Chuyên đề Phương pháp tam giác bằng nhau - Môn Hình học lớp 7

Nội dung text: Chuyên đề Phương pháp tam giác bằng nhau - Môn Hình học lớp 7

1. Chuyờn đề: phương pháp tam giác bằng nhau Mụn: Hỡnh học Lớp: 7 Người thực hiện: Lờ Thị Kim Oanh Thực hiện ngày 24 thỏng 1năm 2008 I. Mục tiờu Sau khi học xong chuyờn đề học sinh cú khả năng: 1.Biết vận dụng cỏc trường hợp bằng nhau của tam giỏc để chứng minh hai tam giỏc bằng nhau; Nắm được cỏc bước chứng minh hai đoạn thẳng hay hai gúc bằng nhau; Biết vẽ thờm đường phụ để tạo ra hai tam giỏc bằng nhau. 2. Hiểu cỏc bước phõn tớch bài toỏn, tỡm hướng chứng minh 3. Cú kĩ năng vận dụng cỏc kiến thức được trang bị để giải toỏn. II. Cỏc tài liệu hỗ trợ: - Bài tập nõng cao và một số chuyờn đề toỏn 7 -Hỡnh học nõng cao THCS - Vẽ thờm yếu tố phụ để giải cỏc bài toỏn hỡnh học 7 - Bồi dưỡng toỏn 7 - Nõng cao và phỏt triển toỏn 7 - III. Nội dung 1. Kiến thức cần nhớ Ta đó biết nếu hai tam giỏc bằng nhau thỡ suy ra được cỏc cặp cạnh tương ứng bằng nhau, cỏc cặp gúc tương ứng bằng nhau. Đú là lợi ớch của việc chứng minh hai tam giỏc bằng nhau. *. Cỏc trường hợp bằng nhau của tam giỏc a. Trường hợp cạnh - cạnh - cạnh: Nếu ba cạnh của tam giỏc này bằng ba cạnh tương ứng của tam giỏc kia thỡ hai tam giỏc đú bằng nhau. b. Trường hợp cạnh - gúc - cạnh: Nếu hai cạnh và một gúc xen giữa của tam giỏc này bằng hai cạnh và gúc xen giữa của tam giỏc kia thỡ hai tam giỏc đú bằng nhau c. Trường hợp gúc - cạnh - gúc: Nếu một cạnh và hai gúc kề của tam giỏc này bằng một cạnh và hai gúc kề của tam giỏc kia thỡ hai tam giỏc đú bằng nhau. *. Muốn chứng minh hai đoạn thẳng(hay hai gúc) bằng nhau ta thường làm theo cỏc bước sau: - Xột xem hai đoạn thẳng(hay hai gúc) là hai cạnh (hay hai gúc) thuộc hai tam giỏc nào. - Chứng minh hai tam giỏc đú bằng nhau - Suy ra hai cạnh (hay hai gúc) tương ứng bằng nhau. *. Để tạo ra được hai tam giỏc bằng nhau, cú thể ta phải vẽ thờm đường phụ bằng nhiều cỏch: - Nối hai cạnh cú sẵn trờn hỡnh để tạo ra một cạnh chung của hai tam giỏc. - Trờn một tia cho trước, đặt một đoạn bằng một đoạn thẳng khỏc. - Từ một điểm cho trước, vẽ một đường thẳng song song với một đoạn thẳng.
2. - Từ một điểm cho trước, vẽ một đường thẳng vuụng gúc với một đoạn thẳng. Ngoài ra cũn nhiều cỏch khỏc ta cú thể tớch luỹ được kinh nghiệm khi giải nhiều bài toỏn. 2. Cỏc vớ dụ: 2.1. Vớ dụ 1(BTNC&MSCĐ/123) Cho gúc vuụng xOy, điểm A trờn tia Ox, điểm B trờn tia Oy. Lấy điểm E trờn tia đối của tai Ox, điểm F trờn tia Oy sao cho OE= OB, OF= OA. a. Chứng minh AB = EF, AB  EF. b. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và EF. Chứng minh rằng tam giỏc OMN vuụng cõn. y Giải: F ã 0 GT xOy = 90 ; A Ox, B Oy H B OE = OB, OF= OA 1 M AB: MA = MB N M 2 1 N EF: NE = NF E 3 KL a, AB = EF, AB  EF O A x b. V OMN vuụng cõn Chứng minh a. Xột V AOB và V FOE cú: OA = OF ( GT) ãAOB = FãOE = 900 V AOB và V FOE(C.G.C) OB = OE (GT) AB = EF( cạnh tương ứng) À = Fà (1) ( gúc tương ứng) Xột V FOE : Oà = 900 Eà +Fà = 900 (2) Từ (1) và (2) Eà +À = 900 EãAH =900 EH  HA hay AB  EF. b. Ta cú: BM = 1 AB( M là trung điểm của AB) 12 EN = EF( M là trung điểm của EF) BM = EN Mà AB = 2EF Mặt khỏc:V FOE : Oà = 900 Eà +Fà = 900 à 0 à à 0 à à V OAB : O = 90 A +B1 = 90 E = B1 Mà À = Fà (cmt) Xột V BOM vàV EON cú : OB = OE (gt) à à B1 = E (cmt) V BOM =V EON (c.g.c) BM = EN (cmt) OM = ON (*) ả ả Và O1 = O2 ả ả 0 ả ả 0 ã 0 Mà O2 +O3 =90 nờn O1 +O3 =90 MON = 90 ( ) Từ (*) và( ) V OMN vuụng cõn 2.2. VD2( BT26/VTYTP/62): Cho V ABC cõn đỉnh A. Trờn cạnh AB lấy điểm D, trờn tia đối của tia CA lấy điểm E sao cho BD = CE. Nối D với E. Gọi I là trung điểm của DE. Chứng minh ba điểm B, I, C thẳng hàng.
3. Giải A GT V ABC: AB = AC D AB, E AC: BD=CE D I DE: ID = IE C KL B, I, C thẳng hàng B F I E * Phõn tớch: B, I, C thẳng hàng Bã IE +EãIC = 1800 Cần c/m BãID = EãIC Mà BãID +Bã IE = 180 Cần tạo ra một điểm F trờn cạnh BC: V EIC = V DIF Chứng minh Kẻ DF// AC( F BC) Dã FB = ÃCB ( hai gúc đồng vị) Dã FB = ÃBC Mà V ABC cõn tai A ÃBC = ÃCB (t/c) V DFB cõn tai D DB = DF Xột V DIF VàV EIC cú: ID = IE (gt) FãDI = CãEI (SLT, DF// AC) V DIF =V EIC(c.g.c) DF = EC (=BD) Dã IF = EãIC (hai gúc tương ứng) (1) Vỡ I DE nờn Dã IF +Fã IE = 1800 (2) Từ (1) và (2) EãIC +Fã IE = 1800 hay EãIC +Eã IB = 1800 B, I, C thẳng hàng. 2.3. VD 3:(BTNC&MSCD/123) Cho V ABC, À = 600. Phõn giỏc BD, CE cắt nhau tại O. Chứng minh rằng : a. V DOE cõn b. BE + CD= BC. Giải A V ABC, À =600 BD: Phõn giỏc Bà (D AC) E D O GT CE: Phõn giỏc Cà (E AB) 1 2 BD CE = {O} 4 3 KL a. V DOE cõn B C b. BE + CD= BC. F Chứng minh Ta cú: V ABC: Bà +Cà =1800 - À =1800 - 600 = 1200 (Định lý tổng ba gúc của một tam giỏc) Bà Mà Bà = (BDlà phõn giỏcBà ) 1 2 Cà Cà = (CE là phõn giỏc Cà ) 1 2
4. Bà Cà 1200 Nờn Bà +Cà = = = 600 1 1 2 2 ã 0 à à 0 0 0 V OBC: BOC = 180 - (B1 +C1 )= 180 - 60 =120 ((Định lý tổng ba gúc của một tam giỏc) ã ả 0 Mặt khỏc:BOC +O1 = 180 ( kề bự) ả ả 0 O1 =O2 =60 BãOC Oả 0 +2 = 180 ( kề bự) ã ã ả ả BOC 0 Vẽ phõn giỏc OF của BOC (F BC) O3 =O4 = =60 ả ả ả ả 0 2 Do đú : O1 =O2 =O3 =O4 =60 Xột V BOE và V BOF cú: ả à à B2 = B1 (BDlà phõn giỏcB ) BO cạnh chung V BOE = V BOF(g.c.g) ả ả 0 O1 =O4 =60 OE = OF (1) ( hai cạnh tương ứng) Và BE = BF c/m tương tự V COD = V COF(g.c.g) OD =- OF (2) (hai cạnh tương ứng) và CD = EF Từ (1 ) và (2) OE = OD V DOE cõn b. Ta cú BE = BF CD = CF (cmt) BE+CD=BF+FC=BC Vậy : BE + DC= BC * Nhận xột: - VD trờn cho ta thờm một cỏch vẽ đường phụ:Vẽ phõn giỏc OF của BãOC . Khi đú OF là một đoạn thẳng trung gian để so sỏnh OD với OE. - Ta cũng cú thể vẽ thờm đường phụ bằng cỏch khỏc: Trờn BC lấy điểm F:BF= BE. Do đú cần c/m V BOE = V BOF(g.c.g) và V COD = V COF(g.c.g). 3. Bài tập 3.1.Bài tập 1: 62- BTNC&MSCĐ/117) Tam giỏc ABC và tam giỏc A'B'C' cú AB=A'B', AC= A'C'. Hai gúc A và A'bự nhau. Vẽ trung tuyến AM rồi kộo dài một đoạn MD=MA. Chứng minh: a. ãABD = À' b. AM = 1 B'C' 2 Giải GT V ABC, V A'B'C': AB=A'B', AC= A'C' A À +À' = 1800 A' M BC: MB=MC B D AM: MD=MA ã à KL a. ABD =A' B' C' M C b. AM = 1 B'C' 2 D
5. Chứng minh Xột V AMC và V DMB cú: AM = MD (gt) ãAMC = DãMB (đối đỉnh) V AMC = V DMB (c.g.c) MC = MB( gt) AC = BD ( hai cạnh tương ứng) à à A1 = D ( hai gúc tương ứng) AC//BD ( vỡ cú cặp gúc SLT bằng nhau) BãAC +ãABD = 1800(hai gúc trong cựng phớa) Mà BãAC +À' = 1800(gt) ãABD = À' b. Xột V ABD và V B'A'C' cú: AB = A'B'(gt) ãABD =À' (cmt) V ABD và V B'A'C'(c.g.c) BD = A'C'(=AC) AD = B'C' ( hai cạnh tương ứng) Mà AM = 1 AD (gt) 2 1 AM = B'C' 2 * Nhận xột: Hai tam giỏc cú hai cặp cạnh bằng nhau và một cặp gúc xen giữa chỳng bự nhau thỡ trung tuyến thuộc cạnh thứ ba của tam giỏc này bằng một nửa cạnh thứ ba của tam giỏc kia. 3.2. BT2: 63- BTNC&MSCĐ/117) Cho tam giỏc ABC. vẽ ra ngoài tam giỏc này cỏc tam giỏc vuụng cõn tại A là ABE và ACF. Chứng minh: a. BF = CE và BF  CE b. Gọi M là trung điểm của BC. CMR: AM = 1 EF 2 Giải F V ABC E à 0 V ABE: A = 90 , AB = AE A à 0 1 GTV ACF: A = 90 , AC = AF I 2 M BC: MB=MC O KL a.BF = CE và BF  CE 1 b.AM = EF B M C 2 Chứng minh
6. a. Ta cú: EãAC = EãAB +BãAC = 900 + BãAC BãAF = BãAC + CãAF = 900 + BãAC EãAC = BãAF Xột V ABF và V AEC cú: AB = AE(gt) BãAF =EãAC (cmt) V ABF = V AEC(c.g.c) AF = AC (cmt) BF = CE ( hai cạnh tương ứng) à à vàB1 = E1 ( hai gúc tương ứng) (1) Gọi O và I lần lượt là giao điểm của CE với BF và AB. à à 0 Xột V AEI vuụng tại A cú E1 +I1 = 90 (2) à à Và I1 = I2 (đối đỉnh) (3) à à 0 ã 0 Từ (1), (2) và (3) B1 +I2 =90 BOI = 90 BF  CE b. Ta cú:EãAB +BãAC +CãAF +FãAE = 3600 BãAC +FãAE = 3600 - (EãAB +CãAF ) =3600-(900+900)=1800 Ta thấy: V ABC và V EAF cú hai cặp cạnh bằng nhau và một cặp gúc xen giữa chỳng bự nhau nờn trung tuyến AM = 1 EF 2 3.3. BT3(HHNC/56): Cho V ABC .vẽ ra ngoài tam giỏc này cỏc tam giỏc vuụng cõn tại A là ABE và ACF. Vẽ AH vuụng gúc với BC. Đường thẳng AH giao EF tại O. CMR: O là trung điểm của EF. Giải V ABC K F à 0 E O V ABE: A = 90 , AB = AE I GT V ACF: À = 900, AC = AF A AH  BC ( H BC) AH EF ={O} KL O là trung điểm của EF. H Chứng minh B C Kẻ EI  AH, FK AH (I, K AH) Xột V AEI và V ABH cú: $I = Hà = 900 AE = AB (gt) EãAI = BãAH ( cặp gúc cú cạnh tương ứng vuụng gúc cựng nhọn)
7. V AEI = V ABH (cạnh huyền- gúc nhọn) EI = AH ( hai cạnh tương ứng) Tương tự: V AFK = V CAH (cạnh huyền- gúc nhọn) FK = AH ( hai cạnh tương ứng) Xột V OEI và V OFK cú: $I = Kà = 900 EI = FK (=AH) V OEI = V OFK(g.c.g) KãFO =IãEO (SLT, EI//FK) OE = OF ( hai cạnh tương ứng) Mà O EF(gt) O là trung điểm của EF. 3.4. BT4( 88/ BDT7/101) Cho V ABC cú À = 600 . Dựng ra ngoài tam giỏc đú cỏc tam giỏc đều ABM và CAN. a. CMR: Ba điểm A, M, N thẳng hàng b. c/m BN = CM c. Gọi O là giao điểm của BN và CM. Tớnh BãOC . Giải GT V ABC : À = 600 M A N 1 V ABM: AB= BM=MA V CAN: AC=CN=NA BN  CM = {O} O 1 Kl a. A,M,N thẳng hàng B C b. BN=CM c. BãOC =? Chứng minh a. V ABM, V CAN đều BãAM = CãAN =600 Vậy Mã AN =BãAM +BãAC +CãAN = 600+600+600=1800 M,A,N thẳng hàng b.Xột V ABN và V ACM cú: AB = AM (gt) BãAN =CãAM (=1200) V ABN = V ACM(c.g.c) AN=AC(gt) BN = CM ( hai cạnh tương ứng) à ả Và C1 =N1 ( hai gúc tương ứng) c.BãOC là gúc ngoài của V OCN
8. ã ã ã à ã ã BOC =OCN +ONC =C1 +ACN +ONC à ả Mà C1 =N1 (cmt) ã ả ã ã ã ã 0 0 0 BOC =N1 +ACN +ONC = ACN +ANC =60 +60 =120 3.5.BT5(35/NC&PT/37) Chứng minh rằng: Nếu hai cạnh và trung tuyến thuộc cạnh thứ ba của tam giỏc này bằng hai cạnh và trung tuyến thuộc cạnh thứ ba của tam giỏc kia thỡ hai tam giỏc đú bằng nhau. Giải GT V ABC, V A'B'C': A' AB = A'B', AC= A'C' A 1 1 2 M BC: MB=MC 2 M' B'C': M'B'=M'C' AM=A'M' M' B' C' KL V ABC=V A'B'C' B M C 1 1 D D' Chứng minh Lấy D AM: MD=MA Lấy D' A'M': M'D'=M'A' Xột V ABM và V DMC cú: MB=MC(gt) ãAMB = CãMD (đối dỉnh) V ABM và V DMC(c.g.c) AM = MD(cỏch lấy điểm D) CD= AB( hai cạnh tương ứng) ả ả Và A2 =D1 (1)( hai gúc tương ứng) ả ả C/m tương tự ; C'D'=A'B'; A'2 =D '1 (2) Xột V ACD và V A'C'D' cú: AC = A'C'(gt) AD=A'D'(vỡ AM=A'M') V ACD = V A'C'D'(c.g.c) CD=C'D'(=AB) à ả ả ả A1 =A'1 vàD1 =D '1 (3) ả ả à ả ã ã Từ (1), (2),(3) A2 =A'2 mà A1 =A'1 BAC = B ' A'C ' Vậy V ABC=V A'B'C'(c.g.c) * cỏch 2: V AMC và V A'M'C' cú: AM=A'M'(gt) à ả A1 =A'1 (cmt) V AMC = V A'M'C'(c.g.c) AC= A'C'(gt) MC = M'C'( hai cạnh tương ứng) Mà MC = 1 BC; M'C' = 1 B'C'(gt). Do đú: BC=B'C'. 2 2 Vậy V ABC=V A'B'C'(c.c.c)
9. 4. Chốt lại phần lý thuyết và lưu ý vận dụng chuyờn đề: Khi cần phải chứng minh hai đoạn thẳng hay hai gúc bằng nhau 5.Bài tập về nhà: Cho tam giỏc ABC cõn đỏy BC.BãAC =200. Trờn cạnh AB lấy điểm E sao cho BãCE =500. Trờn cạnh AC lấy điểm D sao choCãBD =600. Qua D kẻ đường thẳng song song với BC,nú cắt AB tại F. Gọi O là giao điểm của BD và CF. a. C/m V AFC=V ADB. b. C/m V OFD và V OBC là cỏc tam giỏc đều. c. Tớnh số đo gúc EOB. d. C/m V EFD = V EOD. d. Tớnh số đo gúc BDE.