Chuyên đề ôn tập Toán 7 - Chuyên đề 17: Đa thức – đa thức một biến - Cộng trừ đa thức một biến nghiệm của đa thức một biến

Nội dung text: Chuyên đề ôn tập Toán 7 - Chuyên đề 17: Đa thức – đa thức một biến - Cộng trừ đa thức một biến nghiệm của đa thức một biến

1. Chuyên đề 17 ĐA THỨC – ĐA THỨC MỘT BIẾN - CỘNG TRỪ ĐA THỨC MỘT BIẾN NGHIỆM CỦA ĐA THỨC MỘT BIẾN A. Kiến thức cần nhớ 1. Đa thức là một tổng của những đơn thức. Mỗi đơn thức trong tổng gọi là một hạng tử của đa thức đó. * Mỗi đơn thức được coi là một đa thức. * Bậc của đa thức là bậc của hạng tử có bậc cao nhất trong dạng thu gọn của đa thức đó. 2. Để cộng (hay trừ) các đa thức ta dựa vào quy tắc “dấu ngoặc” và tính chất của các phép tính. 3. Phép cộng các đa thức có tính chất giao hoán và kết hợp. 4. Đa thức một biến là tổng của những đơn thức của cùng một biến. * Đa thức một biến x được ký hiệu f x ; g x hoặc A x ; B x . * Mỗi số được coi là một đa thức một biến. * Giá trị của đa thức một biến f x tại x a được ký hiệu f a * Đa thức một biến (sau khi rút gọn) thường được sắp theo lũy thừa giảm dần hay tăng dần của biến. * Bậc của đa thức một biến (khác với đa thức không) là số mũ cao nhất của biến. 5. Đa thức một biến bậc n có dạng thu gọn: n n 1 n 2 2 1 f x an .x an 1.x an 2 .x a2 .x a1.x a0 (với an 0 ) Trong đó a1; a2 ; a3 ; ; an 1; an là các hệ số; a0 là số hạng độc lập hay hệ số tự do. * f x ax b a 0 là nhị thức bậc nhất. * f x ax2 bx c a 0 là tam thức bậc hai. 6. Để cộng hay trừ hai đa thức một biến, ta có hai cách: a) Dựa vào quy tắc “dấu ngoặc” và tính chất của các phép tính. b) Sắp xếp các hạng tử của hai đa thức cùng theo lũy thừa giảm (hoặc tăng) của biến, rồi đặt phép tính theo cột dọc tương tự như các số (chú ý đặt các đơn thức đồng dạng ở cùng một cột). 7. Nếu tại x a , đa thức P x có giá trị bằng 0 thì ta nói a (hoặc x a ) là một nghiệm của đa thức đó. * a là nghiệm của P x P a 0 . * Một đa thức (khác đa thức không) có thể có một nghiệm, hai nghiệm, hoặc không có nghiệm. * Số nghiệm số của một đa thức không vượt quá bậc của nó. B. Một số ví dụ Ví dụ 1: Thu gọn các đa thức sau và cho biết bậc của mỗi đa thúc: a) A 15x2 y3 3xy3 16x2 y3 16xy3 15x2 y3 18xy3 3,75x3 y4 Trang 1
2. 3 2 b) B xy 0,25x2 yz 13xy 6,75x2 yz 6xy 2,5x2 yz xy 5 5  Tìm cách giải: Để thu gọn đa thức ta xem trong đa thức có những đơn thức nào đồng dạng rồi thực hiện phép cộng các đơn thức đồng dạng. a) A 15x2 y3 15x2 y3 16x2 y3 3xy3 16xy3 18xy3 3,75x3 y4 ; 3 2 2 2 2 b) B xy xy 13xy 6xy 0,25x yz 6,75x yz 2,5x yz . 5 5 Giải a) A 16x2 y3 xy3 3,75x3 y4 Bậc của đa thức là 7. b) B 6xy 4x2 yz . Bậc của đa thức là 4. Ví dụ 2: Cho hai đa thức: C 9,5x2 5xy 3,2y2 và D 3,5x2 4xy 1,8y2 . a) Tính C D sau đó tìm giá trị của tổng tại x 1 và y 2 ; b) Tính C D ; c) Tìm đa thức E sao cho E C D ; d) Tìm đa thức M biết: M 2 x2 4y2 D 16x2 4xy 5y2 C .  Tìm cách giải: Thực hiện các phép toán cộng trừ hai đa thức ta làm tương tự như việc dựa vào quy tắc “dấu ngoặc” và tính chất của các phép tính trên số để cộng trừ các biểu thức số. Giải a) C D 9,5x2 5xy 3,2y2 3,5x2 4xy 1,8y2 9,5x2 5xy 3,2y2 3,5x2 4xy 1,8y2 9,5x2 3,5x2 5xy 4xy 3,2y2 1,8y2 6x2 xy 1,4y2 . Tại x 1; y 2 thì C D 6.12 1. 2 1,4. 2 2 13,6 . b) C D 9,5x2 5xy 3,2y2 3,5x2 4xy 1,8y2 9,5x2 5xy 3,2y2 3,5x2 4xy 1,8y2 9,5x2 3,5x2 5xy 4xy 3.2y2 1,8y2 13x2 9xy 5y2 . c) E C D E D C C D 13x2 9xy 5y2 . d) M 2 x2 4y2 D 16x2 4xy 5y2 C Trang 2
3. M 16x2 4xy 4y2 2 x2 4y2 C D 16x2 4xy 5y2 2x2 8y2 13x2 9xy 5y2 16x2 13x2 2x2 4xy 9xy 5y2 8y2 5y2 27x2 13xy 18y2 Ví dụ 3: Cho đa thức A x bx b 2 x5 a 12 x6 0,5ax3 5x2 bx3 4cx4 10 11x5 6x6 ax c x 1 a) Viết đa thức dưới dạng thu gọn với các hệ số bằng số, biết rằng A x có bậc là 5; hệ số cao nhất là 19 và hệ số tự do là -15; b) Tính 3A 1 2A 1 .  Tìm lời giải: a) Bậc của đa thức một biến (khác với đa thức không) là số mũ cao nhất của biến. A x có bậc là 5 nên hệ số của x6 trong đa thức rút gọn phải là 0. Hệ số cao nhất chính là hệ số của x5 và hệ số tự do chính là c 10 của đa thức rút gọn. Từ đó tìm ra a, b, c. b) A m là giá trị của A x khi thay x m . Giải a) A x 6x6 a 12 x6 11x5 b 2 x5 4cx4 0,5ax3 bx3 5x2 a c x bx c 10 a 18 x6 b 9 x5 4cx4 0,5a b x3 5x2 a c b x c 10 a 18 0 a 18 Ta có b 9 19 b 10 c 10 15 c 5 A x 19x5 20x4 x3 5x2 33x 15 b) A 1 19 20 1 5 33 15 11 A 1 19 1 5 20 1 4 1 3 5 1 2 33 1 15 19 20 1 5 33 15 91 Nên 3A 1 2A 1 3.11 2. 91 33 182 215 . Ví dụ 4: Cho f x 2x 10 x3 1 20x6 5 x7 x5 1,5x4 10 6x và g x 2 x3 x5 5x7 7x2 11x3 2,5x4 9 4,2x2 1,5x4 13x8 . a) Thu gọn và sắp xếp theo lũy thừa giảm dần của các đa thức; b) Tính g x f x theo cách bỏ dấu ngoặc; Trang 3
4. c) Tính g x f x theo cách đặt các đơn thức đồng dạng ở cùng một cột. Giải a) f x 2x 10x3 10 20x6 5x7 5x5 1,5x4 10 6x 5x7 20x6 5x5 1,5x4 10x3 8x 10. và g x 2x3 2x5 5x7 7x2 11x3 2,5x4 9 4,2x2 1,5x4 13x8 13x8 5x7 2x5 4x4 9x3 2,8x2 9 . b) g x f x 13x8 5x7 2x5 4x4 9x3 2,8x2 9 5x7 20x6 5x5 1,5x4 10x3 8x 10 13x8 5x7 5x7 20x6 2x5 5x5 4x4 1,5x4 9x3 10x3 2,8x2 8x 9 10 13x8 10x7 20x6 3x5 5,5x4 x3 2,8x2 8x 19 c) g x 13x8 5x7 2x5 4x4 9x3 2,8x2 9 f x 5x7 20x6 5x5 1,5x4 10x3 8x 10 g x f x 13x8 20x6 7x5 2,5x4 19x3 2,8x2 8x 1 Ví dụ 5: a) Tìm đa thức A x ax b biết rằng A 1 15 và A 2 9 . b) Tìm các hệ số a, b, c của đa thức B x ax3 bx2 cx d biết rằng B 0 2; B 1 2; B 1 8 và a 2c  Tìm cách giải: a) A 1 15 có nghĩa là -15 là giá trị của A x tại x 1 . Thay x 1 vào đa thức sẽ tìm được a b 15 . Tương tự thay x 2 vào đa thức ta sẽ tìm được 2a b 9 . Từ hai đẳng thức trên ta tìm được a và b. b) B 0 2 ta thấy ngay d 2 . Tìm a, b và c tương tự như câu a) lưu ý là a 2c . Giải a) Ta có A 1 a 1 b a b 15 b a 15 A 2 a.2 b 9 hay 2a b 5 Thay b a 15 vào ta có 2a a 15 9 3a 6 a 2; b 2 15 13. Vậy A x 2x 13 . Trang 4
5. b) B 0 a.02 b.0 c.0 d 2 nên d 2 và do a 2c nên B 1 a.13 b.12 c.1 2 8 a b c 6 3c b 6 (1) B 1 a 1 3 b 1 2 c 1 2 2 a b c 0 3c b 0 (2) Từ (1) và (2) 2b 6 b 3 Thay b 3 vào (1) ta có: 3c 3 6 c 1 . Do a 2c nên a 2 . Vậy đa thức là B x 2x3 3x2 x 2 . Ví dụ 6: Cho đa thức C x 2015x2 mx n (m và n là các hằng số) C 2 C 1 Biết C 1 2018 và C 2 8069 . Tính . 671  Tìm cách giải: Từ C 1 2018 và C 2 8069 ta tìm được các hệ số m và n của đa thức. Từ đó tính C 1 ; C 2 và giá trị biểu thức cần tìm. Giải Ta có C 1 2015 1 2 m 1 n 2018 n 3 m và C 2 2015.22 m.2 n 8069 2m n 9 thay n 3 m vào ta có 2m 3 m 9 3m 6 m 2; n 5 . Vậy C x 2015x2 2x 5 . C 1 2015.12 2.1 5 2022 . C 2 2015. 2 2 2. 2 5 8061. C 2 C 1 8061 2022 9 . 671 671 Ví dụ 7: Hai đa thức đồng nhất (ký hiệu  ) là hai đa thức có giá trị bằng nhau với mọi giá trị của biến. hãy xác định a, b, c để hai đa thức sau là hai đa thức đồng nhất: f x ax2 10 x x2 76x 36x2 2x 2019 g x 15x2 3 b x 8x 9x2 c 2018 .  Tìm lời giải: Để hai đa thức đồng nhất (tức là hai đa thức có giá trị bằng nhau với mọi giá trị của biến) thì các hệ số tương ứng với mỗi lũy thừa cùng bậc của biến phải bằng nhau. Do đó trước hết rút gọn từng đa thức và tìm a, b, c để hệ số tương ứng của mỗi lũy thừa cùng bậc của biến của hai đa thức bằng nhau. Trang 5
6. Giải Ta có: f x ax2 10 x x2 76x 36x2 2x 2019 ax2 10x2 36x2 66x 2x 2019 a 26 x2 68x 2019 g x 15x2 3 b x 8x 9x2 c 2018 6x2 11 b x c 2018 a 26 6 a 32 Để f x  g x ta phải có 11 b 68 b 79 . 2019 c 2018 c 1 Ví dụ 8: Dạng tổng quát của đa thức một biến là: n n 1 n 2 3 2 f x an x an 1x an 2 x a3x a2 x a1x a0 . (an ; an 1; ; a2; a1; a0 là các hằng số) a) Chứng minh rằng tổng các hệ số của đa thức f x chính là giá trị của đa thức đó tại x 1 ; b) Chứng minh rằng giá trị của đa thức f x tại x 1 bằng tổng các hệ số của các lũy thừa bậc chẵn của biến trừ đi tổng các hệ số của các lũy thừa bậc lẻ của biến.  Tìm lời giải: a) Tìm giá trị của đa thức đó tại x 1 ; nhận xét kết quả rồi rút ra kết luận. b) Tìm giá trị của đa thức đó tại x 1 ; lưu ý lũy thừa bậc chẵn của (-1) là số (+1) và lũy thừa bậc lẻ của (-1) là (-1). Xét hai trường hợp: n chẵn và n lẻ; nhận xét kết quả rồi rút ra kết luận. Giải n n 1 n 2 3 2 a) Ta có : f 1 an.1 an 1.1 an 2.1 a3.1 a2.1 a1.1 a0 an an 1 an 2 a3 a2 a1 a0 . Vậy tổng các hệ số của đa thức f x chính là giá trị của đa thức đó tại x 1 . b) Với n chẵn ta có: n n 1 n 2 3 2 f 1 an. 1 an 1. 1 an 2. 1 a3. 1 a2. 1 a1. 1 a0 an an 1 an 2 a3 a2 a1 a0 a0 a2 a4 an 2 an a1 a3 an 3 an 1 Với n lẻ ta có: n n 1 n 2 3 2 f 1 an. 1 an 1. 1 an 2. 1 a3. 1 a2. 1 a1. 1 a0 an an 1 an 2 a3 a2 a1 a0 Trang 6
7. a0 a2 a4 an 3 an 1 a1 a3 an 2 an Vậy giá trị của đa thức f x tại x 1 bằng tổng các hệ số của các lũy thừa bậc chẵn của biến trừ đi tổng các hệ số của các lũy thừa bậc lẻ của biến. C. Bài tập áp dụng 1 1 17.1. Cho hai đa thức: E 2,5x2 y5 6xy y5 và F 7,5x2 2xy 1,5y5 . 6 3 a) Tính E F sau đó tìm giá trị của tổng tại x 2; y 1 ; b) Tính E F sau đó tìm giá trị của hiệu tại x y 1; y 2 1 , 17.2*. a) Thu gọn đa thức sau: D x2 2x2 y 2x2 4x2 y 3x2 6x2 y 10x2 20x2 y b) Cho g x 1 2x 2017 với mọi x Tính tổng g x g x 1 g x 2 g x 99 . 17.3. Tìm các đa thức M và N biết: a) M 15x2 22y2 16x2 25xy 32y2 ; b) 47,5x2 y 6,8xy2 1,2xy N 1,2xy 22,5x2 y 1,8xy2 . 17.4. Cho các đa thức: T 2x2 y2 2xy 2x 5y 3 ; U 2x2 2y2 4xy 2x 4y 3 Tìm đa thức R; S và V sao cho: a) S U T ; b) T V U ; c) R T U 5x2 4xy y2 . 17.5. Cho đa thức P x 12,5 3,5x5 28x3 15x6 8x3 16x 5x4 4,5x5 4x2 19x8 a) Thu gọn và sắp xếp đa thức sau theo lũy thừa giảm dần của biến. b) Tìm hệ số cao nhất, hệ số tự do, hệ số của x5 , hệ số của x7 trong P x với P x 12,5 3,5x5 28x3 15x6 8x3 16x 5x4 4,5x5 4x2 19x8 . Trang 7
8. 17.6. Cho các đa thức: 2 Q x 15,4x3 2,4x7 1,2x4 6x8 2,8x4 7,2x2 6x 5 b 1 x5 3 1 G x x2 3,7x4 ax8 2,3x4 7,5x6 5,6x7 2x 3 a 4b 2 x5 . 3 a) Với a, b là hằng số, thu gọn rồi sắp xếp Q(x), G(x) theo lũy thừa giảm dần của biến số. Tính Q(x) + G(x) rồi sắp xếp tổng theo lũy thừa tăng dần của biến số. b) Tìm a và b biết hệ số cao nhất và hệ số tự do đều là 2018. 17.7*. Tính giá trị các đa thức sau tại x 1 : a) f x x 2x2 3x3 2018x2018 2019x2019 b) g x 2x 4x2 6x3 8x4 200x100 202x101 17.8. Cho A x 2x6 12x5 2,5x3 3x4 7,5x3 2x2 6x 5x2 5 B x 3x6 3x 2,8x2 6x3 2x5 0,8x2 15 . a) Tính 2A x 3B x ; b) Tính A x B x ; c) Tính B x A x ; d) Nhận xét về các hệ số của A x B x với B x A x . 17.9. Cho C x 5x4 4,8x3 2,5x2 16x 25 . Tìm đa thức D x ; E x ; F x sao cho: a) C x D x 2x5 4,8x3 4x 20 ; b) C x E x 4x3 5,5x2 6x ; c) F x C x 12x5 4,5x3 6,5x2 4,5x 18 . 2 2018 2019 17.10. Cho f x a0 a1x a2 x a2018 x a2019 x ; 2 2018 2019 g x b0 2b1x 3b2 x 2019b2018 x 2020b2019 x với a0 , a1, , a2018 , a2019 , b0 , b1, , b2018 , b2019 là các hằng số a) Tính 2 f 1 g 1 ; Trang 8
9. b) f 1 g 1 ; c) Tính f n g n với n là hằng số. 17.11. Tìm nghiệm của các đa thức sau: a) x 1 x 2 x 3 x 99 x 100 ; b) 3x2 8x . 17.12. Chứng minh các đa thức f x 2x2 5,2 và g x x 3 2 8 không có nghiệm. 17.13. Tìm nghiệm các đa thức sau: a) h x x 2,5 x 2,5 ; b) k x 2x 1 x 7 x 5 2x 9 4x 30 c) p x x 2 5 x2 9 d) q x x2 8 . 17.14. Chứng minh: a) Nếu x 1 là một nghiệm của đa thức 10 9 2 A x a10 x a9 x a2 x a1x a0 thì a10 a9 a2 a1 a0 0 ; 10 9 3 2 b) Nếu đa thức B y b10 y b9 y b3 y b2 y b1 y b0 có b10 b8 b6 b4 b2 b0 b9 b7 b5 b3 b1 thì y 1 là một nghiệm của đa thức. 17.15. Tìm giá trị của m biết đa thức: f y 14y4 5my3 6my2 8m y 1 có một nghiệm là y 2 . 17.16*. Cho đa thức f x ax4 bx3 cx2 dx 4a a 0 . a) Tìm quan hệ giữa các hệ số a và c; b và d của đa thức đểf x cóf haix nghiệm là vàx 2 x . 2 Thử lại với a 3; b 4 ; b) Với a 1; b 1 . Hãy cho biết x 1 và x 1 có phải là nghiệm của đa thức vừa tìm? 17.17. Hãy xác định a, b, c, d để hai đa thức sau là hai đa thức đồng nhất: Trang 9
10. f x 16x3 2bx2 8x 5bx 10 x2 2x 24 ; g x a 6 x3 15x2 2 3b x 3cx x2 6. c d . 17.18. Cho số abc . Ta gọi số có ba chữ số mà vị trí các chữ số a; b; c đổi chỗ cho nhau (chẳng hạn bac ) là một hoán vị của nó. Tìm số abc có ba chữ số đều khác nhau và khác 0 có a b c . Biết tổng của số ấy với tất cả các hoán vị của nó là 1998. 17.19. Tìm tổng tất cả các nghiệm của đa thức: 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 F x x 2 x 2 x 2 x 1 x 2 x 3 x 100 . 100 3 2 17.20. Tìm tổng các hệ số của đa thức sau khi bỏ dấu ngoặc biết: 2019 a) f x 3x4 4x3 9x2 6x 1 ; 1945 2018 b) g x 19x2 8x 10 . 30x3 4x2 1975x 2010 . c) h x 81 77x 73x2 69x3 65x4 9x18 5x19 x20 . 17.21*. Cho đa thức f x ax b với a,b R và a 0 . a) Chứng minh rằng nếu đa thức có nghiệm là x x0 thì f x a x x0 ; b) Cho đa thức f x ax2 bx c với a, b, c R và a 0 nếu có nghiệm -1 thì b a c . 17.22. Cho đa thức Q x ax2 bx c với a, b, c R . Biết Q 0 , Q 1 , Q 2 là các số nguyên; a) Chứng minh rằng c, a+b, 2a là các số nguyên; b) Chứng minh rằng với mọi x là số nguyên thì Q x luôn là một số nguyên. (Đề thi vào trường THPT chuyên tỉnh Hà Tây năm học 2006-2007) 17.23. Cho hai đa thức: P x 2x5 5x4 4x3 3x2 5x 1 Q x x5 5x4 4x3 3x2 5x 2007 . 2008 2010 1 Tính giá trị của P x Q x biết rằng x 1 2 . 2007 2008 2009 Trang 10
11. (Đề khảo sát chất lượng học sinh giỏi lớp 7 huyện Thường Tín Hà Nội, năm học 2008-2009) 17.24. Cho hai đa thức: f x 4x2 3x 1 và g x 3x2 2x 1 a) Tính h x f x g x ; b) Tìm nghiệm của đa thức h x ; c) Tính giá trị của đa thức h x 2 2 3 3 2010 2010 2 2011 3 3 3 3 với x 9 81 81 81 81 . 4 5 6 2013 17.25. Cho đa thức f x ax2 bx c a) Tính f 1 ; f 2 ; b) Cho biết 5a b 2c 0 . Chứng minh rằng f 1 f 2 0 ; c) Choa 1; b 2; c 3 . Chứng minh rằng khi đó đa thức f x không có nghiệm. 17.26. Cho đa thức P x thỏa mãn P x 3P 2 5x2 với mọi giá trị của x . Tính P(3). (Đề thi Olympic Toán Tuổi Thơ 2012) 17.27. Cho đa thức f x ax3 bx2 cx d với a là số nguyên dương, biết: f 5 f 4 2012 . Chứng minh f 7 f 2 là hợp số. (Đề thi tuyển sinh vào THPT chuyên Lê Hồng Phong, TP Hồ Chí Minh, năm học 2012-2013). 17.28. Tìm nghiệm của đa thức f x 3 x 1 2x . (Đề thi học sinh giỏi Toán lớp 7 huyện Yên Lạc, Vĩnh Phúc, năm học 2012-2013) Trang 11
12. HƯỚNG DẪN GIẢI – ĐÁP SỐ 17.1. a) E F 10x2 4xy 2y5 ; Nếu x 2 ta có x 2 . + Với x 2 và y 1 . Ta có: E F 10.22 4.2. 1 2 1 5 34 . + Với x 2 và y 1 . Ta có: E F 10. 2 2 4. 2 . 1 2. 1 5 50 . b) E F 5x2 8xy y5 ; y 3 Nếu y 2 1 ta có y 2 1 y 1 + Với y 3 thì x 2 . Ta có: E F 5.22 8.2.3 35 271 . + Với y 1 thì x 0 . Ta có: E F 15 1 . 17.2*. a) Cách 1: D 1 2 3 10 x2 2 4 6 20 x2 y 55x2 110x2 y Cách 2: D x2 2x2 y 2 x2 2x2 y 3 x2 2x2 y 10 x2 2x2 y 1 2 3 10 x2 2x2 y 55 x2 2x2 y 55x2 110x2 y . b) Do g x 1 2x 2017 với mọi x nên: Đặt y x 1 thì y 1 x khi đó g y 2 y 1 2017 2y 2019 . Vậy g x 2x 2019 . Ta có: g x g x 1 g x 2 .g x 99 2x 2019 2 x 1 2019 2 x 2 2019 2 x 99 2019 2x.100 2 4 6 198 2019.100 200x 2 198 .99 : 2 201900 200x 9900 201900 Trang 12
13. 200x 211800 17.3. a) M 16x2 25xy 22y2 15x2 22y2 x2 25xy b) N 47,5x2 y 6,8xy2 1,2xy 1,2xy 22,5x2 y 1,8xy2 25x2 y 5xy2 17.4. a) S T U 4x2 3y2 6xy y . b) V U T y2 2xy 4x 9y 6 . c) R 5x2 4xy y2 U T 5x2 4xy y2 V 5x2 6xy 4x 9y 6 17.5. a) P x 19x8 15x6 x5 5x4 20x3 4x2 16x 12,5 ; b) Hệ số cao nhất là 19; hệ số tự do là 12,5; hệ số của x5 là 1; hệ số của x7 là 0 17.6. 5 a) Q x 6x8 2,4x7 x5 4x4 15,4x3 7,2x2 6x 5 b 3 7 G x ax8 5,6x7 7,5x6 x5 6x4 x2 2x 3 a 4b 3 Q x G x 2 a 5b 8x 8,2x2 15,4x3 2x4 4x5 7,5x6 8x7 a 6 x8 . b) Ta có: a 6 2018 a 2012 . 2 a 5b 2018 5b 2018 2012 2 b 805,6 . x 1 17.7. x 1 x 1 a) f 1 1 2 3 2018 2019 1 2019 .2019 2039190 . f 1 1 2 3 4 2017 2018 2019 1009 2019 1010 2 202 .101 b) g 1 2 4 6 200 202 10302 2 Trang 13
14. g 1 2 4 6 8 198 200 202 Có 50 cặp mỗi cặp có kết quả bằng 2 vậy g 1 100 202 102 . 17.8. A x 2x6 12x5 3x4 10x3 3x2 6x 5 B x 3x6 2x5 6x3 2x2 3x 15 a) 2A x 3B x 13x6 30x5 6x4 38x3 3x 55 . b) A x B x x6 10x5 3x4 4x3 5x2 9x 10 . c) B x A x x6 10x5 3x4 4x3 5x2 9x 10 d) Dấu các hệ số của các lũy thừa tương ứng của biến ngược dấu nhau. 17.9. a) D x 2x5 5x4 2,5x2 20x 5 . b) E x 5x4 8,8x3 8x2 22x 25 . c) F x 6,5x2 4,5x 18 12x5 4,5x3 5x4 4,8x3 2,5x2 16x 25 12x5 5x4 0,3x3 4x2 11,5x 43 . 17.10. a) 2 f 1 g 1 2a0 b0 2a1 2b1 2a2 3b2 2a2018 2019b2018 a2019 2020b2019 ; b) f 1 g 1 a0 b0 2b1 a1 a2 3b2 4b3 a3 a2018 2019b2018 2020b2019 a2019 c) 2 2018 2019 f n g n a0 b0 a1 2b1 n a2 3b2 n a2018 2019b2018 n a2019 2020b2019 n 17.11. a) x 50,5 8 b) x 0 và x . 3 17.12. Do x2 0 với mọi giá trị của x (ký hiệu: x ) nên 2x2 5,2 5,2 hay 2x2 5,2 0 x nên đa thức f x 2x2 5,2 không có nghiệm. Trang 14
15. Tương tự: x 3 2 8 0 x nên g x không có nghiệm 17.13. a) x 2,5 và x 2,5 là hai nghiệm của h x ; b) x 0,5; x 7; x 5; x 4,5 và x 7,5 là năm nghiệm của k x ; c) x 2 5 là nghiệm của p x . x 8 d) x2 8 0 x2 8 . x 8 17.14. a) x 1 là nghiệm của đa thức A x nên A 1 0 10 9 3 2 hay a10 .1 a9 .1 a3 .1 a2 .1 a1.1 a0 0 hay a10 a9 a2 a1 a0 0 b) Theo đầu bài: b10 b8 b6 b4 b2 b0 b9 b7 b5 b3 b1 Hay b10 b9 b8 b7 b6 b5 b4 b3 b2 b1 b0 0 10 9 8 7 6 5 Xét B 1 b10 . 1 b9 . 1 b8 . 1 b7 . 1 b6 . 1 b5 . 1 4 3 2 b4 . 1 b3 . 1 b2 . 1 b1. 1 b0 b10 b9 b8 b7 b6 b5 b4 b3 b2 b1 b0 0 Chứng tỏ (-1) là một nghiệm của B y . 17.15. y 2 là nghiệm thì f 2 0 Nghĩa là: 14. 2 4 5m 2 3 6m 2 2 8m 2 1 0 Hay 224 40m 24m 8m 0 224 56m 0 m 4 17.16*. a) f 2 16a 8b 4c 2d 4a 0 (1) và f 2 16a 8b 4c 2d 4a 0 (2) Cộng (1) và (2) 40a 8c 0 hay c 5a Trừ (1) và (2) 16b 4d 0 hay d 4b Trang 15
16. Ta có: f x ax4 bx3 5ax2 4bx 4a . Thử lại với a 3; b 4 thì c 15; d 16 . Ta có: f x 3x4 4x3 15x2 16x 12 f 2 48 32 60 32 12 0 chứng tỏ x 2 là nghiệm của đa thức. f 2 48 32 60 32 12 0 chứng tỏ x 2 là nghiệm của đa thức. b) a 1; b 1 ta có: f x x4 x3 5x2 4x 4 0 . f 1 3 nên x 1 không phải là nghiệm của f x . f 1 3 nên x 1 không phải là nghiệm của f x . 17.17. f x 16x3 2b 10 x2 28 5b x 24 g x a 6 x3 14x2 2 3b 3c x 6. c d a 6 16 a 22 2b 10 14 b 2 Để f x  g x ta phải có 28 5b 2 3b 3c c 10 6. c d 24 d 6 17.18. a, b, c N; 0 a, b, c 9 Ta có: abc acb bac bca cab cba 222 a b c 1998 a b c 9 a 1; b 2; c 6. abc 126 a 1; b 3; c 5. abc 135 a 2; b 3; c 4. abc 234 . 1 1 1  17.19. Nghiệm: x ; ; ; ; 1; 2; 3; ; 100 100 3 2  Tổng tất cả các nghiệm là 0 17.20. Tổng các hệ số của đa thức bằng giá trị của đa thức đó tại x 1 . 2019 a) f 1 3.14 4.13 9.12 6.1 1 1 2019 1 . Trang 16
17. 1945 2018 b) g 1 19.12 8.1 10 . 30.13 4.12 1975.1 2010 11945. 1 2018 1. 81 1 .21 c) h 1 81 77 73 69 65 9 5 1 861 . 2 17.21. a) Đa thức có nghiệm là x x0 nghĩa là f x0 ax0 b 0 b b hay x0 . Mà f x ax b a x a x x0 (đpcm). a a b) f x ax2 bx c với a, b, c R và a 0 có nghiệm -1 có nghĩa là: f 1 a 1 2 b 1 c 0 hay a b c 0 Suy ra b a c (đpcm) 17.22. a) Ta có Q 0 Z nên c Z; Q 1 a b c Z a b Z . Q 2 4a 2b c Z mà 2 a b c Z 4a 2b c 2 a b c Z hay 2a c Z 2a Z a Z và b Z . b) Với x Z thì x2 x Z , mà a Z nên a x2 x Z; a b Z nên a b x Z . Do đó Q x a x2 x a b x c ax2 bx c Z, x Z 17.23. P x Q x 3x5 2006 2008 2010 1 2008 2009 1 1 2008 2009 2007 1 2007 2008 2009 2007 2008 2009 2007 2008 2009 Nên x 1 2 x 1 và P x Q x 3x5 2006 2009 . 17.24. a) h x x2 5x . b) h x x x 5 0 x 0 hoặc x 5 . 6 6 3 2 2011 c) Do 81 0 nên x 9 0 9 x2 9 0 x2 9 x 3 Trang 17
18. Từ đó h 3 24; h 3 6 . 17.25. a) f 1 a b c; f 2 4a 2b c . b) f 1 f 2 5a b 2c 0 f 1 f 2 2 f 1 f 2 f 1 0 c) Với a 1; b 2; c 3 f x x2 2x 3 x2 x x 1 2 x x 1 x 1 2 x 1 x 1 2 x 1 2 2 0 x f x không có nghiệm. 17.26. Từ P x 3P 2 5x2 P 2 3P 2 20 4P 2 20 P 2 5 . Như vậy P x 5x2 15 P 3 5.9 15 30 . 17.27. f 5 f 4 125a 25b 5c d 64a 16b 4c d 2012 61a 9b c 2012 . f 7 f 2 343a 49b 7c d 8a 4b 2c d 335a 45b 5c 305a 45b 5c 30a 5 61a 9b c 30a 5.2012 30a 10 1006 3a . Vì a nguyên dương nên 10 1006 3a 10 Vậy f 7 f 2 là hợp số. 17.28. Nếu x 0 thì f x 0 đa thức vô nghiệm. + Với 0 x 1 thì f x 2 x 2x 2 x 0 x 2 (loại) + Với x 1 thì f x 4 x 2x 4 * Với 1 x 4; f x 4 3x 0 x (thỏa mãn) 3 * Với x 4; f x x 4 0 x 4 (loại) Trang 18
19. 4 Vậy nghiệm của f x là x . 3 Trang 19