Chuyên đề Mũ – Logarit (Dùng cho ôn luyện TNPT và Đại học – Cao đẳng)

259 trang mainguyen 8630

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Chuyên đề Mũ – Logarit (Dùng cho ôn luyện TNPT và Đại học – Cao đẳng)", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

chuyen_de_mu_logarit_dung_cho_on_luyen_tnpt_va_dai_hoc_cao_d.pdf

Nội dung text: Chuyên đề Mũ – Logarit (Dùng cho ôn luyện TNPT và Đại học – Cao đẳng)

Chuyên đề . PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit www.MATHVN.com Ths. Lê Văn Đoàn 2 ⇔3x = 3 y 2 ⇔3x = 3 y ⇔x = y 2 ()1⇔ y2 − 3y += 2 0 ⇔y = 1 ∨ y = 2 ⇔y =−∨ 1y1y = ∨ =−∨ 2y2 = . ● Với y=− 1 ⇒ x1 = . ● Với y= 1 ⇒ x = 1 . ● Với y=− 2 ⇒ x4 = . ● Với y= 2 ⇒ x = 4 . ● Vậy hệ đã cho có bốn nghiệm: ()()()()()x;y={} 1;1 , 1; − 1 , 4; − 2 , 4;2 . xya1+ + = 1  () Giải và biện luận theo tham số thực a hệ phương trình:  2 2.4a x+ yxy − = 2 2  () Đại học Mỏ – Địa Chất Hà Nội năm 2000 Bài giải tham khảo ● Từ ()1⇒ y = 1ax − − . 2 ()22.4⇔a x+−−− 1a x x1a() −− x = 2 2 2 ⇔2.4a 1−−a x + xa + x = 2 2 21()−−a x + xa + x 2 ⇔2 = 2 1− a ⇔21() −−+ a xxax +2 =− 1a 2 2 ⇔2x2a1xa12 +()()() − +−= 0 3 2 2 2 ● Lập ∆='a1()()() − − 2a1 − =−− a1 ≤ 0 . ● Với a≠ 1: ∆ ' x ● Điều kiện:  . y> 0  x2+ y 2 = 25  ∗ ⇔  ()  1 −log4() y −− x log 4 = 1  y www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 182 -
Chuyên đề . PT – BPT – HPT – HBPT M ũ và Logarit www.MATHVN.com Ths. Lê V ăn Đoàn x2+ y 2 = 25  ⇔   y− x log4 = − 1  y  2 2 x+ y = 25  ⇔ y− x 1  =  y 4  4x y =  3 ⇔  2  2 16x x+ = 25  9  x3x= ∨ =− 3 ( L ) ⇔  . y= 4  ● Vậy h ệ ph ươ ng trình có nghi ệm duy nh ất: (x; y) = ( 3;4 ).  2 2 yxxy+ = + ( 1 ) Thí d 7. Gi ải h ệ ph ươ ng trình:  2x= 3 y+ 1 2  ( ) Bài gi ải tham kh ảo (1) ⇔( yx2 − 2 ) −−( yx0) = ⇔−(yxyx)( +−−=) ( yx) 0 ⇔(y − xy)( +−= x1) 0 y= x ⇔  . y= 1 − x  y= x yx= yx =    x ● Với y= x thì ()2 ⇔x x1+ ⇔  x x ⇔  2  ⇔==x y log2 3 . 2= 3  2 = 3.3    = 3      3 3  y1x=− y1x =− x= log 9    6 ● V ới y= 1 − x thì 2 ⇔ ⇔  ⇔  . () 23x= 2x−  69 x =  y= 1 − log9     6       ● V ậy nghi ệm c ủa h ệ là ()x;y= log 3;log 3, () log 9;1 − log 9  .  22 6 6  3 3    −x y 3 .2= 1152 Thí d 8. Gi ải h ệ ph ươ ng trình:  ()∗ log x+ y = 2  5 ( ) Cao đẳ ng S ư Ph ạm Tp. H ồ Chí Minh kh ối B, D n ăm 2006 Bài gi ải tham kh ảo ● Điều ki ện: x+ y > 0 .  −x y 3 .2= 1152 ()∗ ⇔  log x+ y = 1  5 ( )  −x y 3 .2= 1152 ⇔  x+ y = 5  www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 183 -
Chuyên đề . PT – BPT – HPT – HBPT M ũ và Logarit www.MATHVN.com Ths. Lê V ăn Đoàn  y= 5 − x ⇔  3−x .2 5 − x = 1152   y= 5 − x ⇔  2.65− x = 1152   y= 5 − x ⇔  6−x = 36   x= − 2 ⇔  . y= 3  ● So v ới điều ki ện, nghi ệm c ủa h ệ là S=( x;y) ={( − 2;3 )} . logx2+ y 2 = 5  2 ( ) Thí d 9. Gi ải h ệ ph ươ ng trình:  ()∗ 2log x+ log y = 4  4 2 Cao đẳ ng S ư Ph ạm Tp. H ồ Chí Minh n ăm 2004 Bài gi ải tham kh ảo  2 2  x+ y > 0 x> 0 ● Điều ki ện:  ⇔  . x> 0, y > 0  y> 0     2 2 x+ y = 32 ∗ ⇔  () log x+ log y = 4  2 2  2 2 x+ y = 32 ⇔  log xy= 4  2 ( )  2  x+ y − 2xy = 32 ⇔ ( ) xy= 16   2  x+ y = 64 ⇔ ( ) xy= 16    xy8+=  xy +=− 8 ⇔ ∨  xy= 16  xy = 16   x= y = 4 ⇔  . x= y = − 4  ● K ết h ợp v ới điều ki ện, nghi ệm c ủa h ệ là (x;y) = {( 4;4 )}.  2 2 log2( x+ y) = 1 + log 2 ( xy ) Thí d 10. Gi ải h ệ ph ươ ng trình:  ∗, x;y ∈ » .  2 2 ()() 3x− xy + y = 81  Đạ i h ọc kh ối A n ăm 2009 Bài gi ải tham kh ảo ● Điều ki ện: x.y> 0 . www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 184 -
Chuyên đề . PT – BPT – HPT – HBPT M ũ và Logarit www.MATHVN.com Ths. Lê V ăn Đoàn  2 2 log2( x+ y) = log 2 ( 2xy ) ∗ ⇔  ()  2 2 3xxyy− + = 3 4   2 2 x+ y = 2xy ⇔  x2− xy + y 2 = 4   2 (x − y) = 0 ⇔  2  x− y + xy = 4 ( )  x− y = 0 ⇔  xy= 4    x2=  x = − 2 ⇔ ∨  . y2=  y = − 2   ● So v ới điều ki ện, nghi ệm c ủa h ệ là (x;y) ={( − 2; − 2) ,( 2;2 )}.  2 x+ 2y = 4x − 1 Thí d 11. Gi ải h ệ ph ươ ng trình:  ()∗ 2log x−− 1 log y += 1 0  3 ( ) 3 ( ) Đại h ọc kh ối B n ăm 2013 Bài gi ải tham kh ảo   x10− >  x1 > ● Điều ki ện: ⇔  . y10+>  y >− 1    2 x+ 2y = 4x − 1 ()∗ ⇔  log x− 1 = log y + 1  3( ) 3 ( )  2 x+ 2y = 4x − 1 ⇔  x− 1 = y + 1   y= x − 2 ⇔  x2 − 2x − 3 = 0    x= − 1  x3 = ⇔ ∨  . y= − 3  y1 =   ● K ết h ợp v ới điều ki ện, c ặp nghi ệm h ệ là (x; y) = ( 3;1 ).  logx ( 6x+ 4y) = 2 Thí d 12. Gi ải h ệ ph ươ ng trình:  ()∗ log 6y+ 4x = 2  y ( ) Đạ i h ọc Đà N ẵng kh ối A, B đợ t 1 n ăm 2001 Bài gi ải tham kh ảo  x> 0, x ≠ 1 ● Điều ki ện:  . y> 0, y ≠ 1   2 6x4yx+ = ( 1 ) ()∗ ⇔  2 6y4xy+ = 2  ( ) www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 185 -
Chuyên đề . PT – BPT – HPT – HBPT M ũ và Logarit www.MATHVN.com Ths. Lê V ăn Đoàn (1)−( 2 ) ⇔ 2x( −=− y) ( x yx)( + y ) ⇔(x − yx)( +−= y2) 0 ⇔x = y ∨ y =− 2x   xy=  y2x = − ⇔ ∨  6x+= 4y x2  6x += 4y x 2     xy=  y2x = − ⇔ ∨  y0=∨= y10  x =−∨= 4 x2      xy0==  x2 =  x =− 4 ⇔ ∨  ∨  . xy10==  y0 =  y6 =    ● K ết h ợp v ới điều ki ện, nghi ệm c ủa h ệ là (x;y) = {( 10;10 )}.  log8 y log 8 x x+ y = 4 Thí d 13. Gi ải h ệ ph ươ ng trình:  ()∗ log x− log y = 1  4 4 Đạ i h ọc Tài Chính K ế Toán Hà N ội n ăm 2000 Bài gi ải tham kh ảo ● Điều ki ện: x> 0, y > 0 . log y log x x8+ y 8 = 4  ∗ ⇔  ()  x log4 = 1  y log y log x  8 8 x+ y = 4  ⇔ x  = 4 y  x= 4y ⇔   log8 y log 4y  4y+ y8 = 4 ( )  x= 4y ⇔  log 4y log 4y y8+ y 8 = 4   x= 4y ⇔  log 4y y8 = 2   x= 4y ⇔  log 4y= log 2  8 y x= 4y  ⇔  1 log 4+ log y =  8 8 log y  2 x= 4y  ⇔ 2 1 1  +log y = 3 32 logy  2 www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 186 -
Chuyên đề . PT – BPT – HPT – HBPT M ũ và Logarit www.MATHVN.com Ths. Lê V ăn Đoàn  x= 4y ⇔  logy=∨ 1 logy =− 3  2 2   1 y= 2 ∨ y = ⇔  8 x= 4y   1  y = y= 2  ⇔ ∨   8 . x= 8  1  x =  2   1 1    ● V ậy t ập nghi ệm c ủa h ệ là x;y=  ; , 8;2  . ()   ()  2 8   lgx2= lgy 2 + lg 2 xy  ( ) Thí d 14. Gi ải h ệ ph ươ ng trình:  2 ()∗ lg x− y + lg x.lg y = 0  ( ) Đề thi th ử Đạ i h ọc n ăm 2010 – Đề s ố 2 – TT. BDVH & LT ĐH Thành Đạ t Bài gi ải tham kh ảo ● Điều ki ện: x, y> 0 . 2  2 2 lg x= lg y +( lg x + lg y ) ()∗ ⇔  lg2 x− y + lg x.lg y = 0  ( ) 2  2 2 lgx− lgy −( lgx + lgy) = 0 ⇔  lg2 x− y + lgx.lgy = 0  ( )  2 −2lg y − 2lgx.lgy = 0 ⇔  lg2 x− y + lgx.lgy = 0  ( )  lgylgx( + lgy) = 0 ⇔  lg2 x− y + lgx.lgy = 0  ( )   lgy0=  lgxlgy0 + = ⇔2 ()1 ∨  2 () 2 lg x−+ y lgx.lgy = 0  lg x −+ y lgx.lgy = 0 ( )  ( )   y= 1 x= 2 ()1 ⇔2 ⇔  lg x− 1 = 0  y= 1  ( )     −1 1 lgx=− lgy = lgy = lg 2 ⇔  y ()  lg2 x− y + lg x.lg y = 0  ( )  1 y =   x ⇔     2  1 1 lg x− + lgx.lg = 0  x  x www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 187 -
Chuyên đề . PT – BPT – HPT – HBPT M ũ và Logarit www.MATHVN.com Ths. Lê V ăn Đoàn  1 y =  x ⇔   x2 − 1   2  2 lg  = lg x  x     1 x= 2 y =  ⇔x ⇔  1 . 2  x= 2  y =   2    1   ● Vậy nghi ệm c ủa h ệ là: x;y=  2; , 2;1  . ()   ()  2    log9 y log 9 x x+ y = 6  Thí d 15. Gi ải h ệ ph ươ ng trình: 2log x− log y = 6 (∗)  3 1  3 Bài gi ải tham kh ảo ● Điều ki ện: x, y> 0 .  log9 x log 9 x y+ y = 6 ()∗ ⇔  2 log x+ 2 log y = 6  3 3  log9 x y= 3 ⇔  log x+ log y = 3  3 3 log x= log 3  9 y ⇔  log x+ log y = 3  3 3 1 1  log x = ⇔ 23 log y  3 log x+ log y = 3  3 3 log x.log y= 2  3 3 ⇔  log x+ log y = 3  3 3 logx= 1  logx = 2 3  3 ⇔ ∨  logy= 2  logy = 1 3  3   x3=  x9 = ⇔ ∨  . y9=  y3 =   ● So v ới điều ki ện, nghi ệm c ủa h ệ là (x;y) = {( 3;9) ,( 9;3 )} .  2 2 9x− 4y = 5 Thí d 16. Gi ải h ệ ph ươ ng trình:  ()∗ log 3x+− 2y log 3x −= 2y 1  5( ) 3 ( ) Đạ i h ọc Qu ốc Gia Tp. H ồ Chí Minh n ăm 1998 Bài gi ải tham kh ảo   x> 0, y > 0 3x+ 2y > 0  ● Điều ki ện: ⇔  2 . 3x− 2y > 0  x> y   3 www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 188 -
Chuyên đề . PT – BPT – HPT – HBPT M ũ và Logarit www.MATHVN.com Ths. Lê V ăn Đoàn  2 2 9x− 4y = 5 ()∗ ⇔  ()1 log 3x+− 2y log 3x −= 2y 1  5( ) 3 ( )  (3x− 2y)( 3x + 2y) = 5  1 ⇔  log 3x− 2y ()  5 () log5 () 3x+ 2y − = 1  log 3  5  (3x− 2y)( 3x + 2y) = 5 ⇔  log 3.log 3x+− 2y log 3x −= 2y log 3  55( ) 5( ) 5  5 3x+ 2y =  3x− 2y ⇔   5 log3.log55− log 5() 3x − 2y = log3 5  3x− 2y  (3x− 2y)( 3x + 2y) = 5 ⇔  log3.log5− log 3x −− 2y  log 3x −= 2y log3  555()()  5 5  (3x− 2y)( 3x + 2y) = 5 ⇔  log 3− log 3.log 3x −− 2y log 3x −= 2y log 3  555( ) 5( ) 5  (3x− 2y)( 3x + 2y) = 5 ⇔   log3− 1log 3x − 2y = 0 ( 5) 5 ( )  (3x− 2y)( 3x + 2y) = 5 ⇔  log 3x− 2y = 0  5 ( )  (3x− 2y)( 3x + 2y) = 5 ⇔  3x− 2y = 1   3x+ 2y = 5 ⇔  3x− 2y = 1   x= 1 ⇔  . y= 1  ● So v ới điều ki ện, nghi ệm c ủa h ệ ph ươ ng trình là (x;y) = {( 1;1 )}.  3x xlog 3+ log y = y + log  2 2 2 Thí d 17. Gi ải h ệ ph ươ ng trình:  2 ∗  2y () xlog 12+ log x = y + log  3 3 3 3 Đạ i h ọc Th ủy L ợi Hà N ội – Hệ ch ưa phân ban n ăm 2000 Bài gi ải tham kh ảo ● Điều ki ện: x> 0, y > 0 .  3x log3x+ logy = log2 y + log  2 2 2 2 ()∗ ⇔  2  x y 2y log12+ log x = log 3 + log  3 3 3 3 3 www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 189 -
Chuyên đề . PT – BPT – HPT – HBPT M ũ và Logarit www.MATHVN.com Ths. Lê V ăn Đoàn  3x   x y  log2() 3.y= log 2  2.    2  ⇔      x y 2y  log 12.x= log 3.   3() 2    3   3x 3x .y= 2 y . 1  () ⇔  2  y2y x 3.= 12.x () 2  3 (1) ()2 33x 2 y 3 ⇔ . = . 3y2 12 x 2 ⇔36x = 6 y ⇔62x = 6 y ⇔y = 2x . ● Thay y= 2x vào (1) , ta đượ c: 3x ()1⇔ 3.2xx = 2. 2x 2 ⇔3x1− = 4 x1 −   x− 1 3 ⇔  = 1 4  ⇔x − 1 = 0  x= 1 ⇔  . y= 2  ● Vậy nghi ệm c ủa h ệ là (x; y) = ( 1;2 ).  2 x= 1 + 6 log4 y ( 1 ) Thí d 18. Gi ải h ệ ph ươ ng trình:  y2y22= x + 2x1+ 2  ( ) Đề thi th ử Đạ i h ọc – Đề 9 – Th ầy Tr ần S ĩ Tùng – THPT Tr ưng V ươ ng – Bình Đị nh Bài gi ải tham kh ảo ● Điều ki ện: y> 0 . (2) ⇔− y2 2.y x − 2.4 x = 0 và ta xem đây là ph ươ ng trình b ậc hai theo y.  x x  2+ 3.2 x 2 y= = 2.2 x x x x  2 x+ 1 ∆=+==⇒4 8.4 9.4() 3.2 x x ⇒= y2,do:y0 () > .  2− 3.2 y= = − 2 x  2 ● V ới y= 2 x+ 1 thay vào (1) , ta đượ c: 2 x+ 1 (1) ⇔ x = 1 + 6log24 2 ⇔x =+ 1 6x( + 1.log2) 4 x=− 1 ⇒ y1 = ⇔x2 − 3x − 4 = 0 ⇔  . x= 4 ⇒ y = 32  ● So v ới điều ki ện, nghi ệm h ệ là (x; y) ={( − 1;1) ,( 4;32 )}. www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 190 -
Chuyên đề . PT – BPT – HPT – HBPT M ũ và Logarit www.MATHVN.com Ths. Lê V ăn Đoàn www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 191 -
Chuyên đề . PT – BPT – HPT – HBPT M ũ và Logarit www.MATHVN.com Ths. Lê V ăn Đoàn BÀI T ẬP T ƯƠ NG T Ự Bài t p 1. Gi ải các h ệ ph ươ ng trình m ũ sau:  x+ y = 1 1/  . ĐS: x; y= 1;0 . 2x− 2 y = 1 ( ) ( )   x y 2+ 2 = 3 2/  . ĐS: x; y= 0;1 , 1;0 . x+ y = 1 ( ) {( ) ( )}  2x+ 2 y = 5  3/  x+ y . ĐS: (x; y) = ( 0;2) ,( 2;0 ) . 2= 4 { }  2x = 4y  4/  x . ĐS: (x; y) = ( 3;2 ). 4= 32y  x− 3y = 1  5/  2 y . ĐS: (x; y) = ( 4;1 ). x+ 3 = 19  xy− 1 = 8  6/  2y− 6 . ĐS: (x; y) = ( 2;4 ). x= 4   y2 − 7y + 10 x= 1 7/  . ĐS: (x; y) = {( 1;7) ,( 3;5) ,( 6;2 )}. x+ y = 8, x > 0  ( )   −2x 2y 17 4+ 4 = 8/  256 . ĐS: (x; y) =( 2; − 1 ). x+ y = 1    x y 1 3 .2 = 9/  9 . ĐS: (x; y) =( − 2;0 ). y− x = 2  3x+ 3 y = 28  10/  x+ y . ĐS: (x; y) = ( 0;3) ,( 3;0 ) . 3= 27 { }       x 2y  5 5   64+ 64 = 33  x; y= 0; ,  a; − a    ()     11/  . ĐS:  12  12   . 64x+ y = 42   a= log 16 + 12 2  64 ( ) 2x .3 y = 12  12/  x y . ĐS: (x; y) = ( 1;2 ). 3 .2= 18   x y 3 .5= 75 13/  . ĐS: x; y= 1;2 . 3y .5 x = 45 ( ) ( )   x y  2 .3= 6 14/  . ĐS: x; y= 1;1 . 3x .4 y = 12 ( ) ( )  2  ()x− y − 1 4= 1 15/  . ĐS: (x; y) ={( − 4; − 5) ,( 8;9 )}. 53x− 2y − 3 = 125  www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 192 -
Chuyên đề . PT – BPT – HPT – HBPT M ũ và Logarit www.MATHVN.com Ths. Lê V ăn Đoàn  x2− y 2 − 16 x= 1 16/  . ĐS: (x; y) ={( 1; − 1) ,( 5;3 )}. x− y = 2, x > 0  ( ) xy− 2 = 4  17/  2y− 3 . ĐS: (x; y) = ( 3;4 ). x= 64; x > 0  ( ) Bài t p 2. Gi ải các h ệ ph ươ ng trình loga sau log x− log y = 1     4 4  1  1/  2 . ĐS: ()()x;y=  8;2 , 2;   . log x− logy = 1  2   y 2    log x+ log y = 2 + log2  3 3 3 2/  . ĐS: x; y= 6;3 , 3;6 .  2 ( ) {( ) ( )} log27 () x+ y =  3  2    y+ lg x = 2  1  3/  . ĐS: ()x; y=  ;36 . y+ 4 lg x = 28 100   log xy= log x 2  x( ) y 4/  2log x . ĐS: (x; y) = ( 3;3 ). yy = 4y3 −  2  x2+ y.2 y− x = 1 ( ) Bài t p 3. Gi ải h ệ ph ươ ng trình:  2 . 9x2+ y = 6 x− y  ( ) ĐS: (x;y) ={( − 3;1,) ( − 3;1 )}. 4  x4+ y.3 y− x = 1 ( ) Bài t p 4. Gi ải h ệ ph ươ ng trình:  4 . 8(x4+ y) − 6 x− y = 0  ĐS: (x;y) ={( − 4 15;12, ) ( 4 15;12 )}.  x− 4y + 3 = 0 Bài t p 5. Gi ải h ệ ph ươ ng trình:  .  logx− logx = 0  4 2 Dự b ị Đạ i h ọc n ăm 2002 ĐS: (x;y) = {( 1;1) ,( 9;3 )}.  1 x 1  .9y= 9 2y  Bài t p 6. Gi ải h ệ ph ươ ng trình: 3 . x+ 3y 2x  = − 4   x y   3 1    ĐS: x;y= ; , − 2;4  . ()   ()  2 2    xy+ 2y 4+ 3.4 = 8 Bài t p 7. Gi ải h ệ ph ươ ng trình:  x, y ∈ » . x+ 3y = 2 − log3 ()  4 1+ log 3 1 − log 3   4 4  ĐS: ()x;y=  ; .  2 2   www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 193 -
Chuyên đề . PT – BPT – HPT – HBPT M ũ và Logarit www.MATHVN.com Ths. Lê V ăn Đoàn  log3( 2x−++ y 2) logx 1 = 1  Bài t p 8. Gi ải h ệ ph ươ ng trình:  3 . 2x + 2 y = 5  Đề thi th ử Đạ i h ọc n ăm 2013 kh ối A, B – THPT Đoàn Th ượ ng – Hải D ươ ng ĐS: (x; y) = ( 2;0 ). x− 3y + 2 = 0  Bài t p 9. Gi ải h ệ ph ươ ng trình:  2 .  27x− 3.9 y x = 0  ĐS: (x; y) ={( 1;1) ,( 1; − 1) ,( 4;2) ,( 4; − 2 )}.   x1−+ 2y − = 1 Bài t p 10. Gi ải h ệ ph ươ ng trình:  . 3log 9x2− logy 3 = 3  9( ) 3 Đạ i h ọc B n ăm 2005 ĐS: (x;y) = {( 1;1) ,( 2;2 )} .  3x2y− x 3x2y − 3− 5.6 + 4.2 = 0  Bài t p 11. Gi ải h ệ ph ươ ng trình:  2 .  xy−=+ y 2y − x 2y + x  ( )( )    1  ĐS: ()x;y=  log 4; log 4  .  32 3   2 2   log2 ( 3y− 1) = x Bài t p 12. Gi ải h ệ ph ươ ng trình:  . 4x+ 2 x = 3y 2  Đạ i h ọc kh ối B n ăm 2010    1 ĐS: ()x; y= − 1; .  2   3 4− x 3.y x+ 1 − 1 = Bài t p 13. Gi ải h ệ ph ươ ng trình:  ( ) .  x y+ log x = 1  3 Đề thi th ử Đạ i h ọc n ăm 2013 – THPT T ống Duy Tân – Thanh Hóa ĐS: (x; y) = ( 3;0 ).  2 x− 4x + y + 2 = 0 Bài t p 14. Gi ải h ệ ph ươ ng trình:  . 2log x− 2 − log y = 0  2 ( ) 2 Đạ i h ọc kh ối D n ăm 2010 ĐS: (x; y) = ( 3;1 ).  2 2 4x− y = 2 Bài t p 15. Gi ải h ệ ph ươ ng trình:  . log 2x+− y log 2x −= y 1  2( ) 3 ( )   3 1  ĐS: ()x; y=  ; . 4 2    logx ( 3x+ 2y) = 2 Bài t p 16. Gi ải h ệ ph ươ ng trình:  . log 2x+ 3y = 2  y ( ) Đạ i h ọc Công Đoàn n ăm 1997 www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 194 -
Chuyên đề . PT – BPT – HPT – HBPT M ũ và Logarit www.MATHVN.com Ths. Lê V ăn Đoàn ĐS: (x; y) = ( 5;5 ).  2 2 x− y = 3 Bài t p 17. Gi ải h ệ ph ươ ng trình:  . log x+− y log x −= y 1  2( ) 5 ( ) ĐS: (x; y) = ( 2;1 ).  3 2 logx ( x+ 2x − 3x − 5y) = 3 Bài t p 18. Gi ải h ệ ph ươ ng trình:  . log y3+ 2y 2 − 3y − 5x = 3  y ( ) Dự b ị Đạ i h ọc n ăm 2002 ĐS: (x; y) = ( 2;2 ).  2 2log3 y= log 1 x − 1  Bài t p 19. Gi ải h ệ ph ươ ng trình:  2 . log y = log x − 1.log 3  2( 2) 2 ĐS: (x; y) = ( 2;1 ). 6x2 − 3xy ++= x y 1  Bài t p 20. Gi ải h ệ ph ươ ng trình: 3 .  2 2 log x+= 1 log4 − 2y − 1  2 8 ( ) Đề thi th ử Đạ i h ọc n ăm 2013 l ần I – THPT Đông S ơn I – Thanh Hóa      1 22  4 3   ĐS: ()x;y= ; ± , −− ; ,0;1()  . 3 3  55        log x+= y 3log x −+ y 2  2 8 ( ) Bài t p 21. Gi ải h ệ ph ươ ng trình:  .  xy122+ +− xy 22 − = 3  Đề thi th ử Đạ i h ọc n ăm 2011 kh ối A – THPT Minh Châu – Hưng Yên ĐS: (x; y) = ( 2;2 ).   1 log1() y− x − log 4 = 1 Bài t p 22. Gi ải h ệ ph ươ ng trình:  y .  4 x2+ y 2 = 25  Đạ i h ọc kh ối A n ăm 2004 ĐS: (x;y) ={( 4;3) ,( − 4; − 3) ,( 3;4 )}.  log xy= log y Bài t p 23. Gi ải hệ ph ươ ng trình:  y x . 2x+ 2 y = 3  3 3  ĐS:   . ()x;y=  log2 ;log 2   2 2  xlog 3+ log y = y + log x  2 2 2 Bài t p 24. Gi ải h ệ ph ươ ng trình:  . xlog12+ log x = y + log y  3 3 3 Đề thi th ử Đạ i h ọc n ăm 2011 kh ối A – THPT L ươ ng Ng ọc Quy ến – TP. Thái Nguyên     ĐS: ()x;y=  log 2; 2 log 2 .  4 4   3 3  www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 195 -
Chuyên đề . PT – BPT – HPT – HBPT M ũ và Logarit www.MATHVN.com Ths. Lê V ăn Đoàn  2 2 log4( x+− y) log 4( 2x) += 1 log 4 ( x + 3y )  Bài t p 25. Gi ải h ệ ph ươ ng trình:  x  . log xy+− 1 log 4y2 +−+= 2y 2x 4 log  − 1  4() 4 () 4    y  Đạ i h ọc M ỏ – Đị a ch ất n ăm 1999 ĐS: (x;y) = {( 2;1) ,( a,a )} với a> 0 . log x+ 2log y = 3  2 2 Bài t p 26. Gi ải h ệ ph ươ ng trình:  . x2+ y 4 = 16    ĐS: x;y=  22; 22  . ( )    log2( 3x+ 1) − logy 4 = 3 Bài t p 27. Gi ải h ệ ph ươ ng trình:  .  2 log 4 2x− 4y + 39 = 0  ĐS: (x; y) = ( 5;4 ).  2014 2 logx ( x+ 2x − 3x − 5y) = 2014 Bài t p 28. Gi ải h ệ ph ươ ng trình:  . log y2014+ 2y 2 − 3y − 5x = 2014  y ( ) ĐS: (x; y) = ( 4;4 ). x y  + 4y x = 32 Bài t p 29. Gi ải h ệ ph ươ ng trình:  . log x−=− y 1 log x + y  3( ) 3 ( ) ĐS: (x;y) = ( 2;1 ).  log1( x++ 2y) log 2 ( 3x −= 1) 1  Bài t p 30. Gi ải h ệ ph ươ ng trình:  2 . 3x + 3− 4y = 4  Đề thi th ử Đại h ọc n ăm 2013 l ần 1 kh ối A, B – THPT Qu ốc Oai ĐS: (x; y) = ( 1;0 ).  2 y− 2xy +− y 2x += 2 0 Bài t p 31. Gi ải h ệ ph ươ ng trình:  . 2 log 2x−+ y 3 log y += 1 4  2( ) 2 ( ) Đề thi th ử Đạ i h ọc n ăm 2013 l ần I – THPT Thu ận Thành s ố I   7  ĐS: ()x; y=  ;3 . 4   6x2 − 3xy ++= x y 1  Bài t p 32. Gi ải h ệ ph ươ ng trình: 3 .  2 2 log x+= 1 log4 − 2y − 1  2 8 ( ) Đề thi th ử Đại h ọc l ần I n ăm 2013 – THPT Đông S ơn I – Thanh Hóa      1 22  4 3   ĐS: ()x;y= ; ± , −− ; ,0;1()  . 3 3  55        x1+ 2x 2 .log9 y− 2 = 2 Bài t p 33. Gi ải h ệ ph ươ ng trình:  . 9.2x .log y− 9 = log 2 y  27 3 Đề thi th ử Đạ i h ọc n ăm 2013 l ần I – THPT Ngô Gia T ự – Bắc Ninh www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 196 -
Chuyên đề . PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit www.MATHVN.com Ths. Lê Văn Đoàn ĐS: ()()x; y= 1;27 .  1 log x+ log 16 = 4 −  2 xy Giải hệ phương trình:  logy 2 .  4x3+ 2xy 2 += y 16x 4x + y  Đề thi thử Đại học năm 2013 lần III – THPT Hồng Quang – Hải Dương ĐS: ()x;y=() 2∓ 3;8 ± 43 . Dạng 2. Giải hệ mũ & logarit bằng phương pháp đặt ẩn số phụ I – Thông thường thì ta lựa chọn một phương trình của hệ để biến đổi và đặt ẩn phụ để tìm ra mối liên hệ giữa x, y và kết hợp với phương trình còn lại đối với bài toán đặt một ẩn phụ. Đối với bài toán đặt hai ẩn phụ, ta tìm mối liên hệ bằng cách dùng công thức mũ, loga hay sự biến đổi đơn giản để đưa hệ về hệ đại số cơ bản (đối xứng, đẳng cấp, .). Sau khi đặt ẩn phụ, ta cần đi tìm điều kiện cho ẩn phụ, tức là đi tìm miền xác định cho bài toán mới. Tùy vào mục đích của ẩn phụ mà ta phải đi tìm điều kiện cho hợp lý (dễ, không gây sai sót), chung qui, ta có hai cách tìm điều kiện: tìm điều kiện đúng và tìm điều kiện thừa nhưng đặc biệt đối với bài toán chứa tham số, ta cần tìm điều kiện cho chính xác. II – log 3  log() xy 2 92 = 32.xy + ()() 1 Giải hệ phương trình:  xy3x3y62+ 2 = + + 2  () Cao đẳng khối T, M năm 2004 – Đại học Hùng Vương Bài giải tham khảo ● Điều kiện: xy> 0 . 2.log()() xy log xy ()1⇔ 32 − 2.3 2 −= 30  log2 xy t= 3 > 0 ⇔  t2 − 2t − 3 = 0   log2 () xy t3= = − 1 () L ⇔  log() xy t= 32 = 3  ⇔logxy2 ()() =⇔= 1xy2 3 2 ()()()2⇔+ x y − 3x +− y 2xy6 −= 0 2 ⇔+()()x y − 3x +−= y 10 0 x+ y = 5 ⇔  4 x+ y = − 2 ()  www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 197 -
Chuyên đề . PT – BPT – HPT – HBPT M ũ và Logarit www.MATHVN.com Ths. Lê V ăn Đoàn   xy= 2  xy = 2 3,4⇔ ∨  VN ()()()xy5+=  xy +=− 2     5− 17  5 + 17 y= 5 − x x =  x =  2  2 ⇔2 ⇔  ∨  . −x + 5x −= 2 0 5+ 17  5 − 17   y=  y = 2  2     5− 175 ++ 17  5 175 − 17   ● V ậy nghi ệm c ủa h ệ là ()x; y=  ; ,  ;   . 2 2  2 2        3x1+ y2 − y3x + 2+ 2 = 3.2 ( 1 ) Thí d 2. Gi ải ph ươ ng trình:   3x2 ++ 1xy = x1 + 2  ( ) Đề thi th ử Đạ i h ọc n ăm 2011 – THPT L ươ ng Tài II – Bắc Ninh Bài gi ải tham kh ảo  x+ 1 ≥ 0 2 ⇔  () 3x2 ++ 1 xy = x + 1   x≥ − 1 ⇔  x3x+ y − 1 = 0  ( )   x≥− 1  x ≥− 1 ⇔ ∨  . x= 0  y13x = −   ● V ới x= 0 thì (1) ⇔ 2 + 2y− 2 = 3.2 y x= 0 8 8  y y y  . ⇔8 + 2 = 12.2 ⇔ 2 = ⇔ y = log 2 ⇒  8 11 11 y= log  2 11 x≥ − 1  3x1+ − 3x1 − ● V ới  thì 12⇔ + 2 = 6 y= 1 − 3x ( )  1 ⇔23x+ 1 + = 6 23x+ 1   3x+ 1 1 t2= > () do:x ≥− 1 ⇔  4  2 t− 6t + 1 = 0   3x+ 1 t2= = 322 − ( L ) ⇔  t2=3x+ 1 = 322 + N  ( )  1   x= log3 + 22 − 1  2 ( )  ⇔  3   .  y= 2 − log 3 + 22  2 ( )      8  1     ● V ậy x;y= 0; log ,   log 3 +−−+ 2 2 1  ; 2 log 3 2 2   . () 2  2 ( ) 2 ( )  11   3     www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 198 -
Chuyên đề . PT – BPT – HPT – HBPT M ũ và Logarit www.MATHVN.com Ths. Lê V ăn Đoàn  logx1( ++ 2y) log3x 2 ( −= 1) 1( 1 )  Thí d 3. Gi ải h ệ ph ươ ng trình:  2 334x+− 4y = 2  ( ) Đề thi th ử Đạ i h ọc l ần 1 n ăm 2013 – THPT Qu ốc Oai Bài gi ải tham kh ảo   1 x > ● Điều ki ện:  3 . x+ 2y > 0  (1) ⇔− logx2( ++ 2y) log3x 2 ( −= 1) 1 3x− 1 ⇔log = 1 2 x+ 2y 3x− 1 ⇔ = 2 x+ 2y ⇔3x −= 1 2x + 4y ⇔x = 4y + 1 (13) ⇔4y1+ + 3 − 4y = 4 1 ⇔3.34y + −= 4 0 34y  4y t= 3 > 0  ⇔  1 3t+ − 4 = 0  t  4y t= 3 > 0 ⇔  3t2 − 4t + 1 = 0   4y t= 3 = 1 ⇔  1 t= 3 4y =  3 4y= 0 ⇔  4y= − 1     1 y= 0 y = − ⇔ ∨  4 . x= 1  x= 0   ● So v ới điều ki ện, h ệ ph ươ ng trình có nghi ệm: (x; y) = ( 1;0 ). 2x− y  2x− y    2  2  2  3.+ 7.   − 6 = 0 Thí d 4. Gi ải h ệ ph ươ ng trình:  3  3  ()∗  lg3x−+ y lgy +− x 4lg2 = 0  ( ) ( ) Cao đẳ ng Bán Công Hoa Sen kh ối A n ăm 2006 Bài gi ải tham kh ảo   ⊕ x> 0 3x− y > 0  y ● Điều ki ện:  ⇔  y ⇔>>x 0 . y+ x > 0  x> > 0 3   3 www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 199 -
Chuyên đề . PT – BPT – HPT – HBPT M ũ và Logarit www.MATHVN.com Ths. Lê V ăn Đoàn  2xy− 2xy −     2  2  3. + 7.   −= 60 ()∗ ⇔  3  3   lg3x− y y + x = log16  ( )( )  2x− y     2 2 +−=3t 7t60,t =  > 0 ⇔  3    3x− yy + x = 16 ( )( )  2xy− 2xy −     2 2  2   y > 0 . x y  + 5 4y x = 4 2 ()∗ ⇔  log x−+ y log x += y log3  3( ) 3( ) 3 x y 5  + = ⇔ y x 2   x− yx + y = 3 ( )( )   1 5 t + =  t 2 ⇔x2 − y 2 −= 3 0   x t =  y www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 200 -
Chuyên đề . PT – BPT – HPT – HBPT M ũ và Logarit www.MATHVN.com Ths. Lê V ăn Đoàn   1 t= ∨ t = 2  2 ⇔x2 − y 2 −= 3 0   x t =  y x 1 x  = ∨ = 2 ⇔ y 2 y  x2− y 2 − 3 = 0   y= 2x ∨ x = 2y ⇔  x2− y 2 − 3 = 0    y2x=  x2y = ⇔ ∨  xy3022−−=  xy30 22 −−=     y2x=  x2y = ⇔ VN ∨  −3x32 =()  y1 2 =     y= − 1  y1 = ⇔ ∨  . x= − 2  x2 =   ● K ết h ợp v ới điều ki ện, nghi ệm h ệ ph ươ ng trình là (x;y) = {( 2;1 )}.  2 2 log1x+( 12y−++ y) log 1y − ( 12x ++= x) 4( 1 ) Thí d 6. Gi ải h ệ ph ươ ng trình:  log 12y++ log 12x += 2 2  1x+( ) 1y − ( ) ( ) Đạ i h ọc Qu ốc Gia Tp. H ồ Chí Minh – Đạ i h ọc Kinh T ế kh ối A n ăm 1997 Bài gi ải tham kh ảo 2  2   12yy−+> 0( 1y −>) 0 1y0 −≠     2 2   1+ 2x + x > 0  1+ x > 0 1x0+≠ x >− 1 ● Điều ki ện: ⇔ () ⇔  ⇔  . 0< 1 + x ≠ 1  −<≠1x0  0y1 ≠<  −1 < x ≠ 0      0< 1 − y ≠ 1 0≠ y < 1  0≠ y < 1    2 2 (1) ⇔ log1x+( 1 −+ y) log 1y − ( 1 += x) 4 ⇔log1x+( 1 −+ y) log 1y − ( 1 += x) 2  t= log1+ x ( 1 − y )  ⇔  1 t+ = 2  t  t= log1+ x ( 1 − y ) ⇔  t2 − 2t + 1 = 0  ⇔=t log1+ x ( 1 −= y) 1 ⇔1 − y = 1 + x ⇔y = − x ( 3 ) ● Thay vào ta đượ c: (3) (2) log1x+( 1−+ 2x) log 1x + ( 1 += 2x) 2 www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 201 -
Chuyên đề . PT – BPT – HPT – HBPT M ũ và Logarit www.MATHVN.com Ths. Lê V ăn Đoàn ⇔log1+ x ( 1 − 2x1)( += 2x) 2 2 ⇔−1 4x2 =( 1 + x ) ⇔5x2 + 2x = 0  2  x = − x= 0  ⇔ ∨   5 . y= 0  2  y =  5    2 2  ● So v ới điều ki ện, nghi ệm c ủa h ệ là ()x; y= − ; .  5 5   2  1 2log1− x (−+−++ xy y 2x 2) log2+ y ( x −= 1) 6 ( ) Thí d 7. Gi ải h ệ ph ươ ng trình:  log y+− 5 log x += 4 1 (2)  1x−( ) 2y + ( ) Đề thi th ử Đạ i h ọc n ăm 2012 – THPT Đoàn Th ượ ng – Hải D ươ ng Bài gi ải tham kh ảo   01x1 − 1y 2   2 1⇔ 2log y1 −+−+ x 21 x  2log 1 −= x 6 ( ) 1− x ( ) ( )  2+ y ( ) ⇔2log 1 −++ xy 2  2log 1 −= x 6 1− x ( )( )  2+ y ⇔log 1 −++ x.y 2  log 1 −= x 3 do:0 ≠< x 1 1− x ( ) ( )  2+ y ( ) ( ) ⇔log1x−( y ++ 2) log 2y + ( 1 −= x) 2 1 ⇔log1− x () y ++ 2 = 2 log1− x ( y+ 2 )  t= log1− x ( y + 2 )  ⇔  1 t+ = 2  t  2 t− 2t + 1 = 0 ⇔  t= log y + 2  1− x ( ) ⇔=t log1− x ( y += 2) 1 ⇔y + 2 = 1 − x . ● Thay vào ph ươ ng trình (2) , ta đượ c: (2) ⇔ log1x−( 4 −− x) log 1x − ( 4 += x) 1 4− x ⇔log = 1 1− x 4+ x 4− x ⇔ =1 − x 4+ x ⇔x2 + 2x = 0   x0=  x = − 2 ⇔ ∨  . y= − 1  y1 =   www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 202 -
Chuyên đề . PT – BPT – HPT – HBPT M ũ và Logarit www.MATHVN.com Ths. Lê V ăn Đoàn ● So v ới điều ki ện, h ệ có nghi ệm duy nh ất là (x; y) =( − 2;1 ) . 2x+ log y + 2 x log y = 5  2 2 Thí d 8. Gi ải h ệ ph ươ ng trình:  x 2 ()∗ 4+ log y = 5  2 Cao đẳ ng Xây D ựng s ố 2 n ăm 2006 Bài gi ải tham kh ảo ● Điều ki ện: y> 0 . x ● Đặ t u= 2 > 0, v = log2 y . Lúc đó:  u+ v + uv = 5 ∗ ⇔  () u2+ v 2 = 5  2u+ v + 2uv = 10  ( ) ⇔  2  u+ v − 2uv = 5 ( ) (+) 2 ⇔ (u + v) + 2u( +−= v) 15 0   uv3+=  uv +=− 5 ⇔ ∨  (vô nghi ệm) uv= 2  uv = 10     u1=  u2 = ⇔ ∨  v2=  v1 =   x  x 21=  22 = ⇔ ∨  logy= 2  logy = 1 2  2   x2=  x4 = ⇔ ∨  . y4=  y2 =   ● So v ới điều ki ện, nghi ệm c ủa h ệ ph ươ ng trình là: (x;y) = {( 2;4) ,( 4;2 )} .  logxy3( ) logxy 3 ( ) 422− = ( 1 )  Thí d 9. Gi ải h ệ ph ươ ng trình:  1  2 2 log4x4 ()+ 4y =+ logx4 + logx 4 ()() + 3y 2  2 Bài gi ải tham kh ảo ● Điều ki ện: x> 0, y > 0 . log( xy ) ● Đặ t t= 23 > 0 . (1) ⇔−−=⇔= tt20t2N2 ( ) ∨=− t 1L ( ) . log3 () xy 3 ● V ới t2=⇔ 2 =⇔ 2 logxy3 () =⇔=⇔= 1 xy3 y . x 361  9 2⇔ log4x2 +=+ logx + logx  +  () 4 2 4 4   x 2  x  36   9  ⇔log 4x2 += log 2x  x +   42  4     x  x  36 ⇔4x2 + = 2x 2 + 18 x2 ⇔x4 − 9x 2 + 18 = 0 www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 203 -
Chuyên đề . PT – BPT – HPT – HBPT M ũ và Logarit www.MATHVN.com Ths. Lê V ăn Đoàn  x2 = 3 x= 3 ⇒ y = 3 ⇔ ⇔  . x2 = 6  6  x= 6 ⇒ y =  2     6   ● V ậy nghi ệm c ủa h ệ là ()x;y=  3;3, 6;   . ()  2      logx+ 35 − logy = 5  2 3 Thí d 10. Gi ải h ệ ph ươ ng trình:  ()∗ 3logx−− 1 logy =− 1  2 3 Cao đẳ ng Sư Ph ạm Tp. H ồ Chí Minh kh ối A n ăm 2006 Bài gi ải tham kh ảo    x>> 0,y 0  x >> 0,y 0  x >> 0,y 0     x≥ 2 ● Điều ki ện: 5− log y ≥ 0 ⇔  log y ≤ 5 ⇔  y ≤ 162 ⇔  . 3  3   0< y ≤ 162 logx−≥ 1 0  logx ≥ 1  x ≥ 2   2  2  a=− 5 logy ≥ 0 a2 =− 5 logy 3  3 ● Đặ t: ⇒  2 . b= logx − 1 ≥ 0  b= logx − 1  2  2  2 b+ 1 + 3a = 5 ()∗ ⇔  2 3b+ a − 5 =− 1   2 b+ 3a = 4 ⇔  a2 + 3b = 4  ⇔b2 + 3a = a 2 + 3b ⇔b2 − a 2 + 3a − 3b = 0 ⇔−(baba)( +−) 3ba( −=) 0 ⇔(bab −)( +−= a 3) 0 a= b ⇔  a+ b = 3    ab=  b3a = − ⇔ ∨  a2+−= 3a4 0  a 2 +−= 93a 3     ab=  b3a = − ⇔ ∨  a1=∨=− a 4L  a2 −+= 3a60 VN ( )  ( ) a= 5 − logy = 1  3 ⇔  b= logx − 1 = 1  2 5− logy = 1  3 ⇔  log x− 1 = 1  2 log y= 4  3 ⇔  log x= 2  2 www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 204 -
Chuyên đề . PT – BPT – HPT – HBPT M ũ và Logarit www.MATHVN.com Ths. Lê V ăn Đoàn  4 y= 3 = 81 ⇔  . x= 4  ● Kết h ợp v ới điều ki ện, nghi ệm c ủa h ệ là (x;y) = {( 4;81 )}.  2xy2++ x2y + xy + 3+ 3 = 27 + 9 Thí d 11. Gi ải h ệ ph ươ ng trình:  ()∗ log x++ 1 log y += 1 1  3( ) 3 ( ) Bài gi ải tham kh ảo ● Điều ki ện: x>− 1; y >− 1 .  2xy1++ x2y1 +− 3( x+ y ) 3.3+ 3.3 = 3 + 9 ()∗ ⇔  log x+ 1y + 1 = 1  3 ( )( )  2xy1++ x2y1 +− 3x3y + 3.3+ 3.3 = 3 + 9 ( 1 ) ⇔   x1y13+ + = 2 ( )( ) ( )  2x+ y + 1 a= 3 > 0 3x+ 3y ● Đặ t  ⇒a.b = 3 . b= 3x+ 2y − 1 > 0  (1) ⇔ 3a + 3b = ab + 9 ⇔(3a − ab) + 3b −= 9 0 ⇔a3( −− b) 33( −= b) 0 a= 3 ⇔a − 33 − b = 0 ⇔  ( )( ) b= 3  ● Với a33=⇒2x+ y + 1 =⇔ 3 2xy11 ++=⇔=− y 2x . (2) ⇔( x1 +)( − 2x1 +) = 3: vô nghi ệm. ● V ới b3=⇒ 3x+ 2y − 1 =⇔+ 3 x2y11 −=⇔=− x22y .  y= 0  1 2  y = (2 )⇔− ( 32yy1 )( +=⇔−+=⇔ ) 3 2y y0  ∨  2 . x= 2  x= 1     1   ● So v ới điều ki ện, nghi ệm c ủa h ệ là x;y=  2;0 , 1;   . ()()   2   2 2 42x2−− 2 2xy + + 41 y =  Thí d 12. Gi ải h ệ ph ươ ng trình:  2 ()1 22y2+− 3.2 2x + y = 16  Bài gi ải tham kh ảo 2  2( x− 1 ) x1y2 − 2y 4− 4.4 .2 + 2 = 1  ()1 ⇔  2 ()2 22y− 3.4 x1y− .2 = 4  2 ● Đặ t a= 4x− 1 > 0;b => 2 y 0 .  2 2 a− 4ab + b = 1 ( 3 ) ()2 ⇔  2 b− 3ab = 4 4  ( ) www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 205 -
Chuyên đề . PT – BPT – HPT – HBPT M ũ và Logarit www.MATHVN.com Ths. Lê V ăn Đoàn b2 − 4 ()4⇒ a = 3b (3) ⇔ 2b4 − 31b 2 −= 16 0 b4=2y = 4  y2 = 2   ⇔b = 16 ⇔ ⇔ 2 ⇔  . a1= 4x− 1 = 1  x1 = ±   ● V ậy h ệ có hai c ặp nghi ệm: (x;y) ={( − 1;2) ,( 1;2 )}. BÀI T ẬP T ƯƠ NG T Ự Bài t p 35. Gi ải các h ệ ph ươ ng trình sau: 4x− 3 y = 7  1/  x y . ĐS: (x; y) = ( 2;2 ). 4 .3= 144  7x− 16 y = 0  2/  x y . ĐS: (x; y) = ( 0;0 ). 4− 49 = 0  2x+ 3 y = 17  3/  x y . ĐS: (x; y) = ( 3;2 ). 3.2− 2.3 = 6  x+ 3y− 1 = 2    2  4/  y . ĐS: ()x;y=  ;log3 4 . 3x+ 9 = 18 3      y+ 1 x+ 2 = 3 5/  . ĐS: x;y= − 17;log 10 . 4x+ 4y = 32 ( ) ( 2 )  2 3x− 2 y = 77   2 6/  x y . ĐS: x;y= 2log2; ± 2 log 3 .  ( ) ( 3 2 ) 32− 2 2 = 7   11 3.2x+ 2.3 y =  17 8  7/  4 . ĐS: x;y=  log ;log  .  ()  2 3   x y 3  20 5   2− 3 = −  4  2x2+ 2y2 + 3+ 2 = 17 8/  . ĐS: x; y= − 1;1 . 2.3x+ 1+ 3.2 y = 8 ( ) ( )  2x+ 2.3 x+ y = 56  9/  x xy1+ + . ĐS: (x; y) = ( 1;2 ). 3.2+ 3 = 87  3.2x+ 2.3 y = 2,75  10/  x y . ĐS: (x; y) =( − 2;0 ). 2− 3 = − 0,75   x+ y.2y− 2x = 625 ( ) 11/  1 .  x+ y2x− y = 5 ( ) www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 206 -
Chuyên đề . PT – BPT – HPT – HBPT M ũ và Logarit www.MATHVN.com Ths. Lê V ăn Đoàn x  5(y− ) xy+ 4x = y 3 12/  . x3= y;− 1 x,y > 0  ( )  4 23y2x1− ++ 2.2 2yx − =  −y     2 1 1   13/  . ĐS: ()x;y=  ; ,() 2;2  .  3 8 8    log x.() 3 log y+ 2 =    4 8 2  xy+ xy + 23+ 2 6 = 6 14/  . ĐS: (x;y) = {( 5;1) ,( 3;3 )} . x2+ 5y 2 = 6xy   xy+ xy + 32+ 3 4 = 12 15/  . ĐS: (x;y) = {( 3;1) ,( 2;2 )}. x2+ 3y 2 = 4xy   −y 4 .log x= 4 1  16/  2 . ĐS:   .  −2y ()x; y= 4; −  log x+ 2 = 4  2   2 Bài t p 36. Gi ải các h ệ ph ươ ng trình sau: x+ y = 2  1/  y2 + y + 2 .  x+ 1 = 1 ( )  y x = 9  2/  1 .   324y = 2x 2 ( ) 2  2( x− 1 ) x1y2 − 2y 9− 4.9 .5 +−= 5 1 0 3/  . ĐS: x;y= − 1;log 5 , 1;log 5 .  2 ( ) {( 4) ( 4 )} 25y− 3.9 x1y− .5 = 4  92 tan x+ cos y = 3     π  4/  cos y tan y . ĐS: ()x; y= k π± ; + k2 π  . 9− 81 = 2  3      1 y2 = x −1  5/  28x− 7y .  x  xy .x−y = y 2 ( )  1 1  =()x + y 6/  x− y . 2 3  x+ y.2y− x = 48 ( )  2 2  cosπ x + y = 1, y ≥ 0  ( )  ( ) 7/  2 2 2 2 . 4x1y++()()− 32 = 31.2 x1y ++  3 5− logy = 5 − logx  3 5 Bài t p 37. Gi ải h ệ ph ươ ng trình:  . 3 logx− 1 = logy − 1  5 3 ĐS: (x; y) = ( 25;81 ). www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 207 -
Chuyên đề . PT – BPT – HPT – HBPT M ũ và Logarit www.MATHVN.com Ths. Lê V ăn Đoàn  x2 y 2− 4.3 = − 32  Bài t p 38. Gi ải h ệ ph ươ ng trình:  x2 y .  2− 2.3 = − 4 ( ) ( ) Đề thi th ử Đạ i h ọc l ần 3 n ăm 2013 kh ối B, D – THPT Lý Thái T ổ – Bắc Ninh ĐS: (x;y) ={( 2;2,) ( − 2;2 )}. Bài t p 39. Gi ải các h ệ ph ươ ng trình sau:  x+ y = 23 1/  . log xy= 1  3 ( ) log y+ log x = 2  x y 2/  . x2 − y = 20  log x+ log y = 1 + log9  4 4 4 3/  . x+ y − 20 = 0   x  log 1− = 2 − log y  2 y 2 4/    . log x+ log y = 4  3 3  2 2  2 2 log2 ( x+ y) = 5 5/  . 2 log x+ log y = 4  4 2 log xy= 5  2 6/  x . log= 1  1 y  2  xy= 64 7/  . log y= 5  x  2 logy x− logy 2 = 1 8/  . log x− log y = 1  4 4 log y log x  2 2 x+ y = 16 9/  . log x− log y = 2  2 2  2 2 logx2 ( + y + 6) = 4 10/  . log x+ log y = 1  3 3 log y log x  3 3 x+ 2.y = 27 11/  . log y− log x = 1  3 3 log y log x  2 2 3.x+ 2.y = 10 12/  . log x2 + log y = 2  4 2  logx ( 2x+ y − 2) = 2 13/  . log 2y+ x − 2 = 2  y ( ) www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 208 -
Chuyên đề . PT – BPT – HPT – HBPT M ũ và Logarit www.MATHVN.com Ths. Lê V ăn Đoàn  log2 ( xy) = 4  14/  x  . log  = 2  2    y   5 log x+ log y = 15/  y x 2 .  2 2 log x+ y = 1  6 ( )  log2( x−=− y) 5 log 2 ( x + y )  16/ lg x− lg 4 .  = − 1 lg y− lg 3 log y= 2  x 17/  . log y+ 23 = 3  x+ 1 ( )  2 2 lgx( + y) = 1 + lg8 18/  . lgx+− y lgx − y = lg3  ( ) ( )   y 2 logxy− logx y = 1 19/  x .  log y− x = 1  2 ( )  logxy ( x− y) = 1 20/  . log x+ y = 0  xy ( ) log x+ log y = 2  y x 21/  . x2 + y = 12   2  y+ log x = 2 22/  . y+ 4 lg x = 28    y+ 2lgx = 3 23/  . y− 3lgx2 = 1   log( x+− y) log3 ( x −= y) 1 24/  . x2− y 2 = 1    x+ 2log .log x + y = 1  xy 2 x+ y 25/ ( ) . x− y = 23   2 2 log1x+( y−+ 1) log 1y − ( x += 1) 4 26/  . log 2y++ 1 log 2x += 1 2  1x+( ) 1y − ( )  log( x− y) = 1 27/  xy . 2log xy.log x+ y = 1  5 xy ( )  5 xylog x= x 2 28/  y . log y.log y− 3x = 1  4 y ( ) www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 209 -
Chuyên đề . PT – BPT – HPT – HBPT M ũ và Logarit www.MATHVN.com Ths. Lê V ăn Đoàn  3 5log2 x= log 2 y − log 2 29/  2 . logx= 8 − log x  2 2  x log xy.log= − 3 30/  2 2 y .  log2 x+ log 2 y = 5  2 2  2( logy x+ log x y) = 5 31/  . xy= 8   x−= y( log2 y − log 2 x)( 2 + xy ) 32/  . x3+ y 3 = 16   2 logy x− logy 2 = 1 33/  . log x− log y = 1  4 4 Bài t p 40. Gi ải các h ệ ph ươ ng trình m ũ – logarit  2 2 log3 ( x+ y + 17) =+ 2 log3 ( xy ) 1/  . ĐS: x;y=−− 1; 3 , 3;1 , 1;3 , −− 3; 1 .  x2− 2xy + y 2 ( ) {( ) ( ) ( ) ( )} 3= 16   x y 3.2= 18  2/ log x+ y = − 1 .  1 ()  3  x y 3.2= 972 3/  . log x− y = 2  3 ( )  log x 4 22 = y 4/  . log x− log y = 1  2 2  lg x lg y 3= 4  5/  lg 4 lg 3 .  4x= 3y ( ) ( )  y= 1 + log4 x 6/  . xy = 4096   xy= 40 7/  . xlg y = 4   log y log x x8+ y 8 = 5 8/  . log x− log y = 1  4 4  log( x+ y ) log( x+ y ) 20,5 = 5 5  9/  1 . log x+ log y =  2 2 2  y 2log x− 3 = 15 10/  2 . 3.logy x= 2.log x + 3 y+ 1  2 2 www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 210 -
Chuyên đề . PT – BPT – HPT – HBPT M ũ và Logarit www.MATHVN.com Ths. Lê V ăn Đoàn log xy= log x 2  x( ) y 11/  2 log x . yy = 4y3 +  x y  +  y x 12/ 4= 32 .  log x−=− y 1 log x + y  3( ) 3 ( )  x− 2y  x− y    1  3 =   13/ () 3 .    log x++ y log x −= y 4  2( ) 2 ( )  x y  xy+ = xy − 14/ ( ) ( ) . log x− log y = 1  2 2 log 2  log3( xy ) 3 4= 2 + ( xy ) 15/  . x2+ y 2 − 3x − 3y = 12   log y log x x3+ 2y 3 = 27 16/  . log y− log x = 1  3 3 log xy= log x 2  x y 17/  2 log x . yy = 4y3 +   lgx+ lgy = 4 18/  . xlg y = 1000   x− 2y x= 36 19/  . 4x− 2y + logx = 9  ( ) 6   y− x 5 ()x+ y.3 = 20/  27 .  3log x+ y = x − y  5 ( )  4  y x+ x = y 3 21/  .  4  x+ y y= x 3   xy+ 12 x= y 22/  , () x, y> 0 . yx+ y= x 3  x+ y + a = 1  23/  2 . 2.4a x+ y − xy = 2   5 log x+ log y = 24/  y x 2 .  log x2+ y 2 = 1  6 ( ) www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 211 -
Chuyên đề . PT – BPT – HPT – HBPT M ũ và Logarit www.MATHVN.com Ths. Lê V ăn Đoàn  5  xylog x= x 2 25/  y .  log y.log y− 3x = 1  4 y ( ) Bài t p 41. Gi ải các h ệ ph ươ ng trình logarit sau  2 log x− log y = 1 1/  y 2 . log x− log y = 1  4 4 ĐS: 2log 6−+−+ 3y xy 2x log x2 −+= 6x 9 6  3x− ( ) 2y− ( ) 2/  . log 5−− y log x += 2 1  3x−( ) 2y − ( ) ĐS:  2  2 log1 + 31 −= x log1 −+ y 2  2   3 ( ) 3/  .      2 2 log12 + 31 −= y log1 3 () −+ x 2    ĐS: log x− y = 1  xy ( ) 4/  .  2log5 xy.log() x+ y = 1  xy ĐS:  3 5 log x= log y − log 2 5/  2 2 2 . log x= 8 − log x  2 2 ĐS:  log2 x+ log 4 y = − 2log 1 4  6/  2 . log x+ log y = 5lg10  4 2 ĐS: log 1+ 3sinx = log 3cosy  2 3 ( ) 7/  . log 1+ 3cosy = log 3sinx  2 3 ( ) ĐS:  1 log x+4 x = logx  6( ) 2  4  16 π 8/ sin+ 1 .  π x  x <1 − cos  πx 4  cos  16 ĐS: Bài t p 42. Gi ải các h ệ b ất ph ươ ng trình m ũ – logarit  x y 2+ 2 ≤ 1 1/  . x+ y ≥ − 2   xy1+ − 2y1 − 4+ 3.4 ≤ 2 2/  . x+ 3y ≥ 2 − log 3  4 www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 212 -
Chuyên đề . PT – BPT – HPT – HBPT M ũ và Logarit www.MATHVN.com Ths. Lê V ăn Đoàn  2  x− 2x − 2 − log3 5 −()y + 4 3= 5 3/  .  2 4y−−+ y1 y3 + ≤ 8  ( )  x2 − 5x + 6 − log 2 33 = 2 −y − 1 4/  .  2 2y25y−− − y3 − ≥− 5  ( )  x2 − 8x + 12 − log 7 44 = 7 2y− 1 5/  .  2  y−− 3 3y − 2y + 1 ≥ 1  ( )  x2− 5x + 4 − log 2 55 = 2 y− 3 6/  .  2 3y− 5y1 ++ y2 − ≤ 3  ( )  2 2 log2 x− log 2 x 9 0  3 log x+ 2 > 2  x( ) 8/  . log 2x1−+ log 2 x1 + + 0 10/  2− x . log 2x− 2 > 0  4− y ( )  log( 5− y) ≤ 0 11/  x− 1 . log 2x− 2 ≤ 0  4− y ( )  log1 5− x 2  x ( )  2  x+ 4  ≥ 0 14/  2 − + . x 16x 64 lg x+≥ 7 lgx −− 5 2lg2  ( )  3x 2 2= 5y − 4y  Bài t p 43. Gi ải h ệ ph ươ ng trình:  4x+ 2 x+ 1 .  = y  x  2+ 2 ĐS: (x; y) = ( 0;1) ,( 2;4 ). www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 213 -
Chuyên đề . PT – BPT – HPT – HBPT M ũ và Logarit www.MATHVN.com Ths. Lê V ăn Đoàn  log y log x x3+ 2y 3 = 27 Bài t p 44. Gi ải h ệ ph ươ ng trình:  . log y− log x = 1  3 3   1 1    ĐS: x;y=  3;9 , ;   . ()()   9 3    log xy= log y Bài t p 45. Gi ải h ệ ph ươ ng trình:  y x . 2x+ 2 y = 3  Đề thi th ử Đạ i h ọc 2012 – Đề 17 – Th ầy V ăn Phú Qu ốc – Đạ i h ọc Qu ảng Nam 3 3  ĐS:   . ()x;y=  log2 ;log 2   2 2  log x− log y + 1 = 0  3 3 Bài t p 46. Gi ải h ệ ph ươ ng trình:  2y . 9.4x − 2.43 = 4  Đề thi th ử Đạ i h ọc n ăm 2013 l ần I – THPT Đứ c Th ọ – Hà T ĩnh ĐS: (x;y) = ( 1;3 ).  x+ logy3 = 3 Bài t p 47. Gi ải h ệ ph ươ ng trình:  .  2y2− y + 123 x = 81y ( ) Đề thi th ử Đạ i h ọc 2012 – Đề 6 – Th ầy V ăn Phú Qu ốc – Đạ i h ọc Qu ảng Nam ĐS: (x; y) = ( 2;3 ) .  2 2 2 lgx= lgy + lg( xy ) Bài t p 48. Gi ải h ệ ph ươ ng trình:  . lg2 x− y + lgx.lgy = 0  ( ) Đề thi th ử Đạ i h ọc n ăm 2010 – TTBDVH & LT ĐH Thành Đạ t     2   ĐS: ()()x;y=  2;1 , 2;   .  2      xlog 3+ log y = y + log x  2 2 2 Bài t p 49. Gi ải h ệ ph ươ ng trình:  . xlog12+ log x = y + log y  3 3 3 Đề thi th ử Đạ i h ọc n ăm 2011 kh ối A – THPT L ươ ng Ng ọc Quy ến – Thái Nguyên     ĐS: ()x;y=  log 2; 2 log 2 .  4 4   3 3   xy+ 2x + y = 6 Bài t p 50. Gi ải h ệ ph ươ ng trình:  . log x+ 1.log y + 2 = 2  2( ) 2 ( ) Đề thi th ử Đạ i h ọc 2011 – Đợ t 1 – TTBDVH Th ăng Long – Tp. H ồ Chí Minh ĐS: (x;y) = {( 1;2) ,( 3;0 )} .  3x1+ y2 − y3x + 2+ 2 = 3.2 Bài t p 51. Gi ải h ệ ph ươ ng trình:  .  3x2 ++ 1 xy = x + 1  Đề thi th ử Đạ i h ọc n ăm 2013 kh ối A – THPT S ầm S ơn – Thanh Hóa www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 214 -
Chuyên đề . PT – BPT – HPT – HBPT M ũ và Logarit www.MATHVN.com Ths. Lê V ăn Đoàn   −+1 log 3 + 2 2  8   2 ( )  ĐS: x;y= 0;log , ;2 − log 3 + 2 2 . ()  2   2 ()  11   3     3x2y− x 3x2y − 3− 5.6 + 4.2 = 0  Bài t p 52. Gi ải h ệ ph ươ ng trình:  2 .  xy−=+ y 2y − x 2y + x  ( )( ) Đề thi th ử Đạ i h ọc 2012 – Đề 20 – Th ầy V ăn Phú Qu ốc – Đạ i h ọc Qu ảng Nam       ĐS: ()()x;y=  0;0,2log 2;log 2   .  3 3   2 2   log xy+ log x2 = 4  x( ) y » Bài t p 53. Gi ải h ệ ph ươ ng trình:  2 ()x, y ∈ . 2 log y= log x.log 6 − x  4 2 2 ( ) Đề thi th ử Đạ i h ọc n ăm 2013 kh ối A, B – THPT Đặ ng Thúc H ứa – Ngh ệ An ĐS: (x;y) = {( 4;4) ,( 2;4 )}.  2 2 y+ x = x + y Bài t p 54. Gi ải h ệ ph ươ ng trình:  . 2x= 3 y+ 1  Đề thi th ử Đạ i h ọc n ăm 2010 l ần 1 kh ối D – THPT Phan Châu Trinh – Đà N ẵng       ĐS: ()x;y= log ;3,log () 9;1 − log 9  .  2 6 6  3    3x22++−+ 2y 8x4y8 x 2 ++ 4y5 2x 22 +++ y 4x4 2+ 2 = 33.2 Bài t p 55. Gi ải h ệ ph ươ ng trình:  . 2x+ y + 2 = 0  Đề thi th ử Đạ i h ọc n ăm 2013 l ần II – THPT Chuyên ĐHSP Hà N ội ∓  ∓  −±10 2510 45 −±  10 3510 65  ĐS: ()x;y=  ; ,  ;  . 5 5   5 5  www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 215 -
Chuyên đề . PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit www.MATHVN.com Ths. Lê Văn Đoàn Dạng 3 . Giải hệ mũ & logarit bằng phương pháp đơn điệu hàm số và bất đẳng thức I – Xem lại lí thuyết giải phương trình và bất phương trình mũ – loga sử dụng tính đơn điệu và bất đẳng thức. Thông thường, ta chọn một phương trình để thực hiện tính chất đơn điệu của hàm số, rồi kết hợp với phương trình còn lại. Để giải phương trình còn lại, ta cần nắm vững các phương pháp giải phương trình mũ, loga, đại số và thường gặp nhất là phương trình đại số. II –  x y 22−=−( yxxy2 )( + ) ( 1 ) Giải hệ phương trình:  xy22+ 2 = 2  () Đại học Quốc Gia Hà Nội khối A năm 1995 Bài giải tham khảo ● Thay ()2 vào ()1 ta được: ()()1⇔−=− 2xy 2 yxxyx() ++ 22 y ⇔2x − 2 y = y 3 − x 3 ⇔2x + x 3 = 2 y + y 3 ⇔fxfy()()() = 3 ● Xét hàm số ft() = 2t + t 3 trên » . f't()()= 2.ln2t + 2t 2 > 0, ∀ t ∈» ⇒ ft: đồng biến trên » ()4 ● Từ ()()()()3,4⇒ fx = fy ⇔= x y . ()2⇔ 2x2 =⇔ 2 xy = =± 1 . ● Vậy hệ có nghiệm duy nhất ()()x; y= 1;1 .  3 2 2x2xy1xy1()+ −−=()() + 1 Giải hệ phương trình:  y3+++ 4x1lny 2 + 2x = 0 2  () () Bài giải tham khảo ● Điều kiện: y2 + 2x > 0 . ()1⇔ 2x()3 +− 2x 2y1()() += xy1 2 + ⇔2xx()2 +−+ 2() y12x() += 2 0 ⇔()x2 + 22x() −−= y 1 0 ⇔−−=2x y 1 0 () do:x2 +> 2 0 ⇔y = 2x − 1 3 2  ()()()2⇔ 2x1 −+++ 4x 1 ln2x1 −+= 1  0   www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 216 -
Chuyên đề . PT – BPT – HPT – HBPT M ũ và Logarit www.MATHVN.com Ths. Lê V ăn Đoàn 3 2  ● Xét hàm s ố fx( ) =( 2x −+++ 1) 4x 1 ln2x( −+ 1) 1  trên » .   2 22x( − 1 ) f'x= 32x − 1 ++ 4 ()() 2 (2x− 1) + 1 4 2 32x( −+ 1) 72x( −+ 1) 22x( −+ 1) 4 f ' x = () 2 (2x− 1) + 1 4 2   2 32x1( −+) 62x1( −+) ( 2x1 −++) 1  3 f ' x =   >0, ∀ x ∈ » . () 2 (2x− 1) + 1 ⇒ f( x) : đồ ng bi ến trên » . ● Ta l ại có: fx( ) = f0( ) =⇔ 0 x0 =⇒=− y 1 . ● So v ới điều ki ện, nghi ệm c ủa h ệ là (x; y) =( 0; − 1 ).  2log2x7( + 3y) = log2 3 ( ++ 2x 3y) ( 1 ) Thí d 3. Gi ải h ệ ph ươ ng trình:  ln4x2++ x1 + x 3 + 219y = 2 2  ( ) () Bài gi ải tham kh ảo ● Điều ki ện: 2x+ 3y > 0 . t ● Đặ t log7 ( 2x+ 3y) =⇔ t 2x + 3y = 7 . t (1) ⇔ log23 ( + 7) = 2t ⇔2 + 7t = 9 t t  t 1  7  ⇔2. +   = 1 () 3 9  9  t  t 1  7  ● Xét hàm s ố f() t= 2.  +   trên » . 9  9  t  t 1 17   7 f't() = 2. .ln +   .ln ∀∈ 0,x » . 4xx12 ++ 4xx12 ++ ⇒ f( x) : đồ ng bi ến trên » ⇒ (4) có nghi ệm duy nh ất và 7 fx()()= f0 =⇔=⇒= 0 x0 y . 3 www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 217 -
Chuyên đề . PT – BPT – HPT – HBPT M ũ và Logarit www.MATHVN.com Ths. Lê V ăn Đoàn    7 ● So v ới điều ki ện, nghi ệm c ủa h ệ là ()x; y=  0; .  3  exy−+ e xy + = 2x1 +  ( ) » Thí d 4. Gi ải h ệ ph ươ ng trình:  x+ y , ()() x, y ∈ ∗ e= xy1 − +  Đề thi th ử Đạ i h ọc n ăm 2009 l ần 1 – THPT Đông S ơn I Bài gi ải tham kh ảo  x− y e= xy1 + + ()∗ ⇔  x+ y e= xy1 − +   v  e= u + 1 u= x + y ⇔  , với  eu = v + 1 v= x − y   − ⇔ev − e u = uv − ⇔ev + v = e u + u ⇔fv( ) = fu( ) ● Xét hàm s ố ft( ) = et + t trên » . f't( ) = et + 1 > 0,t ∀ ∈» ⇒ ft:( ) đồ ng bi ến trên » .  y= 0 fv= fu ⇔ uv = ⇔ xyxy + = − ⇔  . ()() x= 0  ● V ậy h ệ có nghi ệm duy nh ất x= y = 0 .  2y  log  = x2y − 1 2014   ()  x  Thí d 5. Gi ải h ệ ph ươ ng trình:  3 3 x+ y 2 2  =x + y () 2  xy Đề thi th ử Đạ i h ọc n ăm 2010 – TTBDVH & LT ĐH Quang Minh Bài gi ải tham kh ảo ● Điều ki ện: xy> 0 . (2) ⇔+= x33 y xy(x 22 +>⇒> y) 0 x0,y0 > . 2y ()1⇔ = 2014 x− 2y x 2y 2014 x ⇔ = x 2014 2y ⇔2y.20142y = x.2014 x ⇔f2y( ) = fx( ) (3) ● Xét hàm s ố f( t) = t.2014 t trên kho ảng (0; +∞). t  f '() t= 2014t  1 + > 0, ∀ t ∈() 0; +∞ (4)  ln 2014   ● T ừ (3,4) ( ) ⇒ 2y = x . 3 3 (2y) + y 2 ● Thay x= 2y vào (2) , ta đượ c: ()2⇔ =() 2yy + 2 2y 2 www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 218 -
Chuyên đề . PT – BPT – HPT – HBPT M ũ và Logarit www.MATHVN.com Ths. Lê V ăn Đoàn    9  9 x = 9 2 y =  ⇔y = 5y ⇔ 10 ⇒  5 . 2   9 y= 0 () L y =   10   9 9  ● V ậy nghi ệm h ệ là: ()x; y=  ;  . 5 10  2  2 2 x+ 2014 2013y− x = ()1 Thí d 6. Gi ải h ệ ph ươ ng trình:  y2 + 2014  3logx++= 2y 6 2logx +++ y 2 1 2  3( ) 2 ( ) ( ) Bài gi ải tham kh ảo  x+ 2y + 6 > 0 ● Điều ki ện:  3 x+ y + 2 > 0 ()  2 2 2 x+ 2014 ()1⇔ y − x = log 2013 y2 + 2014 22 2 2 ⇔−=y x log2013( x +− 2014) log 2013 ( y + 2014 ) 2 2 2 2 ⇔+y log2013 ( y + 2014) =+ x log2013 ( x + 2014 ) ⇔fy( 2) = fx( 2 ) (4) ● Xét hàm s ố f t= t + log t + 2014 trên 0; +∞ . ( ) 2013 ( )  ) 1  f '() t= 1 + > 0, ∀ t ∈ 0; +∞). (t+ 2014) ln2013  đồ ng bi ến trên  ⇒ f( t ) 0; +∞) (5) y= x ● T ừ 4,5⇒ fy2 = fx 2 ⇔ y 22 = x ⇔  . ()() ()() y= − x  ● V ới y= x thì (2) ⇔ 3log3( 3x += 6) 2log 2 ( 2x ++ 2) 1 ⇔3log 3.x += 2  2log  2.x ++ 1  1 3( )  2 ( )  ⇔+31 log x +=+ 2  21 logx ++ 1  1 3( )  2 ( )  ⇔3log3( x += 2) 2log 2 ( x + 1 ) (6) Đặ t: 3log3( x+= 2) 2log 2 ( x += 1) 6u . Khi đó:  log3 ( x+ 2) = 2u ()6 ⇔  log x+ 1 = 3u  2 ( )  2u x+ 2 = 3 ⇔  x+ 1 = 2 3u   u x= 9 − 2 ⇔  x= 8u − 1  ⇔9u −= 2 8 u − 1 ⇔8u + 1 = 9 u www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 219 -
Chuyên đề . PT – BPT – HPT – HBPT M ũ và Logarit www.MATHVN.com Ths. Lê V ăn Đoàn u  u 8  1  ⇔f() u = +   = 1 . 9  9  u  u 8  1  Xét hàm s ố f() u = +   trên » . 9  9  u  u 8 81   1 f'u() = .ln +   .ln ∀∈ » . t12+ t1 2 + ⇒ hàm s ố f( t ) đồ ng bi ến trên » (4) ● T ừ (3,4) ( ) ⇒ fu( ) = fv( ) ⇔= u v . ● Thay u= v vào (1) , ta đượ c: (1) ⇔ 3u =+ u u1 2 + ⇔=u logu + u2 + 1 3 ( ) www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 220 -
Chuyên đề . PT – BPT – HPT – HBPT M ũ và Logarit www.MATHVN.com Ths. Lê V ăn Đoàn ⇔−u logu + u2 += 1 0 . 3 ( ) ● Xét hàm s ố fu=− u logu + u2 + 1 trên » . ( ) 3 ( ) u 1 + u2 + 1 1 f'u1() =− =− 1 >∀∈ 0,u » . (u+ u2 + 1.ln3) u2 + 1.ln 3 ⇒ f( u ) đồ ng bi ến trên » .   ux10=−=  x1 = ● Ta l ại có: fx= f0 = 0 ⇔ u0 = ⇔ v0 = ⇔ ⇔  . ()() vy10=−=  y1 =   ● V ậy h ệ có nghi ệm duy nh ất (x; y) = ( 1;1 ).  3x 3 exx++ ln − e yy + = 0 () 1 Thí d 8. Gi ải h ệ ph ươ ng trình:  y  2y2+ 5x17x −= 3 − 1 2  ( ) Bài gi ải tham kh ảo ● Điều ki ện: x> 1 và y> 0 . 3 3 (1) ⇔ exx+ +−− lnxlnye yy + = 0 3 3 ⇔exx+ + ln x = e yy + + ln y ⇔fx( ) = fy( ) (3) 3 ● Xét hàm s ố ft( ) = et+ t + lnt trên kho ảng (1; +∞). 3 1 f't() = 3t2 + 1.e t+ t + > 0,t ∀ ∈() 1; +∞ . ( ) t ⇒ f( t) : đồ ng bi ến trên (1; +∞) (4) ● T ừ (3,4) ( ) ⇒ fx( ) = fy( ) ⇔= x y . (2) ⇔ 2x2 +−= 5x 1 7x 3 − 1 ⇔−+3x1( ) 2x( 2 ++= x1) 7x1x( −)( 2 ++ x1 ) ( ∗ ) x2++ x1 x 2 ++ x1 ⇔32. + = 7 (5) x1− x1 − x2 + x + 1 Đặ t t= ,t0 () ≥ . x− 1 1 ()5⇔ 2t7t302 − +=⇔= t ∨= t3 . 2 x2 + x1 + 1 ● V ới t= =⇔++= 4x4x30:2 vô nghi ệm. x− 1 2 x2 + x + 1 ● V ới t= =⇔−+=⇔=± 3x8x100x462 . x− 1 ● So v ới điều ki ện, nghi ệm c ủa h ệ là (x;y) =−{( 4 6;4 − 6,4) ( + 6;4 + 6 )}. www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 221 -
Chuyên đề . PT – BPT – HPT – HBPT M ũ và Logarit www.MATHVN.com Ths. Lê V ăn Đoàn Lưu ý : Ở (∗), tôi đã dùng đồ ng nh ất: 2x2 + 5x1 −=α( x1 −) +β( x2 ++ x1 ) tìm hai s ố α=3, β= 2 . Để tìm hi ểu k ĩ h ơn v ề v ấn đề này, các em h ọc sinh nên đọ c Chuyên đề ph ươ ng trình, b ất ph ươ ng trình, h ệ ph ươ ng trình đạ i s ố của cùng tác gi ả.  x x3++ xlog = 8y 3 ++ 2y1 1  2 () Thí d 9. Gi ải h ệ ph ươ ng trình:  y  1 yxy02 − + = () 2  4 Bài gi ải tham kh ảo x ● Điều ki ện: >0,y ≠⇔ 0 xy > 0 . y 3 3 (1) ⇔++ x x logx2 − logy 2 =++ 8y 2y 1 3 3 ⇔++x x log2 x =( 2y) ++( 2y) log2 y + log 2 2 3 3 ⇔++x x logx2 =( 2y) +( 2y) + log2y2 ⇔fx( ) = f2y( ) (3) ● Xét hàm s ố 3 trên các kho ảng . ft( ) = t + t + logt2 (−∞;0) ∪( 0; +∞)   2 1 2t+ 1 + > 0khit ∈() 0; +∞ 2 1  f't() = 2t ++ 1 =  tln 2 t ln 2  2 1 2t+ 1 − > 0khit ∈() −∞ ;0  tln 2 ⇒f't( ) > 0,t ∀ ∈( −∞ ;0) ∪( 0; +∞) ⇒ ft:( ) đồ ng bi ến. (4) x= 2y ● T ừ 3,4⇔ fx = f2y ⇔ x = 2y ⇔  . ()() () () x= − 2y    1  1 2 1 y=  y = − ● V ới x= 2y thì ()2⇔−+=⇔ y 0 2 ∨  2 . 4 x1=  x = − 1   1 ● V ới x= − 2y thì ()2⇔ 2y2 + = 0: vô nghi ệm. 4   1 1   ● So v ới điều ki ện, nghi ệm c ủa h ệ là x;y= 1; ,  − 1; −   . ()     2 2    (x3x4yy7−)( +=) ( − ) ( 1 )  Thí d 10. Gi ải h ệ ph ươ ng trình:  x− 1 log 2− y = 2  x− 1 () 2 ()  y Đề thi th ử Đạ i h ọc n ăm 2013 l ần 4 kh ối A – THTP Qu ế Võ s ố 1 – Bắc Ninh Bài gi ải tham kh ảo  1< x ≠ 2 ● Điều ki ện:  . 0≠ y < 2  (1) ⇔ x2 +− x12 = y 2 − 7y 2 2 ⇔−+(x1) 3x1( −=−) ( 2y) + 32y( − ) www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 222 -
Chuyên đề . PT – BPT – HPT – HBPT M ũ và Logarit www.MATHVN.com Ths. Lê V ăn Đoàn ⇔fx( −= 1) f2( − y ) (3) ● Xét hàm s ố ft( ) = t2 + 3t trên (0; +∞). f't( ) = 2t + 3 > 0,t ∀ ∈( 0; +∞) ⇒ ft:( ) đồ ng bi ến trên (0; +∞) (4) Mà (x− 1) ∈( 0; +∞) và (2− y) ∈( 0; +∞) (5) ● T ừ (3,4,5) ( ) ( ) ⇔ fx1( −=) f2y( −) ⇔−=−⇔=− x12y x 3y .  2− y 2 y1x2= ⇒ = ( L )  . ()()2⇔ log2− y 2 − y = ⇔y + y2 − = 0 ⇔  y2 y=− 2x5 ⇒ = N  ( ) ● V ậy h ệ ph ươ ng trình có nghi ệm duy nh ất (x; y) =( 5; − 2 ).   2    y+ y + 5  2 2 6ln  =−() xyxxyy2() ++− () 1 Thí d 11. Gi ải h ệ ph ươ ng trình:   x+ x2 + 5      2 2 2 7x++= 13y 8 2x.x3y3 +− 3x1 2  ( ) () Bài gi ải tham kh ảo  2 2 2 x+ x5x +>+ x ≥+≥ xx0 y+ y + 5 ● Ta có:  ⇒ > 0 y+ y5y2 +>+ y 2 ≥+≥ yy0 x+ x2 + 5  ⇒ Tập xác đị nh: D = » . (1) ⇔ 6lny( + y2 +− 5) 6lnx( + x 233 +=−−+ 5) x 2x y 2y ⇔6lnx( + x23 ++−= 5) x 2x 6lny( + y 23 +++ 5) y 2y ⇔f( x) = f( y) (3 ) ● Xét hàm s ố ft( ) = 6lnt( + t2 ++− 5) t 3 2t trên » .    t  1 +   2   t+ 5   6 2 2   2 2 2 . f't6() = +−= 3t2 +−= 3t23 +− t  tt5++2 t5 2 + t52 + 3  2 f ' t 2  26 t+ 5 ( ) 22 21 1t5+  ( ) 17 ⇒= +−=t  + + + − .   3t52+ 3 t5t5 2 + 2 + 27  27 3 2  Cauchy 2  1 1t5+ 1 1t5 +  ++≥ 3.3 . . = 1  2 2 27 2 2 27 Mà: t5t5++  t5t5 ++ .  2 26t()+ 5 26.5 130  ≥ =  27 27 27 2 2   1 1 t+ 5 26( t+ 5 ) 17 130 17 4 ⇒ + + + −≥+−=1   t2+ 5 t 2 + 5 27  27 3 27 3 27 f '( t ) 4 12 ⇒ ≥ ⇔f't() ≥ > 0 ⇒ ft:() đồ ng bi ến trên » . 3 27 27 ● T ừ (3,4) ( ) ⇒ fx( ) = fy( ) ⇔= x y . www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 223 -
Chuyên đề . PT – BPT – HPT – HBPT M ũ và Logarit www.MATHVN.com Ths. Lê V ăn Đoàn (2) ⇔++= 7x2 13x 8 2x 23 x3x( 2 +− 3x 1 ) 7138 31 ⇔+ + =23 3 +− (do x= 0 không là nghi ệm ph ươ ng trình) xx2 x 3 x x 2 1 ⇔8 α+3 12 α+α= 2 723 −α+α+ 2 33 với α = x 3 3 ⇔()()21221 α+ + α+ =( 3 −α+α+2 332) + 3 −α+α+ 2 33 ⇔f21f( α+) =( 3 −α+α+2 33 ) (5) ● Xét hàm s ố f(β) =β3 + 2 β trên » . f'(β=β+) 32 20, > ∀β∈» ⇒ f:( β ) đồ ng bi ến trên » (6) ● T ừ (5,6f21f) ( ) ⇒( α+) =( 3 −α+α+2 3321) ⇔α+ =3 −α+α+2 33 3 ⇔(21 α+) =−α2 + 33 α+ ⇔8 α+3 13 α+α− 2 3 20 = ⇔α+( 18)( α+α−2 5 2) = 0 −−5 89 −+ 5 89 ⇔α=−∨α=1 ∨α= 16 16 16 ⇒xy = =− 1 ∨ xy = = . −5 ± 89   16 16   ● V ậy nghi ệm c ủa h ệ là x;y= − 1; − 1 , ;   . ()()   −±5 89 −± 5 89    2 x+ 5x40 + ≤ ( 1 ) Thí d 13. Gi ải h ệ ph ươ ng trình:   2+ x .3x fx( ) luôn luôn đúng −−4; 1  −− 4; 1   ∀x ∈− 4; − 1  . Do đó t ập nghi ệm c ủa b ất ph ươ ng trìn là x∈ − 4; − 1  .     www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 224 -
Chuyên đề . PT – BPT – HPT – HBPT M ũ và Logarit www.MATHVN.com Ths. Lê V ăn Đoàn  xy1+ − 2y1 − 4+ 3.4 ≤ 2 ( 1 ) Thí d 14. Gi ải hệ b ất ph ươ ng trình:  x3y2log3+ ≥ − 2  4 ( ) Đạ i h ọc Kinh T ế Tp. H ồ Chí Minh n ăm 1995 Bài gi ải tham kh ảo 1 ()2⇔+ x 3y −≥− 2 log4 3 = log 4 . 3 Cauchy 1 log (1) ⇔≥+≥ 2 4xy1+− 3.4 2y1 − 2.4 xy1 +−− .3.4 2y1 = 2.3.4 x3y2 +− ≥ 2.3.44 3 = 2 .  xy1+ − 2y1 − 4+ 3.4 = 2 Do đó:  4xy1+ −= 3.4 2y1 −   x+ y − 1 4= 1 ⇔  3.42y− 1 = 1  4xy1+ − = 4 o  ⇔   2y− 1 1 4 =  3  x+ y − 1 = 0  ⇔  1 2y− 1 = log  4 3  1 1 x= + log3  4 ⇔  2 2 .  1 1 y= − log3  2 2 4 11 11  ● V ậy h ệ b ất ph ươ ng trình có nghi ệm:  . ()x;y= + log3;4 − log3 4  22 22   x2 − 2x − 3 − log 5  −()y + 4 3 5= 3 1 Thí d 15. Gi ải h ệ b ất ph ươ ng trình:  ( )  2 4yy1y3−−+ + ≤ 8 2  ( ) ( ) Đạ i h ọc S ư Ph ạm Hà N ội 2 kh ối A n ăm 2000 Bài gi ải tham kh ảo x2 − 2x − 3 − log 5 −()y + 4 3 −log 5 ● T ừ (15) ⇔= 3 ≥= 33 5 −1 ⇔−(y41y3 +) ≥− ⇔ ≤− ( 3 ) y≤ − 3  ● K ết h ợp v ới (2,) ( 3,) ta đượ c:  2 −4y +−+ y1 y + 3 ≤ 8  ( )  y≤ − 3 ⇔ ⇔=−y 3 . −3 ≤ y ≤ 0  x2 − 2x − 3 − log 5 ● Thay y= − 3 vào (1) ta đượ c: (1) ⇔ 33 = 5 −1 2 −1 ⇔x −−− 2x 3 log53 = log5 3 ⇔x2 − 2x − 3 = 0 www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 225 -
Chuyên đề . PT – BPT – HPT – HBPT M ũ và Logarit www.MATHVN.com Ths. Lê V ăn Đoàn ⇔x2 − 2x −= 3 0   x= − 1  x3 = ⇔ ∨  . y=− 3  y =− 3   ● V ậy nghi ệm c ủa h ệ là S=−−{( 1; 3) ;( 3; − 3 )} . 2222yx−+ y = x1 + 1  ( ) Thí d 16. Gi ải h ệ ph ươ ng trình:  logx2 + 3y +− 1 logy =− 2x2 + 4y − 1 2  5( ) 5 () Đề thi th ử Đạ i h ọc n ăm 2012 – đề s ố 4 – Th ầy V ăn Phú Qu ốc – Đạ i h ọc Quãng Nam Bài gi ải tham kh ảo ● Điều ki ện: y> 0 . ● Chia hai v ế (1) cho 2x > 0, ta đượ c: 2( y− x ) (12) ⇔ + 2y− x = 2  y− x t= 2 > 0 ⇔  t2 + t2 − = 0   y− x t= 2 > 0 ⇔  t=− 2L ∨= t1  ( ) ⇔2y− x = 1 ⇔y − x = 0 ⇔y = x > 0 . 2⇔ logx2 ++− 3x 1 logx =−+− 2x2 4x 1 ( ) 5( ) 5 x2 + 3x + 1 ⇔log =−−++ 2x2x112 5 x ( ) 1  2   ⇔logx5  ++=− 3 2x11()() − + 3 x    1Cauchy 1 1  x+ ≥ 2x ⇔++≥⇔ 35logx ++≥ 31  5   ● Ta có: ∀x > 0 :  x x x   ()4  2 2 2  x1− ≥⇒− 0 2x1 − ≤⇔− 0 2x1 − +≤ 11 ( ) ( ) ( ) ● T ừ (3) ,( 4 ) ⇒ Dấu "= " trong các đánh giá (4) đồ ng th ời x ảy ra ⇔x = 1 . ● V ậy nghi ệm h ệ ph ươ ng trình là (x; y) = ( 1;1 ). BÀI T ẬP TƯƠ NG T Ự Bài t p 1. Gi ải các h ệ ph ươ ng trình sau  x y 2− 2 = yx − a/  2 2 . ĐS: (x;y) =( −− 1; 1) ,( −− 3; 3 ) . 2x+ 4x − y =− 3 { }   x 3= 2y + 1 b/  y . ĐS: (x;y) = ( 0;0) ,( 1;1 ) . 3= 2x + 1 { }  www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 226 -
Chuyên đề . PT – BPT – HPT – HBPT M ũ và Logarit www.MATHVN.com Ths. Lê V ăn Đoàn  x 3+ 2x = y + 11 c/  . ĐS: x;y= 2;2 . 3y + 2y = x + 11 ( ) ( )   x− 1 7= 6y − 5 d/  y− 1 . ĐS: (x;y) = ( 1;1) ,( 2;2 ) . 7= 6x − 5 { }   x 2+ 2x = 3 + y e/  . ĐS: (x; y) = ( 1;1 ). 2y + 2y = 3 + x  x− y = ex − e y  Bài t p 2. 2 Gi ải h ệ ph ươ ng trình: log x+ 3log y = 2 .  2 1  2 ĐS: (x;y) = {( 2;2) ,( 4;4 )} .   x 1− y x 2− 2 + log = 0 Bài t p 3. Gi ải h ệ ph ươ ng trình:  2 1− y .  x1− y + 5y += 1 0  ( ) Đề thi th ử Đai h ọc l ần I n ăm 2013 – THPT Đông S ơn I – Thanh Hóa ĐS: (x;y) ={( 2; − 1) ,( 3; − 2 )}. 1  8y 2 +  x2 + 1 2− 42 = 32y − x Bài t p 4. Gi ải h ệ ph ươ ng trình:  ( ).  2  ()x+ y 3 7 2+ x + y =  2 2   4 1  ĐS: ()x; y=  ;  . 5 5   x1− y1 − e− e = xy − Bài t p 5. Gi ải h ệ ph ươ ng trình:  ()x, y ∈ » . log 3+ log() xy −−+= x y 1 5  ()x− 1 3 Đề thi th ử Đạ i h ọc n ăm 2012 – THPT chuyên Ngo ại Ng ữ – Đạ i h ọc S ư Ph ạm Hà N ội ĐS: (x;y) =( 4;4,1) ( +4 3;1 + 4 3 ).  x y 3− 3 = yx −  Bài t p 6. Gi ải h ệ ph ươ ng trình:  9 2y .  + = 1 x2 2  2y+ 9     32 32   ĐS: ()x;y= − ; −   .  2 2      x− y  =ln2()() +− x ln2 + y Bài t p 7. Gi ải h ệ ph ươ ng trình:  2 .  2x2− 6x += 4 3x 3 + 8  ĐS: (x;y) =−{( 3 13;3 − 13,3) ( + 13;3 + 13 )}.  x x 2− 2 = 3y − 3 Bài t p 8. Gi ải h ệ ph ươ ng trình:  . 3y− 2 = 3x − 2 y  www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 227 -
Chuyên đề . PT – BPT – HPT – HBPT M ũ và Logarit www.MATHVN.com Ths. Lê V ăn Đoàn Olympic 30 – 04 – 2008 ĐS: (x;y) = {( 0;0) ,( 1;1 )} .  log x+ 3 = 1 + logy Bài t p 9. Gi ải h ệ ph ươ ng trình:  2 3 . log y+ 3 = 1 + logx  2 3 ĐS: (x; y) = ( 1;1 ).  x y e− e = xy − Bài t p 10. Gi ải h ệ ph ươ ng trình:  .  x 3 log+ log 4y = 10  2 2 2 HSG t ỉnh H ưng Yên – Khối 12 – năm h ọc 2007 – 2008  2 2 x− y + 5x − 3y += 4 0 Bài t p 11. Gi ải h ệ ph ươ ng trình:  . log x−+ 1 log y −= 3 1  12( ) 12 ( ) Đề thi th ử Đạ i h ọc n ăm 2013 – THPT D ươ ng Đình Ngh ệ – Thanh Hóa ĐS: (x; y) = ( 5;6 ).  3 2 3 x− 3x = y − 3y − 2  Bài t p 12. Gi ải h ệ ph ươ ng trình:  3 .  x2− y1 − logy+ log x =() x − 3  y1− x2 − Đề thi th ử Đạ i h ọc n ăm 2010 – Đợ t 2 – TTBDVH Th ăng Long – Tp. HCM ĐS: (x; y) = ( 3;2 ).  2xy− 12xy −+ 2xy1 −+ (14+) 5 = 12 + Bài t p 13. Gi ải h ệ ph ươ ng trình:  . y3+++ 4x 1 lny 2 + 2x = 0  ( ) HSG t ỉnh Ti ền Giang n ăm 2011 – 2011 (ngày th ứ hai: 26/10/2011) ĐS: (x; y) =( 0; − 1 ).  (2014x+ 2014y) x −=− y x 1 Bài t p 14. Gi ải h ệ ph ươ ng trình:  ( ) .  23+2xy− .5 12xy −+ = 12 + 2xy1 −+ ( ) ĐS: (x; y) = ( 1;1 ).   x− y sin x e =  sin y Bài t p 15. Gi ải h ệ ph ươ ng trình:  .   2 2   1+− 1x = x121y + −       1 1    ĐS: x;y=  ; , 1;1  . ()   ()  2 2    x+ 9999 2014 y− x = Bài t p 16. Gi ải h ệ ph ươ ng trình:  y+ 9999 .  y4x2 ++− 1 y 3 5 − 2x = 0  ( ) ( )    21− 1 21 − 1  ĐS: ()x;y=  ; .  4 4   www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 228 -
Chuyên đề . PT – BPT – HPT – HBPT M ũ và Logarit www.MATHVN.com Ths. Lê V ăn Đoàn  3x  log   = 3y − x  2014  y  Bài t p 17. Gi ải h ệ ph ươ ng trình:    .     24y  2 3x2+ y3 ++ + 2xx110 +++=  ()  ()  3     1 1  ĐS: ()x; y= − ; − .  5 15   2log x3 − 8 y 3 log y3 − 8 ()xyx−()2 ++−+ xyy 2 2 24 = 6ln + 3 27 Bài t p 18. Gi ải h ệ ph ươ ng trình:  x .  y3− 15x 2 +−= 78y 141 53 2y − 9     11± 511 ± 5   ĐS: ()()x;y=  4;4 , ;   .  2 2      7yx−=− 7 xyx 22 ++ y xy +− x 33 y  ( )( ) Bài t p 19. Gi ải h ệ ph ươ ng trình:  .  x+ 3 −− y2 8x + 48 =− y 24 ( ) ĐS: (x;y) =−−{( 2 27; −− 2 27,) ( −− 5 31; −− 5 31 )}. y x  x y (1+ 2014) =( 1 + 2014 ) Bài t p 20. Gi ải h ệ ph ươ ng trình:  . 2014x− 1=−+ y 1 y 2 − 2y + 2  ĐS: (x; y) = ( 1;1 ).  2 2 x+ y + x + y = 18 Bài t p 21. Gi ải h ệ ph ươ ng trình:  . log x.log y= 1  2 3 ĐS: (x;y) = {( 2;3) ,( 3;2 )}.  xy− 1xy −+ xy2 −+ (14+) .5 = 13 +  Bài t p 22. Gi ải h ệ ph ươ ng trình:  1 . x2 − 3yy −=− 12y  x 1± 5 ĐS: xy== ∨==± xy25 . 2  2 2  2 log2x13()()−− logx 3 −= y 4x ++− 4x 2() x −++−− y 1()() x y 4xx + 1 Bài t p 23. Gi ải:  . log−−+ 2y 2 4x2 − 4x 2 +=− 1 1 2  3 ( )   1 3  ĐS: ()x; y= ; − . 2 2    2  2 2 y + y + 9  ()x− yx ++−= xy y 2 6ln    ()  2  Bài t p 24. Gi ải h ệ ph ươ ng trình:  x+ x + 9 .  x3− 2x + 1 = y 2    ππ 3 ππ 3  5 ππ 5   ĐS: x;y=  2 cos ;2 cos ,  2 cos ;2 cos  ,  2 cos ;2 cos   . ()       77  77  77   www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 229 -
Chuyên đề . PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit www.MATHVN.com Ths. Lê Văn Đoàn E– – – I – Phương pháp giải bài toán có tham số thường ứng dụng kiến thức của tam thức bậc hai (rất ít) hoặc ứng dụng của đạo hàm (phổ biến) sau khi chuyển về phương trình – bất phương trình đại số. Xét tam thức bậc hai: fx()()= ax2 ++ bx c,a ≠ 0, ∆=− b2 4ac .  b S= x + x =−  1 2 Gọi S, P là tổng và tích của hai nghiệm x , x . Hệ thức Viét:  a . 1 2  c P= x x =  1 2 a  Điều kiện f() x= 0 có hai nghiệm trái dấu ⇔P 0  Điều kiện f x= 0 có hai nghiệm phân biệt cùng dấu ⇔  . () P> 0  ∆ > 0   Điều kiện f x= 0 có hai nghiệm phân biệt dương ⇔S > 0 . ()  P> 0  ∆ > 0   Điều kiện f x= 0 có hai nghiệm phân biệt âm ⇔S 0   Khi so sánh hai nghiệm với số α ≠ 0, ta thường đặ t t= x − α để chuyển về so sánh với số 0, cụ thể như sau: x>α  x −α> 0 x+ x − 2 α> 0 1  1  1 2 + x> x > α ⇔ ⇔  ⇔  . 2 1 x>α  x −α> 0  x−α x −α> 0 2  2 (1 )( 2 ) x 0 2  2 (1 )( 2 ) + x1 0, ∀ x ∈» ⇔  . + f x≥ 0, ∀ x ∈» ⇔  . () a> 0 () a> 0     ∆ < 0 ∆ ≤ 0 + f x< 0, ∀ x ∈» ⇔  . + f x≤ 0, ∀ x ∈» ⇔  . () a< 0 () a< 0   . Tìm m để phương trình f() x;m= 0 có nghiệm trên D ?  Bước 1. Độc lập (tách) m ra khỏi biến số x và đưa về dạng fx()()= Am .  Bước 2. Lập bảng biến thiên của hàm số f() x trên D.  Bước 3. Dựa vào bảng biến thiên xác định giá trị của tham số m để đường thẳng y= A() m nằm ngang cắt đồ thị hàm số y= f() x . www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 230 -
Chuyên đề . PT – BPT – HPT – HBPT M ũ và Logarit www.MATHVN.com Ths. Lê V ăn Đoàn  Bướ c 4. K ết lu ận nh ững giá tr ị c ần tìm c ủa m để ph ươ ng trình fx( ) = Am( ) có nghi ệm trên D. Lưu ý : Nếu hàm s ố y= f( x ) có GTLN và GTNN trên D thì giá tr ị m c ần tìm là nh ững m th ỏa mãn: min f x≤ A m ≤ max f x . D( ) ( ) D ( ) Nếu bài toán yêu c ầu tìm tìm tham s ố để ph ươ ng trình có k nghi ệm phân bi ệt, ta ch ỉ cần d ựa vào b ảng bi ến thiên để xác đị nh sao cho đườ ng th ẳng y= A( m ) nằm ngang cắt đồ th ị hàm s ố y= f( x ) tại k điểm phân bi ệt. Bài toán 2 . Tìm m để b ất ph ươ ng trình f( x;m) ≥ 0 ho ặc f( x;m) ≤ 0 có nghi ệm trên D ?  Bướ c 1. Độ c l ập (tách) m ra kh ỏi bi ến s ố x và đư a v ề d ạng fx( ) ≥ Am( ) ho ặc fx( ) ≤ Am( ) .  Bướ c 2. L ập b ảng bi ến thiên c ủa hàm s ố f( x ) trên D.  Bướ c 3. D ựa vào b ảng bi ến thiên xác đị nh giá tr ị c ủa tham s ố m để b ất ph ươ ng trình có nghi ệm: + Với b ất ph ươ ng trình fx( ) ≥ Am( ) đó là nh ững m sao cho t ồn t ại ph ần đồ th ị nằm trên đườ ng th ẳng y= Am, tức là A m≤ max f x khi max f x ∃ ( ) ( ) D ( ) ( D ( ) ) . + Với b ất ph ươ ng trình fx( ) ≤ Am( ) đó là nh ững m sao cho t ồn t ại ph ần đồ th ị nằm d ướ i đườ ng th ẳng y= Am, tức là A m≥ min f x khi minf x ∃ . ( ) ( ) D ( ) ( D ( ) ) Bài toán 3 . Tìm tham s ố m để b ất ph ươ ng trình fx( ) ≥ Am( ) ho ặc fx( ) ≤ Am( ) nghi ệm đúng ∀x ∈ D ?  Bất ph ươ ng trình fx≥ Am nghi ệm đúng ∀∈⇔x D min f x ≥ A m . ( ) ( ) D ( ) ( )  Bất ph ươ ng trình fx≤ Am nghi ệm đúng ∀∈⇔x D max f x ≤ A m . ( ) ( ) D ( ) ( ) Lưu ý : Khi đổ i bi ến, c ần quan tâm đế n điều ki ện c ủa bi ến m ới. Ngoài nh ững ph ươ ng pháp trên, ta còn s ử d ụng điều ki ện c ần và điều ki ện đủ để gi ải quy ết bài toán ch ứa tham s ố. D ựa vào đặ c điểm ho ặc tính ch ất đặ c thù c ủa đề bài mà ta tìm ra đượ c điều ki ện c ần c ủa bài toán. Sau đó, ki ểm tra l ại b ằng điều ki ện đủ . Ph ươ ng pháp này đòi h ỏi các b ạn ph ải có tr ực quan t ốt và m ột kinh nghi ệm phong phú. II – CÁC THÍ D Các thí d ụ v ề ph ươ ng trình m ũ – bất ph ươ ng trình m ũ ch ứa tham s ố x x Thí d 1. Tìm m để ph ươ ng trình: (2+ 3) +−( 23) = m ( ∗ ) có hai nghi ệm ? Đạ i h ọc Qu ốc Gia Tp. H ồ Chí Minh n ăm 1996 Bài gi ải tham kh ảo x x (∗⇔+) (2 3) +−( 23) = m www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 231 -
Chuyên đề . PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit www.MATHVN.com Ths. Lê Văn Đoàn  x t= 2 + 3 > 0  ( ) ⇔  1  1 () t+ = m  t Cách 1. Sử dụng phương pháp hàm số 1 ● Xét hàm số f() t= t + trên ()0; +∞ . t 1 t2 − 1 f't() =−= 1 .Chof't () =⇔=± 0 t 1 . t2 t Bảng biến thiên: t −∞ −1 0 1 +∞ + 0 − − 0 + f '( t ) f() t 2 ● Dựa vào bảng biến thiên, phương trình có hai nghiệm m> 2 . ● Vậy m∈() 2; +∞ thỏa yêu cầu bài toán. Cách giải 2. Sử dụng tam thức bậc hai  t> 0 ⇔  t2 − mt + 1 = 0   2 ∆=m − 4 > 0 ⇔  S= m > 0   m ⇔ ⇔m > 2 . m> 0  ● Vậy m∈() 2; +∞ thỏa yêu cầu bài toán. Tìm giá trị m để phương trình: 2 có nghiệm log1() m++ 6x log 2 () 3 −−= 2x x 0 () ∗ 2 duy nhất ? Đề thi thử Đại học năm 2011 lần V – THPT Lương Thế Vinh – Hà Nội Bài giải tham khảo 2 ()()∗⇔log2 m += 6x log 2 () 3 −− 2x x  2 3− 2x − x > 0 ⇔  m+ 6x =− 3 2x − x 2   −3 < x < 1 ⇔  . m=− x2 − 8x + 3  ● Yêu cầu bài toán ⇔ tìm tham số m để phương trình fx() =− x2 − 8x + 3 = m có nghiệm duy nhất x∈() − 3;1 . ● Xét hàm số fx() =− x2 − 8x + 3 trên khoảng ()−3;1 . f'x() = − 2x − 8 . www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 232 -
Chuyên đề . PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit www.MATHVN.com Ths. Lê Văn Đoàn f'x() = 0 ⇔− 2x80 − = ⇔ x =− 4 . Bảng biến thiên x −∞ −4 −3 1 +∞ + 0 − − f '( x ) 18 f() x −6 ● Dựa vào bảng biến thiên ⇒m ∈() − 6;18 thỏa yêu cầu bài toán. (1+ x )( 2 − x ) Tìm giá tr ị của m để cho ph ươ ng trình ()x− m.3.2x = 0 () ∗ có nghi ệm ? Bài giải tham khảo ● Điều kiện: −1 ≤ x ≤ 2 . ()∗⇔−x m.3x = 0 x ⇔m = = g() x 3x x ● Xét hàm số f() x = trên đoạn −1;2  . 3x   1− x.ln 3 1 f ' x = . Cho f'x= 0 ⇔ x = ∈− 1;2  . () x ()   3 ln 3   Bảng biến thiên t 1 −∞ −1 2 +∞ ln 3 + 0 − f '( t ) 1 e.ln 3 f() t 2 −3 9 1  ● Để phương trình có nghiệm thì: m∈ − 3;  .   e.ln 3  Tìm m để phương trình ()()()m+ 316x + 2m − 14 x ++=∗ m 1 0 có hai nghiệm trái dấu ? Đại học Ngoại Ngữ Hà Nội – Hệ chưa phân ban năm 2000 Bài giải tham khảo ● Tập xác định: D = » . ● Đặt t= 4x > 0 . ()()()()()∗⇔ft =+ m 3t2 + 2m1t −++= m 1 0 ∗∗ ● Gọi x1 , x 2 là hai nghiệm của ()∗ và t1 , t 2 là hai nghiệm của ()∗ ∗ ● Để ()∗ có hai nghiệm trái dấu ⇔x1 < 0 < x 2 www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 233 -
Chuyên đề . PT – BPT – HPT – HBPT M ũ và Logarit www.MATHVN.com Ths. Lê V ăn Đoàn x x ⇔0 0 ( )( ) ( )  (m+ 34m)( + 3) 0 ( )( ) 3 ⇔−1 2m 3 0 ( ∗ ) luôn có nghi ệm đúng v ới m ọi x ? Đạ i h ọc M ỏ – Đị a Ch ất n ăm 1998 Bài gi ải tham kh ảo 2 (∗⇔) (3x) − 2m( + 1.3) x − 2m( +−> 1) 1 0 2  ⇔(3x) −− 12m13  ( +)( x +> 1) 0   ⇔−(3x 13)( x +− 1) 2m13( +)( x +> 1) 0 ⇔(3x + 13)( x − 2m −> 3) 0 ⇔3x − 2m −> 3 0 ⇔>−3x 2m 3 ( ∗∗ ) ● Để (∗) đúng ∀x ∈ » thì (∗ ∗ ) cũng đúng ∀x ∈ » 3 ⇔− ⇔≤ 0 m . ( ) 2 3 ● V ậy m ≤ th ỏa yêu c ầu bài toán. 2 Thí d 6. Tìm m để 9x− 5m.6 x + 3m.4 x >∗ 0 ( ) nghi ệm đúng v ới m ọi giá tr ị c ủa x ? Đạ i h ọc Dân L ập V ăn Lang n ăm 1998 Bài gi ải tham kh ảo   x 3 ● Đặ t t=  > 0 . 2  (∗⇔−) t2 5m.t + 3m > 0, ∀> t 0 ⇔>t2 m5t( − 3,) ∀> t 0 2   t 3  3  ⇔m < = ft,t0;() ∀ ∈ ∪  ; +∞  . 5t3−  55   2   t 3  3  ● Xét hàm s ố f() t = trên 0;∪  ; +∞  . 5t− 3 5  5  www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 234 -
Chuyên đề . PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit www.MATHVN.com Ths. Lê Văn Đoàn 5t6t2 − 6 Ta có : f't= .Chof't =⇔=∨= 0 t 0 t . () 2 () (5t− 3 ) 5 Bảng biến thiên t 3 6 −∞ 0 +∞ 5 5 + 0 − − 0 + f '( t ) 0 +∞ +∞ f() t 12 −∞ 25 12 ● Dựa vào bảng biến thiên, giá trị m cần tìm là: 0 0 . ()()∗ ⇔t2 − mt + m + 3 ≤ 0, ∀ t ∈ 0; +∞ ⇔t2 + 3 ≤ mt()() − 1,t ∀ ∈ 0; +∞ t2 + 3 ⇔m ≥ = ft,t0;()(){} ∀ ∈ +∞ \1 . t− 1 t2 + 3 ● Xét hàm số f() t = trên (){}0;+∞ \ 1 t− 1 t2 − 2t − 3 f't= ,t0; ∀ ∈ +∞ \1 . () 2 (){} (t− 1 ) Cho f't() = 0 ⇔ t =− 1 ∨ t3 = . Bảng biến thiên t −∞ −1 0 1 3 +∞ + 0 − − − 0 + f '( t ) −3 +∞ +∞ f t () −∞ 6 ● Dựa vào bảng biến thiên, để bất phương trình có nghiệm: m 0 : ()()()3m+ 1.12x +− 2 m6 x + ⇒> 0 t 1 . Lúc đó : ()()()1⇔ 3m + 1 .t2 +− 2 m .t + 1 0, t 1 www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 235 -
Chuyên đề . PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit www.MATHVN.com Ths. Lê Văn Đoàn ⇔()3t2 − tm 0, ∀ t ∈ 1; +∞ . () 2 () ()3t2 − t Bảng biến thiên t −∞ 1 +∞ + f '( t ) 1 − f() t 3 −2 ● Dựa vào bảng biến thiên, ta được: m 0, ∀ x ∈  0;1 ) ⇒ Hàm số g() x đồng biến trên 0;1 ). 6  6    . ⇒∀∈x 0;1:x)()()() <⇒ 1 gx < g1 ⇔ gx < 0 2 ● Do đó, ta chỉ cần tìm fx= m1.6 −x −+ 2m1 +≤ 0 ∗∀∈ ,x  0;1 . ()() x ()) 6  ● Đặt t= 6 x . Do   . x∈ 0;1)) ⇒ t ∈  1;6 2 ()()∗⇔m − 1.t −+ 2m +≤ 1 0, ∀∈ t 1;6 ) t  2 ⇔mt + 2m −−+≤ t 1 0, ∀∈ t 1;6 ) t  t2 − t + 2 ⇔≤m = ht,t1;6 ∀∈  . 2 ()) t+ 2t  t2 − t + 2 ● Xét hàm số h t = trên 1;6 . () 2  ) t+ 2t  www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 236 -
Chuyên đề . PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit www.MATHVN.com Ths. Lê Văn Đoàn 2 3t− 4t − 4  h't() = ,t1;6 ∀ ∈  ). ()t2 + 2t  t= 2 3t2 − 4t − 4  Cho h't() = = 0 ⇔  2 . ()t2 + 2t t = −  3 Bảng biến thiên t 2 1 2 6 +∞ −∞ − 3 − 0 + h '( t ) 0 2 2 3 3 h t () 1 2 1 ● Dựa vào bảng biến thiên, ta được m ≤ thỏa yêu cầu bài toán. 2 Tìm tất cả các giá trị của tham số a sao cho bất phương trình sau được nghiệm đúng x x ∀x ≤ 0 : a.2x+ 1 ++() 2a1.3() − 5 ++() 3 5 < 0 () ∗ Học Viện Công Nghệ Bưu Chính Viễn Thông năm 2001 Bài giải tham khảo x x ()()∗⇔+2a 1.3() − 5 ++() 3 5 + 2a.2x < 0  x  x 3− 5  3 + 5  ⇔+()2a 1 . +   +< 2a 0 () 1 2   2      x  x 3535−+  3535 −+  x ● Nhận xét: =⇔1   == 1 1 . Do đó, khi đặt 22    22    x  x 35+  35 −  1 t = ⇒   = . Do x≤ 0 ⇒ 0 < t1 ≤ . 2   2  t 1 ()()1⇔ 2a + 1 . ++ t 2a <∀∈ 0, t( 0;1  t  2  ⇔t + 2at + 2a +< 1 0, ∀∈ t( 0;1  2  ⇔2a()( t + 1 <−− t 1, ∀∈ t 0;1  −t2 − 1 ⇔<2a = ft,t()(() ∀∈ 0;1 2 t+ 1  −t2 − 1 ● Xét hàm số f() t = trên nửa khoảng đoạn (0;1  . t+ 1  −t2 − 2t + 1 f ' t = . Cho . () 2 f't() =⇔= 0 t 21 − ∨ t =− 21 − ()t+ 1 Bảng xét dấu www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 237 -
Chuyên đề . PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit www.MATHVN.com Ths. Lê Văn Đoàn t −∞ −2 − 1 0 2− 1 1 +∞ + 0 − f '( t ) − 0 2− 2 2 f() t −1 −1 1 ● Dựa vào bảng biến thiên và ()2 ⇒2a ≤− 1 ⇔ a ≤− thỏa yêu cầu bài toán. 2 Các thí dụ về phương trình logarit – bất phương trình logarit chứa tham số 2 1 Tìm m để phương trình: 2 ()m− 1.logx1 ()() −+− 2 4m 5log1 +−=∗ 4m 4 0 () 2 2 x− 2 5  có nghiệm thực trong đoạn ;4  ?   2  Bài giải tham khảo 2   −1 ∗⇔−m 1.2log x −+− 2  4m 5log x −+−= 2 4m 4 0 ()() 1 ()()  1 () 2  2 2 ⇔−()m 1.logx1()() −−− 2 m 5logx 1 ()() −+−= 2 m 1 0 1 2 2 ● Đặt . t= log1 () x − 2 2 5 1 Do ≤≤⇔≤−≤⇔≥x4 x22 1logx2 − ≥−⇒∈− 1 t 1;1  . 1 ()   2 2 2 ()()()1⇔ m1.t −2 − m5tm1 − +−= 0 t2 − 5t + 1 ⇔m = = f() t t2 − t + 1 t2 − 5t + 1 ● Xét hàm số f t = trên đoạn −1;1  . () 2   t− t + 1   4t2 − 4 f ' t = . () 2 ()t2 − t + 1 Cho f't() =⇔ 0 4t2 −=⇔=−∨ 40 t 1 t1 = . Bảng biến thiên t −∞ −1 1 +∞ + 0 − 0 + f '( t ) 7 3 f t ( ) −3 7  ● Dựa vào bảng biến thiên, phương trình có nghiệm thực khi m∈ − 3;  .   3  www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 238 -
Chuyên đề . PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit www.MATHVN.com Ths. Lê Văn Đoàn Tìm m để phương trình: logx2+ logx 2 +− 1 2m −= 1 0 có nghiệm thuộc 1; 3 3  . 3 3   Đại học khối A năm 2002 Bài giải tham khảo ● Điều kiện: x> 0 . ● Đặt 2 22 22 . t= logx3 +≥⇒= 1 1 t logx 3 +⇔ 1 logx 3 =− t 1 ● Ta có: 1≤≤ x 33 ⇔≤ 1 logx1 2 +≤ 2 hay t∈  1;2  . 3   ● Lúc đó, yêu cầu bài toán ⇔ tìm tham số m để phương trình: t2 + t − 2 = 2m có nghiệm   . t∈  1;2  ● Xét hàm số 2 trên   . ft() = t + t2 − 1;2  Ta có:   hàm số đồng biến trên   . f't() = 2t + 1 > 0, ∀ t ∈ 1;2  ⇒ f() t 1;2  Phương trình có nghiệm ⇔f1()() ≤ 2m ≤ f2 ⇔≤≤ 0 m 2 . ● Vậy   thỏa yêu cầu bài toán. m∈  0;2  Xác định a để bất phương trình log2 x+ a > log 2 x () ∗ có nghiệm ? Đại học Tây Nguyên khối A, B năm 2000 Bài giải tham khảo ● Đặt t= log2 x . ()∗⇔tat + > () 1   t t 2    t − . 4 www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 239 -
Chuyên đề . PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit www.MATHVN.com Ths. Lê Văn Đoàn Tìm m để bất phương trình: xx++≤ x 12 m.log2 +−∗ 4 x có nghiệm ? 2 () () Đại học Nông Lâm Tp. Hồ Chí Minh năm 2001 Bài giải tham khảo  x≥ 0  ● Điều kiện: 4x0− ≥ ⇔ 0x4 ≤ ≤ ⇒ Tập xác định: D=  0;4  .    x+ 12 ≥ 0  ● Ta có: ∀x ∈  0;4  thì log2+ 4 −≥ x log2 => 1 0 .   2() 2 xx+ x + 12 ● Lúc đó: ()∗ ⇔ ≤ m . log 2+ 4 − x 2 ()  fx() = xx + x + 12: ● Mặt khác:   thì  đạt min là . ∀x ∈  0;4   gx() = log2 + 4 − x:  2 () đạt max là . f( x ) f( 0 ) ● Do đó: đạt min là = 3 ⇒ ()1 có nghiệm khi và chỉ khi m≥ 3 . g( x ) g( 0 ) ● Vậy m≥ 3 là giá trị cần tìm. Tìm m để bất phương trình được nghiệm đúng 2 ? ∀x:logm () x −++> 2x m 1 0 () ∗ Đại học Đà Nẵng khối A đợt 2 năm 2001 Bài giải tham khảo 2 ()∗⇔logm () x −++> 2x m 1 log1m   0m1 ⇔ ∨  x2 −++ 2xm11     0m1 ⇔ ∨  x2−+ 2xm0   0m1   ⇔= 1 0 ()  ∆ 1 . ● Vậy bất phương trình có nghiệm đúng ∀x ⇔ m > 1 . Tìm » để bất phương trì nh: 2 được thỏa mãn a ∈ 2loga1−+ 3 2xloga 1 − 0 . ● Đặt t= 2log1 a . Khi đó : 2  2 t−+ 3 xt − x < 0 ∗⇔ , ∀∈ x » () t= − 2loga  2 www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 240 -
Chuyên đề . PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit www.MATHVN.com Ths. Lê Văn Đoàn  2 x− t.x + 3 −> t 0 ⇔ , ∀ x ∈ » t= − 2 log a  2 a= 1 > 0  ⇔∆= t2 + 4t − 12 0 ). 2 ● Thỏa yêu cầu bài toán thì a∈ {} 1;2;3;4;5;6;7 . Tìm m để   đều thỏa mãn bất phương trình: ∀x ∈  0;2  2 2 log2 x−++ 2x m 4log4 () x −+≤ 2x m 5 () ∗ Đại học Sư Phạm Hà Nội khối A năm 2000 Bài giải tham khảo ● Điều kiện: x2 − 2x + m > 0 . ● Đặt 2 . t= logx4 () −+≥ 2x m 0  2 =t logx4 () −+≥ 2x m 0 ()∗ ⇔  t2 + 4t − 5 ≤ 0   t= logx2 −+≥ 2x m 0 ⇔  4 () −5 ≤ t ≤ 1  2 ⇔≤0 logx4 () −+≤ 2x m 1  2 x− 2x + m ≥ 1 ⇔  x2 − 2x + m ≤ 4   2 x− 2x ≥ 1 − m ⇔ 2 () ∗ ∗ x− 2x ≤ 4 − m  ● Xét hàm số 2   . fx() = x − 2x, ∀∈ x 0;2  f'x() = 2x − 2 . Cho f'x() = 0 ⇔ x = 1 . Bảng biến thiên x −∞ 0 1 2 +∞ − 0 + f '( x ) 0 0 −1 f( x ) www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 241 -
Chuyên đề . PT – BPT – HPT – HBPT M ũ và Logarit www.MATHVN.com Ths. Lê V ăn Đoàn  1− m ≤ − 1 ● D ựa vào b ảng bi ến thiên và ∗ ∗ ⇒  () 4− m ≥ 0   m≥ 2 ⇔  ⇔2 ≤ m ≤ 4 . m≤ 4  ● V ậy m∈  2;4  th ỏa yêu c ầu bài toán.   Thí d 18. Cho ph ươ ng trình: 2 22 2 . 2log4 ( 2x−+− x 2m 4m) + log1 ( x +− mx 2m) =∗ 0 ( ) 2 Xác đị nh tham s ố m để ph ươ ng trình có hai nghi ệm th ỏa: 2 2 ? (∗) x1 , x 2 x1+ x 2 > 1 Đạ i h ọc Y D ượ c Tp. H ồ Chí Minh n ăm 2001 Bài gi ải tham kh ảo 2 22 2 (∗⇔) log2 ( 2x −+− x 2m 4m) = log2 ( x +− mx 2m )  2 2 x+ mx − 2m > 0 ⇔  2x2−+ x 2m − 4m 22 =+ x mx − 2m 2   2 2 x+ mx − 2m > 0 ⇔  . x= 2m ∨ x =− 1 m  ● Để có hai nghi ệm th ỏa : 2 2 (∗) x1 , x 2 x1+ x 2 > 1 x= 2m, x = 1 − m  1 2 x2+ x 2 > 1 ⇔  1 2 x2+ mx − 2m 2 > 0  1 1 x2+ mx − 2m 2 > 0  2 2 4m2 > 0   2 ⇔− 2m − m +> 1 0  5m2 − 2m > 0   m≠ 0   1 ⇔ −1  5 2 1 ⇔−<1m0 < ∨ < m < . 5 2   2 1  ● V ậy m∈() − 1;0 ∪  ;  th ỏa yêu c ầu bài toán. 5 2  Thí d 19. Tìm x để : logax2 2 −++−= 5ax 3 5 x log 5 −− x 1 ∗ luôn đúng 2 ( ) 2+ a 2 ( ) ( ) ∀a ∈ » ? Đạ i h ọc Y H ải Phòng – Hệ chuyên ban n ăm 2000 Bài gi ải tham kh ảo ● Điều ki ện c ần: N ếu h ệ th ức đúng ∀a thì ph ải đúng v ới a= 0 . www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 242 -
Chuyên đề . PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit www.MATHVN.com Ths. Lê Văn Đoàn ∗⇔log3 +−= 5 x log5 −− x 1 () 2() 2 () ⇔+3 5x5 −=− x1 − ⇔5x −+ x1 −= 2 ⇔+425xx1( − )( −= ) 4 ⇔x = 5 ∨ x = 1 . ● Điều kiện đủ: Khi x= 1 thì ∗⇔log a2 −−= 5a 5 log 5 . () 2 () 2+ a 2 55− 55 + Hiển nhiên không thỏa mãn với: 0   2 2 5x− 4x +≥ 5 mx() + 1 ⇔  mx2 + 1 > − 4x  ()  5x2 − 4x + 5 f()x= ≥ m () 1  x2 + 1  ⇔  4x gx() = − < m () 2  x2 + 1  () 5x2 − 4x + 5 ● Xét hàm số f ()x = trên » . x2 + 1 4x2 − 4 Ta có : f'x= .Chof'x =⇔=∨=− 0 x1 x 1 . () 2 () ()x2 + 1 Bảng biến thiên x −∞ −1 1 +∞ + 0 − 0 + f '( x ) 14 f x () 3 www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 243 -
Chuyên đề . PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit www.MATHVN.com Ths. Lê Văn Đoàn Dựa vào bảng biến thiên và ()1 ta được : m≤ minfx()() = 3 3 » −4x ● Xét hàm số g() x = trên » . ()x2 + 1 4x2 − 4 Ta có: g'x= .Chog'x =⇔=−∨= 0 x 1 x1 . () 2 () ()x2 + 1 Bảng biến thiên x −∞ −1 1 +∞ + 0 − 0 + g '( x ) 2 g x () 1 Dựa vào bảng biến thiên và ()2 ta được: m> maxg()() x = 2 4 . » ● Từ ta được:  thỏa yêu cầu bài toán. ()()3 , 4 m∈ ( 2; 3  Tìm m để bất phương trình: log x2 − 2x + m >− 3 ∗ có nghiệm ? 1 () () 2 Bài giải tham khảo −3 1  ∗⇔log x2 −+> 2x m log   () 1() 1   2 2 2   2 x− 2x + m 0   2 fx()()=− x + 2x8m + 2  ()() ● Xét hàm số fx() =− x2 + 2x + 8 trên » . . f'x()()=−+ 2x 2.Chof'x =⇔= 0 x 1 Bảng biến thiên O x −∞ 1 +∞ + 0 − f '( x ) 9 f x () −∞ +∞ Dựa vào bảng biến thiên và ()1 ta được : m< maxfx()() = 9 3 ● Xét hàm số gx() = − x2 + 2x trên » . g'x()()=−+ 2x 2.Chog'x =⇔= 0 x 1 . Bảng biến thiên x −∞ 1 +∞ www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 244 -
Chuyên đề . PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit www.MATHVN.com Ths. Lê Văn Đoàn + 0 − g '( x ) 1 g x () −∞ +∞ Dựa vào bảng biến thiên và ()2 ta được m log43 1  3 3 logx2 −+− 2x5 mlog 2 = 5 2  2 () x2 − 2x + 5 () Đại học Cần Thơ năm 2001 Bài giải tham khảo  x> 1 ()1 ⇔  2log x+− 1 2log x −> 1 2log2  3()() 3 3  x> 1  ⇔  x+ 1 log> log2  3x− 1 3  x> 1  ⇔ x+ 1  > 2 x− 1  x> 1  ⇔ 3− x  > 0  x− 1 ⇔1 < x < 3 . ● Đặt y= x2 − 2x + 5 và xét hàm y= x2 − 2x + 5 trên ()1;3 . y'=− 2x 2.Choy' =⇔= 0 x 1 . x −∞ 1 3 +∞ y ' − 0 + 8 y 4 ● Do đó : ∀∈x()() 1;3 ⇒∈ y 4;8 . ● Đặt 2 . t= log2 () x − 2x + 5 Do : 2 2 . y=−+∈ x 2x 5() 4;8 ⇒= t logx2 () −+∈ 2x 5() 2;3 m ()2⇔ t − = 5 t ⇔ft()()() =−= t2 5t m ∗∀∈ ,t 2;3 ● Xét hàm số ft() = t2 − 5t trên khoảng ()2;3 . www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 245 -
Chuyên đề . PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit www.MATHVN.com Ths. Lê Văn Đoàn 5 f't()()=− 2t 5.Chof't =⇔= 0 t . 2 Bảng biến thiên t −∞ 5 +∞ 2 3 2 − 0 + f '( t ) −6 −6 f() t 25 − 4 25 ● Dựa vào bảng biến thiên, hệ có hai nghiệm phân biệt ⇔− 0, y > 0 . x1+ y1 + ()()1⇔+ 2x 1.ln =+() 2y 1.ln x y ⇔fxfy()()() = 3 t+ 1 ● Xét hàm số ft()()= 2t + 1.ln trên khoảng ()0; +∞ . t Giả sử t1 1 2t +> 1 0  2 2 t1+ t1 + Ta có:  t+ 1 t1 + ⇒+()2t 1ln2 >+() 2t 1ln 1 . ln2> ln 1 > 0 2t 1 t  t t 2 1  2 1 ⇒t21 > t ⇔ ft()()() 2 > ft 1 ⇒ ft: đồng biến ()4 ● Từ ()()()()3,4⇒ fx = fy ⇔= x y . ()2⇔ x12x1x1 −−4 ( + )( −+ ) mx10 += x1− x1 − ⇔ −2.4 += m0 ()5 x1+ x1 + x− 1 ● Đặt a= 4 , với a∈  0;1 ). x+ 1  (5) ⇔− a2 + 2a = m = fa( ). ● Xét hàm số f a= − a2 + 2a trên 0;1 . ()  ) f '() a= − 2a + 2 . Cho  . f'a())= 0 ⇔− 2a += 2 0 ⇔ a =∉ 1 0;1 ● Để phương trình có nghiệm ⇔f0()() ≤< m f1 ⇔≤< 0 m1 . ● Vậy  . m∈  0;1 ) www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 246 -
Chuyên đề . PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit www.MATHVN.com Ths. Lê Văn Đoàn  x  x 2 345− ≥ 1 Tìm a sao cho hệ:  () có nghiệm ? 1+ loga −≥ x logx4 + 1 2  2() 2 () () Đại học Tổng Hợp Tp. Hồ Chí Minh năm 1995 Bài giải tham khảo x   x x 1   5  x     ()134514.⇔≥+() ⇔≥  +   () 1' 3   3  x   x 1   5  ● Xét hàm số     trên » . f() x= 4.   +   3   3  x   x 11   5 5     » nghịch biến trên » . f '() x= 4.  ln +  .ln 0,x ∀ ∈ 2; +∞) ⇒ g() x đồng biến trên 2; +∞). 2 ()   Bảng biến thiên x −∞ 2 +∞ + g '( x ) +∞ g() x 21 2 21 ● Vậy hệ có nghiệm khi a ≥ . 2  2 2 9x4y5− = () 1 Tìm giá trị lớn nhất của tham số m sao cho hệ  log 3x+− 2y log 3x −= 2y 1 2  m()()() 3 có nghiệm ()x; y thỏ a 3x+ 2y ≤ 5 ? Bài giải tham khảo  (3x+ 2y )( 3x − 2y ) = 5 ● Ta có:  ⇒3x − 2y ≥ 1 . 3x+ 2y ≤ 5  5 ● Đặt t= 3x − 2y ⇒ 3x + 2y = . t www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 247 -
Chuyên đề . PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit www.MATHVN.com Ths. Lê Văn Đoàn 5    ()2⇔ logm  − logt 3 = 1  t  5    ⇔logm 3.log 3  = 1 + logt 3  t  1+ log t ⇔log 3 = 3 m 5  log   3    t  1+ log t 3 ⇔log3m = () 3 log3 5− log 3 t ● Đặt . z= logt,3 () z ≥ 0dot =−≥ 3x 2y 1 z+ 1 ()3⇔ log3m = = fz,z0() ∀≥ và z≠ log3 5 . −z + log3 5 z+ 1 ● Xét hàm số: f z = trên 0;+∞ \ log5 . ()  ){}3 −z + log3 5 log 5+ 1 f'z=3 > 0,z0; ∀ ∈ +∞ \log5 . () 2  ){}3 (−z + log3 5 ) Bảng biến thiên z −∞ 0 log3 5 +∞ + + f '( z ) 0 +∞ −1 f() z log 3 −∞ 5 ● Dựa vào bảng biến thiên, để phương trình có nghiệm thỏa 3x+ 2y ≤ 5 thì logm 3≤−∨ 1 log m 3 ≥ log 5 3 1 1 1 ⇔ ≤−∨1 ≥ logm3 logm 3 log3 5 ⇔log3 m ≥−∨ 1 log 3 m ≤ log 3 5 1 ⇔m ≥ ∨ m ≤ 5 . 3 ● Vậy giá trị lớn nhất của m là m= 5 .  75x++ x1− 7 5 ++ x1 + 2014x ≤ 2014 () 1 Tìm m để hệ bất phương trình:  có nghiệm ? x2 − m2x2m30 + + +≥ 2  ()() Bài giải tham khảo ● Điều kiện: x≥ − 1 . ()1⇔ 7.75x x1+ − 7.7 5 x1 + ≤− 2014 2014x ⇔7x1+ () 7 5x −≤ 7 5 20141x()() − 3 www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 248 -
Chuyên đề . PT – BPT – HPT – HBPT M ũ và Logarit www.MATHVN.com Ths. Lê V ăn Đoàn  x1+ 5x 5 7( 7− 7) > 0 x1+ 5x 5 ● V ới x1>⇒ ⇒ 7() 7720141x4 −>−()() 20141− x 1 . ● V ới x∈ − 1;1  ⇒ 3 : luôn đúng.   ( ) ● H ệ có nghi ệm ⇔ x2 − m + 2x + 2m +≥ 3 0 có nghi ệm ∀x ∈ − 1;1  ( )   x2 − 2x + 3 ⇔m ≥ = f() x có nghi ệm ∀x ∈ − 1;1  ⇔m ≥ min f( x ).   −1;1  x− 2   x2 − 2x + 3 ● Xét hàm s ố f() x = trên −1;1  . x− 2   x2 − 4x + 1 f'x= ,x ∀∈− 1;1  . () 2   (x− 2 )    2 x= 2 + 3 ∉− 1;1  Cho f'x() = 0 ⇔ x − 4x + 1 = 0 ⇔    . x= 2 − 3 ∈− 1;1      f1(−) = f1( ) =− 2 Tính  ⇒min f x = − 2 .   () f2− 3 = 223 − −1;1   ( )   ● V ậy m≥ − 2 th ỏa yêu c ầu bài toán. www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 249 -
Chuyên đề . PT – BPT – HPT – HBPT M ũ và Logarit www.MATHVN.com Ths. Lê V ăn Đoàn BÀI T ẬP T ƯƠ NG T Ự Bài t p 25. Tìm tham s ố m để các ph ươ ng trình sau có nghi ệm ? 1/ 4x+ 5.2 x + m = 0 . ĐS: m∈( −∞ ;0 ). 2/ 9x+ 3 x + m0 = . 3/ 9x+ m.3 x − 1 = 0 . 4/ 4x− 2 x+ 1 = m . 5/ 2x+( m1.2 +) − x += m 0 . 6/ 25x− 2.5 x − m −= 2 0 . 7/ 16x−( m − 1.2) 2x +−= m 1 0 . 8/ 25x+ m.5 x +− 1 2m = 0 . 2 2 9/ 81sin x+ 81 cos x = m . 2 2 10/ 342x−− 2.3 2x − + 2m3 −= 0 . 11/ 4x13x++−− 14.2 x13x ++− + 8 = m . 2 2 12/ 9x1x+−− 8.3 x1x +− + 4 = m . 2 2 48  13/ 911x+−−+ m2.3 11x +− ++= 2m10 . ĐS: m∈  4;  . ( )   7   x  x 735+  735 − 14/ +m   = 8 . ĐS:  .    m∈( −∞ ;16  2   3  Bài t p 26. Tìm tham s ố m để các ph ươ ng trình sau có nghi ệm duy nh ất ? 25 1/ m.2x+ 2− x − 5 = 0 . ĐS: m= 0 ∨ m = . 4 25 2/ m.16x+ 2.81 x = 5.36 x . ĐS: m = . 8 x x 1 3/ 51++ m.51 −= 2 x . ĐS: m = . ( ) ( ) 4  x  x 735+  735 −  4/ +m.   = 8 . ĐS: m= 4 . 2   2  5/ 4x− 2 x+ 3 + 3m = . ĐS: m∈( − 13;3 ). 6/ 9x+ m.3 x + 1 = 0 . ĐS: m∈( −∞ ; − 4 ) . Bài t p 27. Tìm tham s ố m để các ph ươ ng trình m ũ sau có hai nghi ệm phân bi ệt trái d ấu ? 1/ 49x+−( m 1) .7 x +− m 2m 2 = 0 . ĐS: Không có m th ỏa YCBT.   x x+ 1  1 2/ (m+ 1.4) +( 3m − 2.2) −+= 3m 1 0 . ĐS: m∈ − 1;  .  3    x x  2 3/ 9+ 3( m − 1) .3 − 5m += 2 0 . ĐS: m∈  0;  .  5    x x  3 4/ (m+ 3) .16 +( 2m − 1) .4 ++= m 1 0 . ĐS: m∈ − 1; − .  4  www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 250 -
Chuyên đề . PT – BPT – HPT – HBPT M ũ và Logarit www.MATHVN.com Ths. Lê V ăn Đoàn   x x 8  5/ 4− 2( m + 1) .2 + 3m −= 8 0 . ĐS: m∈  ;9 . 3   6/ 4x− 2 x + 6 = m . ĐS: Không t ồn t ại m th ỏa YCBT. 2  x6−1− x m16 − x −++ 2m1  () () x 6  Bài t p 28. Tìm m để b ất ph ươ ng trình:   ≥ 0 có nghi ệm đúng ex2 − π x + 2014   ? ∀x ∈  0;1  1 ĐS: m ≤ . 2 Bài t p 29. Tìm tham s ố m để các ph ươ ng trình 1/ 16xx− m.8 +( 2m − 1) .4 xx = m.2 có ba nghi ệm phân bi ệt ? ĐS: m>+ 3 22 ∨ m . 2    1  3/ Tìm m để (∗) có hai nghi ệm thu ộc (1;4 ) ? ĐS: m∈ − ;0 .  2   2 2 Bài t p 31. Cho ph ươ ng trình: 2x5x6−++ 2 1x − = 2.2 65x − + m (∗) 1/ Gi ải ph ươ ng trình khi m= 1 . ĐS: x=±∨ 1x2x3 = ∨ = . 1 1  2/ Tìm m để (∗) có 4 nghi ệm phân bi ệt ? ĐS: m∈ () 0;2 \ ;  . 8 256  2 2 Bài t p 32. Cho ph ươ ng trình: 3x−+ 2x2+ 2 2x −+ 4x4 +−+−= x2x2m0 2 (∗) 1/ Gi ải ph ươ ng trình v ới m= 8 . ĐS: x= 1 . 2/ Gi ải ph ươ ng trình v ới m= 27 . ĐS: x= 0 ∨ x = 2 . 3/ Tìm m để ph ươ ng trình có nghi ệm ? ĐS: m> 8 . 3 2 1 Bài t p 33. Cho ph ươ ng trình: 27 mx− 2x + 3x − 2 = ∗ 2 ( ) 9−mx − x + 2 1 2 1/ Gi ải ph ươ ng trình v ới m= − 3 . ĐS: x=−∨ 1x = ∨ x = . 3 3 3  2/ Tìm m để (∗) có ba nghi ệm d ươ ng phân bi ệt ? ĐS: m∈ () 0;1 \   . 4  Bài t p 34. Cho ph ươ ng trình: (2m+ 3) .16x −( 4m − 2) .4 x +−= 3m 8 0 (∗) 1/ Gi ải ph ươ ng trình v ới m= 3 . ĐS: x= 0 ∨ x =− log2 3 .    3  2/ Tìm m để (∗) có hai nghi ệm trái d ấu ? ĐS: m∈ − ;3 .  2  www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 251 -
Chuyên đề . PT – BPT – HPT – HBPT M ũ và Logarit www.MATHVN.com Ths. Lê V ăn Đoàn Bài t p 35. Tìm m để ph ươ ng trình 4x− m.2 x + m +≤ 3 0 có nghi ệm ? ĐS: m 1 ? Đề thi th ử Đạ i h ọc 2012 – Đề 18 – Th ầy V ăn Phú Qu ốc – Đạ i h ọc Quãng Nam   2 1  ĐS: m∈() − 1;0 ∪  ; . 5 2   2 2 2 Bài t p 37. Tìm m để b ất ph ươ ng trình: m.92xx−−+( 2m 1.6) 2xx − + m.4 2xx − ≤ 0 nghi ệm đúng v ới 1 mọi x th ỏa mãn x ≥ ? 2 ĐS:  . m∈( −∞ ;1  Bài t p 38. 2 2 Tìm m để ph ươ ng trình: logx5+ 2logx 5 +−−= 1 m 2 0 có ít nh ất m ột nghi ệm thu ộc đoạn 1;5 3  ?   Đề thi th ử Đạ i h ọc n ăm 2009 kh ối A – THPT Nguy ễn Trung Ng ạn ĐS:   . m∈  0;5  Bài t p 39. 2 8 Tìm a để ph ươ ng trình: logx3+ alogx 3 ++= a 1 0 có đúng hai nghi ệm phân bi ệt ? Đề thi th ử Đạ i h ọc n ăm 2012 l ần 3 – THPT Chuyên – Đạ i h ọc S ư Ph ạm Hà N ội 1− 5 ĐS: a= ∨ a ∈−∞−() ;1 . 2 Bài t p 40. Tìm m để ph ươ ng trình: 25x+( m − 15) x + 2m += 3 0 có nghi ệm duy nh ất ? Đề thi th ử Đạ i h ọc n ăm 2010 – TTBDVH Th ăng Long – Tp. HCM Bài t p 41. Tìm a để ph ươ ng trình: x có nghi ệm duy nh ất ? log5( 25− loga 5 ) = x Đề thi th ử Đạ i h ọc n ăm 2010 – THPT Chuyên ĐHSP Hà N ội 1 ĐS: a= ∨ a ≥ 1 . 4 5 Bài t p 42. Tìm m để ph ươ ng trình: 3 có nghi ệm x≥ 0 ? log1( 27x++ 1) log 3 ( x + m) += 1 0 27 Đề thi th ử Đạ i h ọc n ăm 2011 – Đợ t 1 – TTBDVH Th ăng Long – Tp. HCM 1  ĐS: m∈  0;  .    3 Bài t p 43. Tìm m để ph ươ ng trình: 4cos x+− 2 4 cos x −= 1m có nghi ệm ? HSG t ỉnh H ưng Yên – Kh ối 12 – năm h ọc 2008 – 2009 2 Bài t p 44. Tìm a để bất ph ươ ng trình: log1 x+ 1 > log 1 ( ax + a ) có nghi ệm ? 3 3 Đề thi th ử l ần 1 năm 2011 kh ối A, B – THPT Nguy ễn Hu ệ    2  ĐS: a∈() −∞ ;1 − ∪ ; +∞ .  2   www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 252 -
Chuyên đề . PT – BPT – HPT – HBPT M ũ và Logarit www.MATHVN.com Ths. Lê V ăn Đoàn     (2x− 1lnx) +−−+ lnx( 1) ( 2y 1lny) ( += 1y) 0 Bài t p 45. Tìm m để hệ     có nghi ệm ?  y12y1x2−−4 + −+ mx = 0  ( )( ) ĐS: m∈  0;1 .  ) log x+− 1 log x −> 1 log4  3( ) 3 ( ) 3 Bài t p 46. Tìm m để hệ  có hai nghi ệm th ực phân bi ệt ? logx2 −+− 2x 5 mlog = 5  2 ( ) x2 − 2x + 5 Đề thi th ử Đạ i h ọc 2012 – Đề 6 – Th ầy V ăn Phú Qu ốc – Đạ i h ọc Qu ảng Nam    25  ĐS: m∈ − ; − 6 .  4   1 2  logx− log y = 0 Bài t p 47. Tìm m để hệ ph ươ ng trình: 2 3 3 có nghi ệm ?  3  x+ y2 − my = 0  Đề thi th ử Đạ i h ọc kh ối A n ăm 2011 – Đạ i h ọc S ư Ph ạm Hà N ội ĐS: m∈( 0; +∞).  x 3x− 4 x ≥ 5 2 Bài t p 48. Tìm a để h ệ ph ươ ng trình:  ? 1+ log a −≥ x log x4 + 1  2() 2 ( ) Đề thi th ử Đạ i h ọc n ăm 2010 – TTBDVH & LT ĐH Quang Minh 21 ĐS: a ≥ . 2  x 2 2+ x = x ++ ym Bài t p 49. Xác đị nh m để h ệ ph ươ ng trình  có nghi ệm duy nh ất ? x2+ y 2 = 1  ĐS: m= 0 . Bài t p 50. Cho ph ươ ng trình: 4x− 4m2( x − 1) = 0 . 1/ Gi ải ph ươ ng trình khi m= 1 . 2/ Tìm m để ph ươ ng trình có nghi ệm ? x x Bài t p 51. Cho ph ươ ng trình: (2+ 3) +−( 23) = m . 1/ Gi ải ph ươ ng trình khi m= 4 . 2/ Tìm m để ph ươ ng trình có 2 nghi ệm phân bi ệt ? Bài t p 52. Cho ph ươ ng trình: m.16x+ 2.81 x = 5.36 x . 1/ Gi ải ph ươ ng trình khi m= 3 . 2/ Tìm m để ph ươ ng trình có nghi ệm duy nh ất ? 2   x− 2x 1 2 Bài t p 53. Cho hươ ng trình:   =m ++ m 1 () ∗ 3  1/ Gi ải ph ươ ng trình khi m= − 1 . 2/ Tìm m để (∗) có b ốn nghiêm phân bi ệt ? 2   x− 4x + 3 1 4 2 Bài t p 54. Tìm tham s ố m để ph ươ ng trình   =m − m + 1 có b ốn nghi ệm phân bi ệt ? 5  www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 253 -
Chuyên đề . PT – BPT – HPT – HBPT M ũ và Logarit www.MATHVN.com Ths. Lê V ăn Đoàn ĐS: 0< m < 1 . Bài t p 55. Cho ph ươ ng trình: 4x−( 2m + 1.2) x + m 2 += m 0 . 1 1/ Gi ải ph ươ ng trình khi m= 1 và m = − . 2 2/ Tìm tham s ố m để ph ươ ng trình có nghi ệm ? Bài t p 56. Cho ph ươ ng trình: m.4x−( 2m + 1.2) x ++= m 4 0 ( ∗ ) 1/ Gi ải (∗) khi m= 0 và m= 1 . 2/ Tìm m để ph ươ ng trình có nghi ệm ? 3/ Tìm m để ph ươ ng trình có nghi ệm   ? x∈ − 1;1  Bài t p 57. Cho ph ươ ng trình: 4x− m.2 x+ 1 += 2m 0 ( ∗ ) 1/ Gi ải (∗)khi m= 2 . 2/ Tìm m để (∗)có hai nghi ệm th ỏa x1+ x 2 = 3 . Bài t p 58. Tìm tham s ố m để các ph ươ ng trình logarit sau có nghi ệm duy nh ất ? 1/ log x+ 3 = log mx . 3 ( ) 3 2/ 2lgx( + 3) = 1 + lgmx . 3/ lgx( 2 + mx) = lg8x( −+ 3m 3 ). 4/ lgx( 2 + 2mx) − lg8x( −−= 6m 3) 0 . 5/ 2 . lg2x( −−+ m 1) log1 ( x + 4mx) = 0 10 6/ log x2 −++ 2 m 1 x  log 2x +−= m 2 0 . 23+( )  23 − ( ) 7/ log x− 2 = log mx . 2 ( ) 2 ( ) 8/ log x2 ++++ mx m 1 log x = 0 . 5+ 2 ( ) 5− 2 9/ 2 . log3( x+ 4mx) = log 3 ( 2x −− 2m 1 ) 10/ log x−++ m 1 log mx −= x2 0 . 227+( ) 227 − ( ) Bài t p 59. Tìm tham s ố m để ph ươ ng trình: x có hai nghi ệm phân bi ệt ? log42 ( − m) = x + 1 Bài t p 60. Tìm tham s ố m để ph ươ ng trình: x 3 có hai nghi ệm phân bi ệt ? log3 ( 9+ 9m) = 2 Bài t p 61. 2 Tìm tham s ố m để ph ươ ng trình: logx3−+( m 2.logx) 3 +−= 3m 1 0 có hai nghi ệm phân bi ệt x1 , x 2 th ỏa: x1 x 2 = 27 ? Bài t p 62. Tìm m để ph ươ ng trình 2 2 2 có nghi ệm ? log2 x+ log 1 x −= 3 m( log 4 x − 3 ) x≥ 32 2 Bài t p 63. Tìm m để ph ươ ng trình 2 có (m− 1log) 1( x −−− 2) ( m 5logx) 1 ( −+−= 2) m 1 0 2 2 nghi ệm x1 , x 2 th ỏa: 2x≤1 ≤ x 2 ≤ 4 ? Bài t p 64. Tìm m để ph ươ ng trình: 2 có hai (m− 3log) 1 ( x −−− 4) ( 2m 1log) 1 ( x −++= 4) m 2 0 2 2 nghi ệm phân bi ệt x1 , x 2 th ỏa: 4x<1 < x 2 < 6 ? www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 254 -
Chuyên đề . PT – BPT – HPT – HBPT M ũ và Logarit www.MATHVN.com Ths. Lê V ăn Đoàn Bài t p 65. 2 Tìm m để ph ươ ng trình: (m− 4log2) 2( −−− x) ( 2m 1log2) 2 ( −++= x) m 1 0 có hai nghi ệm phân bi ệt x1 , x 2 th ỏa: 0x 1 0 . www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 255 -
Chuyên đề . PT – BPT – HPT – HBPT M ũ và Logarit www.MATHVN.com Ths. Lê V ăn Đoàn 1− 729 3 16/ 32x− m.3 xx4+ + − 9.9 x4 + . 814 3 1 17/ log 100− log 100 > 0 . x2 m 1 2 18/ + 1. 1+ logm x 20/ log2 x+ m > log 2 x . 21/ 2 2 . logxm−( x−> 1) log xm − ( x +− x 2 ) Bài t p 74. Tìm tham s ố m để các b ất ph ươ ng trình m ũ – logarit sau có nghi ệm đúng v ới: 1/ (3m+ 1.12) x +−( 2 m.6) x + 3 x 0, x 0 . 2/ (m− 1.4) x + 2 x+ 1 ++>∀ m 1 0,x . 3/ m.9x− 2m + 1 .6 x + m.4 x ≤∀∈ 0, x 0;1  . ( )   4/ m.9x+−( m 1) .3 x+ 2 +−>∀ m 1 0, x . cos x cos x 5/ 4+ 22m( + 1.2) + 4m2 − ∀ 1) 0, x . 1 −x + 3 −x + 3 9/ 7− 4.72 −>∀ m 0, x . 10/ 4sin x+ 2 1+ sin x > m, ∀ x . 11/ 2 2 . 1+ log5( x +≥ 1) log 5 ( mx ++∀ 4x m,) x 12/ 2 2 . log2( 7x+≥ 7) log 2 ( mx ++∀ 4x m,) x 13/ log x2 + 2 m > 0, ∀ x . 1 ( ) m− 1     m2  m   m  14/ 2log− x −+ 21log   x21log −+   >∀ 0,x . 1m1+  1 m1 +   1 m1 +  2   2   2  Bài t p 75. Tìm tham s ố m để m ọi nghi ệm c ủa b ất ph ươ ng trình (1) đề u là nghi ệm c ủa b ất ph ươ ng trình (2): 2 1  +1 x  x 1  1  +3   > 12 1 1/    (). 3  3  2  m2x−2 − 3m6xm1 − −−< 0 2 ( ) ( ) ( ) www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 256 -
Chuyên đề . PT – BPT – HPT – HBPT M ũ và Logarit www.MATHVN.com Ths. Lê V ăn Đoàn  2 1  +1 228x− x > 1 2/  () .  2 4x2mxm12 − − − 2 ( ) ()() 2 1  +2 x  x 1  1  +9.   > 12 () 1 4/ 3  3  .  2x2 + m2x23m0 + +− 0 1  x ( ) ( ) 6/  . x2x1m02− +− 4 > 2  ( ) www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 257 -