Chuyên đề ôn tập Toán 7 - Chuyên đề 5: Tỉ lệ thức. tính chất của dãy tỉ số bằng nhau

Nội dung text: Chuyên đề ôn tập Toán 7 - Chuyên đề 5: Tỉ lệ thức. tính chất của dãy tỉ số bằng nhau

1. Chuyên đề 5. TỈ LỆ THỨC. TÍNH CHẤT CỦA DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU A. Kiến thức cần nhớ 1. Định nghĩa. Tỉ lệ thức là đẳng thức của hai tỉ số a c Dạng tổng quát : hoặc a :b c :d b d Các số a và d gọi là ngoại tỉ ; các số b và c gọi là trung tỉ. 2. Tính chất của tỉ lệ thức a c Tính chất cơ bản : ad bc b,d 0 b d Tính chất hoán vị: Từ một tỉ lệ thức ta có thể: Đổi chỗ hai ngoại tỉ cho nhau; Đổi chỗ hai trung tỉ cho nhau; Vừa đổi chỗ hai ngoại tỉ, vừa đổi chỗ hai trung tỉ. a c e a c e a c e a c e 3. Từ dãy tỉ số ta suy ra : b d f b d f b d f b d f (Giả thiết các tỉ số đều có nghĩa) a b c 4. Khi có dãy tỉ số , ta nói các số a, b, c tỉ lệ với các số 2; 3; 5. 2 3 5 Ta cũng viết a :b :c 2 : 3 : 5 B. Một số ví dụ x y Ví dụ 1: Tìm hai số x và y biết và 2x 3y 36 3 4 Giải  Tìm cách giải. Để tìm x,y trong dãy tỉ số bằng nhau và biết thêm điều kiện rằng buộc. Ta có thể: Cách 1. Đặt hệ số tỉ lệ k làm ẩn phụ Cách 2. Sử dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau Cách 3. Biểu diễn x theo y từ tỉ lệ thức (hoặc y theo x)  Trình bày lời giải + Cách 1 : (Đặt ẩn phụ) x y Đặt k suy ra : x 3k , y 4k 3 4 Theo giả thiết : 2x 3y 36 6k 12k 36 18k 36 k 2 Do đó : x 3.2 6;y 4.2 8 Kết luận x 6, y 8 + Cách 2: (sử dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau): Trang 1
2. x y 2x 3y 36 Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có : 2 3 4 2.3 3.4 18 x Do đó : 2 x 6 3 y 2 y 8 4 Kết luận : x 6, y 8 + Cách 3: (phương pháp thế) x y 3y Từ giả thiết x 3 4 4 3y Mà 2x 3y 36 3y 36 9y 72 y 8 2 3.8 Do đó : x 6 4 Kết luận x 6, y 8 x y y z Ví dụ 2: Tìm x, y, z biết : , và 2x 3y z 6 3 4 3 5 Giải  Tìm cách giải. Từ hai tỉ lệ thức của giả thiết ,ta cần nối lại tạo thành dãy tỉ số bằng nhau. Quan sát hai tỉ lệ thức ta thấy chúng có chung y vì vậy khi nối cần tạo thành phần chứa y giống nhau. Sau đó vẫn ý tưởng như ví dụ trên, chúng ta có 3 cách giải. Cách 1. Đặt hệ số tỉ lệ k làm ẩn phụ. Biểu thị x, y, z theo hệ số tỉ lệ k. Cách 2. Sử dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau. Cách 3. Biểu diễn x, y theo z từ dãy tỉ số bằng nhau.  Trình bày lời giải x y x y + Cách 1. Từ giả thiết : 1 3 4 9 12 y z y z 2 3 5 12 20 x y z Từ (1) và (2) , suy ra : * 9 12 20 x y z Ta đặt k suy ra x 9k ;y 12k ;z 20k 9 12 20 Theo giả thiết : 2x 3y z 6 18k 26k 20k 6 2k 6 k 3 Do đó: x 27, y 36,z 60 . + Cách 2. Chúng ta biến đổi giả thiết như cách 1 đến (*) Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có : x y z 2x 3y z 2x 3y z 6 3 9 12 20 18 36 20 18 36 20 2 Trang 2
3. x Do đó: 3 x 27 9 y 3 y 36 12 z 3 z 60 20 Kết luận : x 27, y 36,z 60 . + Cách 3. (phương pháp thế : ta tính x, y theo z) 3z 3. y z 3z x y 3y 9z Từ giả thiết : y ; x 5 3 5 5 3 4 4 4 20 9z 3z z Mà 2x 3y z 6 2. 3. z 6 60 z 60 20 5 10 3.60 9.60 Suy ra : y 36,x 27 5 20 Kết luận : x 27, y 36,z 60 x y Ví dụ 3: Tìm hai số x và y biết và xy 24 2 3 Giải x y Đặt k suy ra : x 2k , y 3k 2 3 Theo giả thiết : xy 24 2k .3k 24 k 2 4 k 2 + Với k 2 thì x 4;y 6 + Với k 2 thì x 4;y 6 Kết luận. Vậy x ;y là 4; 6 , 4;6 .  Nhận xét. Trong ví dụ này có thể chúng ta mắc sai lầm sau : + Thứ nhất trong lời giải trên thiếu trường hợp k 2 x y xy 24 + Thứ hai chúng ta vận dụng tính chất : 4! Chúng ta lưu ý rằng tính chất dãy tỉ số 2 3 2.3 6 bằng nhau không cho phép nhân (hoặc chia) tử thức với nhau. Do vậy gặp điều kiện về phép nhân hoặc lũy thừa giữa các biến, chúng ta nên đặt hệ số tỉ lệ k làm ẩn phụ bz cy cx az ay bx Ví dụ 4:Với a, b, c, x, y, z khác 0 , biết a b c a b c Chứng minh rằng : x y z Giải Trang 3
4.  Tìm cách giải. Quan sát phần kết luận ta cần biến đổi đưa về : ay bx ,bz cy ,az cx hay cần chứng minh ay bx 0,bz cy 0,az cx 0 . Vì vậy từ giả thiết ta cần chứng minh bz cy cx az ay bx 0 . Với suy nghĩ đó , chúng ta cần nhân mỗi tỉ số với một số thích hợp a b c vào tử và mẫu số sao cho khi vận dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau thì được kết quả bằng 0. Quan bz cy cx az sát tỉ số và ta thấy bz và az ; để triệt tiêu được, chúng ta cần nhân cả tử và mẫu a b của tỉ số thứ nhất với a; nhân cả tử và mẫu của tỉ số thứ hai với b. Tương tự như vậy với tỉ số thứ ba.  Trình bày lời giải abz acy bcx abz acy bcx Từ đề bài ta có : a2 b 2 c 2 Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có : abz acy bcx abz acy bcx abz acy bcx abz acy bcx 0 a2 b 2 c 2 a2 b 2 c 2 Suy ra ay bx 0,bz cy 0,bz cx 0 a b c ay bx ,bz cy ,bz cx x y z Ví dụ 5: Một khu đất hình chữ nhật có chiều rộng và chiều dài tỉ lệ với 5 và 8. Diện tích bằng 1960m .2 Tính chu vi hình chữ nhật đó. Giải  Trình bày lời giải Đặt chiều rộng và chiều dài khu đất là x và y (mét; x,y > 0) x y Theo đề bài , ta có : và xy 1960 5 8 x y Đặt k (điều kiện k > 0 ) , suy ra : x 5k , y 8k 5 8 Theo giả thiết : xy 1960 5k .8k 1960 k 2 49 k 7 (vì k 0 ) Từ đó ta tìm được : x 35;y 56 Suy ra chu vi hình chữ nhật là : 35 56 .2 182 m Ví dụ 6: Cho a, b, c, d khác 0 và không đối nhau từng đôi một, thỏa mãn dãy tỷ số bằng nhau : 2020a b c d a 2020b c d a b 2020c d a b c 2020d a b c d a b b c c d d a Tính M c d d a a b b c Giải Từ giả thiết suy ra : Trang 4
5. a b c d a b c d a b c d a b c d 2019 2019 2019 2019 a b c d a b c d a b c d a b c d a b c d a b c d + Trường hợp 1: Xét a b c d 0 a b c d ;b c d a c d d a c d d a Suy ra M c d d a c d d a M 1 1 1 1 4 + Trường hợp 2 :Xét a b c d 0 a a a a a a Suy ra a b c d M 1 1 1 1 4 a a a a a a 21a 10b 21c 10d Ví dụ 7: Cho a, b, c, d khác 0 ,thỏa mãn tỉ lệ thức a 11b c 11d a c Chứng minh rằng b d Giải 21a 10b a 11b Từ . Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau , ta có : 21c 10d c 11d 21a 10b a 11b 21a 231b 21a 10b 21a 231b 241b b Từ 1 21c 10d c 11d 21c 231d 21c 10d 21c 231d 241d d 231a 110b 10a 110b 231a 110b 10a 110b 241a a Từ 2 231c 110d 10c 110d 231c 110d 10c 110d 241c c a b a c Từ (1) và (2) , suy ra : hay c d b d Ví dụ 8: Độ dài các cạnh của một tam giác tỉ lệ với nhau như thế nào, biết nếu cộng lần lượt từng độ dài hai đường cao của tam giác đó thì các tổng này tỉ lệ với 7; 6 ; 5. Giải Đặt độ dài ba cạnh tam giác là a, b, c. Độ dài ba đường cao tương ứng là ha ;hb ;hc . Theo đề bài ta có : h h h h h h a b b c c a và ah bh ch 1 7 6 5 a b c Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có : h h h h h h h h h h a b b c c a a b b c h h 7 6 5 7 6 a c h h h h 5h 5h 2h 3h a c 2 c a a c a c 3 2 Trang 5
6. h h h h 2h 2h h h 3h 2h h h Mặt khác a b b c a b b c c b b c 7 6 14 6 14 6 h h 3 3h 2h 7 h h 9h 6h 7h 7h 2h h c b 2 c b b c c b b c c b 2 4 h h h Từ (2),(3) suy ra : a b c 3 4 2 h h h Đặt a b c k k 0 h 3k ;h 4k ;h 2k 3 4 2 a b c a b c Kết hợp với (1), ta có : 3a 4b 2c 4 3 6 Vậy độ dài ba cạnh tỉ lệ với 4; 3; 6. C. Bài tập vận dụng 5.1. Tìm x, y biết : 1 2y 1 4y 1 6y 1 3y 1 5y 1 7y a) ; b) 18 24 6x 12 5x 4x 2x 1 3y 2 2x 3y 1 5.2. Cho x, y thỏa mãn . Tìm x, y 5 7 6x 5.3. Tìm các số x, y, z biết rằng: a) x : y : z 3 : 4 : 5 và 5z 2 3x 2 2y 2 594 b) 3 x 1 2 y 2 ;4 y 2 3 z 3 và 2x 3y z 50 2x 3y 4z c) và x y z 38 3 4 5 5.4. Tìm x, y, z biết rằng: a) 7x 10y 12z và x y z 685; x y 5 z y z 9 y b) ; 3 1 2 5 y z 1 z x 2 x y 3 c) x y z x y z x y z d) x y z ; y z 2 x z 5 x y 7 xy 1 xz 2 yz 3 e) và xy yz zx 11 9 15 27 a c 5.5. Cho . Chứng minh rằng: b d a) a 2c . b d a c . b 2d ; Trang 6
7. 2020 a2020 b 2020 a b b) 2020 2020 2020 c d c d a c 5.6. Cho . Các số x, y, z, t thỏa mãn xa y vàb 0 zc td 0 b d xa yb xc yd Chứng minh za tb zc td 3x y 3 x 5.7. Cho tỉ lệ thức . Tính giá trị của tỉ số x y 4 y x y y z 5.8. Chứng minh rằng : Nếu 2 x y 5 y z 3 z x thì 4 5 5.9. Cho a, b, c, d khác 0, thỏa mãn b 2 ac;c 2 bd . Chứng minh rằng: 3 a3 b 3 c 3 a b c a3 8b 3 27c 3 a a) 3 3 3 ; b) 3 3 3 . b c d b c d b 8c 27d d 5.10. Chứng minh nếu a y z b z x c x y trong đó a, b, c khác nhau và khác 0 thì ta có y z z x x y a b c b c a c a b a b c 5.11. Cho a, b, c thỏa mãn . Chứng minh rằng : 2016 2018 2020 2 a c a b b c 4 x y z 5.12. Cho a b c a2 b 2 c 2 1 và . Chứng minh rằng : a b c 2 x y z x 2 y 2 z 2 x y z t 5.13. Cho . Chứng minh rằng biểu thức sau có giá trị y z t z t x t x y x y z x y y z z t t x nguyên A z t t x x y y z a a a a 5.14. Cho dãy tỉ số bằng nhau : 1 2 2019 2020 a2 a3 a2020 a1 2 a1 a2 a2020 Tính giá trị biểu thức B 2 2 2 2 a1 a2 a3 a2020 a b c a49 .b 51 5.15. Cho và a b c 0 . Tính P b c a c 100 a b c b c a c a b 5.16. Cho a, b, c là ba số dương, thỏa mãn điều kiện : c a b Trang 7
8. b a c Hãy tính giá trị của biểu thức B 1 1 1 . a c b a b c a b c 5.17. Cho a, b, c thỏa mãn và b 0 .Chứng minh rằng : c 0 a b c a b c x y z x 5.18. Cho x, y, z khác 0, thỏa mãn . Chứng minh rằng x 2 yz x y z x x y y z 2x 3y 4z 5.19. Cho và .Tính giá trị biểu thức A (giả thiết A có nghĩa) 3 4 5 6 3x 4y 5z ab bc ca 5.20. Cho các số a; b; c khác 0 thỏa mãn a b b c c a ab 2 bc 2 ca2 Tính giá trị của biểu thức P a3 b 3 c 3 Trang 8
9. HƯỚNG DẪN GIẢI – ĐÁP SỐ 5.1. 1 2y 1 4y a) Vì 24 1 2y 18 1 4y 24 48y 18 72y 18 24 1 24y 6 y . Thay vào đề bài ta có : 4 1 1 3 5 1 2. 1 6. 3 5 4 4 2 3 .6x 18. 18x 90 x 5 18 6x 18 6x 2 3 1 3y 1 5y 1 7y 4 20y 5 35y b) Ta có : 12 5x 4x 20x 20x 1 3y 4 20y 5 35y 12y y 12 20x 20x 12 1 1 3y 12y y 15 1 1 5. 1 Thay vào đề bài ,ta được : 15 x 2 5x 15 1 Vậy x 2 và y 15 5.2. Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có : 2x 1 3y 2 2x 1 3y 2 2x 3y 1 5 7 5 7 12 2x 3y 1 2x 3y 1 Kết hợp với đề bài suy ra: 12 6x  Trường hợp 1: Xét 2x 3y 1 0 2x 1 3y 2 1 2 suy ra: 0 2x 1 0;3y 2 0 x ;y 5 7 2 3  Trường hợp 2: Xét 2x 3y 1 0 suy ra 6x 12 x 2 2.2 1 3y 2 3y 2 Thay vào đề bài ta có : 1 3y 2 7 y 3 5 7 7 Vậy x 2;y 3 Nhận xét. bài này dễ bỏ sót trường hợp 1 5.3. x y z a) Đặt k x 3k ;y 4k ;z 5k 3 4 5 Mà 5z 2 3x 2 2y 2 594 5.25k 2 3.9k 2 2.16k 2 594 66k 2 594 k 2 9 k 3 Trang 9
10. + Với k 3 suy ra x 9;y 12;z 15 + Với k 3 suy ra x 9;y 12;z 15 b) 3 x 1 2 y 2 6 x 1 4 y 2 suy ra 6 x 1 4 y 2 3 z 3 6 x 1 4 y 2 3 z 3 x 1 y 2 z 3 12 12 12 2 2 4 x 1 y 2 z 3 Đặt k x 2k 1;y 3k 2;z 4k 3 2 3 4 Mà 2x 3y z 50 2 2k 1 3 3k 2 4k 3 50 4k 2 9k 6 4k 3 50 9k 45 k 5 Vậy x 2.5 1 11;y 3.5 2 17;z 4.5 3 23 2x 1 3y 1 4z 1 x y z c) Ta có : . . . 3 12 4 12 5 12 18 16 15 Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có : x y z x y z 38 2 18 16 15 18 16 15 19 suy ra : x 36;y 32;z 30 5.4. x y z a) Từ 7x 10y 12z 60 42 35 Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau , ta có : x y z x y z 685 5 60 42 35 60 42 35 137 Từ đó suy ra : x 120;y 210;z 175 b) Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có : 5 z y z 9 y 5 z y z 9 y 2 1 2 5 1 2 5 5 z 2 z 3;9 y 10 y 1;X y 6 x 5 a) Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có : y z 1 z x 2 x y 3 x z 1 z x 2 x 2 x y x x y z Kết hợp với đề bài, suy ra : x y z 2 Suy ra : y z 1 2x x y z 1 3x 1 2 3x x 1 4 z x 2 2y x y z 2 3y 4 3y y 3 1 x y 3 2z x y z 3 3z 2 3 3z z 2 Trang 10
11. 5 11 13 b) Giải tương tự câu c, ta được : x ;y ;z 6 6 6 c) Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có: xy 1 zx 2 yz 3 xy 1 zx 2 yz 3 17 9 15 27 9 15 27 51 Suy ra : xy 1 3 xy 2 1 zx 2 5 zx 3 2 yz 3 9 yz 6 3 2 Từ (1) ,(2) và (3) nhân vế với vế : xyz 36 xyz 6 + Trường hợp xyz 6 Kết hợp với (1),(2) và (3) ta có : x 1;y 2;z 3 + Trường hợp xyz 6 Kết hợp với (1),(2) và (3) ta có: x 1;y 2;z 3 a c 5.5. Đặt k a bk ,c dk b d a) Xét a 2c b d bk 2dk b d k. b 2d . b d 1 Xét a c b 2d bk dk b 2d k b d b 2d 2 Từ (1) và (2), suy ra : a 2c b d a c b 2d a c b) Đặt k a bk ,c dk b d 2020 2020 a2020 b 2020 b 2020 .k 2020 b 2020 b k 1 b 2020 Xét 1 c 2020 d 2020 d 2020 .k 2020 d 2020 d 2020 k 2020 1 d 2020 2020 2020 2020 a b bk b b 2020 k 1 b 2020 Xét 2020 2020 2020 2020 2 c d dk d d 2020 k 1 d Từ (1) và (2) , suy ra điều phải chứng minh a c 5.6. Đặt k a bk ;c dk b d xa yb xbk yb b xk y xk y Xét 1 za tb zbk tb b zk t zk t xc yd xdk yd d xk y xk y Xét 2 zc td zdk td d zk t zk t xa yb xc yd Từ (1) và (2) , suy ra : , điều phải chứng minh za tb zc td Trang 11
12. 3x y 3 5.7. Từ suy ra : 4 3x y 3 x y 12x 4y 3x 3y x y 4 x 7 12x 3x 3y 4y 9x 7y y 9 5.8. Từ 2 x y 5 y z 3 z x suy ra : 2 x y 5 y z 3 z x x y x z z x 30 30 30 15 6 10 Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có : x y y z z x x y z x y z 1 15 6 10 15 10 5 x y y z z x z x y z x y 2 15 6 10 10 6 4 x y y z Từ (1) và (2) , suy ra : , điều phải chứng minh. 4 5 a b b c a b c 5.9. Từ b 2 ac ;c 2 bd . b c c d b c d a b c Đặt k a bk ;b ck ;c dk b c d 3 3 3 3 a3 b 3 c 3 b 3 k 3 c 3 k 3 d 3 k 3 k b c d a) Xét k 3 1 b 3 c 3 d 3 b 3 c 3 d 3 b 3 c 3 d 3 3 3 3 a b c bk ck dk k b c d Xét 3 2 k b c d b c d b c d 3 a3 b 3 c 3 a b c Từ (1) và (2), suy ra : 3 3 3 điều phải chứng minh. b c d b c d 3 3 3 3 a3 8b 3 27c 3 b 3 k 3 8c 3 k 3 27d 3 k 3 k b 8c 27d b) Xét k 3 3 b 3 8c 3 27d 3 b 3 8c 3 27d 3 b 3 8c 3 27d 3 a a b c Xét . . k .k .k k 3 4 d b c d Từ (3) và (4) suy ra điều phải chứng minh 5.10. Từ a y z b z x c x y suy ra a y z b z x c x y y z z x x y abc abc abc bc ac ab Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có : y z z x z x y z x y 1 bc ac ac bc c a b Trang 12
13. y z x y y z x y z x 2 bc ab bc ab b c a z x x y x y z x y z 3 ac ab ab ac a b c y z z x x y Từ (1), (2), (3) , suy ra , điều phải chứng minh a b c b c a c a b 5.11. Áp dụng tỉ số bằng nhau , ta có : a b c a b b c a c 2016 2018 2020 2 2 4 2 a c a b b c a b b c 16 2 2 4 2 a c Do đó a b b c 4 5.12. Áp dụng tính chất tỉ số bằng nhau , ta có : x y z x y z x y z (Vì a b c 1 ) a b c a b c 2 2 2 2 2 2 2 x y z x y z Suy ra : x y z x 2 y 2 z 2 a2 b 2 c 2 a2 b 2 c 2 ( vì a b c 1 ) 2 Vậy x y z x 2 y 2 z 2 x y z t 5.13. Từ y z t z t x t x y x y z x y z t 1 1 1 1 y z t z t x t x y x y z x y z t x y z t x y z t x y z t y z t z t x t x y x y z  Trường hợp 1: Xét x y z t 0 x y z t ;y z t x (z t) (t x) z t t x Suy ra A z t t x (z t) (t x) A 1 1 1 1 4  Trường hợp 2: Xét x y z t 0 Suy ra y z t z t x t x y x y z x y z t x x x x x x x x Suy ra A 1 1 1 1 4 x x x x x x x x Trang 13
14. Vậy biểu thức A luôn có giá trị là số nguyên 5.14. Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có : a a a a a a a a 1 2 2019 2020 1 2 2019 2020 a2 a3 a2020 a1 a2 a3 a2020 a1 Suy ra : a1 a2 a2019 a2020 2 2 2 a1 a1 a1 2020 a1 Do đó B 2 2 2 2 2020 a1 a1 a1 2020.a1 5.15. Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau , ta có : a b c a b c a49 .a51 1 a b c .Do đó P 1 b c a b c a a100 5.16. Từ đề bài suy ra : a b c b c a c a b a b c a b c a b c 2 2 2 c a b c a b Mà a,b,c 0 nên a b c 0 , suy ra a b c a a a Từ đó , ta có : B 1 1 1 8 a a a 5.17. Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau , ta có : a b c a b c a b c a b c 2b 1 a b c a b c a b c a b c 2b a b c a b c 2c 0 c 0 x y z x x y x y 5.18. Từ suy ra x y z x z x z x Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau , ta có : x y x y x y x y 2x x 1 z x z x z x z x 2z z x y x y x y x y 2y y 2 z x z x z x z x 2x x x y Từ (1) và (2) , suy ra : x 2 yz z x x y x y y z y z x y z 5.19. Từ ; suy ra 3 4 15 20 5 6 20 24 15 20 24 x y z Đặt k x 15k ;y 20k ;z 24k 15 20 24 30k 60k 96k 186k 93 Do đó A 45k 80k 120k 250k 125 Trang 14
15. ab bc ca 5.20. Với a,b,c 0 ta có : a b b c c a a b b c c a 1 1 1 1 1 1 ab bc ca b a c b a c 1 1 1 a b c P 1 a b c Trang 15