Chuyên đề Tọa độ phẳng

Nội dung text: Chuyên đề Tọa độ phẳng

1. CHUYÊN ĐỀ 1 TỌA ĐỘ PHẲNG Trong các bài toán về tọa độ trong mặt phẳng thường gặp các yêu cầu như tìm tọa độ một điểm, một vectơ, tính độ dài một đoạn thẳng, số đo góc giữa hai vectơ, quan hệ cùng phương hoặc vuông góc giữa hai vectơ, 3 điểm thẳng hàng. Ta vận dụng các kiến thức cơ bản sau đây: G G Cho a = (a,1 a2 ), b = (b,1 b2 ) ta có: G G ⎧a1 = b1 a = b ⇔ ⎨ ⎩a2 = b2 G G a + b = ( a1 + b1 , a2 + b2 ) G G a – b = ( a1 - b1 , a2 - b2 ) G ka = (ka1 , k a2 ) (k ∈ R) G G α a + β b = (α a1 + β b1 , α a2 + β b2 ) G G a . b = a1 b1 + a2 b2 . Với các quan hệ về độ dài ta có: G G 22 a = ( a1 , a2 ) ⇒ a = a1 + a2 ⎪⎧A ()x,AA y JJJG ⎨ ⇒ AB = ( xB –xA , yB – y A ) ⎩⎪Bx,()BB y 22 và AB = ()xBA - x + ( y BA - y ) . Với quan hệ cùng phương hoặc vuông góc ta có: G G a ⊥ b ⇔ a1 b1 + a2 b2 = 0 G G G G a cùng phương b ⇔ sin( a, b) = 0 ⇔ a1 b2 – a2 b1 = 0 a1 a2 ⇔ = (b1 , b2 ≠ 0) b1 b2 JJJG JJJG A, B, C thẳng hàng ⇔ AB cùng phương AC
2. x - x y - y ⇔ BABA = 0 xCACA - x y - y . Với việc tìm góc của hai vectơ ta có: G G - Góc hình học tạo bởi hai vectơ a, b được suy từ công thức: G Gn ab11 + ab2 2 cos( a, b ) = G G (1) a.b G G - Số đo góc định hướng của hai vectơ a , b ngoài (1) còn được suy thêm từ một trong hai công thức: G G a12 b - a2 b 1 sin( a, b) = G G a.b G G a b - a b tg( a, b) = 122 1 ab11 + ab2 2 Ngoài ra trong các bài toán về tọa độ phẳng ta có thể áp dụng các kết quả sau đây: . M( xM , yM ) là trung điểm của đoạn thẳng AB ⎧ x + x x = AB ⎪ M 2 ⇔ ⎨ y + y ⎪y = AB ⎩⎪ M 2 . G( xG , yG ) là trọng tâm của Δ ABC ⎧ x + x + x x = ABC ⎪ G 3 ⇔ ⎨ y + y + y ⎪y = ABC ⎩⎪ G 3 . I( xI , yI ) và J( xJ , yJ ) là chân đường phân giác trong và ngoài của góc A trong Δ ABC thì: JJG JJJG IB JB AB JJG = − JJJG = − IC JC AC . Với A(xA , y A ), B( xB , yB ), C( xC , yC ) thì diện tích tam giác ABC là: 1 x - x y - y S = Δ với Δ = BABA 2 xCACA - x y - y Ví dụ 1:
3. Trong mặt phẳng Oxy cho ba điểm A(2, –1), B(0, 3), C(4, 2). a) Tìm tọa độ điểm D đối xứng với A qua B. JJJJG JJJJG JJJJG G b) Tìm tọa độ điểm M để 2 AM + 3 BM - 4CM = 0 c) Tìm tọa độ điểm E để ABCE là hình thang có một cạnh đáy là AB và E nằm trên Ox. d) Tìm tọa độ trực tâm H, trọng tâm G và tâm I đường tròn ngoại tiếp Δ ABC. e) Chứng tỏ H, G, I thẳng hàng. Giải a) D là điểm đối xứng của A qua B ⇔ B là trung điểm của AD ⎧ x + x x = AD ⎪ B 2 ⇔ ⎨ y + y ⎪y = AD ⎩⎪ B 2 ⎪⎧xDBA = 2x−− x = 2() 0 2 =− 2 ⇔ ⎨ hay D(–2, 7) ⎩⎪yDBA = 2y− y = 2() 3 + 1 = 7 JJJJG JJJJG JJJJG G b) Ta có: 2 AM + 3 BM – 4 CM = 0 = ( 0, 0 ) ⎪⎧2x()()MMM−−−− 2 + 3x 0 4x( 4) = 0 ⇔ ⎨ ⎩⎪2()()() yMMM + 1 + 3 y−− 3 4 y − 2 = 0 ⎧xM =12− ⇔ ⎨ hay M(–12, –1) ⎩yM =1− c) ABCE là hình thang có đáy AB và E nằm trên Ox. ⎧yE = 0 ⎪⎧yE = 0 ⎪ ⇔ ⎨JJJG JJJG ⇔ ⎨x - 4 y - 2 ⎪CE // ΑΒ EE = ⎩ ⎩⎪ 0 - 2 3 + 1 ⎧yE = 0 ⇔ ⎨ hay E(5, 0) ⎩xE = 5 d) H là trực tâm của Δ ABC JJJJGJJJG ⎧AH ⊥ BC ⎪⎧AH.BC = 0 ⇔ ⎨ ⇔ ⎨JJJJGJJJG ⎩BH ⊥ AC ⎩⎪BH.AC = 0
4. ⎪⎧()()()x2HH−−++−=412 0 y ( 30) ⇔ ⎨ ⎩⎪()()()()x0HH−−+−+=42 y 321 0 ⎧ 18 = ⎪xH ⎧49xyHH−−=0⎪ 7 ⎛⎞18 9 ⇔ ⎨ ⇔ ⎨ hay H⎜⎟, 239xy+−=0 9 ⎝⎠7 7 ⎩ HH ⎪y = ⎩⎪ H 7 G là trọng tâm Δ ABC ta có: ⎧ xxx++ 204++ x ==ABC =2 ⎪ G 33 ⎛⎞4 ⎨ hay G⎜⎟2, yyy++ −+132 + 4 ⎝⎠3 ⎪y ==ABC = ⎩⎪ G 333 + I là tâm đường tròn ngoại tiếp Δ ABC ⎪⎧IA22= IB ⇔ IA = IB = IC ⇔ ⎨ 22 ⎩⎪IA= IC ⎧ 2222 ⎪()()()(2103−+−−=−+−xyxIIIyI) ⇔ ⎨ 2222 ⎩⎪()()()(2142−+−−=−+−xyxIIIyI) ⎧−+484xyII −=0 ⇔ ⎨ ⎩4615xyII+−=0 ⎧ 24 12 x == ⎪ I 14 7 ⎛⎞12 19 ⇔ ⎨ hay I⎜⎟, 19 ⎝⎠714 ⎪y = ⎩⎪ I 14 JJJJG ⎛⎞41 JJJG ⎛⎞61 e) Ta có : HG = ⎜⎟− , và HI = ⎜⎟− , ⎝⎠721 ⎝⎠714 4 1 − 2 ⇒ 7 = 21 = 6 1 − 3 7 14 JJJJG JJJG ⇒ HG cùng phương với HI ⇒ H, I, G thẳng hàng. Ví dụ 2: Trong mặt phẳng Oxy cho A(2, 2 3 ), B(1, 3 3 ), C (-1, 3 ) . Tính
5. JJJG JJJG cos ( AO , AB ) và diện tích tam giác ABC. Giải JJJG JJJG Ta có: AO = (–2, –2 3 ), AB = (–1, 3 ) = ( a1;a2 ) JJJG JJJG 26− 1 cos( AO , AB ) = = − 41213+ . + 2 JJJG AC = (–3, – 3 ) = = ( b1; b2 ) 1 1 ⇒ Saba=−b = ()()−13−−− 33 () = 2 3 ABC 2 12 21 2 * * *