và : 3 57 7 5 3 9 21 17,5 12 6 3 Đáp án: A 5 35 Câu 6: Chỉ ra đáp án sai: Từ tỉ lệ thức , ta có tỉ lệ thức sau: 9 63 5 9 63 35 35 63 63 9 A. B. C. D. 35 63 9 5 9 5 35 5 Đáp án: C Câu 7: Nối mỗi dòng ở cột bên trái với một dòng ở cột bên phải để được một khẳng định đúng: x 15 A. Số x mà là 1) 0,5 9 27 6 x B. Số x mà là 2) 3 21 7 x 1,5 C. Số x mà là 3) 5 0,3 0,9 4,2 1,4 D. Số x mà là 4) 4 9 x 5) 2 Đáp án: A. -3) B. -5) C. -1) D. -2) x y Câu 8: Nếu và x y 4 thì: 5 7 A. x 5; y 7 B. x 10 ; y 14 C. x 10; y 14 D. x 9; y 21 Đáp án: C Câu 9: Nếu x :3 y : 7 và x y 30 thì: A. x 9 ; y 21 B. x 6 ; y 13 C. x 9; y 21 D. x 9; y 2 Đáp án: A Câu 10: Số nào trong các phân số sau đây được viết dưới dạng số thập phân hữu hạn: 3 5 4 5 15 A. B. C. D. E. 14 6 15 8 7 Đáp án: D Câu 11: Số nào trong các số dưới đây được viết dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn: 15 19 14 16 A. B. C. D. 42 4 40 50 Đáp số: A Câu 12: Nối mỗi dòng ở cột bên trái với một dòng ở cột bên phải để được một khẳng định đúng 1 5 A. Phân số viết dưới dạng số thập phân là: 1) 9 9 1 B. Phân số viết dưới dạng số thập phân là: 2) 0, 01 99 C. Số 0, 5 đổi ra phân số là: 3) 0,0 1 D. Số 0, 7 viết dưới dạng phân số là: 4) 0, 1 7 5) 9 Đáp án:
3. A. -4) B. -2) C. -1) D. -5) Câu 13: Nối mỗi dòng ở cột bên trái với một dòng ở cột bên phải để được một khẳng định đúng A. Làm tròn số 63,549 đến chữ số hàng thập phân thứ nhất ta được: 1) 63,55 B. Làm tròn số 63,549 đến chữ số hàng thập phân thứ hai ta được: 2) 63,54 C. Làm tròn số 63,5449 đến chữ số hàng thập phân thứ hai ta được: 3) 63,545 D. Làm tròn số 63,5449 đến chữ số hàng thập phân thứ ba ta được: 4) 63,5 5) 63,544 Đáp án: A. -4) B. -1) C. -2) D. -3) Câu 14: Điền số thích hợp vào ô trống: x 16 0,64 2 2 25 4 x 16 0,7 2 2 Đáp án: x 16 256 0,64 0,49 2 2 2 4 25 4 x 4 16 0,8 0,7 2 2 2 5 2 7 Câu 15: Số nào sau đây bằng ? 2 49 72 49 1 9.5 22 A. B. C. . D. 4 22 2 2 22 Đáp án: C Câu 16: Điểm nào sau đây không thuộc đồ thị hàm số y 3x A. M (0,3; 0,9) B. N( 2;6) C. P( 3; 9) D. Q( 4;12) Đáp án: C Câu 17: Một đường thẳng đi qua điểm O và điểm M (3;1,5) . Đường thẳng đó là đồ thị của hàm số nào? 1 5 A. y 3x B. y x C. y x D. y 2x 2 3,1 Đáp án: D 3 2 Câu 18: Điểm nào thuộc cả hai đồ thị hàm số y x và y x 1 5 5 3 A. (10;6) B. ( 1; ) C. ( 5;3) D. (5;3) 5 Đáp án: D Câu 19: Điển đúng (Đ), sai (S) thích hợp vào các câu sau: A. Hai góc đối đỉnh thì bằng nhau B. Hai đường thẳng cắt nhau thì vuông góc C. Qua một điểm ở ngoài đường thẳng có ít nhất một đường thẳng song song với đường thẳng đó.
4. D. Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba thì chúng song song với nhau. Đáp án: A-(Đ); B-(S); C -(S); D-(Đ) Câu 20: Đường trung trực của đoạn thẳng AB là: A. Đường thẳng vuông góc với AB. B. Đường thẳng đi qua trung điểm của AB. C. Đường thẳng vuông góc với AB tại trung điểm của đoạn thẳng AB. D. Cả A, B, C đều sai. Đáp án: C Câu 21: Hai tia phân giác của góc kề bù thì chúng: A. Vuông góc với nhau B. Trùng nhau C. Đối nhau D. Song song với nhau Đáp án: A z n m x y O 1 1 1 1 m· On m· Oz z·On x· Oz z·Oy x· Oz z·Oy .1800 900 2 2 2 2 Om  On Câu 22: Đường thẳng c cắt hai đường thẳng song song a và b tại A, B. Biết một góc tạo thành bởi a và c là 900 , ta suy ra: A. Các góc còn lại đều bằng 900 B. a  c C. b  c D. Cả A, B, C đều đúng Đáp án: D Câu 23: Từ một điểm nằm ngoài đường thẳng a ta có thể: A. Vẽ được duy nhất 1 đường thẳng song song và duy nhất 1 đường thẳng vuông góc với đường thẳng a. B. Vẽ được một đường thẳng cắt a. C. Vẽ được một đường thẳng song song với a. D. Vẽ được một đường thẳng vuông góc với a. Đáp án: A Câu 24: Cho hình vẽ bên. Biết µA 300 , Bµ 600. Khi đó: A a x B b A. x 300 B. x 600 C. x 900 D. x 1200 Đáp án: C
5. A a t x C B b Qua C vẽ tia Cx Pa Cx Pb Cx Pa µA ·ACt 300 (2 góc so le trong) Cx Pb Bµ t·CB 600 (2 góc so le trong) Nên x ·ACt t·CB 300 600 900 Câu 25: Cho hai tam giác ABC và A' B 'C ' có AB A' B '; BC B 'C '. Cần thêm điều kiện gì để hai tam giác bằng nhau: A. µA µA' B. Cµ Cµ' C. AC A'C ' D. B và C đều đúng Đáp án: C II. BÀI TẬP TỰ LUẬN 1. Dạng 1: Thực hiện phép tính Bài 1: Thực hiện phép tính: 9 15 5 11 7 2 25 a. b. . 64 2 ( 3) 7 1,69 3 10 16 12 15 20 16 2 3 2 2 7 9 ( 1) 2 2 5 c. d. 2,25 4 ( 2,15) 3 . 1 : 2 6 16 15 3 3 6 2 3 1 1 1 1 1 1 2 2 e. 1f.5 . 2. . 9 8,75 : 0,625:1 5 5 2 2 7 2 7 3 0 4 1 2 3 6 3 2 1 2 5 1 6 g. 2h. 5 .5 4 .32 2.( 3) . 2 .3 9 7 3 Hướng dẫn 9 15 5 11 7 9.8 15.5 5.5 11.4 7.3 72 75 25 44 21 a. . . . 10 16 12 15 20 80 80 60 60 60 80 60 3 40 1 . 80 60 40 b. 25 5 91 15 280 182 75 173 64 2 ( 3)2 7 1,69 3 8 2.3 7.1,3 3. 8 6 16 4 10 4 20 20 20 20 2 7 9 7 25 21 5 c. 2,25 4 ( 2,15)2 3 . 1 1,5 4.2,15 9. . 1,5 8,6 . 6 16 6 16 2 4 71 21 5 71 105 5 34 5 17 . . . 10 2 4 10 10 4 10 4 4 2 ( 1)3 2 2 5 1 4 8 5 1 4 3 5 1 1 5 d. : 2 : . 15 3 3 6 15 9 3 6 15 9 8 6 15 6 6
6. 1 4 2 20 22 11 15 6 30 30 30 15 2 3 1 1 1 1 1 1 1 1 3 1 1 1 4 1 1 e. 15. 2. 15. 2. 5 5 2 2 25 5 8 2 5 5 4 2 5 4 2 16 5 10 11 20 20 20 20 1 1 2 2 1 19 35 2 5 5 1 38 35 2 5 3 f. . 9 8,75 : 0,625:1 . : : : . 7 2 7 3 7 2 4 7 8 3 7 4 4 7 8 5 1 3 7 3 3 3 . . 0 7 4 2 8 8 8 3 1 1 1 1 g. 2 1 52 .5 6 4 3.32 2.( 3)2. 56.5 6 2 6.25 2.9.￿ 50 2 1 2 9 2 9 2 1 1 1 2 0 2 2 0 4 2 5 1 6 1 6 2 h. 2 .3 4 1 4 .3 4 1 3 4 1 9 12 7 3 3 Bài 2: Tính bằng cách hợp lý: 1 12 13 79 28 5 4 18 1 a. b. 1 0,(3) 1 3 67 41 67 41 13 9 13 3 5 2 2 4 5 13 5 13 1 c. 139 : 138 : d. : : 7 3 7 9 11 8 11 5 33 2.69 25.184 153 5.152 53 e) f) 22.68 183 6.182 63 2 3 2 1 3 2 3 3 1 3 g) 97 125 97 125 h) : : 3 5 5 3 4 5 7 5 4 7 Lời giải 1 12 13 79 28 1 12 13 79 28 1 12 79 13 28 a. 3 67 41 67 41 3 67 41 67 41 3 67 67 41 41 1 67 41 1 1 1 1 3 67 41 3 3 5 4 18 1 18 1 13 18 1 18 18 1 1 13 b. 1 0,(3) 1 13 9 13 3 13 3 9 13 3 13 13 3 3 9 13 13 0 0 9 9 5 2 2 4 978 3 968 3 978 968 3 10 3 15 c. 139 : 138 : . . . . 7 3 7 9 7 2 7 2 7 7 2 7 2 7 5 13 5 13 1 5 8 5 5 1 5 8 5 1 5 13 1 d. : : . . . . 11 8 11 5 33 11 13 11 13 33 11 13 13 33 11 13 33 5 1 15 1 16 11 33 33 33 33 9 9 5 4 2 4 2.69 25.184 2.2 .3 2 .2 . 3 210.39 29.38 29.38 2.3 1 5 e) 22.68 22.28.38 210.38 210.38 2
7. 3 3 2 153 5.152 53 33.53 5.32.52 53 33.53 32.53 53 5 . 3 3 1 125 f) 183 6.182 63 23.36 2.3.22.34 23.33 23.36 23.35 23.33 23.33 33 32 1 216 2 3 2 1 3 2 2 1 3 1 2 2 g) 97 125 97 125 125 97 97 125 125 125 97 97 3 5 5 3 5 3 5 3 5 3 5 3 3 1 2 2 3 2 1 2 1 1 0 5 3 5 3 5 5 3 3 3 2 3 3 1 3 3 2 3 1 3 3 3 h) : : : 1 1 : 0 : 0 4 5 7 5 4 7 4 5 5 4 7 7 7 2. Dạng 2: Tìm x , biết: Bài 3: Tìm x biết: 1 1 3 5 5 3 3 1 a) x : 2 3 b) x :3 7 2 c) x 0 15 2 4 8 6 4 4 4 3 4 2 3 1 5 5 1 2 d) : 2 3x 2 e) x 2 3x f) 3 x 1 x 4 9 3 4 3 7 7 3 3 3x 1 2x 5 3 3 27 4 256 2 8 g) h) i) x 4 64 5 625 15 125 5 x 3 64 x 1 6 4 6 4 2 2 10 k) 2 m) n) . . . 2x 1 x 3 27 x 5 7 13 5 13 5 13 Lời giải 1 1 3 31 3 7 31 17 a) x : 2 3 x : x : 15 2 4 15 4 2 15 4 17 31 527 x . x 4 15 60 5 5 3 5 23 31 5 23 39 b) x :3 7 2 x : 2 x : 8 6 4 8 6 4 8 6 4 23 5 39 23 73 73 23 1679 x : x : x . x 6 8 4 6 8 8 6 48 3 1 3 1 c) x 0 x 4 4 4 4 3 1 1 3 4 TH1: x x x x 1 4 4 4 4 4 3 1 1 3 2 1 TH2: x x x x 4 4 4 4 4 2 3 4 2 3 3 22 8 3 27 8 3 d) : 2 3x 2 : 3x 3x 4 9 3 4 4 9 3 4 88 3 4 8 27 3 8 39 3x 3x 3 88 4 3 88 8 8 39 Vì 3x 0 x nên không có x thỏa mãn đẳng thức 3x . 3 3 88 Vậy x  1 e) x 2 3x 3
8. 1 1 7 7 7 TH1: x 2 3x x 3x 2 4x x : 4 x 3 3 3 3 12 TH2: 1 1 1 5 5 5 x 2 3x x 2 3x x 3x 2 2x x : 2 x 3 3 3 3 3 6 5 5 1 2 2 1 1 f) 3 x 1 x 2x 2x 1 x 7 7 3 3 3 3 2 3x 1 3x 1 3 3 27 3 3 4 g) 3x 1 3 3x 4 x 4 64 4 4 3 2x 5 2x 5 4 4 256 4 4 1 h) 2x 5 4 2x 1 x 5 625 5 5 2 3 3 3 2 8 2 2 2 2 2 2 8 i) x x x x x 15 125 15 5 15 5 5 15 15 5 3 x 3 64 3 4 4 4 5 k) 2 x 3 x 3 x 3 x x 3 27 3 3 3 3 x 1 6 m) 7 x 1 6 x 5 7x 7 6x 30 7x 6x 30 7 x 37 (thỏa mãn) x 5 7 4 6 4 2 2 10 4 6 2 2 10 4 8 2 10 n) . . . 2x 1 . . 2x 1 . . 2x 1 13 5 13 5 13 13 5 5 13 13 5 13 2 32 2 10 2 10 32 2 25 2 5 . 2x 1 2x 1 : 2x 1 2x 1 65 13 13 65 16 4 5 5 1 1 2x 1 2x 1 2x x 4 4 4 8 5 5 9 9 2x 1 2x 1 2x x 4 4 4 8 Dạng 3: Bài toán liên quan đến tỉ lệ thức, tính chất dãy tỉ số bằng nhau; Bài 4: Tìm a, b, c a b c a b c a) và 2a 3b c 50 b) và 5a b 2c 28 3 8 5 10 6 21 a b b c x y y 3 c) ; và 2a 3b 4c 330 d) ; và 4x y z 8 10 5 2 5 1 4 z 4 x2 y2 x 1 y 2 z 3 e) và x2 y2 100 f) và x 2y 3z 14 9 16 2 3 4 2a 3b 4c g) 5x 8y 20z và x y z 3 h) và a b c 49 3 4 5 Lời giải a b c a) và 2a 3b c 50 (1) 3 8 5 a b c Đặt suy ra a 3k; b 8k; c = 5k (2). 3 8 5 Khi đó ta thay (2) vào (1) ta được: 2.3k 3.8k 5k 50 6k 24k 5k 50 25k 50 k 2 Thay k 2 vào (2) ta có
9. a 3k 3.2 6;b 8k 8.2 16;c = 5k = 5.2 = 10; Vậy a 6; b = 16; c = 10 a b c b) và 5a b 2c 28 (1) 10 6 21 a b c Đặt suy ra a 10k; b 6k; c = 21k (2). 10 6 21 Khi đó ta thay (2) vào (1) ta được: 5a b 2c 28 5.10k 6k 2.21k 28 14k 28 k 2 Thay k 2 vào (2) ta có a 10k 10.2 20;b 6k 6.2 12;c = 21k = 21.2 = 42; Vậy a 20; b = 12; c = 42 a b b c c) ; và 2a 3b 4c 330 (*) 10 5 2 5 a b a 10 20 a b Ta có (1) 10 5 b 5 10 20 10 b c b 2 10 b c (2) 2 5 c 5 25 10 25 a b c Từ (1) và (2) ta có . (3) 20 10 25 a b c Đặt k suy ra a 20k; b 10k; c = 25k (4). 20 10 25 Thay (4) vào (*) ta được 2.20k 3.10k 4.25k 330 2.20k 3.10k 4.25k 330 110k 330 k 3 Thay k = 3 vào (4) ta có a = 60; b = 30; c = 75. x y y 3 d) ; và 4x y z 8 (1) 1 4 z 4 x y x 1 3 x y  1 4 y 4 12 3 12 x y z Ta có:  y 3 y 3 12 y z 3 12 16 z 4 z 4 16 12 16 x y z Đặt k suy ra x 3k; y 12k; c 16k . (2) 3 12 16 Thay (2) vào (1) ta được: 4.3k 12k 16k 8 8k 1 k 1 Thay k = 1 vào (4) ta có x = 3; y = 12; z = 16. x2 y2 e) và x2 y2 100 9 16 x2 y2 x2 y2 100 Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có 4 9 16 9 16 25 2 x 2 x 6 4 x 36 9 x 6 Suy ra: 2 y 2 y 8 4 y 64 16 y 8 Vậy các giá trị x, y thỏa mãn là: x 6 - 6 6 - 6
10. y 8 8 - 8 - 8 x 1 y 2 z 3 f) và x 2y 3z 14 (1) 2 3 4 x 1 y 2 z 3 Đặt k suy ra x 2k 1; y = 3k + 2; z = 4k +3 (2) 2 3 4 Thay (2) vào (1) ta có 2k 1 2(3k 2) 3(4k 3) 14 2k 1 12k 4 12k 9 14 8k 8 k 1 Thay k = 1 vào (1) ta được: x 2k 1 3; y = 3k + 2 = 5; z = 4k +3 = 7 Vậy x 3; y 5; z 7 g) 5x 8y 20z và x y z 3 5x 8y Ta có 5x 8y 20z 5z 20z x 8 x y  5x 8y y 5 8 5 x y z Nên  x 20 8 x z 8 5 2 5x 20z z 5 2 8 2 x y z x y z 3 Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có 3 8 5 2 8 5 2 1 Suy ra x 3 x 24 8 y 3 y 15 5 z 3 z 6 2 Vậy x 24; y 15; z 6 . 2a 3b 4c h) và a b c 49 (*) 3 4 5 2a 3b 4c 2a 3k 3b 4k 4c 5k Đặt k Suy ra k a ; k b ; k c (1) 3 4 5 3 2 4 3 5 4 Thay (1) vào (*) ta được 3k 4k 5k 3k 4k 5k 18k 16k 15k 49k 49 49 49 49 k 12 2 3 4 2 3 4 12 12 12 12 Thay k 12 vào (1) ta có a 18; b 16; c 15 . a b c d Bài 5: Các số a, b, c, d thỏa mãn điều kiện: và a b c d 0 3b 3c 3d 3a Chứng minh rằng a b c d Lời giải Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có a b c d a b c d a b c d 1 ( do a b c d 0 ) 3b 3c 3d 3a 3b 3c 3d 3a 3(a b c d) 3 a 1 b 1 Suy ra: +) a b (1) +) b c (2) 3b 3 3c 3
11. c 1 d 1 +) c d (3) +) d a (4) 3d 3 3a 3 Từ (1); (2); (3); (4) ta có a b c d ( ĐPCM) a b c a Bài 6: Chứng minh rằng nếu a2 bc với a b,a c thì a b c a Lời giải a b a b a2 bc (1) c a c a a b a b (2) c a c a a b a b a b c a Từ (1) và (2) c a c a a b c a x y z 2x y 5z Bài 7: Cho . Tính giá trị của biểu thức A 4 7 3 2x 3y 6z Lời giải x y z k (k 0) 4 7 3 x 4k; y 7k; z 3k 2x y 5z 8k 7k 15k 16 A 2x 3y 6z 8k 21k 18k 5 a b c Bài 8: Cho ba tỉ số bằng nhau ; ; . Tìm giá trị của mỗi tỉ số đó. Xét khia b c 0 và b c c a a b khi a b c 0 Lời giải Khi a b c 0 a b c ; b a c ; c (a b) a b c 1 b c c a a b Khi a b c 0 a b c a b c 1 b c c a a b 2(a b c) 2 a c Bài 9: Chứng minh rằng nếu thì b d 5a 3b 5c 3d 7a2 3ab 7c2 3cd a) b) 5a 3b 5c 3d 11a2 8b2 11c2 8d 2 Lời giải a c k k 0 a kb;c kd b d a) Ta có: 5a 3b 5kb 3b b 5k 3 5k 3 5c 3d 5kd 3d d 5k 3 5k 3 5a 3b 5kb 3b b 5k 3 5k 3 5c 3d 5kd 3d d 5k 3 5k 3 5a 3b 5c 3d Vậy 5a 3b 5c 3d b) Ta có:
12. 2 2 2 2 7a2 3ab 7k 2b2 3kb2 b 7k 3k 7c2 3cd 7k 2d 2 3kd 2 d 7k 3k 11a2 8b2 11k 2b2 8b2 b2 11k 2 8 11c2 8d 2 11k 2d 2 8d 2 d 2 11k 2 8 7a2 3ab 7c2 3cd Vậy 11a2 8b2 11c2 8d 2 4. Dạng 4: Câu toán thực tế. Bài 10: Số bi của ba bạn Hà, Bảo, Chi tỉ lệ với 3; 4; 5. Biết số bi của Bảo nhiều hơn số bi của Hà 15 viên bi. Tính số bi mà mỗi bạn có. Lời giải Gọi số bi của ba bạn Hà, Bảo, Chi lần lượt là x , y , z x, y, z ¥ * . x, y, z (bi; x, y, z N*). x y z Vì số bi của ba bạn Hà, Bảo, Chi tỉ lệ với 3; 4; 5 nên ta có . 3 4 5 Vì số bi của Bảo nhiều hơn số bi của Hà 15 viên bi nên ta có: y x 15 . y – x = 15. x y z y x 15 Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có: 15 . 3 4 5 4 3 1 Do đó: x 15.3 45 (TMĐK) y 15.4 60 (TMĐK) z 15.5 75 (TMĐK) Vậy: số bi của Hà là 15 viên bi, của Bảo là 60 viên bi, của Chi là 75 viên bi. Bài 11: Một lớp học có 32 học sinh gồm ba loại học lực: giỏi, khá, trung bình. Biết số học sinh học lực 2 5 trung bình bằng số học sinh học lực giỏi và số học sinh học lực khá bằng số học sinh học 9 2 lực trung bình. Tính số học sinh mỗi loại của lớp đó. Lời giải Gọi số học sinh giỏi, khá, trung bình của lớp học lần lượt là x , y , z (học sinh; x, y, z ¥ * ) Vì tổng số học sinh của lớp là 32 học sinh nên ta có: x y z 32 (1) 2 - Vì số học sinh học lực trung bình bằng số học sinh học lực giỏi nên ta có: 9 z 2 x z hay: (2) x 9 9 2 5 - Số học sinh học lực khá bằng số học sinh học lực trung bình nên ta có: 2 y 5 y z hay: (3) z 2 5 2 x y z x y z 32 Từ (1), (2) và (3) ta có: 2 . 9 5 2 9 5 2 16 Do đó: x 2.9 18 (TMĐK) y 2.5 10 (TMĐK) z 2.2 4 (TMĐK). Vậy số học sinh giỏi là 18, số học sinh khá là 10 và số học sinh trung bình là 4. Bài 12: Hai nền nhà có cùng một chiều dài. Chiều rộng của nền nhà thứ nhất bằng 1,2 lần chiều rộng của nền nhà thứ hai. Khi lát gạch bông thì số gạch lát nền thứ nhất nhiều hơn nền thứ hai là 400 viên gạch. Hỏi nền thứ nhất phải lát bao nhiêu viên gạch. Lời giải
13. Gọi số viên gạch lát nền nhà thứ nhất và nền thứ hai lần lượt là x và y (viên), (x, y ¥ * ) - Vì số viên gạch lát nền thứ nhất nhiều hơn số nền thứ hai là 400 viên nên ta có: x y 400 . x – y = 400 - Vì hai nền nhà có cùng chiều dài nên số viên gạch lát tỉ lệ thuận với chiều rộng, ta có: x 6 x y 1,2 hay . y 5 6 5 x y x y 400 Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có: 400 . 6 5 6 5 1 Do đó: x 400.6 2400 (TMĐK). y 400.5 2000(TMĐK). x = 400.6 = 2400 (TMĐK); y = 400.5 = 2000 (TMĐK); Vậy số gạch để lát nền nhà thứ nhất là 2400 viên, số gạch để lát nền nhà thứ hai là 2000 viên. Bài 13: Biết độ dài ba cạnh của một tam giác tỉ lệ với 3, 5, 7. Tính độ dài các cạnh của một tam giác, biết: a) Chu vi của tam giác là 45m. b) Tổng độ dài cạnh lớn nhất và cạnh nhỏ nhất hơn cạnh còn lại 20m. Lời giải Gọi độ dài ba cạnh của một tam giác là x , y , z (mét; x, y, z 0 ) x, y, z (m; x, y, z > 0). x y z Vì độ dài ba cạnh tỉ lệ với 3; 5; 7 nên ta có: . 3 5 7 a) Vì chu vi của tam giác là 45m nên ta có: x + y + z = 45 x y z x y z 45 Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có: 3 . 3 5 7 3 5 7 15 Do đó: x 3.3 9 (TMĐK) y 3.5 15 (TMĐK) z 3.7 21 (TMĐK). Vậy độ dài ba cạnh của tam giác lần lượt là 9m, 15m, 21m. b) Theo đề Câu thì cạnh lớn nhất là z và cạnh bé nhất là x . Vì tổng độ dài cạnh lớn nhất và cạnh nhỏ nhất hơn cạnh còn lại 20m nên ta có: x z y 20 . z + x – y = 20 x y z x z y 20 Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có: 4 . 3 5 7 3 7 5 5 Do đó:: x 4.3 12 (TMĐK) y 4.5 20 (TMĐK) z 4.7 28 (TMĐK). Vậy độ dài ba cạnh của tam giác lần lượt là 12m, 20m, 28m. Bài 14: Một người mua vải để may ba áo sơ mi như nhau. Người ấy mua ba loại vải khổ rộng 0,7m; 0,8m và 1,4m với tổng số vải là 5,7m. Tính số mét vải mỗi loại người đó đã mua. Lời giải Gọi số mét vải mỗi loại tương ứng với khổ rộng 0,7m; 0,8m; 1,4m mà người đó đã mua lần lượt là x , y , z (mét; x, y, z 0 ). x, y, z (m; x, y, z > 0) Vì may ba áo sơ mi như nhau nên số mét vải đã mua tỉ lệ nghịch với khổ rộng của vải, ta có: x y z 0,7x 0,8y 1,4z hay 7x 8y 14z . => 8 7 4
14. Vì tổng số vải mua là 5,7m nên ta có: x y z 5,7 x y z x y z 5,7 Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có: 0,3 8 7 4 8 7 4 19 Do đó x 0,3.8 2,4 (TMĐK); y 0,3.7 2,1(TMĐK); z 0,3.4 1,2 (TMĐK). Vậy số mét vải đã mua tương ứng với các khổ rộng 0,7m; 0,8m; 1,4m lần lượt là 2,4m; 2,1m; 1,2m. Bài 15: Hai ô tô khởi hành cùng một lúc đi từ A đến B. Xe thứ nhất đi từ A đến B hết 4 giờ, xe thứ hai đi từ B đến A hết 3 giờ. Đến chỗ gặp nhau, xe thứ hai đã đi được một quãng đường dài hơn xe thứ nhất đã đi là 35km. Tính quãng đường AB. Lời giải - Gọi quãng đường xe thứ nhất đi được là s1 (km,s1 0 ); vận tốc của xe thứ nhất là v1 (km/h, v1 0 ) - Quãng đường xe thứ nhất đi được là s2 (km,s2 0 ); vận tốc của xe thứ nhất làv 2 (km/h,v 2 0 ). - Vì xe thứ hai đã đi được một quãng đường dài hơn xe thứ nhất đã đi là 35km nên s2 s1 35 . v 3 - Trên cùng một quãng đường, vận tốc và thời gian là hai đại lượng tỉ lệ nghịch nên 1 v2 4 - Trong cùng khoảng thời gian, quãng đường và vận tốc là hai đại lượng tỉ lệ thuận nên s v 3 1 1 s2 v2 4 s s s s 35 1 2 2 1 35 3 4 4 3 1 s1 35.3 105(TM ); s2 35.4 140(TM ) Vậy quãng đường AB dài 105 + 140 = 245 km. Bài 16: Ba đội máy cày, cày ba cánh đồng cùng diện tích. Đội thứ nhất cày trong 5 ngày, đội thứ hai cày trong 4 ngày và đội thứ ba cày trong 6 ngày. Hỏi mỗi đội có bao nhiêu máy cày, biết rằng ba đội có tất cả 37 máy? (Năng suất các máy như nhau). Lời giải - Gọi số máy cày của đội thứ nhất, thứ hai, thứ ba lần lượt là: x, y, z (máy; x, y, z ¥ * ) - Vì ba đội có tất cả 37 máy nên x y z 37 - Ba cánh đồng cùng diện tích, số máy cày và thời gian là hai đại lượng tỉ lệ nghịch nên x y z x y z 37 5x 4y 6z 1 12 15 10 12 15 10 37 x 12.1 12(tm); y 15.1 15(tm); z 10.1 10(tm) Vậy: đội thứ nhất có 12 máy cày, đội thứ hai có 15 máy cày và đội thứ ba có 10 máy cày. Bài 17: 48 công nhân dự định hoàn thành công việc trong 12 ngày. Sau đó vì một số công nhân phải điều động đi làm việc khác, số công nhân còn lại hoàn thành công việc đó trong 36 ngày. Hỏi số công nhân bị điều đi làm việc khác là bao nhiêu công nhân? Lời giải - Gọi số công nhân còn lại là x (công nhân; x ¥ *; x 48 ). x N*; x 48 - Trong cùng khối lượng công việc, số công nhân và thời gian là hai đại lượng tỉ lệ nghịch nên: 48 36 48.12 x 16 (TM) x 12 36
15. Vậy số công nhân bị điều đi làm việc khác là: 48 – 16 = 32 công nhân. Bài 18: Ba đội công nhân làm ba khối lượng công việc như nhau. Đội thứ nhất hoàn thành công việc trong 4 ngày, đội thứ hai trong 6 ngày. Hỏi đội thứ ba hoàn thành công việc trông bao nhiêu ngày? Biết rằng tổng số người của đội một và đội hai gấp năm lần số người của đội ba. Lời giải - Gọi số công nhân của ba đội công nhân lần lượt là x, y, z (công nhân; x, y, z ¥ * ) Số ngày đội ba hoàn thành công việc là a (ngày) - Vì tổng số người của đội một và đội hai gấp năm lần số người của đội ba nên x y 5z - Cùng khối lượng công việc như nhau, số công nhân và số ngày là hai đại lượng tỉ lệ nghịch nên 4x 6y az x y x y 5z Có: 4x 6y 12z 1 1 1 1 5 4 6 4 6 12 az 12z a 12(TM ) Vậy số ngày đội ba hoàn thành công việc là 12 ngày. Bài 19: Ba đơn vị cùng xây dựng chung một chiếc cầu hết 340 triệu. Đơn vị thứ nhất có 8 xe và ở cách cầu 1,5km. Đơn vị thứ hai có 4 xe và ở cách cầu 3km. Đơn vị thứ 3 có 6 xe và ở cách cầu 1km. Hỏi mỗi đơn vị phải trả bao nhiêu tiền cho việc xây dựng cầu, biết rằng số tiền phải trả tỉ lệ thuận với số xe và tỉ lệ nghịch với khoảng cách từ đơn vị tới cầu. Lời giải - Gọi số tiền mà mỗi đơn vị phải trả lần lượt là x, y, z (triệu đồng; x, y, z 0 ) - Vì ba đơn vị cùng xây dựng chung một chiếc cầu hết 340 triệu nên x y z 340 . - Vì số tiền phải trả tỉ lệ thuận với số xe và tỉ lệ nghịch với khoảng cách từ đơn vị tới cầu nên: 1,5x 3y 1z x y z x y z 340 170 8 4 6 16 4 18 16 4 18 38 19 170 x .16 143,16 19 170 y .4 35,79 19 170 z .18 161,05 19 Vậy: + Đơn vị thứ nhất phải trả 143,16 triệu đồng. + Đơn vị thứ nhất phải trả 35,79 triệu đồng. + Đơn vị thứ ba phải trả 161,05 triệu đồng. Dạng 5: Câu toán hình học: Bài 20: Cho tam giác MNP có MN=MP. Tia phân giác của góc M cắt NP ở I. Chứng minh: a. NI=IP b. MI  NP Lời giải
16. M N I P a)Xét MNI và MIP có: MI chung N· MI P· MI ( MI là phân goác của góc NMP) MN=MP(GT) MNI MIP(c.g.c) NI IP ( hai cạnh tương ứng) b) MNI MIP(cmt) N· IM M· IP (hai góc tương ứng) mà N· IM M· IP 1800 (hai góc kề bù) N· IM M· IP 900 MI  NP Bài 21: Cho tam giác MNP, E là trung điểm của MN, F là trung điểm của MP. Vẽ điểm Q sao cho F là trung điểm của EQ. Chứng minh rằng: a. NE = PQ b. NEP QPE 1 c. EF / /NP; EF NP 2 Lời giải M E F Q N P a) Xét MEF và PFQ có FE=FQ ( F là trung điểm của EQ) M· FE Q· FP (hai góc đối đỉnh) FM=FP ( F là trung điểm của MP) MEF PFQ(c.g.c) ME PQ(haicanh tuong ung) Mà ME=EN ( E là trung điểm của MN) EN PQ b) MEF PFQ(cmt) F· ME F· PQ(hai goc tuong ung) Mà hai góc này ở vị trí so le trong ME / /QP NE / /QP N· EP E· PQ (hai góc so le trong) Xét NEP va QPE có NE = QP N· EP E· PQ (cmt) EP chung
17. NEP QPE(cgc) c) NEP QPE(cgc) Q· EP E· PN Mà hai góc này ở vị trí so le trong EQ / /NP NEP QPE(cmt) NP QE 1 1 Mà F là trung điểm PQ FE EQ FE NP 2 2 Bài 22: Cho tam giác ABC vuông tại A đường cao AH. Trên cạnh BC lấy điểm M sao cho CM = MA. Trên cạnh AB lấy điểm N sao cho AN = AH. Chứng minh: a. C· AM C· MA b. C· MAva M· AN phụ nhau c. AM là tia phân giác của góc BAH. d. MN  AB Lời giải I · · a.CAM CMA Kẻ tia phân giác của góc C cắt AM ở I M· CI ·ACM Xét AIC và MIC có CM = CA; CI chung M· CI ·ACM · · AIC MIC(CGC) CAM CMA ( hai góc tương ứng) b. C· MAva M· AN phụ nhau M· AC M· AN 900 C· AM C· MA C· MA M· AN 900 c. AM là tia phân giác của góc BAH. M· AH ·AMC 900 C· MA M· AN 900 (CMT ) M· AH M· AN AM là tia phân giác của góc BAH. . d. MN  AB Xét AMN và AMH có: AM chung M· AH M· AN AN = AH
18. AMN AMH (cgc) ·AMN ·AMH ·AMH 900 ·AMN 900 MN  AB Bài 23: Cho góc xOy với điểm I là điểm nằm trên tia phân giác Oz . Lấy A thuộc Ox và B thuộc Oy sao cho OA OB . a) Chứng minh: VAOI VBOI . b) Đoạn thẳng AB cắt Oz tại H . Chứng minh: VAIH VBIH . c) Chứng minh các tam giác AIH và BIH đều là các tam giác vuông. Lời giải y z B I H O A x a) Xét VAOI và VBOI ta có: OA OB(gt) ·AOI B· OI (do OI là phân giác của B· OA ) OI cạnh chung VAOI VBOI (c g c) (đpcm). ·AIH B· IH b) Ta có: VAOI VBOI (cmt) (yếu tố tương ứng). BI AI Xét VAIH và VBIH ta có: IH cạnh chung · · AIH BIH (cmt) BI AI VAIH VBIH (c g c) (đpcm) c) Ta có: VAIH VBIH (cmt) ·AHI B· HI (cặp góc tương ứng) Mà ·AHI B· HI 180 (hai góc kề bù) 180 ·AHI B· HI 90 VAIH, VBIH vuông tại H (đpcm) 2 Bài 24: Cho tam giác ABC có B· AC 120 . Đường phân giác AD (D thuộc cạnh BC ). Vẽ DE vuông góc với AB , vẽ DF vuông góc với AC . a) Chứng minh DE DF; E· DF 60 . b) Lấy K nằm giữa E và B , I nằm giữa F và C sao cho EK FI . Chứng minh rằng: DK DI . c) Từ C kẻ đường thẳng song song với AD cắt AB tại M . Tính các góc của tam giác AMC .
19. d) Tính DF biết AD 4cm . Lời giải B K D E A C F J I M a) Ta có: DE  AB tại E D· EA 900 VDEA vuông tại E . DF  AC tại F D· FA 900 VDFA vuông tại F . Xét VDEA vuông tại E và VDFA vuông tại F ta có: E· AD F· AD (do AD là tia phân giác của E· AF ) DA cạnh chung VDAE VDAF (ch gn) 1 DE DF (cặp cạnh tương ứng) và ·ADE ·ADF; E· AD F· AD .1200 600 (cặp góc 2 tương ứng) Mà VDEA vuông tại E và VDFA vuông tại F nên ·ADE ·ADF 300 E· DF 600 b) Xét VDEK và VDIF ta có: EK FI(gt) D· EK D· FI 900 DE DF(cmt) VDEK VDFI(c g c) DK DI (cặp cạnh tương ứng) (đpcm) c) Ta có: M· AC C· AB 1800 (hai góc kề bù) M· AC 600 1 Do AD PMC (gt) M· CA D· AC .1200 600 (hai góc so le trong) 2 Áp dụng định lí tổng ba góc trong VAMC C· MA 1800 600 600 600 d) Trên tia đối của tia FA , lấy điểm J sao cho AJ AF F là trung điểm của AJ . - Xét AFD và JFD , ta có: Cạnh FD chung ·AFD J· FD 90 AF AJ Suy ra: AFD JFD (c-g-c).
20. AD AJ (hai cạnh tương ứng) ADJ cân tại A . Mà: ·ADJ 60 (theo chứng minh ý a). Do đó ADJ là tam giác đều. AJ AD 4cm AJ 4 Lại có: F là trung điểm của AJ nên: AF 2 cm. 2 2 Bài 25*: Cho tam giác ABC (AB = BC), có ·ABC 800 . Trong tam giác lấy điểm I sao I·AC 100 ; ·ACI 300 . Vẽ phân giác góc BAI cắt CI tại K. a) Tính ·AIB và I·CB b) Tính K· AC và K· CA c) Tính B· KC Giải: B K I A C a) +) B· AI 400 B· AK K· AI 200 1800 ·ABC +) ·ACB B· AC 500 2 K· AI 300 AKC cân tại K ·AKC 1200 +) BK là đường trung trực của AC BK đồng thời là tia phân giác ·ABC ·ABK 400 , B· AK 200 , B· KA 1200 BAK IAK(g c g) BA IA (2 cạnh tương ứng) ABI cân tại A 1800 B· AI ·ABI ·AIB 700 2 +) I·CB B· CA B· CI 500 300 200 b) K· AC 300 ; K· CA 300 c) +) BKA BKC(c g c) B· KA B· KC 1200 . Bài 26*: Cho tam giác ABC ( µA 900 ). Vẽ ngoài tam giác ABC các tam giác vuông đỉnh A là tam giác MAB và tam giác NAC sao cho AM = AB, AN = AC. a) Chứng minh MC = NB. b) Chứng minh MC và NB vuông góc với nhau. Giải:
21. N M A I B C a)Chứng minh: M· AC B· AN MAC BAN(c g c) MC BN (2 cạnh tương ứng) b) Gọi giao điểm của MC và BN là I Có: ·AMC ·ABN(do MAC BAN) Xét AMB vuông tại A có: ·AMB ·ABM 900 ·AMI I·MB M· BA 900 ·ABI I·MB M· BA 900 M· BI I·MB 900 Xét MBI có: M· BI I·MB 900 (cmt) M· IB 900 MI  BI MC  BN (đpcm). Bài 27*: Cho tam giác ABC có AB = AC. Gọi M là trung điểm của AB. Vẽ điểm D sao cho B là trung điểm của AD. Chứng minh rằng: CD = 2 CM. Giải: E A M C B D +)Qua A kẻ 1 đường thẳng song song với BC và cắt CM tại E. +) Chứng minh: EMA CMB(g c g) EC 2CM (1) +) Chứng minh: EMB CMA (c-g-c) EB = CA E· BC D· BC EBC DBC(c g c) EC DC (2) Từ (1) và (2) DC 2CM (đpcm)
22. x 1 Bài 28: Cho A Tìm số nguyên x để A có giá trị là một số nguyên x 3 Lời giải Điều kiện xác định: x 0; x 9 x 1 4 A 1 x 3 x 3 Vì x ¢ nên A Z x 3 là ước của 4 x 3 1; 1;2; 2;4; 4 Ta có bảng sau: x 3 1 1 2 2 4 4 x 4 2 5 1 7 1 (loại) x 16 4 25 1 49 A 5 3 3 1 2 Kết luận: Giá trị x cần là x 1;4;16;25;49 . Bài 29: Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức sau: 2 2 1 x 8 1 a) A 5 3 2x 1 . b) B . c) C . d) D . 2 x 1 2 3 x2 2 x 3 Lời giải: a) A 5 3 2x 1 2 . Ta có: 2x 1 2 0 3 2x 1 2 0 5 3 2x 1 2 A 5 (với mọi x ). 1 A 5 2x 1 0 x . 2 1 Vậy giá trị lớn nhất của A là 5 khi x . 2 1 b) B . 2 x 1 2 3 2 1 1 1 Ta có: 2 x 1 3 3 P (với mọi x ). 2 x 1 2 3 3 3 1 2 B x 1 0 x 1. 3 1 Vậy giá trị lớn nhất của B là khi x 1 . 3 x2 8 6 c) C 1 x2 2 x2 2 6 6 6 Ta có: x2 2 2 3 1 4 (với mọi x ). x2 2 2 x2 2 Suy ra:C 4 . C 4 x2 2 0 x 0 . Vậy giá trị lớn nhất của C là 4 khi x 0 . 1 d) D x 3
23. Điều kiện: x 0 . Ta có: x 0 ( với mọi x 0 ). 1 1 1 Suy ra: x 3 3 D ( với mọi x 0 ). x 3 3 3 1 D x 0 x 0 . 3 1 Vậy giá trị lớn nhất của D là khi x 0 . 3 Bài 30: Tìm các giá trị nguyên của x để các biểu thức sau có giá trị nhỏ nhất: 1 7 x 5x 19 a) A . b) B . c) C . x 3 x 5 x 4 Lời giải 1 a) A . x 3 Điều kiện: x 3 . Ta xét hai trường hợp: + Trường hợp 1: x 3 thì x 3 0 mà 1 0 nênA 0 . (1) 1 + Trường hợp 2: x 3 thì x 3 0 mà 1 0 nên A 0 x 3 1 Khi đó: A nhỏ nhất khi số đối của A lớn nhất hay: lớn nhất 3 x 3 x nhỏ nhất (do tử là một hằng số dương). Vì x 3 , nên 3 x 0 mà x Z nên 3 x nhỏ nhất khi 3 x 1 hay x 2 . 1 Khi đó: A 1 . (2) 2 3 Từ (1) và (2) suy ra: giá trị nhỏ nhất của A là 1 tại x 2 . 7 x x 5 2 2 b) B 1 . Điều kiện: x 5 . x 5 x 5 x 5 2 B có giá trị nhỏ nhất khi có giá trị nhỏ nhất. Ta xét hai trường hợp: x 5 2 + Trường hợp 1: x 5 thì x 5 0 mà 2 0 nên 0 . Khi đó: B 1 . (3) x 5 2 + Trường hợp 2: x 5 thì x 5 0 mà 2 0 nên 0 x 5 2 2 Khi đó: nhỏ nhất khi số đối của nó lớn nhất hay: lớn nhất. x 5 5 x 5 x nhỏ nhất (do tử là một hằng số dương). Vì x 5 , nên 5 x 0 mà x Z nên 5 x nhỏ nhất khi 5 x 1 hay x 4 . 2 Khi đó: B 1 3 . (4) 4 5 Từ (3) và (4) suy ra: giá trị nhỏ nhất của B là 3 tại x 4 . 5x 19 5 x 4 1 1 c) C 5 . Điều kiện: x 4 . x 4 x 4 x 4
24. 1 C có giá trị nhỏ nhất khi có giá trị nhỏ nhất. Ta xét hai trường hợp: x 4 1 + Trường hợp 1: x 4 thì x 4 0 mà 1 0 nên 0 . Khi đó: C 5 (5) x 4 1 + Trường hợp 2: x 4 thì x 4 0 mà 1 0 nên 0 x 4 1 1 Khi đó: nhỏ nhất khi số đối của nó lớn nhất hay: lớn nhất x 4 4 x 4 x nhỏ nhất (do tử là một hằng số dương). Vì x 4 , nên 4 x 0 mà x Z nên 4 x nhỏ nhất khi 4 x 1 hay x 3 . 1 Khi đó: C 5 4 . (6) 3 4 Từ (5) và (6) suy ra: giá trị nhỏ nhất của B là 4 tại x 3 . a b c Bài 31: Cho ba số a,b,c khác0 và a b c 0 , thỏa mãn điều kiện: b c a c a b b c a c a b Tính giá trị biểu thức P a b c Lời giải Cách 1: a b a2 ac b2 bc a2 b2 c a b a b a b c a b 0 b c a c a b 0 a b a b c 0 loai Chứng minh tương tự ta có: a c Vậy ta có P 2 2 2 6 Cách 2: Cộng thêm 1 vào mỗi tỉ số đã cho ta có: a b c 1 1 1 b c a c a b a b c a b c a b c b c a c a b Vì a b c 0 , nên suy ra: b c a c a b a b c . 2a 2a 2a Do đó: P 6 . a a a