Chuyên đề Quan hệ giữa các yếu tố trong tam giác. Đường đồng quy của tam giác

Nội dung text: Chuyên đề Quan hệ giữa các yếu tố trong tam giác. Đường đồng quy của tam giác

1. TOÁN 7 – HỌC Kè 2 CHUYấN ĐỀ 5 – QUAN HỆ GIỮA CÁC YẾU TỐ TRONG TAM GIÁC. ĐƯỜNG ĐỒNG QUY CỦA TAM GIÁC A. Lí THUYẾT 1. Quan hệ giữa gúc và cạnh đối diện trong một tam giỏc - Định lớ 1: Trong một tam giỏc, gúc đối diện với cạnh lớn hơn là gúc lớn hơn ABC, AC AB Bà Cà - Định lớ 2: Trong một tam giỏc, cạnh đối diện với gúc lớn hơn là cạnh lớn hơn. - ABC, Bà Cà AC AB 2. Quan hệ giữa đường vuụng gúc và đường xiờn, đường xiờn và hỡnh chiếu a) Quan hệ giữa đường vuụng gúc và đường xiờn - Định lớ 1: Trong cỏc đường vuụng gúc và đường xiờn kẻ từ một điểm nằm ngoài một đường thẳng đến đường thẳng đú, đường vuụng gúc ngắn hơn mọi đường xiờn AH  a AH AC,AH AD b) Quan hệ giữa đường xiờn và hỡnh chiếu - Định lớ 2: Trong hai đường xiờn kẻ từ một điểm nằm ngoài một đường thẳng đến đường thẳng đú: Đường xiờn nào cú hỡnh chiếu lớn hơn thỡ lớn hơn AH  a,HD HC AD AC Đường xiờn nào lớn hơn thỡ cú hỡnh chiếu lớn hơn AH  a,AD AC HD HC Nếu hai đường xiờn bằng nhau thỡ hai hỡnh chiếu bằng nhau; nếu hai hỡnh chiếu bằng nhau thỡ hai đường xiờn bằng nhau. AB AC HB HC 3. Quan hệ giữa ba cạnh của một tam giỏc. Bất đẳng thức tam giỏc
2. - Trong một tam giỏc, độ dài của một cạnh bao giờ cũng lớn hơn hiệu và nhỏ hơn tổng cỏc độ dài của hai cạnh kia. b c a b c 4. Tớnh chất ba đường trung tuyến của tam giỏc - Ba đường trung tuyến của một tam giỏc cựng đi qua một điểm. Điểm gặp nhau của ba đường trung tuyến gọi là trọng tõm của tam giỏc đú. - Vị trớ trọng tõm: Trọng tõm của một tam giỏc cỏch 2 mỗi đỉnh một khoảng bằng độ dài đường trung 3 tuyến đi qua đỉnh ấy. G là trọng tõm của ABC : 2 2 2 AG AD; BG BE; CG CF. 3 3 3 5. Tớnh chất tia phõn giỏc của một gúc - Định lớ 1: Điểm nằm trờn tia phõn giỏc của một gúc thỡ cỏch đều hai cạnh của gúc đú M Oz   MA MB MA  Ox;MB  Oy - Đinh lớ 2: Điềm nằm bờn trong một gúc và cỏch đều hai cạnh của gúc thỡ nằm trờn tia phõn giỏc của gúc đú. - Tập hợp cỏc điểm nằm bờn trong một gúc và cỏch đều hai cạnh của gúc là tia phõn giỏc của gúc đú. 6. Tớnh chất ba đường phõn giỏc của tam giỏc - Định lớ 1: Trong một tam giỏc cõn, đường phõn giỏc của gúc ở đỉnh đồng thời là đường trung tuyến của tam giỏc đú. AB AC  ABC : BD DC ả ả  A1 A2 
3. - Định lớ 2: Ba đường phõn giỏc của một tam giỏc cựng đi qua một điểm. Điểm này cỏch đều ba cạnh của tam giỏc đú à à à à à à A1 A2 ,B1 B2 ,C1 C2. ID IE IF 7. Tớnh chất đường trung trực của một đoạn thẳng - Định nghĩa: Đường trung trực của mọt đoạn thẳng là đường thẳng vuụng gúc với đoạn thẳng ấy tại trung điểm của nú. Trờn hỡnh vẽ bờn, d là đường trung trực của đoạn thẳng AB. Ta cũng núi: A đối xứng với B qua d. - Định lớ 1: Điểm nằm trờn đường trung trực của một đoạn thẳng thỡ cỏch đều hai mỳt của đoạn thẳng đú. - Định lớ 2: Điểm cỏch đều hai mỳt của đoạn thẳng thỡ nằm trờn đường trung trực của đoạn thẳng đú. MA = MB M thuộc đường trung trực của AB. - Tập hợp cỏc điểm cỏch đều hai mỳt của một đoạn thẳng là đường trung trực của đoạn thẳng đú. 8. Tớnh chất ba đường trung trực của tam giỏc - Định lớ 1: Trong một tam giỏc cõn, đường trung trực của cạnh đỏy đồng thời là đường trung tuyến ứng với cạnh đỏy này. - Định lớ 2: Ba đường trung trực của một tam giỏc cựng đi qua một điểm. Điểm này cỏch đều ba đỉnh của tam giỏc đú. Trờn hỡnh bờn, điểm O là giao điểm cỏc đường trung trực của ABC. Ta cú OA OB OC. Điểm O là tõm đường trũn ngoại tiếp ABC.
4. 9. Tớnh chất ba đường cao của tam giỏc - Định lớ 1: Ba đường cao của một tam giỏc cựng đi qua một điểm. Điểm đú gọi là trực tõm của tam giỏc. Trờn hỡnh bờn, H là trực tõm của ABC. - Định lớ 2: Trong một tam giỏc cõn, đường cao ứng với cạnh đỏy đồng thời là đường phõn giỏc, đường trung tuyến, đường trung trực của tam giỏc đú. - Nhận xột: Trong một tam giỏc, nếu cú hai trong bốn loại đường (đường trung tuyến, đường phõn giỏc, đường trung trực, đường cao) trựng nhau thỡ tam giỏc đú là tam giỏc cõn. B. Bài tập Bài toỏn 1: Cho tam giỏc ABC, biết À Bà 1200 , À Bà 300. a) So sỏnh cỏc cạnh của tam giỏc b) Tia phõn giỏc của gúc A cắt BC ở D. So sỏnh độ dài cỏc đoạn BD và CD. Bài toỏn 2: Cho tam giỏc ABC cõn ở A cú chu vi bằng 16cm, cạnh đỏy BC = 4cm. So sỏnh cỏc gúc của tam giỏc ABC. Bài toỏn 3: Cho tam giỏc ABC, biết À : Bà : Cà 3:5: 7. So sỏnh cỏc cạnh của tam giỏc. Bài toỏn 4: Cho tam giỏc ABC, gúc A là gúc tự. Trờn cạnh AC lấy hai điểm D và E (D nằm giữa A và E). Chứng minh rằng BA BD BE BC. Bài toỏn 5: Cho tam giỏc ABC Cể Bà Cà. a) So sỏnh độ dài cỏc cạnh AB và AC b) Gọi M là trung điểm của BC. Trờn tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho MA MD. Chứng minh Cã DA Cã AD . Bài toỏn 6: Tam giỏc ABC cú AB AC. Tia phõn giỏc của gúc A cắt BC ở D. Chứng minh rằng điểm D nằm giữa hai điểm B và m (M là trung điểm của BC). Bài toỏn 7: Tam giỏc ABC cõn tại A. Kẻ tia Bx nằm giữa hai tia BA và BC. Trờn tia Bx lấy điểm D nằm ngoài tam giỏc ABC. Chứng minh rằng DC DB. Bài toỏn 8: Cho tam giỏc ABC cõn ở A, kẻ AH  BC H BC . Trờn cỏc đoạn thẳng HD và HC, lấy cỏc điểm D và E sao cho BD CE. So sỏnh độ dài AD, AE bằng cỏch xột hai hỡnh chiếu.
5. Bài toỏn 9: Cho tam giỏc ABC cú Bà và Cà là cỏc gúc nhọn. Gọi D là điểm bất kfi thuộc cnahj BC, gọi H và K là chõn cỏc đường vuụng gúc kẻ từ B và C đến đường thẳng AD. a) So sỏnh cỏc độ dài BH và BD. Cú khi nào BH bằng BD khụng? b) So sỏnh tổng độ dài BH + CK với BC. Bài toỏn 10: Cho tam giỏc ABC cõn ở A. Trờn cạnh BC lấy điểm D và E sao cho BD DE EC. Gọi M là trung điểm của DE. a) Chứng minh rằng AM  BC b) So sỏnh độ dài AB, AD, AE, AC. Bài toỏn 11: Cho tam giỏc ABC AB AC . Gọi M là một điểm nằm giữa B và C. Gọi E và F là hỡnh chiếu của B và C xuống đường thẳng AM. So sỏnh tổng BE CF với BC. Bài toỏn 12: Cú tam giỏc nào mà độ dài ba cạnh như sau khụng: a) 6cm; 8cm; 16cm b) 5,5cm; 3,1cm; 2,4cm c) 13,7cm; 8,2cm; 5,3cm d) 8m; 12m; 7m Bài toỏn 13: Tớnh chu vi của tam giỏc, biết hai cạnh của một tam giỏc cõn bằng a) 18m và 8m; b) 4,5dm và 5,5dm Bài toỏn 14: Chu vi của một tam giỏc cõn là 62cm, một cạnh là 25cm. Tớnh hai cạnh cũn lại của tam giỏc. Bài toỏn 15: Cho tam giỏc ABC. Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Chứng minh rằng AB AC MA 2 Bài toỏn 16: Tam giỏc ABC cú AB 1m, AC 3m, độ dài BC (tớnh bằng một) là một số tự nhiờn. Tớnh độ dài BC. Bài toỏn 17: Cho tam giỏc ABC. Gọi M là một điểm bất kỡ nằm trong tam giỏc đú. Chứng minh rằng tổng MA MB MC a) Lớn hơn nửa chu vi tam giỏc ABC b) Nhỏ hơn chu vi tam giỏc ABC. Bài toỏn 18: Cho tam giỏc ABC, đường trung tuyến AM. Gọi I là trung điểm BM. Trờn tia đối của tia IA lấy điểm E sao cho IE = IA.
6. a) Điểm M là trọng tõm tam giỏc nào? b) Gọi F là trung điểm của CE. Chứng minh rằng ba điểm A, M, F thẳng hàng. Bài toỏn 19: Cho tam giỏc ABC. Trờn tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho AD = AB. 1 Trờn cạnh AC lấy điểm E sao cho AE AC. Tia BE cắt CD ở M. Chứng minh: 3 a) M là trung điểm của CD 1 b)AM BC. 2 Bài toỏn 20: Cho tam giỏc ABC. Vẽ trung tuyến BM. Trờn tia BM lấy hai điểm G và K 2 sao cho BG BM và G là trung điểm BK. Gọi N là trung điểm của KC, GN cắt CM ở 3 O. Chứng minh: a) O là trọng tõm tam giỏc GKC 1 b)GO BC. 3 Bài toỏn 21: Cho tam giỏc ABC vuụng ở A, trung tuyến AM. Chứng minh rằng 1 AM BC. 2 Bài toỏn 22: Cho tam giỏc ABC vuụng ở A, cú AB 16cm,AC 30cm. Tớnh tổng cỏc khoảng cỏch từ trọng tõm G của tam giỏc đến cỏc đỉnh của tam giỏc. Bài toỏn 23: Cho tam giỏc cõn ABC (AB = AC), trung tuyến AM. Gọi D là một điểm nằm giữa A và M. Chứng minh: a) ABD ACD b) là BtamDC giỏc cõn Bài toỏn 24: Cho tam giỏc ABC, À 1200. Cỏc tia phõn giỏc của gúc A và C cắt nhau ở O, cắt cỏc cạnh BC và AB lần lượt ở D và E. Đường phõn giỏc gúc ngoài tại đỉnh B của tam giỏc ABC cắt đường thẳng AC tại F. Chứng minh: a) BO  BF b) Bã DF Ã DF c) Ba điểm D, E, F thẳng hàng.
7. Bài toỏn 25: Cho tam giỏc ABC, trung tuyến AM. Từ M kẻ đường thẳng song song với AB cắt C ở N. Biết AN = MN, BN cắt AM ở O. Chứng minh: a) Tam giỏc ABC cõn ở A b) O là trọng tõm tam giỏc ABC. Bài toỏn 26: Cho tam giỏc cõn ABC, trung tuyến AM. Đường trung trực của AB cắt AM ở O. Chứng minh rằng điểm O cỏch đều 3 đỉnh của tam giỏc ABC. Bài toỏn 27: Cho tam giỏc cõn ABC (AB = AC). Đường trung trực của AC cắt AB ở D. Biết CD là tia phõn giỏc của gúc ACB. Tớnh cỏc gúc của tam giỏc ABC. Bài toỏn 28: Cho tam giỏc đều ABC. Trờn cỏc cạnh AB, BC, CA lấy theo thứ tự ba điểm M, N, P sao cho AM = BN = CP. a) Chứng minh tam giỏc MNP là tam giỏc đều b) Gọi O là giao điểm cỏc đường trung trực của tam giỏc ABC. Chứng minh rằng O cũng là giao điểm của cỏc đường trung trực của tam giỏc MNP. Bài toỏn 29: Cho gúc xãTrờnOy tia50 Ox0. lấy điểm A. Qua A kẻ đường thẳng vuụng gúc với Oy ở D. Trờn tia đối của tia DO lấy điểm B, qua B kẻ đường thẳng vuụng gúc với Ox ở E, BE cắt AD ở I. a) Chứng minh OI vuụng gúc với AB b) Tớnh à IC. Bài toỏn 30: Cho tam giỏc ABC cõn ở A, trung tuyến AM. Biết BC 24cm,AM 5cm. Tớnh độ dài cỏc cạnh AB và AC. Bài toỏn 31: Cho tam giỏc ABC vuụng ở A, đường cao AH. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AH và CH. Chứng minh: a) M là trực tõm của tam giỏc ANB b) BM vuụng gúc với AN. Bài toỏn 32: Cho tam giỏc ABC cõn ở A. Gọi O là giao điểm cỏc đường trung trực của tam giỏc. Trờn tia đối của cỏc tia AB và CA lấy theo thứ tự hai điểm M và N sao cho AM CN. a) Chứng minh Oã AB Oã CA b) Chứng minh AOM CON
8. c) Gọi I là giao điểm hai đường trung trực của OM và ON. Chứng minh OI là tia phõn giỏc của gúc MON. Bài toỏn 33: Cho tam giỏc ABC cõn tại A cú AD là đường phõn giỏc. a) Chứng minh ABD ACD b) Gọi G là trọng tõm tam giỏc ABC. Chứng minh ba điểm A, G, D thẳng hàng. c) Tớnh DG biết AB 13cm,BC 10cm. Bài toỏn 34: Cho tam giỏc ABC cõn tại A cú G là trọng tõm. O là giao điểm hai đường trung trực của cạnh AB và AC. Chứng minh rằng: a) Tam giỏc OBC cõn b) Ba điểm A, O, G thẳng hàng. Bài toỏn 35: Tam giỏc ABC vuụng tại A, đường phõn giỏc BD. Kẻ AE  BD E BD , AE cắt BC ở K. a) Tam giỏc ABK là tam giỏc gỡ? b) Chứng minh rằng DK  BC c) Kẻ AH  BC H BC . Chứng minh rằng AK là tia phõn giỏc của gúc HAC. d) Gọi I là giao điểm của AH và BD. Chứng minh rằng IK // AC. Bài toỏn 36: Cho tam giỏc ABC cõn tại A. Lấy điểm D trờn cạnh AB, điểm E trờn cạnh AC sao cho BD = CE. Chứng minh rằng: a) DE // BC b) ABE ACD c) BID CIE (I là giao điểm của BE và CD) d) AI là phõn giỏc của gúc A e)AI  BC f) Tỡm vị trớ của D, E để BD = DE = EC. Bài toỏn 37: Cho tam giỏc ABC vuụng tại A, kẻ đường cao AH. Trờn cạnh AC lấy điểm K sao cho AK = AH. Kẻ KD  AC D BC . Chứng minh a) AHD AKD b) AD là đường trung trực của đoạn thẳng HK. Bài toỏn 38: Cho tam giỏc ABC nhọn cú AC AB, đường cao AH. a) Chứng minh HC HB
9. b) Vẽ trung tuyến AM, trờn tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho AM MD. Chứng minh: ABM DCM c) So sỏnh gúc à DC và Dã AC. . d) Vẽ hai điểm P và Q sao cho AB, AC lần lượt là trung trực của cỏc đoạn thẳng HP và HQ. Chứng minh tam giỏc APQ cõn.