Chuyên đề ôn tập Toán 7 - Chuyên đề 1: Tập hợp số hữu tỉ

Nội dung text: Chuyên đề ôn tập Toán 7 - Chuyên đề 1: Tập hợp số hữu tỉ

1. Chương I SỐ HỮU TỈ. SỐ THỰC Chuyờn đề 1. TẬP HỢP SỐ HỮU TỈ A. Kiến thức cần nhớ 1. Số hữu tỉ a Số hữu tỉ là số viết được dưới dạng phõn số với a,b ẻ Z,b ạ 0 . b Tập hợp cỏc số hữu tỉ được kớ hiệu là Q. 2. Biểu diễn cỏc số hữu tỉ trờn trục số. Mọi số hữu tỉ đều cú thể biểu diễn trờn trục số. Trờn trục số, điểm biểu diễn số hữu tỉ x được gọi là điểm x. 3. So sỏnh hai số hữu tỉ Để so sỏnh hai số hữu tỉ, ta viết chỳng dưới dạng phõn số rồi so sỏnh hai phõn số đú. Số hữu tỉ lớn hơn 0 gọi là số hữu tỉ dương; Số hữu tỉ nhỏ hơn 0 gọi là số hữu tỉ õm; Số hữu tỉ 0, khụng là số hữu tỉ dương cũng khụng là số hữu tỉ õm. a Số hữu tỉ là số hữu tỉ dương nếu a và b cựng dấu, là số hữu tỉ õm nếu a, b khỏc dấu, bằng 0 nếu b a = 0. B. Một số vớ dụ Vớ dụ 1: Điền cỏc kớ hiệu N, Z, Q vào ụ trống cho hợp nghĩa (điền tất cả cỏc khả năng cú thể): 9 - 21 - 9 ẻ ;;;2020 ẻ ẻ ẻ 205 10 Giải  Tỡm cỏch giải. Khi điền vào ụ trống, ta căn cứ vào định nghĩa tập hợp: . N = {0;1;2;3; } Z = { ;- 3;- 2;- 1;0;1;2;3; } ùỡ a ùỹ Q = ớù x / x = ;a,b ẻ Z,b ạ 0ýù ợù b ỵù  Trỡnh bày lời giải. - 9 ẻ Z;- 9 ẻ Q 2020 ẻ N;2020 ẻ Z;2020 ẻ Q 9 ẻ Q 205 21 - ẻ Q 10  Nhận xột. Chỳng ta lưu ý rằng N è Z è Q , nếu khụng ý thứ nhất và ý thứ hai của vớ dụ dễ bị sút. Trang 1
2. a- 10 Vớ dụ 2: Cho số hữu tỉ x = . Với giỏ trị nào của a thỡ: 2020 a) x là số dương; b) x là số õm; c) x khụng là số dương cũng khụng là số õm. Giải a  Tỡm cỏch giải. Khi xỏc định dấu của số hữu tỉ, ta lưu ý là số hữu tỉ dương nếu a và b cựng dấu, là b số hữu tỉ õm nếu a, b khỏc dấu. Chỳ ý rằng 2020 > 0 , ta cú lời giải sau:  Trỡnh bày lời giải. a- 10 a) x = > 0 Û a- 10 và 2020 cựng dấu. 2020 Mà 2nờn020 > 0 a suy- 10 ra> 0 . Vậya > với10 thỡa x> là1 0số hữu tỉ dương. a- 10 b) x = > 0 Û a- 10 và 2020 khỏc dấu. 2020 Mà 2020 > 0 nờn a- 10 y 20 100 20 20 Trang 2
3. Vớ dụ 4. Viết tập hợp cỏc số nguyờn n sao cho số hữu tỉ sau cú giỏ trị là số nguyờn. 7 n- 2 a) ; b) n- 5 5 Giải a  Tỡm cỏch giải. Số hữu tỉ (với a,b ẻ Z,b ạ 0 ) cú giỏ trị là số nguyờn khi và chỉ khi a chia hết cho b b hay b ẻ Ư(a). Từ đú chỳng ta cú lời giải sau.  Trỡnh bày lời giải. 7 a) ẻ Z Û n- 5ẻ Ư(7); mà Ư(7) = {1;7;- 1;- 7} suy ra bảng giỏ trị sau: n- 5 n- 5 1 7 -1 -7 n 6 12 4 -2 7 Vậy với n ẻ {6;12;4;- 2} thỡ cú giỏ trị là số nguyờn. n- 5 n- 2 b) ẻ Z Û n- 2M5 Û n- 2 = 5k (với k ẻ Z ) Û n = 5k + 2 . 5 n- 2 Vậy với n = 5k + 2 (k ẻ Z ) thỡ cú giỏ trị là số nguyờn. 5 n- 21 Vớ dụ 5. Tỡm cỏc số nguyờn n để số hữu tỉ cú giỏ trị là số nguyờn. n + 10 Giải  Tỡm cỏch giải. Đưa về vớ dụ 4, bằng cỏch tỏch ra một số hạng nguyờn.  Trỡnh bày lời giải. n- 21 ẻ Z Û n- 21Mn + 10 Û (n + 10)- 31Mn + 10 n + 10 Û 31Mn + 10 Û n + 10 ẻ Ư(31) mà Ư(31).= {1;31;- 1;- 31} Suy ra ta cú bảng giỏ trị sau: n + 10 1 31 -1 -31 n -9 21 -11 -41 n- 21 Với n ẻ {- 9;21;- 11;- 41} thỡ số hữu tỉ cú giỏ trị là một số nguyờn. n + 10 3n + 2 Vớ dụ 6. Chứng tỏ rằng số hữu tỉ x = là phõn số tối giản, với mọi n ẻ N . 4n + 3 Giải a  Tỡm cỏch giải. Để chứng minh là phõn số tối giản (a;b ẻ Z) chỳng ta chứng tỏ ƯCLN (a; b) = 1 b  Trỡnh bày lời giải. Trang 3
4. Đặt ƯCLN ((với3n + 2;4n + ) 3suy)= ra:d d ẻ N 3n + 2Md ị 12n + 8Md 4n + 3Md ị 12n + 9Md ị (12n + 9)- (12n + 8)Md ị 1Md ị d = 1 Suy ra: ƯCLN (3n + 2;4n + 3)= 1 3n + 2 Vậy xlà= phõn số tối giản, với mọi . n ẻ N 4n + 3 Vớ dụ 7. Tỡm cỏc số hữu tỉ. - 7 - 9 a) Cú mẫu là 15, lớn hơn và nhỏ hơn ; 10 20 2 6 b) Cú tử là 4, lớn hơn và nhỏ hơn . 5 7 Giải x a) Gọi số hữu tỉ cần tỡm là với x ẻ Z . 15 - 7 x - 9 - 42 4x - 27 Theo đề bài, ta cú: 3y > 14 Û 3y ẻ {15;18;21;24;27} Û y ẻ {5;6;7;8;9} 4 4 4 4 4 Vậy cỏc số hữu tỉ cần tỡm là ; ; ; ; . 5 6 7 8 9 C. Bài tập vận dụng 2 1.1. Trong cỏc phõn số sau, những phõn số nào biểu diễn số hữu tỉ ? - 5 - 4 8 - 10 6 9 ; ; ; ; . 10 - 12 25 - 15 - 15 1.2. Viết cỏc số hữu tỉ sau dưới dạng phõn số với mẫu số dương. 2 8 - 21 ; ; - 3 - 11 - 10 Trang 4
5. 6 7 2 1.3. Cho ba số hữu tỉ ; ; 5 - 4 - 3 a) Viết ba số hữu tỉ bằng mỗi số hữu tỉ trờn và cú mẫu là số dương. b) Viết ba số hữu tỉ bằng mỗi số hữu tỉ trờn và cú mẫu là số dương bằng nhau. m + 10 1.4. Cho số hữu tỉ x = . Với giỏ trị nào của m thỡ: 21 a) x là số dương. b) x là số õm. c) x khụng là số dương cũng khụng là số õm. 14m + 10 1.5. Cho số hữu tỉ x = . Với giỏ trị nào của m thỡ: - 2019 a) x là số dương. b) x là số õm. 1.6. Viết tập hợp cỏc số nguyờn n sao cho số hữu tỉ sau cú giỏ trị là một số nguyờn. 5 n + 6 a) ; b) n + 1 3 - 2019 1.7. Tỡm số nguyờn a để số hữu tỉ x = là một số nguyờn. a + 6 3x - 8 1.8. Tỡm cỏc số nguyờn x để số hữu tỉ t = cú giỏ trị là một số nguyờn. x - 5 2n + 9 1.9. Chứng tỏ số hữu tỉ x = là phõn số tối giản, với mọi n ẻ N . 7n + 31 1.10. a c a c a) Cho hai số hữu tỉ và (b > 0;d > 0) . Chứng minh rằng 0;d > 0) . Chứng minh rằng nếu 0; m > 0. a a + 1 a a + m a) So sỏnh và . b) So sỏnh và . b b + 1 b b + m 2 3 - 9 - 7 c) So sỏnh và ; và . 7 8 11 9 1.13. Cho cỏc số hữu tỉ a, b, c thỏa món 1< a < b + c < a + 1 và b < c . Chứng minh rằng b < a . 1.14. Tỡm cỏc số hữu tỉ: Trang 5
6. - 5 - 3 a) Cú mẫu số là 20, lớn hơn và nhỏ hơn ; 14 14 5 5 b) Cú tử là 2, lớn hơn - và nhỏ hơn - 8 12 HƯỚNG DẪN GIẢI – ĐÁP SỐ 2 - 4 - 10 6 1.1. Những phõn số biểu diễn số hữu tỉ là ; ; . - 5 10 25 - 15 2 - 2 8 - 8 - 21 21 1.2. = ; = ; = - 3 3 - 11 11 - 10 10 1.3. a) Ba số hữu tỉ bằng mỗi số hữu tỉ trờn và cú mẫu là số dương. 6 12 18 24 7 - 7 - 14 - 21 2 - 2 - 4 - 6 = = = ; = = = ; = = = 5 10 15 20 - 4 4 8 12 - 3 3 6 9 b) Ba số hữu tỉ bằng mỗi số hữu tỉ trờn và cú mẫu là cỏc số dương bằng nhau. 6 72 7 - 105 2 - 40 = ; = ; = 5 60 - 4 60 - 3 60 1.4. m + 10 a) x > 0 Û > 0 Û m + 10 > 0 Û m > - 10 21 Vậy với m > - 10 thỡ số hữu tỉ x là số dương. m + 10 b) x 0 Û > 0 Û 14m + 10 0 Û 14m > - 10 Û m > - - 2019 7 5 Vậy với m > - thỡ số hữu tỉ x là số õm. 7 1.6. Trang 6
7. 5 a) Ta cú ẻ Z Û n + 1ẻ Ư(5) mà Ư(5)= {1;5;- 1;- 5} n + 1 Suy ra bảng giỏ trị sau: n + 1 1 5 -1 -5 n 0 4 -2 -6 5 Vậy với n ẻ {0;4;- 2;- 6} thỡ ẻ Z n + 1 n + 6 b) Ta cú: ẻ Z Û n + 6M3 Û nM3 Û n = 3k(k ẻ Z) 3 n + 6 Vậy với n = 3k(k ẻ Z) thỡ ẻ Z 3 - 2019 1.7. ẻ Z Û a + 6 ẻ Ư(-2019) a + 6 Mà Ư(-2019)= {1;3;673;2019;- 1;- 3;- 673;- 2019} Suy ra bảng giỏ trị sau: a + 6 1 3 673 2019 -1 -3 -673 -2019 a -5 -3 667 2013 -7 -9 -679 -2025 - 2019 Vậy với a ẻ {- 5;- 3;667;2013;- 7;- 9;- 679;- 2025} thỡ là một số nguyờn. a + 6 3x - 8 1.8. ẻ Z Û 3x - 8Mx - 5 Û 3(x - 5)+ 7Mx - 5 x - 5 Û 7Mx - 5 Û x - 5ẻ Ư(7) mà Ư(7) = {1;7;- 1;- 7} Suy ra bảng giỏ trị sau: x - 5 1 7 -1 -7 x 6 12 4 -2 3x - 8 Vậy với x ẻ {6;12;4;- 2} thỡ t = ẻ Z x - 5 1.9. Đặt ƯCLN(2n + 9;7n + 31)= d(d ẻ N) ị 2n + 9Md ị 14n + 63Md ị 7n + 31Md ị 14n + 62Md ị (14n + 63)- (14n + 62)Md ị 1Md ị d = 1 2n + 9 Suy ra: ƯCLN (2n + 9;7n + 31)= 1. Vậy x = là phõn số tối giản với mọi n ẻ N . 7n + 31 1.10. Trang 7
8. a ad c bc a) Quy đồng mẫu hai phõn số, ta cú: = ; = . Vỡ b > 0,d > 0 nờn bd > 0 , do đú: b bd d bd a c ad bc Nếu vỡ 12.25> 13.22 13 25 8 - 8 - 6 - 8 - 6 8 Ta cú: = . Vỡ (- 6).15 b ị ab + a > ab + b a a + 1 Û a(b + 1)> b(a + 1)Û > b b + 1 Trường hợp 2. Xột a b thỡ > b b + 1 Trang 8
9. a a + 1 Nếu a b ị ab + am > ab + bm a a + m Û a(b + m)> b(a + m)Û > b b + m Trường hợp 2. Xột a < b ị ab + am < ab + bm a a + m Û a(b + m)< b(a + m)Û < b b + m 2 2 + 1 3 c) Áp dụng cõu a), ta cú 2 < 7 nờn < = 7 7+ 1 8 7 7+ 2 7 9 - 7 - 9 Áp dụng cõu b),7 < 9 ị < hay < suy ra < 9 9+ 2 9 11 9 11 1.13. Ta cú b < c và b + c < a + 1ị 2b < a + 1 Vỡ 1< a nờn a + 1< 2a ị 2b < 2a ị b < a . 1.14. x a) Gọi số hữu tỉ cần tỡm là với x ẻ Z . 20 - 5 x - 3 - 50 7x - 30 Theo đầu bài, ta cú: < < Û < < 14 20 14 140 140 140 Û - 50 < 7x < - 30 Û x ẻ {- 7;- 6;- 5} - 7 - 6 - 5 Vậy cỏc số hữu tỉ cần tỡm là: ; ; 20 20 20 2 b) Gọi số hữu tỉ cần tỡm là: với y ẻ Z, y ạ 0 . y - 5 2 - 5 - 5 - 2 - 5 Theo đầu bài, ta cú: < < Û < < 8 y 12 8 - y 12 - 10 - 10 - 10 Û < < Û 16 < - 5y < 24 Û y = - 4 16 - 5y 24 2 Vậy số hữu tỉ cần tỡm là: - 4 Trang 9