Chuyên đề ôn tập Toán 7 - Chuyên đề 4: Lũy thừa của một số hữu tỉ

Nội dung text: Chuyên đề ôn tập Toán 7 - Chuyên đề 4: Lũy thừa của một số hữu tỉ

1. Chuyên đề 4. LŨY THỪA CỦA MỘT SỐ HỮU TỈ A. Kiến thức cần nhớ 1. Lũy thừa với số mũ tự nhiên n x x.x ..x x Q;n N;n 1 n thõa sè Quy ước : x 1 x ,x 0 1 x 0 2. Các phép tính về lũy thừa x m .x n x m n x m : x n x m n x 0;m,n N n x m x m .n n x .y x n .y n n x x n n y 0 y y 3. Lũy thừa với số mũ nguyên âm 1 x n với x 0,n N x n B. Một số ví dụ 212.35 46.81 30.47.329 5.145.212 Ví dụ 1: Rút gọn biểu thức : A 6 ;B 14 7 5 5 22.3 84.35 54.6 .9 12.8 .7 Giải  Tìm cách giải. Để thực hiện phép tính chứa nhiều lũy thừa, ta dùng các công thức biến đổi về lũy thừa của các số nguyên tố. Sau đó có thể dùng tính chất phân phối của phép nhân đối và phép cộng.  Trình bày lời giải. 212.35 212.34 212.34 3 1 a) Ta có : A 212.36 212.35 212.35 3 1 212.34.2 1 A 212.35.4 6 b) Ta có : 15 30 17 5 2.3.5.214.329 5.25.75.212 215.330.5 217.5.75 5 2 .3 2 .7 5 B 2.33.214.314.314 22.3.215.75 215.331 217.3.75 3. 215.330 217.75 3 Ví dụ 2: Tìm x 2 3 a) x 2 64; b) x 5 125 c) 2x 2x 2 320; Giải Trang 1
2.  Tìm cách giải. Khi tìm x có chứa lũy thừa ở phần cơ số ta đưa hai vế về cùng số mũ và lưu ý: an b n (với n lẻ) thì a b an b n (với n chẵn) thì a b hoặc a b Để tìm x ở phần số mũ ta đưa hai vế về cùng cơ số và sử dụng : am an (với a 0, 1 ) thì m n  Trình bày lời giải 2 2 a) x 2 64 x 2 82 x 2 8 hoặc x 2 8 Suy ra x 6; 10 3 3 3 b) x 5 125 x 5 5 x 5 5 x 10 c) 2x 2x 2 320 2x 1 22 320 2x 64 2x 26 x 6 Ví dụ 3: a) Chứng minh rằng 165 215 chia hết cho 66 b) Chứng minh rằng với số nguyên dương n thì 3n 2 2n 4 3n 2n chia hết cho 30 Giải  Tìm cách giải. Để chứng minh A k ta có thể vận dụng tính chất : A b.k thì A k A B C mà B k thì C k thì A k  Trình bày lời giải a) Ta có : 165 25 220 215 215 25 1 215.33 214.6666 b) Ta có : 3n 2 3n 2n 4 2n 3n 32 1 2n. 24 1 3n.10 2n.15 3n 1.30 2n 1.3030 Ví dụ 4: Thu gọn các biểu thức sau: a) A 32020 32019 32018 32017 32 3 1; b) B 52020 52019 52018 52017 52 5 1 c) C 72021 72019 72017 72015 75 73 7 Giải  Tìm cách giải. Những bài toán tính tổng đại số về lũy thừa có cùng cơ số theo quy luật , chúng ta cần nhân hai vế với một lượng thích hợp để được biểu thức mới, mà bắt đầu từ hạng tử đối nhau thì cộng biểu thức ban đầu với biểu thức mới, bằng nhau thì trừ biểu thức mới với biểu thức ban đầu  Trình bày lời giải a) Xét 3.A 32021 32020 32019 32018 33 32 3 Trang 2
3. 32021 1 3.A A 32021 1 A 4 b) Xét 5.B 52021 52020 52019 52018 53 52 5 52021 1 5.B B 52021 1 B 4 c) Xét 49.A 72023 72021 72019 72017 77 75 73 72023 1 49.C C 72023 7 C 50 Ví dụ 5: Chứng minh rằng tổng: 1 1 1 1 1 1 1 S 0,2 22 24 26 24n 2 24n 22018 22020 Giải  Tìm cách giải. Bản chất của bài toán là thu gọn tổng S. Tương tự như ví dụ trên, dễ dàng phát hiện ra 1 nhân hai vế của tổng S với . Sau đó cộng với biểu thức S. Cuối cùng đánh giá 22  Trình bày lời giải 1 1 1 1 1 1 Xét .S 22 24 26 28 22016 22018 1 1 1 5 1 1 .S S .S S hay S 0,2 22 22 22020 4 4 5 Ví dụ 6: Đặt A 3101 3102 3103 3200 . Chứng minh rằng A chia hết cho 120 Giải Biểu thức A có 100 số hạng. Kể từ số hạng đầu, cứ nhóm 4 số hạng liên tiếp với nhau được 25 nhóm A 3101 3102 3103 3104 3105 3106 3107 3108 3197 3198 3199 3200 A 3100. 3 32 33 34 3104. 3 32 33 34 3196. 3 32 33 34 A 3100.120 3104.120 3196.120 A 120. 3100 3104 3196 120 . Điều phải chứng minh C. Bài tập vận dụng 4.1. Tính: 6 32.2 6.32 212.35 46.92 a) A 2 2 4 ; b) 6 3 3.3 3 22.3 84.35 510.73 255.492 4.2. Thực hiện phép tính: A 3 125.7 59.143 4.3. Cho T 22020 22019 22018 2 1 .Tính 2021T 4.4. Tìm x, biết : Trang 3
4. a) 3x 2 3x 810 b) 2x 2.3x 1.5x 10800 7x 2 7x 1 7x 52x 52x 1 52x 3 4.5. Tìm số tự nhiên x, biết : 57 131 4.6. Tìm x , biết : 1 2 3 4 5 30 31 a) . . . . . 4x ; 4 6 8 10 12 62 64 45 45 45 45 65 65 65 65 65 65 b) . 8x 35 35 35 25 25 4.7. Chứng minh rằng : 1 1 1 1 1 1 1 72 74 74n 2 74n 798 7100 50 1 1 1 1 1 1 4.8. Chứng minh rằng : B 3 32 33 32020 32021 2 1 1 1 1 1 1 4.9. Chứng minh rằng : 6 52 62 72 1002 4 3 5 7 19 4.10. Chứng minh rằng : 1 12.22 22.32 32.42 92.102 2 3 4 2019 2020 4.11. Xét tổng T . Hãy so sánh T với 3 2 22 23 22018 22019 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 4.12. Cho S 1 và P .Tính 2 3 4 2011 2012 2013 1007 1008 2012 2013 2013 S P (Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán, lớp 7, tỉnh Bắc Giang, năm học 2012 - 2013) 4.13. Tìm tất cả các số tự nhiên a, b sao cho : 2a 37 b 45 b 45 4.14. Chứng tỏ rằng: a) 6363 3737 chia hết cho 10 b) 2100 2101 2102 chia hết cho 7 c) 7100 799 798 chia hết cho 41 4.15. Thu gọn biểu thức sau : 1 1 1 1 1 a) A 2 22 23 24 22020 1 1 1 1 1 1 b) B 5 52 53 54 52019 52020 1 2 3 4 2020 c) C 3 32 33 34 32020 Trang 4
5. 4.16. Đố. Bạn có thể điền các lũy thừa của 2 vào các ô vuông còn lại trong bảng bên sao cho tích các lũy thừa trong mỗi hàng, mỗi cột và mỗi đường chéo bằng nhau được không ? Trang 5
6. HƯỚNG DẪN GIẢI – ĐÁP SỐ 4.1 2 6. 1 3 3 6 2 a) A 32 1 3 32 32 3 212.35 212.34 212.34 3 1 34.2 1 b) B 212.36 212.35 212.35 3 1 35.4 6 510.73 510.74 510.73. 1 7 5. 6 10 4.2. A 59.73 59.23.73 59.73. 1 23 9 3 4.3. Xét R 22019 22018 2 1 2R 22020 22019 22 2 2R R 22020 1 R 22020 1 do đó : T 22020 R 1 2021T 2021 4.4. a) 3x 32 1 810 3x .10 810 3x 81 x 4 b) Ta có 2x 2.3x 1.5x 10800 2x .22.3x .3.5x 10800 2.3.5 x 900 30x 302 x 2 x 2 2x 3 7x 2 7x 1 7x 52x 52x 1 52x 3 7 7 7 1 5 1 5 5 4.5. 57 131 57 131 x x 2x x x 7 7 5 7 25 1 x 0 25 4.6. 1 2 3 4 5 30 31 a) Ta có . . . . . 4x 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.31 64 1 4x 4x .230.26 1 22x 36 20 230.64 2x 36 0 x 18 5 5 5 4.4 6.6 x 4.6 4.6 x b) 5 . 5 8 8 3.3 2.2 3.2 3.2 4.45 23x 212 23x 3x 12 x 4 4.7. Đặt vế trái của bất đẳng thức là A 1 1 1 1 1 Xét : 49.A 1 72 74n 4 74n 2 796 798 1 1 1 Suy ra : 4hay:9A A 1 50.A 1 1 A 7100 7100 50 Điều phải chứng minh. Trang 6
7. 1 1 1 1 1 4.8. Xét 3.B 1 3B B 1 3 32 32019 32020 32021 1 1 2.B 1 1 B 32021 2 1 1 1 1 4.9. Đặt A 52 62 72 1002 1 1 1 1 Ta có A 4.5 5.6 6.7 99.100 1 1 1 1 1 1 1 1 A 4 5 5 6 6 7 99 100 1 1 1 A 1 4 100 4 1 1 1 1 Ta có : A 5.6 6.7 99.100 100.101 1 1 1 1 1 1 1 1 A 5 6 6 7 7 8 100 101 1 1 1 1 19 57 50 1 A 2 5 101 5 100 100 300 300 6 Từ (1) và (2) suy ra điều phải chứng minh. 3 5 7 19 4.10. Ta có : 12.22 22.32 32.42 92.102 1 1 1 1 1 1 1 1 1 99 1 1 12 22 22 32 32 42 92 102 100 100 Điều phải chứng minh 3 4 2020 4.11. Xét : 2T 2 2 22 22018 2 3 4 2019 2020 mà T 2 22 23 22018 22019 1 1 1 1 2020 Suy ra : 2T T 2 2 22 23 22018 22019 1 1 1 1 2020 T 2 2 22 23 22018 22019 1 1 1 2020 2T 4 1 2 22 22017 22018 1 1 1 1 2020 2021 2020 T 2 2T T 3 3 2 22 23 22018 22019 22018 22019 T 3 4.12. Ta có : Trang 7
8. 1 1 1 1 P 1007 1008 2012 2013 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 1006 1007 1008 2012 2013 2 3 1006 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 3 1006 1007 1008 2012 2013 2 4 6 2012 1 1 1 1 1 1 S 2 3 4 2012 2013 2013 Do đó S P 0 4.13. Xét b 45 b 45 b 45 b 45 b 45 2b 90 là số chẵn Xét b 45 b 45 b 45 45 b b 45 0 là số chẵn 2a 37 là số chẵn 2a là số lẻ a 0 1 37 b 45 b 45 Theo nhận xét trên thì b 45 do đó 38 2b 90 b 64 Vậy a 0; b 64 . 4.14. 15 a) 6363 6360.633 634 .633 15 Ta có 634 tận cùng là 1 nên 634 tận cùng là 1 , mà 633 tận cùng là 7 15 Suy ra 634 .633 tận cùng là 7 6363 tận cùng là 7 9 Ta có: 3737 3736.37 374 .37 9 Ta có 374 tận cùng là 1 nên 374 tận cùng là 1 9 Suy ra 374 .37 tận cùng là 7 Do vậy 633 3737 tận cùng là 0. Vậy 633 3737 chia hết cho 10 b) 2100 1 2 22 2100.7 chia hết cho 7 c) 798 72 7 1 798.41 chia hết cho 41 4.15. 1 1 1 1 a) Xét 2.A 1 2 22 23 22019 1 1 suy ra 2A A 1 A 1 22020 22020 1 1 1 1 1 b) Xét 5B 1 5 52 53 52018 52019 Trang 8
9. 1 52020 1 suy ra 5B B 1 B 52020 6.52020 1 3 4 2020 c) Xét 3C 1 3 32 33 32019 1 1 1 1 2020 suy ra 3C C 1 3 32 33 32019 32020 1 1 1 1 2020 2C 1 3 32 33 32019 32020 1 1 1 1 2020 Xét 6C 3 1 3 32 33 32018 32019 2019 2020 2019 2020 Suy ra : 6C 2C 3 2019 2020 C 3 2019 2020 : 4 3 3 3 3 4.16. Bạn có thể điền như sau : Trang 9