Chuyên đề Tính chất cơ bản của phân số - Rút gọn phân số

Nội dung text: Chuyên đề Tính chất cơ bản của phân số - Rút gọn phân số

1. CHUYÊN ĐỀ: TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA PHÂN SỐ - RÚT GỌN PHÂN SỐ. I. Lý thuyết: - Phân số có dạng a/b trong đó b là những số nguyên, b ≠ 0 gọi là phân số. - Hai phân số = khi ad = bc. - Nếu nhân hoặc chia cả tử và mẫu của một phân số với một số khác 0 thì được một phân số mới bằng phân số ban đầu. - Mỗi phân số có vô số phân số bằng nó. - Muốn rút gọn phân số, ta chia cả tử và mẫu của phân số cho cùng môt ước chung khác 1 và -1. - Phân số tối giản là phân số mà cả tử và mẫu số chỉ có ước chung là 1 và -1. II. Bài tập cơ bản: Dạng 1: Tìm tử hoặc mẫu số của phân số bằng nhau. Bài 1. Tìm x, y, z: ―12 2 11 ―3 ―18 ― . = . = . = = = 5 20 ―66 6 ―2 24 Bài 2. Tìm các số nguyên x và y biết: < 0 < và: ―2 = 3 Bài 3. Tìm các số nguyên x và y biết ― = 4 và: ― 3 3 = ― 2 2 21 Bài 4: Viết dạng chung của tất cả các phân số bằng phân số 28 Dạng 2: Tìm điều kiện của phân số. 3 Bài 1. Cho biểu thức: = 푛 + 2 với n là số nguyên. a. Điều kiện gì của n để A là phân số. b. Tìm A biết n = 0; n = 2; n = 7. c. Tìm n để A là số nguyên. 6 Bài 2. Cho phân số = 푛 ― 3. Tìm số tự nhiên n để: 1 a. A = 3. b. A = 1 c. = 2 Bài 3. Tìm các số tự nhiên n sao cho các phân số sau có giá trị nguyên: n + 4 n ― 2 6 n a. n b. 4 c. n ― 1 d. n ― 2 8 Bài 4. Tìm tất cả các phân số bằng phân số ―12 mà tử số a của phân số thỏa mãn ―4 ≤ < 17. 푛 + 1 Bài 5. Cho = 푛 ― 1. Với giá trị nào của n thì A là một số chẵn? Một số nguyên âm? Dạng 3: Tìm phân số thỏa mãn điều kiện cho trước: Bài 1. Cho A = { 0; 5; -7}. Viết tập hợp B các phân số mà cả tử và mẫu để thuộc tập hợp A. 13 Bài 2. Viết các phân số bằng phân số 17 mà cả tử và mẫu là các số nguyên có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn 100. ―33 Bài 3. a. Tìm phân số bằng phân số 57 biết rằng hiệu giữa tử số và mẫu số của phân số là -160. ―25 b. Tìm phân số bằng phân số 35 biết tổng cả tử và mẫu số của phân số là -6.
2. 12 Bài 4. Người ta thấy một số phân số có tính chất đặc biệt. Ví dụ như phân số , nếu đổi chỗ các chữ số ở tử 36 21 12 21 cũng như ở mẫu số thì ta được phân số và . Phân số 13 cũng có tính chất này. Tìm các phân số 63 36 = 63 26 khác cũng có tính chất như vậy. 23 Bài 5. Cộng cả tử và mẫu của phân số 40 với cùng một số tự nhiên n thì được một phân số bằng phân số 3 4. Tìm n. 푛 + 1 푛 + 13 Bài 6. Tìm số tự nhiên n để các phân số sau tối giản: = 푛 ― 3; = 푛 ― 2 . Bài 7. Cho hai tập hợp = {1, ― 2,4} và = { ―4, ― 3,0,8}. a. Viết tất cả các phân số mà tử số là một phần tử của A và mẫu số là một phần tử của B. b. Đưa các phân số trên về dạng có mẫu dương. c. Tìm các phân số bằng nhau trong các phân số trên. 5푛 + 6 Bài 8. Tìm các số tự nhiên n để phân số sau chưa tối giản: 6푛 + 5 Dạng 4: Chứng minh biểu thức phân số Bài 1. Cho hai phân số: = . Chứng minh rằng: + + ― ― a. b. = = + Bài 2. Cho ≠ và ≠ 0. Chứng minh rằng với mọi số ∈ 푍 và ≠ 0 ta không thể có: ≠ + . So sánh sự khác biệt khi: m 0 trong các trường hợp > 0 và < 0. 푛 Bài 3. Chứng minh rằng 푛 + 1 tối giản với mọi 푛 ∈ . + 푞 Bài 4. Cho phân số tối giản 푞. Chứng minh rằng phân số 푞 cũng tối giản. 12n + 1 21n + 4 Bài 5. Chứng tỏ rằng và với 푛 ∈ là phân số tối giản. 30n + 2 14n + 3 Dạng 5: Rút gọn phân số Bài 1. Rút gọn và so sánh các phân số sau: 34.23 ― 34.4 52.7 ― 52.2 = = 35.32 ― 35.5 53.7 ― 53.4 Bài 2. Rút gọn phân số sau: 2 + 푛 + + 푛 = 3 푛 ― 2 ― 푛 + 3 Bài 3. Tìm số tự nhiên n nhỏ nhất đê tất cả các phân số sau là phân số tối giản. 7 8 9 31 ; ; ; ; . 푛 + 9 푛 + 10 푛 + 11 푛 + 33
3. NÂNG CAO I. Tài liệu chuyên toán THCS. Bài 1: Tìm quy luật của dãy phân số sau và viết tiếp một phân số nữa theo quy luật ấy: 1 5 1 1 1 ; ; ; ; . 12 12 3 4 6 Bài 2: Tìm số tự nhiên n để các phân số sau đều là số nguyên: 15 12 6 ; ; . 푛 푛 + 2 2푛 ― 1 1 + 2 + 3 + . + 19 + 20 Bài 3: Cho phân số A = . Hãy xóa đi ở tử số và mẫu số của phân số trên một số để 6 + 7 + 8 + . + 35 + 36 được phân số mới bằng phân số ban đầu. 132 Bài 4: Tìm các số tự nhiên a và b, biết rằng BCNN (a,b) = 1092 và = 143. Bài 5: Tìm x: 7 10 + 3 40 + 6 . = . = . = 28 17 + 4 77 ― 7 3 3 3 Bài 6: Tìm các số tự nhiên a và b biêt rằng + = 1216 và phân số rút gọn được thành 5. Bài 7: Rút gọn các phân số sau: 10.11 + 50.55 + 70.77 1.3.5.7 .49 . . 11.12 + 55.60 + 77.84 26.27.28.29 .50 Bài 8: Tìm số nguyên n sao cho: 푛 + 3 푛 + 7 3푛 + 2 a. là số nguyên âm. b. là số nguyên. c. là số tự nhiên. 푛 ― 2 3푛 ― 1 4푛 ― 5 푛 ― 5 Bài 9: Chứng minh rằng là phân số tối giản với mọi số nguyên n. 3푛 ― 14 2푛 ― 1 Bài 10: Tìm số nguyên n để phân số rút gọn được. 3푛 + 2 Bài 11: Tìm số tự nhiên n nhỏ nhất để các phân số sau đều là các phân số tối giản: 푛 + 7 푛 + 8 푛 + 9 푛 + 10 푛 + 11 ; ; ; ; . 3 4 5 6 7 49 Bài 12: Tìm các số tự nhiên a và b biết rằng và ƯCLN (a,b) = 12. = 56 Bài 13: Tìm các số tự nhiên a, b, c, d nhỏ nhất sao cho: 5 21 6 = ; = ; = . 14 28 11 II. NCPT: 푛 + 10 Bài 1: Tìm số tự nhiên n để phân số A = có giá trị là một số nguyên. 2푛 ― 8 21푛 + 3 Bài 2: Tìm n để phân số A = rút gọn được. 6푛 + 4 Bài 3: Tìm các số tự nhiên a, b, c, d nhỏ nhất sao cho: 3 12 6 = ; = ; = . 5 21 11 Bài 4: Rút gọn: 1999 9 a. ( 100 chữ số 9 ở tử số, 100 chữ số 9 ở mẫu số) 999 95 121212 187187187 b. c. 424242 221221221
4. 3.7.13.37.39 ― 10101 d. 505050 + 70707 Bài 5: Chứng minh các phân số sau có giá trị là số tự nhiên: 102002 + 2 102003 + 8 a. b. 3 9 Bài 6: Chứng minh các phân số sau bằng nhau: 1717 171717 a. và 2929 292929 3210 ― 34 6420 ― 68 b. và 4170 ― 41 8340 ― 82 2016 4212 6318 c. ; và 7320 14640 21960 Bài 7: Tìm các số nguyên x và y biết rằng: 5 28 . = . = 3 35 Bài 8: Tìm các phân số có giá trị bằng: 36 a. 45 biết BCNN (a, b) = 300. 21 b. 35 biết ƯCLN (a, b) = 30. 15 c. 35 biết UCLN (a, b). BCNN (a, b) = 3549. Bài 9: Chứng minh rằng ba phân số sau tối giản với mọi số tự nhiên n. 푛 + 1 2푛 + 3 3푛 + 2 . . . 2푛 + 3 4푛 + 8 5푛 + 3 63 Bài 10: Cho phân số A = , 푛 ∈ . 3푛 + 1 a. Với giá trị nào của n thì A rút gọn được? b. Với giá trị nào của n thì A là số tự nhiên? Bài 11: Tìm các số tự nhiên n để các phân số sau là phân số tối giản: 2푛 + 3 3푛 + 2 2푛 + 7 . . . 4푛 + 1 7푛 + 1 5푛 + 2 Bài 12: Tìm số tự nhiên n để phân số sau có giá trị nguyên: 푛 + 3 2푛 ― 1 Bài 13: Tìm các số nguyên n sao cho các phân số sau có giá trị là số nguyên: 12 2푛 + 3 . . 3푛 ― 1 7 8푛 + 193 Bài 14: Cho phân số A = tìm số tự nhiên n để: 4푛 + 3 a. Có giá trị là số tự nhiên. b. Là phân số tối giản. c. Với giá trị nào của n trong khoảng 150 đến 170 thì phân số A rút gọn được. Bài 15: Tìm các phân số tối giản nhỏ hơn 1 có tử và mẫu đều dương, biết rằng tích của tử và mẫu của phân số bằng 120.
5. Bài 16: Tìm số tự nhiên n nhỏ nhất để các phân số sau đều là phân số tối giản: 5 6 7 17 ; ; ; ; . 푛 + 8 푛 + 9 푛 + 10 푛 + 20 15 49 36 Bài 17: Cho ba phân số . Biến đổi ba phân số trên thành các phân số bằng chúng sao cho mẫu của 42;56;51 phân số thứ nhất bằng tử của phân số thứ hai, mẫu của phân số thứ hai bằng tử số của phân số thứ ba. 1 Bài 18: Tìm các phân số lớn hơn 5 và khác số tự nhiên biết rằng nếu lấy mẫu nhân với một số, lấy tử cộng với số đó thì giá trị của phân số không thay đổi. Bài 19: Cho phân số: 23 + 22 + 21 + + 14 + 13 = 11 + 10 + 9 + + 2 + 1 Hãy xóa ở tử số một số hạng và xóa ở mẫu số một số hạng để được một phân số mới bằng phân số A. Bài 20: Bộ sử Hu – me Người Anh có thói quen xếp bổ sử nước Anh của Hu-me gồm chín tập ở tủ sách đặc biệt gồm hai ngăn: ngăn trên xếp 5 cuốn, ngăn dưới xếp 4 cuốn, ở gáy các cuốn sách có ghi các số 1, 2, 3, 4, , 9. Nếu chủ nhân xếp 1 3 4 5 8 ( phân số này có giá trị bằng 2) thì chứng tỏ chủ nhân đã đọc 2 tập ( riêng trường hợp mới đọc một 6 7 2 9 1 2 3 4 5 taaoj thì xếp ). Hãy nêu cách xếp chín cuốn sách đó để chứng tỏ chủ nhân của bộ sách đã đọc 3, 4, 5, 6 7 8 9 6, 7, 8, 9 cuốn. III. Toán bồi dưỡng: Câu 1: Tìm các phân số mà cả tử và mẫu là các số nguyên dương có một chữ số, tử số kém mẫu số 3 đơn vị và: a. 210 là bội chung của các tử số. b. 210 là bội chung của các mẫu số. c. 210 là bội chung của cả tử và mẫu số. 푛 + 19 Câu 2: Tìm tất cả các số nguyên n để phân số tối giản. 푛 ― 2 5 + 17 Câu 3: Tìm số tự nhiên a để phân số có giá trị lớn nhất. Giá trị ấy là bao nhiêu? 4 + 13 35 28 Câu 4: Cho hai phân số . Tìm phân số nhỏ nhất có cả tử số và mẫu số đều dương sao cho khi lấy phân 396;297 số ấy chia cho mỗi phân số trên đều được giá trị là một số tự nhiên. 2 49 Câu 5: a. Tìm các phân số có mẫu số là 11 thỏa mãn lớn hơn 11 và bé hơn 77. 2 3 b.Tìm một phân số có mẫu số là 5 thỏa mãn lớn hơn 7 và nhỏ hơn 7. Câu 6: Tính: 2.4 + 2.4.8 + 4.8.16 + 8.16.32 = 3.4 + 2.6.8 + 4.12.16 + 8.24.32 5 Câu 7: Tìm phân số có mẫu số lớn hơn tử số 3507 đơn vị. Sau khi rút gọn phân số ấy được kết quả là . 12 9 Câu 8: Tìm phân số có tổng cả tử số và mẫu số là 4120 biết sau khi rút gọn phân số ấy được kết quả là . 11
6. 3 Câu 9: Trong một ngày hội có 4 tổ học sinh tham gia. Nếu lấy 5 số học sinh của tổ thứ nhất chia đều cho ba tổ còn lại thì số học sinh 4 tổ bằng nhau. Nếu số học sinh của tổ thứ nhất bớt đi 6 thì khi ấy tổ thứ nhất có số học sinh bằng tổng số học sinh 3 tổ còn lại. Hỏi mỗi tổ có bao nhiêu học sinh? Câu 10: Hiện nay anh 10 tuổi. Năm mà tuổi người anh bằng tuổi của người em hiện nay thì lúc ấy tuổi anh gấp 3 lần tuổi em. Hỏi hiện nay người em bao nhiêu tuổi? Câu 11: Tìm một phân số tối giản biết khi cộng tử số với 6 và mẫu số với 8 thì giá trị phân số không thay đổi. Câu 12: Một phân số có tử và mẫu số đều dương. Hỏi có thể cộng cả tử và mẫu số của phân số ấy với những số tự nhiên như thế nào thì không làm thay đổi giá trị của phân số ấy? Câu 13: Chứng minh với mọi n khác 0 thì phân số sau tối giản: 8푛 + 5 6푛 + 4 Câu 14: Tìm tất cả các số tự nhiên n để phân số sau rút gọn được: 4푛 + 5 5푛 + 4 198 Câu 15: Tìm một phân số có giá trị bằng biết tổng cả tử số mà mẫu số của phân số ấy là 72. 234 11 5 Câu 16: Phải cùng cộng thêm vào cả tử số và mẫu số của phân số số nào để được phân số . 20 8 16 3 Câu 17: Cho phân số .Hỏi phải cùng bớt đi ở cả tử và mẫu số của phân số ấy bao nhiêu để được 31 8. Câu 18: Tìm số tự nhiên n thỏa mãn: 63452 + 푛 23 = 36548 + 푛 77 Câu 19: Tìm số tự nhiên x biết: 57643 + 1 = 1 85357 ― 6 Câu 20: Tìm các số tự nhiên a, b, c biết rằng: 1 = 0, . + +