Chuyên đề ôn tập Toán 7 - Chuyên đề 12: Đại lượng tỉ lệ nghịch

Nội dung text: Chuyên đề ôn tập Toán 7 - Chuyên đề 12: Đại lượng tỉ lệ nghịch

1. Chương II. HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ Chuyên đề 12. ĐẠI LƯỢNG TỈ LỆ NGHỊCH A. Kiến thức cần nhớ a 1. Định nghĩa: Nếu đại lượng y liên hệ với đại lượng x theo công thức y hay xy a (với a là x hằng số khác 0) thì ta nói y tỉ lệ nghịch với x theo hệ số tỉ lệ a. 2. Tính chất: Nếu hai đại lượng tỉ lệ nghịch với nhau thì: * Tích của một giá trị bất kì của đại lượng này với giá trị tương ứng của đại lượng kia luôn là một hằng số: x1 y1 x2 y2 x3 y3 a. * Tỉ số giữa hai giá trị bất kì của đại lượng này bằng nghịch đảo của tỉ số hai giá trị tương ứng của x y x y đại lượng kia: 1 2 ; 1 3 , x2 y1 x3 y1 3. Chú ý: * Khi đại lượng y tỉ lệ nghịch với đại lượng x thì x cũng tỉ lệ nghịch với y và ta nói hai đại lượng đó tỷ lệ nghịch với nhau. * Nếu y tỉ lệ nghịch với x theo tỉ lệ a thì x cũng tỉ lệ nghịch với y theo tỉ lệ a. 1 * Nếu y tỉ lệ nghịch với x thì y tỉ lệ thuận với . x * Nếu z tỉ lệ nghịch với y theo tỉ lệ a 1và y tỉ lệ nghịch với x theo tỉ lệ a thì2 z tỉ lệ thuận với x a theo tỉ lệ 1 . a2 B. Một số ví dụ Ví dụ 1: Các giá trị tương ứng của x và y được cho trong hai bảng: Bả x 3 -4,5 5 0,75 22,5 -7,5 ng I y -15 10 -9 -60 -2,5 -8 2 Bả x 3 -0,5 -6 0,95 0,35 5 ng y 15 -2,5 -30 4,75 -7,5 1975 II a) Xác định xem hai đại lượng y và x trong bảng nào tỉ lệ thuận? tỉ lệ nghịch? Tìm các hệ số tỉ lệ (biết các giá trị tương ứng còn lại cùng có quan hệ tỉ lệ như các giá trị đã cho trong bảng). b) Điền tiếp các giá trị vào ô trống. Trang 1
2.  Tìm cách giải: - Ta tìm quan hệ tất cả các giá trị tương ứng đã cho của y và x. Nếu có y k xthì y và x tỉ lệ thuận. Nếu có x.y a thì y tỉ lệ nghịch với x. - Dựa vào các mối tương quan điền tiếp các số vào ô trống. Giải Tại bảng I: Ta có 3. 15 4,5.10 5. 9 0,75.60 45 . Nên y tỉ lệ nghịch với x. Hệ số tỉ lệ -45. Công thức x.y 45 . Bả x 3 -4,5 5 0,75 18 22,5 -7,5 5,625 ng I y -15 10 -9 -60 -2,5 -2 6 -8 15 2,5 30 4,75 Tại bảng II: 5. 3 0,5 6 0,95 Nên y tỉ lệ thuận với x. Hệ số tỉ lệ 5. Công thức y 5x. 2 Bả x 3 -0,5 -6 0,95 -1,5 0,35 395 5 ng y 15 -2,5 -30 4,75 -7,5 1,75 -2 1975 II Ví dụ 2: Cho hai đại lượng tỉ lệ nghịch x và y; x1 và x2 là hai giá trị của x và y1 và y2 là hai giá trị tương ứng của y. Biết y1 3,5 ; y2 2,5 và 8x2 5x1 31. Tính x1 , x2 và hệ số tỉ lệ a của hai đại lượng tỉ lệ nghịch này.  Tìm cách giải: Ta sử dụng tính chất của đại lượng tỉ lệ nghịch: Tỉ số giữa hai giá trị bất kì của x y đại lượng này bằng nghịch đảo của tỉ số hai giá trị tương ứng của đại lượng kia 1 2 , để xuất x2 y1 x1 y2 y1 y2 hiện 8x2 5x1 ta biến đổi và áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau. Từ đó x2 y1 x2 x1 tìm x1 và x2 và hệ số tỉ lệ a. Giải Theo tính chất của đại lượng tỉ lệ nghịch, và áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có: Trang 2
3. x y y y 8y 5y 8y 5y 8.3,5 5.2,5 15,5 1 2 1 2 1 2 1 2 0,5. x2 y1 x2 x1 8x2 5x1 8x2 5x1 31 31 Do dó x1 y2 : 0,5 2,5 : 0,5 5 Và x2 y1 : 0,5 3,5 : 0,5 7. Hệ số tỉ lệ của hai đại lượng là: a x1.y1 5.3,5 17,5.  Chú ý: Ta có thể dùng định nghĩa của đại lượng tỉ lệ nghịch để giải: Từ xy a a a 8a 5a 8 5 8y1 5y2 Ta có x1 ; x2 8x2 5x1 a a y1 y2 y2 y1 y2 y1 y1.y2 28 12,5 Thay y1 3,5; y2 2,5 và 8x2 5x1 31 vào ta có: 31 a 3,5.2,5 15,5 31.8,75 Hay 31 a. a 17,5 8,75 15,5 17,5 17,5 x 5; x 7. 1 3,5 2 2,5 Ví dụ 3: Năm máy cày cùng loại, mỗi máy làm 8 giờ một ngày thì trong 12 ngày cày xong một cánh đồng. a) Nếu có 10 máy cày cùng loại trên, mỗi máy làm 8 giờ một ngày thì trong mấy ngày cày xong cánh đồng trên. b) Cần bao nhiêu máy cày, mỗi máy làm 6 giờ mỗi ngày để 5 ngày cày xong cánh đồng ấy ?  Tìm cách giải: a) Cùng một công việc và số giờ làm việc mỗi ngày của mỗi máy, số máy cày và số ngày là hai đại lượng tỉ lệ nghịch; hoặc cùng một công việc tổng số giờ làm 1 ngày và số ngày hoàn thành công việc là hai đại lượng tỉ lệ nghịch. b) Cùng một khối lượng công việc (cày xong cánh đồng) số máy cày và số giờ làm là hai đại lượng tỉ lệ nghịch. Ta cần tìm số giờ làm của số máy cày trong mỗi trường hợp. Giải a) Gọi số ngày cần tìm là z ngày z 0 . Cùng một công việc và số giờ làm việc một ngày của mỗi máy, số máy cày và số ngày là hai đại lượng tỉ lệ nghịch. 5 z Ta có: z 5.12 :10 6 (ngày). 10 12 * Có thể lý luận cách khác : Một ngày 5 máy cày với tổng số giờ là 5.8 = 40 (giờ) Một ngày 10 máy cày với tổng số giờ là 10.8 = 80 (giờ) Trang 3
4. Cùng một công việc tổng số giờ làm 1 ngày và số ngày hoàn thành công việc là hai đại lượng tỉ lệ nghịch. 40 z Do đó z 40.12 : 80 6 (ngày). 80 12 b) Gọi số máy cày cần tìm là t (cái). Số giờ năm máy cày xong cánh đồng là 8.12 = 96 (giờ). Số giờ x máy cày xong cánh đồng là 6.5 = 30 (giờ). Trên cùng một cánh đồng số máy cày và số giờ làm là hai đại lượng tỉ lệ nghịch. Do đó ta có : 96 x x 96.5 : 30 16. 30 5 Vậy số máy cày cần tìm là 16 cái. Ví dụ 4: Ba cạnh a,b,ccủa ABC có 4a 6b 5c 220cm . Ba đường cao tương ứng là ha ;hb ;hc tỉ lệ thuận với 3;4;5 . Tính chu vi của tam giác.  Tìm cách giải: Cùng diện tích 1 tam giác thì độ dài cạnh và đường cao tương ứng tỉ lệ nghịch với nhau. Áp dụng tính chất tỉ lệ nghịch và tính chất dãy tỉ số bằng nhau để tìm độ dài các cạnh của tam giác. Giải Gọi diện tích của ABC là S. Ta biết rằng 2S aha bhb chc nên trong một tam giác cạnh và đường cao tương ứng tỉ lệ nghịch với nhau. 1 1 1 Biết h : h : h 3 : 4 : 5 nên a : b : c : : 20 :15 :12. a b c 3 4 5 a b c 4a 6b 5c 4a 6b 5c 220 Tức là 2. 20 15 12 80 90 60 80 90 60 110 Vậy chu vi tam giác là 20.2 15.2 12.2 94 cm . Ví dụ 5: Một ô tô dự định chạy từ A đến B trong một thời gian nhất định. Nếu xe chạy với vận tốc 40km/h thì đến B muộn hơn so với dự định là 30 phút. Nếu xe chạy với vận tốc 60km/h thì đến B sớm hơn so với dự định là 45 phút. Tính thời gian dự định đi và quãng đường AB.  Tìm cách giải: Cùng một quãng đường thì vận tốc và thời gian đi tương ứng tỉ lệ nghịch với nhau. Áp dụng tính chất tỉ lệ nghịch và tính chất dãy tỉ số bằng nhau để tìm độ dài quãng đường và thời gian dự định. Giải Ta có 45 phút = 0,75 giờ; 30 phút = 0,5 giờ. Gọi thời gian dự định là t (giờ); t 0 ; Thời gian xe chạy quãng đường AB với vận tốc 40km/h là t1 t 0,5 (giờ). Thời gian xe chạy quãng đường AB với vận tốc 60km/h là t2 t 0,75 . Trang 4
5. Cùng một quãng đường thì vận tốc và thời gian đi tương ứng tỉ lệ nghịch với nhau. Do đó theo tính chất của tương quan tỉ lệ nghịch, ta có: 40 t t t t t t 0,5 t 0,75 1,25 1 2 1 2 1 2 . 60 t1 60 40 60 40 20 20 16 t 1 1 t 3,75 (giờ). 60 16 1 Thời gian dự định là: 3,75 – 0,5 = 3,25 (giờ) = 3 giờ 15 phút. Quãng đường AB dài là: 3,75.40 = 150(km). Ví dụ 6: Bốn người mua cùng một số mét vuông vải để may quần áo lần luợt theo bốn loại khổ rộng 1,5m; 1,2m; 1,0m; 0,8m. Tổng số vải bốn người đã mua là 22,5m. Tính số mét vải và diện tích vải mỗi người đã mua.  Tìm cách giải: Cùng một diện tích, số mét vải tỉ lệ nghịch với khổ rộng của nó. Từ định nghĩa và sử dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có cách giải: Giải Cùng một diện tích, số m vải tỉ lệ nghịch với khổ rộng của nó. Gọi số mét vải mỗi người mua lần lượt là x, y, z,t x, y, z,t 0 ta có: 1,5x 1,2 z 0,8t hay 15x 12y 10z 8t 15x 12y 10z 8t x y z t x y z t 22,5 0,5 120 120 120 120 8 10 12 5 8 10 12 15 45 Vậy: x 8.0,5 4 m ; y 10.0,5 5 m ; z 12.0,5 6 m ;t 15.0,5 7,5 m . Diện tích vải mỗi người mua là: 4.1,5 6m2 . Ví dụ 7*: Tại một bến xe có 610 xe ô tô chở khách gồm 4 loại: Xe chở 50 khách; xe chở 45 khách; 2 3 xe chở 30 khách và xe chở 25 khách. Biết rằng số xe chở khách 50 khách bằng xe chở 45 3 4 4 5 khách, bằng số xe chở 30 khách và bằng xe chở 25 khách. Hỏi bến xe có bao nhiêu xe mỗi 5 6 loại 2 3 4 5  Tìm cách giải: Đây là bài toán chia số 610 thành bốn phần tỉ lệ nghịch với ; ; ; tức là tỉ lệ 3 4 5 6 3 4 5 6 thuận với ; ; ; . 2 3 4 5 Giải Gọi số xe các loại chở 50 khách; chở 45 khách; chở 30 khách và chở 25 khách lần lượt là x; y; z;t x; y; z;t N ta có: Trang 5
6. 2x 3y 4z 5t x y z t 610 và 3 4 5 6 3 4 5 6 x : y : z : t : : : 90 : 80 : 75 : 60 . 2 3 4 5 x y z t x y z t 610 Hay 2 . 90 80 75 60 90 80 75 60 305 Suy ra x 180; y 160; z 150;t 120. Ví dụ 8*: Một bộ máy truyền chuyển động có ba bánh xe răng được khớp vào nhau: bánh xe thứ nhất khớp với bánh xe thứ hai; bánh xe thứ hai khớp với bánh xe thứ ba. a) Nếu bánh xe thứ nhất có 90 răng và quay 36 vòng/phút thì bánh xe thứ hai có 72 răng sẽ quay được bao nhiêu vòng/phút? b) Muốn bánh xe thứ ba quay 180 vòng/phút thì bánh xe thứ ba cần thiết kế có bao nhiêu răng?  Tìm cách giải: Do hai bánh xe khớp vào nhau trong quá trình chuyển động nên số răng và số vòng quay của bánh xe là hai đại lượng tỉ lệ nghịch. Giải Ta có hai bánh xe khớp vào nhau trong quá trình chuyển động nên số răng và số vòng quay của bánh xe là hai đại lượng tỉ lệ nghịch. Vì thế: 90 x a) Gọi số vòng quay của bánh xe thứ hai là x x 0 thì 72 36 Suy ra x 90.36 : 72 45 (vòng). 45 y b) Gọi số răng của bánh xe thứ ba là y y ¥ thì 180 72 Suy ra y 45.72 :180 18 (răng). Ví dụ 9*: Để làm xong một công việc 48 công nhân cần làm trong 30 ngày (năng suất lao động mỗi người như nhau). Nếu số công nhân tăng thêm 25% và năng suất lao động mỗi người đều tăng thêm 20% thì cần làm bao lâu để xong công việc đó?  Tìm cách giải: Thực chất bài toán trên được chia thành hai bài toán nhỏ: Bài toán 1: Trước hết giữ nguyên năng suất lao động cũ. Cùng một công việc, cùng năng suất lao động thì số công nhân tỉ lệ nghịch với số ngày làm. Ta tìm được số ngày làm của số công nhân mới theo năng suất cũ. Bài toán 2: Giữ nguyên số công nhân mới. Cùng một công việc, cùng số công nhân thì số ngày làm tỉ lệ nghịch với năng suất lao động. Ta tìm được số ngày cần tìm. Giải Số công nhân sau khi tăng có 48 + 48.25% = 48 + 12 = 60 (người) Giữ nguyên năng suất lao động cũ. Cùng một công việc, cùng năng suất lao động thì số công nhân tỉ lệ nghịch với số ngày làm. Gọi số ngày làm của số 60 công nhân theo năng suất cũ là x ta có: Trang 6
7. 60 30 x 48.30 : 60 24 (ngày). 48 x Năng suất lao động mới là: 100% + 20% = 120%. Cùng một công việc, cùng số công nhân thì số ngày làm tỉ lệ nghịch với năng suất lao động. Gọi 100% y số ngày 60 công nhân làm theo năng suất mới là y thì ta có y 100.24 :120 20 120% 24 (ngày). C. Bài tập vận dụng 12.1. Cho biết hai đại lượng x và y tỷ lệ nghịch với nhau. Tìm công thức liên hệ giữa y và x. Điền số thích hợp vào ô trống trong bảng sau; x -40 -8 -0,5 16 6,4 y 4 -160 20 -3,2 12.2. Cho hai đại lượng tỉ lệ nghịch z và t; z1 và z2 là hai giá trị của z, t1 và t2 là hai giá trị tương ứng của t. Biết z2 8; 2z1 3t2 10 và t1 4 . Tính .z1 ,t2 12.3. Tìm hai số dương biết tổng, hiệu, tích của chúng tỉ lệ nghịch với 50; 125 và 25. 12.4. Một số dương M được chia làm bốn phần đều là các số dương tỷ lệ nghịch với 2;3;4;5 . Biết hiệu giữa tổng các bình phương của phần thứ nhất và phần thứ hai với tổng các bình phương của phần thứ ba và thứ tư là 3724. Tìm số M. 12.5. a) Tìm ba số a,b,c tỷ lệ nghịch với 2;3;5 . Biết a3 2b3 3c3 5816 ; 1 1 1 b) Cho ba số a,b,c tỷ lệ nghịch với ; ; . 2017 2018 2019 2020 a b b c Tính giá trị biểu thức A . c a 2 12.6. Một tam giác ABC có chu vi 105cm. Các đường cao trong tam giác ABC ứng với cạnh là BC a là ha 28cm ứng với cạnh AB c a c 5 là h 32cm . Biết với AC b . c b 2 Tính độ dài mỗi cạnh của tam giác nói trên. 12.7. Một ô tô và một xe máy cùng khởi hành một lúc từ A đến B. Vận tốc của ô tô là 60km/h. Vận tốc của xe máy là 45km/h. Ô tô đến B trước xe máy là 30 phút. Tính quãng đường AB. Trang 7
8. 12.8. Một ô tô chạy trên đoạn đường AB gồm bốn chặng đường dài bằng nhau với tốc độ lần lượt là 50km/h; 40km/h; 60km/h và 30km/h. Biết tổng thời gian đi cả bốn chặng là 19 giờ. Tính quãng đường AB. 12.9. Hai ô tô cùng khởi hành từ A đến B. Biết tỷ số vận tốc ô tô thứ hai và ô tô thứ nhất là 3: 5. Ô tô thứ nhất đến B sớm hơn 1 giờ 30 phút so với ô tô thứ hai. Tính thời gian mỗi xe đi từ A đến B. 12.10*. Trên đoạn đường AB lúc 7 giờ sáng một xe tải đi từ A với vận tốc 45km/h đến B lúc 11 giờ. Cùng lúc 7 giờ một ô tô khởi hành từ A đi đến B và một xe máy khởi hành từ B đi đến A. Ô tô và xe máy gặp nhau tại C trên AB. Tính độ dài đoạn AC. Biết rằng thời gian xe ô tô đi hết quãng đường AB và thời gian xe máy đi hết đoạn đường BA tỉ lệ thuận với 3 và 5. 12.11. Một động tử (vật chuyển động) chạy trên 3 cạnh của một tam giác đều (có ba cạnh bằng nhau) với vận tốc lần lượt là 6m/s; 5m/s; 4m/s. Tính chu vi tam giác biết tổng số thời gian động tử chuyển động trên ba cạnh là 111 giây. 12.12. Để làm xong một công việc 42 công nhân dự định làm trong 14 ngày (năng suất lao động 1 mỗi người như nhau). Khi tiến hành công việc số công nhân được điều đi làm việc khác. Số 3 công nhân còn lại năng suất lao động mỗi người đều tăng thêm 50%. Hỏi đội công nhân có hoàn thành đúng thời gian dự định? 12.13. Ba đội công nhân đào ba con mương như nhau với năng suất lao động mỗi người như nhau. Đội I hoàn thành trong 5 ngày; đội II hoàn thành trong 6 ngày; đội III hoàn thành trong 8 ngày. Số người của đội I nhiều hơn số người của đội III là 18 người. Hỏi mỗi đội có bao nhiêu người? 12.14. Ba đội máy cày, cày ba cánh đồng cùng diện tích. Đội thứ nhất cày xong trong 3 ngày, đội thứ hai trong 5 ngày, đội thứ ba trong 6 ngày; Hỏi mỗi đội có bao nhiêu máy, biết rằng đội thứ hai có nhiều hơn đội thứ ba 1 máy. (Năng suất các máy như nhau). 12.15. Ba công nhân tiện được tất cả 860 dụng cụ trong cùng một thời gian. Để tiện một dụng cụ người thứ nhất cần 5 phút, người thứ hai cần 6 phút, người thứ ba cần 9 phút. Tính số dụng cụ mỗi người tiện được? (Đề khảo sát chất lượng học sinh giỏi lớp 7 huyện Thường Tín Hà Nội, năm học 2009 – 2010) 12.16. Ba đội máy san đất làm ba khối lượng công việc như nhau. Đội thứ nhất hoàn thành công việc trong 4 ngày, đội thứ hai trong 6 ngày. Hỏi đội thứ ba hoàn thành trong mấy ngày, biết rằng tổng số máy của đội một và đội hai gấp 10 lần số máy đội ba (giả thiết năng suất của các máy như nhau)? (Đề khảo sát chất lượng học sinh giỏi lớp 7 huyện Thường Tín Hà Nội, năm học 2011 – 2012) 12.17. Trang 8
9. a b c a) Tìm ba số a,b,c biết rằng và abc 20; 12 9 5 6 9 2 b) Tìm ba số có tổng 420, biết rằng số thứ nhất bằng số thứ hai bằng số thứ ba. 7 11 3 (Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán lớp 7, quận 9, TP Hồ Chí Minh, năm học 2014 - 2015) 12.18. Tìm x, y,z biết rằng x và y tỉ lệ nghịch với 3 và 2; y và z tỉ lệ nghịch với 4 và 5 và 3x2 y2 z2 1971. Đề thi chọn học sinh giỏi Toán lớp 7, quận 9, TP Hồ Chí Minh, năm học 2015 – 2016) HƯỚNG DẪN GIẢI – ĐÁP SỐ 80 12.1. Công thức x.y 80 hay y x x -40 20 -8 -0,5 4 16 -25 6,4 y -2 4 -10 -160 20 5 -3,2 12,5 z1 2z1 3t2 2z1 3t2 z1 10 10.8 12.2. z1 20 . z2 2z2 3t1 2z2 3t1 8 16 12 4 z1 t2 z1t1 20.4 Và từ t2 10. z2 t1 z2 8 12.3. Gọi hai số phải tìm là x; y x 0; y 0 . Tổng, hiệu, tích của chúng tỉ lệ nghịch với 50; 125 1 1 1 và 25 nghĩa là tỉ lệ thuận với ; ; . 50 125 25 1 1 1 x y x y xy x y : x y : xy : : 5 : 2 :10. Hay 50 125 25 5 2 10 x y x y x y x y 2x Từ 5 2 5 2 7 x y x y x y x y 2y Và 5 2 5 2 3 2xy 2x 2y 2xy 2xy Ta có . 20 7 3 7y 3x 20 20 Suy ra 7y 20 y và 3x 20 x . 7 3 12.4. Gọi bốn phần của M là x; y;z;t x; y;z;t 0 1 1 1 1 Ta có: x : y : z : t : : : 30 : 20 :15 :12 2 3 4 5 Trang 9
10. x y z t Hay k 30 20 15 12 2 2 2 2 2 2 2 2 x y z t x y z t 3724 2 k 2 4 2 900 400 225 144 900 400 225 144 931 Do các phần đều dương nên k 2 x 60; y 40; z 30;t 24 và M 154 . 12.5. 1 1 1 a) a : b : c : : 15 :10 : 6. 2 3 5 a b c Hay k 15 10 6 3 3 3 3 3 3 a 2b 3c a 2b 3c 5816 3 k 3 8 2 3375 2000 648 3375 2000 648 727 Vậy k 2 a 30;b 20;c 12. a b c b) Ta có k 2017 2018 2019 a 2017k;b 2018k;c 2019k. 2020 2017k 2018k 2018k 2019k 2020 k k Do đó A 505. 2019k 2017k 2 2k 2 a c 5 a c b 5 2 12.6. Do đó b 2 b 2 105 7 105 2 b 30 cm b 2 7 và a c 105 30 75cm . Cùng một diện tích, thì cạnh đáy tỉ lệ nghịch với chiều cao tương ứng a h a c a c 75 5 Do đó ta có: c . c ha 32 28 32 28 60 4 5 5 Vậy BC a 32. 40 cm ; AB c 28. 35 cm . 4 4 12.7. Ta có 30 phút = 0,5 giờ. Cùng một quãng đường AB thì vận tốc và thời gian đi tương ứng tỉ lệ nghịch với nhau. Gọi t1 là thời gian xe ô tô đi hết quãng đường AB, t2 là thời gian xe máy đi hết quãng đường AB, 60 t Theo tính chất của hai đại lượng tỉ lệ nghịch ta có: 2 45 t1 t t t t 0,5 1 t 1 2 1 2 1 . Ta có: 2 t 2 (giờ). 60 45 60 45 15 30 60 30 2 Trang 10
11. Quãng đường AB dài là: 2.45 = 90(km). 12.8. Với quãng đường như nhau thì vận tốc tỉ lệ nghịch với thời gian. Gọi thời gian đi trên bốn đoạn đường lần lượt là x; y; z;t (giờ) x; y; z;t 0 . 50x 40y 60z 30t Ta có: 50x 40y 60z 30t s 600 600 600 600 x y z t x y z t 19 1 . 12 15 10 20 57 57 3 1 x 12. 4 (giờ). Mỗi chặng dài 4.50 200 km . 3 Quãng đường AB dài 4.200 800 km . v2 3 12.9. Gọi v1 là vận tốc ô tô thứ nhất, v2 là vận tốc ô tô thứ hai v1;v2 0 ta có . Cùng v1 5 quãng đường thì vận tốc và thời gian là hai đại lượng tỉ lệ nghịch. Gọi t1 là thời gian ô tô thứ nhất đi hết quãng đường AB; t2 là thời gian ô tô thứ hai đi hết quãng đường AB t1;t2 0 ta có: t v 3 t t t t 1,5 3 1 2 2 1 2 1 t2 v1 5 5 3 5 3 2 4 3 Vậy: t 5. 3,75 (giờ) = 3 giờ 45 phút; 2 4 3 t 3. 2,25 (giờ) = 2 giờ 15 phút. 1 4 * 12.10 . Quãng đường AB dài: 45. 11 7 180km . Gọi s1 AC, s2 BC ; vàv1 km/h là vận tốc của xe ô tô; v2 km/h là vận tốc của xe máy s1;s2 ;v1;v2 0 . Cùng một quãng đường thì thời gian và vận tốc là hai đại lượng tỉ lệ nghịch. Do thời gian xe ô tô đi hết quãng đường AB và thời gian xe máy đi hết đoạn đường BA tỉ lệ thuận với 3 và 5 nên v 5 1 . Từ lúc khởi hành đến lúc gặp nhau hai xe đi trong cùng một thời gian nên quãng đường đi v2 3 được và vận tốc là hai đại lượng tỉ lệ thuận. s v 5 s 5 s s s s 140 Do đó 1 1 . Từ 1 1 2 1 2 22,5 s2 v2 3 s2 3 5 3 5 3 8 s1 5.22,5 112,5 km . 12.11. Ba cạnh tam giác bằng nhau. Cùng đoạn đường vận tốc và thời gian là hai đại lượng tỉ lệ nghịch. Gọi thời gian động tử trên 3 cạnh lần lượt là t1;t2 ;t3 (giây); t1;t2 ;t3 0 . 1 1 1 Ta có: t : t : t : : 10 :12 :15 1 2 3 6 5 4 Trang 11
12. t t t t t t 111 Hay 1 2 3 1 2 3 3 . 10 12 15 10 12 15 37 Ta có t1 30 giây và cạnh tam giác dài là 30.6 180 m . Chu vi tam giác là: 180.3 540 m . 12.12. Số người còn lại làm công việc là 42 42 : 3 28 (công nhân). Năng suất lao động mới là: 100% 50% 150% Giữ nguyên năng suất lao động cũ. Cùng một công việc, cùng năng suất lao động thì số công nhân tỉ lệ nghịch với số ngày làm. Gọi số ngày làm của số 28 công nhân theo năng suất cũ là x x 0 ta có: 28 14 x 42.14 : 28 21 (ngày) 42 x Cùng một công việc, cùng số công nhân thì số ngày làm tỉ lệ nghịch với năng suất lao động. Gọi số ngày 28 công nhân làm theo năng suất mới là y y 0 100% y Thì ta có: y 100.21:150 14 (ngày). 150% 21 Đáp số: Đúng dự định 14 ngày. 12.13. Cùng khối lượng công việc (ba con mương như nhau), năng suất lao động mỗi người như nhau thì số người làm và thời gian hoàn thành công việc là hai đại lượng tỉ lệ nghịch. Gọi x, y, z 1 1 1 là số công nhân của mỗi đội x, y, z ¥ . Ta có: x : y : z : : 24 : 20 :15 5 6 8 x y z x y 18 2. 24 20 15 24 15 9 Vậy x 48 (người); y 40 (người); z 30 (người). 12.14. Gọi số máy của ba đội theo thứ tự là x, y, z; x, y, z ¥ . Vì cùng diện tích cày, số máy 1 1 1 và số ngày cày xong cánh đồng là hai đại lượng tỉ lệ nghịch nên x : y : z : : 10 : 6 : 5 3 5 6 x y z y z 1 10 6 5 6 5 x 10 (máy); y 6 (máy); z 5 (máy). 12.15. Gọi số dụng cụ của ba công nhân tiện được theo thứ tự là x, y, z x, y, z N . Vì cùng thời gian số dụng cụ tiện được của mỗi người và thời gian tiện xong một dụng cụ là hai đại lượng tỉ lệ nghịch nên 1 1 1 x : y : z : : 18 :15 :10 5 6 9 Trang 12
13. x y z x y z 860 20 18 15 10 18 15 10 43 x 360 (dụng cụ); y 300 (dụng cụ); z 200 (dụng cụ). 12.16. Gọi số máy của ba đội theo thứ tự là x, y, z và t là số ngày đội thứ ba cần dùng để hoàn thành công việc x, y, z N ;t 0 . Vì cùng công việc số máy và số ngày là hai đại lượng tỉ lệ nghịch nên 1 1 1 x y z x y 10z x : y : z : : 24z 1 1 1 1 1 5 4 6 t 4 6 t 4 6 12 zt 24z t 24 (ngày). 12.17. a b c a.b.c 20 1 1 a) Đặt k k 3 k . 12 9 5 12.9.5 540 27 3 5 Từ đó tìm được a 4;b 3;c . 3 b) Gọi x, y, z là ba số cần tìm thì x y z 420. 6 9 2 x y z x y z Ta có x y z 108 7 11 3 7 11 3 7 11 3 6 9 2 6 9 2 x 126; y 132; z 162. x y y z x y z 12.18. Ta có: 3x 2y và 4y 5z và k 2 3 5 4 10 15 12 x 10k; y 15k; z 12k . Thay vào 3x2 y2 z2 1971 300k 2 225k 2 144k 2 1971 k 2 9 vậy k 3. + Với k 3 x 30; y 45; z 36. + Với k 3 x 30; y 45; z 36. Trang 13