Chuyên đề môn Toán Lớp 12 - Chủ đề: Phương pháp tọa độ trong không gian

Nội dung text: Chuyên đề môn Toán Lớp 12 - Chủ đề: Phương pháp tọa độ trong không gian

1. CHỦ ĐỀ 7: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN MỨC ĐỘ VẬN DỤNG 2300 Câu trắc nghiệm theo mức độ thông hiểu, nhận biết, vận dụng trích từ đề thi thử các trường trên cả nước Năm 2021 giải chi tiết liên hệ Zalo 0988166193 để mua tài liệu ạ Câu 1. (Chuyên Lê Hồng Phong - TPHCM - 2021) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz ,cho ba điểm  A 1;2; 1 , B 2;1;1 ,C 0;1;2 .Gọi H là trực tâm của tam giác ABC . Tọa độ AH là A. 1; 1;2 . B. 1;2;0 . C. 2;0;4 . D. 1;1;2 . Lời giải Chọn A Gọi H x; y; z là trực tâm của tam giác ABC .   AH x 1; y 2; z 1 , BC 2;0;1 Ta có    . BH x 2; y 1; z 1 , AB 1; 1;2 , AC 1; 1;3   AB; AC 1; 5; 2 .   AH.BC 0 2x z 3 x 2   Do H là trực tâm của tam giác ABC BH.AC 0 x y 3z 0 y 1 .    AB; AC .AH 0 x 5y 2z 9 z 1  Vậy AH 1; 1;2 . Câu 2. (Chuyên Lê Hồng Phong - TPHCM - 2021) Cho lăng trụ đứng ABCD.A B C D có đáy ABCD · là hình thoi tâm O cạnh a , AA a và ABC 60 . Gọi M là trung điểm của cạnh AA . Khoảng cách giữa hai đường thẳng MO và C D bằng 3 5 3 5 2 5 2 5 A. a . B. a . C. a . D. a . 10 5 15 5 Lời giải Chọn A Do ABCD là hình thoi, ·ABC 60 nên AC  BD và ABC là tam giác đều. Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ: 1 3 1 1 1 O 0;0;0 , C ;0;0 , D 0; ;0 , trục Oz // AA , M ;0; , C ;0;1 . 2 2 2 2 2  1 1  1 3 Khi đó OM ;0; , DC ; ;1 . 2 2 2 2    OM , DC .OD Khoảng cách hai đường thẳng MO và C D bằng d OM , DC   . OM , DC Trang 1
2. Trong đó:   3 3 3 OM , DC ; ; , 4 4 4    3 3 OM , DC .OD , 8   3 9 3 15 OM , DC . 16 16 16 4 3 5 Vậy d OM , DC . 10 2300 Câu trắc nghiệm theo mức độ thông hiểu, nhận biết, vận dụng trích từ đề thi thử các trường trên cả nước Năm 2021 giải chi tiết liên hệ Zalo 0988166193 để mua tài liệu ạ Câu 3. (Chuyên Lê Hồng Phong - TPHCM - 2021) Trong không gian O xyz , cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi, AC và BD cắt nhau tại gốc toạ độ O . Biết A 2;0;0 , B 0;1;0 , S 0;0;2 2 . Gọi M là trung điểm của cạnh SC . Mặt phẳng ABM cắt đường thẳng SD tại N . Tính thể tích hình chóp S.ABMN 3 A. V 2 . B. V 2 3 . C. V 3 2 . D. V . 4 Lời giải Chọn A 1 Ta có: AB / /MN / /CD N là trung điểm của SD N 0; ; 2 2     1 SA 2;0; 2 2 , SM 1;0; 2 , SB 0;1; 2 2 ;SN 0; ; 2 2   SA, SM 0;4 2;0 1    2 2 1    2 V SA, SM .SB ;V SA, SM .SN S.ABM 6 3 S.AMN 6 3 VS.ABMN VS.ABM VS.AMN 2 Trang 2
3. Câu 4. (Chuyên KHTN - 2021) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng x 1 y 1 z : và hai mặt phẳng P : x 2y 3z 0, Q : x 2y 3z 4 0 . Viết phương 1 1 2 trình mặt cầu có tâm thuộc đường thẳng và tiếp xúc với cả hai mặt phẳng P và Q . 2 2 1 2 2 1 A. x2 y 2 z 2 . B. x2 y 2 z 2 . 7 7 2 2 2 2 2 2 C. x2 y 2 z 2 . D. x2 y 2 z 2 . 7 7 Lời giải Chọn C x 1 t Đường thẳng có phương trình tham số là y 1 t z 2t Gọi I là tâm mặt cầu. Vì I nên I 1 t; 1 t;2t . Vì mặt cầu tiếp xúc với hai mặt phẳng P và Q nên 1 t 2 1 t 3.2t 1 t 2 1 t 3.2t 4 d I, P d I, Q 1 4 9 1 4 9 5t 3 5t 7 t 1 I 0; 2; 2 . 2 2 Khi đó mặt cầu có bán kính là R d I, P . 14 7 2 2 2 Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là x2 y 2 z 2 . 7 Câu 5. (Chuyên Hoàng Văn Thụ - Hòa Bình - 2021) Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng x 1 y 2 z x 2 y 1 z 1 d1 : ; d2 : và mặt phẳng P : x y 2z 5 0 . Phương trình 1 2 1 2 1 1 đường thẳng d song song với mặt phẳng P và cắt d , d lần lượt tại A và B sao cho AB 3 3 1 2 là x 1 y 2 z 2 x 1 y 2 z 2 A. . B. . 1 1 1 1 1 1 x 1 y 2 z 2 x 1 y 2 z 2 C. . D. . 1 1 1 1 1 1 Lời giải Chọn A  Ta có vectơ pháp tuyến của mp P là n 1;1; 2 ; A d1 A 1 t; 2 2t;t ; B d B 2 2s;1 s;1 s . 2  Do đó AB 3 2s t;3 s 2t;1 s t .    Vì AB / / P AB. n 0 3 2s t 3 s 2t 2 1 s t 0 s t 4 .  Suy ra AB t 5; t 1; 3 .  Mặt khác AB 3 3 t 5 2 t 1 2 9 27 2t 2 8t 8 0 t 2 s 2 .  Khi đó AB 3; 3; 3 3 1;1;1 .  Vậy đường thẳng d đi qua điểm A 1;2;2 và nhận u 1;1;1 làm vec tơ chỉ phương có x 1 y 2 z 2 phương trình là . 1 1 1 Trang 3
4. 2300 Câu trắc nghiệm theo mức độ thông hiểu, nhận biết, vận dụng trích từ đề thi thử các trường trên cả nước Năm 2021 giải chi tiết liên hệ Zalo 0988166193 để mua tài liệu ạ Câu 6. (Chuyên Quốc Học Huế - 2021) Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A 1;1; 2 , B 3; 1;0 x 1 y z 1 và đường thẳng d : . Gọi S là mặt cầu có tâm I thuộc d và S đi qua hai 1 1 1 điểm A , B . Giả sử I a;b;c . Tính a2 b2 c . A. 7 . B. 3 . C. 1. D. 9 . Lời giải Chọn B  Mặt cầu S có tâm I d , suy ra tọa độ I 1 t;t;1 t .   Tac có: IA 2 t;1 t; 3 t IA 2 t 2 1 t 2 t 3 2 3t 2 12t 14 ;  IB 4 t; 1 t;t 1 IB 4 t 2 1 t 2 t 1 2 3t 2 8t 18 .  Do mặt cầu S đi qua hai điểm A , B nên IA IB 3t 2 12t 14 3t 2 8t 18 4t 4 t 1. Khi đó tọa độ I là I 2; 1;2 . Suy ra a 2 , b 1, c 2 . Vậy ta có a2 b2 c 2 2 1 2 2 3 . Câu 7. (Chuyên Ngoại Ngữ Hà Nội- 2021) Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng x 1 y 2 z 1 d : và điểm A 2;1;4 . Gọi H a;b;c là điểm thuộc d sao cho AH có độ dài 1 1 2 3 3 3 nhỏ nhất. Tính T a b c . A. T 8. B. T 62 . C. T 5 . D. T 13 . Lời giải Chọn B x 1 t Ta có phương trình đường thẳng d : y 2 t ; t ¡ . z 1 2t Mà H d H 1 t;2 t;1 2t . AH t 1 2 t 1 2 2t 3 2 6t 2 12t 11 6 t 1 2 5 5 . Dấu " " xảy ra t 1 H 2;3;3 . a 2;b 3;c 3 T 8 27 27 62 . Câu 8. (Chuyên Lê Quý Đôn - Điện Biên - 2021) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B , BC 2a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA 2a 3 . Gọi M là trung điểm của AC . Khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SM bằng 2a 2a 3 2a 39 a 39 A. . B. . C. . D. . 13 13 13 13 Lời giải Chọn C Trang 4
5. z S y A M C B x Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ. Đặt AB x . Ta có: B 0;0;0 ,C 0;2a;0 , S x;0;2a 3 , A x;0;0 . x Do M là trung điểm của AC M ;a;0 2   x  x Khi đó: AB x;0;0 , SM ;a; 2a 3 ; AM ;a;0 . 2 2   2 AB, SM 0;2ax 3;a .    2 2 AB, SM AM 2a x 3 2a x 3 2a 39 Vậy d SM , AB   . 2 2 2 2 ax 13 13 AB, SM 0 12a x a x 2300 Câu trắc nghiệm theo mức độ thông hiểu, nhận biết, vận dụng trích từ đề thi thử các trường trên cả nước Năm 2021 giải chi tiết liên hệ Zalo 0988166193 để mua tài liệu ạ Câu 9. (Chuyên ĐH Vinh - Nghệ An - 2021) Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng vuông góc x y z với : và cắt trục Ox , trục Oy và tia Oz lần lượt tại M , N , P . Biết rằng thể 1 2 3 tích khối tứ diện OMNP bằng 6 . Mặt phẳng đi qua điểm nào sau đây? A. C 1; 1;2 . B. B 1; 1;1 . C. A 1; 1; 3 . D. D 1; 1; 2 . Lời giải Chọn B Đường thẳng có một vectơ chỉ phương là u 1; 2;3 . Do  nên n u 1; 2;3 là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng . Phương trình mặt phẳng có dạng: x 2y 3z 6D 0 . Theo bài ra, ta có: M 6D;0;0 , N 0; 3D;0 , N 0;0;2D với D 0 . 1 1 Thể tích của khối tứ diện OMNP là V .OM.ON.OP . 6D . 3D .2D 6D3 . 6 6 Do V 6 nên 6D3 6 D 1. Từ đó suy ra phương trình mặt phẳng : x 2y 3z 6 0 . Trang 5
6. Dễ thấy B 1; 1;1 thuộc mặt phẳng . Câu 10. (THPT Nguyễn Tất Thành - Hà Nội - 2021) Trong không gian tọa độ Oxyz cho hai mặt phẳng P : x y z 1 0 và Q : 2x y z 6 0 . Viết phương trình mặt phẳng R đi qua điểm A 1;0;3 và chứa giao tuyến của P và (Q) . A. 2x y z 1 0 . B. x 2y 2z 7 0 . C. x 2y 2z 5 0 . D. x 2y 2z 5 0 . Lời giải Chọn C Giao tuyến của P và (Q) là đường thẳng d có vectơ chỉ phương   u n ,n 0 ; 3 ; 3 P Q 7 7 Trên đường thẳng d lấy điểm B ; 1 ; , 3 3  10 2  khi đó AB ; 1 ; , a 3.AB 10 ; 3 ; 2 . 3 3 Mặt phẳng (R) có một vectơ pháp tuyến là n u,a 15 ; 30 ; 30  Khi đó n' 1 ; 2 ; 2 cũng là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (R) . Phương trình (R) : x 2y 2z 5 0 . Câu 11.( THPT Nguyễn Tất Thành - Hà Nội - 2021) Trong không gian tọa độ Oxyz cho đường thẳng x 1 t : y t và điểm A 1;3; 1 . Viết z 1 t phương trình đường thẳng d đi qua điểm A , cắt và vuông góc với đường thẳng . x 1 y 3 z 1 x 1 y 3 z 1 A. . B. . 2 1 1 1 2 1 x 1 y 3 z 1 x 1 y 3 z 1 C. . D. . 1 2 1 1 2 1 Lời giải Chọn C Cách 1: Gọi B là giao điểm của hai đường thẳng d và .  Vì B nên tọa độ B(1 t ; t ; 1 t) . Khi đó BA t;t 3; t . Đường thẳng có một vec tơ chỉ phương là u 1; 1;1 .    d  BA  u BA. u 0 t 1.  Suy ra BA (1 ; 2 ; 1) .  Do đó đường thẳng d đi qua điểm A và nhận BA làm vectơ chỉ phương có phương trình chính x 1 y 3 z 1 tắc là . 1 2 1 Cách 2: Suy luận nhanh VTCP của là u 1; 1;1 . V   d vuông góc với đường thẳng uV.ud 0 . Chỉ có đáp án C thỏa mãn. Câu 12. (THPT Nguyễn Tất Thành - Hà Nội - 2021) Trong không gian tọa độ Oxyz , cho mặt cầu S có phương trình là x2 y2 z2 2x 2my 4z 1 0 (trong đó m là tham số). Tìm tất cả các giá trị của m để mặt cầu S có diện tích bằng 28 . A. m 1. B. m 2 . C. m 7 . D. m 3 . Lời giải Trang 6
7. Chọn A 2a 2 a 1 2b 2m b m Từ phương trình của mặt cầu S ta có: . 2c 4 c 2 d 1 d 1 Bán kính mặt cầu S là R a2 b2 c2 d m2 6 . Diện tích mặt cầu S bằng 28 , tức là: S 4 R2 28 4 m2 6 m 1 2300 Câu trắc nghiệm theo mức độ thông hiểu, nhận biết, vận dụng trích từ đề thi thử các trường trên cả nước Năm 2021 giải chi tiết liên hệ Zalo 0988166193 để mua tài liệu ạ Câu 13. (THPT Nguyễn Đức Cảnh - Thái Bình - 2021) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai mặt phẳng P : x 2y z 1 0 , Q : 2x y 2z 4 0. Gọi M là điểm thuộc mặt phẳng P sao cho điểm đối xứng của M qua mặt phẳng Q nằm trên trục hoành. Cao độ của M bằng A. 3 . B. 1. C. 8 . D. 5 . Lời giải Chọn C Gọi A a;0;0 Ox là điểm đối xứng với M qua mặt phẳng Q . xM a 2k xM a 2k   Ta có: AM knQ yM 0 k yM k M a 2k; k;2k . zM 0 2k zM 2k k Gọi I là trung điểm của AM , suy ra: I a k; ;k 2 a 2k 2k 2k 1 0 M P a 2k 1 0 a 7 Ta có: k . I Q 2 a k 2k 4 0 4a 9k 8 0 k 4 2 Vậy zM 8 . Câu 14. (THPT Mai Anh Tuấn - Thanh Hóa - 2021) Trong không gian Oxyz , viết phương trình mặt cầu S đi qua bốn điểmO, A 1;0;0 , B 0; 2;0 ,C 0;0;4 là A. S : x2 y2 z2 x 2y 4z 0 . B. S : x2 y2 z2 2x 4y 8z 0 . . C. S : x2 y2 z2 x 2y 4z 0 . D. S : x2 y2 z2 2x 4y 8z 0 . Lời giải Chọn C Giả sử phương trình mặt cầu S có dạng: x2 y2 z2 2ax 2by 2cz d 0 a2 b2 c2 d 0 . S O, A 1;0;0 , B 0; 2;0 ,C 0;0;4 Do mặt cầu đi qua bốn điểm nên ta có: d 0 1 d 0 a 2 2 1 2a 0 2a 1 0 b 1 2 . 2 4b 0 4b 4 0 c 2 42 8c 0 8c 16 0 d 0 Trang 7
8. Vậy phương trình mặt cầu S : x2 y2 z2 x 2y 4z 0 . Câu 15. (THPT Mai Anh Tuấn - Thanh Hóa - 2021) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho ba điểm A 2;0;0 , B 0;4;0 , C 0;0;6 . Điểm M thay đổi trên mặt phẳng ABC và điểm N trên tia OM sao cho OM.ON 12 . Biết rằng khi M thay đổi, điểm N luôn thuộc một mặt cầu cố định. Tính bán kính của mặt cầu đó. 7 5 A. 3 2 . B. . C. 2 3 . D. . 2 2 Lời giải Chọn B x y z Mặt phẳng ABC có phương trình dạng đoạn chắn: 1 6x 3y 2z 12 . 2 4 6  OM  OM.ON  12  Gọi N x; y; z . Ta có: OM.ON 12 OM ON ON ON . ON ON 2 ON 2 12 12 12 Suy ra: M 2 x; 2 y; 2 z . ON ON ON 12 12 12 Mặt khác M ABC 6. x 3. y 2. z 12 ON 2 ON 2 ON 2 6x 3y 2z ON 2 x2 y2 z2 6x 3y 2z 0 . 2 3 2 3 2 7 Vậy điểm N thuộc mặt cầu tâm I 3; ;1 , bán kính R 3 1 . 2 2 2 2300 Câu trắc nghiệm theo mức độ thông hiểu, nhận biết, vận dụng trích từ đề thi thử các trường trên cả nước Năm 2021 giải chi tiết liên hệ Zalo 0988166193 để mua tài liệu ạ Câu 16. (THPT Mai Anh Tuấn - Thanh Hóa - 2021) Trong không gian Oxyz cho ba điểm A 1;2; 3 , B 2;5;7 ,C 3;1;4 . Tọa độ điểm D để tứ giác ABCD là hình bình hành là 8 8 A. D 0;8;8 . B. D 6;6;0 . C. D 0; ; . D. D 4; 2; 6 . 3 3 Lời giải Chọn D Gọi D x; y; z   AB 1;3;10 , DC 3 x;1 y;4 z Tứ giác ABCD là hình bình hành 3 x 1 x 4   AB DC 1;3;10 3 x;1 y;4 z 1 y 3 y 2. 4 z 10 z 6 Câu 17. (THPT Lê Lợi - Thanh Hóa - 2021) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm M 1;2;1 . Mặt phẳng P thay đổi đi qua M lần lượt cắt các tia Ox ; Oy ; Oz tại A ; B ; C khác O . Giá trị nhỏ nhất của thể tích khối tứ diện OABC là: A. 18. B. 54 . C. 9 . D. 6 . Lời giải Chọn C Trang 8
9. 2300 Câu trắc nghiệm theo mức độ thông hiểu, nhận biết, vận dụng trích từ đề thi thử các trường trên cả nước Năm 2021 giải chi tiết liên hệ Zalo 0988166193 để mua tài liệu ạ Giả sử mặt phẳng P đi qua M lần lượt cắt các tia Ox ; Oy ; Oz tại A a;0;0 ; B 0;b;0 ; C 0;0;c , với a ; b ; c dương. x y z Phương trình mặt phẳng P theo đoạn chắn là: 1. a b c 1 2 1 1 2 1 1 2 1 Do M P nên 1 1 3.3 . . abc 54 . a b c a b c a b c 1 1 Lại có: V OA.OB.OC abc 9 . OABC 6 6 a 3 Dấu bằng xảy ra b 6 c 3 Vậy giá trị nhỏ nhất của thể tích khối tứ diện OABC là 9 . Câu 18. (Sở Vĩnh Phúc - 2021) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng P : x 2y 2z 5 0và hai điểm A 2;0;0 , B 0;1;1 . Viết phương trình mặt phẳng Q đi qua A, B và vuông góc với mặt phẳng P A. 4x 3y 5z 8 0 . B. 3x 2y 8z 6 0 .C. 2x 3y z 4 0. D. 4x 5y 3z 8 0 . Lời giải ChọnD.  Mặt phẳng P : x 2y 2z 5 0 có VTPT là n 1; 2;2 . Ta có AB 2;1;1 Vì mặt phẳng Q đi qua A, B và và vuông góc với mặt phẳng P nên có VTPT là  AB,n 4;5;3 . Do đó phương trình của Q là 4 x 2 5 y 0 3 z 0 0 4x 5y 3z 8 0 Câu 19. (Sở Lào Cai - 2021) Trong không gian Oxyz, cho các điểm A 4; 3;2 , B 6;1; 7 , C 2;8; 1 . Viết phương trình đường thẳng đi qua gốc tọa độ O và trọng tâm của tam giác ABC x y z x y z x y z x y z A. . B. . C. . D. . 2 1 1 2 1 1 4 1 3 2 3 1 Lời giải Chọn B  Trọng tâm của tam giác ABC là G 4;2; 2 . Suy ra OG 4;2; 2 2 2;1; 1 . x y z Vậy phương trình đường thẳng cần tìm: . 2 1 1 2300 Câu trắc nghiệm theo mức độ thông hiểu, nhận biết, vận dụng trích từ đề thi thử các trường trên cả nước Năm 2021 giải chi tiết liên hệ Zalo 0988166193 để mua tài liệu ạ 2300 Câu trắc nghiệm theo mức độ thông hiểu, nhận biết, vận dụng trích từ đề thi thử các trường trên cả nước Năm 2021 giải chi tiết liên hệ Zalo 0988166193 để mua tài liệu ạ Trang 9