Chuyên đề môn Toán Lớp 12 - Chủ đề: Hàm số lũy thừa. Mũ. Logarit

Nội dung text: Chuyên đề môn Toán Lớp 12 - Chủ đề: Hàm số lũy thừa. Mũ. Logarit

1. CHỦ ĐỀ 2: HÀM SỐ LŨY THỪA – MŨ – LOGARIT MỨC ĐỘ VẬN DỤNG CAO 2300 Câu trắc nghiệm theo mức độ thông hiểu, nhận biết, vận dụng trích từ đề thi thử các trường trên cả nước Năm 2021 giải chi tiết liên hệ Zalo 0988166193 để mua tài liệu ạ Câu 1. (Liên trường Quỳnh Lưu - Hoàng Mai - Nghệ An - 2021) Cho các số thực không âm a,b,c thoả mãn 2a 4b 8c 4. Gọi M ,m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức M S a 2b 3c . Giá trị của biểu thức 4 logM m bằng 2809 4096 281 14 A. . B. . C. . D. . 500 729 50 25 Lời giải Chọn B Đặt a log2 x,2b log2 y,3c log2 z . Ta có S a 2b 3c log2 x log2 y log2 z log2 xyz . Mà 2a 4b 8c 4 x y z 4 . 3 3 3 4 4 4 Suy ra 4 x y z 3. xyz xyz S log2 xyz log2 3log2 . 3 3 3 4 4 Do đó M max S 3log2 khi x y z . 3 3 4 Mặt khác, ta có x 1 y 1 0 xy x y 1 3 z xyz z 3 z 2 (vì z 1; ). 3 Suy ra S 1, do đó m min S 1 khi x z 1, y 2 . 6 4 4 6 3log2 log2 M 3 3 4 4096 Vậy 4 logM m 4 log 4 1 2 . 3log2 3 729 3 Câu 2. (Liên trường huyện Quảng Xương - Thanh Hóa - 2021) Biết rằng x, y là các số thực dương x log2 y x log2 y sao cho 3 số u1 8 , u2 2 , u3 5y theo thứ tự lập thành một cấp số cộng và một cấp số nhân. Khi đó, tích 2x.y2 có giá trị bằng: A. 10. B. 5. C. 5 . D. 1. Lời giải Chọn D  Điều kiện: y 0; x log y x log y 2.2 2 8 2 5y 1 Theo đề bài, ta có: 2 x log y x log y 2 2 8 2 .5y 2 x log2 y 8 5y 2 8x log2 y.5y 8x log2 y 5y 0 8x log2 y 5y (2) 4 x log2 y log2 8 log2 5y x log2 y .log2 8 log2 5 log2 y 3x 3log2 y log2 5 log2 y 3x 2log2 y log2 5 5 3x log 3 2 y2 Thay 2 vào 1 ta được: x log2 y x log2 y 2 2.2 5y 5y 2 5y x log2 y log2 5y x log2 5y 4 Trang 1
2. 5 2 5 2 3 8 1 1 Từ 3 và 4 log2 2 3.log2 5y 2 5y y y y y 25 4 5 2 2 1 x 2 log2 5 1 1 x log2 5. log2 5 2 .y 2 . 5. 1 4 5 4 5 5 2300 Câu trắc nghiệm theo mức độ thông hiểu, nhận biết, vận dụng trích từ đề thi thử các trường trên cả nước Năm 2021 giải chi tiết liên hệ Zalo 0988166193 để mua tài liệu ạ Câu 3. (Liên trường huyện Quảng Xương - Thanh Hóa - 2021) Cho hàm số y f (x) có bảng biến thiên như hình vẽ Bất phương trình f ex m(3ex 2019) nghiệm đúng với mọi x (0;1) khi và chỉ khi 4 2 f (e) f (e) A. m B. m . C. m . D. m . 1011 1011 3e 2019 3e 2019 Lời giải Chọn C  Đầu tiên, ta nhận thấy hàm số y ex luôn đồng biến trên ¡ cho nên hàm số f (x) và hàm số f (ex ) có tính chất giống nhau nên từ bảng biến thiên đã cho ta có thể suy ra tính chất của hàm số f (ex ) . Xét bất phương trình f ex m(3ex 2019) (*). Đặt t ex 0 , với x (0;1) t (1;e) . f (t) Ta được bất phương trình mới f t m(3t 2019) m (1) (3t 2019) f (t) f (t)(3t 2019) 3 f (t) Xét hàm số g(t) trên t (1;e) , ta có g (x) . (3t 2019) (3t 2019)2 Do hàm số f (x) và hàm số f (ex ) có tính chất giống nhau nên trên khoảng đang được xét thì f (t) 0 và f (t) 0 với mọi t (1;e) g (t) 0 với mọi t (1;e) . f (t) Như vậy ta có bảng biến thiên của hàm số g(t) với t (1;e) như sau: (3t 2019) Suy ra, Bất phương trình f ex m(3ex 2019) nghiệm đúng với mọi x (0;1) khi và chỉ khi f (e) (1) đúng với mọi t (1;e) m max g(t) m g(e) m . 1;e 3e 2019 Trang 2
3. 2300 Câu trắc nghiệm theo mức độ thông hiểu, nhận biết, vận dụng trích từ đề thi thử các trường trên cả nước Năm 2021 giải chi tiết liên hệ Zalo 0988166193 để mua tài liệu ạ Câu 4. (Chuyên Lê Hồng Phong - TPHCM - 2021) Cho a,b là hai số thực thay đổi thỏa mãn 2 2 3 1 a b 2 , biết giá trị nhỏ nhất của biểu thức P 2.loga b 4b 4 log b a là m 3 n với a m,n là số nguyên dương. Tính S m n . A. S 9 . B. S 18 . C. S 54 . D. S 15 . Lời giải Chọn D Ta có b2 4b 4 b3 b 1 b2 4 0 (điều này đúng vì 1 b 2 ). 2 2 3 1 1 Nên P 2.loga b 6loga b . loga b 1 loga b 1 Đặt t loga b . Với 1 a b 2 thì t 1. 2 1 Đặt f t 6t với t 1 thì P f t ,t 1. t 1 3 1 1 2 3 t 1 1 Ta có f t 6 2 6 2. . 2 3 3 t 1 t 1 t 1 t 1 1 f t 0 t 1 . 3 3 2 1 6 1 3 Ta có f 1 6 6 3 9 . 3 3 3 3 1 3 3 Vậy m 6,n 9 m n 15 . Câu 5. (Chuyên Lê Hồng Phong - TPHCM - 2021) Có bao nhiêu số nguyên y 20;20 thỏa mãn 2 log 3x2 1 log yx2 6x 2y 3 3 với mọi x ¡ ? A. 9 . B. 11. C. 10. D. 8 . Lời giải Chọn C 2 log 3x2 1 log yx2 6x 2y 1 Ta có: 3 3 với mọi x ¡ . y 0 3 2 yx2 6x 2y 0, x y ĐKXĐ:  ¡ 2 . ' 9 2y 0 2 Trang 3
4. 1 log 3 3x2 1 log yx2 6x 2y 3 3 3 3x2 1 yx2 6x 2y y 9 x2 6x 2y 3 0, x ¡ a 0 y 9 bx c 0 6x 15 0 x Loai y 9 21 3 33 y 2 a 0 y 9 2y 21y 18 0 4 ' 0 9 y 9 2y 3 0 y 20;20 y ¢ 3 2 Do y y 10;11; ;18;19 2 21 3 33 y 4 Vậy có 10 số nguyên y thỏa yêu cầu bài toán. Câu 6. (Chuyên Lam Sơn - Thanh Hóa - 2021) Cho hình vuông ABCD có các đỉnh A, B,C tương ứng nằm trên các đồ thị của các hàm số y loga x, y 2loga x, y 3loga x . Biết rằng diện tích hình vuông bằng 36, cạnh AB song song với trục hoành. Khi đó a bằng A. 6 . B. 6 3 . C. 3 6 . D. 3 . Lời giải Chọn B  Từ giả thiết đã cho, ta có các đỉnh A, B,C của hình vuông ABCD lần lượt nằm trên các đồ thị y loga x, y 2loga x, y 3loga x .  Do AB / /Ox, AB  BC nên suy ra CB / /Oy  x2 x1 AB a a ;2x2 x1 x1 x2 x3 Giả sử A(a ; x1), B(a ;2x2 ),C(a ;3x3 ) ta có:  BC a x3 a x2 ;3x 2x 3 2 CB / /Oy 2x2 x1 0 2x x 2x 2k 0 Do nên x x 2 1 3 AB / /Ox a 3 a 2 0 AB 2 (ak a2k )2 Khi đó A(a2k ;2k), B(ak ;2k),C(ak ;3k) 2 2 BC k  Mà diện tích của hình vuông ABCD bằng 36 nên ak a2k 6 ak a2k 6 AB 2 (ak a2k )2 36 S AB 2 BC 2 36 k 2k k 2k ABCD 2 2 a a 6 a a 6 BC k 36 k 6,k 0 k 6 a6 a12 6 a6 3 6 12 a 6 3 a a 6 6 a 2 k 6 1 ab Câu 7. (Chuyên KHTN - 2021) Cho a,b là số thực dương thỏa mãn 2a b 2ab 3 . Giá trị nhỏ nhất a b của biểu thức a2 b2 là: 2 5 1 A. 5 1 . B. 2 . C. . D. 3 5 . 2 Lời giải Chọn D Trang 4
5. 2300 Câu trắc nghiệm theo mức độ thông hiểu, nhận biết, vận dụng trích từ đề thi thử các trường trên cả nước Năm 2021 giải chi tiết liên hệ Zalo 0988166193 để mua tài liệu ạ 1 ab  2a b 2ab 3 1 Điều kiện ab 1 a b a b 2ab 3 1 ab log2 2 log2 a b a b 2ab 3 log2 1 ab log2 a b a b log2 a b 1 log2 1 ab 2 2ab a b log2 a b 2 2ab log2 2 2ab 2  Xét hàm số đặt trưng f t t log2 t với t 0 , ta có: 1 f t 1 ,t 0 nên hàm số f t đồng biến trên 0; . t ln 2 2 f a b f 2 2ab a b 2 2ab .  Để có a,b thỏa yêu cầu bài toán thì: (a b)2 4ab 0 (2 2ab)2 4ab 0 a2b2 3ab 1 0 3 5 0 ab 0 ab 1 0 ab 1 0 ab 1 2  Ta có: P a2 b2 (a b)2 2ab (2 2ab)2 2ab 4a2b2 10ab 4  Bằng biến thiên  Từ bảng biến thiên ta có min P 3 5 Câu 8. (Chuyên Hoàng Văn Thụ - Hòa Bình - 2021) Cho hai số thực x, y thỏa mãn y e2.x e y ln x y 2,(x 0) . Giá trị lớn nhất của biểu thức P bằng: x 1 1 1 A. e . B. . C. 2 . D. 2 . e e e Lời giải Chọn A  e2.x e y ln x y 2 ⇔ e2.x e y ln e2.x y ⇔ e2.x ln e2.x e y ln e y 1 Xét hàm số: f t t ln t với t 0 ; f t 1 0 với t 0 t y 2 2 y y 2 y e ⇒ f t đồng biến với t 0 ⇒ e .x ln e .x e ln e ⇔ e .x e ⇔ x 2 e y y e2.y  P x e y e y e2 e2.y e2.e y e2.y.e y e2 1 y Khảo sát hàm số: P y ; P 2 y ; P 0 ⇔ y 1. e e y e Trang 5
6. BBT: y 1 Vậy: max P e ; khi: 1 . x e 2300 Câu trắc nghiệm theo mức độ thông hiểu, nhận biết, vận dụng trích từ đề thi thử các trường trên cả nước Năm 2021 giải chi tiết liên hệ Zalo 0988166193 để mua tài liệu ạ Câu 9. (Chuyên Quốc Học Huế - 2021) Gọi S là tập hợp các cặp số thực x, y thỏa mãn đẳng thức sau đây 22x y 1 2 2x y 1 32x y 1 3 2x y 1 52x y 1 5 2x y 1 . Biết rằng giá trị nhỏ nhất của biểu 2 P y 2021x 3 với x, y S đạt được tại x0 , y0 . Khẳng định nào sau đây đúng? A. x 0 300; 200 B. x 0 200; 100 C. x 0 100;0 D. x 0 0;100 Lời giải Chọn D Đặt a 2x y . Khi đó 22x y 1 2 2x y 1 32x y 1 3 2x y 1 52x y 1 5 2x y 1 2 2a 2 a 3 3a 3 a 5 5a 5 a a 1 a 1 a 1 2 2 a 3 2 a 5 5 a 1 2 3 5 2a 2 a 3a 3 a Đặt sin ; cos 5a 5 a 5a 5 a 2sin 3cos 5 1 2a 2 a 3a 3 a sin cos a a 2 5 5 a a a a 2a 3a 2 a 3 a 2 3 2 3 5 5 2 2 2 2 2 sin cos 2. 2 2 2. 2. 5a 5 a 5a 5 a 5a 5 a a a a a 5 5 5 5 2 2 2 2 1 4 4 2. 4. . 2 a a a a a a a a a a a 5 a 5 5 5 2 2 2 2 2 2 .2 2 2 2 2 2 2 2sin 3cos 5 sin cos 1 a 0 sin cos 2 y 2x . Trang 6
7. 2300 Câu trắc nghiệm theo mức độ thông hiểu, nhận biết, vận dụng trích từ đề thi thử các trường trên cả nước Năm 2021 giải chi tiết liên hệ Zalo 0988166193 để mua tài liệu ạ 3 2 x x Câu 10. (Chuyên Quang Trung - Bình Phước - 2021) Cho phương trình log2 x log2 e m 0 . 4 Gọi S là tập hợp giá trị m nguyên với m  10;10 để phương trình có đúng hai nghiệm. Tổng giá trị các phần tử của S bằng A. 28 . B. 3 . C. 27 . D. 12 . Lời giải Chọn A 3 2 x x  Ta có: log2 x log2 e m 0 4 x 0 Điều kiện: x . m e 3 2 x log2 x log2 0 4 . x e m 0 log2 x 3log x 2 0 2 2 . x e m log2 x 1 x 2 log2 x 2 x 4 x x e m e m  Ta có: + Trường hợp 1: m 0 . Khi đó phương trình ex m vô nghiệm. + Trường hợp 2: m 0 . x 2 3 x 4 2 x x log2 x log2 e m 0 4 x ln m x ln m 2 ln m 4 2 4 Để phương trình chỉ có hai nghiệm phân biệt thì: e m e ln m 0 Ngoài ra khi m 1 thì ex 1 x 0 l . Nên m 1,8;9;10 . Vậy m 10; 9; 8; 7; 6; 5; 4; 3; 2; 1;1;8;9;10  m 28 . Chọn A . Câu 11. (Chuyên Quang Trung - Bình Phước - 2021) Số giá trị m nguyên, m  20;20 , sao cho log xm 16 min 0,3 16 là x 0,3;1 log 0,3 x m A. 5 . B. 1. C. 20 . D. 40 . Lời giải Chọn B  Đặt t log0,3 x . Trang 7
8. mlog x 16  Đặt f x 0,3 x 0 . log0,3 x m mt 16  Khi đó: Xét f t trên đoạn 0;1. t m m2 16 Từ đó f t ., t m 2 16 m 16 f 0 , f 1 (Điều kiện m 0, 1) m m 1 m2 16  Trường hợp 1: m  20; 4 f t 0,t 0;1 . t m 2 Nên hàm số đồng biến trên khoảng 0;1 . Suy ra, f 0 f t f 1 0 nên f 0 f t f 1 0, t 0;1 . m 16 m 16 Nên max f t f 1 0 min f t f 1 m 1 . t 0;1 m 1 t 0;1 m 1 m 0 l m 16 Mà 16 32 . m 1 m l 17 m2 16  Trường hợp 2: m  4;0 f t 0,t 0;1 . t m 2 Nên hàm số nghịch biến trên đoạn 0;1. Suy ra, 0 f 0 f t f 1 nên f 1 f t f 0 0, t 0;1 . 16 Nên max f x f 0 min f x f 0 m 0 . x 0;1 x 0;1 m 16 m 1 l Mà 16 . m m 1 l m2 16  Trường hợp 3: m 0;4 f t 0,t 0;1 . t m 2 Nên hàm số nghịch biến trên khoảng 0;1 . Suy ra, f 0 f t f 1 0 nên f 1 f t f 0 0, t 0;1 . m 16 Nên min f t f 1 min f t f 1 m 1 . x 0;1 x 0;1 m 1 m 0 n m 16 Mà 16 32 . m 1 m l 17 m2 16  Trường hợp 4: m 4;20 f t 0,t 0;1 . t m 2 Nên hàm số đồng biến trên khoảng 0;1 . Suy ra, 0 f 0 f t f 1 nên 0 f 0 f t f 1 , t 0;1 . 16 Nên min f t f 0 min f t f 0 m 0 . x 0;1 x 0;1 m Trang 8
9. 16 m 1 l Mà 16 . m m 1 l Vậy tổng hợp các trường hợp: m 1 thì thỏa ycbt. Chọn B . 2300 Câu trắc nghiệm theo mức độ thông hiểu, nhận biết, vận dụng trích từ đề thi thử các trường trên cả nước Năm 2021 giải chi tiết liên hệ Zalo 0988166193 để mua tài liệu ạ Trang 9