Chuyên đề Tìm chữ số tận cùng - Toán 6

Nội dung text: Chuyên đề Tìm chữ số tận cùng - Toán 6

1. CHUYÊN ĐỀ TÌM CHỮ SỐ TẬN CÙNG - TOÁN 6 Hà Hải - THCS Ngọc Trạo - Thạch Thành I. TÌM MỘT CHỮ SỐ TẬN CÙNG 1. Tính chất 1: - Các chữ số tận cùng là 0, 1, 5, 6 khi nâng lên lũy thừa bất kỳ cùng có số tận cùng là 0, 1, 5, 6. Ví dụ 1: Chữ số tận cùng của: 1002015 = 0 ; 543212016 = 1; 123452017 = 5 ; 1234562018 = 6 - Các chữ số tận cùng là 4, 9 khi nâng lên lũy thừa lẻ thì chữ số tận cùng không đổi. Khi nâng lũy thừa chẵn thì có tận cùng lần lượt là 6, 1. Ví dụ 2: 12342015 = 4 ; 567892017 = 9 - Các số có chữ số tận cùng là 3, 7, 9 khi nâng lên lũy thừa 4n đều có chữ số tận cùng là 1. Ví dụ 3: 1232016 = 1234.504 = 1; 20172020 = 20174.505 = 1; 20092000 = 20094.500 = 1 - Các cố có chữ số tận cùng là 2, 4, 8, khi nâng lên lũy thừa 4n đều có chữ số tận cùng là 6. Ví dụ 4: 2012800 = 20124.200 = 6 ; 20142016 = 20144.504 = 6 ; 201880 = 20184.20 = 6 9 67 Bài tập 1: Tìm chữ số tận cùng của: 799; 141414; 4567; 20172017; 20182019; 23456; 99 ; 45 ; 81975 Giải Ta có: 799 = 74.24 + 3 = 74.24.73 = 1.343 = 3 141212 = 144.303 = 6 4567 = 44.141 + 3 = 44.141.43 = 6 .64 = 4 20172017 = 20174.504 + 1 = 20174.504.2017 = 1.2017 = 7 20182019 = 20184.504 + 3 = 6 .20183 = 6. 2 = 2 23456 = 24.864 = 6 9 99 = 92n + 1 = 9 67 45 = 42n + 1 = 4 81975 = 84.493 + 3 = 84.493.83 = 6.512 2 Bài tập 2: Tìm chữ số hàng đơn vị của: 20152016 + 20162017 - 20172018 Giải Ta có: 20152016 = 5 20162017 = 6 20172018 = 20174.504 + 2 = 20174.504.20172 = 1. 9 = 9 Suy ra: 1
2. 20152016 + 20162017 - 20172018 = 5 + 6 - 9 = 2 Bài tập 3: Cho A = 1725 + 244 - 1321. Chứng tỏ A 10 Giải Ta có: 1725 = 174.6 + 1 = 174.6.17 = 1 .17 = 7 244 = 6 1321 = 134.5 + 1 = 134.5.13 = 1.13 3 Suy ra: A = 1725 + 244 - 1321 A = 7 + 6 + 3 A = 0 10 Vậy: A10 Bài tập 4: Chứng tỏ rằng: n a) M = 22 1 (n N, n 2 ) chia hết cho 5 n b) N = 24 4 (n N, n 1) chia hết cho 10. Giải n 1 n n 12 n 1 a) Ta có: 22 = 22.2 2 2 4 2 6 (Vì n 2 ) Suy ra: n M = 22 1 M = 6 - 1 M = 5 5 Vậy M5 n 1 n n 14 n 1 b) Ta có: 24 = 24.4 2 4 16 4 6 (Vì n 1) Suy ra: n N = 24 4 N = 6 + 4 N = 0 10 Vậy N10 2. Tính chất 2 2
3. - Một số tự nhiên bất kỳ khi lũy thừa lên 4n + 1 thì chữ số tận cùng không thay đổi. Ví dụ 1: 25 = 24.1 + 1 = 2; 20192017 = 20194.504 + 1 = 9 Bài tập 1: Tìm chữ số tận cùng của A = 21 + 35 + 49 + + 20168057 Giải (Chú ý quy luật của dãy là n4(n - 2) + 1) Ta có: 21 = 24.0 + 1 = 2 35 = 34.1 + 1 = 3 49 = 44.2 + 1 = 4 20168057 = 20164.2014 + 1 = 2016 Suy ra: A = 21 + 35 + 49 + + 20168057 A = 2 + 3 + 4 + + 2016 2016.2017 Chữ số tận cùng của A là chữ số tận cùng của tổng 2 + 3 + 4 + + 2016 = 1 = 2 1008.2017 1 6 1 5 Vậy chữ số tận cùng của A là 5. 3. Tính chất 3 - Các số có chữ số tận cùng là 3 khi lũy thừa 4n + 3 sẽ có tận cùng là 7, các số có chữ số tận cùng là 7 khi lũy thừa 4n + 3 sẽ có tận cùng là 3. Ví dụ 1: 20132019 = 20134.504 + 3 = 7 ; 20172015 = 20174.503 + 3 = 3 - Các số có chữ số tận cùng là 2 khi lũy thừa 4n + 3 sẽ có tận cùng là 8, các số có chữ số tận cùng là 8 khi lũy thừa 4n + 3 sẽ có tận cùng là 2. Ví dụ 2: 20122015 = 20124.503 + 3 = 8 ; 20182019 = 20184.504 + 3 = 2 - Các số có chữ số tận cùng là 0, 1, 4, 5, 6, 9 khi lũy thừa 4n + 3 sẽ không đổi chữ số tận cùng. Bài tập 1: Tìm chữ số tận cùng của A = 23 + 37 + 411 + + 20168059 Giải (Chú ý quy luật của dãy số n4(n - 2) + 3) Ta có: 23 = 24.0 + 3 = 8 37 = 34.1 + 3 = 7 411 = 44.2 + 3 = 4 515 = 54.3 + 3 = 5 3
4. 619 = 64.4 + 3 = 6 723 = 74.5 + 3 = 3 827 = 84.6 + 3 = 2 931 = 94.7 + 3 = 9 20168059 = 20164.2014 + 3 = 2016 Suy ra: A = 23 + 37 + 411 + + 20168059 A = 8 + 7 + 4 + 5 + 6 + 3 + 2 + 9 + + 2016 2016.2017 Chữ số tận cùng của A chính là chữ số tận cùng của 2 + 3 + 4 + + 2016 = 1 = 2 6 1 5 Vậy chữ số tận cùng của A là 5 Bài tập 2: Tồn tại hay không số tự nhiên n sao cho n2 + n + 1 chia hết cho 20152016. Giải Ta có: 20152016 có tận cùng là 5 do đó 201520165 (1) n2 + n = n(n + 1) là tích của hai số tự nhiên liên tiếp nên có tận cùng là 0, 2, 6 n2 + n + 1 sẽ có tận cùng là 1, 3, 7 n2 + n + 1 5 (2) Từ (1) và (2) không tồn tại n. Bài tập 3: Chứng minh rằng các tổng sau không phải là số chính phương. a) M = 2005k + 2006k + 2015k + 2019k (Với k chẵn) b) N = 20142016k + 20162018k Giải (Chú ý: Các số chính phương luôn có chữ số tận cùng là 0, 1, 4, 5, 6, 9) a) Ta có: 2005k = 5 2006k = 6 2015k = 5 2019k = 1 (Với k chẵn) Suy ra: M = 2005k + 2006k + 2015k + 2019k M = 5 + 6 + 5 + 1 = 7 M không phải là số chính phương 4
5. b) Ta có: 20142016k = 20144.504k = 6 20162018k = 6 Suy ra: N = 20142016k + 20162018k N = 6 + 6 = 2 N không phải là số chính phương Bài tập 4: Cho p là số nguyên tố lớn hơn 5, chứng minh rằng A = p8n + 3.p4n - 4 chia hết cho 5. Giải (Chú ý: Các số nguyên tố lớn hơn 5 phải có chữ số tận cùng là 1, 3, 7, 9) Ta có: p8n = p4.2n = 1 (Vì p tận cùng 1, 3, 5, 7, 9) 3.p4n = 3. 1 = 3 Suy ra: A = p8n + 3.p4n - 4 A = 1 + 3 - 4 = 0 5 Vậy A5 MỘT SỐ BÀI TẬP 1. Tìm số dư của phép chia a) 21 + 35 + 49 + + 20158005 cho 5 b) 23 + 37 + 411 + + 20158007 cho 5 Giải a) Ta có: A = 21 + 35 + 49 + + 20158005 = 24.0 + 1 + 34.1 + 1 + 44.2 + 1 + + 20154.2001 + 1 = 2 + 3 + 4 + + 3 Chữ số tận cùng của A chính là chữ số tận cùng của: 2 + 3 + 4 + + 9 + 200(1 + 2 + 3 + + 9) + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 201(1 + 2 + 3 + + 9) + 2 + 3 + 4 + 5 = 9045 + 15 = 9060. Vậy A có tận cùng là 0 nên A 5 b) Số mũ có dạng 4n + 3. Chú ý 3 - 7, 8 - 2 2. Tìm chữ số tận cùng của a) 28 + 312 + 416 + + 20158060 b) 22 + 36 + 410 + + 20158062 Giải: a) Số mũ có dạng 4n, chú ý: 0, 1, 5, 6 mũ mấy cũng tận cùng là nó, 2, 4, 8, có tận cùng là 6 và 1, 3, 9 có tận cùng là 1. b) Số mũ có dạng 4n + 2, chú ý 3, 7, có tận cùng là 9, còn 9 có tận cùng là 1 còn 2, 8, có tận cùng là 4 và 4 có tận cùng là 16 5
6. 3. Chứng tỏ rằng không tồn tại số tự nhiên x, y, z sao cho 2019x + 2015y + 2020z = 20152016 + 1 II. TÌM HAI CHỮ SỐ TẬN CÙNG 1. Kiến thức cần nhớ +) 01n 01; 25n 25; 76n 76; 26n 76; +) Các số 410; 165; 65; 184; 242; 684; 742 có tận cùng 76 +) Các số 310; 910; 815; 74; 512; 992 có tận cùng là 01 Bài tập 1: Tìm 2 chữ số tận cùng của 5151; 9999; 6666; 14101.16101 Giải: Ta có: 5151 = 51.5150 = 51.(512)25 = 51. 0125 = 51. 01 = 51 9999 = 99.9998 = 99.(992)49 = 99. 0149 = 99. 01 = 99 133 6666 = 6.6665 = 6.(65)133 = 6. 76 = 6. 76 = 56 14101.16101 = 7101.2101.2404 = 7101.2505 = 7.(74)25.2.(22)252 = 14. 0125.42.(410)25 = 224. 76 25 = 24 99 66 Bài tập 2: Tìm 2 chữ số tận cùng của 512k; 512k + 1; 992n; 992n + 1; 9999 ; 65n; 65n + 1; 666 Giải: Ta có: 512k = (512)k = 01k = 01 512k + 1 = 51.512k = 51.(512)k = 51. 01k = 51 992n = 01 992n + 1 = 99 99 9999 = 992k + 1 = 99.992k = 99.(992)k = 99. 01k = 99 65n = 76 65n + 1 = 56 66 666 = 6 6 = 65n + 1 = 56 Bài tập 3: Tìm hai chữ số tận cùng của 22015 Giải Ta có: 22015 = 215.22000 = 210.25.220.200 = 24 .32. 76 = 68 III. TÌM BA CHỮ SỐ TẬN CÙNG 1. Kiến thức cần nhớ n n n +) 001 001; 376 376; 625 625 Bài tập 1: Tìm 3 chữ số tận cùng của 52000; 23n.47n; 23n + 3 .47n + 2 Giải 6
7. 500 Ta có: 52000 = (54)500 = 625 625 n 23n.47n = (23.47)n = 376 376 n 23n + 3 .47n + 2 = 23(n + 1).47.47n + 1 = (23.47)n + 1.47 = 376 .47 376 .47 = 572 Bài tập 2: Chứng tỏ: n a) 54 + 375 chia hết cho 1000 b) 2001n + 23n.47n + 252n có tận cùng là 002 Giải: n n 1 n 1 n 1 a) Ta có: 54 5 4.4 (5 4 ) 4 625 4 625 b) Ta có: 2001n = 001 n 23n.47n = (23.47)n = 376 376 252n = 625n = 625 2001n + 23n.47n + 252n = 002 7