Chuyên đề ôn thi học kì môn Toán 7

71 trang hoaithuong97 8764

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Chuyên đề ôn thi học kì môn Toán 7", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

chuyen_de_on_thi_hoc_ki_mon_toan_7.doc

Nội dung text: Chuyên đề ôn thi học kì môn Toán 7

 Nhận xét: Như trên chúng ta đã biến đổi được biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối thành các biểu thức không chứa dấu giá trị tuyệt đối. Vậy ta sẽ biến đổi biểu thức ở vế trái của đẳng thức trên. Từ đó sẽ tìm được x Giải Xét x – 1 = 0 x = 1; x – 1 0 x > 1 x - 3 = 0 x = 3; x – 3 0 x > 3 Ta có bảng xét dấu các đa thức x- 1 và x- 3 dưới đây: x 1 3 x – 1 - 0 + + x – 3 - - 0 + Xét khoảng x 3 ta có: (1) (x – 1 ) + (x – 3 ) = 2x – 1 - 4 = -1 ( Vô lí) 3 Kết luận: Vậy x = . 2 Bài 4.1: Tìm x, biết: a) 43x 1 x 2 x 5 7 x 3 12 b) 3 x 4 2x 1 5 x 3 x 9 5 1 1 1 1 1 1 c) 2 x x 8 1,2 d) 2 x 3 x 3 2 x 5 5 5 2 2 5 Bài 4.2: Tìm x, biết: a) 2x 6 x 3 8 c) x 5 x 3 9 d) x 2 x 3 x 4 2 e) x 1 x 2 x 3 6 f) 2 x 2 4 x 11 Bài 4.3: Tìm x, biết: a) x 2 x 3 2x 8 9 b) 3x x 1 2x x 2 12 c) x 1 3 x 3 2 x 2 4 d) x 5 1 2x x e) x 2x 3 x 1 f) x 1 x x x 3 Bài 4.4: Tìm x, biết: 13
a) x 2 x 5 3 b) x 3 x 5 8 c) 2x 1 2x 5 4 d) x 3 3x 4 2x 1 5. Dạng 5: Xét điều kiện bỏ dấu giá trị tuyệt đối hàng loạt: A(x) B(x) C(x) D(x) (1) Điều kiện: D(x) 0 kéo theo A(x) 0; B(x) 0;C(x) 0 Do vậy (1) trở thành: A(x) + B(x) + C(x) = D(x) Bài 5.1: Tìm x, biết: a) x 1 x 2 x 3 4x b) x 1 x 2 x 3 x 4 5x 1 3 1 c) x 2 x x 4x d) x 1,1 x 1,2 x 1,3 x 1,4 5x 5 2 Bài 5.2: Tìm x, biết: 1 2 3 100 a) x x x x 101x 101 101 101 101 1 1 1 1 b) x x x x 100x 1.2 2.3 3.4 99.100 1 1 1 1 c) x x x x 50x 1.3 3.5 5.7 97.99 1 1 1 1 d) x x x x 101x 1.5 5.9 9.13 397.401 6. Dạng 6: Dạng hỗn hợp: Bài 6.1: Tìm x, biết: 1 4 2 1 2 3 a) 2x 1 b) x 2 x x 2 c) x 2 x x 2 2 5 2 4 Bài 6.2: Tìm x, biết: 1 1 1 3 2 2 3 a) 2x 1 b) x 1 c) x x x 2 5 2 4 5 4 Bài 6.3: Tìm x, biết: 2 3 1 3 3 1 3 3 a) x x x b) x 2x 2x c) x 2x 2x 4 2 4 4 2 4 4 Bài 6.4: Tìm x, biết: a) 2x 3 x 1 4x 1 b) x 1 1 2 c) 3x 1 5 2 7. Dạng 7: A B 0 Vận dụng tính chất không âm của giá trị tuyệt đối dẫn đến phương pháp bất đẳng thức. * Nhận xét: Tổng của các số không âm là một số không âm và tổng đó bằng 0 khi và chỉ khi các số hạng của tổng đồng thời bằng 0. 14
* Cách giải chung: A B 0 A 0  B1: đánh giá:  A B 0 B 0 A 0 B2: Khẳng định: A B 0 B 0 Bài 7.1: Tìm x, y thoả mãn: 9 a) 3x 4 3y 5 0 b) x y y 0 c) 3 2x 4y 5 0 25 Bài 7.2: Tìm x, y thoả mãn: 3 2 2 1 3 11 23 a) 5 x y 3 0 b) x 1,5 y 0 c) x 2007 y 2008 0 4 7 3 2 4 17 13 * Chú ý1: Bài toán có thể cho dưới dạng A B 0 nhưng kết quả không thay đổi * Cách giải: A B 0 (1) A 0   A B 0 (2) B 0 A 0 Từ (1) và (2) A B 0 B 0 Bài 7.3: Tìm x, y thoả mãn: a) 5x 1 6y 8 0 b) x 2y 4y 3 0 c) x y 2 2y 1 0 Bài 7.4: Tìm x, y thoả mãn: a) 12x 8 11y 5 0 b) 3x 2y 4y 1 0 c) x y 7 xy 10 0 * Chú ý 2: Do tính chất không âm của giá trị tuyệt đối tương tự như tính chất không âm của luỹ thừa bậc chẵn nên có thể kết hợp hai kiến thức ta cũng có các bài tương tự. Bài 7.5: Tìm x, y thoả mãn đẳng thức: 2007 2008 a) x y 2 y 3 0 b) x 3y y 4 0 c) x y 2006 2007 y 1 0 d) x y 5 2007 y 3 2008 0 Bài 7.6: Tìm x, y thoả mãn : a) x 1 2 y 3 2 0 b) 2 x 5 4 5 2y 7 5 0 2000 2004 1 1 c) 3 x 2y 4 y 0 d) x 3y 1 2y 0 2 2 Bài 7.7: Tìm x, y thoả mãn: 7 5 2 a) x 2007 y 2008 0 b) 3 x y 10 y 0 3 15
2006 1 3 1 2007 4 6 2008 2007 c) x y 0 d) 2007 2x y 2008 y 4 0 2 4 2 2008 5 25 8. Dạng 8: A B A B * Cách giải: Sử dụng tính chất: a b a b Từ đó ta có: a b a b a.b 0 Bài 8.1: Tìm x, biết: a) x 5 3 x 8 b) x 2 x 5 3 c) 3x 5 3x 1 6 d) 2 x 3 2x 5 11 e) x 1 2x 3 3x 2 f) x 3 5 x 2 x 4 2 Bài 8.2: Tìm x, biết: a) x 4 x 6 2 b) x 1 x 5 4 c) 3x 7 32 x 13 d) 5x 1 3 2x 4 3x e) x 2 3x 1 x 1 3 f) x 2 x 7 4 Bài 8.3: Tìm x, y thoả mãn đẳng thức: a) x y 2 y 3 0 b) x 1 2 y 3 2 0 Bài 8.4: Tìm x, y thoả mãn: a) x 2007 y 2008 0 II. Tìm cặp giá trị ( x; y ) nguyên thoả mãn đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối: 1. Dạng 1: A B m với m 0 * Cách giải: A 0 * Nếu m = 0 thì ta có A B 0 B 0 * Nếu m > 0 ta giải như sau: A B m (1) Do A 0 nên từ (1) ta có: 0 B m từ đó tìm giá trị của B và A tương ứng . Bài 1.1: Tìm cặp số nguyên ( x, y) thoả mãn: a) x 2007 x 2008 0 b) x y 2 y 3 0 c) x y 2 2 y 1 0 Bài 1.2: Tìm cặp số nguyên ( x, y) thoả mãn: a) x 3y 5 y 4 0 b) x y 5 y 3 4 0 c) x 3y 1 3 y 2 0 Bài 1.3: Tìm cặp số nguyên (x, y ) thoả mãn: a) x 4 y 2 3 b) 2x 1 y 1 4 c) 3x y 5 5 d) 5x 2y 3 7 Bài 1.4: Tìm cặp số nguyên ( x, y ) thoả mãn: a) 3 x 5 y 4 5 b) x 6 4 2y 1 12 c) 23x y 3 10 d) 34x y 3 21 Bài 1.5: Tìm các cặp số nguyên ( x, y ) thoả mãn: 16
a) y 2 3 2x 3 b) y 2 5 x 1 c) 2y 2 3 x 4 d) 3y 2 12 x 2 2. Dạng 2: A B m với m > 0. * Cách giải: Đánh giá A B m (1) A 0   A B 0 (2) B 0 Từ (1) và (2) 0 A B m từ đó giải bài toán A B k như dạng 1 với 0 k m Bài 2.1: Tìm các cặp số nguyên ( x, y ) thoả mãn: a) x y 3 b) x 5 y 2 4 c) 2x 1 y 4 3 d) 3x y 5 4 Bài 2.2: Tìm các cặp số nguyên ( x, y ) thoả mãn: a) 5 x 1 y 2 7 b) 4 2x 5 y 3 5 c) 3 x 5 2 y 1 3 d) 32x 1 4 2y 1 7 3. Dạng 3: Sử dụng bất đẳng thức: a b a b xét khoảng giá trị của ẩn số. Bài 3.1: Tìm các số nguyên x thoả mãn: a) x 1 4 x 3 b) x 2 x 3 5 c) x 1 x 6 7 d) 2x 5 2x 3 8 Bài 3.2: Tìm các cặp số nguyên ( x, y) thoả mãn đồng thời các điều kiện sau. a) x + y = 4 và x 2 y 6 b) x +y = 4 và 2x 1 y x 5 c) x –y = 3 và x y 3 d) x – 2y = 5 và x 2y 1 6 Bài 3.3: Tìm các cặp số nguyên ( x, y ) thoả mãn đồng thời: a) x + y = 5 và x 1 y 2 4 b) x – y = 3 và x 6 y 1 4 c) x – y = 2 và 2x 1 2y 1 4 d) 2x + y = 3 và 2x 3 y 2 8 4. Dạng 4: Kết hợp tính chất không âm của giá trị tuyệt đối và dấu của một tích: * Cách giải : A(x).B(x) A(y) Đánh giá: A(y) 0 A(x).B(x) 0 n x m tìm được giá trị của x. Bài 4.1: Tìm các số nguyên x thoả mãn: a) x 2 x 3 0 b) 2x 1 2x 5 0 c) 3 2x x 2 0 d) 3x 1 5 2x 0 Bài 4.2: Tìm các cặp số nguyên ( x, y ) thoả mãn: a) 2 x x 1 y 1 b) x 3 1 x y c) x 2 5 x 2y 1 2 Bài 4.3: Tìm các cặp số nguyên ( x, y ) thoả mãn: a) x 1 3 x 2 y 1 b) x 2 5 x y 1 1 c) x 3 x 5 y 2 0 5. Dạng 5: Sử dụng phương pháp đối lập hai vế của đẳng thức: * Cách giải: Tìm x, y thoả mãn đẳng thức: A = B 17
Đánh giá: A m (1) Đánh giá: B m (2) A m Từ (1) và (2) ta có: A B B m Bài 5.1: Tìm các cặp số nguyên ( x, y ) thoả mãn: 12 a) x 2 x 1 3 y 2 2 b) x 5 1 x y 1 3 10 6 c) y 3 5 d) x 1 3 x 2x 6 2 2 y 3 3 Bài 5.2: Tìm các cặp số nguyên ( x, y ) thoả mãn: 8 16 a) 2x 3 2x 1 b) x 3 x 1 2 y 5 2 2 y 2 y 2 12 10 c) 3x 1 3x 5 d) x 2y 1 5 y 3 2 2 y 4 2 Bài 5.3: Tìm các cặp số nguyên ( x, y ) thoả mãn: 14 20 a) x y 2 2 7 b) x 2 2 4 y 1 y 3 3 y 2 5 6 30 c) 2 x 2007 3 d) x y 2 5 y 2008 2 3 y 5 6 III. Rút gọn biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối: Cách giải chung: Xét điều kiện bỏ dấu giá trị tuyệt đối rồi thu gọn: Bài 1: Rút gọn biểu thức sau với 3,5 x 4,1 a) A x 3,5 4,1 x b) B x 3,5 x 4,1 Bài 2: Rút gọn biểu thức sau khi x 0 5 5 5 5 5 2 2 18
===&=&=&=== IV. Tính giá trị biểu thức: Bài 1: Tính giá trị của biểu thức: a 2 a) M = a + 2ab – b với a 1,5;b 0,75 b) N = với a 1,5;b 0,75 2 b Bài 2: Tính giá trị của biểu thức: 3 1 a) A 2x 2xy y với x 2,5; y b) B 3a 3ab b với a ; b 0,25 4 3 5a 3 1 1 c) C với a ; b 0,25 d) D 3x 2 2x 1 với x 3 b 3 2 Bài 3: Tính giá trị của các biểu thức: 2 1 a) A 6x 3 3x 2 2 x 4 với x b) B 2 x 3 y với x ; y 3 3 2 5x 2 7x 1 1 c) C 2 x 2 31 x với x = 4 d) D với x 3x 1 2 V. Tìm giá trị lớn nhất – nhỏ nhất của một biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối: 1. Dạng 1: Sử dụng tính chất không âm của giá trị tuyệt đối: * Cách giải chủ yếu là từ tính chất không âm của giá trị tuyệt đối vận dụng tính chất của bất đẳng thức để đánh giá giá trị của biểu thức: Bài 1.1: Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức: 3 x 2 2 x 3 a) A 0,5 x 3,5 b) B 1,4 x 2 c) C d) D 4 x 5 3 x 1 e) E 5,5 2x 1,5 f) F 10,2 3x 14 g) G 4 5x 2 3y 12 5,8 h) H i) I 2,5 x 5,8 k) K 10 4 x 2 2,5 x 5,8 1 12 l) L 5 2x 1 m) M n) N 2 x 2 3 3 x 5 4 Bài 1.2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: a) A 1,7 3,4 x b) B x 2,8 3,5 c) C 3,7 4,3 x d) D 3x 8,4 14,2 e) E 4x 3 5y 7,5 17,5 f) F 2,5 x 5,8 2 3 g) G 4,9 x 2,8 h) H x i) I 1,5 1,9 x 5 7 k) K 23x 1 4 l) L 23x 2 1 m) M 51 4x 1 Bài 1.3: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 15 1 21 4 20 a) A 5 b) B c) C 43x 7 3 3 815x 21 7 5 3x 5 4y 5 8 19
24 2 21 d) D 6 e) E 2 x 2y 32x 1 6 3 x 3y 2 5 x 5 14 Bài 1.4: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 2 7x 5 11 2y 7 13 15 x 1 32 a) A b) B c) C 7x 5 4 2 2y 7 6 6 x 1 8 Bài 1.5: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 8 6 14 15 28 a) A 5 b) B c) C 45x 7 24 5 56y 8 35 12 3 x 3y 2x 1 35 Bài 1.6: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 214x 6 33 6 y 5 14 15 x 7 68 a) A b) B c) C 34x 6 5 2 y 5 14 3 x 7 12 2. Dạng 2: Xét điều kiện bỏ dấu giá trị tuyệt đối xác định khoảng giá trị của biểu thức: Bài 2.1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: a) A x 5 2 x b) B 2x 1 2x 6 c) C 3x 5 8 3x d) D 4x 3 4x 5 e) E 5x 6 3 5x f) F 2x 7 5 2x Bài 2.2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: a) A 2 x 3 2x 5 b) B 3 x 1 4 3x c) C 4 x 5 4x 1 Bài 2.3: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: a) A x 5 x 4 b) B 2x 3 2x 4 c) C 3x 1 7 3x Bài 2.4: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: a) A 2 x 5 2x 6 b) B 3 x 4 8 3x c) C 55 x 5x 7 Bài 2.5: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: a) A x 1 x 5 b) B x 2 x 6 5 c) C 2x 4 2x 1 3. Dạng 3: Sử dụng bất đẳng thức a b a b Bài 3.1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: a) A x 2 x 3 b) B 2x 4 2x 5 c) C 3 x 2 3x 1 Bài 3.2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: a) A x 5 x 1 4 b) B 3x 7 3x 2 8 c) C 4 x 3 4x 5 12 Bài 3.3: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: a) A x 3 2x 5 x 7 b) B x 1 3x 4 x 1 5 c) C x 2 4 2x 5 x 3 d) D x 3 56x 1 x 1 3 Bài 3.4: Cho x + y = 5 tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 20
A x 1 y 2 Bài 3.5: Cho x – y = 3, tìm giá trị của biểu thức: B x 6 y 1 Bài 3.6: Cho x – y = 2 tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: C 2x 1 2y 1 Bài 3.7: Cho 2x+y = 3 tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: D 2x 3 y 2 2 Chuyªn ®Ò 3. luü THỪA CỦA MỘT SỐ HỮU TỈ I. Tóm tắt lý thuyết: 1. Luỹ thừa với số mũ tự nhiên. : Luỹ thừa bậc n ủa một số hữu tỉ, kí hiệu xn, là tích của n thừa số x n (n là số tự nhiên lớn hơn 1): x = x. x . x .. . x ( x Q, n N, n > 1) n Quy ước: x1 = x; x0 = 1; (x 0) n a a an Khi viết số hữu tỉ x dưới dạng a,b Z,b 0 , ta có: b b bn 2. Tích và thương của hai luỹ thừa cùng cơ số: xm .xn xm n ; xm : xn xm n (x 0, m n ) a) Khi nhân hai luỹ thừa cùng cơ số, ta giữ nguyên cơ số và cộng hai số mũ. b) Khi chia hai luỹ thừa cùng cơ số khác 0, ta giữ nguyên cơ số và lấy số mũ của luỹ thừa bị chia trừ đi số mũ của luỹ thừa chia. n 3. Luỹ thừa của luỹ thừa. xm xm.n Khi tính luỹ thừa của một luỹ thừa, ta giữ nguyên cơ số và nhân hai số mũ. n n 4. Luỹ thừa của môt tích - luỹ thừa của một thương. x.y xn .yn ; x : y xn : yn (y 0) Luỹ thừa của một tích bằng tích các luỹ thừa. Luỹ thừa của một thương bằng thương các luỹ thừa. Toùm taét caùc coâng thöùc veà luyõ thöøa a c x , y Q; x = y = b d a a a 1. Nhân hai lũy thừa cùng cơ số xm . xn = ( )m .( )n =( )m+n b b b a a a 2. Chia hai lũy thừa cùng cơ số xm : xn = ( )m : ( )n =( )m-n (m≥n) b b b 3. Lũy thừa của một tích (x . y)m = xm . ym 4. Lũy thừa của một thương (x : y)m = xm : ym 5. Lũy thừa của một lũy thừa (xm)n = xm.n 1 6. Lũy thừa với số mũ âm.: xn = x n 21
* Quy ước: a1 = a; a0 = 1. II. Luyện tập: Dạng 1: Sử dụng định nghĩa của luỹ thừa với số mũ tự nhiên Phương pháp: Cần nắm vững định nghĩa: xn = x.x.x. .x ; n thừa số (x Q, n N, n > 1) Quy ước: x1 = x; x0 = 1; (x 0) 3 3 2 2 2 3 4 Bài 1: Tính a) ; b) ; c) 1 ; d) 0,1 ; 3 3 4 27 3 Bài 2: Điền số thích hợp vào ô vuông a) 16 2 , b) ,c) 0,0001 (0,1) 343 7 Bài 3: Điền số thích hợp vào ô vuông: 5 64 3 2 a) 243 b) c) 0,25 343 81 Bài 4: Viết số hữu tỉ dưới dạng một luỹ thừa. Nêu tất cả các cách viết. 625 Dạng 2: Đưa luỹ thừa về dạng các luỹ thừa cùng cơ số. Phương pháp: Áp dụng các công thức tính tích và thương của hai luỹ thừa cùng cơ số. xm .xn xm n x m : x n x m n (x 0, m n ) n Áp dụng các công thức tính luỹ thừa của luỹ thừa xm xm.n Sử dụng tính chất: Với a 0, a 1 , nếu am = an thì m = n 2 1 1 2 3 Bài 1: Tính a) . ; b) 2 . 2 ; c) a5.a7 3 3 n 1 5 2 (2 ) 814 7 22 Bài 2: Tính a) b) c) n (n 1) 412 5 7 2 5 3 2 2 1 1 Bài 3: Tìm x, biết: a) .x ; b) .x ; 3 3 3 81 Bµi 4: Cho x Q vµ x 0. H·y viÕt x12 díi d¹ng: a) TÝch cña hai luü thõa trong ®ã cã mét luü thõa lµ x9 ? b) Luü thõa cña x4 ? c) Th¬ng cña hai luü thõa trong ®ã sè bÞ chia lµ x15 ? Dạng 3: Đưa luỹ thừa về dạng các luỹ thừa cùng số mũ. 22
Phương pháp: Áp dụng các công thức tính luỹ thừa của một tích, luỹ thừa của một thương: n n x.y xn .yn x : y xn : yn (y 0) n Áp dụng các công thức tính luỹ thừa của luỹ thừa xm xm.n 7 2 4 1 7 90 790 Bài 1. Tính: a) .3 ; b) (0,125)3.512 c) d) 3 152 794 Bài 2. Tính: 5 3 4 4 1 1 2 2 a)  55 b) 103 c) : 2 4 d)  9 2 5 5 3 3 3 2 1 1 1203 390 4 e)  f) g) h) 273:93 2 4 403 130 4 i) 1253:93 ; k) 324 : 43 ; l) (0,125)3 . 512 ; m) (0,25)4 . 1024 Bµi 3. TÝnh: 82.45 8111.317 a) (0,25)3.32; b) (-0,125)3.804; c) ; d) . 220 2710.915 D¹ng 4. TÝnh gi¸ trÞ cña c¸c biÓu thøc: Bài 1. Tính giá trị biểu thức: 5 4510.510 0,8 215.94 810 410 a) b) c) d) 7510 0,4 6 63.83 84 411 Bài 2. Tính . 0 4 3 1 3 a) b) 2 c) 2,5 d) 253 : 52 e) 22.43 4 3 Bài 3:Thực hiện tính: 0 2 6 1 1/ 3 : 2 0 7 2 4 2 1 2 2 4 / 2 8 2 : 2 4 2 3 20 0 2 2 / 2 22 1 2 0 2 2 2 3 1 2 2 1 2 2 3 5/ 2 3 2 4 2 : 8 3/ 3 5 2 2 2 Bµi 4. Thùc hiÖn phÐp tÝnh : 3 2 2 3 2019 2 . . 1 1 1 1 3 4 a) 6. 3. 1 : ( 1 b) 2 3 3 3 3 2 5 . 5 12 0 8 3 4 1 1 6 3 2 . . 915 . . 2 2 2 c) 4 d) 6. 3. 2. 4 . 7 15 3 3 12 3 3 3 23
7 3 3 2 7 9 3 2 3 .5 : 2 2 2 5 4 16 e) 6. 12. 18. . f) . 3 3 3 27.52 512 Bài 5. Thực hiện phép tính: 4 2 10 .81 16.15 212.13 212.65 310.11 310.5 a) A= 4 b) B = + . 4 .675 210.104 39.24 5 4 9 15 9 20 9 c) C = 4 .9 2.6 ; d) D = 5.4 .9 4.3 .8 ; 210.38 68.20 5.29.619 7.229.276 Bài 6. Thực hiện phép tính: 19 3 9 4 6 5 9 a) A = 2 .27 15.( 4) .9 ; b) B = ;4 .9 6 .120 69.210 ( 12)10 84.312 611 30.47.329 5.145.212 2.522 9.521 5(3.715 19.714 ) c) C = ; d) : 54.614.97 1285.75 2510 (716 3.715 ) Bài 7. Thực hiện phép tính: a) A = 22016 – 22015 + 22014 – 22013 + + 22 – 21 + 20; 5 2 2 27 12 5 6 2 . .729 2 .3 4 .9 3 8 b) B = 2 6 4 5 ; c) C = 4 ; (2 .3) 8 .3 3 .216 2 2 3 3 3 1 3 1 212.57 46.253 d) D = .52 2 : ; e) E = . 5 4 4 2 85.253 (22.5)6 Bµi 8. Thực hiện phép tính: 212.35 46.92 510.73 255.492 A 6 3 22.3 84.35 125.7 59.143 D¹ng 5. T×m x, trong luü thõa Ph¬ng ph¸p: - §a vÒ d¹ng hai luü thõa cïng c¬ sè am = an m=n - §a vÒ d¹ng hai luü thõa cïng sè mò an = bn a=b (nÕu n lÏ) an = bn a= b (nÕu n ch½n) Bµi 1. T×m x, biÕt: a) (2x - 1)2 = 4; b) (2x + 1)3 = 8; c) (x - 1)5 = -32 24
4 36 d) (3x - 2)2 - =0; e) (2x - 3)2 = 25; f) (5x + 1)2 = 25 49 Bµi 2. T×m x, biÕt: 3 6 3x 1 2 2 3 256 a) x ; b) (8x - 1)2n+1 = 52n+1; c) 9 3 4 81 x 2 4 12 3 3 1 d) ; e) 172x2-79:983= f) 5x.(53)2= 625. 25 5 5 8 g) (2x - 1)10 = (2x - 1)11; h) (x - 1)4 = (x - 1)8. Bµi 3. T×m x, biÕt: a) (2x - 1)6 = (2x - 1)8; b) (x – 1)x+2 = (x – 1)x+4; 1 2 3 4 5 30 31 c) . . . . . 2 x ; d) 5x+2 = 625; 4 6 8 10 12 62 64 3 4 5 2010 e) 2x+2.3x+1.5x = 10800; f) . . 1005.161 x . 4 6 8 4018 Bµi 4. T×m x, biÕt: a) 2x + 2x+3 = 144; b) 5x + 5x+2 = 650; c) 3x-1 + 5.3x-1 = 162; d) 7x+2 + 2.7x-1 = 345. e) 10x -25.2x = 4.5x – 100. Bµi 5. T×m c¸c sè tù nhiªn x, y biÕt: a) 10x:5y = 20y; b) 2x = 4y-1 vµ 27y = 3x+8; c) 2x+1.3y=12x; Bµi 6. T×m sè tù nhiªn n, biÕt: a) 32 4; c) 9.27 3n 243 d) 27 < 813:3n < 243; e) 8 < 2n 29:25; f) 9.27 < 3n 729. Bµi 7. T×m c¸c sè h÷u tØ a, b, c, biÕt r»ng: 3 4 3 a) ab= , bc= , ca= ; 5 5 4 b) a(a+b+c)=-12; b(a+b+c)=18; c(a+b+c)=30 c) ab=c, bc=4a, ac=9b. 3 3 d) x(x - y) = vµ y(x - y)= . 10 50 Bµi 8. T×m x, y, z, biÕt r»ng: a) x2 + y2 = 0; b) x2+(y-2)4 = 0; c) (x + 1)2 + (y - 3)2 = 0 d) (2x - 1)2 + (3 - y)2 = 0; e) (x – y + 2)2 + (y - 1)2 = 0; f) (3x - 5)2006 + (y2 - 1)2008 + (x - z)2100 = 0; 25
g) (2x - 5)2018 + (3y + 4)2020 0. Bài 9. Tìm x, biết: 4 3 16 a) x ; b) (7x - 3)2020 = (3 -7x)2018; 4 81 4x 2 4x 1 4x 32x 32x 1 32x 3 c) . d) (2x + 1)5 = (2x + 1)2019 21 31 Bài 10. Tìm x, biết: 1 2 3 4 5 30 31 a). . . . . 4x ; 4 6 8 10 12 62 64 45 45 45 45 65 65 65 65 65 65 b). 8x . 35 35 35 25 25 x 64 4.59.710 511.79 c) ; 27 359.4 10 d) x 3 1024.1252.252 . Bài 11. Tìm tất cả các số tự nhiên n thỏa mãn: 2.22 + 3.23 + 4.24 + + (n - 1).2n-1 + n.2n = 8192. D¹ng 6. So s¸nh luü thõa: Ph¬ng ph¸p: 1. §a hai luü thõa vÒ cïng sè mò NÕu a > b th× an > bn ( víi a, b >0) Bµi 1.a) 2 24 và 316; b) 2300 vµ 3200; c) 1020 vµ 9010 d) 0,110 vµ 0,320 e) (-5)30 vµ (-3)50 Bµi 2. H·y s¾p xÕp c¸c sè h÷u tØ sau theo thø tù tõ nhá ®Õn lín: a= 2100; b= 375; c=550 Bµi 3. So s¸nh: A= 2225 vµ B= 3150 2. §a hai luü thõa vÒ cïng c¬ sè: NÕu m > n th× am > an (a>0) NÕu m > n th× am < an (a<0) Bµi 1. So s¸nh: 10 50 1 1 a) 648 vµ 1612; b) vµ 16 2 100 500 1 1 c) (-32)9 vµ (-16)13; d) vµ 16 2 Bµi 2. So sánh a) 9920 và 999910; b) 321 và 231; 26
c) 230 + 330 + 430 và 3.2410. D¹ng 7. TÝnh tæng theo quy luËt Bµi 1. TÝnh tæng: A= 2+22+23+ +2100 B= 3+32+33+ +3100 C= 5+52+53+ +51000 S= a+a2+a3+ +an Bµi 2. So s¸nh A vµ B: A=1+2+22+23+ +250 vµ B=250. Bµi 3. Rót gän: A=2100-299+298-297+ +22-2 B= 3100-399+398-397+ +32-3+1 Bµi 4. TÝnh c¸c tæng sau: 1 1 1 1 A = 3 32 33 3100 1 1 1 1 B = 2 22 23 2100 1 1 1 1 C = 5 52 53 5n 1 1 1 1 S = a a 2 a 3 a n 1 1 1 1 Bµi 5. Cho C= 3 32 33 3100 1 Chøng minh r»ng: C< 2 1 1 1 1 Bµi 6. Cho A= 1 . 1 . 1 1 22 32 42 1002 1 So s¸nh A víi 2 Bµi 7. Chøng minh r»ng: 3 5 7 19 1 12.22 22.32 32.42 92.102 Bµi 8. Chøng minh r»ng: 1 2 3 4 100 3 a) . 3 32 33 34 3100 4 1 2 3 4 2018 2019 1 b) . 4 42 43 44 42018 42019 2 Bài 9. Chứng minh rằng: 1 1 1 1 1 1 1 . 72 74 74n 2 74n 798 7100 50 1 1 1 1 1 1 Bài 10. Cho biểu thức B = . Chứng minh: B . 1002 1012 1982 1992 200 99 1 1 1 1 1 1 Bài 11. Chøng minh r»ng : . 6 52 62 72 1002 4 Bài 12. TÝnh: 27
3 4 5 100 a) A = 1 + . 23 24 25 2100 0 1 2 2007 1 1 1 1 b) S 7 7 7 7 Bài 13. So sánh A và B: 20 22 18 14 22 18 a) A ; B 39 27 43 39 29 41 3 7 7 3 b) A= ; B= 83 84 83 84 7 8 c) A=10 5 ; B=10 6 107 8 108 7 1992 1993 d) A=10 1 ; B= 10 1 101991 1 101992 1 Bài 14. Cho a, b, c là các số nguyên dương sao cho mỗi số nhỏ hơn tổng của hai số kia. Chứng tỏ rằng: a b c 1 2 b c c a a b Bài 15. Cho các số nguyên dương a, b, c, d. Chứng tỏ rằng: a b c d 1 2 a b c b c d c d a d a b Bài 16. Chứng minh rằng: 1 1 1 1 1 a) 22 42 62 1002 2 11 1 1 1 1 1 3 b) 15 21 22 23 59 60 2 1 1 1 1 1 1 1 1 c) 4 16 36 64 100 144 196 2 1 1 1 1 d) 1 . 22 32 42 452 Bài 17. Cho x, y, z, t là các số nguyên dương. Chứng minh rằng: x y z t M = có giá trị không phải là số tự nhiên. x y z x y t y z t x z t D¹ng 8. Chøng minh chia hÕt vµ t×m ch÷ sè tËn cïng 1. T×m ch÷ sè tËn cïng a. T×m ch÷ sè tËn cïng: Ph¬ng ph¸p: §Ó t×m ch÷ sè tËn cïng cña sè an ta t×m ch÷ sè tËn cïng cña a4 vµ lu ý quy luËt 6n= 6; 1n=1; 5n= 5; 0n=0. b. T×m 2 ch÷ sè tËn cïng: Ph¬ng ph¸p: §Ó t×m 2 ch÷ sè tËn cïng cña sè an ta t×m 2 ch÷ sè tËn cïng cña a20 vµ lu ý quy luËt 76n= 76; 25n= 25; (01)n= 01 c. T×m 3 ch÷ sè tËn cïng: 28
Ph¬ng ph¸p: §Ó t×m 3 ch÷ sè tËn cïng cña sè an ta t×m 3 ch÷ sè tËn cïng cña a100 vµ lu ý quy luËt 376n= 376; 625n= 625; (001)n= 001 Bµi 1. T×m ch÷ sè tËn cïng cña: a) 421; b) 953; c) 3103; d) 84n+1 (n N); e) 1423+2323+7023 Bµi 2. T×m hai ch÷ sè tËn cïng cña: a) 71992; b) 99101; c)19451945; d) 24100; e) 21000 Bµi 3. T×m ba ch÷ sè tËn cïng cña: 2000 a) 22003; b) 32012 c) 23 2. Chøng minh chia hÕt Bµi 1. Chøng minh r»ng: a) 55-54+53 chia hÕt cho 7 b) 76+75-74 chia hÕt cho 11 c) 2454.5424.210 chia hÕt cho 7263 d) 165+215 chia hÕt cho 33 e) 817-279-913 chia hÕt cho 405 f) 76+75-74 chia hÕt cho 55. Bµi 2. Chøng minh r»ng: a) 3636-910 chia hÕt cho 45 b) (210+211+212):7 lµ mét sè tù nhiªn c) (810-89-88):55 lµ mét sè tù nhiªn. d) A = 22011969 + 11969220 + 69220119 chia hÕt cho 102. e) B =75.(42004 + 42003 + + 42 + 4 + 1) + 25 là số chia hết cho 100. Bµi 3. Chøng minh r»ng víi mäi sè nguyªn d¬ng n, th×: a) 3n+2-2n+2+3n-2n chia hÕt cho 10. b) 3n+3+3n+1+2n+3+2n+2 chia hÕt cho 6. 102006 53 Bài 4. Chøng minh r»ng lµ mét sè tù nhiªn. 9 Bài 5. TÝnh tæng: A= (- 7) + (-7)2 + + (- 7)2006 + (- 7)2007. Chøng minh r»ng A chia hÕt cho 43. Bài 6. Chøng minh r»ng: Tæng A=7 +72+73+74+ +74n chia hÕt cho 400 (n N). Bài 7. Chứng minh rằng: 3x+1 + 3x+2 + 3x+3 + + 3x+100 chia hết cho 120 (với x N) 29
CHUYÊN ĐỀ 4: TỈ LỆ THỨC-TÍNH CHẤT CỦA DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU A. CƠ SỞ LÍ THUYẾT I. TỈ LỆ THỨC 1. Định nghĩa: a c Tỉ lệ thức là một đẳng thức của hai tỉ số (hoặc a : b = c : d). b d Các số a, b, c, d được gọi là các số hạng của tỉ lệ thức; a và d là các số hạng ngoài hay ngoại tỉ, b và c là các số hạng trong hay trung tỉ. 2. Tính chất: a c Tính chất 1: Nếu thì ad bc b d Tính chất 2: Nếu ad bc và a, b, c, d 0 thì ta có các tỉ lệ thức sau: a c a b d c d b , , , b d c d b a c a Nhận xét: Từ một trong bốn đẳng thức trên ta có thể suy ra các đẳng thức còn lại. II. TÍNH CHẤT CỦA DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU a c a c a c a c -Tính chất: Từ suy ra: b d b d b d b d -Tính chất trên còn mở rộng cho dãy tỉ số bằng nhau: a c e a c e a b c a b c suy ra: b d f b d f b d f b d f (giả thiết các tỉ số trên đều có nghĩa). a b c * Chú ý: Khi có dãy tỉ số ta nói các số a, b, c tỉ lệ với các số 2, 3, 5. 2 3 5 Ta cũng viết a : b : c = 2 : 3 : 5 Baøi 1:Thay tæ soá caùc soá baèng tæ soá cuûa caùc soá nguyeân: 7 4 2 : ; 2,1:5,3 ; : 0,3 ; 0,23: 1,2 3 5 5 Baøi 2: Caùc tæ soá sau ñaây coù laäp thaønh tæ leä thöùc khoâng? 15 30 1 2 3 a) vaø ; b) 0,25:1,75 vaø ; c) 0,4:1 vaø . 21 42 7 5 5 Baøi 3: a) Coù theå laäp ñöôïc tæ leä thöùc töø caùc soá sau ñaây khoâng? Neáu coù haõy vieát caùc tæ leä thöùc ñoù: 3; 9; 27; 81; 243. 30
b) Lập các tỉ lệ thức từ các đẳng thức sau: 1 1 7.(-28)=(-49).4; 0,36.4,25=0,9.1,7; 6:(-27)= 6 : 29 2 4 Baøi 4: Tìm x trong caùc tæ leä thöùc sau: x 0,15 - 2,6 - 12 11 6,32 a) = ; b) = ; c) = ; 3,15 7,2 x 42 10,5 x 41 x d) 10 = ; e) 2,5:x = 4,7:12,1 9 7,3 4 Baøi 5: Tìm x trong tæ leä thöùc: x- 1 6 x2 24 x- 2 x + 4 a) = ; b) = ; c) = x + 5 7 6 25 x- 1 x + 7 Bµi 6: T×m x trong c¸c tØ lÖ thøc sau: 1 1 7 1 12 15 a) 2 : : x b) x : : 3 3 9 3 99 90 4 1 3 41 75 c) : x 3 : 2,25 d) : x : 9 3 4 99 90 Bµi 7: T×m x trong c¸c tØ lÖ thøc sau: 2 3 7 5 2 a) 152 148 : 0,2 x : 0,3 b) 85 83 : 2 0,01x : 4 4 8 30 18 3 3 3 5 3 1 1 10 25 c) 6 3 .2,5 : 21 1,25 x : 5 d) 4 : 2 1 31x : 45 44 5 14 6 4 3 9 63 84 2x 3 4x 5 3x 1 25 3x Bµi 8: T×m x, biÕt: a) b) 5x 2 10x 2 40 5x 5x 34 Bµi 9: T×m sè h÷u tØ x trong tØ lÖ thøc sau: 1 1 a) 0,4:x=x:0,9 b) 13 :1 26 : (2x 1) 3 3 1 2 37 x 3 c) 0,2:1 : (6x 7) d) 5 3 x 13 7 x 60 2 x e) f) 15 x x 8 25 Bµi 10: T×m x trong c¸c tØ lÖ thøc sau: 1 2 5 a) 3,8 : (2x) = : 2 b) (0,25x):3 = : 0,125 4 3 6 1 2 c) 0,01 : 2,5 = (0,75x) : 0,75 d) 1 : 0,8 : (0,1x) 3 3 Bµi 11. T×m x, biÕt: 2 7 2 4 1)2 : x 1 : 0,2 2) : 0,4 x : 3 9 3 5 31
1 2 3 2 1 3) .x : 1 : 4) 8: .x 2 : 0,02 3 3 4 5 4 4 5 0,04 x 5) 6) 3x 2 3 x 0,25 2 7 2 1 2 7)3 9 8) 3: x 1: 0,01 0,03 x 5 4 3 x 3 x 2 9) 3 : 2x 0,25 : 10) 5 8 x 1 x 5 B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI DẠNG I: TÌM GIÁ TRỊ CỦA BIẾN TRONG CÁC TỈ LỆ THỨC. x y Ví dụ 1: Tìm hai số x và y biết và x y 20 2 3 x y y z Ví dụ 2: Tìm x, y, z biết: , và 2x 3y z 6 3 4 3 5 x y Ví dụ 3: Tìm hai số x, y biết rằng: và x.y 40 2 5 BÀI TẬP VẬN DỤNG: Bài 1: Tìm các số x; y biết rằng: x 7 x y a) và 5x – 2y = 87; b) và 2x – y = 34; y 3 19 21 Bài 2: Tìm các số x, y, z biết rằng: x y z x y y z a) và 5x y 2z 28 b) , và 2x 3y z 124 10 6 21 3 4 5 7 2x 3y 4z x y c) và x y z 49 d) và xy 54 3 4 5 2 3 x y x y z e) và x 2 y 2 4 f) x y z 5 3 y z 1 z x 1 x y 2 Bài 3: Tìm các số x, y, z biết rằng: x 1 y 2 z 3 a) 3x 2y , 7y 5z và x y z 32 b) và 2x 3y z 50 2 3 4 x y z c) 2x 3y 5z và x y z 95 d) và xyz 810 2 3 5 y z 1 z x 2 x y 3 1 e) f) 10x 6y và 2x 2 y 2 28 x y z x y z Bài 4: Tìm x, y biết rằng: 32
1 2y 1 4y 1 6y 2x 1 3y 2 2x 3y 1 a) ; b) ; 18 24 6x 5 7 6x 1 3y 1 5y 1 7y c) . 12 5x 4x Bài 5: Tìm các số x, y, z biết: x y z x y z a) và 2x2 + 2y2 – 3z2 = -100; b) và x2 + y2 + z2 = 116; 3 4 5 2 3 4 x3 y3 z3 3 2 c) và x2 + y2 + z2 = 14; d) x y và x2 – y2 = 38. 8 64 216 5 3 Bài 6: Tìm x, y, z biết: 1 2 3 x y z a)x y z và x – y = 15; b) và 3x + y – 2z =14; 2 3 4 3 5 8 x y z x 9 y 7 c) và x - 3y + 4z = 62; d) ; và x – y + z = -15; 4 3 9 y 7 z 3 x 7 y 5 e) ; và 2x + 5y - 2z = 100; y 20 z 8 Bài 7: Tìm x, y, z biết: 6 9 18 a) 5x = 8y = 20z và x – y – z = 3; b) x y z và –x + y + z = -120; 11 2 5 x y z x y z c) và xyz 20 ; d) và x2 + y2 – z2 = 585. 12 9 5 5 7 3 e) x : y : z = 3 : 4 : 5 và 5z2 – 3x2 – 2y2 = 594; f) x + y = x : y = 3.(x – y). Bài 8: Tìm x, y, z biết: 4z 10y 10x 3z 3y 4x a) và 2x + 3y – z = 40. 3 4 10 12x 15y 20z 12x 15y 20z b) và x + y + z = 48. 7 9 11 3x 2y 2z 5x 5y 3z c) và x + y + z = -50; 5 3 2 x 16 y 25 z 9 d) và 2x3 – 1 = 15. 9 16 25 Bài 10: Tìm x, y, z, biết: 7x 3y 12 y 2z x x 3y 3y 9z 5z 15x a) ; b) và x + y + 2z = -31; 2y z 3y 2 y 19 114 115 7 3 5 c) và x + y + z = 17; 2x 2 2y 4 z 4 Bài 11: Tìm các số a, b, c biết rằng: a) 2a = 3b; 5b = 7c và 3a + 5c – 7b = 30. a 3 b) ,5a 7c và a – 2b + c = 32. b 2 Bài 12: Tìm các số a1, a2, a3, ,a9, biết: a1 1 a2 2 a3 3 a9 9 và a1 + a2 + a3 + +a9 = 90. 9 8 7 1 33
DẠNG II. CHỨNG MINH TỈ LỆ THỨC A C Để chứng minh tỉ lệ thức: ta thường dùng một số phương pháp sau: B D Phương pháp 1: Chứng tỏ rằng A. D = B.C Phương pháp 2: Chứng tỏ rằng hai tỉ số A và C có cùng giá trị. B D Phương pháp 3: Sử dụng tính chất của tỉ lệ thức. Một số kiến thức cần chú ý: a na +) (n 0) b nb n n a c a c +) b d b d Sau đây là một số ví dụ minh họa: ( giả thiết các tỉ số đều có nghĩa) a c a b c d Ví dụ 1: Cho tỉ lệ thức .Chứng minh rằng: b d a b c d Giải: Cách 1: (PP1) Ta có: (a b)(c d) ac ad bc bd (1) (a b)(c d) ac ad bc bd (2) a c Từ giả thiết: ad bc (3) b d a b c d Từ (1), (2), (3) suy ra: (a b)(c d) (a b)(c d) (đpcm) a b c d Cách 2: (PP2) a c Đặt k , suy ra a bk , c dk b d a b kb b b(k 1) k 1 Ta có: (1) a b kb b b(k 1) k 1 c d kd d d(k 1) k 1 (2) c d kd d d(k 1) k 1 a b c d Từ (1) và (2) suy ra: (đpcm) a b c d Cách 3: (PP3) 34
a c a b Từ giả thiết: b d c d Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có: a b a b a b c d c d c d a b c d (đpcm) a b c d a c ab a 2 b 2 Ví dụ 2: Cho tỉ lệ thức . Chứng minh rằng: b d cd c 2 d 2 a c Giải: Cách 1: Từ giả thiết: ad bc (1) b d Ta có: ab c 2 d 2 abc 2 abd 2 acbc adbd (2) cd a 2 b 2 a 2cd b 2cd acad bc.bd (3) Từ (1), (2), (3) suy ra: ab c 2 d 2 cd a 2 b 2 ab a 2 b 2 (đpcm) cd c 2 d 2 a c Cách 2: Đặt k , suy ra a bk , c dk b d ab bk.b kb 2 b 2 Ta có: (1) cd dk.d kd 2 d 2 a 2 b 2 (bk) 2 b 2 b 2 k 2 b 2 b 2 k 2 1 b 2 (2) c 2 d 2 (dk) 2 d 2 d 2 k 2 d 2 d 2 k 2 1 d 2 ab a 2 b 2 Từ (1) và (2) suy ra: (đpcm) cd c 2 d 2 a c a b ab a 2 b 2 a 2 b 2 Cách 3: Từ giả thiết: b d c d cb c 2 d 2 c 2 d 2 ab a 2 b 2 (đpcm) cd c 2 d 2 35
BÀI TẬP VẬN DỤNG: a c Bài 1: Cho tỉ lệ thức: . Chứng minh rằng ta có các tỉ lệ thức sau: (với giả thiết các tỉ số b d đều có nghĩa). 2 3a 5b 3c 5d a b a 2 b 2 1) 2) 3a 5b 3c 5d c d c 2 d 2 a b c d ab a b 2 3) 4) a b c d cd c d 2 2a 5b 2c 5d 2005a 2006b 2005c 2006d 5) 6) 3a 4b 3c 4d 2006a 2007b 2006c 2007d a c 7a 2 5ac 7b 2 5bd 7) 8) a b c d 7a 2 5ac 7b 2 5bd 7a 2 3ab 7c 2 3cd 9) 11a 2 8b 2 11c 2 8d 2 3 a b c a b c a Bài 2: Cho . Chứng minh rằng: b c d b c d d 3 a b c a b c a Bài 3: Cho . Chứng minh rằng: b c d b c d d a b c Bài 4: Cho . Chứng minh rằng: 4(a b)(b c) (c a) 2 2003 2004 2005 a a a a Bài 5: Cho dãy tỉ số bằng nhau: 1 2 3 2008 a 2 a 3 a 4 a 2009 2008 a a a a a CMR: Ta có đẳng thức: 1 1 2 3 2008 a 2009 a 2 a 3 a 4 a 2009 a1 a2 a8 a9 Bài 6: Cho và a1 a2 a9 0 a2 a3 a9 a1 Chứng minh rằng: a1 a2 a9 a b c Bài 7: Cho . Chứng minh rằng: 4(a b)(b c) (c a) 2 2003 2004 2005 a b a 2 b 2 a Bài 8: Chứng minh rằng nếu : thì b d b 2 d 2 d 36
a1 a2 a8 a9 Bài 9. Cho và a1 a2 a9 0 a2 a3 a9 a1 Chứng minh rằng: a1 a2 a9 a b c a Bài 10 CMR: Nếu a 2 bc thì . Đảo lại có đúng không? a b c a a b a 2 b 2 a Bài 11. Chứng minh rằng nếu : thì b d b 2 d 2 d a b c d a c Bài 12. Cho . CMR: a b c d b d a 2 b 2 a b a c a d Bài 13. Cho tỉ lệ thức : . Chứng minh rằng: hoặc c 2 d 2 c d b d b c a 2 b 2 ab 2ab a 2 2ab b 2 a b 2 ab a b a b a.b Giải. Ta có : = ; c 2 d 2 cd 2cd c 2 2cd d 2 c d 2 cd c d c d c.d c a b b c d ca cb bc bd ca bd a c 1 ca cb ac ad cb ad a c d d a b ac ad da db ca bd b d u 2 v 3 u v Bài 14. Chứng minh rằng nếu: thì u 2 v 3 2 3 a b c a Bài 15. CMR: Nếu a 2 bc thì . Đảo lại có đúng không? a b c a Bài 16. CMR nếu a(y z) b(z x) c(x y) y z z x x y trong đó a, b,c khác nhau và khác 0 thì : a(b c) b(c a) c(a b) a b c d a c Bài 17. Cho . CMR: a b c d b d a c Bài 18. Cho . Các số x, y, z, t thỏa mãn: xa yb 0 và zc td 0 .Chứng minh rằng: b d xa yb xc yd za tb zc td b z cy cx az ay b x x y z Bài 19. Cho dãy tỉ số : ; CMR: . a b c a b c u 2 v 3 u v Bài 20. Chứng minh rằng nếu: thì u 2 v 3 2 3 Bài 21. Cho a, b, c, d là 4 số khác 0 thỏa mãn: b 2 ac ; c 2 bd và b3 c 3 d 3 0 37
a 3 b3 c 3 a Chứng minh rằng: . b3 c 3 d 3 d Bài 22. CMR nếu a(y z) b(z x) c(x y) .Trong đó a, b,c khác nhau và khác 0 thì : y z z x x y a(b c) b(c a) c(a b) ax 2 bx c a b c Bài 23. Cho P 2 . Chứng minh rằng nếu thì giá trị của P không phụ a1 x b1 x c1 a1 b1 c1 thuộc vào x. a b' b c' Bài 24. Cho biết : 1; 1 . CMR: abc + a’b’c’ = 0. a' b b' c a c Bài 25. Cho . Các số x, y, z, t thỏa mãn: xa yb 0 và zc td 0 b d xa yb xc yd Chứng minh rằng: za tb zc td Bài 26. Cho a, b, c, d là 4 số khác 0 thỏa mãn: b 2 ac ; c 2 bd và b3 c 3 d 3 0 a 3 b3 c 3 a Chứng minh rằng: . b3 c 3 d 3 d ax 2 bx c a b c Bài 27. Cho P 2 . Chứng minh rằng nếu thì giá trị của P không phụ a1 x b1 x c1 a1 b1 c1 thuộc vào x. 2a 13b 2c 13d a c Bài 28. Cho tỉ lệ thức: ; Chứng minh rằng: . 3a 7 b 3c 7 d b d 38
Bài 29. x y y z a) Chứng minh rằng nếu: 2(x + y) = 5(y + z) = 3(z + x) thì 4 5 3x 2y 2z 4x 4y 3z x y z b) Cho . Chứng minh rằng: . 4 3 2 2 3 4 2n 2n 2n 2n Bài 30. Cho (x1p – y1q) + (x2p – y2q) + (x3p – y3q) + +(xmp – ymq) 0, với m, n N * . Chứng minh rằng: x x x x q 1 2 3 m . y1 y2 y3 ym p Bài 31. 2bz 3cy 3cx az ay 2bx x y z Bài 32. Cho . Chứng minh rằng: a 2b 3c a 2b 3c x y z Bài 33. Cho . Chứng minh rằng: a 2b c 2a b c 4a 4b c a b c (với abc khác 0 và các mẫu đều khác 0) x 2y z 2x y z 4x 4y z a (a 2019b)2 Bài 34. Cho ba số thực a, b, c thỏa mãn b2 = ac. Chứng minh rằng: . c (b 2019c)2 39
DẠNG III. TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC a b b c c a Bài 1. Cho các số a, b, c đôi một khác nhau và khác 0 thỏa mãn . Hãy tính c a b a b c giá trị của biểu thức: P = 1 1 1 b c a a b c b c a c a b Bài 2. Cho các số a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn . Hãy tính c a b b a c giá trị của biểu thức: P = 1 1 1 . a c b a b c d Bài 3. Cho (a,b,c,d > 0). Tính giá trị của biểu thức sau: 2b 2c 2d 2a 2020a 2019b 2020b 2019c 2020c 2019d 2020d 2019a A = c d a d a b b c Bài 4. Cho bốn số a, b, c, d sao cho a + b + c + d 0. Biết: b c d c d a d a b a b c k . Tính giá trị của k. a b c d 40
a b c d Bài 5. Cho các số a, b, c thỏa mãn: . Tính giá trị của b c d c d a d a b a b c a b b c c d d a biểu thức: P = . c d d a b a b c x y y z 2x 3y 4z Bài 6. Cho và . Tính M = . 3 4 5 6 3x 4y 5z Bài 7. Cho biết x, y, z tỉ lệ với 5, 4,3. Tính giá trị của biểu thức: P = x 2y 3z . x 2y 3z a 3 2a 5b Bài 8. Cho . Tính giá trị của biểu thức: P = . b 4 a 3b x z a x 3z 2a Bài 9. Cho . Tính giá trị của biểu thức: A = . y t b y 3t 2b Bài 10. Cho dãy tỉ số bằng nhau: 2a b c d a 2b c d a b 2c d a b c 2d . a b c d a b b c c d d a Tính giá trị của biểu thức M = . c d d a b a b c x 16 y 25 z 49 Bài 11. Cho và 4x3 – 3 = 29. Tính: P = x + 2y + 3z. 9 16 25 x y 5x2 3y2 Bài 12. Cho . Tính giá trị biểu thức: C = . 3 5 10x2 3y2 Bài 13. Cho a, b, c là các số hữu tỉ khác 0 thỏa mãn: 2a 2b c 2b b 2c a 2b 2c . c b a Tính giá trị của biểu thức: A = (a b)(b c)(c a) . 4abc x 2 y 5 Bài 14. Cho ; và |2x – 3y + 5z| = 80. Tính giá trị của biểu thức: y 3 z 7 P = x – y + z + 2019. Bài 15. Cho a, b, c là ba số thực khác 0 thỏa mãn điều kiện ab(a + b -c) = bc(b + c - a) = ac(c b a c + a - b). Hãy tính giá trị của biểu thức: B = 1 1 1 . a c b a 5b a 5c Bài 16. Cho a, b, c là các số thỏa mãn: 2 . Tính P = . c b b c CHUYÊN ĐỀ 5. CÁC BÀI TOÁN VỀ SỐ THẬP PHÂN- SỐ THỰC. CĂN BẬC HAI. Bài toán 1: Viết các số thập phân sau dưới dạng phân số tối giản 0,(1); 0,(01); 0,(001); 1,(28); 0,(12); 1,3(4); 0,00(24); 1,2(31); 3,21(13) 41
Bài toán 2: Tính a) 10,(3)+0,(4)-8,(6) b) 12,(1) 2,3(6): 4,(21) 1 c) 0,(3) 3 0,4(2) 3 116 Bài toán 3: Tính tổng các chữ số trong chu kỳ khi biểu diễn số dưới dạng số thập phân 99 vô hạn tuần hoàn. Bài toán 4: Tính tổng của tử và mẫu của phân số tối giản biểu diễn số thập phân 0,(12) Bài toán 5: Tính giá trị của biểu thức sau và làm tròn kết quả đến hàng đơn vị (11,81 8,19).2,25 (4,6 5 : 6,25).4 a) A b) B 6,75 4.0,125 2,31 Bài toán 6: Rút gọn biểu thức 0,5 0,(3) 0,1(6) M 2,5 1,(6) 0,8(3) Bài toán 7: Chứng minh rằng: 0,(27)+0,(72)=1 Bài toán 8: Tìm x biết 3 0,(3) 0,(384615) x 0,1(6) 0,(3) 50 a) .x 0,(2) b) 13 0,(3) 1,1(6) 0,0(3) 85 c) 0,(37) 0,(62)x 10 d) 0,(12):1,(6)=x:0,(4) e) x:0,(3)=0,(12). Bài toán 9: m3 3m2 2m 5 Cho phân số A ;(m N) m(m 1)(m 2) 6 a) Chứng minh rằng A là phân số tối giản. b) Phân số A có biểu diễn thập phân là hữu hạn hay vô hạn tuần hoàn? vì sao? Bài toán 10: So sánh các số sau 4 1 9 a) 0,5 100 và 1 : 5 . b) 25 9 và 25 9 25 9 16 c) CMR: với a, b dương thì a b a b Bài toán 11: Tìm x biết 2 a) x là căn bậc hai của các số: 16; 25; 0,81; a2 ; 2 3 b) 2x 3 2 3 2x c) x 1 2 2x 1 2 0 Bài toán 12: Tìm x biết 9 a) x 2 x 0 b) x x c) x 1 2 16 x 1 16 25 Bài toán 13: Cho A . CMR với x và x thì A có giá trị là một số nguyên x 1 9 9 Bài toán 14: Tìm các số nguyên x để các biểu thức sau có giá trị là một số nguyên 42
7 3 2 a) A b) B c) C= x x 1 x 3 x 1 Bài toán 15: Cho A Tìm số nguyên x để A có giá trị là số nguyên x 3 Bài toán 16: thực hiện phép tính 2 2  2 2  1 5 2 2 2 2 2 : 2,4 5,25 : 7  : 2 : : 2 :   7 7 81  Bài 17: Tính giá trị biểu thức sau theo cách hợp lý. 1 1 1 1 2 49 49 7 7 A 2 64 4 2 4 2 7 7 343 Bài toán 18: Tính bằng cách hợp lý. 2 5 5 25 5 M 1 2 196 2 21 204 374 Bài toán 19: Tìm các số x, y, z thoả mãn đẳng thức 2 2 x 2 y 2 x y z 0 Bài toán 20: Thực hiện phép tính 2 1 2 49 1 6 7 1704 M 18 : 225 8 . : 12 8 : 3 3 4 3 7 2 445 3 2 1 121 1 25 16 1 5 5 16 25 N= 1 : 1 . .1 : : : 5 24 5 144 64 5 7 21 49 196 3 39 1 2 P= 9,75.8 .11 : 0,5 4 4 4 2 3 16 3 2 5 1 Q= . . : 169 2 3 12 2 43
CHUYÊN ĐỀ 6. ĐẠI LƯỢNG TỈ LỆ THUẬN, ĐẠI LƯỢNG TỈ LỆ NGHỊCH I. Tóm tắt lý thuyết I 1. Đại lượng tỉ lệ thuận: I. Bài + Nếu đại lượng y liên hệ với đại lượng x theo công thức y = kx, với k là hằng số tập: khác 0 thì ta nói y tỉ lệ thuận với x theo hệ số k. Bài 1: Chú ý: Nếu y tỉ lệ thuận với x theo hệ số tỉ lệ k thì x tỉ lệ thuận với y theo hệ số tỉ Cho 1 lệ là . biết x k và y là + Tính chất của hai đại lượng tỉ lệ thuận: hai đại y y y x y x y * 1 = 2 = 3 = = k ; * 1 = 1 ; 3 = 3 ; . lượng x1 x2 x3 x2 y2 x5 y5 tỉ lệ 2. Đại lượng tỉ lệ nghịch: thuận, + Nếu đại lượng y liên hệ với đại lượng x theo công thức y.x = a, với a là hằng hoàn số khác 0 thì ta nói y tỉ lệ nghịch với x theo hệ số a. thành Chú ý: Nếu y tỉ lệ nghich với x theo hệ số tỉ lệ a thì x tỉ lệ nghịch với y bảng theo hệ số tỉ lệ là a. sau: + Tính chất của hai đại lượng tỉ lệ nghịch: x1 y2 x5 y2 * y1x1 = y2x2 = y3x3 = = a; * = ; = ; . x2 y1 x2 y5 x y z + Nếu x, y, z tỉ lệ thuận với a, b, c thì ta có: = = . a b c x y z + Nếu x, y, z tỉ lệ nghịch với a, b, c thì ta có: ax = by = cz = = 1 1 1 a b c x 2 5 -1,5 y 6 12 -8 Bài 2: Cho biết x và y là hai đại lượng tỉ lệ thuận và khi x = 5, y = 20. a) Tìm hệ số tỉ lệ k của y đối với x và hãy biểu diễn y theo x. b) Tính giá trị của x khi y = -1000. Bài 3: Cho bảng sau: x -3 5 4 -1,5 6 y 6 -10 -8 3 -18 Hai đại lượng x và y được cho ở trên có phải là hai đại lượng tỉ lệ thuận không? Vì sao?. 44
Bài 4: Tìm ba số x, y, z, biết rằng chúng tỉ lệ thuận với các số 5, 3, 2 và x–y+z = 8. Bài 5: Cho biết x và y là hai đại lượng tỉ lệ nghịch, hoàn thành bảng sau: x 3 9 -1,5 y 6 1,8 -0,6 Bài 6: Cho biết x và y là hai đại lượng tỉ lệ nghịch và khi x = 2, y = -15. c) Tìm hệ số tỉ lệ k của y đối với x và hãy biểu diễn y theo x. d) Tính giá trị của x khi y = -10. Bài 7: Cho bảng sau: x -10 20 4 -12 9 y 6 -3 -15 5 -7 Hai đại lượng x và y được cho ở trên có phải là hai đại lượng tỉ lệ nghịch không? Vì sao?. 3 3 1 Bài 8: Tìm ba số x, y, z,biết rằng chúng tỉ lệ thuận với các số ; ; và 16 6 4 x + y + z = 340. Bµi 9: BiÕt y tØ lÖ thuËn víi x, hÖ sè tØ lÖ lµ 3; x tØ lÖ nghÞch víi z, hÖ sè tØ lÖ lµ 15. Hái y tØ lÖ thuËn hay nghÞch víi z? HÖ sè tØ lÖ? Bµi 10: BiÕt y tØ lÖ nghÞch víi x, hÖ sè tØ lÖ lµ a; x tØ lÖ nghÞch víi z, hÖ sè tØ lÖ lµ b. Hái y tØ lÖ thuËn hay nghÞch víi z? hÖ sè tØ lÖ? Bµi 11: a) BiÕt x vµ y tØ lÖ nghÞch víi 3 vµ 5 vµ xy = 1500. T×m hai sè x vµ y. b)T×m hai sè x vµ y biÕt x vµ y tØ lÖ nghÞch víi 3 vµ 2 vµ tæng b×nh ph¬ng cña hai sè ®ã lµ 325. Bµi 12: BiÕt y tØ lÖ thuËn víi x theo hÖ sè tû lÖ lµ 2, x tØ lÖ thuËn víi z theo hÖ sè tØ lÖ lµ 1/3. ViÕt c«ng thøc liªn hÖ gi÷a y vµ z, y cã tØ lÖ thuËn víi z kh«ng? HÖ sè tØ lÖ? Bµi 13: a) §é dµi ®êng trßn cã tØ lÖ thuËn víi b¸n kÝnh cña nã kh«ng? hÖ sè tØ lÖ? b)Trªn mÆt ®ång hå cã kim giê vµ kim phót, kim giê dµi 3cm, kim phót dµi 4,5cm. Hái vËn tèc ®Çu kim phót gÊp mÊy lÇn vËn tèc ®Çu kim giê? Bµi 14: Mét h×nh ch÷ nhËt cã chiÒu réng b»ng nöa chiÒu dµi. ViÕt c«ng thøc biÓu thÞ sù phô thuéc gi÷a chu vi C cña h×nh ch÷ nhËt vµ chiÒu réng x cña nã. Bµi 15: Häc sinh líp 6 cÇn ph¶i trång vµ ch¨m sãc 24 c©y xanh. Líp 6A cã 32 häc sinh, líp 6B cã 28 häc sinh, líp 6C cã 36 häc sinh. Hái mçi líp cÇn ph¶i trång vµ ch¨m sãc bao nhiªu c©y xanh, biÕt r»ng sè c©y xanh tØ lÖ víi sè häc sinh? Bµi 16: §ång b¹ch lµ mét hîp kim cña Niken, KÏm vµ §ång víi khèi lîng mçi lo¹i tØ lÖ víi 3; 4 vµ 13. Hái cÇn bao nhiªu kil«gram Niken, KÏm vµ §ång ®Ó s¶n xuÊt 150 kil«gram §ång b¹ch? Bµi 17: BiÕt c¸c c¹nh cu¶ mét tam gi¸c tØ lÖ víi 2; 3; 4 vµ chu vi cña nã lµ 45cm. TÝnh c¸c c¹nh cu¶ tam gi¸c ®ã? Bµi 18: Tõ c«ng thøc y = 2x + 5. Hai ®¹i lîng y vµ x cã tØ lÖ thuËn víi nhau hay kh«ng? T¹i sao? Bµi 19: Líp 7A trong 1giê 20 phót trång ®îc 80 c©y. Hái sau 2 giê líp 7A trång ®îc bao nhiªu c©y? Bµi 20: Mét ®éi s¶n xuÊt ph¶i hoµn thµnh c«ng viÖc sau mét sè ngµy nhÊt ®Þnh. Sau khi lµm ®îc 1/3 c«ng viÖc th× sè ngêi ®ã gi¶m ®i 1/2. Hái ®Õn ngµy ®· ®Þnh ®éi ®ã lµm ®îc bao nhiªu phÇn c«ng viÖc? 45
Bµi 21: Kho¶ng c¸ch tõ ®iÓm cùc B¾c ë Hµ Giang ®Õn mòi Cµ Mau trªn b¶n ®å víi tØ xÝch lµ 1:10000000 lµ 16,2cm. a)Trªn b¶n ®å kh¸c víi tØ xÝch 1:1000000 th× kho¶ng c¸ch ®ã b»ng bao nhiªu? b)Kho¶ng c¸ch thùc tõ cùc B¾c ë Hµ Giang ®Õn mòi Cµ Mau lµ bao nhiªu km? Bµi 22: Líp 7A, 7B, 7C trång ®îc 387 c©y. Sè c©y cña líp 7A trång ®îc b»ng 11/5 sè c©y cña líp 7B trång ®îc. Sè c©y cña líp 7B trång ®îc b»ng 35/17 sè c©y cña líp 7C trång ®îc. Hái mçi líp trång ®îc hái mçi líp trång ®îc bao nhiªu c©y? a b c Bµi 23: H·y xÐt xem c¸c ph©n sè ; ; cã b»ng nhau kh«ng, biÕt r»ng: x y z a) C¸c tö sè a, b, c tØ lÖ víi 4; 6; 9 vµ c¸c mÉu sè x; y; z tØ lÖ víi 12; 18; 27. b) C¸c tö sè a, b, c tØ lÖ víi 3; 5; 7 vµ c¸c mÉu sè x; y; z tØ lÖ víi 4; 6; 8. 17 Bµi 24: Tæng cña ba ph©n sè tèi gi¶n b»ng 1 . Tö sè cña ph©n sè thø nhÊt, ph©n sè thø hai, 20 ph©n sè thø ba tØ lÖ víi 3; 7; 11 vµ mÉu sè cña ba ph©n sè ®ã theo thø tù tØ lÖ víi 10; 20; 40. T×m ba ph©n sè ®ã. Bµi 25: H·y t×m mét sè tù nhiªn cã 4 ch÷ sè, biÕt r»ng ch÷ sè hµng ngh×n, ch÷ sè hµng tr¨m, ch÷ sè hµng chôc, ch÷ sè hµng ®¬n vÞ tØ lÖ víi 2; 1; 2; 3 vµ sè ®ã chia hÕt cho 3. Bµi 26: Hai ®Þa ®iÓm A vµ B c¸ch nhau 30km. Hai «t« khëi hµnh cïng mét lóc tõ A vµ tõ B ®i ngîc chiÒu nhau. ¤t« thø nhÊt ®i tõ A, «t« thø hai ®i tõ B, chóng gÆp nhau lÊn thø nhÊt t¹i C c¸ch B lµ 12km. Sau khi gÆp nhau, «t« thø nhÊt tiÕp tôc ®i ®Õn B råi quay l¹i A, «t« thø hai tiÕp tôc ®i ®Õn A råi quay l¹i B, chóng gÆp nhau lÇn thø hai t¹i D. Hái D c¸ch A bao nhiªu kil«mÐt? Bµi 27: 10 chµng trai c©u ®îc 10 con c¸ trong 5 phót. Hái 50 chµng trai c©u ®îc 50 con c¸ trong bao nhiªu l©u? Bµi 128 Mét con ngùa ¨n hÕt mét xe cá trong 4 ngµy. Mét con dª ¨n hÕt mét xe cá trong 6 ngµy. Mét con cõu ¨n hÕt mét xe cá trong 12 ngµy. Hái c¶ ba con ¨n hÕt mét xe cá trong bao l©u? Bµi 29: Mét h×nh ch÷ nhËt lín ®îc chia thµnh bèn h×nh ch÷ nhËt nhá nh h×nh bªn víi c¸c diÖn tÝch (tÝnh b»ng m2) ®îc 36 28 cho trong h×nh. DiÖn tÝch x cña h×nh ch÷ nhËt cßn l¹i b»ng: A) 72m2 B) 49m2 C) 81m2 D) 90m2 x 63 Bµi 30: BiÕt r»ng 17l dÇu ho¶ nÆng 13,6kg. Hái 12kg dÇu ho¶ cã thÓ chøa ®îc hÕt vµo can 16l hay kh«ng? Bµi 31: Ba ®¬n vÞ kinh doanh gãp vèn theo tØ lÖ 3; 5; 7. Hái mçi ®¬n vÞ ®îc chia bao nhiªu tiÒn l·i nÕu tæng sè tiÒn l·i lµ 450 triÖu ®ång vµ tiÒn l·i ®îc chia theo tØ lÖ víi sè vèn ®ãng gãp. Bµi 32: Mét phêng ®· trî cÊp t¹m thêi cho 5 gia ®×nh bÞ ho¶ ho¹n tØ lÖ thuËn víi sè nh©n khÈu trong gia ®×nh víi tæng sè tiÒn lµ 8.700.000®. C¸c gia ®×nh A, B, C, D, E lÇn lît cã sè nh©n khÈu lµ: 5; 7; 3; 6; 8. Hái mçi gia ®×nh ®îc trî cÊp t¹m thêi bao nhiªu tiÒn. 46
Bµi 33: a) Tam gi¸c ABC cã sè ®o c¸c gãc A, B, C lÇn lît tØ lÖ víi 1, 2 vµ 3. TÝnh sè ®o c¸c gãc cña tam gi¸c ®ã? b)Tam gi¸c ABC cã sè ®o c¸c gãc A, B, C lÇn lît tØ lÖ víi 3, 5 vµ 7. TÝnh sè ®o c¸c gãc cña tam gi¸c ®ã? Bµi 34: H¹nh vµ V©n ®Þnh lµm møt dÎo tõ 2,5kg d©u. Theo c«ng thøc cø 2kg d©u th× cÇn 3kg ®êng. H¹nh b¶o hä cÇn 3,75kg ®êng, cßn V©n b¶o cÇn 3,25kg ®êng. Theo b¹n, ai ®óng vµ v× sao? Bµi 35: Khi tæng kÕt cuèi n¨m ngêi ta thÊy sè häc sinh cña trêng ph©n bè ë c¸c khèi 6; 7; 8; 9 theo tØ lÖ 1,5; 1,1; 1,3 vµ 1,2. TÝnh sã häc sinh giái cña mçi khèi, biÕt r»ng khèi 8 nhiÒu h¬n khè 9 lµ 3 häc sinh giái. Bµi 36: ¤ t« con ®i tõ A ®Õn B mÊt 4 giê, «t« t¶i ®i tõ B ®Õn A mÊt 5 giê. NÕu hai «t« khëi hµnh cïng mét lóc tõ hai ®Þa ®iÓm A vµ B ®i ngîc chiÒu nhau («t« con ®i tõ A) th× gÆp nhau t¹i C c¸ch A lµ 150km. TÝnh qu·ng ®êng AB. Bµi 37: Mét «t« t¶i vµ mét «t« con khëi hµnh tõ tØnh A ®i vÒ phÝa tØnh B . VËn tèc cña «t« con lµ 60km/h, vËn tèc cña «t« t¶i lµ 50km/h. Khi «t« t¶i ®Õn B th× «t« con ®· ®Õn B tríc 48phót. TÝnh qu·ng ®êng AB. Bµi 38: Häc sinh líp 7A chë vËt liÖu ®Ó x©y dùng trêng. NÕu mçi chuyÕn xe bß chë 4,5 t¹ th× ph¶i ®i 20 chuyÕn, nÕu mçi xe chë 6 t¹ th× ph¶i ®i bao nhiªu chuyÕn? Sè vËt liÖu cÇn chë lµ bao nhiªu? Bµi 39: Ba «t« cïng khëi hµnh tõ A ®i vÒ B. VËn tèc «t« thø nhÊt kÐm vËn tèc «t« thø hai lµ 3km/h. Thêi gian «t« thø nhÊt, thø hai, thø ba ®i hÕt qu·ng ®êng AB lÇn lît lµ 40phót, 5/8 giê; 5/9 giê. TÝnh vËn tèc cña mçi «t«. Bµi 40: C¹nh cña ba h×nh vu«ng tØ lÖ nghÞch víi 5; 6; 10. Tæng diÖn tÝch cña ba h×nh vu«ng lµ 70m2. Hái c¹nh cña mçi h×nh vu«ng Êy cã ®é dµi lµ bao nhiªu? Bµi 41: T×m hai sè x vµ y biÕt tæng, hiÖu, tÝch cña hai sè ®ã tØ lÖ nghÞch víi 1/3; 3 vµ 3/200 (x > 0; y > 0 ). 1 1 1 Bµi 42: T×m hai sè x vµ y biÕt: x2 + y2; x2 - y2; vµ x2y2 tØ lÖ nghÞch víi ; vµ 25 7 576 (x 0; y 0 ). Bµi 43: Ba c«ng nh©n ph¶i s¶n xuÊt sè s¶n phÈm nh nhau. C«ng nh©n thø nhÊt, thø hai, thø ba hoµn thµnh c«ng viÖc víi thêi gian lÇn lît lµ 9giê, 6 giê, 7 giê 30 phót. Hái trong mét giê mçi c«ng nh©n s¶n xuÊt ®îc bao nhiªu s¶n phÈm? BiÕt r»ng trong 1 giê, c«ng nh©n thø hai s¶n xuÊt nhiÒu h¬n c«ng nh©n thø nhÊt lµ 3 s¶n phÈm. Bµi 44: Ba thöa ®Êt h×nh ch÷ nhËt cã diÖn tÝch b»ng nhau. ChiÒu réng cña c¸c thöa thø nhÊt, thø hai, thø ba lÇn lît b»ng 22,5cm; 20cm vµ 18cm. ChiÒu dµi thöa thø nhÊt kÐm chiÒu dµi thöa thø hai lµ 5m. H·y tÝnh chu vi cña mçi thöa ®Êt ®ã. Bµi 45: §Ó lµm mét c«ng viÖc, ngêi ta cÇn huy ®éng 40 ngêi lµm trong 12 giê. NÕu sè ngêi t¨ng thªm 8 ngêi th× thêi gian hoµn thµnh c«ng viÖc ®ã gi¶m ®îc mÊy giê. Bµi 46: a) Mét h×nh ch÷ nhËt cã diÖn tÝch lµ 12cm2. ViÕt c«ng thøc biÓu thÞ sù phô thuéc gi÷a mét c¹nh cã ®é dµi y (cm) vµ c¹nh kia cã ®é dµi x(cm) cña h×nh ch÷ nhËt. b) Mét h×nh tam gi¸c cã diÖn tÝch 10cm2. ViÕt c«ng thøc biÓu thÞ sù phô thuéc gi÷a mét c¹nh cã ®é dµi y(cm) vµ ®êng cao t¬ng øng cã ®é dµi x(cm) cña tam gi¸c ®ã. 47
Bµi 47: Ngêi thî thø nhÊt lµm mét dông cô mÊt 12phót, ngêi thî thø hai lµm mét dông cô chØ cÈn 8 phót. Hái trong thêi gian ngêi thø nhÊt lµm ®îc 48 dông cô th× ngêi thø hai lµm ®îc bao nhiªu dông cô? Bµi 48: Mét b¸nh xe r¨ng ca cã 75 r¨ng, mçi phót quay 56 vßng. Mét b¸nh xe kh¸c cã 35 r¨ng ¨n khíp víi c¸c r¨ng cña b¸nh xe trªn th× trong mét phót quay ®îc bao nhiªu vßng. Bµi 49: §Üa xe ®¹p cã 48 r¨ng, cßn lÝp (g¾n vµo b¸nh sau xe ®¹p) cã 18 r¨ng. Khi b¸nh xe ®¹p quay mét vßng th× ®ïi ®Üa quay ®i mét gãc bao nhiªu ®é? Bµi 50: TuÊn vµ Hïng ®Òu uèng hai viªn vitamin C mçi ngµy, Dòng uèng mét viªn mçi ngµy. Sè thuèc ®ñ dïng cho c¶ ba ngêi trong 30 ngµy. NÕu Dòng còng uèng hai viªn mçi ngµy th× sè thuèc Êy dïng hÕt trong bao l©u? Bµi 51: Cã ba m¸y, mçi m¸y lµ 4 giê trong mçi ngµy th× sau 9 ngµy lµm xong c«ng viÖc. Hái cÇn bao nhiªu m¸y, mçi m¸y lµm 6 giê trong mçi ngµy ®Ó 3 ngµy lµm xong c«ng viÖc Êy. Bµi 51: Cho biÕt 3 ngêi lµm cá xong mét c¸nh ®ång hÕt 6 giê. Hái 12 ngêi (víi cïng n¨ng suÊt nh thÕ) lµm cá xong c¸nh ®ång ®ã mÊt bao nhiªu thêi gian? Bµi 53: Ba ®éi m¸y cµy lµm viÖc trªn ba c¸nh ®ång cã cïng diÖn tÝch. §éi thø nhÊt cµy xong trong 3 ngµy, ®éi thø hai trong 5 ngµy vµ ®éi thø ba trong 6 ngµy. Hái mçi ®éi cã bao nhiªu m¸y, biÕt r»ng ®éi thø hai cã nhiÒu h¬n ®éi thø ba 1 m¸y? Bµi 54: Chu vi cña mét tam gi¸c lµ 78cm. BiÕt ca c¹nh a, b, c cña tam gi¸c cã liªn hÖ víi nhau: 2a = 3b = 4c. TÝnh c¸c c¹nh cña tam gi¸c. Bµi 55: Ba ®éi m¸y san ®Êt lµm ba khèi lîng c«ng viÖc nh nhau. §éi thø nhÊt hoµn thµnh c«ng viÖc trong 4 ngµy, ®éi thø hai trong 6 ngµy, ®éi thø ba trong 8 ngµy. Hái mçi ®éi cã bao nhiªu m¸y (cã cïng n¨ng suÊt), biÕt r»ng ®éi thø nhÊt cã nhiÒu h¬n ®éi thø hai 2 m¸y? Bµi 56: Víi cïng mét sè tiÒn ®Ó mua 51 mÐt v¶i lo¹i I cã thÓ mua ®îc bao nhiªu mÐt v¶i lo¹i II, biÕt r»ng gi¸ t×ªn 1 mÐt v¶i lo¹i II chØ b»ng 85% gi¸ tiÒn 1 mÐt v¶i lo¹i I. TUYỂN CHỌN CÁC BÀI TẬP HAY VÀ KHÓ VỀ ĐẠI LƯỢNG TỈ LỆ THUẬN, TỈ LỆ NGHỊCH Bài 1. Cho tam giác ABC. Biết rằng Aˆ, Bˆ,Cˆ tỉ lệ với ba số 1, 2, 3. Tìm số đo của mỗi góc. Bài 2. Ba lớp 7A, 7B, 7C đi lao động trồng cây xanh. Biết rằng số cây trồng được của mỗi lớp tỉ lệ với các số 3, 5, 8 và tổng số cây trồng được của mỗi lớp là 256 cây. Hỏi mỗi lớp trồng được bao nhiêu cây? 48
Bài 3. Ba đơn vị kinh doanh góp vốn theo tỉ lệ 2 : 3 : 5. Hỏi mỗi đơn vị được chia bao nhiêu tiền nếu tổng số tiền li l 350 000 000 đồng và tiền li được chia theo tỉ lệ thuận với số vốn đóng góp. Bài 4. Hai nền nhà hình chữ nhật có chiều di bằng nhau. Nền nhà thứ nhất có chiều rộng l4 m2, nền thứ hai có chiều rộng l 3,5 m 2. Để lát hết nền nhà thứ nhất người ta dùng 600 viên gạch hoa hình vuông. Hỏi phải dùng bao nhiêu viên gạch cùng loại để lát hết nền nhà thứ hai? Bài 5. Khi tổng kết cuối năm học người ta thấy số học sinh giỏi của trường phân bố ở các khối 6,7,8,9 theo tỉ lệ 1,5 : 1,1 : 1,3 : 1,2. Hỏi số học sinh giỏi của mỗi khối lớp, biết rằng khối 8 nhiều hơn khối 9 là 3 học sinh giỏi. Bài 6. Ba đội máy san đất làm 3 khối lượng công việc như nhau. Đội thứ nhất, thứ hai, thứ ba hoàn thành công việc lần lượt trong 4 ngày, 6 ngày, 8 ngày. Hỏi mỗi đội có mấy máy, biết rằng đội thứ nhất có nhiều hơn đội thứ hai là 2 máy và năng suất các máy như nhau. Bài 7. Với thời gian để một người thợ lành nghề làm được 11 sản phẩm thì người thợ học nghề chỉ làm được 7 sản phẩm. Hỏi người thợ học việc phải dùng bao nhiêu thời gian để hoàn thành một khối lượng công việc mà người thợ lành nghề làm trong 56 giờ? Bài 8. Một vật chuyển động trên các cạnh của một hình vuông. Trên hai cạnh đầu vật chuyển động với vận tốc 5m/s, trên cạnh thứ ba với vận tốc 4m/s, trên cạnh thứ tư với vận tốc 3m/s. Hỏi độ dài của cạnh hình vuông biết rằng tổng số thời gian vật chuyển động trên 4 cạnh là 59 giây. Bài 9. Ba đội máy cày cùng cày trên ba cánh đồng như nhau. Đội thứ nhất hoàn thành công việc trong 3 ngày, đội thứ hai hoàn thành công việc trong 5 ngày, đội thứ ba hoàn thành công việc trong 9 ngày. Biết rằng mỗi máy cày đều có năng suất như nhau và tổng số máy cày của ba đội là 87 máy. Hỏi mỗi đội có bao nhiêu chiếc máy cày? Bài 10. Hai cạnh của một tam giác dài 25cm và 36cm. Tổng độ dài hai đường cao tương ứng là 48,8cm. Tính độ dài của mỗi đường cao nói trên. Bài 11. Chu vi của một tam giác là 60cm. Các đường cao có độ dài là 12cm; 15cm; 20cm. tính độ dài mỗi cạnh của tam giác đó. Bài 12. Độ dài các cạnh của một tam giác tỉ lệ với nhau theo 2:3:4. Hỏi các chiều cao tương ứng của tam giác đó tỉ lệ với nhau theo tỉ số nào? Bài 13. Nếu ta cộng từng hai cạnh của một tam giác thì ba tổng tỉ lệ với 5, 6, 7. Chứng tỏ rằng tam giác này có một đường cao dài gấp hai lần một đường cao khác. Bài 14. Một đơn vị làm đường, lúc đầu đặt kế hoạch giao cho ba đội I, II, III mỗi đội làm một đoạn đường có chiều dài tỉ lệ thuận với 7, 8, 9. Nhưng về sau do thiết bị máy móc và nhân lực của các đội thay đổi nên kế hoạch đã được điều chỉnh, mỗi đội làm một đoạn đường có chiều dài tỉ lệ thuận với 6, 7, 8. Như vậy đội II phải làm hơn so với kế hoạch ban đầu là 0,5km đường. Tính chiều dài đoạn đường mà mỗi đội phải làm theo kế hoạch mới. Bài 15. Năm lớp 7A, 7B, 7C, 7D, 7E nhận chăm sóc vườn trường có diện tích 300m2. Lớp 7A nhận 15% diện tích vườn, lớp 7B nhận 1 diện tích vườn còn lại. Diện tích còn lại 5 1 1 5 của vườn sau khi hai lớp 7C, 7D, 7E tỉ lệ với ; ; . Tính diện tích vườn giao cho mỗi lớp. 2 4 16 Bài 16. Trong cùng một thời gian ba công nhân đóng được tất cả 305 thùng hàng. Đ ể đóng được một thùng hàng người thứ nhất cần 30 phút, người thứ hai cần 40 phút, người thứ ba cần 70 phút. 49
a) Tính số thùng hàng mỗi người đã đóng; b) Tính số giờ mỗi công nhân đã làm. Bài 17. Ba máy bay cùng bay từ A đến B. Biết thời gian 3 máy bay đi hết quãng đường AB lần lượt là 3, 7, 11 (giờ). Tính vận tốc mỗi máy bay nếu vận tốc máy bay 1 hơn vận tốc máy bay 2 là 176 km/h. Bài 18. Có ba khu đất hình chữ nhật A; B và C. Các diện tích khu A và B tỉ lệ với 5 và 6, các diện tích khu B và C tỉ lệ với 11 và 9. Khu đất A và B có cùng chiều dài và tổng các chiều rộng của chúng là 33m. Khu B và C có cùng chiều rộng và chiều dài của khu đất C là 36m. a) Tính chiều rộng của khu A và B. b) Hãy tìm diện tích của mỗi khu đất. Bài 19. Để tham gia chương trình “Tết no ấm cho học sinh vùng cao”, học sinh ba lớp 7A, 7B, 7C tổ chức gói bánh chưng. Số bánh chưng lớp 7A và 7B gói được tỉ lệ nghịch với 3 và 2. Số bánh chưng lớp 7B và 7C gói được tỉ lệ nghịch với 7 và 5. Số bánh chưng lớp 7C gói được nhiều hơn lớp 7A là 22 chiếc. Hỏi cả ba lớp gói được bao nhiêu cái bánh chưng để tham gia chương trình này. Bài 19. Có ba máy bơm cùng bơm nước vào ba bể có thể tích bằng nhau (lúc đầu các bể đều không có nước). Mỗi giờ máy thứ nhất, máy thứ hai, máy thứ ba bơm được lần lượt là 6m 3, 10m3, 9m3. Thời gian bơm đầy bể của máy thứ hai ít hơn máy thứ nhất là 2 giờ. Tính thời gian của từng máy để bơm đầy bể. Bài 21. Ba công nhân được thưởng 100000, số tiền thưởng được phân chia tỉ lệ với mức sản xuất của mỗi người. Biết mức sản xuất của người thứ nhất so với mức sản xuất của người thứ hai bằng 5 : 3, mức sản xuất của người thứ ba bằng 25% tổng số mức sản xuất của hai người kia. Tính số tiền mỗi người được thưởng. Bài 22. Ba tổ công nhân có mức sản xuất tỉ lệ với 5; 4; 3. Tổ I tăng năng suất 10%, tổ II tăng năng suất 20%, tổ II tăng năng suất 10%. Do đó trong cùng một thời gian, tổ I làm được nhiều hơn tổ II là 7 sản phẩm. Tính số sản phẩm mỗi tổ đã làm được trong thời gian đó. Bài 23. Ba tấm vải theo thứ tự giá 120 000 đồng, 192 000 đồng và 144 000 đồng. Tấm thứ nhất và tấm thứ hai có cùng chiều dài, tấm thứ hai và tấm thứ ba có cùng chiều rộng. Tổng của ba chiều dài là 110m, tổng của ba chiều rộng là 2,1m . Tính kích thước của mỗi tấm vải, biết rằng giá 1m2 của ba tấm vải bằng nhau. Bài 24. Có ba gói tiền: gói thứ nhất gồm toàn từ 5000 đồng, gói thứ hai gồm toàn tờ 20000 đồng, gói thứ ba gồm toàn từ 50000 đồng. Biết rằng tổng số tờ giấy bạc của ba gói là 540 tờ và số tiền ở các gói bằng nhau. Tính số tờ giấy bạc mỗi loại. Bài 25. Ba công nhân tiện được tất cả 860 dụng cụ trong cùng một thời gian. Để tiện một dụng cụ, người thứ nhất cần 5 phút, người thứ hai cần 6 phút, người thứ ba cần 9 phút. Tính số dụng cụ mỗi người tiện được. Bài 26. Hai xe ô tô cùng khởi hành một lúc từ hai địa điểm A và B. Xe thứ nhất đi quãng đường AB hết 4 giờ 15 phút, xe thứ hai đi quãng đường BA hết 3 giờ 45 phút. Đến chỗ gặp nhau, xe thứ hai đi được quãng đường dài hơn quãng đường xe thứ nhất đã đi là 20km. Tính quãng đường AB. Bài 27. Để đi từ A đến B có thể dùng các phương tiện: máy bay, ô tô, xe lửa. vận tốc của máy bay, ô tô, xe lửa tỉ lệ với 6; 2; 1. Biết rằng thời gia đi từ A đến B bằng máy bay ít hơn so với đi bằng ô tô là 6 giờ. Hỏi thời gian xe lửa đi quãng đường AB là bao lâu? 50
Bài 28. Một ô tô phải đi từ thành phố A đến thành phố B trong thời gia dự định. Sau khi đi được nửa quãng đường thì ô tô tăng vận tốc thêm 20%, do đó đến B sớm hơn dự định 10 phút. Tính thời gian ô tô đi từ A đến B. Bài 29. Một người đi từ A đến B với vận tốc 4km/h và dự định đến B lúc 11 giờ 45 phút. Sau khi đi được 4 quãng đường thì người đó đi với vận tốc 3km/h nên đến B lúc 12 giờ trưa. Tính 5 quãng đường AB và người đó khởi hành lúc mấy giờ. Bài 30. Một ô tô chạy từ A đến B với vận tốc 65km/h, cùng luacs đó một xe máy chạy từ B đến A với vận tốc 40km/h. Biết khoảng cách AB là 540km/h và M là trung điểm của AB. Hỏi sau khi khởi hành bao lâu thì ô tô cách M một khoảng bằng 1 khoảng cách từ xe máy đến M. 2 HD: Quãng đường AB dài 540km; nửa quãng đường AB dài 270km. Gọi quãng đường ô tô và xe máy đã đi là s 1, s2. Trong cùng một thời gian thì quãng đường tỉ lệ thuận với vận tốc. Do đó: s s 1 2 t ( t chính là thời gian cần tìm) v1 v2 270 a 270 2a t = 65 40 540 a 270 2a (540 2a) (270 2a) 270 t = 3 130 40 130 40 90 Vậy sau khi khởi hành 3 giờ lâu thì ô tô cách M một khoảng bằng 1 khoảng cách từ xe máy 2 đến M. Bài 31. Một bản thảo cuốn sách gồm 555 trang được giao cho ba người đánh máy. Để đánh máy một trang, người thứ nhất chỉ cần 5 phút, người thứ hai cần 4 phút, người thứ ba cần 6 phút. Hỏi mỗi người đánh máy được bao nhiêu trang bản thảo, biết rằng cả ba người cùng làm từ lúc đầu đến khi đánh máy xong? 7 Bài 32. Tìm ba phân số tối giản biết tổng của chúng là 3 , tử của chúng tỉ lệ với 2; 3; 5 còn 60 mẫu tỉ lệ với 5; 4; 6. 25 Bài 33. Tìm ba phân số tối giản biết tổng của chúng là 5 , tử của chúng tỉ lệ nghịch với 20; 63 4; 5 còn mẫu của chúng tỉ lệ thuận với 1; 3; 7. 3 Bài 34. Tìm ba phân số biết tổng của chúng là 3 , các tử của chúng tỉ lệ với 3; 4; 5 còn các 70 mẫu cảu chúng tỉ lệ với 5; 1; 2. 83 Bài 35. Tìm ba phân số tối giản biết tổng của chúng là 15 , tử của chúng tỉ lệ thuận với 5; 120 1 1 1 7; 11 còn mẫu của chúng tỉ lệ nghịch với ; ; . 4 5 6 Bài 36. Tìm số tự nhiên, biết bội chung nhỏ nhất của chúng bằng 540 và ba số này tỉ lệ nghịch với 5; 6; 15. Bài 37. Tìm số tự nhiên có ba chữ số, biết rằng số đó là bội của 72 và các chữ số của nó xếp từ nhỏ đến lớn thì tỉ lệ với 1; 2; 3. 51
Bài 38. Tìm một số có ba chữ số, biết rằng số đó chia hết cho 18 và các chữ số của nó tỉ lệ với ba số 1; 2 và 3. CHUYÊN ĐỀ 7. HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ Bài 1: Cho hàm số y = f(x) = 4x2 - 5 1 a) Tính f(3); f ( ) 2 b) Tìm x để f(x) = -1 c) Chứng tỏ rằng với x R thì f(x) = f(-x) Bài 2:Viết công thức của hàm sốy=f(x) biết rằng y tỷ lệ thuận với x theo hệ số tỷ lệ 1 2 a) Tìm x để f(x) = -5 b) Chứng tỏ rằng nếu x1> x2 thì f(x1) > f(x2) Bài 3: Viết công thức của hàm số y = f(x) biết rằng y tỷ lệ nghịch với x theo hệ số a =12. a) Tìm x để f(x) = 4; f(x) = 0 b) Chứng tỏ rằng f(-x) = -f(x) Bài 4: Cho hàm số y = f(x) = kx (k là hằng số, k 0). Chứng minh rằng: a) f(10x) = 10f(x) b) f(x1 + x2) = f(x1) + f(x2) c) f(x1 - x2) = f(x1) - f(x2). Bài 5: Trong (hình bên), đường thẳng OA là đồ thị của hàm số y = f(x) = ax 52
y 2 a) Tính tỷ số 0 y x 0 4 B b) Giả sử x0 = 5. Tính diện tích tam giác OBC y0 C O A x Bài 6: Cho hai hàm số y = f(x) = |2x| và y = g(x) = 3. a) Vẽ trên cùng một hệ trục tọa độ Oxy đồ thị của hai hàm số đó. b) Dùng đồ thị tìm các giá trị của x sao cho |2x| 1. Bài 9: Cho f(x) là hàm số xác định với mọi x thỏa mãn điều kiện f(x 1.x2) = f(x1).f(x2) và f(2) = 10. Tính f(32). Bài 10: Cho hàm số f(x) xác định với mọi x thuộc R. Biết rằng với mọi x, ta đều có: f(x) + 3.f(1 ) = x2. Tính f(2), f(3). x Bài 11: Cho hàm số f(x) xác định với mọi x khác 0, thỏa mãn: a) f(1) = 1; b) f(1 ) = 1 f(x); x x2 c) f(x1 + x2) = f(x1) + f(x2) với mọi x1,x2 0 và x1 + x2 0. Chứng tỏ rằng: f(5 ) = 5 . 7 7 Bài 12. Cho hàm số f(x) = ax3 + bx + cx + d với a là một số nguyên dương và f(5) – f(4) = 2012. Chứng minh rằng f(7) – f(2) là một hợp số. Bài 13. Cho hàm số y = f(x) = ax2 + bx + c. Cho biết: f(0) = 2010; f(1) = 2011; f(-1) = 2012. Tính f(-2). Bài 14. Cho hàm số f(x) = ax2 + bx + c với a, b, c Z. Biết f(1)  3; f(0)  3; f(-1)  3. Chứng minh rằng a, b, c đều chia hết cho 3. 53
Bài 15. Cho hàm số f(x) = ax3 + bx2 + cx + d với a, b, c, d Z. Biết f(x) chia hết cho 5 với mọi x Z. Chứng minh rằng a, b, c, d đều chia hết cho 5. Bài 16. Cho hàm số f(x) = ax + b (a, b Z). Chứng tỏ rằng không thể đồng thời có f(17) = 71 và f(12) = 35. Bài 17. Cho hàm số f(x) = ax2 + bx + c nhận giá trị nguyên với mọi giá trị của x. Chứng tỏ rằng 2a, a + b, c là các số nguyên. CHUYÊN ĐỀ 8. TÌM GIÁ TRỊ NGUYÊN Dạng 1. Biến đổi về dạng tích. Bài 1. Tìm các số tự nhiên x, y biết: a) (2x + 1)(y - 5) = 12; b) (x - 1)(y - 2) = 6; c) (x - 2)(y + 1) = 8. Bài 2. Tìm các số nguyên x, y biết: a) x(y - 1) + 2y - 2 = 10; b) xy + 3x - 2y = 11; c) xy - x + 2y = 3; d) 2x(3y - 2) + (3y - 2) = -55; e) (x - 2)2(y - 3) = -4; f) 2x2y - x2 - 2y - 2 = 0. Bài 3. Tìm các số nguyên x, y biết: a) 21xy – 35x + 18y – 43 = 0; b) x + y + xy = 2; c) x – 2xy + y = 0; d) x2 + xy – 3x – 3y + 7 = 0; e) xy + 2x – 3y = 11. Bài 4. Tìm các số tự nhiên a, b biết: a 2 2 a 3 1 a) (a, b 0); b) (a, b 0). 5 b 15 9 b 18 Bài 5. Tìm các số nguyên x, y biết: 5 y 1 y 9 1 a) ; b) . x 3 6 2 x 8 18 x 3 z 3 Bài 6. Tìm các số nguyên x, y, z biết: . x 2 y 4 Dạng 2. Bài toán ở dạng lũy thừa Bài 1. Tìm các số tự nhiên x, y biết: a) 20x + 63 = y2; b) 20x + 143 = y2. c) 2x + 24 = 5y; d) 2x + 124 = 5y; e) 2x + 624 = 5y; f) 2x + 3124 = 5y; g) 2x + 48 = 7y; h) 2x + 242 = 7y. Bài 2. Tìm các số tự nhiên x, y biết: a) 7x + 12y = 50; b) 5x + 4y = 17. HD: Ta có: 122 = 144 > 50 y {0; 1} + Với y = 0 thì 7x + 1 = 50 x = 2. + Với y = 1 thì 7x + 12 = 50 7x = 38 không tìm được x thuộc N. 54
Bài 3. Tìm số nguyên tố x, y biết: x2 + 45 = y2. HD: vì x2 + 45 = y2 nên y2 > 45 mà y là số nguyên tố. Do đó y là số nguyên tố lẻ x là số nguyên tố chẵn x = 2. Với x = 2 thì y2 = 4 + 45 = 49 y = 7. Dạng 3. Bài toán có cách giải đặc biệt Bài 1. Tìm 2 số tự nhiên a, b biết: a) 12a + 36b = 3211. b) 12a + 7b = 64. Bài 2. Tìm tất cả các số tự nhiên x, y khác 0 sao cho y + 1 chia hết cho x và x + 1 chia hết cho y. HD: Vì x + 1 y nên x + 1 y và y + 1 x nên y + 1 x x - 1 y x + 1 Vì x, y N nên y = x - 1 hoặc y = x hoặc y = x + 1. TH 1: Nếu y = x - 1 thì y là ước của x - 1 và x + 1 y là ước của x + 1 - (x - 1) = 2 y = 1 hoặc y = 2 + Với y = 1 thì x = 2 (TM) + Với y = 2 thì x = 3 (TM) TH 2: y = x thì y là ước của x và x + 1 y là ước của x + 1 - x = 1 y = 1 thì x = 1 (TM) TH 3: y = x + 1 thì x là ước của x + 2 x là ước của 2 x = 1 hoặc x = 2. + Với x = 1 thì y = 2 (TM) + Với x = 2 thì y = 3 (TM) Vậy có 5 cặp số phải tìm (x ; y) {(1 ; 1), (1;2), (2;3), (2;1), (3;2)}. Bài 3. Tìm số nguyên x, y biết: x2 + (y - 1)2 = 25. Bài 4. Tìm hai số nguyên dương a, b biết: ab = 2(a + b). Bài 5. Tìm các số tự nhiên a, b sao cho: (2008a + 3b + 1)(2008a + 2008a + b + 1) = 225. Bài 6. Tìm các số nguyên x và y thỏa mãn đẳng thức: 2x2 + 3y2 = 77. Bài 7. Tìm các số a, b, c nguyên dương thỏa mãn: a3 + 3a2 + 5 = 5b và a + 3 = 5c. Bài 8. Tìm x, y N, biết: a) 25 – y2 = 8(x – 2019)2; b) 36 – y2 = 8(x - 2020)2. 4 Bài 9. Tìm số nguyên x, y biết: 42 – 3|y - 3| = 4(2019 - x) . Bài 10. Tìm tất cả các số tự nhiên a, b sao cho : 2a + 37 = b 45 + b - 45. Dạng 4. Tìm giá trị nguyên trong phân thức Bài 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức, với x là số nguyên: a) A = 2009 x b) B = 27 2x 9 x 12 x Bài 2. Cho a Z và a -3. Hãy tìm tất cả các số nguyên a sao cho biểu thức: 5a 7 3a 2a 27 A = có giá trị nguyên. a 3 a 3 a 3 55
CHUYÊN ĐỀ 9. SỐ CHÍNH PHƯƠNG A. LÝ THUYẾT: I. Định nghĩa: Số chính phương bằng bình phương của một số tự nhiên. II. Tính chất: 1. Số chính phương chỉ có thể có chữ số tận cùng bằng 0, 1, 4, 5, 6, 9; không thể có chữ số tận cùng bằng 2, 3, 7, 8. 2. Khi phân tích ra thừa số nguyên tố, số chính phương chỉ chứa các thừa số nguyên tố với số mũ chẵn, không chứa thừa số nguyên tố với số mũ lẻ. 3. Số chính phương chia hết cho 2 thì chia hết cho 4. Số chính phương chia hết cho 3 thì chia hết cho 9. Số chính phương chia hết cho 5 thì chia hết cho 25. Số chính phương chia hết cho 8 thì chia hết cho 16. 4. Số lượng các ước của một số chính phương là một số lẻ. Đảo lại, một số có số lượng các ước là số lẻ thì số đó là số chính phương. 5. Nếu số A nằm giữa bình phương của hai số tự nhiên liên tiếp thì A không thể là số chính phương. Nghĩa là: Nếu n2 < A < (n + 1)2 thì A không là số chính phương. Hai đẳng thức thường dùng: a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 a2 - 2ab + b2 = (a - b)2. B. BÀI TẬP: DẠNG 1. CHỨNG MINH MỘT SỐ LÀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG Phương pháp: Viết số đó dưới dạng bình phương của một số tự nhiên khác. Bài 1. Chứng tỏ rằng mỗi tổng hoặc hiệu sau đây là một số chính phương: a) 32 + 42 b) 132 - 52 c) 13 + 23 + 33 + 43. d) 13+23+33+43+53 e) 1+3+5+7+ +2n-1 (n N*). Bài 2. Cho 4 chữ số 0, 2, 3, 4. Tìm số chính phương có 4 chữ số gồm cả 4 chữ số trên. Giải: Gọi số chính phương cần tìm là n2 Số chính phương không tận cùng bằng 2, bằng 3. Nếu số chính phương tận cùng bằng 0 thì phải tận cùng bằng một số chẵn chữ số 0. Do đó: n2 lập bởi 4 chữ số 0, 2, 3, 4 phải tận cùng bằng 4, suy ra: n2  2 Số chính phương chia hết cho 2 thì phải chia hết cho 4, do đó n2 tận cùng bằng 04 hoặc 24. Xét các số 2304; 3204; 3024 ta có : 2304 = 482 Vậy: Số phải tìm là 2304. Bài 3. Tìm số tự nhiên có 2 chữ số biết rằng khi nhân nó với 135 ta được một số chính phương. Giải: Gọi số phải tìm là A, ta có 135A = a 2 (a N) hay 3 3.5.A = a2. Số chính phương chỉ chứa các thừa số nguyên tố với số mũ chẵn nên A = 3 . 5 . k2 (k N) Với k = 1 thì A = 15 56
k = 2 thì A = 60 k 3 thì A 135, có nhiều hơn 2 chữ số nên loại. Vậy: Số phải tìm là 15 hoặc 60. DẠNG 2. CHỨNG MINH MỘT SỐ KHÔNG PHẢI LÀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG Phương pháp 1. Nhìn chữ số tận cùng - Vì số chính phương bằng bình phương của một số nên suy ra.Số chính phương phải có chữ số tận cùng là một trong các chữ số: 0,1,4,5,6,9. Từ đó ta có thể giải được các bài toán dạng sau đây: Bài toán 1. Chứng minh số: n = 20042 + 20032 + 20022 - 20012. Không là số chính phương. LG. - Ta thấy chữ số tận cùng của các số: 2004 2,20032,20022,20012lần lượt là 6,9,4,1. Do đó n có chữ số tận cùng là 8. Nên n không phải là số chính phương. Phương pháp 2. Dùng tính chất của số dư. Bài toán 2. Chứng minh số: 1234567890 không phải là số chính phương. LG. - Ta thấy số: 1234567890 chia hết cho 5 (vì chữ số tận cùng bằng 0), nhưng không chia hết cho 25 (vì hai chữ số tận cùng bằng 90). Do đó số 1234567890 không phải là số chính phương. Chú ý: - Có thể luận rằng: Số 1234567890 chia hết cho 2 nhưng không chia hết cho 4 (vì hai chữ số tận cùng là 90).Nên 1234567890 không phải là số chính phương. Bài toán 3. Chứng minh rằng nếu một số có tổng các chữ số là 2004 thì số đó không phải là số chính phương. LG. Ta thấy tổng các chữ số của 2004 là 6 nên 2004 chia hết cho 3 mà nó lại không chia hết cho 9. Nên số có tổng các chữ số là 2004 cũng chia hết cho 3 mà không chia hết cho 9. Do đó số này không phải là số chính phương.0964762426 Bài toán 4. Các số sau có chính phương không ? a) A = 3 + 32 + 33 + + 32008 b) M = 112001 + 112002 + 112003 + 112004 + 112005 + 112006 + 112007 Giải: a) Ta biết rằng số chính phương chia hết cho 3 thì phải chia hết cho 9. A chia hết cho 3 nhưng chia cho 9 dư 3 (vì A = 3 + 32 (1 + 3+ 32 + + 32006) ) Do đó A không là số chính phương. n b) Ta có (X1) có tận cùng là 1 nên mỗi số hạng của tổng đều tận cùng bằng 1 57
Do đó M = A1 + B1 + C1 + D1 + E1 + F1 + G1 có tận cùng bằng 7 nên không là số chính phương. DẠNG 3. TÌM SỐ ĐỂ KẾT QUẢ LÀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG. Bài 1: Tìm số chính phương có 4 chữ số biết rằng 2 chữ số đầu giống nhau, 2 chữ số cuối giống nhau. Gọi số chính phương phải tìm là aabb = n2 với a, b N, 1 ≤ a ≤ 9; 0 ≤ b ≤ 9 Ta cú n2 = aabb = 11.a0b = 11.(100a+b) = 11.(99a+a+b) (1) Nhận xét thấy aabb  11 a + b  11 Mà 1 ≤ a ≤ 9 ; 0 ≤ b ≤ 9 nờn 1 ≤ a+b ≤ 18 a+b = 11 Thay a+b = 11 vào (1) được n2 = 112(9a+1) do đó 9a+1 là số chính phương . Bằng phép thử với a = 1; 2; ; 9 ta thấy chỉ cú a = 7 thỏa mãn b = 4 Số cần tìm là 7744. Bài 2: Tìm một số có 4 chữ số vừa là số chính phương vừa là một lập phương. Gọi số chính phương đó là abcd . Vì abcd vừa là số chính phương vừa là một lập phương nên đặt abcd = x2 = y3 Với x, y N Vỡ y3 = x2 nên y cũng là một số chính phương . Ta cú 1000 ≤ abcd ≤ 9999 10 ≤ y ≤ 21 và y chính phương y = 16 abcd = 4096 Bài 3: Tìm số có 2 chữ số mà bình phương của số ấy bằng lập phương của tổng các chữ số của nó. Gọi số phải tìm là ab với a,b N và 1 ≤ a ≤ 9 , 0 ≤ b ≤ 9 Theo giả thiết ta có : ab 2 = ( a + b )3 (10a+b)2 = ( a + b )3 ab là một lập phương và a+b là một số chính phương. Đặt ab = t3 ( t N ) , a + b = l 2 ( l N ) Vỡ 10 ≤ ab ≤ 99 ab = 27 hoặc ab = 64 Nếu ab = 27 a + b = 9 là số chính phương Nếu ab = 64 a + b = 10 không là số chính phương loại Vậy số cần tìm là ab = 27. Bài 4: Tìm số tự nhiên có 2 chữ số biết rằng 2n+1 và 3n+1 đều là các số chính phương. Ta có 10 ≤ n ≤ 99 nên 21 ≤ 2n+1 ≤ 199. Tìm số chính phương lẻ trong khoảng trên ta được 25; 49; 81; 121; 169 tương ứng với số n bằng 12; 24; 40; 60; 84. Số 3n+1 bằng 37; 73; 121; 181; 253. Chỉ có 121 là số chính phương. Vậy n = 40 Bài 5. Tìm số chính phương có bốn chữ số, được viết bởi các chữ số 3, 6, 8, 8. Giải: Gọi n2 là số chính phương phải tìm. Số chính phương không tận cùng bằng 3, 8 do đó n2 phải tận cùng bằng 6. Số có tận cùng bằng 86 thì chia hết cho 2 không chia hết cho 4 nên không là số chính phương. Vậy n2 có tận cùng bằng 36. Số chính phương đó là: 8836 = 942. Bài 6. Tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết rằng nếu nhân nó với 135 thì ta được một số là số chính phương. Giải: Gọi số phải tìm là n, ta có 135n= a2(a N) hay 33.5.n= a2. Số chính phương chỉ các thừa số nguyên tố với số mũ chẵn nên n=3.5.k2(k N). 58
Với k = 1 thì n =15, với k= 2 thì n=60, với k 3 thì n 135, có nhiều hơn hai chữ số nên loại. Vậy số phải tìm là 15 hoặc 60. Bài 7: Tìm số nguyên tố ab (a > b > 0) sao cho ab -ba là số chính phương. Giải: ab - ba = (10a + b) - (10b + a) = 9a - 9b = 9 (a - b) = 32 (a - b) Do ab - ba là số chính phương nên a-b là số chính phương. Mặt khác 1 a - b 8 nên a - b {1; 4} - Với a - b = 1 thì ab {21; 32; 43; 54; 65; 76; 87; 98} Loại các hợp số 21  3, 32  2; 54  2; 65  5; 76  2; 87  3; 98  2 còn 43 là số nguyên tố. - Với a - b = 4 thì ab {51; 62; 73; 84; 95} Loại các hợp số 51  3; 62  2; 84  2; 95  5, còn 73 là số nguyên tố. Vậy ab = 43 hoặc 73. Khi đó ab - ba = 43 - 34 = 9 = 32 hoặc ab - ba = 73 - 37 = 36 = 62 Bài 8: Tìm tất cả các số có 4 chữ số sao cho mỗi số vừa là số chính phương vừa là một lập phương. Giải: Gọi số chính phương phải tìm là abcd (a, b, c, d N, 0 b, c, d 9, 0 < a 9) Ta có: abcd = x2 = y3 (1) Với x, y N và 31< x < 100; 10 y 21 (2) Từ (1) ta suy ra y cũng là một số chính phương và từ (2) ta suy ra y = 16 Do đó : abcd = 163 = 4096 = 642 Vậy số phải tìm là 4096 C. BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài 1. Tìm số nguyên tố ab sao cho ab + ba là số chính phương. Bài 2. Chứng tỏ rằng số có dạng A= abc bca cab không phải là số chính phương. Bài 3. Cho n là số tự nhiên có hai chữ số. Tìm n biết n + 4 và 2n đều là các số chính phương. Bài 4. Tìm các số dạng ab sao cho 3.ab +1 và 4.ab +1 đều là số chính phương. Bài 5. Tìm số tự nhiên có hai chữ số biết rằng nếu nhân nó với 45 thì ta được một số chính phương. Bài 6. a) Các số tự nhiên n và 2n có tổng các chữ số bằng nhau. Chứng minh rằng n chia hết cho 9. b*) Tìm số chính phương n có ba chữ số, biết rằng n chia hết cho 5 và nếu nhân n với 2 thì tổng các chữ số của nó không đổi. Bài 7. Tìm số dạng ab sao cho ab +ba là số chính phương. Bài 8. Chứng minh rằng: Nếu 2n + 1 và 3n + 1 (với n là số tự nhiên) đều là số chính phương thì n 40. Bài 9. Chứng minh rằng: Nếu 2n + 1 và 3n + 1 (với n là số tự nhiên) đều là số chính phương thì 5n + 3 là hợp số. 59
Bài 10. Với n là số tự nhiên, chứng minh rằng n2 + 2006 không phải là số chính phương. Bài 11. Chứng minh rằng không có số tự nhiên n nào để n2 + 2018 là số chính phương. Bài 12. Tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết rằng hiệu các bình phương của số đó và số viết bởi 2 chữ số của số đó nhưng theo thứ tự ngược lại là số chính phương. CHUYÊN ĐỀ 10. CÁC BÀI TOÁN CHIA HẾT I. MỘT SỐ TÍNH CHẤT CHIA HẾT: Với a, b, c, d, m, n Z a) Nếu a 0 thì a  a; 0 a; a 1 b) Nếu a  b và b  c thì a  c c) Nếu a  b và b  a thì a = b. d) Nếu a  b thì ac  b. e) Nếu a  b và a  c thì a  BCNN(b , c). Khi (b,c) = 1 thì a  bc. f) Nếu ab  c và (b , c) = 1 thì a  c. g) Nếu a c và b c thì a b  c h) Nếu a c và b d thì ab  cd i) Nếu a b thì an bn k) Nếu ab p, p nguyên tố thì a p hoặc b p. Nếu anp, p nguyên tố thì a p. II. Phương pháp chứng minh: - Sử dụng tính chất: “Trong n số nguyên liên tiếp có một và chỉ một số chia hết cho n, n 1”. - Sử dụng bất đẳng thức mở rộng. Với n N ta có: an – bn = (a - b)(an-1 + an-2b + + abn-2+bn-1) Với n lẻ ta có: an + bn = (a + b)(an-1 - an-2b + - abn-2+bn-1) Suy ra: a, b Z và a b thì an – bn  (a - b) (n N) a, b Z, n lẻ và a -b thì an + bn  (a + b) a, b Z, n chẵn và a -b thì an - bn  (a + b) - Sử dụng phép chia có dư. - Sử dụng nguyên tắc DIRICHLET. - Phương pháp quy nạp. - Phương pháp phản chứng. III. Bài tập: Bài 1. Chứng minh rằng: a) abcabc chia hết cho 7, 11 và 13; b) abcdeg chia hết cho 23 và 29, biết rằng abc = 2.deg; c) abcd chia hết cho 67, nếu ab =2.cd d) Nếu (abc - deg)  13 thì abcdeg  13. e) Nếu abc  7 thì (2a + 3b + c)  7 60
Bài 2. Cho n là số tự nhiên. Chứng minh rằng: a) (n + 10)(n + 15) chia hết cho 2; b) n(n + 1)(n + 2) chia hết cho 2 và cho 3; c) n(n + 1)(2n + 1) chia hết cho 2 và cho 3. Bài 3. Cho a, b N. Chứng tỏ rằng nếu 5a + 3b và 13a + 8b cùng chia hết cho 2012 thì a và b cùng chia hết cho 2012. Bài 4. Chứng tỏ rằng: a) A = 1 +4 + 42 + 43 + + 42012 chia hết cho 21; b) B = 1 + 7 + 72 + 73 + + 7101 chia hết cho 8; c) C = 2 +22 + 23 + + 260 vừa chia hết cho 3, 7 vừa chia hết cho 15; d) D = 1 +3 + 32 + 33 + + 311 vừa chia hết cho 13, vừa chia hết cho 40; e) E = 4 + 42 + 43 + + 424 vừa chia hết cho 20, vừa chia hết cho 21; vừa chia hết cho 420. f) Chứng minh: A = 21 + 22 + 23 + 24 + + 22010 chia hết cho 3; và 7. g) Chứng minh: B = 31 + 32 + 33 + 34 + + 22010 chia hết cho 4 và 13. h) Chứng minh: C = 51 + 52 + 53 + 54 + + 52010 chia hết cho 6 và 31. i) Chứng minh: D = 71 + 72 + 73 + 74 + + 72010 chia hết cho 8 và 57. Bài 5. Chứng minh rằng: a) 1028 + 8 chia hết cho 72; b) 88 + 220 chia hết cho 17; c) 1033 + 8 chia hết cho 18; d) 1010 + 14 chia hết cho 6. Bài 6. Chứng minh rằng: a) 3636 - 910 chia hết cho 45 b) (210 + 211 + 212):7 là một số tự nhiên c) (810 - 89 - 88):55 là một số tự nhiên. d) A = 22011969 + 11969220 + 69220119 chia hết cho 102. e) B =75.(42004 + 42003 + + 42 + 4 + 1) + 25 là số chia hết cho 100. Bài 7. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, thì: d) 3n+2 - 2n+2 + 3n - 2n chia hết cho 10. e) 3n+3+3n+1+2n+3+2n+2 chia hết cho 6. 2006 Bài 8. Chứng minh rằng 10 53 là một số tự nhiên. 9 Bài 9. Tính tổng: A= (- 7) + (-7)2 + + (- 7)2006 + (- 7)2007. Chứng minh rằng A chia hết cho 43. Bài 10. Chứng minh rằng: A=7 +72+73+74+ +74n chia hết cho 400 (n N). Bài 11. Chứng minh rằng: 3x+1 + 3x+2 + 3x+3 + + 3x+100 chia hết cho 120 (với x N) Bài 12. Chứng minh rằng: a) Nếu p và q là hai số nguyên tố lớn hơn 3 thì p2 – q2  24. 61
b) Nếu a, a + k, a + 2k (a, k N*) là các số nguyên tố lớn hơn 3 thì k  6. c) Cho p là số nguyên tố lớn hơn 3 và p + 2 cũng là số nguyên tố. Chứng minh rằng p + 1 chia hết cho 6. Bài 13. Cho p là số nguyên tố lớn hơn 3. Chứng minh rằng (p - 1)(p + 1)  24. Bài 14. Cho a, b, c, d là các số nguyên thỏa mãn a2 + b2 = c2 + d2. Chứng minh rằng: a + b + c + d chia hết cho 2. Bài 15. Cho x, y, z là các số nguyên thỏa mãn: (x - y)(y - z)(z - x) = x + y + z. Chứng minh rằng: x + y + z  27. Bài 16. Chứng minh rằng với mọi số nguyên a, b, c, d tích: (a - b)(a - c)(a - d)(b - c)(b - d)(c - d) chia hết cho 12. Bài 17. a) Chứng minh rằng nếu n + 1 và 2n + 1 (n là số tự nhiên) đều là các số chính phương thì n chia hết cho 24. b) Chứng minh rằng nếu 2n + 1 và 3n + 1 (n là số tự nhiên) đều là số chính phương thì n chia hết cho 40. Bài 18. Chứng minh rằng ax2 + bx + c là số nguyên với mọi x nguyên khi và chỉ khi 2a, a + b và c là các số nguyên. Bài 19. Chứng minh rằng ax3 + bx2 + cx + d là số nguyên với mọi x nguyên khi và chỉ khi 6a, a + b + c và d là các số nguyên. Bài 20. Cho đa thức f(x) = ax2 + bx + c có các hệ số nguyên và f(x) chia hết cho 3 với mọi x. Chứng minh rằng a, b, c chia hết cho 3. Bài 21. Cho đa thức f(x) = ax3 + bx2 + cx +d có các hệ số nguyên và f(x) chia hết cho 5 với mọi x. Chứng minh rằng a, b, c, d chia hết cho 5. CHUYÊN ĐỀ 11. NGUYÊN LÍ DIRICHLET I. Kiến thức cần nhớ 1. Nội dung nguyên lí Dirichlet Nếu nhốt m.n + r (trong đó m, n N*) con thỏ vào n cái chuồng thì phải có ít nhất một chuồng chứa không ít hơn m + 1 con thỏ. Chứng minh Giả sử ngược lại mỗi chuồng chứa không quá m con thỏ thì tổng số thỏ nhốt trong n chuồng sẽ không quá m.n con thỏ: Mâu thuẫn với giả thiết là số thỏ bằng m.n + r. Vậy phải có ít nhất một chuồng chứa không ít hơn m + 1 con thỏ. 2. Nhận xét Bản thân nguyên lí Dirichlet khá đơn giản và dễ hiểu, tuy nhiên việc ứng dụng nguyên lí này lại không hề đơn giản. Vấn đề ở đây là phát hiện ra ” chất Dirichlet” trong các bài toán, dạng toán của mình và sau đó xác định trong đó đâu là chuồng và đâu là thỏ. Có những trường hợp chuồng và thỏ gần như đã có sẵn, nhưng có những trường hợp chúng ta phải ”xây chuồng, tạo thỏ”. 3. Nguyên lý Dirichlet cơ bản Nếu nhốt n + 1 con thỏ vào n cái chuồng thì bao giờ cũng có một chuồng chứa ít nhất hai con thỏ. II. Một số dạng toán ứng dụng: Dạng 1. Toán chia hết 62
Khi chia số a cho m 0 luôn có m khả năng về số dư là 0, 1, 2, , m - 1 (m chuồng). Do vậy, khi chia m + 1 số khác nhau a1, a2, a3, , am+1 cho m ta sẽ có m + 1 số dư (m + 1 thỏ) và do đó luôn có hai phép chia có cùng số dư. Giả sử hai số bị chia trong hai phép chia đó là ai, aj (với 1 j i m 1 ). Ta có: (ai - aj) m. Ví dụ 1: Khi chia 11 số nguyên cho 10 thì bao giờ cũng tìm được hai số có hiệu chia hết cho 10. Ví dụ 2: Một lớp học có 37 học sinh chứng minh rằng tồn tại ít nhất có 4 học sinh sinh cùng một tháng. Ví dụ 3: Chứng minh rằng có thể tìm được một số có dạng 19781978 197800 0 chia hết cho 2012. Giải Xét dãy số: 1978, 19781978, , 19781978 1978 . Khi chia các số hạng này cho 2012 sẽ 2013so1978 có hai phép chia có cùng số dư. Giả sử hai số hạng của dãy trong phép chia đó là am = 19781978 1978 và an = 19781978 1978 (với 1 n m 2013 ) mso1978 nso1978 Suy ra: am - an = 19781978 1978 00. 0  2012 (đpcm) m nso1978 4nso0 Nhận xét: Phương pháp để giải dạng toán này là tạo ra dãy số (theo cấu tạo số) từ yêu cầu của bài toán (tạo thỏ). Sau đó áp dụng nguyên lí Dirichlet cho các số hạng của dãy số (mỗi số hạng thay cho một “thỏ”, 2012 là số “chuồng”) Ví dụ 4: Cho m số tự nhiên bất kì a1, a2, , am. Chứng minh rằng tồn tại một số hạng chia hết cho m hoặc tổng của một số số hạng liên tiếp trong dãy chia hết cho m (m, N*) . Giải Xét dãy số b1 = a1, b2 = a1 + a2, b3 = a1 + a2 + a3 + + am Khi chi các số hạng của dãy này cho m thì xáy ra một trong hai trường hợp sau: - Có một phép chi hết, chẳng hạn: bkm, thì ta có điều phải chứng minh (a1 + a2 + a3 + + ak). - Không có phép chia hết nào. Khi đó tồn tại hai phép chia có cùng số dư, chẳng hạn là bi, bj chia hết cho m với 1 j i m Suy ra: (bi - bj) m Hay (aj+1 + aj+2+ +ai) m, ta có điều phải chứng minh. Ví dụ 5: Biết rằng 3 số a, a + k, a+2k đều là các số nguyên tố lớn hơn 3. Chứng minh rằng khi đó k chia hết cho 6. Lời giải: Do a, a+k, a+2k đều là các số nguyên tố lớn hơn 3, nên chúng đều là các số lẻ và không chia hết cho 3. Do a và a + k cùng lẻ nên k = (a + k)−a sẽ chia hết cho 2. (1) Do a, a + k,a + 2k đều không chia hết cho 3, nên khi chia cho 3 ít nhất hai số có cùng số dư (theo nguyên Dirichlet). Chỉ có các khả năng sau xảy ra: - Nếu a + k ≡ a(mod3) thì (a + k)−a ≡0(mod3), suy ra k  3. - Nếu a + 2k ≡ a = k(mod3) thì (a + 2k)−(a + k) ≡0(mod3), suy ra k  3. - Nếu a + 2k ≡ a(mod3) thì (a + 2k)−a ≡ 0(mod3), suy ra 2k  3. Do (2,3) = 1 suy ra: k  3. (2) Tóm lại trong mọi trường hợp ta đều thấy k 3. 63
Lại do (2,3) = 1 nên từ (1) và (2) ta có k  6. Ví dụ 6: Cho 5 số nguyên phân biệt tuỳ ý a1, a2, a3, a4, a5. Xét tích: P=(a1 – a2)(a1 – a3)(a1 – a4)(a1 – a5) (a2 – a3) (a2 – a4) (a2 – a5) (a3 – a4) (a3 – a5) (a4 – a5) Chứng minh rằng: P 288 Lời giải: Ta có phân tích sau : 288 = 25.32 và do (2,3) = 1 nên để chứng minh P 288 Ta chỉ cần chứng minh đồng thời P 25 và P 32 Theo nguyên lí Dirichlet thì trong n+1 số nguyên tuỳ ý, luôn tồn tại hai số có hiệu chia hết cho n. Trong 4 số a1, a2, a3, a4 có hai số có hiệu chia hết cho 3, không giảm tổng quát, có thể cho là: a1 – a2 3. Bây giờ xét bốn số a 2, a3, a4, a5 ta lại được hai số có hiệu cũng chia hết cho 3. Như thế trong tích P có ít nhất hai hiệu khác nhau cùng chia hết cho 3. Do đó P 32. (1) Lại theo nguyên lí Dirichlet trong 5 số đã cho có ít nhất ba số có cùng tính chẵn, lẻ. Chỉ có hai trường hợp sau xảy ra: - Nếu ít nhất có 4 số có cùng tính chẵn lẻ, thì từ 4 số này có thể lập nên 6 hiệu khác nhau cùng chia hết cho 2, do đó tích của chúng chia hết cho 26, nói riêng P 25. - Nếu có đúng 3 số có cùng tính chẵn lẻ. Không giảm tổng quát, có thể cho đó là a 1, a2, a3. Khi đó hai số còn lại a 4, a5 cũng có tính chẵn lẻ giống nhau nhưng khác với tính chẵn lẻ của a1, a2, a3. Vậy bốn hiệu sau đây cũng chia hết cho 2: a1 – a2, a1 – a3, a1 – a4, a2 – a3, a4 – a5. Mặt khác, trong 5 số đã cho có ít nhất hai hiệu chia hết cho 4, vì thế trong bốn số a 1 – a2, a1 – a3, a2 – a3, a4 – a5 có ít nhất một hiệu chia hết cho 4. Do đó : 5 5 (a1 – a2)(a1 – a3)(a2 – a3)(a4 – a5)  2 tức là P 2 . tức là P . . .25. Tóm lại trong mọi trường hợp ta luôn có P 25 (2) Từ (1) và (2) ta suy ra P 288 Ví dụ 7: Chứng minh rằng từ 52 số nguyên bất kì luôn có thể chọn ra được hai số mà tổng hoặc hiệu của chúng chia hết cho 100. Lời giải: Tất cả các số dư trong phép chia cho 100, được chia thành từng nhóm như sau: {0},{1,99},{2,98}, ,{49,51},{50}. Vì có tất cả 51 nhóm, mà lại có 52 số, nên theo nguyên lí Dirichlet giữa chúng phải có hai số mà các số dư trong phép chia cho 100 rơi vào một nhóm. Hai số này là hai số cần tìm vì nếu số dư của chúng bằng nhau thì hiệu của chúng chia hết cho 100, còn nếu số dư của chúng khác nhau thì tổng của chúng chia hết cho 100. Ví dụ 8: Chứng minh rằng tồn tại số tự nhiên k sao 3k tận cùng bằng 001. Giải: Trước hết ta chứng tỏ rằng tồn tại hai lũy thừa của 3 có cùng số dư khi chia cho 1000. Trong phép chia cho 1000, có 1000 số dư là 0, 1, 2, , 999. Ta xét 1001 số là: 3, 32, 33, , 31001 thì tồn tại hai số có cùng số dư trong phép chia cho 1000. Gọi hai số đó là 3m và 3n (1 n m 1001 ) như vậy 3m – 3n  1000 Suy ra: 3n(3m-n – 1)  1000 3m-n – 1 1000, tức là số 3m-n tận cùng bằng 001. Bài tập 64
Bài 1. Cho 10 số tự nhiên bất kì a1, a2, a3, , a10. Chứng minh rằng thế nào cũng có một số hoặc tổng một số hạng liên tiếp nhau trong dãy trên chia hết cho 10. Bài 2. Cho 14 số tự nhiên có ba chữ số bất kì. Chứng minh rằng 14 số đó tồn tại 2 số mà khi viết liên tiếp nhau thì tạo thành số có 6 chữ số chia hết cho 13. Bài 3. Chứng tỏ rằng có một số tự nhiên chia hết cho 29 mà số đó được viết toàn bộ bằng chữ số 2. CHUYÊN ĐỀ 12. BIỂU THỨC ĐẠI SỐ Dạng 1. TÍNH GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC Phương pháp: Để tính giá trị của biểu thức tại các giá trị cho trước của biến ta thay các giá trị cho trước của biến vào biểu thức đã cho rồi thực hiện các phép tính. Bài 1. Tính giá trị của biểu thức: a) A = 2x2 – 3x + 1 tại x = 1, x = 2, x = 3; b) B = x2 + 5x – 6 tại x = -1, x = 1, x = -6; c) C = 2x + 3y – 5 tại x = 3, y = 5; d) D = x2 + 2xy – 3y2 tại x = 2, y = 3. Bài 2. Tính giá trị của biểu thức: a) A = x2 – 5x + 6 tại x = 2, x = 3, x = -5; 3 5 1 b) B = 2x2 – 5x + 1 tại x = 1, x = , x = 4; 2 c) C = 5x – 4y + 7 tại x = -2, y = 3; d) D = x2 + 5xy – 6y2 tại x = 4, y = -5. Bài 3. Tính giá trị của biểu thức: a) A = x2 + 3x – 1 tại |x| = 2; b) B = 3x + 4y – 6 tại |x| = 3, y = 5; c) c = 2x + 3y + 5 tại x = 4, |y| = 3; d) D = x2 + 3xy – y2 tại |x| = 1; |y| = 2. Bài 4. Tính giá trị của biểu thức: 3b a a) A = tại a = b -1; 2b 1 2a 5b a 3 b) B = tại ; a 3b b 4 3a 2b c) C = tại a – b = -7; 2a 7b 5x2 3y 2 x y d) D = tại . 10x2 3y 2 3 5 e) E = (x - 3)(y - 3) tại x + y = 10 và 2x = 3y. Bài 5. Tính giá trị của biểu thức: a) A = x5 – 2019x4 + 2019x3 - 2019x2 + 2019x – 2020 tại x = 2018. b) B = x2005 2006x2004 2006x2003 2006x2002 2006x2 2006x 1tại x = 2005. c) C= x2011 2012x2010 2012x2009 2012x2008 2012x2 2012x 1 tại x = 2011. d) D = x5 – 2018x4 + 2016x3 + 2018x2 - 2016x – 2017 tại x = 2017. 65
e) E = x10 – 101x9 + 101x8 – 101x7 + -101x + 101 tại x = 100. Bài 6. Tính giá trị của biểu thức: a) A = 2x5 + 3y3 biết (x - 1)20 + (y - 2)30 = 0. 2 2 b) B 5x y 4xy 2016xy ; với x, y thoả mãn: (x - 2)4 + ( 2y - 1)2016 0 c) M = 21x2y + 4xy2 với x, y thoả mãn: (x - 3)4 + ( y - 1)2014 0 d) P = 28x5 – 3y3 + 2016 tại x, y thỏa mãn: (x + 1)10 + y 2 2015 = 0. e) E = 5 x2y2016z2017 với x, y, z thỏa mãn x 2 y 1 (x y z 2)2016 0 Bài 7. Tính giá trị của biểu thức: a) M = 4x + 4y + 21xy(x + y) + 7(x3y2 + x2y3) + 2014, biết x + y = 0. b) P = x3 + x2y -2x2 – y(x + y) + 3y + x + 2018 với x + y = 2 c) N = x3 + x2y – 2x2 – xy - y2 + 3y + x + 2006, biết x + y – 2 = 0. d) H = xy2z3 + x2y3z4 + x3y4z5 + + x2014y2015z2016 tại x = -1, y = -1, z = -1. 0 2019 e) E = 2x – 2y + 13x3y2(x - y) + 15(y2x – x2y) + tại x – y = 0. 2020 Bài 8. Cho x – y = 1. Chứng minh rằng giá trị của mỗi đa thức sau là một hằng số: a) P = x2 – xy – x + xy2 – y3 – y2 + 5 b) Q = x3 – x2y – x2 + xy2 – y3 – y2 + 5x – 5y – 2015. Bài 9. Tính giá trị của biểu thức: A = (x2 – 1)(x2 - 3)(x2 - 5) (x2 – 99) tại x = 5. Bài 10. Tính giá trị của biểu thức: B = (12 + 22 + 32 + + 202).(a + 2b).(a + 3b) tại a = 3 , b = 1 . 5 5 c a b Bài 11. Cho a, b, c và a – b – c = 0. Tính giá trị của biểu thức: P = 1 1 1 a b c a b b c c a Bài 12. Cho các số a, b, c khác nhau đôi một và . Tính giá trị của biểu c a b a b c thức: M = 1 1 1 . b c a a b c b c a c a b Bài 13. Cho các số a, b, c khác nhau đôi một và . Tính giá trị của c a b a b c biểu thức: N = 1 1 1 . b c a Bài 14.Cho ba số x, y, z 0 thỏa mãn xy 2013x 2013 0 ; yz y 2013 0 ; xz z 1 0 và 2013x y z xyz 2013. Chứng minh rằng: 1. xy 2013x 2013 yz y 2013 xz z 1 Bài 15. a) Cho a, b, c là những hằng số và a + b + c = 2020. Tính giá trị của đa thức: A = ax2y2 + bx4y + cxy6 với x = 1, y =1. 66
b) Tính giá trị của đa thức B = (3x - 1)(3y - 1) biết x + y = 10, xy =16. 2 Bài 16. Tính giá trị của biểu thức A = 2x 3x 1 với |x - 1| = 2 . 3x 2 3 Dạng 2. ĐƠN THỨC, ĐƠN THỨC ĐỒNG DẠNG A. Lý thuyết: - Đơn thức là một biểu thức gồm một số, một biến hoặc một tích giữa các số với các biến. - Đơn thức thu gọn là đơn thức chỉ gồm một tích của một số với các biến mà mỗi biến đã được nâng lên lũy thừa. - Hai đơn thức đồng dạng là hai đơn thức có hệ số khác 0 và có cùng phần biến. - Muốn cộng (trừ) hai đơn thức đồng dạng ta cộng (trừ) hệ số và giữ nguyên phần biến. B. Bài tập: Bài 1. Thu gọn và chỉ rõ hệ số, phần biến và bậc của đơn thức tích: a) 2xy.5xy2 3 7 g) x2 y 2 z (6x2 y) x2 y3 z b) 2y2.(3y3)4.y 7 12 c) 5x4.4x3.3x2.2x h) 5x2 y3 z 4 . 20x4 y3 z 2 d) 5x2.3xy2 i) (2x2y3)3.(-5xy2z)2 12 4 5 5 2 3 2 e) x y . x y 2 2 3 3 2 15 9 j) x yz . xy z 3 4 1 f) x2 y .(2xy 2 ) k) (-3xy3z).(2x2yz3)3.(-4xyz) 3 Bài 2. Tính các tích sau và chỉ rõ hệ số, phần biến và bậc của đơn thức tích: 2 3 2 5 a) xy 2 z 3 . x 2 .y.z 2 b) (-2x3yz2)4.(5xy2)3 5 2 1 2 5 c) xy 4 z 2 . 7x 2 y 3 z d) xyz 2 . x 2 yz 3 7 15 2 1 2 2 4 12 4 2 5 1 3 2 e) .x .y . .x.y f) .x .y . .x.y g) x y . (xy) 7 5 15 9 3 Bài 3. Rút gọn các biểu thức sau: a) 2x2 + 3x2 – 4x2 f) 4xy3 – (-5xy3) b) 3xy – 5xy + 7xy g) 6xy2z + 4xy2z – 10xy2z 2 2 2 1 3 c) 8x y + 6x y – 5x y h) xy xy xy d) xyz + 3xyz – 10xyz 2 5 2 3 5 i) 6x3y – 8x3y + 5x3y. e) xy 2 xy 2 xy 2 3 4 6 Bài 4. Rút gọn các biểu thức sau : a) 10n+1- 66.10n b) 2n+ 3 + 2n +2 – 2n + 1 + 2n c) 90.10k – 10k+2 + 10k+1 d) 2,5.5n – 3 .10 + 5n – 6.5n- 1 1 3 Bài 5. Cho các đơn thức: A = x2 yz 2 , B = xy 2 z 2 , C = x3y. Chứng minh rằng các đơn 2 4 thức A, B, C không thể cùng nhận giá trị âm. 67
Bài 6. Biết A = x2yz , B = xy2z ; C = xyz2 và x + y + z = 1 Chứng tỏ rằng A + B + C = xyz Bài 7. Cho A = 8x5y3 ; B = - 2x6y3 ; C = - 6x7y3 .Chứng tỏ rằng : Ax2 + Bx + C = 0 Dạng 3. ĐA THỨC, CỘNG, TRỪ ĐA THỨC. NGHIỆM CỦA ĐA THỨC A. LÝ THUYẾT: - Đa thức là một tổng của những đơn thức. - Bậc của đa thức là bậc của hạng tử có bậc cao nhất trong dạng thu gọn của đa thức đó. - Thu gọn đa thức là thực hiện các phép tính cộng, trừ các hạng tử đồng dạng trong đa thức đó. - Số a được gọi là nghiệm của đa thức f(x) khi f(a) = 0. B. BÀI TẬP: Bài 1. Thu gọn các đa thức sau và tìm bậc của chúng: a) A = 2x2y5 – xyz + y3 + 3x2y5 – 2xyz + 7y3 – 4x2y5 b) B = x3y4 – x2y2 + y6 – 5x3y4 – 6x2y2 + 3y6 – 5x2y2 + 4y6. Bài 2. Cho các đa thức: A = 5x2 – 3xy + 7y2 , B = 6x2 – 8xy + 9y2 a) Tính P = A + B và Q = A – B. b) Tính giá trị của đa thức M = P – Q tại x = -1 và y = -2. c) Cho đa thức N = 3x2 – 16xy + 14y2. Chứng minh đa thức T = M – N luôn nhận giá trị không âm với mọi giá trị của x và y. Bài 3. Tìm đa thức M sao cho: a) M + (x3 – 2xy2 + y3) = x3 + 5xy2 – y3 b) M – (xy3 – 2xy + x2 + 5) = xy3 + 5xy – 2x2 – 6 c) (x4 – y + y2 + xy) – M = x4 + 7y – 6 + xy. Bài 4. Tìm một đa thức P sao cho tổng của P với đa thức: -x2y5 + 3y3 – 3x3 + x3y + 2015 là một đa thức 0 Bài 5. Cho các đa thức: A = x2 - 2x + 3xy2 - x2y + x2y2 B = - 2x2 + 3y2 - 5x + y + 3 C = 3x2 - 2xy + 7y2 - 3x - 5y - 6 Tính A + B - C; A - B + C; - A + B + C và xác định bậc của mỗi đa thức tìm được. Bài 6. Cho đa thức: f(x) = x + 7x2 – 6x3 + 3x4 + 2x2 + 6x – 2x4 + 1. a) Thu gọn, rồi sắp xếp các số hạng của đa thức theo lũy thừa giảm dần của biến x. b) Xác định bậc của đa thức, hệ số tự do, hệ số cao nhất. c) Tính f(-1), f(0), f(1), f(-a). Bài 7. Cho các đa thức: f(x) = x3 - 2x2 + 3x + 1 g(x) = x3 + x + 1 h(x) = 2x2 - 1 a) Tính f(x) - g(x) + h(x). b) Tìm x sao cho f(x) - g(x) + h(x) = 5. 68
Bài 8. Cho hai đa thức: f(x) = 9 - x5 + 4x - 2x3 + x2 - 7x4 g(x) = x5 - 9 + 2x2 +7x4 + 2x3 - 3x. a) Sắp xếp các đa thức theo luỹ thừa giảm của biến. b) Tính tổng h(x) = f(x) + g(x) c) Tìm nghiệm của đa thức h(x). Bài 9. Cho các đa thức: f(x) = - 3x2 + x - 1 + x4 - x3 - x2 + 3x4 + 2x3 g(x) = x4 + x2 - x3 + x - 5 + 5x3 - x2 - 3x4 a) Thu gọn và sắp xếp các đa thức theo luỹ thừa giảm của biến. b) Tính f(x) + g(x) và f(x) - g(x). c) Tính giá trị của f(x) và g(x) tại x = 1 và x = - 1. Bài 10. Cho đa thức f(x) = – 3x2 + x – 1 + x4 – x3– x2 + 3x4 g(x) = x4 + x2– x3 + x – 5 + 5x3 –x2 a) Thu gọn và sắp xếp các đa thức trên theo luỹ thừa giảm dần của biến. b) Tính: f(x) – g(x); f(x) + g(x) c) Tính g(x) tại x = –1. Bài 11. Cho 2 đa thức : M(x) = 3x3 + x2 + 4x4 – x – 3x3 + 5x4 + x2 – 6 N(x) = - x2 – x4 + 4x3 – x2 -5x3 + 3x + 1 + x a) Thu gọn và sắp xếp các đa thức trên theo luỹ thừa giảm dần của biến b) Tính : M(x) + N(x) ; M(x) – N(x) c) Đặt P(x) = M(x) – N(x) . Tính P(x) tại x = -2. Bài 12. Cho các đa thức: F(x) = x3 – 3x2 + 6x – 8, G(x) = – 6x2 + x3 – 8 + 12x a) Tính F(x) + G(x) b) Tính F(1) c) Tìm x để F(x) – G(x) = 0. Bài 13. Cho các đa thức sau: P(x) = 5x4 – 3x2 + 9x3 – 2x4 + 4 + 5x, Q(x) = – 10x + 5 + 8x3 + 3x2 + x3. a) Thu gọn và sắp xếp các đa thức trên theo lũy thừa giảm của biến. b) Tính P(x) + Q(x) c) Tính P(x) – Q(x). Bài 14. Cho các đa thức: A(x) = 2x5 – 4x3 + x2 – 2x + 2 B(x) = x5 – 2x4 + x2 – 5x + 3 3 C(x) = x4 + 4x3 + 3x2 – 8x + 4 16 a) Tính M(x) = A(x) – 2B(x) + C(x) b) Tính giá trị của M(x) khi x = 0,25 c) Có giá trị nào của x để M(x) = 0 không ? Bài 15. Cho đa thức f(x) = ax2 + bx + c. Tìm các hệ số a, b, c biết f(0) = -2, f(1) = 0, f(2) = 2 . 3 69
Bài 16. Cho đa thức y = f(x) = ax2 + bx + c. Cho biết: f(0) = 2010; f(1) = 2011; f(-1) = 2012. Tính f(-2). Bài 17. Cho đa thức f(x) = ax3 + bx + cx + d với a là một số nguyên dương và f(5) – f(4) = 2012. Chứng minh rằng f(7) – f(2) là một hợp số. Bài 18. Cho đa thức P(x) = ax2 + bx + c (a N*) thỏa mãn P(9) – P(6) = 2019. Chứng minh rằng: P(10) – P(7) là một số lẻ. Bài 19. Cho P(x) là một đa thức hệ số nguyên thoả mãn P(0) = 0, P(1) = 2. Chứng minh rằng P(7) không thể là số chính phương. Bài 20. Cho đa thức f(x) = ax2 + bx + c với a, b, c Z. Biết f(1)  3; f(0)  3; f(-1)  3. Chứng minh rằng a, b, c đều chia hết cho 3. Bài 21. Cho đa thức f(x) = ax3 + bx2 + cx + d với a, b, c, d Z. Biết f(x) chia hết cho 5 với mọi x Z. Chứng minh rằng a, b, c, d đều chia hết cho 5. Bài 22. Cho đa thức f(x) = ax + b (a, b Z). Chứng tỏ rằng không thể đồng thời có f(17) = 71 và f(12) = 35. Bài 23. Chứng minh rằng không tồn tại một đa thức với hệ số nguyên P(x) thỏa mãn: P(1) = 19 và P(19) = 85. Bài 24. Cho đa thức f(x) = ax2 + bx + c nhận giá trị nguyên với mọi giá trị của x. Chứng tỏ rằng 2a, a + b, c là các số nguyên. Bài 25. Cho đa thức f (x) ax2 bx c với a, b, c là các số thực. Biết rằng f(0); f(1); f(2) có giá trị nguyên. Chứng minh rằng 2a, 2b có giá trị nguyên. Bài 26. Cho đa thức P(x) = ax2 + bx + c (a, b, c 0). Cho biết 2a + 3b + 6c = 0. a) Tính a, b, c theo P(0), P(1 ), P(1). 2 b) Chứng minh rằng P(0), P(1 ), P(1) không thể cùng âm hoặc cùng dương. 2 Bài 27. Cho f(x) là đa thức có các hệ số nguyên, a và b là các số nguyên. a) Chứng minh rằng f(a) - f(b) chia hết cho a - b; b) Có thể xảy ra đồng thời f(5) = 7 và f(19) = 15 được không? Bài 28. Cho f (x) ax2 bx c víi a, b, c lµ c¸c sè h÷u tØ. BiÕt r»ng 13a b 2c 0 . Chøng tá r»ng: f ( 2). f (3) 0 . Bài 29. Tìm nghiệm của các đa thức sau: a) x – 2 f) x2 – 16 b) 2x + 6 g) x2 – 3x + 2 c) (x - 3)(2x + 5) h) x2 – 4x + 3 d) (x + 1)(3x - 12) i) x2 + 4x + 4 e) x2 - 4 j) x2 + 5x + 6 Bài 30. Chứng tỏ rằng các đa thức sau không có nghiệm: a) x2 + 2 e) x2 – 2x + 3 b) x4 + 2x2 + 5 f) x2 – 6x + 10 c) (x - 1)2 + 3 g) x2 – 4x + 8 d) x2 + 4x + 6 h) x2 + 8x + 40 Bài 31. Cho đa thức f(x) có các hệ số nguyên. Biết rằng f(0), f(1) là các số lẻ. Chứng minh rằng đa thức f(x) không có nghiệm nguyên. Bài 32. Cho hai đa thức: f(x) = ax2 + bx + c và g(x) = cx2 + bx + a 70
1 Chứng minh rằng: Nếu f(x0) = 0 thì g( ) = 0 (với x0 0 ) x0 Bài 33. Cho hai đa thức f(x) = (x - 1)(x + 3) và g(x) = x 3 - ax2 + bx – 3. Xác định hệ số a, b của đa thức g(x) biết nghiệm của đa thức f(x) cũng là nghiệm của đa thức g(x). Bài 34. Cho f(x) = ax3 + 4x(x2 - 1) + 8 và g(x) = x3 + 4x(bx + 1) + c – 3 trong đó a, b, c là hằng số. Xác định a, b, c để f(x) = g(x). Bài 35. Cho đa thức f(x) xác định với mọi x thỏa mãn: x.f(x + 2) = (x2 - 9).f(x). a) Tính f(5). b) Chứng minh rằng f(x) có ít nhất 3 nghiệm. Bài 36. a) Tìm giá trị của m để đa thức g(x) = x4 + m2x3 + mx2 + mx – 1 có nghiệm là -1. b) Tìm tổng các hệ số của đa thức sau khi phá ngoặc và sắp xếp, biết: f(x) = (3x2 – 12x + 8)2013.(x3 – 2x2 + 3x - 3)2014. Bài 37. Cho hai đa thức P(x) = x 2 + 2mx + m2 và Q(x) = x2 + (2m+1)x + m2.Tìm m biết : P(1) = Q(-1). Bài 38. Tìm đa thức bậc hai sao cho: f(x) – f(x -1) = x. Áp dụng tính tổng: S = 1 + 2 + 3 + + n. 71