›
›
›

Chuyên đề luyện HSG Hình học 7

docx 17 trang hoaithuong97 6510
Download
Bạn đang xem tài liệu "Chuyên đề luyện HSG Hình học 7", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • docxchuyen_de_luyen_hsg_hinh_hoc_7.docx

Nội dung text: Chuyên đề luyện HSG Hình học 7

  1. 1 19 CHUYÊN ĐỀ ÔN THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 7 (Tổng 1754 Trang) 300 Đề Thi Thử HSG Giải Chi Tiết 12 CHUYÊN ĐỀ ĐẠI SỐ (Tổng 948 Trang) Chuyên đề 1.CÁC PHÉP TÍNH TRÊN TẬP Q VÀ R (102 Trang) Chuyên đề 2 . NGUYÊN LÝ DIRICHLET –SUY LUẬN LOGIC (33 Trang) Chuyên đề 3.TÌM x,y VÀ GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI (181Trang) Chuyên đề 4 . LŨY THỪA TỔNG QUY LUẬT VÀ LIÊN QUAN (48 Trang) Chuyên đề 5. TỈ LỆ THUẬN- NGHỊCH VÀ THỰC TẾ LIÊN QUAN (71 Trang) Chuyên đề 6. TỈ LỆ THỨC. TÍNH CHẤT CỦA DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU (114 Trang) Chuyên đề 7.MỘT SỐ BÀI TOÁN CÓ LỜI VĂN VÀ LIÊN QUAN (34 Trang) Chuyên đề 8 . HÀM SỐ - ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ VÀ LIÊN QUAN (46 Trang) Chuyên đề 9.MỘT SỐ BÀI TOÁN GIÁ TRỊ BIỂU THỨC ĐẠI SỐ (40 Trang) Chuyên đề 10 . BÀI TOÁN VỀ ĐƠN THỨC-ĐA THỨC VÀ LIÊN QUAN (84 Trang) Chuyên đề 11.SỐ HỌC-BẤT ĐẲNG THỨC –MIN MAX (153 Trang) Chuyên đề 12. PHẦN NGUYÊN, PHẦN LẺ (42 Trang) 7 CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC (Tổng 806 Trang) HH7-CHỦ ĐỀ 1. ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC. ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG (51 Trang) HH7-CHỦ ĐỀ 2. TAM GIÁC VÀ LIÊN QUAN (200 Trang) HH7-CHỦ ĐỀ 3. TÍNH SỐ ĐO GÓC ( 66 Trang) HH7-CHỦ ĐỀ 4.CÁC ĐƯỜNG ĐỒNG QUY TRONG TAM GIÁC (72 Trang) HH7-CHỦ ĐỀ 5. VẼ HÌNH PHỤ ĐỂ GIẢI TOÁN (12 Trang) HH7-CHỦ ĐỀ 6. BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CỰC TRỊ HÌNH HỌC (30 Trang) HH7-CHỦ ĐỀ 7. HÌNH HỌC TỔNG HỢP-PHẦN 1 (122 Trang) HH7-CHỦ ĐỀ 7. HÌNH HỌC TỔNG HỢP-PHẦN 2 (110 Trang) HH7-CHỦ ĐỀ 7. HÌNH HỌC TỔNG HỢP-PHẦN 3 (73 Trang) HH7-CHỦ ĐỀ 7.HÌNH HỌC TỔNG HỢP-PHẦN 4 (70 Trang)
  2. 2 HH7-CHỦ ĐỀ 2.BÀI TOÁN HÌNH LIÊN QUAN ĐẾN TAM GIÁC Chuyên đề 1. TỔNG BA GÓC CỦA MỘT TAM GIÁC A. Kiến thức cần nhớ Nhóm đã biên soạn được bộ tài liệu luyện HSG 6789, cần file word liên hệ Zalo nhóm 0988166193 nhé 1. Tổng ba góc của một tam giác. Tổng ba góc của một tam giác bằng 180 . ABC µA Bµ Cµ 180 . 2. Áp dụng vào tam giác vuông a) Định nghĩa: Tam giác vuông là tam giác có một góc vuông. b) Tính chất: Trong tam giác vuông, hai góc nhọn phụ nhau. ABC Bµ Cµ 90 µ . A 90 3. Góc ngoài của tam giác a) Định nghĩa: Góc ngoài của tam giác là góc kề bù với một góc của tam giác. b) Tính chất: * Mỗi góc ngoài của một tam giác bằng tổng của hai góc trong không kề với nó. ·ACD µA Bµ * Góc ngoài của tam giác lớn hơn mỗi góc trong không kề với nó. ·ACD µA, ·ACD Bµ B. Một số ví dụ Ví dụ 1: Tìm x, trong hình vẽ bên: Giải * Tìm cách giải. Để tìm số đo x, chúng ta vận dụng: - Tổng ba góc của một tam giác bằng 180 .
  3. 3 Nhóm đã biên soạn được bộ tài liệu luyện HSG 6789, cần file word liên hệ Zalo nhóm 0988166193 nhé - Góc ngoài của một tam giác bằng tổng hai góc trong không kề với nó. * Trình bày lời giải. + Hình 1. ABC có µA Bµ Cµ 180 (tính chất) 41 2x 28 180 x 37 . + Hình 2. MNP có M· Px M¶ Nµ (góc ngoài tam giác) 126 3x 4x x 18 . + Hình 3. DEF có Dµ Eµ Fµ 180 (tính chất) x 70 x 42 180 x 76 . Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có µA 80 , Bµ 60 . Hai tia phân giác của góc B và C cắt nhau tại I. Vẽ tia phân giác ngoài tại đỉnh B cắt tia CI tại D. Chứng minh rằng B· CD Cµ . Giải * Tìm cách giải. Đề bài cho số đo µA; Bµ nên hiển nhiên tính được số đo Cµ . Dựa theo kết luận của bài toán thì chúng ta chỉ cần tính số đo B· DC . Khi tính toán số đo góc, chúng ta lưu ý giả thiết có yếu tố tia phân giác. * Trình bày lời giải. ABC có µA Bµ Cµ 180 (tính chất) 80 60 Cµ 180; Cµ 40 . ABC có ·ABx µA Cµ 120 1 Bµ B¶ ·ABx 60 1 2 2 1 Ta có: Cµ C¶ Cµ 20 . 1 2 2 BCD có: · µ · BDC C1 CBD 180 B· DC 20 60 60 180 B· DC 40 Do đó B· DC Cµ . Ví dụ 3: Cho hai đoạn thẳng AB và CD cắt nhau tại E. Các tia phân giác ·ACE; D· BE cắt nhau ở B· AC B· DC K. Chứng minh: B· KC . 2 Giải * Tìm cách giải. Chúng ta nhận thấy B· KC là góc của tam giác BKG; CKH nên cần phải ghép vào hai tam giác ấy. Khai thác yêu cầu của bài toán (liên quan tới góc µA ; Cµ ) đồng thời
  4. 4 Nhóm đã biên soạn được bộ tài liệu luyện HSG 6789, cần file word liên hệ Zalo nhóm 0988166193 nhé để vận dụng yếu tố tia phân giác của giả thiết, chúng ta cần xét các cặp tam giác KGB, AGC và cặp tam giác KHC, DHB . * Trình bày lời giải. Gọi G là giao điểm CK và AE và H là giao điểm BK và DE. Xét KGB và AGC có: K· GB ·AGC (đối đỉnh) µ µ µ µ K B1 A C1 1 Xét KHC và DHB có: K· HC B· HD (đối đỉnh) µ ¶ µ ¶ K C2 D B2 2 µ ¶ µ ¶ µ µ µ Từ (1) và (2), kết hợp với B1 B2 ; C1 C2 2K A D µA Dµ Kµ . 2 Ví dụ 4: Cho hình vẽ bên, biết rằng BD và CE là các tia phân giác của góc B, góc C. a) Nếu µA 80 , tính B· IC . b) Nếu B· DC 84 ; B· EC 96 , tính µA . Giải a) ABC có µA Bµ Cµ 180 nên Bµ Cµ 100 . 1 1 B¶ C¶ .Bµ .Cµ 2 2 2 2 ¶ ¶ ¶ ¶ · · B2 C2 50 . BIC có B2 C2 BIC 180 nên BIC 130 . · ¶ µ · ¶ µ b) BDC có BDC B2 C 180 mà BDC 84 nên B2 C 96 . · µ ¶ · µ ¶ BEC có BEC B C2 180 mà BEC 96 nên B C2 84 . ¶ µ ¶ µ Suy ra B2 B C2 C 96 84 3 Do đó . Bµ Cµ 180 2 Bµ Cµ 120 nên µA 60 . Nhận xét:
  5. 5 Nhóm đã biên soạn được bộ tài liệu luyện HSG 6789, cần file word liên hệ Zalo nhóm 0988166193 nhé µA - Nếu µA 80 thì ta luôn chứng tỏ được B· IC 90 * . 2 µ µ µ ¶ ¶ - Để tính A chúng ta cần tìm góc B C hoặc B2 C2 mà không cần tính từng góc B và góc C. Ngoài ra dựa vào công thức (*) ta có thể tính B· IC bằng cách xét BIE và CID để tìm được: µ · · µ B1 EIB DIC C1 84 96 µ µ ¶ ¶ · · · Và lưu ý: B1 C1 B2 C2 EIB DIC ta tính EIB . Ví dụ 4: Cho ABC có µA 90 . Kẻ AH vuông góc với BC H BC . Các tia phân giác góc C và góc BAH cắt nhau tại K. Chứng minh rằng AK  CK . Giải ABH; ABC vuông nên B· AH H· CA (cùng phụ với ·ABC ). 1 1 Mặt khác µA .B· AH ; Cµ H· AC do đó µA Cµ . 1 2 1 2 1 1 µ · Ta có: A1 KAC 90 µ · C1 KAC 90 Suy ra KAC vuông tại K. Vậy AK  KC . * Nhận xét: Qua bài ta nhận thấy có thêm một dấu hiệu nhận biết tam giác vuông là chứng minh tam giác có tổng hai góc bằng 90 . C. Bài tập vận dụng 1.1. Tìm x, trong các hình vẽ sau: µ µ µ 1.2. Cho hình vẽ bên. Biết rằng A1 45 ; B1 130 . Tính C1 .
  6. 6 Nhóm đã biên soạn được bộ tài liệu luyện HSG 6789, cần file word liên hệ Zalo nhóm 0988166193 nhé 1.3. Các góc ngoài đỉnh A, B, C tỉ lệ với 2; 3; 4. Tính tỉ lệ ba góc trong của tam giác đó. 1.4. Cho tam giác ABC có µA 2.Bµ và Bµ 3.Cµ . a) Tính các góc A; B; C? b) Gọi E là giao điểm của đường thẳng AB với tia phân giác của góc ngoài tại đỉnh C. Tính góc AEC? 1.5. Tam giác ABC có Bµ Cµ . Tia phân giác B· AC cắt BC tại D. a) Chứng minh ·ADC ·ADB Bµ Cµ . b) Đường thẳng chứa tia phân giác góc ngoài ở đỉnh A của tam giác ABC cắt đường thẳng BC tại Bµ Cµ E. Chứng minh rằng ·AEB . 2 1.6. Cho tam giác ABC có Bµ Cµ 18 . Tia phân giác góc A cắt BC tại D. Tính số đó góc ADC? Góc ADB? 1.7. Cho tam giác ABC. Tia phân giác của góc A cắt cạnh BC tại D. Biết ·ADB 85 . a) Tính Bµ Cµ . b) Tính các góc của tam giác ABC nếu 4.Bµ 5.Cµ . 1.8. Cho tam giác ABC, O là điểm nằm trong tam giác. a) Chứng minh rằng B· OC µA ·ABO ·ACO . µA b) Biết ·ABO ·ACO 90 và tia BO là tia phân giác của góc B. Chứng minh rằng tia CO là tia 2 phân giác của góc C. 1.9. Cho tam giác ABC có µA 180 3Cµ . a) Chứng minh rằng Bµ 2.Cµ . b) Từ một điểm D trên cạnh AC vẽ DE//BC E AB . Hãy xác định vị trí của D cho tia DE là tia phân giác của góc ·ADB . 1.10. Chứng minh với mỗi tam giác bao giờ cũng tồn tại một góc ngoài không lớn hơn 120 . 1.11. Cho tam giác ABC vuông góc tại A. Tia phân giác của Cµ cắt AB tại D. a) Chứng minh rằng góc BDC là góc tù.
  7. 7 Nhóm đã biên soạn được bộ tài liệu luyện HSG 6789, cần file word liên hệ Zalo nhóm 0988166193 nhé b) Giả sự B· DC 105 . Tính số đo góc B. 1.12. Cho hình vẽ bên. Tính tổng µA Bµ Cµ Dµ Eµ Fµ
  8. 8 Hướng dẫn giải Nhóm đã biên soạn được bộ tài liệu luyện HSG 6789, cần file word liên hệ Zalo nhóm 0988166193 nhé 1.1. - Hình 1. ABC có µA Bµ Cµ 180 56 x 12 x 180 x 56 . - Hình 2. MNP vuông tại M Nµ Pµ 90 2x x 15 90 x 35. - Hình 3. DEF có Dµ Eµ Fµ 180 x 3x 25 x 10 180 x 39 . ¶ µ 1.2. Ta có: A2 A1 45 (đối đỉnh). ¶ µ ¶ Ta có B2 B1 180 B2 50 . µ ¶ ¶ ¶ ABC có C1 A2 B2 (góc ngoài của tam giác) suy ra: C2 95 . x y z 1.3. Đặt số đo góc ngoài đỉnh A; B; C lần lượt là x; y; z. Theo đầu bài, ta có: và 2 3 4 x y z 360. Giải ra, ta được: x 80 ; y 120 ; z 160 . Từ đó suy ra các góc trong đỉnh A; B; C tương ứng là 100,60,20 . Do đó tỉ lệ ba góc trong là: 5:3:1 . 1.4. a) Ta có µA 2.Bµ ; Bµ 3.Cµ µA 6Cµ . ABC có µA Bµ Cµ 180 6.Cµ 3Cµ Cµ 180 Cµ 18; Bµ 54; µA 108 . · µ b) Ta có ACx C1 180 (hai góc kề bù) ·ACx 18 180 ·ACx 162 1 Ta có: C¶ C¶ ·ACx 81 . 2 3 2 BCE có Eµ Bµ B· CE 180; Eµ 54 18 81 180 Eµ 27 hay ·AEC 27 . 1.5. µ µ · a) ABD có A1 B ADB 180 ; ¶ µ · ACD có A2 C ADC 180 ;
  9. 9 Nhóm đã biên soạn được bộ tài liệu luyện HSG 6789, cần file word liên hệ Zalo nhóm 0988166193 nhé µ ¶ µ · µ · · · µ µ Mà A1 A2 nên C ADC B ADB ADC ADB B C . b) ABC có B· Ax Bµ Cµ (góc ngoài tam giác) 1 Bµ Cµ µA µA B· AX 3 4 2 2 ¶ µ µ ACE có: A4 E C (góc ngoài) Bµ Cµ Bµ Cµ Eµ ¶A Cµ ·AEB Cµ hay ·AEB . 4 2 2 ¶ µ µ 1.6. ACD có D2 B A1 (góc ngoài tam giác) ¶ µ ¶ µ ¶ ABD có D1 C A2 (góc ngoài tam giác) mà A1 A2 ¶ ¶ µ µ nên D2 D1 B C ¶ ¶ ¶ ¶ D2 D1 18 mà D2 D1 180 180 18 180 18 nên D¶ 99 ; D¶ 81 . 2 2 1 2 1.7. a) Ta có ·ADB 85 ·ADC 95 . µ µ · ABD có A1 B ADB 180 ; ¶ µ · ACD có A2 C ADC 180 ; µ ¶ µ · µ · Mà A1 A2 nên C ADC B ADB ·ADC ·ADB Bµ Cµ . Vậy Bµ Cµ 95 85 10 . Bµ Cµ b) 4.Bµ 5.Cµ . 5 4
  10. 10 Nhóm đã biên soạn được bộ tài liệu luyện HSG 6789, cần file word liên hệ Zalo nhóm 0988166193 nhé Bµ Cµ Bµ Cµ 10 Áp dụng tính chất dãy tỷ số bằng nhau, ta có: 10 . 5 4 5 4 1 Suy ra: Bµ 50; Cµ 40 . 1.8. µ µ · a) ABO có O1 A1 ABO (góc ngoài tam giác). ¶ ¶ · ACO có O2 A2 ACO (góc ngoài tam giác). µ ¶ µ ¶ · · · µ · · O1 O2 A1 A2 ABO ACO HayBOC A ABO ACO . µA b) Từ ·ABO ·ACO 90 2 180 µA Bµ Cµ B¶ C¶ B¶ C¶ 2 2 2 2 2 2 Bµ Cµ B¶ C¶ mà BO là tia phân giác của Bµ nên 2 2 2 2 Bµ Cµ Bµ suy ra C¶ ; hay CO là tia phân giác của 1 2 2 2 góc Cµ . 1.9. a) Từ: µA 180 3.Cµ µA µA Bµ Cµ 3.Cµ suy ra Bµ 2.Cµ b) DE // BC A· DE Cµ (góc đồng vị) và E· DB D· BC (góc so le trong). 1 1 Tia DE là tia phân giác của ·ADB ·ADE E· DB Cµ D· BC mà Cµ Bµ nên D· BC Bµ BD 2 2 là tia phân giác của ·ABC . Vậy khi D là giao điểm của tia phân giác Bµ và AC thì DE là tia phân giác của ·ADB . 1.10. Giả sử cả ba góc ngoài ở ba đỉnh đều lớn hơn 120 suy ra mỗi góc trong đều nhỏ hơn 60 Vậy tổng ba góc trong của tam giác nhỏ hơn 180 , vô lí. Do đó tồn tại một góc ngoài có số đo không lớn hơn 120 . 1.11. a) Góc BDC là góc ngoài tại đỉnh D của tam giác ACD nên B· DC µA 90 ; 90 B· DC 180 B· DC là góc tù. b) B· DC µA ·ACD (góc ngoài tam giác) ·ACD 15 ·ACB 30 Bµ 60 . 1.12. Xét ABI có µA Bµ 180 ·AIB .
  11. 11 Nhóm đã biên soạn được bộ tài liệu luyện HSG 6789, cần file word liên hệ Zalo nhóm 0988166193 nhé Xét CDH có Cµ Dµ 180 C· HD . Xét EFK có Eµ Fµ 180 E· KF . Suy ra: µA Bµ Cµ Dµ Eµ Fµ 540 ·AIB C· HD E· KF 540 K· IH I·HK I·KH 540 180 360 . Chuyên đề 2. HAI TAM GIÁC BẰNG NHAU. CÁC TRƯỜNG HỢP BẰNG NHAU CỦA HAI TAM GIÁC A. Kiến thức cần nhớ 1. Định nghĩa. Hai tam giác bằng nhau là hai tam giác có các cạnh tương ứng bằng nhau, các góc tương ứng bằng nhau. µA µA Bµ Bµ Cµ Cµ ABC A B C AB A B AC A C BC B C 2. Các trường hợp bằng nhau của hai tam giác Nếu ba cạnh của tam giác này bằng ba cạnh của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau. AB A B  AC A C  ABC A B C c.c.c BC B C 
  12. 12 Nhóm đã biên soạn được bộ tài liệu luyện HSG 6789, cần file word liên hệ Zalo nhóm 0988166193 nhé Nếu hai cạnh và góc xen giữa của tam giác này bằng hai cạnh và góc xen giữa của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau. AB A B  Bµ Bµ  ABC A B C c.g.c BC B C  Nếu một cạnh và hai góc kề của tam giác này bằng một cạnh và hai góc kề của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau. Bµ Bµ  BC B C  ABC A B C g.c.g µ µ C C  2. Hệ quả. Nếu hai cạnh góc vuông của tam giác vuông này bằng hai cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau. Nếu một cạnh góc vuông và một góc nhọn kề cạnh ấy của tam giác vuông này bằng một cạnh góc vuông và một góc nhọn kề cạnh ấy của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông ấy bằng nhau. Nếu cạnh huyền và một góc nhọn của tam giác vuông này bằng cạnh huyền và một góc nhọn của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau. µA µA 90 BC B C  ABC A B C (cạnh huyền – góc nhọn) µ µ B B 
  13. 13 Nhóm đã biên soạn được bộ tài liệu luyện HSG 6789, cần file word liên hệ Zalo nhóm 0988166193 nhé B. Một số ví dụ Ví dụ 1: Cho ABC MNP . a) Viết kí hiệu về sự bằng nhau của hai tam giác đó với ba cách khác. b) Cho AB 5cm ; AC 6cm ; NP 7cm . Tính chu vi mỗi tam giác? Hãy nêu nhận xét? Giải * Tìm cách giải. Khi viết hai tam giác bằng nhau thì các đỉnh tương ứng phải viết theo cùng một thứ tự. Viết như vậy, thì việc suy ra các cặp cạnh tương ứng bằng nhau mới chính xác. * Trình bày lời giải. a) ACB MPN ; CBA PNM ; BAC NMP . b) ABC MNP suy ra AB MN 5cm ; AC MP 6cm ; BC NP 7cm . Chu vị ABC bằng: AB AC BC 5 6 7 18 cm . Chu vi MNP bằng: MN MP NP 5 6 7 18 cm . * Nhận xét. Hai tam giác bằng nhau thì có chu vi bằng nhau. Ví dụ 2: Cho ABC HIK , biết µA Bµ 124 ; Hµ I 16 . Tính các góc của mỗi tam giác. Giải * Tìm cách giải. Bài toán yêu cầu tính số đo góc của tam giác nên từ ABC HIK , chúng ta chỉ quan tâm tới cặp góc tương ứng bằng nhau. * Trình bày lời giải. ABC HIK µA Hµ; Bµ I; Cµ Kµ (cặp góc tương ứng). Vì µA Bµ 124 Hµ I 124 ; mà Hµ I 16 , nên Hµ 124 16 : 2 70 ; I 124 16 : 2 54 . HIK có Hµ I Kµ 180 ; 70 54 Kµ 180 Kµ 56 . Vì ABC HIK nên µA Hµ 70; Bµ I 54; µC Kµ 56 .
  14. 14 Nhóm đã biên soạn được bộ tài liệu luyện HSG 6789, cần file word liên hệ Zalo nhóm 0988166193 nhé Ví dụ 3: Cho góc nhọn xOy . Lấy điểm A thuộc tia Ox, điểm B thuộc tia Oy sao cho OA OB . Vẽ hai cung tròn tâm A và tâm B có cùng bán kính nhỏ hơn OA sao cho chúng cắt nhau tại 2 điểm C và D. Chứng minh rằng: a) AOC BOC . b) Ba điểm O, C, D thẳng hàng. Giải a) Xét OAC và OBC có: OA OB (giả thiết), AC BC (bán kính bằng nhau), OC cạnh chung. OAC OBC c.c.c . b) OAC OBC c.c.c nên ·AOC B· OC tương tự: OAD OBD c.c.c nên ·AOD B· OD . Nên C, D cùng thuộc tia phân giác góc xOy hay O, C, D thẳng hàng. * Nhận xét. Khi chứng minh hai tam giác bằng nhau bạn nên chú ý cạnh chung. Muốn chứng minh ba điểm thẳng hàng, ta có thể chứng minh ba điểm đó cùng nằm trên tia phân giác của một góc. Ví dụ 4: Cho ABC có AB AC . Lấy M thuộc cạnh AB; lấy N thuộc tia đối của tia CA sao cho CN BM . Gọi I là một điểm sao cho IB IC ; IM IN . Chứng minh rằng: IC  AN . Giải Ta có ABI ACI c.c.c ·ACI ·ABI . MBI NCI c.c.c N· CI ·ABI . Suy ra ·ACI N· CI , mà đó là hai góc kề bù nên ·ACI N· CI 90 , hay IC  AN . * Nhận xét. Đây là bài toán khó. Để chứng minh IC  AN chúng ta suy nghĩ và chứng minh I·CA I·CN là điều cần thiết. Sau đó, chúng ta hãy tìm các cặp tam giác bằng nhau mà trong các tam giác ấy có chứa I·CA hoặc I·CN . Ví dụ 5: Cho tam giác ABC có µA 90 . Kẻ tia phân giác góc Bµ cắt AC tại D. Trên cạnh BC lấy điểm M sao cho BM BA .
  15. 15 Nhóm đã biên soạn được bộ tài liệu luyện HSG 6789, cần file word liên hệ Zalo nhóm 0988166193 nhé a) Chứng minh rằng DM  BC . b) Chứng minh rằng AM  BD . c) Nếu biết ·AMD 36 . Tính số đo Bµ ; Cµ của ABC . Giải a) ABD và MBD có BA BM ; ·ABD M· BD ; BD là cạnh chung ABD MBD c.g.c . B· AD B· MD B· MD 90 DM  BC . b) Gọi I là giao điểm của AM và BD. Xét ABI và MBI có AB MB ; ·ABI M· BI ; BI là cạnh chung ABI MBI c.g.c ·AIB M· IB mà ·AIB M· IB 180 nên ·AIB M· IB 90 , suy ra: AM  BD . c) ·AMD 36 nên I·MB 90 36 54 ; BIM vuông nên I·BM 90 54 36 . Suy ra Bµ 36.2 72 do đó Cµ 90 72 18 . Ví dụ 6: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Vẽ đoạn thẳng AM  AB ; AM AB sao cho M và C khác phía đối với đường thẳng AB. Vẽ đoạn thẳng AN  AC và AN AC sao cho N và B khác phía đối với đường thẳng AC. Gọi I, K lần lượt là trung điểm BN và CM. Chứng minh rằng: a) AMC ABN ; b) MC BN và MC  BN ; c) AI AK và AI  AK . Giải a) M· AC B· AN 90 B· AC nên MAC BAN c.g.c . b) MAC BAN BN CM . Và ·AMC ·ABN . Gọi P là giao điềm của AB và CM Ta có: ·AMC ·APM 90 (vì AMP vuông) ·ABN B· PO 90 BN  CM . c) CM BN MK BI , mà ·AMK ·ABN ; AM AB
  16. 16 Nhóm đã biên soạn được bộ tài liệu luyện HSG 6789, cần file word liên hệ Zalo nhóm 0988166193 nhé nên AMK ABI c.g.c AK AI . M· AK B· AI ; mà M· AK K· AB 90 B· AI K· AB 90 hay AI  AK . Ví dụ 7: Cho ABC vuông tại A có BC 2.AB . Tia phân giác của góc Bµ cắt AC tại D. a) Chứng minh rằng BD CD . b) Tính góc Bµ và Cµ của tam giác ABC. Giải 1 a) Gọi E là trung điểm của BC. Suy ra BE CE AB BC 2 ABD và EBD có BA BE ; ·ABD E· BD (giả thiết); BD là cạnh chung ABD EBD c.g.c B· AD B· ED B· ED 90 . Xét BDE và CDE có: B· ED C· ED 90 ; BE CE ; DE chung BDE CDE c.g.c BD CD b) BDE CDE c.g.c Cµ D· BE Bµ 2.Cµ Mặt khác: Bµ Cµ 90 (Vì ABC vuông tại A) 2Cµ Cµ 90 Cµ 30; Bµ 60 . Ví dụ 8: Cho tam giác ABC có µA 60 . Các tia phân giác góc B, góc C cắt nhau tại O và cắt AC; AB theo thứ tự D; E. Chứng minh rằng: OD OE . Giải ABC có µA Bµ Cµ 180 Mà µA 60 nên Bµ Cµ 120 . 1 1 Ta có Bµ Cµ .Bµ .Cµ 60 . 1 1 2 2 · µ µ BOC có BOC B1 C1 180 · µ Nên BOC 120; O1 60 . · ¶ ¶ - Kẻ Ox là tia phân giác góc BOC , cắt BC tại I nên O2 O3 60 . µ ¶ µ ¶ Xét BEO và BIO có B1 B2 (giả thiết); O1 O2 60 ; BO là cạnh chung
  17. 17 Nhóm đã biên soạn được bộ tài liệu luyện HSG 6789, cần file word liên hệ Zalo nhóm 0988166193 nhé do đó BEO BIO g.c.g . Suy ra OE OI . - Chứng minh tương tự ta có COD COI nên OD OI . Vậy OE OD OI . * Nhận xét. - Để chứng minh OE OD , ta chưa thể ghép chúng vào hai tam giác nào bằng nhau được. Do vậy, ta nghĩ đến cách kẻ đường phụ. Cho số đo góc A ta liên hệ với bài đã biết nên tính được số đo góc BOC và góc BOE nên dựng được điểm I. - Bài toán còn có cách khác, là lấy điểm I trên BC sao cho BI BE , sau đó chứng minh BOE BOI rồi chứng minh COD COI . - Từ cách trên ta còn suy ra kết quả đẹp là BE CD BC . Ví dụ 9: Cho tam giác ABC. Từ B kẻ BD  AC ; CE  AB . Gọi H là giao điểm của BD và CE. Biết rằng HD HE . a) Chứng minh rằng BHE CHD ; b) Chứng minh rằng ABD ACE ; c) Chứng minh AH là tia phân giác của B· AC . d) Gọi I là giao điểm của AH và BC. Chứng minh rằng AI  BC . Giải Nhóm đã biên soạn được bộ tài liệu luyện HSG 6789, cần file word liên hệ Zalo nhóm 0988166193 nhé