Chuyên đề về Số nguyên tố - Hợp số

Nội dung text: Chuyên đề về Số nguyên tố - Hợp số

1. CHUYÊN ĐỀ VỀ SỐ NGUYÊN TỐ - HỢP SỐ A/ LÝ THUYẾT CƠ BẢN: 1. Định nghĩa: * Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 1, chỉ có hai ước là 1 và chính nó. * Hợp số là số tự nhiên lớn hơn 1, có nhiều hơn hai ước. 2. Tính chất: * Nếu số nguyên tố p chia hết cho số nguyên tố q thì p = q. * Nếu tích abc chia hết cho số nguyên tố p thì ít nhất một thừa số của tích abc chia hết cho số nguyên tố p. * Nếu a và b không chia hết cho số nguyên tố p thì tích ab không chia hết cho số nguyên tố p . 3. Cách nhận biết một số nguyên tố: A) Chia số đó lần lượt cho các số nguyên tố đã biết từ nhỏ đến lớn. - Nếu có một phép chia hết thì số đó không phải là số nguyên tố. - Nếu chia cho đến lúc số thương nhỏ hơn số chia mà các phép chia vẫn còn số dư thì số đó là số nguyên tố. B) Một số có 2 ước số lớn hơn 1 thì số đó không phải là số nguyên tố. 4. Phân tích một số ra thừa số nguyên tố: * Phân tích một số tự nhiên lớn hơn 1 ra thừa số nguyên tố là viết số đó dưới dạng một tích các thừa số nguyên tố. - Dạng phân tích ra thừa số nguyên tố của mỗi số nguyên tố là chính số đó. - Mọi hợp số đều phân tích được ra thừa số nguyên tố. 5. Số nguyên tố cùng nhau: * Hai số nguyên tố cùng nhau là hai số có ƯCLN bằng 1. Hai số a và b nguyên tố cùng nhau ƯCLN(a, b) = 1. Các số a, b, c nguyên tố cùng nhau ƯCLN(a, b, c) = 1. Các số a, b, c đôi một nguyên tố cùng nhau ƯCLN(a, b) = ƯCLN(b, c) = ƯCLN(c, a) =1. Số nguyên tố được được nghiên cứu từ nhiều thế kỉ trước công nguyên nhưng cho đến nay nhiều bài tóan về số nguyên tố vẫn chưa được giải quyết trọn vẹn B/ Các dạng bài tập về số nguyên tố: 1/ Chứng minh một biểu thức luôn là số nguyên tố: Bài tập 1:Cho số tự nhiên n > 2. CMR:các số n!–1 có ít nhất một ước nguyên tố lớn hơn n. Giải : Gọi a = n! – 1 . Do n > 2 nêm a>1.Mội số tự nhiên lớn hơn 1 đều có ít nhất một ước nguyên tố .Gọi p là ước nguyên tố của a.Tia sẽ chứng minh rằng p >n. Thật vậy giả sử p < n thì tích 1.2.3 n chia hết cho p, ta có n ! chia hết cho p , mà a chia hết cho p nên 1 chia hết chi p, vô lí . Bài tập 2:Chứng minh rằng tồn tại vô số số tự nhiên n sao cho n 2= x2+p trong đó p là số nguyên tố và x là số tự nhiên. Giải: Lấy n=3k+2 (k tự nhiên). Từ dẳng thức n2 =x2+p Suy ra p =n2 –x2 =(n-x)(n+x)
2. Vì p nguyên tố và n>x nên n-x=1 và n+x=p . Từ đó p=2n-1 =3(2k+1), điều không thể xảy ra. Vậy số có dạng 3k+2 (có vô số như thế ) không thể biểu diễn dưới dạng x2 +p Bài tập 3:CMR khi chia một số nguyên tố cho 30 thi số dư cũng là số nguyên tố. Chỉ dẫn :- Chứng minh rằng số dư này không chia hết cho 2, 3, 5 . 2/ Với một số nguyên tố, chứng minh đẳng thức, biểu thức thỏa mãn điều kiện nào đó: Bài tập 4 Chứng minh rằng nếu số 2n+1 là số nguyên tố thì n=2m. Giải: Giả sử n=2m.thế thì nó có thể viết dưới dạng n=tk,trong đó k là số lẻ nào đó n>1.suy ra: 2n+1=2tk+1=(2t+1)(2t(k-1)- 2t(k-2)+ -2t+1)là hợp số.vậy đều giả sử là sai vì 2n+1 theo đề bài là số nguyên tố. 3/ Tìm giá trị tham số để biểu thức là số nguyên tố: Bài tập 5:Tìm số tự nhiên p sao cho p và p+3 đều là số nguyên tố. Giải: Một số tự nhiên bấy kì có 1 trong hai dạng: 2n; 2n+1 nÎN Nếu p= 2n+1 thì p+3 =2n + 4 :2 Ta có p+3 >3 và p+3 :2 Nên p+3 là hợp số trái đề bài. Do đó p=2n Nhưng p nguyên tố nên p= 2 P+3 =5 nguyên tố. Vậy:p=2 Bài tập 6:Tìm số nguyên tố p sao cho p+4 va p+8 đều là số nguyên tố Giải: Bất kì số tự nhiên nao cũng có một trong ba dạng: 3n; 3n +1;3n+2 ;nÎN Nếu p=3n thì p+8 =3n+9 :3 , vô lí. Nếu p=3n+2 thì p+4= 3n +6, vô lí. Do đó p=3n Nhưng p nguyên tố nên p = 3 P+4=7;p+8=11, nguyên tố Vậy p=3 Bài tập 7: Chứng tỏ rằng nếu p=a+ b là một số nguyên tố thì a và b là hai số nguyên tố cùng nhau. Giải: Giả sử a và b là hai số không nguyên tố cùng nhau. Ta suy ra a và b phải có ít nhất một USC d >1. A:d ; b:d Do đó : a+b :d Suy ra p:d Số tự nhiên p, ngoài 1và p còn có một ƯSC d >1 nên p là một hợp số, trái với dề bài đã cho. Vậy a và b là nguyên tố cùng nhau nếu p = a + b là một số nguyên tố. Bài tập 8:Cho a và b là hai số nguyên tố cùng nhau. Chứng minh rằng ab và a+b nguyên tố cùng nhau. Giải: Giả sử ab và a+b không nguyên tố cùng nhau. Ta suy ra ab và a+b có một ƯSC nguyên tố d Ab:d ; a+b:d
3. Vì ab:d, d nguyên tố nên hoặc a :d hoặc b: d Nếu a:d Mà a+b :d nên ra b:d Suy ra a và b có một USC nguyên tố d, vô lí vì(a,b )=1 Tương tự b:d Vậy ab và a+b nguyên tố cùng nhau nếu a và b nguyên tố cùng nhau. 4/ Cách xác định số lượng ước của một số: 1.Nếu số M phân tích ra thừa số nguyên tố được m=ax.by cz thì số lượng các ước của M là: (x+1)(y+1) (z+1). 2- Khi phân tích ra thừa số nguyên tố,số chính phương chỉ chứa các thừa số nguyên tố với số mũ chẵn.Từ đó suy ra: Số chính phương chia hết cho 2 thì chia hết cho 22 Số chính phương chia hết cho 23 thì chia hết cho 24 Số chính phương chia hết cho 3 thì chia hết cho 32 Số chính phương chia hết cho 33 thì chia hết cho 34 Số chính phương chia hết cho 5 thì chia hết cho 52 3-Tính chất chia hết liên quan đến số nguyên tố: Nếu tích ab chia hết cho số nguyên tố p thì hoặc a:p hoăc b:p Bài tập 9:Tìm hai số nguyên tố biết tổng của chúng là 601 Giải: Tổng của hai số nguyên tố là 601,là một số lẻ nên một trong hai sốphải là số nguyên tố chẵn,đó là số 2.Số thứ 2 là:601-2=599(tra bảng thấy 599 là số nguyên tố) Bài tập 10: Cho A=5+5.2+5.3+ +5.100 A/SốA là số nguyên tố hay hợp số? B/Số A có phải là số chính phương không? Giải A/A>5;A:5(vì mỗi hạng tử đều chia hết cho 5) nên A là hợp số. B/52:25 nên53:25, ,5100:25 Nhưng 5/25 nên A/25 Số A:5 nhưngA/25 nên A không phải là số chính phương Bài tập 11: Số 54 có bao nhiêu ước?Viết tất cả các ước của nó Giải: 54=2.33 Số ước của 54 là(1+1)(3+1)=8 ước 5/ Một số bài toán tổng hợp: Bài tập12: Chứng minh rằng phân số , n Î N là một phân số tối giản. Giải: Ta có thể viết: 2n+5= (n+2) +(n+3) N2 +5n +6 = (n+2) +(n+3) (N+2) và (n+3) là hai số tự nhiên liên tiếp nên nguyên tố cùng nhau. Theo bài 55, ta suy ra tổng của chúng: 2n+5= (n+2) +(n+3) và tích của chúng n2 +5n +6 = (n+2) +(n+3) Là hai số nguyên tố cùng nhau. Do đó phân số tối giản. Bài 13: Ta biết rằng có 25 số nguyên tố nhỏ hơn 100. Tổng của 25 số nguyên tố là số chẵn hay số lẻ.
4. HD:Trong 25 số nguyên tố nhỏ hơn 100 có chứa một số nguyên tố chẵn duy nhất là 2, còn 24 số nguyên tố còn lại là số lẻ. Do đó tổng của 25 số nguyên tố là số chẵn. Bài 14: Tổng của 3 số nguyên tố bằng 1012. Tìm số nguyên tố nhỏ nhất trong ba số nguyên tố đó. HD:Vì tổng của 3 số nguyên tố bằng 1012, nên trong 3 số nguyên tố đó tồn tại ít nhất một số nguyên tố chẵn. Mà số nguyên tố chẵn duy nhất là 2 và là số nguyên tố nhỏ nhất. Vậy số nguyên tố nhỏ nhất trong 3 số nguyên tố đó là 2. Bài 15: Tổng của 2 số nguyên tố có thể bằng 2003 hay không? Vì sao? HD:Vì tổng của 2 số nguyên tố bằng 2003, nên trong 2 số nguyên tố đó tồn tại 1 số nguyên tố chẵn. Mà số nguyên tố chẵn duy nhất là 2. Do đó số nguyên tố còn lại là 2001. Do 2001 chia hết cho 3 và 2001 > 3. Suy ra 2001 không phải là số nguyên tố. Bài 16: Tìm số nguyên tố p, sao cho p + 2 và p + 4 cũng là các số nguyên tố. HD:Giả sử p là số nguyên tố. - Nếu p = 2 thì p + 2 = 4 và p + 4 = 6 đều không phải là số nguyên tố. - Nếu p 3 thì số nguyên tố p có 1 trong 3 dạng: 3k, 3k + 1, 3k + 2 với k N*. +) Nếu p = 3k p = 3 p + 2 = 5 và p + 4 = 7 đều là các số nguyên tố. +) Nếu p = 3k +1 thì p + 2 = 3k + 3 = 3(k + 1) p + 2 3 và p + 2 > 3. Do đó P + 2 là hợp số. +) Nếu p = 3k + 2 thì p + 4 = 3k + 6 = 3(k + 2) p + 4 3 và p + 4 > 3. Do đó P + 4 là hợp số. Vậy với p = 3 thì p + 2 và p + 4 cũng là các số nguyên tố. Bài 17: Cho p và p + 4 là các số nguyên tố (p > 3). Chứng minh rằng p + 8 là hợp số. HD:Vì p là số nguyên tố và p > 3, nên số nguyên tố p có 1 trong 2 dạng: 3k + 1, 3k + 2 với k N*. - Nếu p = 3k + 2 thì p + 4 = 3k + 6 = 3(k + 2) p + 4 3 và p + 4 > 3. Do đó P + 4 là hợp số ( Trái với đề bài p + 4 là số nguyên tố). - Nếu p = 3k + 1 thì p + 8 = 3k + 9 = 3(k + 3) p + 8 3 và p + 8 > 3. Do đó P + 8 là hợp số. Vậy số nguyên tố p có dạng: p = 3k + 1 thì p + 8 là hợp số. 6/ Bài tập tự luyện: Bài 1: Tìm số nguyên tố p sao cho các số sau cũng là số nguyên tố: A) p + 2 và p + 10. B) p + 10 và p + 20. C) p + 10 và p + 14. D) p + 14 và p + 20. E) p + 2và p + 8. F) p + 2 và p + 14. G) p + 4 và p + 10. H) p + 8 và p + 10. Bài 2: Tìm số nguyên tố p sao cho các số sau cũng là số nguyên tố: A) p + 2, p + 8, p + 12, p + 14.
5. B) p + 2, p + 6, p + 8, p + 14. C) p + 6, p + 8, p + 12, p + 14. D) p + 2, p + 6, p + 8, p + 12, p + 14. E) p + 6, p + 12, p + 18, p + 24. F) p + 18, p + 24, p + 26, p + 32. G) p + 4, p + 6, p + 10, p + 12, p+16. Bài 3: A) Cho p và p + 4 là các số nguyên tố (p > 3). Chứng minh rằng: p + 8 là hợp số. B) Cho p và 2p + 1 là các số nguyên tố (p > 3). Chứng minh rằng: 4p + 1 là hợp số. C) Cho p và 10p + 1 là các số nguyên tố (p > 3). Chứng minh rằng: 5p + 1 là hợp số. D) Cho p và p + 8 là các số nguyên tố (p > 3). Chứng minh rằng: p + 4 là hợp số. E) Cho p và 4p + 1 là các số nguyên tố (p > 3). Chứng minh rằng: 2p + 1 là hợp số. F) Cho p và 5p + 1 là các số nguyên tố (p > 3). Chứng minh rằng: 10p + 1 là hợp số. G) Cho p và 8p + 1 là các số nguyên tố (p > 3). Chứng minh rằng: 8p - 1 là hợp số. H) Cho p và 8p - 1 là các số nguyên tố (p > 3). Chứng minh rằng: 8p + 1 là hợp số. I) Cho p và 8p2 - 1 là các số nguyên tố (p > 3). Chứng minh rằng: 8p 2 + 1 là hợp số. J) Cho p và 8p2 + 1 là các số nguyên tố (p > 3). Chứng minh rằng: 8p 2 - 1 là hợp số. Bài 4: Chứng minh rằng: A) Nếu p và q là hai số nguyên tố lớn hơn 3 thì p2 – q2 24. B) Nếu a, a + k, a + 2k (a, k N*) là các số nguyên tố lớn hơn 3 thì k 6. Bài 5: A) Một số nguyên tố chia cho 42 có số dư r là hợp số. Tìm số dư r. B) Một số nguyên tố chia cho 30 có số dư r. Tìm số dư r biết rằng r không là số nguyên tố. Bài 6: Hai số nguyên tố gọi là sinh đôi nếu chúng là hai số nguyên tố lẻ liên tiếp. Chứng minh rằng một số tự nhiên lớn hơn 3 nằm giữa hai số nguyên tố sinh đôi thì chia hết cho 6. Bài 7: Cho 3 số nguyên tố lớn hơn 3, trong đó số sau lớn hơn số trước là d đơn vị. Chứng minh rằng d chia hết cho 6.