Chuyên đề Tích phân (Trần Sĩ Tùng)

152 trang mainguyen 8691

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Chuyên đề Tích phân (Trần Sĩ Tùng)", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

chuyen_de_tich_phan_tran_si_tung.pdf

Nội dung text: Chuyên đề Tích phân (Trần Sĩ Tùng)

Tích phaân Traàn Só Tuøng Giaûi: dx Söû duïng ñaúng thöùc: =d(tgx) cosx2 æö1 dtgx - dx1d(tgx)1ç÷ Ta coù: I ===èø3 ò22òò22 (3tgx 2tgx1)cosx 33æ1ö4æö14 çtgx-÷-ç÷tgx è3ø9èø39 12 tgx 11tgx 11sinxcosx =ln33+C=ln+C=+lnC. 12 4tgx -+ 43tgx++143sinxcosx 33 2. SÖÛ DUÏNG CAÙC PHEÙP BIEÁN ÑOÅI LÖÔÏNG GIAÙC ÑÖA VEÀ CAÙC NGUYEÂN HAØM CÔ BAÛN Baøi toaùn 2: Xaùc ñònh nguyeân haøm caùc haøm löôïng giaùc söû duïng caùc pheùp bieán ñoåi löôïng giaùc PHÖÔNG PHAÙP CHUNG Söû duïng caùc pheùp bieán ñoåi löôïng giaùc ñöa bieåu thöùc döôùi daáu tích phaân veà daïng quen thuoäc. Caùc pheùp bieán ñoåi thöôøng duøng bao goàm: · Pheùp bieán ñoåi tích thaønh toång (chuùng ta ñaõ thaáy trong phöông phaùp phaân tích) · Haï baäc · Caùc kyõ thuaät bieán ñoåi khaùc. Chuùng ta seõ laàn löôït xem xeùt caùc ví duï maãu. 2.1. Söû duïng pheùp bieán ñoåi tích thaønh toång: ÔÛ ñaây chuùng ta nhôù laïi caùc coâng thöùc sau: 1 1 a/ cosx.cosy=[cos(x+y)+-cos(xy)] c/ sinx.cosy=[sin(x+y)+-sin(xy)] 2 2 1 1 b/ sinx.siny=[cos(x-y)-+cos(xy)] d/ cosx.siny=[sin(x+y) sin(xy)] 2 2 Ví duï 11: Tìm hoï nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x)= cos3x.cos5x. (ÑHAN–97) Giaûi: 1 Söû duïng caùc pheùp bieán ñoåi tích thaønh toång, ta ñöôïc: f(x)=+(cos8xcos2x) 2 11æö11 Khi ñoù: F(x)=(cos8x+cos2x)dx=ç÷sin8x++sin2xC. 2ò 2èø82 Chuù yù: Neáu haøm f(x) laø tích cuûa nhieàu hôn 2 haøm soá löôïng giaùc ta thöïc hieän pheùp bieán ñoåi daàn, cuï theå ta ñi xem xeùt ví duï sau: Trang 60
Traàn Só Tuøng Tích phaân æppöæö Ví duï 12: Tìm hoï nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x)=tgxtgç-+x÷tgxç÷ è33øèø Giaûi: æppöæö sinx.sinç-+x÷.sinxç÷ Ta coù: f(x)= è33øèø(1) æppöæö cosx.cosç-+x÷.cosxç÷ è33øèø Söû duïng caùc pheùp bieán ñoåi tích thaønh toång, ta ñöôïc: æpöæppö12æö sinx.sinç-x÷.sinç+x÷=-sinxç÷cos2xcos è3øè3ø23èø æpöæppö12æö cosx.cosç-x÷.cosç+x÷=+cosç÷coscos2x è3øè3ø23èø 11111 =-cosx+cos2x.cosx=-cosx+(cos3x+=cosx)cos3x. 42444 Suy ra: f(x) = tg3x 11sin3x1d(cos3x)1 Khi ñoù: F(x)=tg3xdx=dx=-=-+lncos3xC. 4ò4òòcos3x12cos3x12 2.2. Söû duïng pheùp haï baäc: ÔÛ ñaây chuùng ta nhôù laïi caùc coâng thöùc sau: 1- cos2x 3sinx- sin3x a/ sinx2 = c/ sinx3 = 2 4 1+ cosx 3cosx+ cos3x b/ cosx2 = d/ cosx3 = 2 4 ñöôïc söû duïng trong caùc pheùp haï baäc mang tính cuïc boä, coøn haèng ñaúng thöùc: sin22x+=cosx1. ñöôïc söû dungï trong caùc pheùp haï bacä mang tính toaøn cucï cho caùc bieuå thöcù , ví du ï nhö: 11 sin4x+cos4x=(sin2x+cos2x)2-2sin2x.cos22x=1-sin2x=1 (1cos 4x) 24 13 =+cos4x 44 3 sin6x+cos6x=(sin2x+cos2x)3-3sin2x+cos22x)=-1sin2x 4 335 =1-(1-cos4x)=+cos4x. 888 Ví duï 13: (HVQHQT_98): Tìm hoï nguyeân haøm cuûa haøm soá : a/ f(x)= sin3 x.sin3x b/ f(x)=+sin33x.cos3xcosx.sin3x. Giaûi: Trang 61
Tích phaân Traàn Só Tuøng a/ Bieán ñoåi f(x) veà daïng: 3sinx-sinx31 f(x)=.sin3x=-sin3x.sinxsin23x. 444 311 =(cos2x-cos4x)x-(1-cos6x)=(3cos2x-3cos4x+-cos6x1) . 888 1 Khi ñoù: F(x)=(3cos2x-3cos4x+-cos6x1)dx 8ò 1æö331 =ç÷sin2x-+sin4xsin6x-+xC. 8èø246 b/ Bieán ñoåi f(x) veà daïng: 3sinx-+sin3xcos3x3cosx f(x)=+.cos3x.sin3x 44 33 =(cos3x.sinx+=sin3x.cosx)sin4x. 44 33 Khi ñoù: F(x)=sin4xdx=-+cos4xC. 4ò 16 2.3. Söû duïng caùc pheùp bieán ñoåi löôïng giaùc khaùc nhau ÔÛ ñaây ngoaøi vieäc vaän duïng moät caùch linh hoaït caùc coâng thöùc bieán ñoåi löôïng giaùc caùc em hoïc sinh coøn caàn thieát bieát caùc ñònh höôùng trong pheùp bieán ñoåi. Ví duï 14: (ÑHNT TP.HCM_99): Tìm hoï nguyeân haøm cuûa haøm soá : sinx-cosx cos2x a/ f(x);= b/ f(x).= sinx+cosx sinx+cosx Giaûi: sinx-+cosxd(sinxcosx) a/ Ta coù: F(x)==-=-ln(sinx++cosx)C òòsinx++cosxsinxcosx cos2xcos22x-sinx b/ Ta coù: F(x)==dxdx òòsinx++cosxsinxcosx =ò(cosx-sinx)dx=sinx++cosxC. sin3x.sin4x Ví duï 15: (ÑHNT HN_97): Tính tích phaân baát ñònh: I.= òtgx+cotg2x Giaûi: Bieán ñoåi bieåu thöùc döôùi daáu tích phaân veà daïng: sin3x.sin4xsin3x.sin4x1 ==sin4x.sin3x.sin2x=-(cosxcos7x)sin2x tgx+cotg2x2cosx cosx.sin2x Trang 62
Traàn Só Tuøng Tích phaân 11 =(sin2x.cosx-cos7x.sin2x)=(sin3x+sinx-+sin9xsin5x). 24 1 Khi ñoù: I=(sinx++-sin3xsin5xsin9x)dx 4 ò 1111 =-(cosx+cos3xcos5x-+cos9x)C. 4359 Toång quaùt: Caùch tính phaân daïng: òsinmnx.cosxdx vôùi m, n laø nhöõng soá nguyeân ñöôïc tính nhôø caùc pheùp bieán ñoåi hoaëc duøng coâng töùc haï baäc. 3. PHÖÔNG PHAÙP ÑOÅI BIEÁN Baøi toaùn 3: Tính tích phaân caùc haøm löôïng giaùc baèng phöông phaùp ñoåi bieán PHÖÔNG PHAÙP CHUNG Tính tích phaân baát ñònh sau: I= ò R(sinx,cosx)dx trong ñoù R laø haøm höõu tæ. Ta löïa choïn moät trong caùc höôùng sau: – Höôùng 1: Neáu R(-sinx,cosx)=-R(sinx,cosx) thì söû duïng pheùp ñoåi bieán töông öùng laø t = cosx – Höôùng 2: Neáu R(sinx,-cosx)=-R(sinx,cosx) thì söû duïng pheùp ñoåi bieán töông öùng laø t = sinx – Höôùng 3: Neáu R(-sinx,-cosx)=-R(sinx,cosx) thì söû duïng pheùp ñoåi bieán töông öùng laø t = tgx (ñoâi khi coù theå laø t = cotgx). Do ñoù vôùi caùc tích phaân daïng: 1. I=Îò tgnxdx,vôùinZ ñöôïc xaùc ñònh nhôø pheùp ñoåi bieán t = tgx. 2. I=Îò cotgnxdx,vôùinZ ñöôïc xaùc ñònh nhôø pheùp ñoåi bieán t = cotgx. – Höôùng 4: Moïi tröôøng hôïp ñeàu coù theå ñöa veà tích phaân caùc haøm höõu tæ baèng pheùp ñoåi x bieán t= tg. 2 cosx+ sinx.cosx Ví duï 16: (ÑHNT Tp.HCM_97): Tính tích phaân baát ñònh: I= dx. ò 2+ sinx Giaûi: (1+ sinx)cosx Bieán ñoåi I veà daïng: I = ò 2+ sinx Ñaët t = sinx (1++sinx)cosx1t Suy ra: dt==cosxdx&dxdt 2++sinx2t Trang 63
Tích phaân Traàn Só Tuøng 1+t1æö Khi ñoù: I=dt=ç÷1-dt=t-ln|2+t|+C=-sinxln|2++sinx|C òò2++tèø2t Nhaän xeùt: Trong baøi toaùn treân sôû dó ta ñònh höôùng ñöôïc pheùp bieán ñoåi nhö vaäy laø bôûi nhaän xeùt raèng: R(sinx, –cosx) = –R(sinx, cosx) do ñoù söû duïng pheùp ñoåi bieán töông öùng laø t = sinx. dx Ví duï 17: (ÑHTCKT HN_96): Tính tích phaân baát ñònh: I.=ò 4sin35x.cosx Giaûi: dxdx Bieán ñoåi I veà daïng: I==ò 44tg3x.cos8xcos23xtgx Ñaët: t = tgx dxdxdt Suy ra: dt&==2 cosx cos2x4tg3xt43 dt Khi ñoù: ò=44 t+C=+44 tgxC. 43t 11 Chuù yù: Nhö chuùng ta ñaõ thaáy trong vaán ñeà 8 laø = ñieàu naøy raát quan troïng, khôûi t2 |t| khi ñoù ta phaûi xeùt hai tröôøng hôïp t > 0 vaø t 0 vaø t 0, ta ñöôïc: æö1 d dtç÷ 12212+-2t2 I==èøt =ln+-1+C=+lnC. òò2222tt22 t t2 11 tt22 · Vôùi x < 0, ta ñöôïc: æö1 d dtç÷ 122 I==-èøt=-ln+-+1C òò 2 2222tt t22 11 tt 12+2-t2212++1sinx =-ln+C=+lnC. 22tcosx Toùm laïi ta ñöôïc: Trang 64
Traàn Só Tuøng Tích phaân 12+2-t2212++1sinx I=ln+C=+lnC. 22tcosx 4. PHÖÔNG PHAÙP TÍCH PHAÂN TÖØNG PHAÀN Baøi toaùn 3: Xaùc ñònh nguyeân haøm caùc haøm löôïng giaùc baèng phöông phaùp tích phaân töøng phaàn. PHÖÔNG PHAÙP CHUNG Chuùng ta ñaõ ñöôïc bieát trong vaán ñeà: Xaùc ñònh nguyeân haøm baèng phöông phaùp tích phaân töøng phaàn, ñoái vôùi caùc daïng nguyeân haøm: Daïng 1: Tính: òòP(x)sinaaxdxhoaëcP(x)cosxdx vôùi P laø moät ña thöùc thuoäc R[x] vaø aÎR.* ììu==P(x)uP(x) Khi ñoù ta ñaët: ííhoaëc îîdv=sinaxdxdv=acosxdx Daïng 2: Tính: òòeaxcos(bx)(hoaëceax sin(bx)vôùia,b0¹ ììu==cos(bx)usin(dx) Khi ñoù ta ñaët: ííaxhoaëc ax îîdv==edxdvedx x Ví duï 19: Tính tích phaân baát ñònh: I= dx òcosx2 Giaûi: Söû duïng phöông phaùp tích phaân töøng phaàn, baèng caùch ñaët: ìux= ï ìdu=dx íídx Þ dv =îv=tgx îïcosx2 sinxd(cosx) Khi ñoù: I=x.tgx-tgxdx=x.tgx-dx=x.tgx+=x.tgx++ln|cosx|C. òòòcosxcosx cos2 xdx Ví duï 20: Tính tích phaân baát ñònh: I.= ò sinx3 Giaûi: cosx.d(sinx) Bieán ñoåi I veà daïng: I.= ò sinx3 ììu=cosxdu=-sinxdx ïï Ñaët: ííd(sinx)1Þ dvv==- îîïïsin32xsinx cosxdxcosxæöxcosxx Khi ñoù: I= = dç÷lntg= +lntgC. sin2xòòsinxsin22xèø22sinx Trang 65
Tích phaân Traàn Só Tuøng BAØI TAÄP Baøi 28. Tìm hoï nguyeân haøm cuûa haøm soá: 1 1 a/ f(x) = b/ f(x) = æöp 2+-sinxcosx cosxcosxç÷+ èø4 cosx2 sinx c/ f(x)= d/ f(x)= e/ f(x)= sinx.sin2x.cos5x sinx+ 3cosx 1+ sin2x æöp f/ f(x)=(sin4x++cos4x)(sin6xcos6x) g/ f(x)=sinç÷x-+.(2sin2x) èø4 1xæöp ÑS: a/ -2ln1-+tgxC; b/ -cotgç÷++C; 2 èø28 1æppö1xæö 1æöx1p c/ sinçx+÷+lntgç÷++C; d/ lntgç÷+++C; 2è6ø8èø26 22 èø282(sinx+cosx) 1æö111 13 e/ ç÷sin2x+sin4x-+sin8xC; f/ (33x+7sin4x++sin8x)C; 4èø248 648 11éùæpöæppöæö g/ êú-4cosçx-÷+sinçx+÷-sinç÷3x-+C. 2ëûè4øè4ø34èø Baøi 29. Tìm hoï nguyeân haøm cuûa haøm soá sau: sinx3 a/ f(x) = (ÑHSP II Haø Noäi _1999) 3sin4x sin6x3sin2x b/ I= ò cos5x.tgxdx K= ò cos3x.tgxdx (ÑHNT Tp.HCM– A_2000) 1 x cotgx c/ f(x)= d/ f(x)= e/ f(x) = sin2x- 2sinx sinx2 1+ sinx æppöæö 2 f/ f(x)=tgçx++÷.cotgxç÷ g/ f(x)=+(x2)sin2x è36øèø 1sin3x1- ÑS: a/ -+lnC; 48sin3x1+ 1 b/ I=2sinx-2sin3x++sin5xC; K=-cos3x++2cosxC; 3 1æö2cosx1- c/ ç÷++lnC; d/ -xcotgx++lnsinxC; 8èø1 cosxcosx1 æöp cosx- sinx 1 ç÷3 e/ ln+ C; f/ x++lnèøC; 1+ sinx 3 æöp cosxç÷+ èø3 113 g/ -x2 cos2x+xsin2x-+cos2xC. 224 Trang 66
Traàn Só Tuøng Tích phaân Vaán ñeà 9: NGUYEÂN HAØM CAÙC HAØM SOÁ VOÂ TÆ Ñeå xaùc ñònh nguyeân haøm cuûa caùc haøm soá voâ tæ ta caàn linh hoaït löïa choïn moät trong caùc phöông phaùp cô baûn sau: 1. Phöông phaùp ñoåi bieán. 2. Phöông phaùp tích phaân töøng phaàn. 3. Söû duïng caùc pheùp bieán ñoåi. Hai coâng thöùc thöôøng söû duïng: xdx 1. ò =x2 ±+aC xa2 ± dx 2. ò =+lnxx2 ±+aC. xa2 ± 1. PHÖÔNG PHAÙP ÑOÅI BIEÁN Baøi toaùn 1: Xaùc ñònh nguyeân haøm caùc haøm soá voâ tæ baèng phöông phaùp ñoåi bieán axb+ Daïng 1: Tính tích phaân baát ñònh caùc haøm höõu tæ ñoái vôùi x vaø n coù daïng: cxd+ æöaxxb+ I=Rç÷x,n dxvôùiad-¹bc0. òèøcxd+ PHÖÔNG PHAÙP CHUNG Ta thöïc hieän theo caùc böôùc sau: · Böôùc 1: Thöïc hieän pheùp ñoåi bieán: ax+bax+-bbdtn Ñaët: t=n Þtxn =Û= cx++dcxd ctan - · Böôùc 2: Baøi toaùn ñöôïc chuyeån veà: I= òS(t)dt. æa+-xöæöax Chuù yù: Vôùi hai daïng ñaëc bieät: I==Rçx,÷dxhoaëcIRç÷x,dx chuùng ta òòèa-+xøèøax ñaõ bieát vôùi pheùp ñoåi bieán: x = acos2t. ax+ Tröôøng hôïp ñaëc bieät, vôùi I= dx , ta coù theå xaùc ñònh baèng caùch: ò ax- ax+ Vì coù nghóa khi -a£x 0,doñoù(a+x)2 =+ax. ax- x++xaxdxxdx Khi ñoù: I=dx=dxa=+ òòòò22 ax-a2 x2ax22 ax- Trang 67
Tích phaân Traàn Só Tuøng dx Trong ñoù: ò ñöôïc xaùc ñònh baèng pheùp ñoåi bieán x = asint. ab22+ xdx ò =-aa22-+xC. ax22- dx Ví duï 1: Tính tích phaân baát ñònh: I = ò 3 x+1[3 x++1)2 1] Giaûi: 2 3 3 2 dx3tdt3tdt Ñaët: t=x+1Þt=+x1. Suy ra: 3tdt=dx& ==22 3x+1[3(x++1)21] t(t++1)t1 3tdt3d(t)2 Khi ñoù: I===ln(t22+1)+C=ln[3(x+1)++1]C. òòt22++12 t1 dx Ví duï 2: Tính tích phaân baát ñònh: I = ò 2x2x1+ Giaûi: dxtdtdt Ñaët: t=2x+1Þt2 =+2x1. Suy ra: 2tdt=2dx& == 2x2x1+ (t22 1)tt1 dt1t-112x+-11 Khi ñoù: I==ln+C=+lnC. òt12 - 2t+122x11++ xdx Ví duï 3: Tính tích phaân baát ñònh: I = ò 3 xx2 - 4 Giaûi: 112 Ta nhaän xeùt: x=x24,3 x2 ==x3 vaø4 xx, töø ñoù 12 laø boäi soá chung nhoû nhaát cuûa caùc maãu soá, do ñoù ñaët x = t12 17144 11xdx12tdt12tdttæö94 Suy ra: dx=12tdt&=83=55=12ç÷t++tdt 3xx2- 4t-tt 1èøt1 4105 æ945töæött1 Khi ñoù: I=12ç÷t+t+dt=12ç÷++ln|t-+1|C. òèøt15-èø1055 dx Daïng 2: Tính tích phaân baát ñònh I = ò (x++a)(xb) PHÖÔNG PHAÙP CHUNG Ta xeùt hai tröôøng hôïp: ìx+>a0 · Tröôøng hôïp 1: Vôùi í îx+>b0 Trang 68
Traàn Só Tuøng Tích phaân Ñaët: t=x+a++xb x+ 20 · Vôùi í Û>x3. Ñaët: t=x-2+-x3 îx->30 æö11(x-2+-x3)dxdx2dt suy ra : dt=ç÷+dx =Û= èø2x-22x-32(x-2)(x+3)(x 2)(x3) t dt Khi ñoù: I=2=2ln|t|+C=2ln|x-2+x++3|C ò t ìx-<20 · Vôùi í Û<x2. Ñaët: t=x-2+-3x îx-<30 éù11[2-x+-3x]dxdx2dt suy ra : dt=êú+dx =Û=- ëû22-x23-x2(x-2)(x-3)(x 2)(x3) t dt Khi ñoù: I=-2=-2ln|t|+C=-2ln|2-x+3-+x|C ò t Daïng 3: Tính tích phaân baát ñònh caùc haøm höõu tæ ñoái vôùi x vaø ax22- coù daïng: I=ò R(x,a22-x)dx,vôùiad-¹bc0. PHÖÔNG PHAÙP CHUNG Ta thöïc hieän theo caùc böôùc sau: · Böôùc 1: Thöïc hieän pheùp ñoåi bieán: é pp x=|a|sintvôùit-££ ê 22(hoaëccoùtheåt=x+-a22x) ê ëx=|a|costvôùi0t££p · Böôùc 2: Baøi toaùn ñöôïc chuyeån veà: I= òS(sint,cost)dt. Trang 69
Tích phaân Traàn Só Tuøng x3dx Ví duï 5: Tính tích phaân baát ñònh: I.= ò 1x- 2 Giaûi: pp · Caùch 1: Ñaët: x=sint,t- Þí 22 22 îïcost=1-sint=-1x · Caùch 2: Ñaët t=1-x2Þx22=-1t x3dxx2.xdxx22.xdx(1 t)(tdt) Suy ra: 2xdx=2tdt&===-(t21)dt 1 x2221x1x t 111 Khi ñoù: I=(t2-1)dt=t3-t+C=(t2-3)t+C=-(x22+2)1-+xC ò 333 Daïng 4: Xaùc ñònh nguyeân haøm caùc haøm soá höõu tæ ñoái vôùi x vaø ax22+ coù daïng: I=ò R(x,a22+x)dx,vôùiad-¹bc0. PHÖÔNG PHAÙP CHUNG Ta thöïc hieän theo caùc böôùc sau: · Böôùc 1: Thöïc hieän pheùp ñoåi bieán: é pp x=|a|tgtvôùit-<< ê 22(hoaëccoùtheåt=x++a22x) ê ëx=|a|cotgtvôùi0t<<p · Böôùc 2: Baøi toaùn ñöôïc chuyeån veà: I= òS(sint,cost)dt. Ví duï 6: Tính tích phaân baát ñònh: I=+ò 1x2 dx. Giaûi: Trang 70
Traàn Só Tuøng Tích phaân pp dtdt • Caùch 1: Ñaët: x=tgt,-<<t. Suy ra: dx=&1+=x2 dx. 22 cos23tcost dtcostdtcostdt Khi ñoù: I === òcos3tòòcos4t(1-sin22t) costdtdu Ñaët: u = sint. Suy ra: du==costdt& (1-sin2t)2(u+-1)22(u1) du1éùu+12u Khi ñoù: I==lnC-+ ò22êú (u+-1)(u1) 4ëûu-1(u+-1)(u1) 1éùsint+12sint =êúlnC-+ 4ëûsint-1(sint+-1)(sint1) éùxx +12 1êú22 =êúlnC1++x-+1x 4xæxxöæö êú-1+-11 êú2ç22÷ç÷ ëû1x+è1++xøèø1x 1æöx++1x2 =ç÷ln+2x1++xC2 ç÷2 4èøx-+1x 11 =(2ln|x+1+x2|+2x1+x2)+C=(ln|x+1+x22|+x1++x)C. 42 t12 - · Caùch 2: Ñaët: t=x+1+x2Þt-x=1+x2Þ(t-x)22=1+xxÞ= 2t t22-+1t1 Þ1+xt2=-= 2t2t æöxx+1++x22t22t1 Suy ra: dt=1+dx=dx=dxÛ=dxdt ç÷ 222 èø1x+21++xt12t 2222 2 t+1t++11(t1)1æö21 1+xdx=.dt=dt=ç÷t++ dt 2t2t24tt334tèø 1æ21ö1æö112 Khi ñoù: I=çt++÷dt=ç÷t+2ln|t|C-+ 4òètt32ø42èø2t 1éùæö211éù22 =ç÷t-+4ln|t|+C=ëû4x1+x+4lnx+1++xC 88êút2 ëûèø 1 =(lnx+1+x22+x1++x)C. 2 · Caùch 3: Söû duïng phöông phaùp tích phaân töøng phaàn ì xdx ïïì=u=+x12 du Ñaët : ííÞ x12 + îïdv=dx ï îvx= Trang 71
Tích phaân Traàn Só Tuøng x2dx Khi ñoù: I=xx12 +-ò x12 + x22dx[(x+-1)1]dxdx Vôùi J===x2+-1dx ò2òòò x1+ x22++1x1 =I-lnx+x2++1C(2) Thay (2) vaøo (1) ta ñöôïc: I=xx2+1-(I-aln)x+x2+1+CÛ2I=xx22+1+lnx+x++1C x1 ÛI=x22+1+lnx+x++1C. 22 Chuù yù: 1. Trong caùch giaûi thöù nhaát sôû dó ta coù: 1x 1+x2==costvaøsint cost 1x+2 ì cos2 t= cost pp ï laø bôûi: - Þí x 22 ïsint==tgt.cost î 1x+2 2. Caû ba phöông phaùp treân (toát nhaát laø phöông phaùp 2) ñöôïc aùp duïng ñeå giaûi baøi toaùn toång quaùt: axdx òòx2+adx=lnx+x2+a+x22+a+C;=+lnxx++aC. 22xa2+ 3. Vôùi tích phaân baát ñònh sau toát nhaát laø söû duïng phöông phaùp 1: dx ò ,vôùikÎ Z. (a2+ x)22k1+ 4. Vôùi tích phaân baát ñònh: ò (x++a)(xb)dx ta coù theå thöïc hieän nhö sau: a+-b(ba)2 Ñaët: t=x+&A=- 24 suy ra: dt=dx&(x+a)(x+b)dx=+t2 Adt At Khi ñoù: I=t2+Adt=lnt+t22+A+t++AC ò 22 (b-a)2 a+b2x++ab =lnx++(x+a)(x-b)+(x+a)(x++b)C. 824 Daïng 5: Tính tích phaân baát ñònh caùc haøm höõu tæ ñoái vôùi x vaø xa22- coù daïng: I=ò R(x,x22-a)dx,vôùiad-¹bc0. Trang 72
Traàn Só Tuøng Tích phaân PHÖÔNG PHAÙP CHUNG Ta thöïc hieän theo caùc böôùc sau: • Böôùc 1: Thöïc hieän pheùp ñoåi bieán: é|a| éùpp êx=vôùitÎ-êú;\{0} sintëû22 22 ê (hoaëccoùtheåt=-xa) |a| p êx=vôùitÎp[0;]\{}. ëê cost2 · Böôùc 2: Baøi toaùn ñöôïc chuyeån veà: I=òS(sint,cost)dt. xdx Ví duï 7: Tính tích phaân baát ñònh: I=ò 2x22-1+-3x1 Giaûi: · Caùch 1: Ñaët: t=x2-1Þt22=-x1 xdxxdxtdt Suy ra: 2tdt=2xdx& ==2 2x2-1+3x2-12(x22-1)+3(x-+11 2t++3t1 tdt Khi ñoù: I= ò2t2 ++3t1 ttab(a+2b)t++ab Ta coù: ==+= 2t2 ++3t1 (2t+1)(t+1)2t+1t+1(2t++1)(t1) ììa+2b=1a1=- Ñoàng nhaát ñaúng thöùc, ta ñöôïc: ííÛ îîa+b==0b1 t11 Khi ñoù: =-+. 2t2 ++3t1 2t++1t1 æö1111(t+1)2 Do doù: I=òç÷-+dt=-ln|2t+1|+ln|t+1|+C=+lnC èø2t+1)t++122|2t1| 1(x22-+11) = ln 2 2x2-+11 · Caùch 2: Vì ñieàu kieän |x| > 1, ta xeùt hai tröôøng hôïp: – Vôùi x > 1: 1 p sintdt Ñaët: x=Î,t[0;). Suy ra: dx,= cost2 cost2 1sint .dt 22 xdx2(1++tgt)tgt.dt(1tgt)tgt.dt =costcost == 222 22 2x-1+-3x1 -+13tgt 2(1+tgt)1-+3tgt2tgt++3tgt1 cost2 Trang 73
Tích phaân Traàn Só Tuøng (1+ tg2t)tgt.dt Khi ñoù: I.= ò 2tg2t++3tgt1 dt(1+ tg2t)tgt.dtu.du Ñaët: u = tgt. Suy ra: du==(1+=tg2t)dt& cos2t2tg22t+3tgt+12u++3u1 æö1111(u+1) 2 Khi ñoù: I=ç÷-+dt=-ln2u+1+lnu+1+C=+lnC òèø2u+1u++122|2u1| 1(tgt+1)21(x22-+11) =ln+C=+lnC. 22tgt+122x2-+11 – Vôùi x 0 vaø D 0. éù2 2 D+æö2axb – Böôùc 1: Ta coù: ax+bx+c1= êúç÷ 4a ëûèøD 2axb+ – Böôùc 2: Thöïc hieän pheùp ñoåi bieán: t = D – Böôùc 3: Baøi toaùn ñöôïc chuyeån veà: I=-òS(t,1t2 )dt Tröôøng hôïp 3: Neáu a > 0 vaø D > 0. éù2 2 D+æö2axb – Böôùc 1: Ta coù: ax+bx+c1=-êúç÷ 4a ëûèøD 2axb+ – Böôùc 2: Thöïc hieän pheùp ñoåi bieán: t = D Trang 74
Traàn Só Tuøng Tích phaân – Böôùc 3: Baøi toaùn ñöôïc chuyeån veà: I=-ò S(t,t2 1)dt · Caùch 2: Söû duïng pheùp theá Euler: Ta xeùt caùc tröôøng hôïp sau: 1. Neáu a > 0, ñaët ax2 +bx+c=t-+xahoaëctxa. 2. Neáu c > 0, ñaët ax2 +bx+c=tx+-choaëctxc. 3. Neáu tam thöùc ax2 ++bxc coù bieät soá D > 0 thì 2 2 ax+bx+c=a(x x12)(xx). Khi ñoù ñaët: ax+bx+c=-t(xx1). Ví duï 8: Tính tích phaân baát ñònh: I=ò x2 ++2x2dx. Giaûi: · Caùch 1: Söû duïng pheùp ñoåi bieán: t=x+1Þ=dtdx. Khi ñoù: I=+ò t2 1dt. Tích phaân treân chuùng ta ñaõ bieát caùch xaùc ñònh trong ví duï 6. · Caùch 2: Söû duïng pheùp ñoåi bieán: t22-2(t++2t2)dt x2+2x+2=t-xÞx22+2x+2=(t-x)Ûx=Þ=dx 2(t+1) 2(t+1)2 éùt2-2(t24+2t++2)dt1(t4)dt Khi ñoù: I=x2+2x+2dx=t-= òòòêú23 ëû2(t+1)42(t++1)(t1) Söû duïng ñoàng nhaát thöùc: t4+4=[(t+1)-1]4+4=(t+1)432-4(t+1)+6(t+1)-4(t++1)5. 1641t42 Do ñoù: I=[t+1-4+-]dt[=-3t+6ln|t+1|++]C 4òt++1(t+1)2 42t1 1(x22+2x++2x) =[-3(x2+2x+2++x) 42 4 +6lnx2+2x+2+x+1++]C. x2+2x+2++x1 dx Daïng 7: Tính tích phaân baát ñònh I = ò (lx+m)ax2 ++bxc PHÖÔNG PHAÙP CHUNG Ta thöïc hieän theo caùc böôùc sau: 1 – Böôùc 1: Thöïc hieän pheùp ñoåi bieán: t = lx +m dt – Böôùc 2: Baøi toaùn ñöôïc chuyeån veà: I =ò att2 +b+g Chuù yù: Phöông phaùp treân coù theå ñöôïc aùp duïng cho daïng toång quaùt hôn laø: Trang 75
Tích phaân Traàn Só Tuøng (Ax+B)dx I=ò (lx+m)n2ax++bxc dx Ví duï 9: Tính tích phaân baát ñònh: I=ò (x+1)x2 ++2x2 Giaûi: 11 Ñaët: t=Þx1=- x+1t ì dt 1 ->khit0 t(-)dt ï 2 1 dxt2 dt ï1t+ suy ra: dx=- 2 dt, ==-=í t (x+1)x2++2x2 11ïdt 22++1t.1 khit0 0, ta ñöôïc: dt11 I=-=-lnt+1+t2 +C=-ln+1C++ ò 2 1t+2 x1+ (x+1) 1+x22+2x+2x+11-x++2x2 =-ln+C=ln+C=+lnC. x++11+x2++2x2 x1 Vôùi t < 0, ta ñöôïc: dt11 1-x2++2x2 I==lnt+1+t2 +C=ln+1C++=+lnC. ò 2 1t+2 x1+ (x+1) x1+ 1-x2 ++2x2 Toùm laïi vôùi t¹0Ûx1¹- ta luoân coù: I=+lnC. x1+ 3. SÖÛ DUÏNG TÍCH PHAÂN TÖØNG PHAÀN Baøi toaùn 3: Tính tích phaân caùc haøm voâ tæ baèng phöông phaùp tích phaân töøng phaàn PHÖÔNG PHAÙP CHUNG Vôùi caùc haøm voâ tæ, trong phaïm vi phoå thoâng phöông phaùp tích phaân töøng phaàn ít ñöôïc söû duïng, tuy nhieân chuùng ta cuõng caàn xem xeùt. Ví duï 10: Tính tích phaân baát ñònh: I=+òx2 adx Giaûi: ì xdx ïïìu=+xa2 du = Ñaët: ííÞ xa2 + îïdv=dx ï îvx= Trang 76
Traàn Só Tuøng Tích phaân x2dx Khi ñoù: I=xxa2 +-ò (1) xa2 + x22dx[(x+-a)a]dxdx Vôùi J=ò=ò=òòx2+-adxa x2+ax22++axa =I-alnx+x2++aC. (2) Thay (2) vaøo (1) ta ñöôïc: xa I=xx2+a-(I-alnx+x2+a+C)ÛI=x22+a+lnx+x++aC. 22 4. SÖÛ DUÏNG CAÙC PHEÙP BIEÁN ÑOÅI xa- Daïng 1: Tính tích phaân baát ñònh I=>dx,vôùia0 ò xa+ PHÖÔNG PHAÙP CHUNG éxa³ Vì ñieàu kieän ê ëx<-a' Ta xeùt hai tröôøng hôïp: x axa2xdxdx · Vôùi xa³ thì: òdx=òdxa=-òò xa+x2-a22x2 a2xa22 =x2-a2-lnx+x22-+aC. x aaxdx2xdx · Vôùi x < –a thì: òdx=òdxa=-òò xa+x2-a2x2 a22xa22 =lnx+x2-a2-x22-+aC. x1- Ví duï 11: Tính tích phaân baát ñònh: I= dx ò x1+ Giaûi: éx1³ Vì ñieàu kieän ê . Ta xeùt hai tröôøng hôïp: ëx1<- x-12xdxdx · Vôùi x1³ . Ta coù: I=òdx=òò-=x22-1-lnx+x-+1C x2-12x22 1x1 · Vôùi x < –1. Ta coù: 1- xdx2xdx I=òdx=òò-=+lnxx22-1-x-+1C x2-1x22 12x1 dx Daïng 2: Tính tích phaân baát ñònh I=,vôùia¹0vaøb-¹c0. òax+b++axc Trang 77
Tích phaân Traàn Só Tuøng PHÖÔNG PHAÙP CHUNG Khöû tính voâ tæ ôû maãu soá baèng caùch truïc caên thöùc, ta ñöôïc: 1 1 I=(ax+b++axc)dx =[(ax+b)1/2d(ax+b)+(ax++c)1/2d(axc)] bc-ò a(b- c) òò 2 =[(ax+b)33+(ax++c)]C 2a(b- c) dx Ví duï 12: Tính tích phaân baát ñònh: I=+-x1 ò x1+ Giaûi: Khöû tính voâ tæ ôû maãu soá baèng caùch truïc caên thöùc, ta ñöôïc: 11 I=ò(x+1+x-1)dx=[òò(x+1)1/2d(x+1)+(x 1)1/2d(x1)] 22 1 =[(x+1)33+(x-+1)]C 3 Chuù yù: Moät pheùp bieán ñoåi raát phoå bieán ñoái vôùi caùc haøm soá voâ tæ laø phöông phaùp phaân tích, chuùng ta seõ ñi xem xeùt caùc daïng cô baûn sau: v(x)dx Daïng 3: Tính tích phaân baát ñònh I = ò u2 (x)±a PHÖÔNG PHAÙP CHUNG Ta thöïc hieän theo caùc böôùc sau: v(x)a[u2 (x)+a]bu(x)c · Böôùc 1: Phaân tích: =++ u2(x)+au2(x)+au22(x)+au(x) +a Söû duïng phöông phaùp haèng soá baát ñònh ta xaùc ñònh ñöôïc a, b, c. · Böôùc 2: AÙp duïng caùc coâng thöùc: xdx dx 1. ò =x2 ±+aC. 2. ò =lnx+x2 ±+aC xa2 ± xa2 ± xa 3. x2±adx=x22±a±lnx+x±+aC. ò 22 (2x2 +1)dx Ví duï 13: Tính tích phaân baát ñònh: I = ò x2 + 2x Giaûi: 2x2+12x22+1a[(x+1)-+1]b(x1)c Ta coù: ==++ x2+2x(x+1)2-1(x+1)2-1(x+1)22-1(x+-1)1 Trang 78
Traàn Só Tuøng Tích phaân ax2+(2a+b)x++bc = x2+2x ììa==2a2 ïï Ñoàng nhaát ñaúng thöùc, ta ñöôïc: íí2a+b=0Ûb4=- ïï îîbc+==1c5 2x2 ++14(x1)5 Khi ñoù: =2(x+1)12 + x2+2x(x+1)22-1(x+-1)1 4(x+1)5 Do ñoù: I=ò[2(x+1)2 -1-+]dx (x+1)22-1(x+-1)1 =(x+1)x2+2x-lnx+1+x2+2x-4x22+2x+5lnx+1+x++2xC =(x+1)x2+2x+4lnx+1+x22+2x-4x++2xC. BAØI TAÄP Baøi 30. Tìm hoï nguyeân haøm cuûa caùc haøm soá sau: x1+ x x3 x3 1 a/ ; b/ ; c/ ; d/ ; e/ ; 3 3x1+ 2x++11 x2+ 1++3 x14 3 xx+ 1 x 1 f/ ; g/ h/ tgx + 3 (2x+1)2 -+2x1 10 x1+ 2x+1+-2x1 11æö52 113 ÑS: a/ ç÷33(3x+1)+(3x++1)C; b/ (2x+1)-(2x++1)C; 35èø64 1 333 c/ (x2+2)32-2x++2C; d/ 3(x4+1)2-33x44+1+ln(x+1++1)C; 3 844 e/ 2x-33x-666x+ln(x++1)C; 3 f/ 6(2x+1)2 +3662x+1+3ln2x1 +1C; 2 1010 1 g/ 10(x+1)199-10 (x++1)C; h/ -lncosx+éù(2x+1)33-(2x-+1)C. 199 3ëûêú Baøi 31. Tìm hoï nguyeân haøm cuûa caùc haøm soá sau: x 1 1 1 a/ ; b/ ; c/ ; d/ 9x2 -6x x2 ++2x3 x2 ++6x8 x2 x1 4x5+ 2x x12+ x e/ ; f/ ; g/ ; h/ . 2 2 4 x++6x1 x+-x1 xx1+ 1+x2++(1x)23 1 ÑS: a/ 9x22-6x+ln3x-1+9x-+6xC; b/ lnx+1+x2 +2x++3C; 9 1 c/ lnx+3+x2 +6x++8C; d/ lnx-+x2 -x-+1C; 2 Trang 79
Tích phaân Traàn Só Tuøng 22 e/ 4x22+6x+1-7lnx+3+x+6x++1C; f/ x2-(x23-+1)C; 33 2 11æö 2 g/ lnx-+ç÷x-++2C; h/ 21+1++xC. x2èø dx Baøi 32a/ Bieát raèng ò=ln(x+x2 ++3)C. x32 + Tìm nguyeân haøm cuûa F(x)=+òx2 3dx b/ Tính òx2 -+4x8dx. 13 ÑS: a/ xx22+3+ln(x+x++3)C. 22 1 b/ (x-2)x22-4x+8+2lnx-2+x-4x++8C. 2 Baøi 33. Tìm hoï nguyeân haøm cuûa caùc haøm soá sau: 11 a/ ; b/ . (x23+16) (1-x)23 xx ÑS: a/ +C; b/ +C. 16x2 +16 1x-2 Baøi 34. Tìm hoï nguyeân haøm cuûa caùc haøm soá sau: 1x1-1 a/ ; b/ ; c/ ; (x 1)1x2(x++1)x12 (x-1)-x2 ++2x3 1x2 1 d/ ; e/ ; f/ . x+x2 ++x1 x2 ++x1 1+x++1x 1x+ 1-x++2(x2 1) ÑS: a/ -+C; b/ lnx+x2 +1++2lnC; 1x- 2(x+1) 12+-x2 ++2x3 c/ -+lnC; 22(x-1) 31t4 d/ +ln+C,vôùit=x+x2 ++x1. 2(1+2t)2 1+2t 3 111 e/ (2x-3)x22+x+1-lnx++x+x++1C; 482 111t-+11x f/ x+x-x.t+ln+=C,vôùit. 224t+1x Trang 80
Traàn Só Tuøng Tích phaân Vaán ñeà 10: NGUYEÂN HAØM CAÙC HAØM SOÁ SIEÂU VIEÄT Ñeå xaùc ñònh nguyeân haøm cuûa caùc haøm soá sieâu vieät ta caàn linh hoaït löïa choïn moät trong caùc phöông phaùp cô baûn sau: 1. Söû duïng caùc daïng nguyeân haøm cô baûn 2. Phöông phaùp phaân tích 3. Phöông phaùp ñoåi bieán 4. Phöông phaùp tích phaân töøng phaàn. 1. SÖÛ DUÏNG CAÙC DAÏNG NGUYEÂN HAØM CÔ BAÛN Baøi toaùn 1: Xaùc ñònh nguyeân haøm caùc haøm sieâu vieät döïa treân caùc daïng nguyeân haøm cô baûn PHÖÔNG PHAÙP CHUNG Baèng caùc pheùp bieán ñoåi ñaïi soá, ta bieán ñoåi bieåu thöùc döôùi daáu tích phaân veà caùc daïng nguyeân haøm cô baûn ñaõ bieát. Ví duï 1: Tính caùc tích phaân baát ñònh sau: dx 2xx.e a/ I = b/ J= dx ò eexx- - 169xx- Giaûi: d(exx)1e1- a/ Ta coù: I==+lnC òe2xx-+12 e1 b/ Chia töû vaø maãu soá cuûa bieåu thöùc döôùi daáu tích phaân cho 4x, ta ñöôïc: xxx æ44öéùæö4æö ç÷dêúç÷ ç÷-1 1èø3 11 J=è33ødx=ëûdx=+.lnCèø òò2x2xx æ4ö44æ44ö2æö ç÷-1lnç÷-+11ln ç÷ è3ø33è33øèø 143xx- =+.lnC. 2(ln4- ln3)43xx+ 2. PHÖÔNG PHAÙP PHAÂN TÍCH Baøi toaùn 2: Xaùc ñònh nguyeân haøm haøm sieâu vieät baèng phöông phaùp phaân tích PHÖÔNG PHAÙP CHUNG Caàn hieåu raèng thöïc chaát noù laø moät daïng cuûa phöông phaùp heä soá baát ñònh, nhöng ôû ñaây ta söû duïng caùc ñoàng nhaát thöùc quen thuoäc. dx Ví duï 2: Tính tích phaân baát ñònh : I.= ò1e- x Trang 81
Tích phaân Traàn Só Tuøng Giaûi: Söû duïng ñoàng nhaát thöùc: 1=1-+exx)e 1(1-+ex)eexx Ta ñöôïc: ==+1. 1-ex1 exx1e xx æöed(1-e) x Suy ra: I=ç÷1+dx=dx-=x-ln1-+eC. òèø1 exxòò1e 3. PHÖÔNG PHAÙP ÑOÅI BIEÁN Baøi toaùn 3: Xaùc ñònh nguyeân haøm haøm sieâu vieät baèng phöông phaùp ñoåi bieán PHÖÔNG PHAÙP CHUNG Phöông phaùp ñoåi bieán ñöôïc söû duïng cho caùc haøm soá sieâu vieät vôùi muïc ñích chuû ñaïo ñeå chuyeån bieåu thöùc döôùi daáu tích phaân veà caùc daïng höõu tæ hoaëc voâ tæ, tuy nhieân trong nhieàu tröôøng hôïp caàn tieáp thu nhöõng kinh nghieäm nhoû ñaõ ñöôïc minh hoaï baèng caùc chuù yù trong vaán ñeà 4. dx Ví duï 3: Tính tích phaân baát ñònh : I.= ò 1e+ 2x Giaûi: · Caùch 1: Ñaët t=1+e2xÛt2=+1e2x 2x tdtdxtdtdt Suy ra: 2tdt=2edxÛdx&=2==22 t-11e+ 2x t(t 1)t1 dt1t-+111e2x Khi ñoù: I==ln+C=+lnC ò2 t1- 2t+121++e12x · Caùch 2: Ñaët: t = ex -x dx dxdxdx-dt Suy ra: dt=-edxÛ-=dt,x ===. e 1+e2xe2x(e 2x+1)exe2x2++1t1 dxdt Khi ñoù: òò=-=-lnt+t2+1+C=-lne xx+e++1C. 1++e2x2t1 dx Ví duï 4: Tính tích phaân baát ñònh : I = ò eex- x/2 Giaûi: 1dx Ñaët te=-x/2. Suy ra: dt=e-x/2dxÛ-=2dt, 2 ex/2 dxdxe-x/2dx-2tdt1æö ===+2ç÷1dt ex-ex/2ex(1 e x/2)ex/2(1e)x/2 1 tèøt1 æö1 x/2x/2 Khi ñoù: I=2ç÷1+dt=2(e+lne++1C. òèøt1- 4. PHÖÔNG PHAÙP TÍCH PHAÂN TÖØNG PHAÀN Baøi toaùn 4: Tìm nguyeân haøm caùc haøm sieâu vieät baèng phöông phaùp tích phaân töøng phaàn Trang 82
Traàn Só Tuøng Tích phaân PHÖÔNG PHAÙP CHUNG Baøi toaùn 1: Tính: òòeaxcos(bx)(hoaëceax sin(bx)vôùia,b0¹ ììu==cos(bx)usin(bx) Khi ñoù ta ñaët: ííaxhoaëc ax îîdv==edxdvedx Baøi toaùn 2: Tính: ò P(x)eax*dxvôùiRaÎ ìu= P(x) Khi ñoù ta ñaët: í ax îdv= edx Ví duï 5: Tìm hoï nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x)=(tg2xx++tgx1)e. Giaûi: Ta coù: F(x)=ò(tg2x+tgx+1)ex=òò(tg2x++1)exxetgxdx. (1) Xeùt tích phaân J= extgxdx. ì dx 2 ìu=tgx ïdu=2 =+(1tgx)dx Ñaët: ííx Û cosx îdv=edx ïx îve= Khi ñoù: J=extgx-+ò(tg2xx1)e. Thay (2) vaøo (1) ta ñöôïc F(x)=+extgxC. (2) 5. SÖÛ DUÏNG CAÙC PHÖÔNG PHAÙP KHAÙC NHAU dx Ví duï 6: Tính tích phaân baát ñònh: I = ò 1e+ 2x Giaûi: dxdxe xxdxd(e) Ta coù: ===- (1) 1+e2xexe-2x+1e 2x++1e12x d(e)-x Khi ñoù: I=ò =-ln(e x+e2x ++1)C e1-x + Chuù yù: Ta coù theå söû duïng phöông phaùp ñoåi bieán ñeå laøm töôøng minh lôøi giaûi, baèng caùch: dtdt Ñaët t = ex . Suy ra: dt==exdx& 1++e2x2t1t æö1 d dtdtç÷ 11 Khi ñoù: I===-èøt=-ln+++1C ò2 òò11tt2 t1t+ t2 ++11 tt22 =-ln(e x+e2x ++1)C. Trang 83
Tích phaân Traàn Só Tuøng Ñöông nhieân cuõng coù theå ñaët t = e–x ta seõ thu ñöôïc lôøi giaûi gioáng nhö treân, xong seõ thaät khoù giaûi thích vôùi caùc em hoïc sinh caâu traû lôøi “Taïi sao laïi nghó ra caùch ñaët aån phuï nhö vaäy?” Chuù yù: Neáu caùc em hoïc sinh thaáy khoù hình dung moät caùch caën keõ caùch bieán ñoåi ñeå ñöa veà daïng cô baûn trong baøi toaùn treân thì thöïc hieän theo hai böôùc sau: – Böôùc 1: Thöïc hieän pheùp ñoåi bieán: Ñaët t = ex Suy ra: dt=exdx&exe2x-2ex+2dx=t22-2t+2dt=(t-+1)1dt Khi ñoù: I=ò(t-+1)2 1dt. – Böôùc 2: Thöïc hieän pheùp ñoåi bieán: Ñaët u = t – 1 Suy ra: du=dt&(t-1)22+1dt=+u1du u1 Khi ñoù: I=u2+1du=u22+1+lnu+u++1C ò22 t-11 =(t-1)22+1+lnt-1+(t-1)++1C 22 ex-11 =e2x-2ex+2+lnex-1+e2xx-e++2C 22 ex Ví duï 8: Tìm nguyeân haøm haøm soá : f(x) = eexx+- Giaûi: e-x Choïn haøm soá phuï: g(x) = eexx+- Goïi F(x) vaø G(x) theo thöù töï laø nguyeân haøm cuûa caùc haøm soá f(x), g(x). Ta coù: eexx f(x)-=g(x) eexx+- ex-+e xd(exxe) ÞF(x)-G(x)=dx==lnexx++eC- òòex++e xeexx 1 eexx+- f(x)+g(x)==1ÞF(x)+G(x)=dx=+xC. eexx+- ò 2 xx- ïìF(x)+G(x)=lne++eC 1 xx- Ta ñöôïc: í 1ÞF(x)=(lne+e++x)C. 2 îïF(x)-G(x)=+xC2 BAØI TAÄP Baøi 35. Tìm hoï nguyeân haøm cuûa caùc haøm soá sau: 11x+lnx a/ 2xx.e; b/ ; c/ ; d/ ; 1e+xx(1+x.e)x x 2x e 1 2 e/ exx.sin(e); f/ ; g/ ; h/ x.e.x e22x +xlnx Trang 84
Traàn Só Tuøng Tích phaân 2xx.e ex xex ÑS: a/ + C; b/ ln+ C; c/ ln+ C; 1+ ln2 1e+ x 1+ xex 2 1 d/ lnx.lnx+ C; e/ -+cos(ex )C; f/ lne2x ++1C; 3 2 1 2 g/ lnlnx+ C; h/ ex + C. 2 Baøi 36. Tìm hoï nguyeân haøm cuûa caùc haøm soá sau: 2x 2x 2x e1- 3x23x e 1 e a/ x ; b/ (1+ e).e; c/ ; d/ ; e/ e 4xe1+ 1e+ x 4xe1+ 1 sinx 1 f/ .e;x g/ ; h/ . x ecosx exx(3+ e)- 1 44 ÑS: a/ exx++e- C; b/ (1++e3x3)C; c/ 44(ex+1)7-(ex3++1)C; 9 73 t1- t1- d/ ln+C,vôùit=+ex 1; e/ 2t+ln+C,vôùit=+1lnx; t1+ t1+ 3ex f/ 2ex + C; g/ e-x + C; h/ ln+ C. 3e1x + Baøi 37. Tìm hoï nguyeân haøm cuûa caùc haøm soá sau: 3 23x 2x x æölnx n a/ xe; b/ e.cos3x; c/ e.sinx; d/ ç÷; e/ x.lnx,n¹-1. èøx 1 1 ÑS: a/ e3x2(9x-6x++2)C; b/ e2x(2cos3x++3sin3x)C; 27 13 1 x 1æö32333 c/ e(sinx-+cosx)C; d/ -2ç÷lnx+lnx+lnx++C; 2 2x èø224 xxn++1n1 e/ lnx-+C; n1+ (n+1)2 Baøi 38. Tìm hoï nguyeân haøm cuûa caùc haøm soá sau: xe2x (1+ sinx)ex 11x+ a/ ; b/ c/ exx++e- 2; d/ ln; (x+ 2)2 1+ cosx 1x- 2 1x- lnx xln(x++x2 1) e/ ln(x+-x2 1); f/ ; g/ . x1+ lnx x12 + x2- ex sinx ÑS: a/ -+.ex C; b/ + C; c/ ex(e3x++e2x)C; x2+ 1+ cosx 2 1æö1x+ 22 d/ ç÷ln+ C; e/ xln(x+x-1)-x-+1C; 4èø1x- 2 f/ (1+lnx)1+lnx-21++lnxC; g/ x22+1.nx+x+1-+xC. 3 Trang 85
Tích phaân Traàn Só Tuøng §Baøi 2: TÍCH P HAÂN 1. Ñònh nghóa tích phaân: Ta coù coâng thöùc Niutôn – Laipnit: b f(x)dx=F(x)b =-F(b)F(a). ò a a b Chuù yù: Tích phaân ò f(x)dx chæ phuï thuoäc vaøo f, a, b maø khoâng phuï thuoäc vaøo caùch kyù a hieäu bieán soá tích phaân. Vì vaäy ta coù theå vieát: bbb F(b)-F(a)=òf(x)dx=òòf(t)dt==f(u)du aaa 2. YÙ nghóa hình hoïc cuûa tích phaân: b Neáu haøm soá f(x) lieân tuïc vaø khoâng aâm treân [a ; b] thì tích phaân ò f(x)dx laø dieän tích a hình thang cong giôùi haïn bôûi ñoà thò cuûa haøm soá y= f(x,truïcOx) vaø hai ñöôøng thaúng x = a vaø x = b. 3. Caùc tính chaát cuûa tích phaân: Giaû söû caùc haøm soá f(x), g(x) lieân tuïc treân khoaûng K vaø a, b, c laø ba ñieåm cuûa K, döïa vaøo ñònh nghóa tích phaân ta coù caùc tính chaát sau: a Tính chaát 1. Ta coù ò f(x)dx0= a ba Tính chaát 2. Ta coù òòf(x)dx=- f(x)dx. ab bb Tính chaát 3. Ta coù òòkf(x)dx=Îkf(x)dx,vôùikR. aa bbb Tính chaát 4. Ta coù ò[f(x)±g(x)dx=±òòf(x)dxg(x)dx. aaa cbc Tính chaát 5. Ta coù òf(x)dx=+òòf(x)dxf(x)dx. aaa b Tính chaát 6. Neáu f(x)³0,"xÎ³[a;b]thìò f(x)dx0 a bb Tính chaát 7. Neáu f(x)³g(x),"xÎ³[a;b]thìòòf(x)dxg(x)dx. aa Trang 86
Traàn Só Tuøng Tích phaân b Tính chaát 8. Neáu m≤f(x)≤M,"xÎ[a;b]thìm(b-a)£ò f(x)dx£-M(ba). a t Tính chaát 9. Cho t bieán thieân treân ñoaïn [a; b] thì G(t) = ò f(x)dx laø nguyeân haøm cuûa a f(t) vaø G(a) = 0. Ví duï 1: Tính caùc tích phaân sau: 2 x2 - 2x 4 x a/ I= dx; b/ J=-(3xe4 )dx. ò 3 ò 1 x 0 Giaûi: 2 2 æ122öæö a/ Ta coù: I=-dx=ln|x|+=(ln2+1)-(ln1+2)=-ln21. òç÷2 ç÷ 1 èøxxxèø1 4 æö3 x b/ Ta coù: J=ç÷x2 -4e4 =(24-4e)-(0-4)=-284e. èø2 0 Chuù yù: Trong ví duï treân ta ñaõ söû duïng ñònh nghóa cuøng caùc tính chaát 1, 3 vaø 4 ñeå tính tích phaân Ví duï sau ñaây seõ söû duïng tính chaát 5 ñeå tính tích phaân cuûa haøm chöùa daáu trò tuyeät ñoái. 1 Ví duï 2: Tính tích phaân sau: J=-òex 1dx. -1 Giaûi: Xeùt daáu cuûa haøm soá y = ex – 1 Ta coù: y = 0 Ûex -1=0Û=x0 Nhaän xeùt raèng: x>0Þex >1Þ>y0 x<0Þex <1Þ<y0 Ta coù baûng xeùt daáu: x –¥ –1 0 1 +¥ y’ – 0 + 01 011 Do ñoù: J=(1-ex)dx+(exx-1)dx=(x-e)+(e-x)=e+-2. òò -10 -10 2 Chuù yù: Söû duïng tính chaát 6, 7, 8 ta seõ ñi chöùng minh ñöôïc caùc baát ñaúng thöùc tích phaân. pp3p/4 dx Ví duï 3: Chöùng minh raèng: ££. ò 2 42p/4 3- 2sinx Giaûi: Trang 87
Tích phaân Traàn Só Tuøng éùpp3 Treân ñoaïn ; ta coù: ëûêú44 2111 £sinx£1Þ£sin22x£1Û1£3-2sinx£2Û£-£1. 2223- 2sinx2 3p/413pp/4dx 3/4 Do ñoù: dx££dx. (1) òòò2 p/42 pp/43-2sinx /4 3p/4 3pp/4113p/4 p3/4 trong ñoù: òòdx=x=&dx==x2. (2) 224p/4 pp/4/4 p/4 pp3p/4 dx Thay (2) vaøo (1) ta ñöôïc: ££ (ñpcm). ò 2 42p/4 3- 2sinx ìx+<akhix0 Ví duï 4: Cho haøm soá: f(x) = í 2 îx+³1khix0 a/ Xeùt tính lieân tuïc cuûa haøm soá ñaõ cho taïi ñieåm x0 = 0. 1 b/ Vôùi a ñeå haøm soá lieân tuïc taïi x = 0, haõy xaùc ñònh ò f(x).dx. -1 Giaûi: a/ Haøm soá xaùc ñònh vôùi moïi xÎ R. Ta coù: limf(x)=lim(x2 +1)=1vaølimf(x)=lim(x+=a)a. x®0+x®0+x®®0 x0 f(0)= 1. Vaäy: · Neáu a = 1 thì limf(x)=limf(x)=f(0)1=Û haøm soá lieân tuïc taïi x0 = 0 x®®0+-x0 · Neáu a1¹ thì limf(x)¹Ûlimf(x) haøm soá giaùn ñoaïn taïi x0 = 0 x®®0+-x0 b/ Ta coù: 10001 11 òf(x)dx=+òf(x)dxòf(x)dx=òò(x+1)dx+(x2+=1)dx. -1-1 110 6 Chuù yù: Nhö vaäy chuùng ta söû duïng haàu heát caùc tính chaát ñeå giaûi caùc ví duï veà tích phaân, duy coøn tính chaát thöù 9 ôû ñoù coù moät daïng toaùn maø caùc hoïc sinh caàn quan taâm laø “Ñaïo haøm cuûa haøm soá xaùc ñònh bôûi tích phaân”. Ta coù caùc daïng sau: x Daïng 1: Vôùi F(x)=òf(t)dtÞ=F'(x)f(x). a ax Vôùi F(x)=òòf(t)dtthìvieátlaïiF(x)=-f(t)dtÞF'(x)=-f(x). xa Trang 88
Traàn Só Tuøng Tích phaân u(x) Daïng 2: Vôùi F(x)=òf(t)dtÞ=F¢(x)u'(x)f[u(x)]. a u(x) Daïng 3: Vôùi F(x)= ò f(t)dt thì vieát laïi: v(x) u(x)v(x) F(x)=òòf(t)dt-f(t)dtÞF'(x)=-u'(x)f[u(x)]v'(x)f[v(x)] aa minh hoaï baèng ví duï sau: Ví duï 5: Tính ñaïo haøm cuûa caùc haøm soá: x a a/ F(x)=+ò(et2cost)dt; b/ G(x)=ò(t2 ++21)dt; a x2 x2 c/ H(x)=+ò(t3 sint)dt. 2x Giaûi: x a/ Ta coù: F(x)=[ò(et+cost2)dt]'=+ex2cosx. a ax2 b/ Ta coù: G(x)=[òò(t2+t2+1)dt]'=[-(t2+t2+1)dt]'=(u)'.(u22++u1) x2 a trong ñoù: u = x2, do ñoù: G'(x)=(x2)'.(x4+x4+1)=2x(x44++x1). x22x2x c/ Ta coù: H'(x)=[ò(t3+sint)dt]'=[òò(t33+sint)dt-+(tsint)dt]' 2xaa =(u)'.(u33+sinu)++(v)'.(vsinv), trong ñoù: u==x2 vaøv2x, do ñoù: H'(x)=(x2)'.(x6+sin2)+(2x)'.(8x+sin2x)=2x(x6+sinx)23++2(8xsin2x) TOÅNG KEÁT CHUNG: Ñeå tính tích phaân xaùc ñònh ngoaøi caùc phöông phaùp cô baûn maø chuùng ta ñaõ bieát ñeå xaùc ñònh nguyeân haøm, cuï theå coù: 1. Phöông phaùp söû duïng baûng nguyeân haøm cô baûn. 2. Phöông phaùp phaân tích 3. Phöông phaùp ñoåi bieán 4. Phöông phaùp tích phaân töøng phaàn. 5. Söû duïng caùc pheùp bieán ñoåi. coøn coù theâm moät vaøi phöông phaùp khaùc ví duï nhö phöông phaùp cho lôùp tích phaân ñaët bieät. Vaán ñeà 1: TÍNH TÍCH PHAÂN BAÈNG PHÖÔNG PHAÙP PHAÂN TÍCH Baèng vieäc söû duïng caùc ñoàng nhaát thöùc ñeå bieán ñoåi bieåu thöùc döôùi daáu tích phaân thaønh toång caùc bieåu thöùc maø nguyeân haøm cuûa moãi bieåu thöùc ñoù coù theå nhaän ñöôïc töø baûng nguyeân haøm hoaëc chæ baèng caùc pheùp bieán ñoåi ñôn giaûn ñaõ bieát, töø ñoù ta xaùc ñònh ñöôïc giaù trò cuûa tích phaân. Trang 89
Tích phaân Traàn Só Tuøng 1 x5 Ví duï 1: (ÑHTM HN_95) Tính tích phaân: I= dx. ò 2 0 x1+ Giaûi: Söû duïng ñoàng nhaát thöùc: x5=x5+x3-x3-x+x=x3(x22+1)-x(x++1)x. 1 1 æxöéù11111 Ta ñöôïc: I=x3-x+dx=x4-x22+ln(x+1)]=-ln2. òç÷2 êú 0èøx1+ëû422024 sinx Ví duï 2: (Ñeà 91) Cho f(x) = cosx+ sinx æöcosx- sinx a/ Tìm hai soá A, B sao cho f(x)=+ABç÷ èøcosx+ sinx p/2 b/ Tính ò f(x)dx. 0 Giaûi: sinxæöcosx-sinx(A+B)cosx+-(AB)sinx a/ Ta coù: =AB+=ç÷ cosx+sinxèøcosx++sinxcosxsinx ìA+=B0 1 Ñoàng nhaát ñaúng thöùc, ta ñöôïc: í ÛA=B.=- îA-=B1 2 b/ Vôùi keát quaû ôû caâu a/ ta ñöôïc: p /2 pp/2/2é1cosx-psinx1ùéù òòf(x)dx=ê údx=êú-x-ln(cosx+sinx).=- 00ëû22(cosx+sinxëû240 BAØI TAÄP Baøi 1. Tính caùc tích phaân: 4 dx 1 1 x2 2x3 2 dx a/ ò ; b/ ò x1- xdx; c/ ò dx; d/ ò 0 x 0 0 2x- 1 x+1+-x1 4 1 1 ÑS: a/ 4 b/ c/ - ln2 d/ (33 221) 5 2 3 Baøi 2. Tính caùc tích phaân: p p 3 2 4sinx3 8 ex e dx a/ ; b/ tg222x(1+ tg2x)dx; c/ dx; d/ ò ò ò x2 ò 0 1+ cosx 0 0(e+ 1) 1 x1+ lnx 1 1 ÑS: a/ 2 b/ c/ d/ 2 6 6 2 Baøi 3. Tìm caùc giaù trò cuûa a ñeå coù ñaúng thöùc: [a23+(4-4a)x+=4x]dx12. ò1 Trang 90
Traàn Só Tuøng Tích phaân ÑS: a = 3 Baøi 4. Cho hai haøm soá f(x) = 4cosx + 3sinx vaø g(x) = cosx + 2sinx. a/ Tìm caùc soá A, B sao cho g(x) = A.f(x) + B.f’(x) p g(x) b/ Tính 4 dx. ò0 f(x) 21 p 17 ÑS: a/ A=;B;=- b/ - ln 55 10542 Baøi 5. Tìm caùc haèng soá A, B ñeå haøm soá f(x) = Asinpx + B thoaû maõn ñoàng thôøi caùc ñieàu 2 kieän: f'(1)==2vaøf(x)dx4. ò0 2 ÑS: A=-=;B2. p Trang 91
Tích phaân Traàn Só Tuøng Vaán ñeà 2: TÍNH TÍCH PHAÂN BAÈNG PHÖÔNG PHAÙP ÑOÅI BIEÁN SOÁ Phöông phaùp ñoåi bieán soá ñeå tính tích phaân xaùc ñònh coù hai daïng cô baûn (ngoaøi ra coøn daïng 3) döïa treân ñònh lyù sau: Ñònh lyù: a. Neáu ò f(x)dx=F(x)+Cvaøu=j(x) laø haøm soá coù ñaïo haøm trong [a ; b] thì: j(b) f(u)du= F(u) j(b) òj(a) j(a) b. Neáu haøm soá f(x) xaùc ñònh vaø lieân tuïc treân ñoaïn [a ; b], haøm soá x = j(t) xaùc ñònh vaø (i) Toàn taïi ñaïo haøm j’(t) lieân tuïc treân ñoaïn [a; b] (ii) j ( a ) = a vaø j(b) = b. (iii) Khi t bieán ñoåi töø a ñeán b thì x bieán thieân trong ñoaïn [a ; b] b b Khi ñoù: f(x)dx=f[jj(t)]'(t)dt. òòa a b Baøi toaùn 1: Söû duïng phöông phaùp ñoåi bieán soá daïng 1 tính tsch phaân I= f(x)dx. òa Giaûi: Ta thöïc hieän theo caùc böôùc sau: Böôùc 1: Choïn x = j(t), trong ñoù j(t) laø haøm soá maø ta choïn cho thích hôïp. Böôùc 2: Laáy vi phaân dx = j’(t)dt Böôùc 3: Tính caùc caän a vaø b töông öùng theo a vaø b Böôùc 4: Bieåu thò f(x)dx theo t vaø dt. Giaû söû raèng f(x)dx = g(t)dt b Böôùc 5: Khi ñoù: I= g(t)dt. òa Löu yù: Chuùng ta caàn nhôù laïi caùc daáu hieäu daãn tôùi vieäc löïa choïn aån phuï kieåu treân thoâng thöôøng laø: Daáu hieäu Caùch choïn éx=asintvôùi-p/2£t£p/2 ax22- ê ëx=acostvôùi0t££p é a pp x=vôùitÎ-[;]\{0} ê sint22 xa22- ê ê a p x=vôùitÎp[0;]\{} ëê cost2 éx=atgtvôùi-p/2<t<p/2 ax22+ ê ëx=acotgtvôùi0t<<p Trang 92
Traàn Só Tuøng Tích phaân Daáu hieäu Caùch choïn a+-xax hoaëc x = acos2t a-+xax (x a)(bx) x=a+-(ba)sint2 2 x2 Ví duï 1: (ÑHTCKT_97) Tính tích phaân : I= ò 2 dx. 0 1x- 2 Giaûi: Ñaët x = sint, khi ñoù: dx = costdt 2 p Ñoåi caän: vôùi x= 0 Þ t = 0; x=Þ=t. 24 x2dxsin222t.costdtsint.costdtsintcostdt1 Ta coù: ===-(1cos2t)dt. 1 x221sint costcost2 p /4 1p/4 1æö11p Khi ñoù: I=ò(1-cos2t)dt=ç÷t-sin2t.=- 20 2èø20 84 2/3 dx Ví duï 2: Tính tích phaân : I = ò 2 2 xx1- Giaûi: 1cost Ñaët x=,khiñoù:dx=- dt sint sint2 2 p Ñoåi caän: vôùi x= 1 Þ t = p/2; x=Þ=t. 3 3 1 pp/2-costdt /2 2 p/2 p Khi ñoù: sint =dtt== òò1 p/3 pp/3/3 6 1 sint1- sint2 2/3 dx Chuù yù: Cuõng coù theå söû duïng pheùp ñoåi: I = . ò 1 2 x12 - x2 1 3/2 dt Töø ñoù söû duïng pheùp ñoåi bieán t,= ta seõ nhaän ñöôïc: I.= ò 2 x 1/2 1t- p /3 p/3 p Roài tieáp tuïc söû duïng pheùp ñoåi bieán t = sinu, ta ñöôïc I=ò du==u.p/6 p /3 6 Ñoù chính laø lôøi giaûi coù theå boå sung (ñeå phuø hôïp vôùi haïn cheá chöông trình cuûa Boä Trang 93
Tích phaân Traàn Só Tuøng GD&ÑT) haàu heát caùc taøi lieäu tham khaûo tröôùc ñaây. 0 ax+ Ví duï 3: Tính tích phaân : I=>ò dx,(a0) a ax- Giaûi: Ñaët x=a.cos2t,khiñoù:dx=-2a.sin2tdt. p p Ñoåi caän: vôùi x=-atÞ= ; x=0tÞ= 2 4 a++xaa.cos2t Ta coù: dx=(-2a.sin2tdt)=-cotgt(2a.sin2tdt) a xaa.cos2t =-4a.cos2t.dt=-+2a(1cos2t)dt. p/2 p/2 æ1 öæöp Khi ñoù: I=-2a(1+cos2t)dt=-2açt-sin2t÷=-a1ç÷. ò è24øèø p/4 p/4 b Baøi toaùn 2: Söû duïng phöông phaùp ñoåi bieán soá daïng 2 tính tích phaân I= f(x)dx. òa Giaûi: Ta thöïc hieän theo caùc böôùc sau: Böôùc 1: Choïn x = j(t), trong ñoù j(t) laø haøm soá maø ta choïn cho thích hôïp, roài xaùc ñònh x = y(x) (neáu coù theå). Böôùc 2: Xaùc ñònh vi phaân dx = j’(t)dt Böôùc 3: Tính caùc caän a vaø b töông öùng theo a vaø b Böôùc 4: Bieåu thò f(x)dx theo t vaø dt. Giaû söû raèng f(x)dx = g(t)dt b Böôùc 5: Khi ñoù: I= g(t)dt. òa Löu yù: Caùc daáu hieäu daãn tôùi vieäc löïa choïn aån phuï kieåu treân thoâng thöôøng laø: Daáu hieäu Caùch choïn Haøm coù maãu soá t laø maãu soá Haøm f(x,j(x)) t=j(x) a.sinx+b.cosx xx Haøm f(x) = t=¹tg(vôùicos0) c.sinx++d.cosxe 22 · Vôùi x + a > 0 & x + b > 0, ñaët: 1 t=x+a++xb Haøm f(x) = (x++a)(xb) · Vôùi x + a < 0 & x + b < 0, ñaët: t=-x-a+ xb Trang 94
Traàn Só Tuøng Tích phaân p /3 cosdx Ví duï 4: Tính tích phaân : I = ò 2 p /6 sinx-+5sinx6 Giaûi: Ñaët x = sint, khi ñoù: dt = cosxdx p 1 p 3 Ñoåi caän: vôùi xt=Þ= ; xt=Þ= 6232 cosdxdtdt Ta coù: == sin22x-5sinx+6t-+5t6 (t 2)(t3) æöAB[(A+B)t 2A3B]dt =ç÷+=dt èøt-3t-2(t 2)(t3) ììA+B==0A1 Töø ñoù: ííÛ îî-2A-3B=1B1=- cosxdxæö11 Suy ra: =-ç÷dt. sin2 x-+5sinx6èøt 3t2 3/2 3/2æö11t 33(63) Khi ñoù: I=òç÷-dt==lnln 1/2 èøt-3t 2t21/2 5(4-3) 7 x3dx Ví duï 5: Tính tích phaân : I = ò 3 2 0 1x+ Giaûi: 3t2dt Ñaët t=3 x2+1Þt32=+x1, khi ñoù: 3t2dt=2xdxÞ=dx. 2x Ñoåi caän: vôùi x = 0 Þ t = 1; x=7Þ=t2. x3dxx32.3tdt Ta coù: ==3t(t34-1)dt=-3(tt)dt. 31x+22xt 2 2 52 4 æött141 Khi ñoù: I=3ò(t-t)dt=3.ç÷-= 1 èø52110 b Baøi toaùn 3: Söû duïng phöông phaùp ñoåi bieán soá daïng 3 tính tích phaân I= f(x)dx. òa Giaûi: Döïa vaøo vieäc ñaùnh giaù caän cuûa tích phaân vaø tính chaát cuûa haøm soá döôùi daáu tích phaân ta coù theå löïa choïn pheùp ñaët aån phuï, thoâng thöôøng: a · Vôùi I==ò f(x)dx0 coù theå löïa choïn vieäc ñaët x = –t -a p /2 p · Vôùi I= ò f(x)dx coù theå löïa choïn vieäc ñaët t=-x. 0 2 Trang 95
Tích phaân Traàn Só Tuøng p • Vôùi I= ò f(x)dx coù theå löïa choïn vieäc ñaët t = p – x 0 2p · Vôùi I= ò f(x)dx coù theå löïa choïn vieäc ñaët t = 2p – x 0 b · Vôùi I= ò f(x)dx coù theå löïa choïn vieäc ñaët x = a + b + t a Ghi chuù: Xem vaán ñeà 6 1 Ví duï 6: Tính tích phaân : I= ò x2004 sinxdx -1 Giaûi: 01 Vieát laïi I veà döôùi daïng: I=+òòx2004sinxdxx2004 sinxdx. (1) -10 0 Xeùt tích phaân J= ò x2004 sinxdx. -1 3t2dt Ñaët x=-tÞdx=-dt khi ñoù: 3t2dt=2xdxÞ=dx. 2x Ñoåi caän: x = –1 Þ t = 1; x = 0 Þ t = 0 01 Khi ñoù: I=-òò(-t)2004sin(-t)dt=- x2004 sinxdx. 10 Thay (2) vaøo (1) ta ñöôïc I = 0. (2) p/2 cosx4 Ví duï 7: (ÑHGT Tp.HCM_99) Tính tích phaân : I= dx. ò 44 0cosx+sinx Giaûi: p Ñaët t=-xÞdx=-dt 2 p p Ñoåi caän: vôùi x = 0 Þ t = ; x=Þ=t0. 2 2 4 p 0cos( t)(dt) pp/2sin44tdt/2 sinx Khi ñoù: I=2 ==dx. òòò4444 44ppcost++sintcosxsinx p/2cos(-t)+-sin(t) 00 22 pp/2cos44x+sinx /2 pp Do ñoù: 2I=dx=dx=Þ=I. òò44 00cosx+ sinx 24 Trang 96
Traàn Só Tuøng Tích phaân BAØI TAÄP Baøi 6. Tính caùc tích phaân sau: p 3 1 1 xdx 3 sinx.cosx a/ x5(1-x)36dx; b/ c/ x521-xdx; d/ 2 dx ò0 ò0x42++x1 ò0 ò0 1+cosx2 1 p 3 848 11 ÑS: a/ ; b/ c/ ; d/ -ln2. 168 18 105 22 Baøi 7. Tính caùc tích phaân sau: p cosx.dx p cosx a/ 6 ; b/ 2 dx; ò0 6-+5sinxsinx2 ò0 7+ cos2x 1 cosx.dx p c/ ; d/ x.sinx.cos2 xdx ò-1 e1x + ò0 10 p 2 p ÑS: a/ ln; b/ ; c/ sin1; d/ ; 9 12 3 Trang 97
Tích phaân Traàn Só Tuøng Vaán ñeà 3: TÍNH TÍCH PHAÂN BAÈNG PHÖÔNG PHAÙP TÍCH PHAÂN TÖØNG PHAÀN b b b Coâng thöùc: òòudv=-uva vdu aa b Baøi toaùn1: Söû duïng coâng thöùc tích phaân töøng phaàn xaùc ñònh I= ò f(x)dx. a PHÖÔNG PHAÙP GIAÛI Ta thöïc hieän theo caùc böôùc sau: bb Böôùc 1: Bieán ñoåi tích phaân ban ñaàu veà daïng: I==òòf(x)dxf12(x).f(x)dx. aa ìu= f1(x) ìdu Böôùc 2: Ñaët: ííÞ îdv= f22(x)dxvî b b Böôùc 3: Khi ñoù: I=-uva ò vdu. a Chuùng ta caàn nhôù laïi caùc daïng cô baûn: Daïng 1: I=òòP(x)sinaaxdx(hoaëcP(x)cosxdx) vôùi P laø moät ña thöùc thuoäc R[x] vaø aÎR* khi ñoù ñaët u = P(x). Daïng 2: I= òòeaxcos(bx)(hoaëceax sin(bx)) vôùi a,b0¹ khi ñoù ñaët u = cos(bx) hoaëc u = sin(bx)). Daïng 3: I==òòP(x)eaaxxdx(hoaëcIP(x)edx) vôùi P laø moät ña thöùc thuoäc R[x] vaø aÎR* khi ñoù ta ñaët u = P(x). Daïng 4: I=ò xa .lnxdx,vôùiaÎ-R\{1} khi ñoù ñaët u = lnx. p /2 Ví duï 1: Tính tích phaân: I=+ò(x2 1)sinxdx. 0 Giaûi: ìu=(x2 +ì1) du= 2xdx Ñaët: ííÛ îdv=sinxdx îv=-cosx pp/2/2 p/2 Khi ñoù: I=-(x2 +1)cosx+2xcosxdx=+12xcosxdx (1) 0 òò 00 p/2 Xeùt tích phaân J= ò xcosxdx. 0 Trang 98
Traàn Só Tuøng Tích phaân ììu==xdudx Ñaët: ííÛ îîdv==cosxdxvsinx p/2 pp/2pp/2 Khi ñoù: J=xsinx00-ò sinxdx=+cosx1=- (2) 022 æöp Thay (2) vaøo (1) ta ñöôïc: I=1+2ç÷-1=p-1. èø2 p Ví duï 2: (Ñeà 37). Tính tích phaân: I= òe2x2sinxdx. 0 Giaûi: pp1 Bieán ñoåi I veà daïng: I=òòe2xsin2xdx=-e2x(1cos2x)dx (1) 002 p p 2p 2x12x e1 · Xeùt tích phaân: I1 =òedxe==- (2) 0 20 22 p 2x · Xeùt tích phaân: I2 = òecos2xdx 0 ìdu=-2sin2xdx ìu=cos2x ï Ñaët: ííÛ 1 dv=e2xdx ve=2x îîï2 ppp2p 12x2xe1 2x Khi ñoù: I2 =ecos2x+òòesin2xdx=-+esin2xdx (3) 20 0022 p 2x · Xeùt tích phaân: I2,1 = òesin2xdx 0 ìdu= 2cos2xdx ìu= sin2x ï Ñaët: ííÛ 1 dv=e2xdx ve=2x îîï2 p p 1 2x2x Khi ñoù: I2,12=esin-òecos2xdx=-I. (4) 2 0 0 1442443 I2 e22pp1e1 Thay (4) vaøo (3), ta ñöôïc: I= IÛI.=- (5) 2222244 1e22pp1e11 Thay (2), (5) vaøo (1), ta ñöôïc: I=[ (-)]=-(e2p1). 222448 2 ln(1+ x) Ví duï 3: (ÑHHH Tp.HCM_2000) Tính tích phaân: I= dx. ò 2 1 x Trang 99
Tích phaân Traàn Só Tuøng Giaûi: ì 1 ìu=+ln(1x) du= dx ïïï 1x+ Ñaët: íídx Û dv = 1 ïïîx2 v = îïx 2 12211æö11 Khi ñoù: I=-ln(x+1)+òòdx=-ln3+ln2++ç÷dx x111x(x++1)2èøx1x 132 =-ln3+ln2+(ln|x|-ln(x+1))=-+ln33ln2. 221 BAØI TAÄP Baøi 8. Tính caùc tích phaân sau: p 1 e a/ 2 ex .sin3xdx; b/ (x+1)2xedx; c/ (x.lnx)2 dx; ò0 ò0 ò1 p 1 e 2 2 lnx d/ xln(x+1)dx e/ cosx.ln(1+ cosx)dx; f/ 1 dx. ò0 ò0 ò 2 e (x+ 1) 3- 2ex 5e12 - 7e13 - 1 p 2e ÑS: a/ ; b/ ; c/ d/ ln2;- e/ -1; f/ . 13 4 27 2 2 e1+ Trang 100
Traàn Só Tuøng Tích phaân Vaán ñeà 4: TÍNH TÍCH PHAÂN CAÙC HAØM CHÖÙA DAÁU TRÒ TUYEÄT ÑOÁI b Baøi toaùn: Tính tích phaân: I= ò f(x,m)dx. a PHÖÔNG PHAÙP GIAÛI Ta thöïc hieän theo caùc böôùc sau: Böôùc 1: Xeùt daáu bieåu thöùc f(x, m) treân [a, b] Töø ñoù phaân ñöôïc ñoaïn [a, b] thaønh caùc ñoaïn nhoû, giaû söû: [a,b]=[a,c1]È[c1,c2k]ÈÈ [c,b]. maø treân moãi ñoaïn f(x, m) coù moät daáu. cc12 b Böôùc 2: Khi ñoù: I=òf(x,m)dx+òòf(x,m)dx++ f(x,m)dx. acc1k 4 Ví duï 1: Tính tích phaân: I=òx2 -+3x2dx -1 Giaûi: Ta ñi xeùt daáu haøm soá f(x)=-+x2 3x2 treân [–1, 4], ta ñöôïc: x –1 1 2 4 f(x) + 0 – 0 + 124 Khi ñoù: I=ò(x2-3x+2)dx-òò(x22-3x+2)dx+(x-+3x2)dx -112 124 æ1332öæ1332öæö132319 =çx-x+2x÷-çx-x+2x÷+ç÷x-x+=2x. è32ø-1è32ø12èø322 Chuù yù: Vôùi caùc baøi toaùn chöùa tham soá caàn chæ ra ñöôïc caùc tröôøng hôïp rieâng bieät cuûa tham soá ñeå kheùo leùo chia ñöôïc khoaûng cho tích phaân, ta xeùt hai daïng thöôøng gaëp trong phaïm vi phoå thoâng sau: b Daïng 1: Vôùi tích phaân: I=òx-adx. a PHÖÔNG PHAÙP GIAÛI Khi ñoù vôùi xÎ[a,b] caàn xeùt caùc tröôøng hôïp: Tröôøng hôïp 1: Neáu a ³ b thì: b b æöx12 I=ò(a-x)dx=ç÷ax-=(a-b)(a+b-a2) a èø22a Tröôøng hôïp 2: Neáu a < a < b thì: Trang 101
Tích phaân Traàn Só Tuøng a b a b xx22 I=òò(a-x)dx+(x-a)dx=(ax-)+(-ax) a a 22a a 1 =a2+(a+b)a++(a22b). 2 Tröôøng hôïp 3: Neáu a £ a thì: b b x12 I=ò(x-a)dx=(-ax)=(a-b)(2a ab). a 22a b Daïng 2: Vôùi tích phaân: I=òx2 -ax+bdx. a PHÖÔNG PHAÙP GIAÛI Khi ñoù vôùi xÎ[a,b] caàn xeùt caùc tröôøng hôïp: b Tröôøng hôïp 1: Neáu D=a2-40b£ thì: I=ò(x2 +ax+b)dx a 2 Tröôøng hôïp 2: Neáu D > 0 thì x+ax0+b= coù hai nghieäm phaân bieät x12 adx(a0) 0 Giaûi: Ta ñi xeùt caùc tröôøng hôïp sau: Tröôøng hôïp 1: Neáu a ³ 1 1 11 32 2 æöxaxa1 Khi ñoù: I=-òòx.(x-a)dx=-(x-ax)dx.=-ç÷-=- 00 èø32023 Tröôøng hôïp 2: Neáu 0 < a < 1 Trang 102
Traàn Só Tuøng Tích phaân a1a1 Khi ñoù: I=-òx.(x-a)dx+òx.(x-a)dx=-òò(x22-ax)dx+-(xax)dx 0a00 a1 æx3ax2öæöx3ax23aa1 =-ç-÷+ç÷-=-+. è32ø0aèø32323 BAØI TAÄP Baøi 9. Tính caùc tích phaân sau: 5 1 1 |x|dx a/ (|x+2| |x2|dx; b/ (|2x 1|(x|2 )dx; c/ ; ò-3 ò-1 ò-1x42 x12 4 1 1 d/ x2 -+6x9dx; e/ 4-|x|.dx; f/ |x|-xdx ò1 ò-1 ò-1 3 3 g/ |2x -4|dx; h/ x32-+2xxdx. ò0 ò0 323 5 ÑS: a/ 8; b/ c/ ln; d/ ; 274 2 22 12438+ e/ 2(5-3); f/ ; g/ 4;+ h/ . 3 ln2 15 Baøi 10. Tính caùc tích phaân sau: p p 2 a/ p|sinx|dx; b/ 2+2cos2xdx ò- ò0 2 p 2p c/ 1-sin2xdx; d/ 1+sinx.dx. ò0 ò0 ÑS: a/ 2; b/ 4; c/ 22; d/ 42. 1 Baøi 11. Cho I(t)=|ex -Ît|.dx,tR ò0 a/ Tính I(t). b/ Tìm giaù trò nhoû nhaát cuûa I(t), vôùi tÎR. ìt+1-³e,te ï 2 ÑS: a/ í2t.lnt-3t+e+1,1<<te b/ minI(t)=(3-=1),te. ï îe-t-£1,t1 Baøi 12. Tính caùc tích phaân sau: 1 2 a/ |x-m|dx; b/ |x2 -(a++1)xa|dx. ò0 ò1 ì3a5- ï ,a2³ ì1 6 -£m,m0 ï ï2 ï(a 1)3 3a5 ÑS: a/ í b/ í-,1<<a2 1 36 ïm2 -m+,0<£m1. ï îï2 ï5-3a ï ,a1£ î6 Trang 103
Tích phaân Traàn Só Tuøng bb Vaán ñeà 5: CAÙCH TÍNH: max[f(x),g(x)]dx,min[f(x),g(x)]dx. òòaa Phöông phaùp: • Ta tìm max[f(x),g(x)],min[f(x),g(x) baèng caùch xeùt hieäu: f(x)-g(x) treân ñoaïn [a ; b] • Giaû söû ta coù baûng xeùt daáu: x a c b f(x) – g(x) + 0 – Töø baûng x eùt daáu ta coù: – vôùi x∈=[a;c]thìmax[f(x),g(x)]f(x) – vôùi x∈=[c;b]thìmax[f(x),g(x)]g(x). bcb • Töø ñoù: max[f(x),g(x)dx=+[f(x),g(x)]dxmax[f(x),g(x)]dx ∫a∫∫ac cb =+f(x).dxg(x).dx ∫∫ac • Caùch tìm min[f(x),g(x)] thöïc hieän töông töï. 2 Ví duï: Tính tích phaân: I=max[f(x),g(x)]dx, trong ñoù f(x)=x2 vaøg(x)=−3x2. ∫0 Giaûi: Xeùt hieäu: f(x)-g(x)=x2-+3x2 treân ñoaïn [0 ; 2] : x 0 1 2 f(x) – g(x) 0 + 0 – Do ñoù: – Vôùi xÎ=[0;1]thìmax[f(x);g(x)]x2 – Vôùi xÎ[1;2]thìmax[f(x);g(x)]=-3x2 12 Ta coù: I=+max[f(x);g(x)]dxmax[f(x);g(x)]dx òò01 1 32 12 x3æö =x22dx+(3x-2)dx=+-x2x òò01 ç÷ 320èø1 1317 =+6-4-+=2. 326 BAØI TAÄP Baøi 13. Tính caùc tích phaân sau: 2 2 a/ max(x;x2 )dx; b/ min(1;x2 )dx; ò0 ò1 p 2 c/ min(x;x3 )dx; d/ 2 (sinx,cosx)dx. ò0 ò0 55 47 ÑS: a/ ; b/ ; c/ ; d/ 2-2. 634 Trang 104
Traàn Só Tuøng Tích phaân Vaán ñeà 6: LÔÙP CAÙC TÍCH PHAÂN ÑAËC BIEÄT Trong vaán ñeà naøy ta ñi chöùng minh roài aùp duïng moät soá tính chaát cho nhöõng lôùp tích phaân ñaëc bieät. a Tính chaát 1: Neáu f(x) lieân tuïc vaø laø haøm leû treân [–a ; a] thì: I==ò f(x)dx0. -a PHÖÔNG PHAÙP GIAÛI a0a Bieán ñoåi I veà daïng: I=òf(x)dx=+òòf(x)dxf(x)dx (1) aa0 0 Xeùt tính phaân J= ò f(x)dx. -a Ñaët x=-tÞdx=-dt Ñoåi caän: x = –a Þ t = a; x = 0 Þ t = 0 Maët khaùc vì f(x) laø haøm leû Þ f(–t) = –f(t). 0aa Khi ñoù: J=-òf(-t)dt=-òòf(t)dt=- f(x)dx. a00 Thay (2) vaøo (1) ta ñöôïc I = 0 (ñpcm). AÙp duïng: 1/2 æö1x- Ví duï 1: Tính tích phaân: I= ò cosx.lnç÷dx. -1/2 èø1x+ Giaûi: æö1x- Nhaän xeùt raèng: haøm soá f(x)= cosx.lnç÷ coù: èø1x+ éù11 · Lieân tuïc treân - ; ëûêú22 æ1 xöæö1x · f(x)+f(-x)=cosx.lnç÷+-cos(x).lnç÷ è1++xøèø1x éùæ1-+xöæö1x =êúlnç÷+lnç÷cosx==ln1.cosx0. ëûè1+-xøèø1x Þf(-x)=-f(x). éù11 Vaäy, f(x) laø haøm leû treân - ; , do ñoù theo tính chaát 1 ta ñöôïc I = 0. ëûêú22 Chuù yù quan troïng: 1. Khi gaëp daïng tích phaân treân thoâng thöôøng hoïc sinh nghó ngay tôùi phöông phaùp tích Trang 105
Tích phaân Traàn Só Tuøng phaân töøng phaàn, xong ñoù laïi khoâng phaûi yù kieán hay. Ñieàu ñoù cho thaáy vieäc nhìn nhaän tính chaát caän vaø ñaëc tính cuûa haøm soá döôùi daáu tích phaân ñeå töø ñoù ñònh höôùng vieäc löïa choïn phöông phaùp giaûi raát quan troïng. 2. Tuy nhieân vôùi moät baøi thi thì vì tính chaát 1 khoâng ñöôïc trình baøy trong phaïm vi kieán thöùc cuûa saùch giaùo khoa do ñoù caùc em hoïc sinh leân trình baøy nhö sau: 0æ1 xö1/2 æö1x I=+òòcosx.lnç÷dxcosx.lnç÷dx . (1) -1/20è1++xøèø1x 0 æö1x- Xeùt tính chaát J=òcosx.lnç÷dx -1/2 èø1x+ Ñaët x=-tÞdx=-dt 11 Ñoåi caän: x=-Þ=t. x = 0 Þ t = 0. 22 Khi ñoù: 0æ1+tö1/2æ1 tö1/2 æö1x I=-òcos(-t).lnç÷dt=-òòcost.lnç÷dt=- cosx.lnç÷dx (2) 1/2è1-tø00èø1++tèø1x Thay (2) vaøo (1) ta ñöôïc I = 0. 3. Vaäy keå töø ñaây trôû ñi chuùng ta seõ ñi aùp duïng yù töôûng trong phöông phaùp chöùng minh tính chaát ñeå giaûi ví duï trong muïc aùp duïng. Tính chaát 2: Neáu f(x) lieân tuïc vaø laø haøm chaün treân ñoaïn [–a ; a] thì: aa I==òòf(x)dx2f(x)dx. -a0 PHÖÔNG PHAÙP GIAÛI a0a Bieán ñoåi I veà daïng: I=òf(x)dx=+òòf(x)dxf(x)dx (1) aa0 0 Xeùt tính phaân J=òf(x)dx. -a Ñaët x=-tÞdx=-dt Ñoåi caän: x = –a Þ t = a; x = 0 Þ t = 0 Maët khaùc vì f(x) laø haøm chaün Þ f(–t) = f(t) 0aaa Khi ñoù: J=-òf(-t)dt=òòòf(t)dt==f(t)dtf(x)dx (2) a000 a Thay (2) vaøo (1) ta ñöôïc I=2òf(x)dx ñpcm. 0 Chuù yù quan troïng: 1. Trong phaïm vi phoå thoâng tính chaát treân khoâng mang nhieàu yù nghóa öùng duïng, do ñoù a khi gaëp caùc baøi toaùn kieåu naøy chuùng ta toát nhaát cöù xaùc ñònh: I=òf(x)dx -a Trang 106
Traàn Só Tuøng Tích phaân 1 baèng caùch thoâng thöôøng, thí duï vôùi tích phaân: I= ò x2dx. -1 1 1 2x23 Ta khoâng neân söû duïng pheùp bieán ñoåi: I=2ò x2dx.== 0 330 bôûi khi ñoù ta nhaát thieát caàn ñi chöùng minh laïi tính chaát 2, ñieàu naøy khieán baøi toaùn trôû 1 x23 neân coàng keành hôn nhieàu so vôùi caùch laøm thoâng thöôøng, cuï theå: I.== 33-1 2. Tuy nhieân khoâng theå phuû nhaän söï tieän lôïi cuûa noù trong moät vaøi tröôøng hôïp raát ñaëc bieät. Tính chaát 3: Neáu f(x) lieân tuïc vaø laø chaün treân R thì : aaf(x)dx I==f(x)dxvôùi"aÎ>R+vaøa0. òòx -a a1+ 0 PHÖÔNG PHAÙP GIAÛI aaf(x)dx0 f(x)dxf(x)dx Bieán ñoåi I veà daïng: I ==+ òxòòxx -aa+1-a a++10a1 0 f(x)dx Xeùt tính phaân I = 1 ò x -a a1+ Ñaët x=-tÞdx=-dt Ñoåi caän: x = 0 Þ t = 0; x = –a Þ t = a. Maët khaùc vì f(x) laø haøm chaün Þ f)–t) = f(t). 0 f(-t)dtaaattf(t)dtaf(t)dt Khi ñoù: I === 1ò-tòòtt aa+100a++1a1 aatxf(t)dtaf(x)dxaa(a+1)f(x)dx Vaäy: I===f(x)dx. òtòxxòò 0a+10a++100a1 AÙp duïng: 1 x4dx Ví duï 2: Tính tích phaân: I = ò x -1 21+ Giaûi: 01x44dxxdx Bieán ñoåi I veà daïng: I =+ (1) òòxx -102++121 0 x4dx Xeùt tích phaân J = ò x -1 21+ Ñaët x = –t Þ dx = –dt Ñoåi caän: x = –1 Þ t = 1, x = 0 Þ t = 0. Trang 107
Tích phaân Traàn Só Tuøng 0(-t)4dt11t4.2t.dtx4x.2.dx Khi ñoù: J=-== (2) ò-tòòtx 12+1002++121 1x4.2x.dx1x4dx11x4x(2+1)dx1 Thay (2) vaøo (1) ta ñöôïc: I=+===x4dx. òxòxxòò 02+102++10021 5 éùppp/2/2 Tính chaát 4: Neáu f(x) lieân tuïc treân êú0; thì: òòf(sinx)dx=f(cosx)dx. ëû200 CHÖÙNG MINH p Ñaët t=-xÞdx=-dt 2 pp Ñoåi caän: x=0Þ=t, x=Þ=t0. 22 p/20ppp/2/2 Khi ñoù: òf(sinx)dx=-òf(sin(-t)dt==òòf(cost)dtf(cosx)dx ñpcm. 0p/2200 Chuù yù quan troïng: Nhö vaäy vieäc aùp duïng tính chaát 4 ñeå tính tích phaân: pp/2/2 I==òòf(sinx)dx(hoaëcIf(cosx)dx). 00 thöôøng ñöôïc thöïc hieän theo caùc böôùc sau: p Böôùc 1: Baèng pheùp ñoåi bieán tx=- nhö trong phaàn chöùng minh tính chaát, 2 p/2 ta thu ñöôïc I=òf(cosx)dx. 0 pp/2/2 Böôùc 2: Ñi xaùc ñònh kI (noù ñöôïc phaân tích kI=aòòf(sinx)dx+b f(cosx)dx)), 00 p/2pp/2/2 thöôøng laø: 2I=òf(sinx)dx+òòf(cosx)dx=+[f(sinx)f(cosx)]dx . 000 Töø ñoù suy ra giaù trò cuûa I. AÙp duïng: p/2 cosn xdx Ví duï 3: Tính tích phaân: I= ònn 0cosx+sinx Giaûi: p Ñaët t=-xÞdx=-dt 2 p p Ñoåi caän: x=0Þ=t, x=Þ=t0. 2 2 Trang 108
Traàn Só Tuøng Tích phaân n æöp cos t(dt) 0ç÷ pp/2sinnntdt/2 sinx Khi ñoù: I=èø2 == dx. òòònnnn nnæppöæöcost++sintcosxsinx p/2cosç-t÷+-sintç÷00 è22øèø pp/2cosnnx+sinx /2 pp Do ñoù: 2I=dx=dx=Þ=I. òònn 00cosx+sinx 24 bbab+ Tính chaát 5: Neáu f(x) lieân tuïc vaø f(a + b – x) = f(x) thì I==òòxf(x)dxf(x)dx. aa2 CHÖÙNG MINH Ñaët x=a+b-tÞdx=-dt Ñoåi caän: x = a Þ t = b; x = b Þ t = a ab Khi ñoù: I=òò(a+b-t)f(a+b-t)(-dt)-(a+-bt)f(t)dt ba bbbbb =ò(a+-b)f(t)dtòtf(t)dt=(a+b)òf(t)dt-òòxf(x)dx=(a+-b)f(t)dtI aaaaa bbab+ Û2I=(a+b)òòf(t)dtÛ=If(x)dx. aa2 p-app-a Heä quaû 1: Neáu f(x) lieân tuïc treân [0 ; 1] thì: I==òòxf(sinx)dxf(sinx)dx aa2 Höôùng daãn chöùng minh: Ñaët x = p – t Þ dx = –dt. AÙp duïng: pxsinxdx Ví duï 4: Tính tích phaân: I.= ò 2 0 4-cosx Giaûi: pxsinxdxppxsinxdx Bieán ñoåi I veà daïng: I===xf(sinx)dx. ò22òò 04-(1-+sinx)003sinx Ñaët x=p-tÞdx=-dt Ñoåi caän: x = p Þ t = 0; x = 0 Þ t = p. 0 (p-t)sin(p-t)dtp(p-pt)sintdtppsintdttsintdt Khi ñoù: I=-==- ò2ò2òò22 p4-cos(p-t)04-cost004 cost4cost pd(cost)ppd(cost)d(cost) =-p-IÛ2I =-p=p ò2òò22 04-cost004 costcost4 p ppd(cost)p1cost-p2ln9 ÛI===.ln. ò2 20cost4-24cost+280 Trang 109
Tích phaân Traàn Só Tuøng 22p-ap-a Heä quaû 2: Neáu f(x) lieân tuïc treân [0 ; 1] thì: I=òòxf(cosx)dx=p f(cosx)dx. aa Höôùng daãn chöùng minh: Ñaët x = 2p – t Þ dx = –dt. AÙp duïng: 2p Ví duï 5: Tính tích phaân: I=òx.cos3 xdx 0 Giaûi: Ñaët x=2p-tÞdx=-dt Ñoåi caän: x = 2p Þ t = 0; x = 0 Þ t = 2p. 02p Khi ñoù: I=òò(2p-t).cos33(2p-t)(-dt)=(2p-t).costdt 20p 2p22ppp =2pòcos33tdt-òòtcostdt=(cos3t+-3cost)dtI 0002 2p pæö1 Û2I=ç÷sin3t+3sint=0Û=I0. 23èø0 b Tính chaát 6: Neáu f(x) lieân tuïc vaø f(a + b – x) = –f(x) thì I==òf(x)dx0. a CHÖÙNG MINH Ñaët x=a+b-tÞdx=-dt Ñoåi caän: x = a Þ t = b; x = b Þ t = a abb Khi ñoù: I=òf(a+b-t)(-dt)=-òòf(t)dt=-f(x)dx=-IÛ2I=0Û=I0. baa AÙp duïng: p/2 æö1+sinx Ví duï 6: (CÑSPKT_2000) Tính tích phaân: I=òlnç÷dx. 0 èø1+cosx Giaûi: p Ñaët t=-xÞdx=-dt 2 pp Ñoåi caän: x=0Þ=t, x=Þ=t0. 22 æöæöp 01+-sintç÷ pp/2 ç÷èø2 æ1++costöæö1sint Khi ñoù: I=òlnç÷(-dt)=òòlnç÷dt=- lnç÷dt p/2ç÷æöp00è1++sintøèø1cost ç÷1+-costç÷ èøèø2 p/2 æö1+sinx =-òlnç÷dx=-IÛ2I=0Û=I0. 0 èø1+cosx Trang 110
Traàn Só Tuøng Tích phaân Chuù yù: Neáu ta phaùt bieåu laïi tính chaát 6 döôùi daïng: ba “Giaû söû f(x) leân tuïc treân [a ; b], khi ñoù: òòf(x)dx=f(a+-bx)dx" ab Ñieàu ñoù seõ giuùp chuùng ta coù ñöôïc moät phöông phaùp ñoåi bieán môùi, cuï theå ta xeùt ví duï sau: p/4 Ví duï 7: Tính tích phaân: I=+òln(1tgx)dx. 0 Giaûi: p Ñaët t=-xÞdx=-dt 4 pp Ñoåi caän: x=0Þ=t, x=Þ=t0 44 0p-pp/41tgt2/4 Khi ñoù: I=-òln[1+tg(-t)dt=òòln(1+=)dtlndt p/44001++tgt1tgt p/4pp/4/4 p/4 =ò[ln2-ln(1+tgt)]dt=ln2òòdt-ln(1+tgt)dt=-ln2.tI0 000 ppln2ln2 Û2I=Û=I. 48 Tính chaát 7: Neáu f(x) lieân tuïc treân ñoaïn [0 ; 2a] vôùi a > 0 thì 2aa òòf(x)dx=[f(x)+-f(2ax)]dx. a0 CHÖÙNG MINH 2aa2a Ta coù: òf(x)dx=+òòf(x0dxf(x)dx (1) a0a 2a Xeùt tích phaân I2 =òf(x)dx. a Ñaët x=2a-tÞdx=-dt Ñoåi caän: x = a Þ t = a; x = 2a Þ t = 0. 0aa Khi ñoù: I2=-òòòf(2a-t)dt=f(2a-t)dt=-f(2ax)dx (2) a00 Thay (2) vaøo (1) , ta ñöôïc: 2aaaa òf(x)dx=òf(x)dx+òòf(2a-x)dx=[f(x)+-f(2ax)]dx. (ñpcm) a000 AÙp duïng: 3p Ví duï 8: Tính tích phaân: I=òsinx.sin2x.sin3x.cos5xdx. 0 Trang 111
Tích phaân Traàn Só Tuøng Giaûi: Vieát laïi I döôùi daïng: 3pp/23 I=+òòsinx.sin2x.sin3x.cos5xdxsinx.sin2x.sin3x.cos5xdx. (1) 03p/2 3p Xeùt tích phaân J= ò sinx.sin2x.sin3x.cos5xdx. 3p/2 Ñaët x=3p-tÞdx=-dt 33pp Ñoåi caän: x=Þ=t, x=3pÞ=t0. 22 0 Khi ñoù: J=-ò sin(3p-t).sin2(3p-t).sin3(3p-t).cos5(3p-t)dt 3p/2 3pp/23/2 =-òòsint.sin2t.sin3t.cos5tdt=- sinx.sin2x.sin3x.cos5xdx. (2) 00 Thay (2) vaøo (1), ta ñöôïc: I = 0. a+TT Tính chaát 8: Neuá f(x) lieân tuïc treân R vaø tuaàn hoaøn vôùi chu ky ø T thì : òòf(x)dx= f(x)dx. a0 CHÖÙNG MINH Taa+TT Ta coù: òf(x)dx=òf(x)dx++òòf(x)dxf(x)dx (1) 00aaT+ T Xeùt tích phaân I3 = ò f(x)dx. aT+ Ñaët t=x-TÞ=dxdt Ñoåi caän: x = a + T Þ t = a; x = T Þ t = 0. 0aa Khi ñoù: I3=òf(t+T)dt=-òòf(t)dt=- f(x)dx. (2) a00 TaT+ Thay (2) vaøo (1) , ta ñöôïc: òòf(x)dx= f(x)dx. (ñpcm) 0a AÙp duïng: 2004p Ví duï 8: Tính tích phaân: I=-ò1cos2xdx. 0 Giaûi: Vieát laïi I döôùi daïng: 2004p2p4pp2004 I=2òsinxdx=2(òsinxdx+òòsinxdx++ sinxdx) (1) 002pp2002 Theo tính chaát 8, ta ñöôïc: Trang 112
Traàn Só Tuøng Tích phaân 2p42ppp òsinxdx=òsinxdx=-1002(òòsinxdxsinxdx) 020pp pp2 =10022(cosx0+=cosxp)40082. Nhaän xeùt: Nhö vaäy neáu baøi thi yeâu caàu tính tích phaân daïng treân thì caùc em hoïc sinh nhaát thieát phaûi phaùt bieåu vaø chöùng minh ñöôïc tính chaát 8, töø ñoù aùp duïng cho tích phaân caàn tìm. BAØI TAÄP Baøi 14. Tính caùc tích phaân sau: 2 p 2 1 p p 1x- 2 x+cosx 3 sinx a/ x dx; b/ p 2 dx; c/ x.sinx.dx; d/ x dx; ò1- ò- ò0 ò-p 12+ 2 4-sinx 31+ p 22 4 1 1 2 2x|sinx| x+sinx x22 e/ p xdx; f/ 2 dx; g/ (e.sinx+e.x)dx; ò- ò-1 ò-1 212+ x1+ p7 1 1 dx sinx h/ ln32(x++x1)dx; i/ ; k/ 2 dx. ò-1 ò-1(ex2++1)(x1) ò0sin77x+cosx p13pp ÑS: a/ ; b/ ln9; c/ ; d/ ; e/ p+2; 4242 p42 pp f/ -; g/ e;2 h/ 0; i/ ; k/ . 23 3 44 Baøi 15. Cho lieân tuïc treân R vaø thoaû maõn: f(x)+f(-x)=2-2cos2x,"ÎxR 3p 2 Tính tích phaân I=3pf(x)dx. ÑS: 6. ò- 2 tgaax.dxcotg dx Baøi 16. Chöùng minh raèng: +=1,(tga>0) . òò1122 eex++1x(x1) æö1 Baøi 17. Cho haøm soá f(x) lieân tuïc treân ñoaïn [0;+¥=)thoûamaõnf(t)f,ç÷ vôùi ">t0 vaø èøt haøm soá. ì p f(tgx),neáu0x££ ï 2 g(x) =í p ïf(0),neáux= îï2 Chöùng minh raèng: éùppp a/ g(x) lieân tuïc treân 0;; b/ 4 g(x).dx=2 g(x).dx. êú òò0 p ëû2 4 Trang 113
Tích phaân Traàn Só Tuøng Vaán ñeà 7: TÍCH PHAÂN CAÙC HAØM SOÁ HÖÕU TÆ (xem laïi vaán ñeà 7 cuûa baøi hoïc 1) BAØI TAÄP Baøi 18. Tính caùc tích phaân sau: 4 2 9 3 x1- 1 x.dx 5 (2x+18)dx 52 x.dx a/ dx; b/ ; c/ ; d/ ; ò0 x92 + ò-1 (x+ 2)2 ò1 (x22-+6x13) ò0 (x53+1) 15 42 x.dx 1 1 e/ ò ; f/ ò (1+ x)n dx; g/ ò x(1- x)2ndx; 0 4 (x82+1) 0 0 20p 4 117p 2 ÑS: a/ -18; b/ ln3;- c/ + ; d/ ; 3 3 84 45 3525 21n1+ - 1 e/ .5 125;+ f/ ; g/ . 192192 n1+ 2(n+1) Baøi 19. Tính caùc tích phaân sau: 3 1 3 2 x.dx x.dx 2 dx a/ ; b/ 2 ; c/ ; ò1 x18 + ò0 x2 -+3x2 ò0 x(x4 +1) 2 tgax.dxcotga dx b (a-x)dx d/ 11+>,(tga0) e/ ,(a,b>0); òò22 ò0 22 ee1++xx(1x) (a+x) 26+ x12+ 15+ (x2+1)dx f/ 2 dx; g/ 2 . ò1 x14+ ò1x42-+x1 p 12137 132 ÑS: a/ ; b/ ln+ ln; c/ ln; d/1; 16 4242 417 b p p e/ ; f/ ; g/ . ab+ 2 8 4 Trang 114
Traàn Só Tuøng Tích phaân Vaán ñeà 8: TÍCH PHAÂN CAÙC HAØM LÖÔÏNG GIAÙC (xem laïi vaán ñeà 8 cuûa baøi hoïc 1) BAØI TAÄP Baøi 20. Tính caùc tích phaân sau: p cos2x.dx p 4sin3 x.dx p dx a/ 8 ; b/ 4 ; c/ 4 ; ò0 sin2x+ cos2x ò0 1+ cosx4 ò0sin22x+-2sinxcosx8cosx p sinx.dx psin66x+cosx p 4 4 4 cos2x.dx d/ 66; e/ p xdx; f/ ; ò0 ò- ò0 3 sinx+ cosx 461+ (sinx++cosx2) psinx++7cosx6 p sinx.cosxdx g/ ò2 dx; h/ ò 2 dx(a,b¹ 0) 0 4sinx++3cosx5 0 a2.cos2x+ b22.sinx p 1 3+ 22 12 2 ÑS: a/ + ln2; b/ 2ln; c/ ln; d/ ln4; 168 2 65 3 5p 85+ 82 p 91 1 e/ ; f/ - ; g/ ++ln; h/ . 32 27 (2+ 2)2 286 |b|+ |a| Baøi 21. Tính caùc tích phaân sau: p cis3x.dx p cosx- sinx pcotg.3 sin3 x-sinx.dx a/ 2 ; b/ 4 dx; c/ 2 ; òp ò0 òp 3 6 sinx 2+ sin2x 3 sinx p p p 3 3 x.sinx.dx 43 d/ x.sinx.cosx.dx; e/ p 2 ; f/ x- cosx.sinx.dx. ò0 ò- ò0 3 cosx æö32+ 3 9 ÑS: a/ ln(2+1); b/ ln;ç÷ c/ - ; èø21+ 24 p 4p 4p d/ ; e/ -+2ln(23); f/ . 3 3 35 sin2x Baøi 22. Tìm hai soá A, B ñeå haøm soá f(x) = coù theå bieåu dieãn döôùi daïng: (2+ sinx)2 A.cosxB.cosx f(x).=+ (2+sin)2 2+sinx 0 Töø ñoù tính: p f(x).dx. ò- 2 ÑS: A = –4; B = 2; ln4 – 2. Baøi 23. Tính caùc tích phaân sau: p p p2 x.dx 2 2 2 3 a/ x.cosx.dx; b/ p2 cos(x).dx; c/ ; ò0 ò òp 2 4 4 sinx Trang 115
Tích phaân Traàn Só Tuøng p p3 2x x d/ 4 x.tg2x.dx; e/ 8 sin3 x.dx; f/ x2.sin.dx; ò0 ò0 ò0 2 p2 31p2 p-(943) ÑS: a/ - 2; b/ + ; c/ ; 4 82 36 pp1 2 d/ ln2; e/ 3p-6; f/ -8(p+2 4). 4232 Baøi 24. Tính caùc tích phaân sau: p p a/ sinn1- x.cos(n+1).dx,(nÎ³N,n1); b/ cosn1- x.sin(n-1)x.dx; ò0 ò0 p p c/ 2 cosn x.sin(n+1)x.dx; d/ 2 cosnx.sin(n+ 2)x.dx. ò0 ò0 1 ÑS: a/ 0; b/ 0; c/ 0; d/ . n1+ Baøi 25. Tính caùc tích phaân sau: p p cosn x.dx a/ I=-2 (cosxsinx)dx; b/ I;= 2 ò0 ò0cosnnx+ sinx p 5cosx-4sinx p 3sinx+ 4cosx c/ I;= 2 d/ I= 2 dx. ò0 (cosx+sinx)3 ò03sin22x+ 4cosx p 1 p ÑS: a/ 0; b/ ; c/ ; d/ + ln3. 4 2 23 ppsin22x.dxcosx.dx Baøi 26. Ñaët: I==66vaøJ. òò00sinx++3cosxsinx3.cosx a/ Tính: I – 3J vaø I + J. 5p 3 cos2x.dx b/ Töø caùc keát quaû treân haõy tính caùc giaù trò cuûa I, J vaø K : K.= ò3p 2 cosx- 3sinx 1 131- ÑS: a/ I-3J=1-3;I+=Jln3; b/ K=-ln3. 4 82 pp Baøi 27.a/ Chöùng minh raèng: 22cos65x.cos6x.dx=cosx.sinxsin6x.dx òò00 p b/ Tính: J= 2cos57x.cosx.dx. ò0 ÑS: b/ J = 0. Trang 116
Traàn Só Tuøng Tích phaân Vaán ñeà 9: TÍCH PHAÂN CAÙC HAØM SOÁ VOÂ TÆ (xem laïi vaán ñeà 9 cuûa baøi hoïc 1) BAØI TAÄP Baøi 28. Tính caùc tích phaân sau: 3 æöx-1dx 6 x- 4dx 1 x a/ 3 ç÷.; b/ .; c/ .(x-2).dx; ò2 èx1+ø-(x1)2 ò4 x++2x2 ò0 4x- 2 1x+ 1 dx d/ ò2 .dx; e/ ò ,mÎN.* 0 1x- 0 (1++xmm).m 1x 3 ÑS: a/ (3 3- 3 2); b/ ln3-1; c/ p-4; 2 1 1 d/ (p+-422); e/ -1. 4 m 2 Baøi 29. Tính caùc tích phaân sau: 4 dx 6 dx 1 a/ ò ; b/ ò ; c/ ò x32.1+ xdx; 2 x16x- 2 23xx92- 0 3 2 2 d/ x224- x.dx; e/ x(x23+ 4).dx; f/ 2 x2.(3- x23). ò-1 ò0 ò0 1 æöp p 2 ÑS: a/ - lnç÷tg; b/ ; c/ (2-1); 4èø12 18 15 53p 32 9 d/ - ; e/ (42-1); f/ (4p+93). 64 5 64 Baøi 30. Tính caùc tích phaân sau: 2 2 1 2 4 1 1 x4- 1x- 2 dx x.dx a/ 43 dx; b/ 2 .dx; c/ ; d/ ; ò ò 2 ò1 2 ò0 2 3 x 2 x 4 xx- 2xx- a n1- a 2a n x.dx e/ ò x2x22- x.dx; f/ ò x2ax- x2 .dx; g/ ò 2 (a>³0;n2). 0 0 0 ax2- 2n 1 1 p 1 ÑS: a/ (43-p); b/ (4-p); c/ ; d/ (3p-8); 3 4 6 4 pa4 pa3 p e/ ; f/ ; g/ . 16 2 6n Baøi 31. Tính caùc tích phaân sau: p dx 1 dx a/ ò 2 ; b/ ò ; 0 x+3++x1 -1 1+x++1x2 Trang 117
Tích phaân Traàn Só Tuøng 2 dx 8 (2x+1)dx c/ ò ; d/ ò ; 1 x22(x++1x) 4 x2 -4x++x2 19 ÑS: a/ 32; b/ 1; 6 (2+5)(2 1)225 1 c/ ln;+ d/ 8-32-+ln(322). 22 2 n a x.dx Baøi 32. Cho I=ò ;(a>Î0,nN) 0 xa33+ a/ Vôùi giaù trò naøo cuûa n thì I khoâng phuï thuoäc vaøo a. b/ Tính I vôùi n tìm ñöôïc. 1 2 ÑS: a/ n;= b/ ln(1+2). 2 3 Trang 118
Traàn Só Tuøng Tích phaân Vaán ñeà 10: TÍCH PHAÂN CAÙC HAØM SIEÂU VIEÄT (xem laïi vaán ñeà 10 cuûa baøi hoïc 1) BAØI TAÄP Baøi 33. Tính caùc tích phaân sau: xx ln2 ln5 e.e1- e dx a/ 1-e2x .dx; b/ dx; c/ ; ò ò x ò1 0 0 e3+ x1-lnx2 2 3 2 e dx e 1+ lnx e lnx1+ lnx d/ ; e/ dx; f/ . ò1 x(1+ lnx2 ò1 x ò1 x 1æö23- p ÑS: a/ ç÷3+ ln; b/ 4;-p c/ ; 2 èø23+ 6 p 21 3 d/ ; e/ ++ln(12); f/ (3 16-1). 4 22 8 Baøi 34. Tính caùc tích phaân sau: 2 lnx e2 æö11 e3 ln(lnx).dx a/ dx; b/ ç÷- dx; c/ 2 ; ò0 x2 òe èølnx2 lnx òe x p 1 ln(x+1).dx e lnx.dx ln(sinx).dx d/ ; e/ ; f/ 3 . ò0 ò1 2 òp 2 x1+ (x+1) 6 cosx 1 1 27 ÑS: a/ (1-2ln2); b/ (2e-e2); c/ ln; 2 2 4e 333 p d/ 2ln4-+424; e/ 0; f/ ln.- 326 Baøi 35. Tính caùc tích phaân sau: p p a/ 2 log(1+ tgx).dx; b/ 4 ln(1+ tgx)dx; ò0 2 ò0 p 1+cosx x (1+sinx) 1 x.edx c/ 2 lndx; d/ ; ò0 1+cosx ò0 (1+ e)x3 p p e2 +4e++11æöe1 ÑS: a/ ; b/ ln2; c/ 2ln2-1; d/ - ln.ç÷ 8 8 4(e+1)2 22èø Trang 119
Tích phaân Traàn Só Tuøng Vaán ñeà 11: PHÖÔNG TRÌNH BAÁT PHÖÔNG TRÌNH TÍCH PHAÂN Ñeå giaûi phöông trình, baát phöông trình tích phaân thoâng thöôøng tröôùc tieân ta caàn ñi xaùc ñònh tích phaân trong phöông trình, baát phöông trình ñoù, sau ñoù seõ thu ñöôïc moät phöông trình, baát phöông trình ñaïi soá quen thuoäc. BAØI TAÄP x Baøi 36. Giaûi vaø bieän luaän phöông trình sau vôùi aån x: 2ò(mt-m+2)dt=-3m 0 ÑS: · m > 4 : voâ nghieäm 1 · m = 4 : xx== 122 3 · m = 0 : x = 4 m-2±-4m • 0¹m : 2 nghieäm 2 x Baøi 38. Cho I(x)=+ò(e2te-2t )dt. 0 a/ Tính I(x) khi x = ln2 b/ Giaûi vaø bieän luaän phöông trình: I(x) = m. 15 ÑS: a/ ; b/ x=lnm+1+"m2 ,m 8 Baøi 39. Giaûi caùc phöông trình sau vôùi aån x (x > 0) : x 1+ lnt x dt p x p a/ dt=18; b/ = ; c/ et -1.dt=-2; ò ò 2 ò 1 t 2 tt1- 2 0 2 e x x t 1xx2 1 t1- d/ ò(2.ln2-2t+2)dt=+2. e/ ò 7.ln7dt=6log7(6x-³5),vôùix1. 0 2 0 Trang 120
Traàn Só Tuøng Tích phaân x tdt f/ =6-2x(1+-21x)2 ò 22 31-t.1+-1t 2 ÑS: a/ x==e57;xe;- b/ x= 2; c/ x = ln2; 1 d/ x = 1; e/ x = 1; x = 2; f/ x.= 2 x Baøi 40. Tìm m ñeå phöông trình: x32+ò[3t+4(6m-1)t-3(2m-=1)]dt1 1 coù 3 nghieäm phaân bieät coù toång bình phöông baèng 27. ÑS: m = 1. Baøi 41. Giaûi caùc phöông trình sau: x 3 x a/ ò(4sin4 t-=)dt0; b/ òcos(t-=x2 )dtsinx; 0 2 0 x dt c/ =Îtgxvôùix[0;1). ò23 0 (1-t) p ÑS: a/ x=ÎK,KZ; 2 éxK=p ê b/ êx=±l2p=l0,1,2, c/ x = 0. ê 1±1+pm8 êx==,m0,1,2 ë2 Trang 121
Tích phaân Traàn Só Tuøng Vaán ñeà 12: THIEÁT LAÄP COÂNG THÖÙC TRUY HOÀI 1. Nhaän xeùt: Trong nhöõng tröôøng hôïp haøm döôùi daáu tích phaân phuï thuoäc vaøo tham soá n (n Î N), khi ñoù ngöôøi ta thöôøng kyù hieäu In ñeå chæ tích phaân phaûi tính. 1. Hoaëc laø ñoøi hoûi thieát laäp moät coâng thöùc truy hoài, töùc laø coâng thöùc bieåu dieãn In theo caùc In+K, ôû ñaây 1 ≤ K ≤ n. 2. Hoaëc laø chöùng minh moät coâng thöùc truy hoài cho tröôùc. 3. Hoaëc sau khi coù coâng thöùc truy hoài ñoøi hoûi tính moät giaù trò I cuï theå naøo n0 ñoù. 2. Moät soá daïng thöôøng gaëp: p/2 n Daïng 1: In =Îòsinx.dx(nN) 0 · Ñaët: u=sinn 1xÞdu=-(n1)).sinn2x.dx dv=sinx.dxÞv=-cosx. én-p1/2 ÞIn=ë-sinx.cosx]0+(n 1).(I1-2nI) p/2 n Daïng 2: In =Îòcosx.dx(nN) 0 · Ñaët: u=cosn 1xÞdu= (n1).cosn2x.dx dv=cosx.dxÞ=vsinx. én-p1/2 ÞIn=ëcosx.sinx]0+(n 1).(In-2nI) p/4 n Daïng 3: In = ò tgx.dx. 0 n+2n2næö1 n2 · Phaân tích: tgx=tgx.tgx=tgx.ç÷-1=tgx(1+-tgx1) èøcosx2 1 Suy ra: II+= (khoâng duøng tích phaân töøng phaàn) n+2nn1+ pp/2/2 nn Daïng 4: Inn==òòx.cosx.dxvaøJx.sinx.dx. 00 · Ñaët: u=xnÞ=dun.xn1- .dx. dv=cosx.dxÞ=vsinx 2 æöp ÞI=ç÷ nJ1(1) nnèø2 · Töông töï: Jn=+0nIn1- (2) n æöp · Töø (1) vaø (2) ÞI+n(n-=1)I.ç÷ nn2- èø2 Trang 122
Traàn Só Tuøng Tích phaân 1 nx Daïng 5: In= ò x.e.dx 0 • Ñaët: u=xnÞ=dunxn1- .dx dv=exx.dxÞ=ve. nx1 In=-[x.e]0nIn1- 11xn Daïng 6: I==dxhayIxnx.e- .dx nnòòx 00e · Ñaët: u=xnÞ=dunxn1- .dx dv=e xx.dxÞv=-e. x-x1 ÞIn=[-+x.e]0nIn1- e n* Daïng 7: In =Îòlnx.dx(nZ) 1 1 · Ñaët: u=lnnxÞ=dun.lnn1- x,dx x dv=dxÞ=vx. ne ÞIn=[x.lnx]1-n.In 1ÛIn=-enI.n1 BAØI TAÄP Baøi 42. Cho I= sinn x.dx vaø J= cosn x.dx , vôùi nÎ³N,n2. n ò n ò Chöùng minh caùc coâng thöùc truy hoài sau: 1n1- 1n1- I=-+sinn1-x.cosxI. J=+sinx.cosn1-xJ. nnnn2- nnnn2- AÙp duïng ta tính I3 vaø J4. 12 ÑS: · I=-sin2 x.cosx-+cosxC. 3 33 133 · J=sinx.cos3 x+x++sin2xC. 4 4816 Baøi 43. Cho I= xn .sinx.dx vaø J= xn .cosx.dx , vôùi nÎ³N,n2. n ò n ò Chöùng minh raèng: nn1- In=-x.cosx=nx.sinx n(n1).In-2. nn1- Jn=x.sinx+n.x.cosx n(n1).J.n2- AÙp duïng ta tính I2 vaø J2. 2 ÑS: · I2 =-x-cosx+2x.sinx++2cosxC. 2 · J4 =xsinx+2xcosx-+2sinxC. Trang 123
Tích phaân Traàn Só Tuøng Baøi 44. Cho I=xnx.e.dx,n∈≥N,n1. n ∫ nx Chöùng minh raèng: In=-x.en.I.n1- AÙp duïng tính I5. x5432 ÑS: I5=e(x-5x+-20x60x+120x-+120)C. p/2 Baøi 45. Cho I=Îsinn x.dx,(nN) n ò 0 a/ Thieát laäp coâng thöùc lieân heä giöõa In vaø In+2. b/ Tính In. c/ Chöùng minh raèng haøm soá f: NR® vôùi f(n)=+(n1)In.I.n1+ p/4 d/ Suy ra J= cosn x.dx. n ò 0 ì(n-1)(n-3)(n-p5) 1 .,nchaün ïn(n 2)(n4) 22 ÑS: b/ I(n) =í (n-1)(n 3)(n5) 2 ï ,n leû îïn(n 2)(n4) 3 p c/ f(n)=f(0)==I.I. d/ J=I. 01 2 nn p/4 Baøi 46. Ñaët; I=Îtgnx.dx,(nN) n ò 0 Tìm heä thöùc lieân heä giöõa In vaø In+2. 1 ÑS: I+=I. nn2+ n1+ 1 xn Baøi 47. Cho I=Îdx,(nN)* n ò 01x- Chöùng minh raèng: (2n+1)In+=2n.In1- 22. 1 e-nx Baøi 48. Cho I=Îdx,(nN)* n ò-x 01e- a/ Tính I1. b/ Tìm heä thöùc giöõa In vaø In–1. 2e 1 ÑS: a/ I=ln; b/ I=-(e1-n) 1) 1 1e+ nI+n1- 1n- Trang 124
Traàn Só Tuøng Tích phaân Vaán ñeà 13: BAÁT ÑAÚNG THÖÙC TÍCH PHAÂN • Cho hai haøm soá f(x) vaø g(x) lieân tuïc treân [a ; b] b Daïng 1: Neáu f(x)≥0,∀∈x[a;b] thì : ∫ f(x)0≥ a daáu “=” xaûy ra khi f(x)=0,"Îx[a;b] bb Daïng 2: Ñeå chöùng minh: ∫∫f(x).dx≤ g(x).dx . aa § ta caàn chöùng minh: f(x)≤g(x),"Îx[a;b] § daáu “=” xaûy ra khi f(x)=g(x),"Îx[a;b] § roài laáy tích phaân 2 veá. b Daïng 3: Ñeå chöùng minh: ò f(x).dxB£ (B laø haèng soá). a ìf(x)£g(x),"Îx[a;b] ï § ta tìm moät haøm soá g(x) thoûa caùc ñieàu kieän: íb ïòg(x).dxB= îa b Daïng 4: Ñeå chöùng minh: A££ò f(x).dxB. a § ta tìm 2 haøm soá h(x) vaø g(x) thoûa ñieàu kieän: ìh(x)£f(x)£g(x),"Îx[a;b] ï íbb ïòòh(x).dx==A,g(x).dxB îaa § Hoaëc ta chöùng minh: m££f(x)M, vôùi m==minf(x),Mmaxf(x) bb sao cho: òòm.dx=m(b-a)=A,M.dx=M(b-=a)B. aa bb Daïng 5: òòf(x).dx£ |f(x)|dx . aa daáu “=” xaûy ra khi f(x)³0,"Îx[a;b] § BÑT (5) ñöôïc suy ra töø BÑT daïng 2 vôùi nhaän xeùt sau: "Îx[a;b], ta luoân coù: -|f(x)|££f(x)|f(x)| bbb Û-ò|f(x)|dx££òòf(x).d(x)|f(x)|dx (laáy tích phaân 2 veá) aaa bb Û£òòf(x).dx|f(x)|.dx. aa Ghi chuù: Trang 125
Tích phaân Traàn Só Tuøng 1. Thöïc chaát chöùng minh baát ñaúng thöùc tích phaân chính laø chöùng minh: f(x)≤g(x),"Îx[a;b]. Neáu daáu “=” xaûy ra trong baát ñaúng thöùc f(x)£g(x) chæ taïi moät soá höõu haïn ñieåm xÎ[a;b] thì ta coù theå boû daáu “=” trong baát ñaúng thöùc tích phaân. 2. Do BÑT laø moät daïng toaùn phöùc taïp, neân moãi daïng treân coù nhieàu kyõ thuaät giaûi, vì vaäy trong phaàn baøi taäp naøy, khoâng ñi theo töøng daïng treân maø ñi theo töøng kyõ thuaät giaûi. Kyõ thuaät 1: Duøng phöông phaùp bieán ñoåi töông ñöông hoaëc chaën treân, chaën döôùi BAØI TAÄP Baøi 49. Chöùng minh caùc baát ñaúng thöùc: 11 x19 .dx1 pp1 dx2 a/ )e3 0 cos2x 4 4 2 t æölnx Baøi 52. Ñaët: J(t)=òç÷dx, vôùi t > 1. 1 èøx Tính J(t) theo t, töø ñoù suy ra: J(t) t1. Kyõ thuaät 2: Duøng baát ñaúng thöùc Coâsi hay Bu Nhia Coáp Ski BAØI TAÄP Baøi 53. Chöùng minh caùc baát ñaúng thöùc: p/2 27p a/ òsinx(2+3sinx)(7-<4sinx)dx 0 2 p/3 2p b/ òcosx(5+7cosx-<6cosx)dx. p/4 3 e c/ ò lnx(9-3lnx-2lnx)dx£-8(e1) 1 Baøi 54. Chöùng minh caùc baát ñaúng thöùc: p/3 a/ ò(8cos2x+sin2x+8sin22x+cosx)dx2£p 0 Trang 126
Traàn Só Tuøng Tích phaân e b/ ò(3+2ln22x+5-2lnx)dx£-4(e1) 1 Baøi 55. Söû duïng baát ñaúng thöùc daïng 5 chöùng minh: 1 sinxx.dx p3cosx-p4sinx5 a/ 1+x,"x¹>0.Suyra:òe1x+dx 0 4 200 2 d/ exx³x,"£x.Suyra:òe-.dx0,01. 100 x4 dx e/ 1 e.Suyra:0,92<<1. ò3 e 3 lnx Kyõ thuaät 5: Söû duïng baát ñaúng thöùc Bu Nhia Coáp Ski trong tích phaân baøi taäp 9.16 BAØI TAÄP Baøi 58. Chöùng minh raèng neáu f(x), g(x) laø hai haøm soá lieân tuïc treân [a ; b] thì ta coù: Trang 127
Tích phaân Traàn Só Tuøng b2 bb æö22 òf(x).g(x).dx≤òòf(x).dx.g(x).dx. èøaaa (BÑT treân goïi laø BÑT Bua Nhia Coâp Ski trong tích phaân) Baøi 59. Chöùng minh raèng: 2 æö111 òf(x).g(x).dx≤òòf(x).dx.g(x).dx èø000 Baøi 60. Cho f(x) laø haøm soá xaùc ñònh lieân tuïc treân [0 ; 1] vaø f(x)£1,"Îx[0;1]. Chöùng minh raèng: 112 2æö òò1-f(x).dx£-1ç÷f(x).dx. 00èø 1 dx2 Baøi 61. Bieát ln2=>ò.Chöùngminh:Ln2. 0 x+13 Trang 128
Traàn Só Tuøng Tích phaân Vaán ñeà 14: TÍNH GIÔÙI HAÏN CUÛA TÍCH PHAÂN • Trong baøi toaùn tìm giôùi haïn cuûa tích phaân thöôøng coù 2 daïng sau: t Daïng 1: Tìm limf(x).dx,(t> a) t→∞ ∫ a t Ta tính tích phaân ∫ f(x).dx phuï thuoäc vaøo t, sau ñoù duøng ñònh lyù veà giôùi haïn ñeå tìm a keát quaû. b Daïng 2: Tìm limf(x,n).dx,(nÎ N) n®¥ ò a b Duøng BÑT tích phaân ñem tích phaân veà daïng: A≤≤∫ f(x,n).d(x)B a b ÞlimA≤≤limf(x,n).dxlimB n→∞nn®¥∫®¥ a b Sau ñoù, neáu: limA=limB==lthìlimf(x,n).dxl n→∞nn®¥®¥ ò a * Nhaéc laïi ñònh lyù haøm keïp: “Cho ba daõy soá an,bnn,c cuøng thoaû maõn caùc ñieàu kieän sau: ì * ï"nÎN,an££bCnn í . Khi ñoù: limbln = ” limann==limCl n®¥ îïnn®¥®¥ BAØI TAÄP x dt Baøi 62. a/ Tính I(x)=>,(x1) b/ Tìm limI(x) ò x®+¥ 1 t(t+1) 2x ÑS: a/ ln; b/ ln2. x1+ ln10 ex .dx Baøi 63. a/ Tính I(b);= b/ Tìm limI(b) ò 3x b®ln2 b e2- 31éù ÑS: a/ 6 (eb2)2/3 b/ 6. 22ëûêú 1 e-nx .dx Baøi 64. Cho I=Î(nN)* n ò-x 0 1e+ Trang 129
Tích phaân Traàn Só Tuøng Tính In+ In-1n,töøñoùtìmlimI. x®+¥ t12 + ÑS: a/ ln4+ ln b/ ln4. (t+ 2)2 x Baøi 65. a/ Tính I(x)=+(t2t2t).e.dt.TìmlimI(x) ò x®-¥ 0 x 2t.lnt.dt b/ Tính I(x)=>,(x1).TìmlimI(x). ò22 x®+¥ 1(1+t) ÑS: a/ 0; b/ ln2. em Baøi 66. a/ Tính theo m vaø x > 0 tích phaân: Im (x)=-òt.(mlnt).dt. x b/ Tìm limIm (x). Tìm m ñeå giôùi haïn naøy baèng 1. x0® - 1 2m22 1 2m ÑS: a/ ëûéùe+2xlnx-+(2m1)x b/ e;m= ln2. 4 4 Trang 130
Traàn Só Tuøng Tích phaân ÖÙNG DUÏNG CUÛA TÍCH PHAÂN §Baøi 1: DIEÄN TÍCH HÌNH PHAÚNG Vaán ñeà 1: DIEÄN TÍCH HÌNH THANG CONG 1. Dieän tích hình thang cong giôùi haïn bôûi 4 ñöôøng: ì(c):y=f(x) ï b ïy=0(truïchoaønhOx) í ñöôïc tính bôûi coâng thöùc: S=òf(x)dx (1) ïxa= a îïx=<b(ab) 2. Phöông phaùp giaûi toaùn: ì* Ta caàn phaûi tìm ñaày ñuû 4 ñöôøng nhö treân í î* vaø vì caàn phaûi boû daáu giaù trò tuyeät ñoái neân ta coù 2 caùch giaûi sau: Caùch 1. Phöông phaùp ñoà thò: * Veõ ñoà thò (C) : y = f(x) vôùi x Î [a ; b] y a/ Tröôøng hôïp 1: (C): y = f(x) Neáu ñoà thò (C) naèm hoaøn toaøn S treân truïc hoaønh Ox (hình a) thì: 0 a b x b (Hình a) (1)Û=Sòf(x).dx a y b/ Tröôøng hôïp 2: a b Neáu ñoà thò (C) naèm hoaøn toaøn 0 S x döôùi truïc hoaønh Ox (hình b) thì: b (Hình a) (1)ÛS=-òf(x).dx a y (C): y = f(x) c/ Tröôøng hôïp 3: Neáu ñoà thò (C) caét truïc hoaønh Ox taïi moät ñieåm S a coù hoaønh ñoä x = x0 (nhö hình c) thì: 0 xSb a x0 b (1)ÛS=f(x).dx+-f(x).dx òò S = S1 + S2 (Hình c) aa * Ghi chuù: Neáu f(x) khoâng ñoåi daáu treân ñoaïn [a ; b] thì ta duøng coâng thöùc sau: b S=òf(x)dx a Trang 131
Tích phaân Traàn Só Tuøng Caùch 2. Phöông phaùp ñaïi soá: Giaûi phöông trình hoaønh ñoä giao ñieåm : f(x) = 0 (*) Giaûi (*) ñeå tìm nghieäm x treân ñoaïn [a ; b]. Neáu (*) voâ nghieäm treân khoaûng (a ; b) thì ta xeùt daáu f(x) treân ñoaïn [a ; b] ñeå boû daáu giaù trò tuyeät ñoái hoaëc ta söû duïng tröïc tieáp coâng thöùc sau: b S= ò f(x)dx a Neáu (*) coù nghieäm x = x0 vaø f(x) coù baûng xeùt daáu nhö hình beân thì: x a x0 b x0 b f(x) + 0 – S=-òòf(x)dxf(x)dx. ax0 Ghi chuù: (1) Dieän tích S luoân laø moät giaù trò döông (khoâng coù giaù trò S £ 0). (2) Vôùi caâu hoûi: “Tính dieän tích giôùi haïn bôûi (C): y = f(x) vaø truïc hoaønh” thì ta phaûi tìm theâm hai ñöôøng x = a, x = b ñeå laøm caän tích phaân, hai ñöôøng naøy chính laø giao ñieåm cuûa (C) vaø truïc Ox, laø 2 nghieäm cuûa phöông trình f(x) = 0 (theo phöông phaùp ñaïi soá). Vôùi caâu hoûi ñôn giaûn hôn nhö: “Tính dieän tích giôùi haïn bôûi ñöôøng (C) : y = f(x) thì ta phaûi hieåu ñoù laø söï giôùi haïn bôûi (C) vaø truïc hoaønh. (3) Moät soá haøm coù tính ñoái xöùng nhö: parabol, ñöôøng troøn, elip, haøm giaù trò tuyeät ñoái, moät soá haøm caên thöùc; lôïi duïng tính ñoái xöùng ta tính moät phaàn S roài ñem nhaân hai, nhaân ba, (cuõng coù theå söû duïng toång hoaëc hieäu dieän tích). (4) Phaàn lôùn daïng toaùn loaïi naøy ta neân duøng phöông phaùp ñoà thò hieäu quaû hôn; moät soá ít phaûi duøng phöông phaùp ñaïi soá nhö haøm löôïng giaùc vì veõ ñoà thò khoù. Trang 132
Traàn Só Tuøng Tích phaân Vaán ñeà 2: DIEÄN TÍCH HÌNH PHAÚNG GIÔÙI HAÏN BÔÛI HAI ÑÖÔØNG (C1), (C2) 1. Dieän tích hình phaúng giôùi haïn bôûi hai ñöôøng (C1), (C2) ì(C1):y=f(x) ï b ï(C2):y=g(x) í ñöôïc tính bôûi coâng thöùc: S=-òf(x)g(x)dx ïxa= a îïx=<b(ab) 2. Phöông phaùp giaûi toaùn: Caùch 1. Phöông phaùp ñoà thò: * Treân cuøng maët phaúng toaï ñoä ta veõ 2 ñoà thò: (C12):y==f(x)vaø(C):yg(x). a/ Tröôøng hôïp 1: (C1) khoâng caét (C2) y § Xaùc ñònh vò trí: Treân ñoaïn [a ; b] thì (C1) naèm treân (C ) hay (C ) naèm treân (C ) baèng caùch veõ moät M 2 2 1 (C1) ñöôøng thaúng song song vôùi truïc tung Oy caét hai S (C ) ñoà thò taïi M vaø N. N 2 Khi ñoù neáu M ôû treân N thì ñoà thò chöùa M seõ naèm treân ñoà thò 0 a b x chöùa N. (hình 2a) b § Neáu (C1) naèm treân (C2) thì: S=-ò[f(x)g(x)]dx. (h.2a) a y b § Neáu (C ) naèm treân (C ) thì: S=-[g(x)f(x)]dx. (h.2b) M 2 1 ò (C2) a S (C ) § Trong tröôøng hôïp 1, ta coù theå duøng tröïc tieáp coâng thöùc sau: N 1 0a b x b S=-ò[f(x)g(x)]dx. (hình 2b) a b/ Tröôøng hôïp 2: (C1) caét (C2) taïi ñieåm I coù hoaønh ñoä x0. x0 b S=òòg(x)-f(x)dx+-f(x)g(x)dx y ax0 (C1): y = f(x) Hoaëc duøng coâng thöùc sau: I S1 S2 (C2): y = g(x) x0 b S=òò[f(x)-g(x)]dx+-[f(x)g(x)]dx 0 a x0 b x ax0 Caùch 2. Phöông phaùp ñaïi soá: § Laäp phöông trình hoaønh ñoä giao ñieåm: f(x) = g(x) (*) § Neáu (*) voâ nghieäm treân khoaûng (a ; b) thì ta xeùt hieäu f(x) – g(x) ñeå boû daáu “| |”. § Neáu (*) coù moät nghieäm x0 thuoäc khoaûng (a ; b) thì: Trang 133
Tích phaân Traàn Só Tuøng x0 b S=òòf(x)-g(x)dx+-f(x)g(x)dx aa roài xeùt laïi töø ñaàu treân caùc ñoaïn [a;x00]vaø[x;b]. Ghi chuù: (1) Trong thöïc haønh ta neân duøng phöông phaùp ñoà thò. (2) Khi giao ñieåm cuûa (C1) vaø (C2) khoâng chaéc chaén nhö soá höõu tæ hoaëc soá voâ tæ, ta neân thöïc hieän theâm vieäc giaûi phöông trình hoaønh ñoä f(x) = g(x) cho chính xaùc. (3) Hoaønh ñoä giao ñieåm cuûa (C1) vaø (C2) laø caùc caän cuûa tích phaân. (4) Treân ñaây khi tính dieän tích ta ñaõ coi x laø bieán, y laø haøm. Tuy nhieân trong moät soá tröôøng hôïp ta coi y laø bieán cuûa haøm x (nghóa laø x = f(y)), khi ñoù vieäc tính dieän tích seõ ñôn giaûn hôn. Trang 134
Traàn Só Tuøng Tích phaân Vaán ñeà 3: DIEÄN TÍCH HÌNH PHAÚNG GIÔÙI HAÏN BÔÛI NHIEÀU ÑÖÔØNG § Xeùt ñaïi dieän 4 ñöôøng (C1),(C234),(C),(C). y (C1) (C2) § Ta duøng phöông phaùp ñoà thò (duy nhaát) (C4) C § Veõ 4 ñöôøng treân cuøng moät maët phaúng B S (C3) 3 vaø xaùc ñònh hoaønh ñoä giao ñieåm giöõa chuùng S2 S1 (x1, x2, x3, x4) A D § Dieän tích hình phaúng S caàn tìm: S=S1++SS23 0 x1 x2 x3 x4 x xx14x3 ÛS=ò[(C1)-(C3)]dx+òò[(C4)-(C3)]dx+-[(C42)(C)]dx. x1xx23 Trang 135
Tích phaân Traàn Só Tuøng Vaán ñeà 4: DIEÄN TÍCH LÔÙN NHAÁT VAØ DIEÄN TÍCH NHOÛ NHAÁT Tìm dieän tích lôùn nhaát vaø nhoû nhaát cuûa hình phaúng S. Phöông phaùp: § Thieát laäp coâng thöùc tính S theo moät hoaëc nhieàu tham soá cuûa giaû thieát (giaû söû laø m), töùc laø, ta coù: S = g(m). § Tìm giaù trò lôùn nhaát, giaù trò nhoû nhaát cuûa g(m) baèng moät trong caùc phöông phaùp: + Tam thöùc baäc hai + Baát ñaúng thöùc Coâsi hoaëc Bu Nhia Coâp Ski. + Söû duïng ñaïo haøm Chuù yù: Caùc caän a, b thöôøng laáy töø nghieäm x1, x2 laø hoaønh ñoä giao ñieåm cuûa (C) vaø (d). Ví duï 1: (Vaán ñeà 1): Tính dieän tích cuûa mieàn kín giôùi haïn bôûi ñöôøng cong y=+x1x2 , truïc Ox vaø ñöôøng thaúng x = 1. Giaûi: * Ñöôøng cong (C) : y=+x1x2 caét truïc hoaønh Ox khi: x1+x2 =0Û=x0. * Ta coù: x1+x2 ³Î0,vôùimoïix[0;1] . Do ñoù dieän tích S caàn tìm laø: 1 S=+òx1x2 .dx. 0 * Ñaët: u1+x2Þu22=1+xÞ2u.du=2xdxÞ=u.duxdx. * Ñoåi caän: x = 0 Þ u = 1; x = 1 Þ u= 2. 2 2 3 2 æöu1 * Ta coù: S=òudu=ç÷ =-(221) (ñvdt) 0 èø330 Ví duï 2: (vaán ñeà 1): Tính dieän hình phaúng giôùi haïn bôûi caùc ñöôøng 1+ lnx y=;x==1,xe. x Giaûi: e 1+ lnx * Dieän tích hình phaúng S caàn tìm: S= ò dx 1 x 1 * Ñaët: u=1+lnxÞu2 =1+lnxÞ=2u.dudx. x * Ñoåi caän: x = 1 Þ u = 1; x = e Þ u= 2. 2 2 23æö222 * Ta coù: S=ò2u.du=ç÷u=(22-1=-(221) (ñvdt) 1èø3133 Ví duï 3 (vaán ñeà 2): Tính dieän tích hình phaúng giôùi haïn bôûi caùc ñöôøng: y=x22-2xvaøy=-+x4x. Trang 136
Traàn Só Tuøng Tích phaân Giaûi: y * Phöông trình hoaønh ñoä giao ñieåm cuûa 2 ñöôøng: x22-2x=-+x4x 4 (P1) Û2x2 -6x=0Ûx==0hayx3. 3 A 22 * Ñoà thò (P1): y=x-2xvaø(P2 ):y=-+x4x nhö treân hình veõ. – 0 1 2 3 4 x Hai ñoà thò caét nhau taïi 2 ñieåm O(0 ; 0) vaø A(3 ; 3). 1 – (P2) * Dieän tích hình phaúng S caàn tìm: 1 3 333 2222æö2x S=òòëûéù-x+4x)-(x-2x)dx=(-2x+6x)dx=ç÷-+=3x9(ñvdt) 00èø3 Ví duï 4 (vaán ñeà 2): Parabol y2 = 2x chia hình phaúng giôùi haïn bôûi ñöôøng troøn x22+=y8 thaønh hai phaàn. tính dieän tích moãi phaàn ñoù Giaûi: * Phöông trình hoaønh ñoä giao ñieåm cuûa (P): y2=2xvaø(C):x22+=y8; 2 2 éx=2Þy2=± x+2x=³8(vôùix0) Ûx+2x-80=Ûê ëx=-4(loaïi) Toïa ñoä giao ñieåm B(2 ; 2), C(2 ; –2). y * Ta tính dieän tích tam giaùc cong OAB; (P) 222 B 2 2 Ñaët: S1=SOAB =òò2x.dx+-8x.dx 02 S1 A 2 o 2 x 2 æö28 22 vôùi: 2x.dx==2.x.3 òç÷ –2 0 èø330 C 22 Tính: ò 8-=x2.dxI. 2 Ñaët: x=22.sintÞ=dt22.cost.dt. Ñoåi caän: x=2Þt=p/4; x=22Þt=p/2 p/2pp/2/21+cos2t ÞI=22.cost.22.cost.dt8==cos2 t.dt8dt òòò2 p/4pp/4/4 p/2 æösin2t =4ç÷t+=p-2. èø2 p/4 82 * Do ñoù: S=+p-2.=p+ 1 33 4 * Do tính ñoái xöùng neân: S=2.S=2.p+ OBACOAB 3 Trang 137
Tích phaân Traàn Só Tuøng * Goïi S laø dieän tích hình troøn (C) ÞS=p.R82 =p æö4 * Goïi S2 laø phaàn dieän tích hình troøn coøn laïi ÞS=S-S=82p-ç÷p+ 2OBAC èø3 4 ÛS=6.p- 23 Ví duï 5 (vaán ñeà 4): Chöùng minh raèng khi m thay ñoåi thì Parabol (P): y = x2 + 1 luoân caét ñöôøng thaúng (d): y = mx + 2 taïi hai ñieåm phaân bieät. Haõy xaùc ñònh m sao cho phaàn dieän tích hình phaúng giôùi haïn bôûi ñöôøng thaúng vaø parabol laø nhoû nhaát. Giaûi: * Phöông trình hoaønh ñoä giao ñieåm cuûa (P) vaø (d): x2 +1=+mx2Ûx2 -mx-=10(1) y 2 D=m+4>"0,m (P) * Vaäy (d): luoân caét (P) taïi 2 ñieåm phaân bieät (d) A, B coù hoaønh ñoä x , x laø nghieäm cuûa (1). A 1 2 2 * Dieän tích hình phaúng S laø: B x2 x2 32 2 æöxmx S=(mx2+-x-1)dxx=ç÷-++ ò èø32 x1 x1 x1 0 x2 x 1m =-(x3-x3)+(x22-x)+-(xx) 32212121 1 22 =-(x2-x1).ëûéù2(x2+x1x2+x1)-3m(x21+-x)6 6 12221423 =-m+4.ëûéù2(m+1)-3m-6=(m+³4). 663 4 Vaäy: minS==khim0. 3 Ví duï 6 (vaán ñeà 3): Tính dieän tích hình phaúng giôùi haïn bôûi caùc ñöôøng: x2 27 y=x2 ,y==,y. 8x Giaûi: 2 2 x27 y * Ñoà thò (P12):y=x,(P):y==,(H):y 8x (P1) nhö treân hình veõ. 9 A (P2) * Phöông trình hoaønh ñoä giao ñieåm cuûa (H) 9/2 B (P1) vaø (H): 3 S2 227 3 x = Ûx=27Ûx=Þ3toaïñoäA(3,9). S1 x 0 3 6 9 x * Phöông trình hoaønh ñoä giao ñieåm cuûa (P2) vaø (H): Trang 138
Traàn Só Tuøng Tích phaân x2279æö =Ûx=Þ6toaïñoäBç÷6,. 8x2èø * Dieän tích hình phaúng S caàn tìm: 3622 2xæö27x S=S12+S=òò(x-)dx+ç÷-dx== 27ln2(ñvdt). 038èøx8 Ví duï 7 (vaán ñeà 3): Tính dieän tích hình phaúng giôùi haïn bôûi caùc ñöôøng: parabol (P): y=-4xx2 vaø caùc ñöôøng tieáp tuyeán vôùi parabol naøy, bieát raèng caùc tieáp tuyeán ñoù ñi qua M(5/2, 6). Giaûi: y * Phöông trình ñöôøng thaúng (d) qua M heä soá goùc K: (d2) (d1) æö5 6 M y=Kç÷x6-+ èø2 S1 * (d) tieáp xuùc (P) khi heä sau coù nghieäm: 4 S2 ì 2 æö5 A ï4x-x=Kç÷x-+6(1) 3 í èø2 ï î4-=2xK(2) * Theá (2) vaøo (1) ta ñöôïc: (P) 5 4x-x2=(4-2x)(x-+)6 B 2 0 1 2 5/2 4 x 2 éx=1Þ=K1 Ûx-5x+40=Ûê ëx=4ÞK4=- * Vaäy coù 2 phöông trình tieáp tuyeán laø: (d12):y=2x+1;(d):y=-+4x16 * Dieän tích hình phaúng S caàn tìm: 5/24 229 S=S12+S=òò(2x+1-4x+x)dx+(-4x+16-4x+x)dx== (ñvdt). 15/2 4 Ví duï 8 (vaán ñeà 3): Tính dieän tích giôùi haïn bôûi caùc ñöôøng: y=x2 -4x+=3vaøy3. Giaûi: * Veõ ñoà thò (C): y=f(x)=x2-+4x3 y (C) ìf(x),f(x)0³ * Xeùt ñoà thò (C’) : y=f(x) =í 3 î-<f(x),f(x)0 * Töø ñoà thò (C) ta suy ra ñoà thò (C’) nhö sau: 2 0 1 3 4 x ì+ Giöõ nguyeân phaàn ñoà thò (C) naèm treân Ox –1 í î+ Laáy ñoái xöùng phaàn ñoà thò (C) naèm döôùi Ox qua truïc hoaønh * Ñoà thò (C’) laø hôïp cuûa 2 phaàn treân Trang 139
Tích phaân Traàn Só Tuøng * Ñöôøng thaúng y = 3 caét (C’) taïi A(0 ; 3), B(4 ; 3). * Goïi S laø dieän tích hình phaúng caàn tìm. * Do tính ñoái xöùng neân ta coù: S=+2(S12S) 212 2éù22 =2.ò(3-x-4x+3)dx=2êúòò[3-(x-4x+3)]dx+[3-(-x+-4x3)]dx 0ëû01 = 8(ñvdt) Baûng xeùt daáu: x 0 1 2 3 2 x –4x+3 + 0 – 0 + Trang 140
Traàn Só Tuøng Tích phaân BAØI TAÄP Baøi 1. Cho Parabol (P): y=x2 -+4x3 vaø ñöôøng thaúng (d) : y = x – 1. Tính dieän tích giôùi haïn bôûi: a/ (P) vaø truïc Ox; b/ (P), truïc Ox vaø truïc Oy; c/ (P), truïc Ox, x = 2 vaø x = 4; d/ (P) vaø (d); e/ (P), (d), x = 0 vaø x = 2. 4 4 9 ÑS: a/ ; b/ ; c/ 2; d/ ; e/ 3. 3 3 2 Baøi 2. Tính dieän tích giôùi haïn bôûi caùc ñöôøng: 1 a/ (C):y=+x, tieäm caän xieân cuûa (C), x = 1 vaø x = 3; 2x2 b/ y=+x(x1),5 truïc Ox, truïc Oy vaø x = 1; c/ 2(y-1)22=xvaø(y-1)=-x1; d/ y=x2-2x+2,y=x22+4x+5y=x-4x+=3vaøy1; x2 18 e/ y=,y=,y=>(vôùix0). 8xx 1 418 4 9 ÑS: a/ ; b/ ; c/ ; d/ ; e/ 7ln2. 3 35 3 4 Baøi 3. Tính dieän tích giôùi haïn bôûi: a/ (C):y=-x2 2x vaø tieáp tuyeán vôùi (C) taïi O(0 ; 0) vaø A(3 ; 3) treân (C). b/ (C) :y=x32-2x+4x-=3,y0 vaø tieáp tuyeán vôùi (C) taïi tieáp ñieåm coù hoaønh ñoä x = 2. 9 5 ÑS: a/ ; b/ . 4 48 9 Baøi 4. Cho Parabol (P): yx2 = vaø ñöôøng troøn (C) : x22+y-4x0+=. 4 a/ Chöùng toû (P) vaø (C) tieáp xuùc nhau taïi A vaø B. b/ Tính dieän tích hình phaúng giôùi haïn bôûi (P) vaø caùc tieáp tuyeán chung taïi A vaø B. æ36ö66æö3666 6 ÑS: a/ Aç;÷;y=x+;Bç÷;-;y= x. b/ . è22ø64èø2264 2 Baøi 5. Ñöôøng thaúng (d): x – 3y + 5 = 0 chia ñöôøng troøn (C): x22+=y5 thaønh hai phaàn, tính dieän tích moãi phaàn. 5pp5155 ÑS: S=-;S.=+ 124242 Baøi 6. Tính dieän tích hình phaúng giôùi haïn bôûi caùc ñöôøng a/ y==x2 ,yx. b/ x-y3 +1=0;x+y-=10. c/ x2+y22==8;y2x. d/ y=2-=x2;y32x. Trang 141
Tích phaân Traàn Só Tuøng x1 e/ y=;x==0;x. 1x-4 2 1 5 4 32 p ÑS: a/ ; b/ ; c/ 2;p+ d/ ; e/ . 3 4 3 15 12 Baøi 7. Tính dieän tích hình phaúng giôùi haïn bôûi caùc ñöôøng: a/ y=x.ex ;y=0;x=-=1;x2. b/ y=x.ln2 x;y=0;x==1;xe. c/ y=exx;y==e- ;x1. d/ y=5x2- ;y=0;x=0;y=-3x. e/ y=(x+1)5x;y==e;x1. 2 1 1 ÑS: a/ e2 -+2; b/ (e2 -1); c/ e+-2; 3 4 2 241 23 d/ + ; e/ - e. 25ln52 2 Baøi 8. Tính dieän tích hình phaúng giôùi haïn bôûi caùc ñöôøng: x2 a/ y=+2xvaøy=+x4; b/ y=-x2 +2x+3vaø3x+5y-=90; 2 x 1 c/ y=vaøy=0;x==1;x2; d/ y=lnx;y=0;x==vaøxe. x1+ e 26 55 2 2 ÑS: a/ ; b/ ; c/ 1- ln; d/ 2.- 3 6 3 e Baøi 9. Tính dieän tích hình phaúng giôùi haïn bôûi caùc ñöôøng: a/ y=+sinxcos2 x, caùc truïc toaï ñoä vaø x = p; p b/ y=sin2 x++sinx1, caùc truïc toaï ñoä vaø x.= 2 c/ y=x+sinx;y=x;x=0;x=p2. d/ y=x+sin2 x;y=p;x=0;x.=p p 3p p ÑS: a/ 2;+ b/ 1;+ c/ 4; d/ . 2 2 2 Baøi 10. Dieän tích giôùi haïn bôûi caùc ñöôøng thaúng x = –1; x = 2; y = 0 vaø Parabol (P) baèng 15. Tìm phöông trình cuûa (P), bieát (P) coù ñænh laø I(1 ; 2). ÑS: y=3x2 -+6x5. x2 +-2x3 Baøi 11. Tính dieän tích hình phaúng giôùi haïn bôûi (C): y,= tieän caän xieân x2+ x = 0 vaø x = m > 0. Tìm giôùi haïn cuûa dieän tích naøy khi m.®+¥ æöm2+ ÑS: S=3lnç÷;limS.=+¥ èø2 m®+¥ Trang 142
Traàn Só Tuøng Tích phaân 2x Baøi 12. Cho (H): y.= x1- a/ Chöùng minh raèng hình phaúng ñöôïc giôùi haïn bôûi (H), tieäm caän ngang vaø caùc ñöôøng thaúng x = a + 1; x = 2a + 1 coù dieän tích khoâng phuï thuoäc vaøo tham soá a döông. b/ Laäp phöông trình tieáp tuyeán (d) cuûa (H) taïi goác toaï ñoä. Tính dieän tích hình phaúng giôùi haïn bôûi (H), (d) vaø ñöôøng thaúng x = 2. ÑS: a/ 2ln2; b/ 2ln3. Baøi 13. Cho Parabol (P) : y = x2. Hai ñieåm A vaø B di ñoäng treân (P) sao cho AB = 2. a/ Tìm taäp hôïp trung ñieåm I cuûa AB b/ Xaùc ñònh vò trí cuûa A, B sao cho dieän tích cuûa phaàn maët phaúng giôùi haïn bôûi (P) vaø caùt tuyeán AB ñaït giaù trò lôùn nhaát. 1 ÑS: a/ y=+x;2 b/ maxS=-1;A(1;1);B(1;1). 1+4x2 æö1 Baøi 14. Ñöôøng thaúng (D) ñi qua ñieåm Mç÷;1 vaø caùc baùn kính truïc döông Ox, Oy laäp èø2 thaønh moät tam giaùc. Xaùc ñònh (D) ñeå dieän tích tam giaùc coù giaù trò nhoû nhaát vaø tính giaù trò ñoù. ÑS: (D):y=-+2x2. Baøi 15. Cho Parabol (P): y = x2. Vieát phöông trình ñöôøng thaúng (d) ñi qua I(1 ; 3) sao cho dieän tích hình phaúng giôùi haïn bôûi (d) vaø (P) ñaït giaù trò nhoû nhaát. ÑS: y=+2x1. Baøi 16. Treân Parabol (P) : yx= 2 laáy hai ñieåm A(–1 ; 1) vaø B(3 ; 3). Tìm ñieåm M treân cung AB» cuûa (P) sao cho tam giaùc MAB coù dieän tích lôùn nhaát. æö11 ÑS: M;ç÷ èø39 Baøi 17. Xeùt hình (H) giôùi haïn bôûi ñöôøng troøn (C): y=+x12 vaø caùc ñöôøng thaúng y = 0; x = 0; x = 1. Tieáp tuyeán taïi ñieåm naøo cuûa (C) seõ caét töø (H) ra moät hình thang coù dieän tích lôùn nhaát. 5æö15 ÑS: maxS= ;Mç÷;. 4èø24 Trang 143
Tích phaân Traàn Só Tuøng §Baøi 2: THEÅ TÍCH VAÄT TROØN XOAY Chuù yù: Khi tìm theå tích cuûa vaät theå troøn xoay ta caàn xaùc ñònh: * Mieàn hình phaúng (H) sinh ra. ((H) giôùi haïn bôûi 4 ñöôøng: x = , x = , y = , y = ) * (H) quay quanh truïc Ox hoaëc truïc Oy ñeå ta duøng coâng thöùc thích hôïp. Neáu (H) quay quanh truïc Ox thì haøm döôùi daáu tích phaân laø y = f(x), bieán x vaø hai caän laø x. Neáu (H) quay quanh truïc Oy thì haøm döôùi daáu tích phaân laø x = f(y), bieán y vaø hai caän laø y. Vaán ñeà 1: Theå tích vaät troøn xoay do hình phaúng (H) giôùi haïn bôûi 4 ñöôøng: (C):y=f(x);y=0;x=a;x=<b(ab)sinh ra khi quay quanh truïc Ox ñöôïc tính bôûi coâng thöùc: bb V=pòòy22.dx=p [d(x)].dx aa y y (C) (C) (H) (H) a b x a b x b b Dieän tích: S= ò f(x).dx Theå tích: V=pò[f(x)]2 .dx a a Vaán ñeà 2: Theå tích vaät troøn xoay do hình phaúng (H) giôùi haïn bôûi 4 ñöôøng: (C):x=f(y),x=0,y=a,y=<b(ab)sinh ra khi quay quanh truïc Oy ñöôïc tính bôûi coâng thöùc: bb V=pòòx22.dy=p [f(y)].dy aa y y (C) b b (C) (H) 0 x 0 x a a b b Dieän tích: S= ò f(y)dy. Theå tích: V=pò[f(y)]2 .dy a a Trang 144
Traàn Só Tuøng Tích phaân Vaán ñeà 3: Theå tích vaät troøn xoay do hình phaúng (H) giôùi haïn bôûi 4 ñöôøng: (C12):y=f(x),(C):y=g(x),x=a,x= g(x)³0,"Îx[a;b]: (C1) b (H) y (3)ÛV=p-[f22(x)g(x)].dx ò (C2) a 0 a b x y TH2: (C12)Ç(C)=Ævaøf(x) g(x) ³ 0, "Îx[a;b]: (H) A B (C2) b (3)ÛV=p-[f22(x)g(x)].dx ò 0 a b x a (C1) y TH4: (C12)caét(C) taïi 2 ñieåm A, B coù hoaønh ñoä (C1) x = a vaø f(x) < g(x) £ 0, "Îx[a;b]: a b 0 b x (3)ÛV=p-[f22(x)g(x)].dx A B ò (H) (C2) a Trang 145
Tích phaân Traàn Só Tuøng y TH5: (C12)caét(C) taïi 3 ñieåm A, B, C, trong ñoù xA = a (C1) xB = b, xC = c vôùi a x=³g(y)0, C2 C1 vôùi moïi yÎ[a;b]. b x2 b (H) x1 22 (4)ÛV=p-ò[f(y)g(y)].dy a a 0 x y TH3: (C12)caét(C) taïi 2 ñieåm A, B coù tung ñoä C2 C1 yAB=a x=³g(y)0, b B vôùi moïi yÎ[a;b]. x2 (H) x1 b 22 a (4)ÛV=p-ò[f(y)g(y)].dy A a x * Caùc TH2, TH4 vaø TH5 thöïc hieän töông töï nhö vaán ñeà 3. Ví duï 1: Xeùt hình phaúng giôùi haïn bôûi (P) : y2 = 8x vaø ñöôøng thaúng x = 2. Tính theå tích khoái troøn xoay khi quay hình phaúng noùi treân: a/ quanh truïc hoaønh b/ quanh truïc tung. Giaûi: a/ (P):y2 =8xÛ(P):y=±³8x(x0) Theå tích V khoái troøn xoay sinh ra khi quay hình phaúng giôùi haïn bôûi (P) vaø x = 2 quanh truïc Ox laø: Trang 146
Traàn Só Tuøng Tích phaân 22 y V=py2.dx=p8x.dx=p16 (ñvtt). òò (P) 00 4 1 b/ (P):y22=8xÛ=xy 8 Theå tích V khoái quanh truïc tung laø: 0 2 x 442 2æ12öæö241899p V=p2-çy÷du=pç÷2-ydy== (ñvtt). – òòè8øèø6432 14 x = 2 Ví duï 2: Goïi (H) laø hình phaúng giôùi haïn bôûi truïc hoaønh vaø parabol (p) : y=-2xx2. Tính theå tích cuûa khoái troøn xoay khi cho (H) a/ quay quanh truïc hoaønh b/ quay quanh truïc tung. Giaûi: a/ Theå tích V khoái troøn xoay khi quay (H) quanh truïc hoaønh laø: 22 222 16p V=pòòy.dx=p(2x-x)dx== (ñvtt). y 00 15 b/ (P):y=2x-x22Ûx-2x+=y0(1) 1 (P) x1 D'=1-y³0Û0££y1 (H) x2 éx=1-1-y,(0££x1) 0 1 2 x (1) Ûê11 ëêx22=1+1-y,(1££x2) Theå tích V khoái troøn xoay khi quay (H) quanh truïc tung laø: 1118p V=p(x22-x)dy=p(x+x)(x-x)dy=p2(21-y)dy== ò21òò2121 0003 x2 Ví duï 3: Cho hình giôùi haïn elip: +=y12 quay quanh truïc hoaønh. Tính theå tích cuûa 4 khoái troøn xoay ñöôïc taïo neân. Giaûi: y 22 x222x1 (E):+y=1Ûy=1-Ûy=±4-£x,(|x|2) 1 442 Theå tích V khoái troøn xoay caàn tìm laø: –2 0 2 x 22 22pp8 V=pòòy.dx=(4-x).dx== (ñvtt). –1 2243 Ví duï 4: Goïi (D) laø mieàn kín giôùi haïn bôûi caùc ñöôøng: y=x,y=-2x vaø y = 0. Tính theå tích vaät theå troøn xoay khi quay (D) quanh truïc Oy. Giaûi: Trang 147
Tích phaân Traàn Só Tuøng • y=x⇔x==x21 y • y=2−x⇔x=x2 =-2y. yx= · Theå tích vaät theå troøn xoay 2 A khi quay (D) quanh truïc Oy laø: 1 11 V=p(x2-x2)dy=p[(2 y)2(y22)] òò21 0 1 2 4 x 00 y=-2x 32p = (ñvtt). 15 BAØI TAÄP Baøi 18. Tính vaät theå troøn xoay sinh ra bôûi pheùp quay quanh truïc Ox cuûa mieàn (D) giôùi haïn bôûi caùc ñöôøng: a/ y = lnx; y = 0; x = 2. b/ x2 +-y5=0;x+y-=30. c/ y==x2;yx. d/ y=x22-4x+6;y=-x-+2x6. e/ y=-x(x1).2 f/ y=x.ex ;x=1;y=0(0££x1) g/ y=ex;y=-+x2;x==0;x2. h/ y=xln(1+=x3 );x1. i/ (P):y=x2 (x>0),y=-3x+=10;y1 (mieàn (D)) naèm ngoaøi (P)). p k/ y=cos44x+sinx;y=0;x=;x.=p 2 153p 3p ÑS: a/ 2p-(ln21);2 b/ ; c/ ; 5 10 p p-(e2 1) d/ 3p e/ . f/ ; 105 4 p 56p 3p2 g/ p-(e221); h/ (2ln2-1). i/ . k/ . 3 5 8 Baøi 19. Tính theå tích khoái troøn xoay ñöôïc taïo thaønh do quay xung quanh truïc oy hình phaúng giôùi haïn bôûi caùc ñöôøng: a/ y=x2;y==1;y2 b/ y==x22;xy. c/ Ñöôøng troøn taâm I(3 ; 0), baùn kính R = 2. 3p 3p ÑS: a/ ; b/ ; c/ 24.p2 2 10 1 Baøi 20. Xeùt hình (H) giôùi haïn bôûi ñöôøng cong y;= truïc Ox; x = 1 vaø x = t x a/ Tính dieän tích S(t) cuûa (H) vaø theå tích V(t) sinh bôûi (H) khi quay quanh Ox. b/ Tính: limS(t) vaø limV(t). t®+¥ t®+¥ Trang 148
Traàn Só Tuøng Tích phaân p ÑS: a/ S(t)=lnt;V(t);=p- b/ limS(t)=+¥;limV(t)=p t tt®+¥®+¥ Baøi 21. Cho mieàn (D) giôùi haïn bôûi ñöôøng troøn (C): x22+=y8 vaø parabol (p): y2 = 2x. a/ Tính dieän tích S cuûa (D). b/ Tính theå tích V sinh bôûi (D) khi quay quanh Ox. 4 4p ÑS: a/ -p2. b/ (82- 7). 3 3 Baøi 22. Tính theå tích vaät theå giôùi haïn bôûi caùc maët taïo neân khi quay caùc ñöôøng: 2/3 æöx a/ y=bç÷ (0x££a) quanh truïc Ox. èøa b/ y=sinx;y=0(0£x)£p a/ quanh truïc Ox b/ quanh truïc Oy. 2 æöxx c/ y==bç÷;yb èøaa a/ quanh truïc Ox. b/ Quanh truïc Oy. d/ y=e-x ;y=0(0£x)<+¥ quanh truïc Ox vaø Oy. 3 ÑS: a/ pab;2 7 p2 b/ a=/V; b/V=p2.2 x 2 y 4 pab2 c/ a/V=pab;2 b=/V. x 15 y 6 p d/ a=/V; b/V=p2. x 2 y Trang 149
Tích phaân Traàn Só Tuøng OÂN TAÄP TÍCH PH AÂN Baøi 1. Tính caùc tích phaân sau: 2 1 x2dx a/ 2+ x.dx; b/ ; ò ò 2 -2 0 4x- 2 x12 - 1 dx c/ dx; d/ ; ò ò 23 1 x 0 (1+ x) 1 x2dx p/4 x e/ ; f/ dx; ò 22 ò 2 0 (x+1) 0 cosx p/2 p/4 sin44x+ cosx g/ ex.cosxdx; h/ dx; ò ò x 0 -p/4 31+ p cos2x.dx 5p/12 dx i/ ; k/ ; ò ò 2 0 sinx++cosx2 p/12 sin2x+23cosx+-23 8 p 3 p 2 ÑS: a/ (4- 2); b/ - ; c/ 3;- d/ ; 3 32 3 2 11 p 2 1 3p e/ -+ln2; f/ + ln; g/ (ep/2 -1); h/ ; 44 42 2 16 3 i/ 2ln3 – 2; k/ . 4 ì-2)x+£1),x0 1 Baøi 2. Bieát f(x) = . Tìm giaù trò K ñeå f(x).dx= 1. í 2 ò îK(1->x),x0 -1 ÑS: K = 3. e2x Baøi 3. a/ Cho haøm soá f(x)= ò t.lnt.dt. Tìm hoaønh ñoä ñieåm cöïc ñaïi x. ex æö3p 2x sint b/ Tìm giaù trò xÎç÷0; ñeå haøm soá f(x)= ò dt ñaït cöïc ñaïi. èø2 x t p ÑS: a/ x=-ln2. b/ x.= 3 x 2t1+ Baøi 4. Cho haøm soá f(x)=dt,-1££x1. ò2 0 t-+2t2 Tìm giaù trò lôùn nhaát vaø giaù trò nhoû nhaát cuûa haøm soá f. æö1 ÑS: a/ minf=-f;ç÷ b/ maxf= f(1). èø2 x Baøi 5. Cho haøm so á f(x)=ò(t 1)(t2)2 dt. Tìm ñieåm cöïc trò va ø ñiemå uoán cuûa ño à thò f. 0 Trang 150
Traàn Só Tuøng Tích phaân æ17öæ4öæö4112 ÑS: CT:ç1; ÷;Ñ.Uoán:ç2;÷;;ç÷ è12øè3øèø381 Baøi 6. Ñöôøng thaúng (D): x – 3y + 5 = 0 chia ñöôøng troøn (C) : x22+=y5 thaønh 2 phaàn, tính dieän tích cuûa moãi phaàn. 5pp5155 ÑS: S=-;S.=+ 124242 1 Baøi 7. Xeùt hình phaúng (H) giôùi haïn bôûi ñöôøng cong (C): y==;y0; x = 1; x = 2. Tìm x toaï ñoä ñieåm M treân (C) maø tieáp tuyeán taïi M seõ caét töø (H) ra moät hình thang coù dieän tích lôùn nhaát. æö32 ÑS: Mç÷;. èø23 Baøi 8. Cho ñieåm A thuoäc (P): y = x2, (A khaùc goác O); (D) laø phaùp tuyeán taïi A cuûa (P) ((D) vuoâng goùc vôùi tieáp tuyeán taïi A vôùi (P)). Ñònh vò trí cuûa A ñeå dieän tích giôùi haïn ñænh bôûi (P) vaø (D) laø nhoû nhaát. 4æ11öæö11 ÑS: minS=-;Aç;÷hayAç÷;. 3è24øèø24 ìxy22 ï -=1 Baøi 9. Cho hình (H) giôùi haïn bôûi: í164 . ï îx= 42 Tính theå tích sinh ra khi (H) quay quanh Oy. 128p ÑS: . 3 ìy=>ax2 ,a0 Baøi 10. Cho hình (H) giôùi haïn bôûi: í . îy=->bx,b0 Quay hình (H) ôû goùc phaàn tö thöù hai cuûa heä toaï ñoä quanh truïc Ox. Tìm heä thöùc giöõa a vaø b ñeå theå tích khoái troøn xoay sinh ra laø haèng soá, khoâng phuï thuoäc vaøo a vaø b. ÑS: b 5 = K.a3, vôùi K laø haèng soá döông baát kyø. Baøi 11. Tính dieän tích hình phaúng giôùi haïn bôûi caùc ñöôøng: y=x2 -4x+3,y=+x3. (Ñeà thi chung cuûa Boä GDÑT–khoái A_2002) 109 ÑS: (ñvdt). 6 Baøi 12. Tính dieän tích hình phaúng giôùi haïn bôûi caùc ñöôøng: xx22 y=4-=vaøy. (Ñeà thi chung cuûa Boä GDÑT – khoái B _ 2002) 4 42 Trang 151
Tích phaân Traàn Só Tuøng 4 ÑS: 2 p+ (ñvdt). 3 3x1 Baøi 13. Tính dieän tích hình phaúng giôùi haïn bôûi ñöôøng cong (C): y = vaø hai truïc x1- toaï ñoä. (Ñeà thi khoái D_2002) 4 ÑS: 1+ 4ln (ñvdt). 3 23 dx Baøi 14. Tính tích phaân I.= ò 2 5xx4+ (Ñeà thi khoái A_2003) 15 ÑS: ln. 43 p/21-2sinx2 Baøi 15. Tính tích phaân I= ò dx. 0 1+ sin2x (Ñeà thi khoái B_2003) 1 ÑS: ln2. 2 2 Baøi 16. Tính tích phaân I=-òx2 xdx. 0 (Ñeà thi khoái D_2003) ÑS: 1. 2 x Baøi 17. Tính tích phaân I=ò dx. 1 1++x1 (Ñeà thi khoái A_2004) 11 ÑS: - 4ln2. 3 e 1+ 3lnx.lnx Baøi 18. Tính tích phaân I= ò dx 1 x (Ñeà thi khoái B_2004) 116 ÑS: . 135 3 Baøi 19. Tính tích phaân I=-òln(x2 x)dx. 2 (Ñeà thi khoái D_2004) ÑS: 3ln3 – 2. Trang 152