Chuyên đề: Phương pháp tìm nhanh giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số/đa thức bậc 2

Nội dung text: Chuyên đề: Phương pháp tìm nhanh giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số/đa thức bậc 2

1. CHUYÊN ĐỀ : TÌM GTLN VÀ GTNN CỦA HÀM SỐ VÀ BIỂU THỨC BẬC 2. November 6, 2018 CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG PHÁP TÌM NHANH GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ/ĐA THỨC BẬC 2 I. Kiến Thức Cần Nắm:  Khái niệm về giá trị lớn nhất( GTLN/max) và giá trị nhỏ nhất(GTNN/min): Cho hàm số/đa thức : P = P(x) và các số thực M, m khi đó: + M được gọi là GTLN của P nếu : P(x) M ,x và tồn tại P(xo) = M Ký hiệu : Pmax M + m được gọi là GTNN của P nếu : P(x) m,x và tồn tại P(xo) = m Ký hiệu: Pmin m  Hàm số hay đa thức bậc 2: P(x) f (x) ax2 bx c(a 0)(1) Hàm số (1) là hàm số bậc 2 cos đồ thị là Parabol (P) như hình dưới. Qua 2 đồ thị trên ta thấy hàm bậc 2 sẽ có GTLN và GTNN phụ thuộc vào hệ số a.  Nếu a 0: hàm số đạt GTNN tải đỉnh của (P). Do đó, dạng bài toán tìm GTNN và GTLN của hàm số/đa thức bậc 2 ta đi tìm tọa độ đỉnh của (P).( Phương pháp này trình bày cho các em học sinh lớp 8, và lớp 9 tham khảo do đó tôi không đi sâu vào hàm số bậc 2) 1 DVD
2. CHUYÊN ĐỀ : TÌM GTLN VÀ GTNN CỦA HÀM SỐ VÀ BIỂU THỨC BẬC 2. November 6, 2018  Hằng đẳng thức đáng nhớ: 1.(a b)2 a2 2ab b2 2.(a b)2 a2 2ab b2 3.a2 b2 (a b)(a b)  Một số phương pháp tìm Max – min: 2 2 (ax b) A 0 A  P (ax b) A . Vì (ax b)2 0,x , nên: , P A Pmin A b khi x a 2 2 B (ax b) B  P B (ax b) . Vì (ax b)2 0,x , nên: , P B Pmax B b khi x a II. Phương Pháp Giải Toán: 1. Biến đổi cở bản để hình thành phươ ng pháp: P(x) ax2 bx c(a 0)(1)  Cho hàm số / đa thức: 2 P(x) a x h k(a 0)(2)  Hàm số được cho dưới dạng (1) và(2) là hai dạng của hàm bậc 2. (1) Là hàm bậc 2 tổng quát (2) Là hàm bậc 2 theo tọa độ đỉnh. Hầu hết bài toán dạng này đề sẽ cho hàm dạng (1) do đó ta sẽ đưa nó về dạng (2), lúc đó bài toán đã giải quyết xong được 70%.(tại sao lại vây???).Ở phần trên, ta đã biết phương pháp tìm max và min rồi phải không? Chúng ta có thấy sự đồng nhất giữa dạng (2) và biểu thức P ở trên ko?!!. Chúng là một. Chúng ta bắt đầu vào cách biến đổi để đưa dạng (1) về dạng (2) nhá: b c b b2 b2 c P(x) ax2 bx c a x2 x a x2 2. x 2 2 a a 2a 4a 4a a Ta có: 2 2 b b2 c b b2 4ac a x a x 2a 2 2a 2 4a a 4a 2 DVD
3. CHUYÊN ĐỀ : TÌM GTLN VÀ GTNN CỦA HÀM SỐ VÀ BIỂU THỨC BẬC 2. November 6, 2018 2 2 b b a x a. x (*),voi : b2 4ac 2a 2 2a 4a 4a b Dat : h ,k (*) P(x) a(x h)2 k 2a 4a Giờ ta đã thấy được sự đồng nhất này rồi nhỉ.!!!. Cách biến đổi trên quá dài dòng phải không nào. Đừng lo, chúng ta không cần làm như vậy đâu nhá. Chúng ta đi vào trọng tâm về phương pháp này nhá. 2. Phương pháp giải toán: 2 2 b Cho P(x) ax bx c a. x , Ta xét hệ số a: 2a 4a  Nếu a 0: thì P(x) đạt GTNN và GTNN của P là : b P k khi x . min 4a 2a  Nếu a 0: thì P(x) đạt GTLN và GTLN của P là : b P k khi x . max 4a 2a  Cách trình bày và giải toán: Trong phần trình bày này, Thầy sẽ hướng dẫncác em sử dụng máy tính casio Fx- 570 ES plus hoặc Fx- 570 VN plus hỗ trợ giải dạng toán này, Vì Fx- 570 VN plus giải quyết tốt nhất bài này, còn Fx- 570 ES plus chúng ta phải tư duy chút xíu nên thầy sẽ liệt kê các bước thực hiện: + B1: khi đọc đề cần phải nắm rõ các hệ số a, b, c.(dùng chủ yếu cho Fx- 570 ES). + B2:  Dùng Fx- 570 VN, Vào Mode 5 3, Nhập hệ số a, b, c vào bấm = = = Máy hiện X- Value Maximum/Minimum = đây là vị trí GTLN hoặc GTNN của P hay b chính là phần x .Bấm tiếp = Y- Value Maximum/Minimum = Đấy là GTLN 2a hoặc GTNN mà ta cần tìm Xong rồi nhá. Việc còn lại chuyển sang bước 3 nhé.  Dùng Fx- 570 ES chúng ta phải nắm các CT ở dưới: 2 b a 0 : Pm in b 4ac ; ; P . Chú ý: 2a 4a a 0 : Pm ax 3 DVD
4. CHUYÊN ĐỀ : TÌM GTLN VÀ GTNN CỦA HÀM SỐ VÀ BIỂU THỨC BẬC 2. November 6, 2018 + B3: “ Phiên dịch” vào bài làm : 2 2 b Ta có: P(x) ax bx c a. x , 2a 4a 2 b Vì x 0 cho nên : 2a 2 b b + Nếu: a 0:a 0 P P tại x min x 2a 4a 4a 2a 2 b b + Nếu: a 0:a x 0 P Pmax tại x 2a 4a 4a 2a Vậy chúng ta xong rồi.!!!!!. Nhận xét: + Phương pháp trên còn áp dụng vào dạng toán chứng minh biểu thức luôn dương hay luôn âm hoặc phương trình bậc 2 vô nghiệm sau này sẽ gặp vào học kỳ 2 lớp 9.(Phần này sẽ có một chuyên đề riêng). Vì đối tượng áp dụng chủ yếu dành cho các em học sinh lớp 8 và lớp 9 nên thầy không trình bày sâu về GTLN và GTNN của hàm số. Một số ví dụ: Ví dụ 1: Tìm GTLN và GTNN của các biểu thức sau: a.A x2 x 1 c.A 3x2 4x 7 b.B 2x 3 x 4 d.B x2 3x 4 Giải: a.A x2 x 1 b 1 1 1 4.( 1).1 5 a 1 0,b 1,c 1; ; 2a 2.( 1) 2 4a 4( 1) 4 Ta có: 2 ( Phần này b A a. x 2a 4a nháp hoặc nhẩm trong đầu). 2 2 2 2 1 5 1 1 Ta có: A x x 1 x . Vì x 0 x 0 2 4 2 2 4 DVD
5. CHUYÊN ĐỀ : TÌM GTLN VÀ GTNN CỦA HÀM SỐ VÀ BIỂU THỨC BẬC 2. November 6, 2018 Nên ta có: 2 5 1 5 5 5 1 5 1 A A ,khi x . Vậy GTLN của A là : khix . x min 4 2 4 4 4 2 4 2 Sử dụng Casio 570VN plus:  Bây giờ ta sẽ trình bày vào bài làm thôi nào: b 1 5 Ta quan tâm 2 số : X và Y= A . Chú ý khi ráp vào công thức ở 2a 2 4a 4 phần trên nhớ đổi dấu X nhá. 2 1 5 5 5 1 Ta có: 2 A khi x Vậy là xong. A x x 1 x max 2 4 4 4 2 Sử dụng Casio 570-ES plus: Ta tính : b 1 2 2 5 x ; b 4ac 1 4.( 1).1 5 A (tính ngoài 2a 2 max 4a 4 nháp). 5 DVD
6. CHUYÊN ĐỀ : TÌM GTLN VÀ GTNN CỦA HÀM SỐ VÀ BIỂU THỨC BẬC 2. November 6, 2018 2 1 5 5 5 1 Bài làm: Ta có: 2 A khi x . A x x 1 x max 2 4 4 4 2 Tương tự cho câu b, c và d nhá. Ví dụ 2: Chứng minh rằng: a.A 4x2 4x 3 luôn dương với mọi x. b.B x2 2x 3 luôn âm với mọi x. Bài giải: Ta áp dụng phương pháp ở trên giải quyết bài này nhá: 2 a. Ta có: A 4x2 4x 3 4x2 4x 1 2 2x 1 2 2 0x (ở đây thầy sử dụng hằng đẳng thức 1 nhá). 2 0 Vì 2 A 0x 2x 1 0x 2 b. Ta có : B x2 2x 3 x2 2x 1 2 x 1 2 2 0x 2 0 Vì 2 B 0x x 1 0x Ví dụ 3(biểu thức chứa căn): Tìm GTLN và GTNN (nếu có) của các biểu thức sau: a. A x2 2x 5 c. C 4x2 3x 7 e. E 4x2 4x 9y2 6y 5 b.B 9x2 6x 8 2 d.D x2 2x 5 2 f. D x2 y2 2x 2y 18 2 Bài giải: a. Ta có: A x2 2x 5 x2 2x 1 4 (x 1)2 4 2 (x 1) 0x 2 Vì (x 1) 4 4x A 4 2 Amin 2 khi x 1 4 4 b. Ta có: B 9x2 6x 8 2 (9x2 6x 1) 9 (3x 1)2 9 6 DVD
7. CHUYÊN ĐỀ : TÌM GTLN VÀ GTNN CỦA HÀM SỐ VÀ BIỂU THỨC BẬC 2. November 6, 2018 1 Vì (3x 1)2 9 9x B 9 3 B 3 khi x . max 3 e. E 4x2 4x 9y2 6y 5 (4x2 4x 1) (9y2 6y 1) 3 (2x 1)2 (3y 1)2 3 1 1 E 3x, y E 3 khi x ; y . Tương tự cho câu c và d và f nhá. min 2 3 P(x) Ví dụ 4: (Dạng phân thức): A , Trong đó: P(x),Q(x) là đa thức bậc 2. Q(x)  Nhận xét: P(x)max . Amax Q(x)min P(x)min . Amin Q(x)max P(x) b Để giải quyết dạng này ta biến đổi A về dạng:A a bằng. cách chia đa Q(x) Q(x) thức.(a,b là hằng số). Do đó: + Amax Q(x)min +Amin Q(x)max 3x2 6x 11 2 9x2 6x 2 3x2 6x 19 a.A b. B . c. A x2 2x 5 3 3x2 2x 1 x2 2x 5 Giải: 3x2 6x 11 3(x2 2x 5) 4 4 4 a. Ta có: A 3 3 x2 2x 5 x2 2x 5 x2 2x 5 (x 1)2 4 4 A ( (x 1)2 4) 4 1 A 3 1 2 khi x 1 . min max (x 1)2 4 min Tương tự câu còn lại nhá. III. Bài Tập Tự Luyện: Câu 1. Tìm GTLN và GTNN của các biểu thức sau:((Nếu có) a. A = x2 – 11x + 30 = 0 c. B 9x2 6x 2 b. C x2 2x 2 d. D 3x2 6x 4 Câu 2. Chứng minh rằng: a. P x2 x 1 luôn âm c. R x2 x2 1 2 luôn dương b. Q x2 x 2 luôn dương d. S x2 y2 x y 1 luôn âm 7 DVD
8. CHUYÊN ĐỀ : TÌM GTLN VÀ GTNN CỦA HÀM SỐ VÀ BIỂU THỨC BẬC 2. November 6, 2018 Câu 3. Tìm GTLN và GTNN của các biểu thức sau:((Nếu có) a. P x2 x 1 +1 c. N 4x2 4 x2 1 5 x2 x 1 b. Q x2 2x 5 d. S x2 x 1 2x2 4x 6 3x2 12x 25 c. R f. S x2 x 1 x2 4x 3 8 DVD