›
›
›

Chuyên đề Hình học Lớp 11 - Lượng giác

docx 27 trang Hùng Thuận 23/05/2022 7641
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Chuyên đề Hình học Lớp 11 - Lượng giác", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • docxchuyen_de_hinh_hoc_lop_11_luong_giac.docx

Nội dung text: Chuyên đề Hình học Lớp 11 - Lượng giác

  1. CHUYÊN ĐỀ LƯỢNG GIÁC 11 A. CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC 1. Giá trị lượng giác của góc (cung) lượng giác a. Định nghĩa y t c’ K T U c sin OK A cos OH x’ O H x tan AT (2k 1) , k ¢ 2 cot BU ( k , k ¢ ) y’ t’ b. Tính chất c. Các hệ thức cơ bản 1 sin 1, sin2 cos2 1, 1 cos 1, sin tan , (2k 1) ,k ¢ sin( k2 ) sin ,k ¢ cos 2 cos( k2 ) cos ,k ¢ cos cot , k ,k ¢ tan( k ) tan ,k ¢ sin cot( k ) cot ,k ¢ tan .cot 1, k ,k ¢ 2 1 1 tan2 , (2k 1) ,k ¢ cos2 2 1 1 cot2 , k ,k ¢ sin2 3. Bảng hàm số của góc (cung) lượng giác đặc biệt 0o 30o 45o 60o 90o 120o 135o 150o 180o 270o 360o 2 3 2 3 0 2 Hàm số 6 4 3 2 3 4 6 2 1 2 3 3 2 1 sin 0 1 0 1 0 2 2 2 2 2 2 3 2 1 1 2 3 cos 1 0 1 0 1 2 2 2 2 2 2 3 3 tan 0 1 3 || 3 1 0 || 0 3 3 3 3 cot || 3 1 0 1 3 || 0 || 3 3
  2. 2. Giá trị lượng giác một số góc (cung) có liên quan đặc biệt Hai goùc ñoái nhau sin( ) sin tan( ) tan Hai goùc buø nhau cos( ) cos cot( ) cot sin( ) sin tan( ) tan cos( ) cos cot( ) cot Hai goùc hôn keùm nhau sin( ) sin tan( ) tan cos( ) cos cot( ) cot Hai goùc hôn keùm nhau π / 2 Hai goùc phuï nhau sin cos tan cot sin cos tan cot 2 2 2 2 cos sin cot tan cos sin cot tan 2 2 2 2 3. Một số công thức lượng giác a. Công thức cộng sin(a b) sinacosb sin bcosa tana tan b tan(a b) sin(a b) sinacosb sin bcosa 1 tanatan b cos(a b) cosacosb sinasin b tana tan b tan(a b) cos(a b) cosacosb sinasin b 1 tanatan b b. Công thức nhân đôi sin2a 2sinacosa 2tana tan2a ,tana 1 cos2a cos2 a sin2 a 2cos2 a 1 1 2sin2 a 1 tan2 a c. Công thức nhân ba 3tan a tan3 a sin3a 3sin a 4sin3 a cos3a 4 cos3 a 3cosa tan3a 1 3tan2 a d. Công thức hạ bậc 1 cos2a 3 3sin a sin3a sin2 a sin a 2 4 1 cos2a 3cosa cos3a cos2 a cos3 a 2 4
  3. 1 cos2a 3sina sin3a tan2 a tan3 a 1 cos2a 3cosa cos3a a d. Công thức tính theo t tan 2 a Ñaët t tan , a (2k 1) , k ¢ 2 2t 1 t2 2t sina cosa tana 1 t2 1 t2 1 t2 e. Công thức biến đổi tích thành tổng 1 sinasin b cos(a b) cos(a b) 2 1 sinacosb sin(a b) sin(a b) 2 1 cosacosb cos(a b) cos(a b) 2 f. Công thức biến đổi tổng thành tích a b a b sin(a b) sina sin b 2sin cos tana tan b 2 2 cosacosb a b a b sin(a b) sina sin b 2cos sin tana tan b 2 2 cosacosb a b a b sin(a b) cosa cosb 2cos cos cot a cot b 2 2 sinasin b a b a b sin(b a) cosa cosb 2sin sin cot a cot b 2 2 sinasin b g. Chú ý
  4. 1 sin 2a (sin a cosa)2 1 sin 2a (sin a cosa)2 sin a cosa 2.sin a 4 1 cos2a 2 cos2 a 1 cos2a 2sin2 a sin a cosa 2.sin a 4 1 1 sin acosa sin 2a sinn acosn a sinn 2a 2 2n cosa sin a 2.cos a 4 1 3 1 sin4 a cos4 a 1 2sin2 acos2 a 1 sin2 2a cos4a 2 4 4 cosa sin a 2.cos a 3 5 3 4 sin6 a cos6 a 1 3sin2 acos2 a 1 sin2 2a cos4a 4 8 8 sin8 a cos8 a 1 4sin2 acos2 a 2sin4 acos4 a B. hµm sè l­îng gi¸c. I. KiÕn thøc c¬ b¶n. 1. Hµm sè y = sin x. */ TËp x¸c ®Þnh: D = ¡ ; */ x ¡ ta lu«n cã: 1 sin x 1; */ Hµm sè y = sin x lµ mét hµm sè lÎ trªn ¡ vµ lµ mét hµm tuÇn hoµn víi chu kú 2 . */ §å thÞ: y 1 x -2π -3π/2 -π -π/2 0 π/2 π 3π/2 2π -1 2. Hµm sè y = cos x. */ TËp x¸c ®Þnh: D = ¡ ; */ x ¡ ta lu«n cã: 1 cos x 1; */ Hµm sè y = cos x lµ mét hµm sè ch½n trªn ¡ vµ lµ mét hµm tuÇn hoµn víi chu kú 2 . */ §å thÞ: y 1 x -2π -3π/2 -π -π/2 0 π/2 π 3π/2 2π -1 3. Hµm sè y = tan x.
  5.  */ TËp x¸c ®Þnh: D ¡ \ k ,k ¢  ; 2  */ Hµm sè y = tan x lµ mét hµm sè lÎ vµ lµ mét hµm tuÇn hoµn víi chu kú ; */ §å thÞ: y 1 x -3π/2 -π -π/2 -π/4 π/4 π/2 π 3π/2 -1 4. Hµm sè y = cot x. */ TËp x¸c ®Þnh: D ¡ \ k ,k ¢ ; */ Hµm sè y = cot x lµ mét hµm sè lÎ vµ lµ mét hµm tuÇn hoµn víi chu kú ; */ §å thÞ: y 1 x -2π -3π/2 -π -π/2 -π/4 0 π/4 π/2 π 3π/2 2π -1 5. Chó ý. Mét sè c¸c gi¸ trÞ ®Æc biÖt cña c¸c hµm sè l­îng gi¸c: */ sin x 1 x k2 , k ¢ ; 2 */ sin x 0 x k , k ¢ ; */ sin x 1 x k2 , k ¢ ; 2 */ cos x 1 x k2 , k ¢ ; */ cos x 0 x k , k ¢ ; 2 */ cos x 1 x k2 , k ¢ ; */ tan x 1 x k , k ¢ ; 4 */ tan x 0 x k , k ¢ ;
  6. */ tan x 1 x k , k ¢ ; 4 */ cot x 1 x k , k ¢ ; 4 */cot x 0 x k , k ¢ ; 2 */ cot x 1 x k , k ¢ ; 4 II. Kü n¨ng c¬ b¶n. T×m tËp x¸c ®Þnh; xÐt tÝnh ch½n lÎ, tÝnh tuÇn hoµn vµ vÏ ®­îc ®å thÞ cña mét hµm sè l­îng gi¸c. III. Mét sè vÝ dô A. VÝ dô tù luËn. VÝ dô 1: T×m tËp x¸c ®Þnh cña c¸c hµm sè: 1/ y cos2x 2/ y sin 3x 1 3/ y sin 4/ y cos x2 4 x Gi¶i. 1/ Do 2x ¡ , x ¡ nªn hµm sè ®· cho cã tËp x¸c ®Þnh lµ D ¡ . 2/ Hµm sè y sin 3x x¸c ®Þnh khi vµ chØ khi 3x 0 x 0 . VËy tËp x¸c ®Þnh cña hµm sè ®· cho lµ D 0; . 1 1 3/ Hµm sè y sin x¸c ®Þnh khi vµ chØ khi ¡ x 0. VËy tËp x¸c ®Þnh cña hµm sè ®· x x cho lµ D ¡ \ 0. 2 2 x 2 4/ Hµm sè y cos x 4 x¸c ®Þnh khi vµ chØ khi x 4 0 . VËy tËp x¸c ®Þnh cña x 2 hµm sè ®· cho lµ D ; 2 2; . VÝ dô 2: T×m tËp x¸c ®Þnh cña c¸c hµm sè: 1 cos x 1/ y ; 2/ y 2 cos3x ; sin x 3/ y cot x ; 4/ y tan 2x . 3 6 Gi¶i. 1 cos x 1/ Hµm sè y x¸c ®Þnh khi vµ chØ khi sin x 0 x k , k ¢ . VËy tËp x¸c ®Þnh cña sin x hµm sè ®· cho lµ D ¡ \ k , k ¢ .
  7. 2/ Hµm sè y 2 cos3x x¸c ®Þnh khi vµ chØ khi 2 cos3x 0. Mµ 2 cos3x 0 x ¡ . VËy hµm sè ®· cho cã tËp x¸c ®Þnh lµ D ¡ . 3/ Hµm sè y cot x x¸c ®Þnh khi vµ chØ khi 3 sin x 0 x k x k , k ¢ . VËy tËp x¸c ®Þnh cña hµm sè ®· cho lµ 3 3 3  D ¡ \ k ,k ¢ . 3  4/ Hµm sè y tan 2x x¸c ®Þnh khi vµ chØ khi 6 2 cos 2x 0 2x k 2x k x k , k ¢ . VËy tËp x¸c ®Þnh 6 6 2 3 3 2  cña hµm sè ®· cho lµ D ¡ \ k , k ¢ . 3 2  L­u ý: +/ TËp x¸c ®Þnh cña hµm sè y = f(x) lµ tËp c¸c gi¸ trÞ cña x ®Ó f(x) cã nghÜa. +/ T×m tËp x¸c ®Þnh cña hµm sè l­îng gi¸c, ta cÇn l­u ý tËp x¸c ®Þnh cña 4 hµm sè l­îng gi¸c nãi trªn vµ mét sè gi¸ trÞ ®Æc biÖt cña nã. VÝ dô 3: X¸c ®Þnh tÝnh ch½n, lÎ cña c¸c hµm sè: 1/ y = x2sin 3x 2/ y = cosx + sin2x 3/ y = tanx.cos2x 4/ y = 2cosx – 3sinx. Gi¶i. 1/ TËp x¸c ®Þnh cña hµm sè y = f(x) = x2sin 3x lµ D ¡ . x D ta cã: */ x D ; */ f(-x) = (-x)2sin(-3x) = - x2sin3x = - f(x). VËy hµm sè ®· cho lµ hµm sè lÎ trªn ¡ . 2/ TËp x¸c ®Þnh cña hµm sè y = f(x) = cosx + sin2x lµ D ¡ . x D ta cã: */ x D ; */ f(-x) = cos(- x) + sin2(- x) = cosx + sin2x = f(x). VËy hµm sè ®· cho lµ hµm sè ch½n trªn ¡ .  3/ TËp x¸c ®Þnh cña hµm sè y = f(x) = tanx.cos2x lµ D ¡ \ k ,k ¢  . 2  x D ta cã: */ x D ; */ f(-x) = tan(-x).cos(-2x) =- tanx.cos2x = - f(x). VËy hµm sè ®· cho lµ hµm sè lÎ trªn D. 4/ TËp x¸c ®Þnh cña hµm sè y = f(x) = 2cosx – 3sinx lµ D ¡ . 5 2 2 Ta cã f , mÆt kh¸c f nªn f f . 4 2 4 2 4 4
  8. VËy hµm sè ®· cho kh«ng ph¶i lµ hµm sè ch½n vµ còng kh«ng ph¶i lµ hµm sè lÎ. L­u ý: */ Ph­¬ng ph¸p xÐt tÝnh ch½n lÎ cña hµm sè y = f(x): +/ T×m tËp x¸c ®Þnh D cña hµm sè. x D +/ XÐt x D nÕu th× hµm sè lµ hµm sè ch½n. f ( x) f (x) x D NÕu th× hµm sè lµ hµm sè lÎ. f ( x) f (x) */ §å thÞ hµm sè ch½n cã trôc ®èi xøng lµ trôc Oy; §å thÞ hµm sè lÎ cã t©m ®èi xøng lµ gèc täa ®é O. VÝ dô 4: 1/ Chøng minh r»ng cos2 x k cos2x k ¢ . Tõ ®ã, vÏ ®å thÞ hµm sè y = cos2x. 2/ Tõ ®å thÞ hµm sè y = cos2x, h·y vÏ ®å thÞ hµm sè y cos2x . Gi¶i. 1/ Ta cã cos2 x k cos 2x k2 cos2x, k ¢ . Do ®ã hµm sè y = cos2x tuÇn hoµn víi chu kú . Ta chØ cÇn vÏ ®å thÞ hµm sè y = cos2x trªn mét ®o¹n cã ®é dµi b»ng , råi tÞnh tiÕn song song víi trôc Ox c¸c ®o¹n cã ®é dµi ta ®­îc ®å thÞ hµm sè. MÆt kh¸c, hµm sè y = cos2x lµ hµm sè ch½n, nªn ta l¹i chØ cÇn vÏ ®å thÞ hµm sè ®ã trªn ®o¹n 0; sau ®ã lÊy ®èi xøng qua trôc tung, ta ®­îc ®å thÞ hµm sè trªn ®o¹n ; . 2 2 2 §å thÞ hµm sè y = cos2x: y 1 x -3π/2 -5π/4 -π -3π/4 -π/2 -π/4 0 π/4 π/2 3π/4 π 5π/4 3π/2 -1 cos2x nÕu cos2x 0 2/ Ta cã y cos2x . VËy ®å thÞ hµm sè y cos2x (nÐt liÒn) ®­îc cos2x nÕu cos2x 0 suy ra tõ ®å thÞ hµm sè y = cos2x b»ng c¸ch gi÷ nguyªn phÇn ®å thÞ n»m trªn trôc hoµnh vµ lÊy ®èi xøng phÇn d­íi trôc hoµnh qua trôc hoµnh.
  9. y 1 x -3π/2 -5π/4 -π -3π/4 -π/2 -π/4 0 π/4 π/2 3π/4 π 5π/4 3π/2 -1 VÝ dô 5: Tõ ®å thÞ hµm sè y = tanx, h·y vÏ ®å thÞ hµm sè 1 1/ y tan x 2/ y = tanx - 4 2 Gi¶i. 1/ Ta cã ®å thÞ hµm sè y tan x (nÐt liÒn) ®­îc suy ra tõ ®å thÞ hµm sè y = tanx ( nÐt 4 ®øt) b»ng c¸ch tÞnh tiÕn song song víi trôc Ox sang ph¶i mét ®o¹n b»ng ( h×nh vÏ) 4 y 1 x -3π/2 -π -3π/4 -π/2 π/4 π/2 π 5π/4 3π/2 -1 1 2/ Ta cã ®å thÞ hµm sè y = tanx - (nÐt liÒn) ®­îc suy ra tõ ®å thÞ hµm sè y = tanx (nÐt 2 1 ®øt)b»ng c¸ch tÞnh tiÕn song song víi trôc tung xuèng phÝa d­íi ®¬n vÞ. 2 y 1 x -3π/2 -π -π/2 -π/4 π/4 π/2 π 3π/2 -1/2 -1 VÝ dô 6: T×m gi¸ trÞ lín nhÊt, gi¸ trÞ nhá nhÊt cña c¸c hµm sè: 1/ y 2cos x 1 2/ y 1 sin x 3 3 Gi¶i:
  10. 1/ Ta cã x ¡ : 1 cos x 1 2 2cos x 2 3 y 1. VËy gi¸ trÞ lín 3 3 nhÊt cña hµm sè lµ 1, x¶y ra khi cos x 1 x k2 x k2 ,k ¢ . 3 3 3 Gi¸ trÞ nhá nhÊt cña y lµ -3 ®¹t ®­îc khi 4 cos x 1 x k2 x k2 , k ¢ . 3 3 3 2/ Ta cã x ¡ ,0 1 sin x 2 0 1 sin x 2 3 y 2 3. VËy, gi¸ trÞ lín nhÊt cña y lµ 2 3, khi sin x 1 x k2 , k ¢ ; gi¸ trÞ nhá nhÊt cña y 2 lµ -3, khi sin x = -1 x k2 , k ¢ . 2 B. VÝ dô tr¾c nghiÖm kh¸ch quan. 1 1/ TËp x¸c ®Þnh cña hµm sè y lµ sin2x k  k2  A.¡ \ k ,k ¢  B. ¡ C. ¡ \ ,k ¢  D.¡ \ ,k ¢  2  3  .2/ Chän mÖnh ®Ò sai trong c¸c mÖnh ®Ò sau: A. Hµm sè y = -2sinx lµ hµm sè lÎ. B. Hµm sè y = -tanx – sinx lµ hµm sè lÎ. C. Hµm sè y = sinx + x lµ hµm sè lÎ. D. Hµm sè y = tanx + cosx lµ hµm sè lÎ. sin2x 3/ Hµm sè y lµ hµm sè: tan x C. Kh«ng ch½n, D. Võa ch½n, A. Ch½n B. LÎ kh«ng lÎ võa lÎ. . 4/ Hµm sè y cos4x lµ hµm sè tuÇn hoµn víi chu kú: A. 2 B. C. D. 2 3 5/ Gi¸ trÞ lín nhÊt (M) vµ gi¸ trÞ nhá nhÊt (m) cña hµm sè y = 2sinx + 3 lµ: A. m =1, M= 5 B. m =-5 ,M =-1 C. m=-5, M=1 D. m=-1, M=5 6/ Cho hµm sè y 2cos x . Chän mÖnh ®Ò sai: 3 D. Hµm sè lµ hµm A. max y = 2 B. min y = -2 C. TX§ D ¡ ch½n 7/ Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau: A. Hàm số y = tanx và y = cosx cùng đồng biến trên khoảng ; . 2
  11. B. Hàm số y = sinx và y = cotx cùng nghịch biến trên khoảng ; . 2 C. Hàm số y = tanx đồng biến trên ; và y = cotx nghịch biến trên khoảng ; . 2 2 2 2 D. Hàm số y = sinx và y = cosx cùng đồng biến trên khoảng 0; . 2 8/ Cho x  ;0, rút gọn P 2 2cos x , chọn kết quả đúng: x x x x A. P 2sin B. P 2cos C. P 2sin D. P 2cos 2 2 2 2 Giải. k 1/ Chän ph­¬ng ¸n C, v× hµm sè ®· cho x¸c ®Þnh khi sin2x 0 2x k x ,k ¢ 2 2/ Chän ph­¬ng ¸n D, v× c¸c hµm sè y = sinx, y= tanx, y = x ®Òu lµ c¸c hµm sè lÎ, nªn c¸c hµm sè ë trong c¸c ph­¬ng ¸n A, B, C lµ c¸c hµm sè lÎ.Cßn hµm sè y = cosx lµ hµm sè ch½n, nªn hµm sè trong ph­¬ng ¸n D kh«ng thÓ lµ hµm sè lÎ, thùc ra nã lµ hµm sè kh«ng ch½n, kh«ng lÎ.  3/ Chän ph­¬ng ¸n A, v× hµm sè ®· cho cã TX§ lµ D ¡ \ k ,k ¢  vµ 2  sin 2x sin2x tan x tan x 4/ Chän ph­¬ng ¸n C. §Ó ý r»ng cos4 x k cos4x k ¡ . 2 5/ Chän ph­¬ng ¸n A, v× 1 sin x 1x ¡ 1 y 5 x ¡ vµ y 1 sin x 1 x k2 , k ¢ 2 y 5 sin x 1 x k2 , k ¢ 2 6/ Chän ph­¬ng ¸n D. Hµm sè ®· cho thùc chÊt lµ hµm kh«ng ch½n, kh«ng lÎ. 7/ Chän ph­¬ng ¸n B. Dùa vµo sù biÕn thiªn cña c¸c hµm sè l­îng gi¸c. x x 8/ Chän ph­¬ng ¸n C, v× P 4sin2 vµ sin 0 x  ;0. 2 2 IV. Bµi tËp. A.Bµi tËp tù luËn. Bµi 1. T×m tËp x¸c ®Þnh cña c¸c hµm sè sau: 1 sin x 3 1/ y ; 2/ y sin2 x ; cos2x 2
  12. 2 3/ y cot 2x ; 4/ y tan 3x . 3 6 Bµi 2. XÐt tÝnh ch½n lÎ cña c¸c hµm sè sau: 1/ y = cos5x; 2/ y = tanx + 2sinx; sin3x 3/ y ; 4/ y = sinx + cosx. x Bµi 3.T×m gi¸ trÞ lín nhÊt, nhá nhÊt cña c¸c hµm sè: 1/ y 3sin x 1; 2/ y 1 sin2x 2; 6 3/ y = cos3x + sin3x; 4/ y = sinx + cos2x Bµi 4. Chøng minh hµm sè y = sin2x lµ mét hµm tuÇn hoµn víi chu kú . Bµi 5. Chøng minh hµm sè y sin x lµ mét hµm tuÇn hoµn, t×m chu kú, xÐt tÝnh ch½n lÎ vµ vÏ ®å thÞ hµm sè. Bµi 6. Tõ ®å thÞ cña hµm sè y = sinx, h·y suy ra ®å thÞ cña c¸c hµm sè y sin x vµ 3 1 y sin x . 2 Bµi 7. Chøng minh r»ng: a/ sinx cosx víi x . 4 2 B. Bµi tËp tr¾c nghiÖm. Bµi 8. Chän mÖnh ®Ò ®óng: A. Hµm sè y = sin x vµ y = cot x cã cïng tËp x¸c ®Þnh. B. Hµm sè y = sin x vµ y = cos x cã cïng tËp x¸c ®Þnh. C. Hµm sè y =cos x vµ y = tan x cïng lµ hµm lÎ. D. Hµm sè y = sin x vµ y = cot x cïng lµ hµm ch½n. Bµi 9. TËp x¸c ®Þnh cña hµm sè y tan x lµ: 4   A. D ¡ \ k ,k ¢  B. D ¡ \ k ,k ¢  2  4    C. D ¡ \ k2 ,k ¢  D. D ¡ \ k2 ,k ¢  4  2  Bµi 10 . Trong kho¶ng 2 ; c¸c hµm sè nµo sau ®©y lu«n nhËn gi¸ trÞ d­¬ng: A. y = cos x B. y = sin x C. y = tan x D. y = cot x Bµi 11. T×m kho¶ng mµ trªn ®ã c¸c hµm sè y = cos x, y = sin x, y = tan x, y = cot x cïng dÊu:
  13. 5 3 3 A. ; B. ; C. ; D. ;2 4 4 4 2 4 3 4 Bµi 12. TËp gi¸ trÞ cña hµm sè y = 2cos x – 3 lµ: A. [-5; -1] B. [-5; 1] C. [-1;5] D. [1; 5] Bµi 13. T×m hµm sè ch½n trong c¸c hµm sè sau: cos x B. y sin x C. tan3 D. y cos x cot x A. y y x x Bµi 14. Hµm sè nµo sau ®©y cã ®å thÞ ®èi xøng qua gèc täa ®é O: cos x A. y xsin3x B. y C. y x3 cos2x D. y x tan x 2cos x 2 sin x Bµi 15. Hµm sè nµo sau ®©y cã ®å thÞ ®èi xøng qua trôc Oy: sin x A. y cos x sin x B. y x2 sin x C. y 2cos x xsin x D. y 2 cos x Bµi 16. Chän c©u sai: A. Hµm sè y sin x vµ y = sin x cïng cã chu kú lµ 2 ; 4 B. Hµm sè y sin2 x vµ y = sin x cïng cã chu kú lµ 2 ; C. Hµm sè y cos x vµ y = sin x cïng cã chu kú lµ 2 ; D. Hµm sè y sin2x vµ y = tan x cïng cã chu kú lµ ; Bµi 17. Chu kú cña hµm sè y = sin2x + 2cos2x lµ A. B. C. D. 2 3 2 Bµi 18. GTLN (M) vµ GTNN (m) cña hµm sè y 3 sin x 1 1 lµ: A. M 2 1, m 0 B. M 2, m 0 C. M 3 2 1, m 1 D. M 3 2 1, m 1
  14. C. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN. 1. Phương trình: sin x a . + Nếu | a | 1 (hay a [ 1;1]) thì phương trình vô nghiệm + Nếu | a | 1 (hay 1 a 1) Khi đó: sin x a sin x sin x k2 x k2 VD 01. Giải các phương trình lượng giác sau: 1 a) sin x 0 ; b) sin x ; 2 1 2 c) sin x ; d) sin x ; 2 2 2 3 3 e) sin x ; f) sin x ; g) sin x ; 2 2 2 2 h) sin x 1; i) sin x 1; j) sin x ; 3 Lưu ý: 1 2 3 (1). Nếu a không phải là các giá trị đặc biệt 0; ; ; ; 1 thì ta sử dụng hàm ngược của hàm 2 2 2 sin (arcsin) trình bày các họ nghiệm của phương trình như sau: sin x a x arcsin a k2 x arcsin a k2 (2). Các trường hợp đặc biệt: sin x 0 x k sin 1 cos x 0 x k 2 sin x 1 k2 sin x 1 x k2 2 2 2. Phương trình: cos x a . + Nếu | a | 1 (hay a [ 1;1]) thì phương trình vô nghiệm + Nếu | a | 1 (hay 1 a 1) Khi đó: cos x a cos x cos x k2 x k2 VD 02. Giải các phương trình lượng giác sau: 1 a) cos x 0 ; b) cos x ; 2 1 2 c) cos x ; d) cos x ; 2 2
  15. 3 3 e) cos x ; f) cos x ; g) cos x 1; 2 2 1 h) cos x 1; i) cos x ; j) cos x 2 ; 4 Lưu ý: 1 2 3 (1). Nếu a không phải là các giá trị đặc biệt 0; ; ; ; 1 thì ta sử dụng hàm ngược của hàm 2 2 2 cos (arccos) trình bày các họ nghiệm của phương trình như sau: cos x a x arccosa k2 x arccosa k2 (2). Các trường hợp đặc biệt: cos x 0 x k cos x 1 sin x 0 x k 2 cos x 1 x k2 cos x 1 x k2 3. Phương trình: tan x a , x k 2 tan x a tan x tan x k VD 03. Giải các phương trình lượng giác sau: a) tan x 0 ; b) tan x 1; c) tan x 3 ; 3 d) tan x ; e) tan x 1; f) tan x 1,6 ; 3 3 Lưu ý: Nếu a không phải là các giá trị đặc biệt 0; ; 1; 3 thì ta sử dụng hàm ngược của hàm tan 3 (arctan) trình bày các họ nghiệm của phương trình như sau: tan x a x arctan a k 4. Phương trình: cot x a , (x k ) cot x a cot x cot x k VD 04. Giải các phương trình lượng giác sau: a) cot x 0 ; b) cot x 1; c) cot x 3 ; 3 6 d) cot x 1; e) cot x ; f) cot x ; 3 5 3 Lưu ý: Nếu a không phải là các giá trị đặc biệt 0; ; 1; 3 thì ta sử dụng hàm ngược của hàm tan 3 (arctan) trình bày các họ nghiệm của phương trình như sau: cot x a x arcot a k 5. Mở rộng: Mở rộng 1. Sử dụng MTBT để giải phương trình lượng giác:
  16. VD 05. Giải các phương trình sau: a) 2sin x 1 0 b) 2cos x 2 0 c) tan2 x 3 Mở rộng 2. (Cung chứa bội): VD 06. Giải các phương trình sau: 2 x a) 3sin 2x 2 0 b) cos3x c) cot 2 2 3 Mở rộng 3. (Cung chứa tổng): VD 07. Giải các phương trình sau: 2 2 3 a) sin(x 45o ) b) cos(x 60o ) c) cos(x 300 ) 2 2 2 2 1 d) tan(3x 15o ) 3 e) cot 4x cot f) cot(2x 10o ) 7 3 o 2 1 g) cos3x cos12 h) sin 2x sin x i) cos 2x 5 5 4 Mở rộng 4. Phương trình tích (đơn giản): A 0 A.B = 0 B 0 VD 08. Giải các phương trình sau: a) cos 2x.tan x 0 b) sin 3x.cot x 0 c) tan 3x.tan x 1 d) sin x.cos x cos x 0 e) 2sin2 x 3sin x 1 0 f) (cos 2x cos x).(sin x sin 3x) 0 BÀI TẬP 1) Giải các phương trình: a) tan(3x 1) 1; b) cot 3x 3 ; c) 1 sin(2x 1) ; 2 1 d) cos 2x ; e) cos 2x 1; f) sin 2x 1; 3 1 g) cos(2x 1) cos(2x 1) ; h) tan 3x tan x ; i) cos 2x ; 3 2 j) tan x tan 2x ; k) cot 2x cot x ; l) cos 3x cos x 4 4 3 5 2) Tìm điều kiện của m để phương trình sau có nghiệm a) 3sin x m 1 0 ; b) 4cos2 x m 3; c) 2msin x 1 3m . 3) Giải các phương trình: 3 a) cos 2x sin x ; b) sin 2x cos x ; c) cos3x cos x 4 2 3 3 3 d) sin x sin 2x 0 ; e) cos 4x sin x ; f) sin 3x sin 2x ; 3 3 5 3 5 2x 1 1 g) cos x sin x ; h) cot tan ; i) sin x cos x 0 ; 4 6 3 j) sin x cos3x 0 ; k) tan 3x tan x 0 ; l) tan x cot x 0 . 4) Giải các phương trình: a) sin x cos x 1; b) cos3x.cos 2x cos5x ; c) sin 4x.cos x sin 3x 0 ; d) sin 2x cos 2x 2 ; e) sin 2x.sin 3x cos 2x.cos3x f) cos 2x.cos5x cos7x
  17. 5) Giải các phương trình: 1 1 2 a) sin x b) tan x 3 c) 2 2 6 2sin 4x 1 0 3 2 2 d) cot x 1 e) sin(x 4x) 0 f) sin(x x) sin x 4 3 g) tan(x2 2x 3) tan 2 h) cos(x2 1) 0 i) cos(x2 x) cos(x 1) 2 j) cos3x 4cos 2x 3cos x 4 0 k) cos x .cos x cos 5 5 5 D. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP. 1. Phương trình đại số hóa đơn giản: a) Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác: a sin2 x bsin x c 0 , Phương pháp: + Đặt t sin x (hay cos x, tan x,cot x) . Khi đó ta được một phương trình bậc 2 theo t: at2 bt c 0 . + Giải phương trình bậc 2 theo t. + Với mỗi giá trị của t ta tìm nghiệm x. Lưu ý:Điều kiện của t khi đặt t sin x (hay cos x) là | t | 1. VD 10. Giải các phương trình sau: a) 2sin2 x 5sin x 3 0 ; b) cos 2x 3cos x 4 0 ; c) 2cos2 x 7sin x 5 0 ; x 1 d) cos2x 3sin x 2 ; e) cos x cos 1 0 ; f) 3tan x 1 0 . 2 cos2 x b) Phương trình bậc cao đối với một hàm số lượng giác: Phương pháp: + Biến đổi để đưa về dạng phương trình đại số đơn giản. + Đặt ẩn t theo mỗi hàm số lượng giác. + Giải và kiểm tra lại nghiệm. VD 11. Giải các phương trình sau: a) 4sin3 x 4sin2 x 3 3sin x ; b) sin 3x 1 2sin2 x ; c) 1 + sin3x – sinx = cos2x; 3 2 3 3 1 d) tan x tan x tan x 3 0 ; e) tan x tan x 0 ; f) tan x 2 3cot x 4 cos x 2 2. Phương trình lượng giác cổ điển: a) Phương trình bậc nhất đối với sin và cos: a sin x bcos x c . Phương pháp: + Thử xem phương trình có nghiệm hay không, bằng cách: Nếu a 2 b2 c2 phương trình có nghiệm Nếu a 2 b2 c2 phương trình vô nghiệm + Chia 2 vế của phương trình cho a 2 b2 , ta được: a b c sin x cos x a 2 b2 a 2 b2 a 2 b2
  18. a b + Đặt sin thì cos . a 2 b2 a 2 b2 Sau đó áp dụng công thức cộng để đưa về phương trình lượng giác cơ bản: c sin sin x cos cos x a 2 b2 c cos(x ) (*) a 2 b2 + Giải phương trình (*). VD 12. Giải các phương trình sau: a) cos x sin x 1; b) 4cos 2x 3sin 2x 5 ; c) cos 2x sin 2x 2 ; d) cos x 3 sin x 1 0 e) cos3x 1 sin 3x ; f) sin 3x 3 cos3x 2 b) Phương trình lượng giác đối xứng, phản đối xứng: a(sin x cos x) bsin x.cos x c 0 . Phương pháp: t2 1 + Đặt t sin x cos x,| t | 2 . Khi đó: sin x.cos x , sin 2x t2 1 2 2 t 1 2 t sin x cos x,| t | 2. Khi ñoù: sin x.cos x ,sin 2x (t 1) 2 t2 1 + Phương trình có dạng at b c 0 (dạng phương trình bậc 2 theo t) 2 + Giải phương trình được nghiệm t. + Với mỗi giá trị của t ta đi tìm giá trị của x. Lưu ý: sin x cos x 2 sin x 2 cos x , sin x cos x 2 sin x 2 cos x . 4 4 4 4 VD 13. Giải các phương trình sau: a) 2(sin x cos x) sin 2x 5 0 ; b) 2(sin x cos x) sin 2x 1 0 ; c) sin 2x 2 2(sin x cos x) 5 0 ; d) 2(sin x cos x) 3sin x cos x 1 0 c) Phương trình lượng giác đẳng cấp: a sin2 x bsin x.cos x ccos2 x d . Phương pháp: Cách 1: + Xét cos x 0 thì sin2 x 1. Phương trình trở thành: a d (*) Nếu (*) đúng thì cos x 0 là nghiệm của phương trình. Nếu (*) sai thì cos x 0 không phải là nghiệm của phương trình. + Xét cos x 0 , chia 2 vế của phương trình cho cos2x , ta được phương trình bậc 2 theo tan x . (Lưu ý: Ta có thể xét sin x thay cho việc xét cos x ). 1 1 1 tan2 x , 1 cot2 x . cos2x sin2 x Cách 2: + Biến đổi với các công thức: 1 cos 2x 1 cos 2x sin 2x sin2 x , cos2 x , sin x cos x . 2 2 2 Khi đó phương trình trở thành dạng “phương trình bậc nhất đối với sin và cos ”. + Giải phương trình mới ta được nghiệm cần tìm. VD 14. Giải các phương trình sau: a) 2cos2 x sin x cos x 2sin2 x 1 0 ; b) sin2 x sin 2x cos2 x 1 0 ;
  19. c) cos2 x 2sin x cos x sin2 x 0 ; d) sin2 x 3sin x cos x 1. BÀI TẬP 1) Giải các phương trình sau: a) sin2 x 2sin x 3 0; b) cos 2x sin x 2 0 ; c) 3cos2 x 2cos x 5 0 ; d) tan2 x 5tan x 6 0 ; e) 2cos 2x 5sin x 2 0 ; f) cos 2x 7cos x 1 0 ; g) cos 2x 4sin x 1 0 ; h) cos 4x 2sin 2x 1 0 i) 2cos 2x 4sin x 5 0 ; j) 3cos2 5sin x 5 0 ; k) sin2 x 3cos x 3 0 ; l) tan x(1 cot2 x) 2 ; 2 1 m) cos x(tan x 2cos x) 2 0 ; n) 3tan x 9 0 ; o) ( 2 1) tan x 2 3 cos2 x cos2 x 2) Giải các phương trình sau: 2 cos x sin2 x sin x a) 1; b) 2 ; cos 2x sin x 1 cos 2x sin x cos2 x cos x 2 c) 1 0; d) cos x 3 . sin x 1 cos x 1 3) Giải các phương trình sau: a) sin 5x cos5x 1 0; b) sin 3x cos3x 1; c) 2sin 5x 6 2cos5x ; d) 3cos 2x 4sin 2x 1; e) sin x 3 cos x 1; f) 3 sin 2x cos 2x 2 ; g) 1 2sin x 2cos x ; h) 4cos x 3sin x 3; i) 3cos3x 4sin 3x 5 ; 4) Giải các phương trình sau: a) 2(sin x cos x) 4sin x cos x 1 b) sin 2x 3(sin x cos x) 3 0 c) sin 2x 5(sin x cos x 1) d) 2sin 2x sin x cos x 1; e) 3(sin x cos x) 2sin 2x ; f) sin x cos x sin 2x 5) Giải các phương trình sau: 1 1 a) sin2 x sin x cos x ; b) 4sin x 6cos x c) 2sin2 5x sin10x 4cos2 5x 3 2 cos x d) ( 3 1)(sin x cos x)cos x 1 e) 2sin2 2x sin 4x 2 0 ; f) cos4 x sin4 x cos 4x g) cos4 x sin4 x cos3x ; h) cos6 x sin6 x cos 4x 6) Giải các phương trình sau: a) cos 2x cos x ; b) cos 2x 9cos x 5 0 ; c) sin x 3 cos x 1; d) cos x cos 2x sin 3x ; e) sin x cos x 3 sin 2x 0 ; f) cos x cos 2x 1 0 ; g) 3 sin x cos x 2 ; h) cos8x sin 4x 0 ; i) cos 2x cos x 2 0 ; 2 j) 2 sin x sin 2x 0 ; k) sin x 1; l) cos x sin x ; 2 6 6 3 5 m) sin x cos x sin 2x ; n) sin x sin x 0 ; o) cos x sin x ; 4 4 2 p) cos 2x 3(sin 2x 1) q) sin4 x cos4 x 1; r) 2(sin x cos x) 1 2sin 2x 1 s) 2cos2 x ( 3 2)sin x 3 2 t) sin 2x (cos x sin x)2 ; u) cos2 x sin2 x ; 2 1 v) cos2 x sin 2x sin2 x 0 ; w) sin 2x 3 cos 2x 3 ; x)sin 2x 2 2(sin x cos x) 3 0 2 7) Cho phương trình: msin x 3 cos x m 1. a) Giải phương trình khi m = 1; b) Tìm m để phương trình vô nghiệm. 8) Cho phương trình: cos4 x sin4 x m . a) Giải phương trình khi m = 1; b) Tìm m để phương trình vô nghiệm.
  20. 9) Tìm m để phương trình sau có nghiệm: a) msin x 2cos x 3 ; b) (m 2)cos x msin x 3m 2 . E.PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC TỔNG QUÁT. Phương pháp: Dùng các phép biến đổi, các phương pháp giải phương trình đưa phương trình về các dạng phương trình lượng giác đơn giản, phương trình đại số hóa đơn giản, phương trình lượng giác cơ bản rồi giải. Có 2 hướng: Hướng 1: Biến đổi phương trình đã cho về các dạng phương trình đơn giản. + Phương pháp đặt ẩn phụ để đưa về phương trình đại số đơn giản. VD 15. Giải phương trình: 2cos2 x sin x 1 + Phương pháp hạ bậc để đưa về phương trình có bậc thấp hơn. VD 16. Giải phương trình: sin2 3x sin2 2x sin2 x 0 A 0 + Phương pháp biến đổi về phương trình tích: A.B 0 B 0 VD 17. Giải phương trình: sin 2x sin 4x 2cos x 2 2 A 0 + Phương pháp tổng các số hạng không âm: A B 0 B 0 VD 18. Giải phương trình: 2sin2 x 2 2 sin x 3tan2 x 2 3 tan x 2 0 + Phương pháp đánh giá: Sử dụng điều kiện, pitago, các bất đẳng thức côsi, bunhiacốpski VD 19. Giải phương trình: cos x.cos 2005x 1 + Phương pháp hàm số: Sử dụng các tính chất của hàm số để đánh giá phương trình. VD 20. Giải phương trình: 2cosx 2sin x sin x cos x Hướng 2: Chứng minh phương trình vô nghiệm (khi không thể giải bằng các cách trên). VD 21. Giải phương trình: sin 2x cos 2x tan x cot x 1. Phương pháp đặt ẩn phụ. Bài toán này chúng ta đã được làm quen trong phần “Phương trình lượng giác thường gặp” với các phép đặt để đưa về một phương trình đại số đơn giản. Ngoài các phép đặt trên ra chúng ta còn một số phép đặt như: + Áp dụng công thức lượng giác biểu diễn qua hàm tan của góc chia đôi: x 2t 1 t2 2t Đặt t tan . Khi đó: sin x ; cos x ; tan x . 2 1 t2 1 t2 1 t2 1 1 + Đặt t hoặc t với điều kiện | t | 1. sin x cos x + Đặt t a sin x bcos x với điều kiện | t | a 2 b2 . + Dùng ẩn t để đổi biến. VD 22. Giải các phương trình sau (phương trình thuàn nhất bậc cao đối với sinx và cosx): a) 4sin3 x 3sin2 x.cos x sin x cos3 x 0 ; b) sin4 x 3sin2 x.cos2 x 4sin x.cos3 x 3cos4 x 0 ; 2 3 c) (tan x 1)sin x 3(cos x sin x)sin x 3; d) sin x 2 sin x . 4 VD 23. Giải các phương trình sau (Phương trình đối xứng đối với tanx và cotx): a) (tan x 7).tan x (cot x 7).cot x 14 0 ; b) 3(tan2 x cot2 x) 2( 3 1)(tan x cot x) 4 2 3 0 . VD 24. Giải các phương trình sau: 4 a) cot x tan x 2 tan 2x ; b) 4 tan2 x 5 0; cos x VD 25. Giải các phương trình sau:
  21. 6 a) sin 2x 5sin x cos3x ; b) 32cos x sin 6x 1; 3 6 4 3 c) 8cos x cos3x ; d) 2cos x sin 3x cos3x . 3 6 2. Phương pháp hạ bậc. Ta áp dụng các công thức sau: 1 cos 2x 1 cos 2x sin2 x 1 cos 2x sin2 x ; cos2 x ; tan2 x ; 2 2 cos2 x 1 cos 2x 3sin x sin 3x 3cos x cos3x sin3 x 3sin x sin 3x sin3 x ; cos3 x ; tan3 x ; 4 4 cos3 x 3cos x cos3x VD 26. Giải các phương trình sau: 2 2 17 2 2 2 a) sin 2x cos 8x sin 10x ; b) sin x cos 2x cos 3x ; 2 2 4x 4 4 1 c) cos x cos ; d) sin x cos x . 3 4 4 3. Phương pháp biến đổi về phương trình tích. Dùng các phép biến đổi, các công thức để đưa phương trình về dạng phương trình tích: A 0 A.B 0 B 0 VD 27. Giải các phương trình sau: (Dùng phép biến đổi tổng hiệu thành tích) a) 1 cos x cos 2x cos3x 0 ; b) cos x cos 2x cos3x cos 4x 0 ; c) 1 sin x cos3x cos x sin 2x cos 2x ; d) sin2 x sin3 x sin4 x cos2 x cos3 x cos4 x . VD 28. Giải các phương trình sau: (Dùng phép biến đổi tích thành tổng, công thức nhân đôi) a) 2cos x.cos 2x.cos3x 7 7cos 2x ; b) 2cos3 x cos 2x sin x 0 ; c) 2sin3 x cos 2x cos x 0 ; d) sin3 x cos3 x cos 2x ; e) 4sin 2x 3cos 2x 3(4sin x 1) ; f) sin4 x cos 2x 2cos6 x 0. VD 29. Giải các phương trình sau: (Luận hệ số, dùng phép nhân thêm hạng tử) a) cos x cos3x 2cos5x 0 ; b) 5sin 3x 3sin 5x ; c) 3(cot x cos x) 5(tan x sin x) 2 ; d) 2sin x cot x 2sin 2x 1. x x 5x x e) (sin x 3)sin4 (sin x 3)sin2 1 0 ; f) sin 5cos3 x.sin . 2 2 2 2 VD 30. Giải các phương trình sau: a) cos2 x sin3 x cos x 0 ; b) cos3 x sin3 x sin 2x sin x cos x ; c) cos10x 2cos2 4x 6cos3x.cos x cos x 8cos x.cos3 3x . 4. Phương pháp biến đổi về phương trình tổng các số hạng không âm. Các đại lượng không âm bao gồm: A2 , | B |, 1 sin x , 1 cos x . Dùng các phép biến đổi để đưa phương trình về dạng các đại lượng không âm: A1 A2 An 0 với Ai 0,i 1,n .
  22. A1 0 A2 0 AN 0 Giải hệ ta được nghiệm cần tìm. Lưu ý: Sử dụng vòng tròn lượng giác khi giao các nghiệm trên. VD 31. Giải các phương trình sau: a) cos2 4x cos2 8x sin2 12x sin2 16x 2 ; b) 4cos2 x 3tan2 x 4 3 cos x 2 3 tan x 4 0 . 5. Phương pháp đánh giá. Xét phương trình: f (x) g(x) có tập xác định D. Nếu với mọi x D mà f (x) k , g(x) k thì: f (x) k f (x) g(x) . g(x) k Ta có thể dùng bất đẳng thức. Với A k,B h thì: A k A B k h . B h VD 32. Giải các phương trình sau: (Sử dụng tính chất của các hàm số lượng giác và biểu thức lượng giác) a) (sin x 3 cos x)sin 3x 2 ; b) sin 4x cos 4x 1 4(sin x cos x) ; c) 4cos x 2cos 2x cos 4x 1; d) cos 2x cos 4x cos6x cos x.cos 2x.cos3x 2 ; e) 4(sin8 x cos8 x) 8(sin10 x cos10 x) 5cos 2x . VD 33. Giải các phương trình sau: (Phương trình lượng giác dạng pitago) 1 sin6 x cos6 x a) (sin10 x cos10 x) ; b) cos5 x sin5 x sin 2x cos 2x 1 2 . 4 sin2 2x 4cos2 2x VD 34. Giải các phương trình sau: (Sử dụng bất đẳng thức Cauchy) 1 1 a) sin8 2x cos8 2x ; b) (tan x cot x)n sinn x cosn x . 8 4 VD 35. Giải các phương trình sau: (Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacôpski) a) sin x 2 sin2 x sin x 2 sin2 x 3 ; b) 2cos x 2 sin10x 3 2 2cos 28x.sin x . 6. Phương pháp hàm số. (Yêu cầu học sinh đã học tính biến thiên của đồ thị hàm số – lớp 12) 7. Chứng minh phương trình vô nghiệm. VD 36. Giải các phương trình sau: a) cos 2x cos5x 3 0 ; b) cos3x.cos5x 10 . BÀI TẬP 1. Giải các phương trình sau: 3 2 1 a) sin x ; b) sin x ; c) cot x ; 2 3 4 3 d) sin 2x sin x ; e) 2cos x 2 0 ; f) cos(2x 1) cos(2x 1) ; 5 5
  23. g) tan x 1; h) tan 5x tan 25o ; i) tan 2x tan x ; 1 2x 1 1 j) cot 3x 1; k) cot ; l) cot tan ; 3 6 3 3 2 x m) sin(x 20o ) ; n) cos(3x 15o ) ; o) tan 3; 2 2 3 2. Giải các phương trình sau: 2 a) sin x cos 2x ; b) 2cos x 2 0; c) 2cos(x ) 1 0 ; 3 6 o x d) tan 2x 15 1; e) cos 2x sin x 0 ; f) tan 2x .tan 1; 3 6 4 2 2 2 g) sin 3x cos x 0 ; h) tan 3x .cot(5x ) 1; i) sin x cos 3x 4 3 2 4 2 j) sin 2x cos x ;k) sin 2x.sin 6x cos x.cos3x ; l) cos7x.cos6x cos5x.cos8x 3 3 3. Giải các phương trình sau: 2 x a) sin 3x ; b) tan 3 ; c) 2 2 2 cos 2x ; 2 3 d) cot 2x ; e) 2sin x 2 0 ; f) tan 2x 1; 3 4 4 5 g) cos 2x ; h) 3cot 2x 3 0 ; i) 6 2 2 sin 2x sin x ; 3 4 j) cos 5x cos x ; k) cot 2x cot x ; l) sin 3x cos 4x ; 3 6 3 3 2 1 m) sin2 x ; n) sin4 2x cos4 2x ; o) sin 5x sin x 2sin2 x 1; 4 2 p) sin2 x sin2 2x cos2 3x cos2 4x ; q) cos3 x sin3 x sin x cos x ; 1 tan x r) 1 sin 2x ; s) 1 tan x 5 2 x sin 2x 20cos 2 3 sin x cos x 2 2 2 12 t) cos10x 2cos2 4x 6cos3x cos x cos x 8cos x cos3 3x 4. Giải các phương trình sau: 2 5 7 a) 4sin x 2 1 2 sin x 2 0 ; b) sin 2x 3cos x 1 2sin x ; 2 2 2 1 c) cos 2x 3 sin 2x 5 cos 2x ; d) cot x tan x 2 2sin 2x ; 3 sin 2x
  24. 4 x 4 x 2 x 5sin x 4 sin cos 6 3 2 cos x 2sin 2 2 2 4 e) 0; f) 1; x 2cos x 3 4sin2 1 2 x x g) sin x 3 cos x 1; h) 3sin 3 cos x 1 4sin3 ; 3 3 4 x 4 x 2 1 1 i) 4 sin cos 3 sin 2x 2 ; j) 4 cos x 2 4 cos x 7 0 . 2 2 cos x cos x 5. Giải các phương trình sau: a) 4sin2 x 3 3 sin 2x 2cos2 x 4 ; b) cos3 x 2sin x 5sin3 x 0 ; 3 3 3 c) cos x 8sin x ; d) sin x cos x 2 2 cos x 1 0 ; 6 4 e) sin x cos x sin 2x 1 0 ; f) 6 2 sin x sin x cos x 6 0 ; 4 1 1 10 g) sin x cos x ; h) 2 tan2 x cot2 x 5 tan x cot x 6 0 . sin x cos x 3 6. Giải các phương trình sau: a) sin x sin 2x sin 3x 0 ; b) cos 2x cos8x cos10x 1; c) 4sin 3x cos 2x 1 sin 3x ; d) sin x cos x 2 sin 2x 4 sin5 x cos5 x ; 2 3x 2 5x 2 11x 2 13x e) cos cos cos cos . 2 4 2 2 4 2 7. Giải các phương trình sau: 3 a) 4sin2 x 4sin 3cot2 x 2 3 cot x 2 0; b) sin2 x sin 2x 2 sin x 0 ; 2 1 c) 2sin 5x cos 4x 2 ; d) cos2015 x sin2010 x 1; sin2 x x2 e) cos2010 x sin2010 x 1; f) 1 cos x 0 . 2 IV – Luyện Tập Bài tập rèn luyện 1. Tìm tập xác định của các hàm số sau: 1 cos x a) y 3 sin x ; b) y ; c) y tan 2x ; sin x 3 1 sin x 1 cos x sin(x 2) d) ; e) y ; f) y ; 1 cos x 2sin x 2 cos 2x cos x tan x 1 g) y ; h) y . 1 tan x 3 cot 2x 1 2. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau: 2 a) y 1 sin x ; b) y 2cos x 3 ; c) y 1 sin(x ) 1 3 d) y 4sin x . 3. Xét tính chẵn lẻ của các hàm số sau:
  25. a) y 2sin x ; b) y 3sin x 2 ; c) y sin x cos x ; 2 d) y sin x.cos x tan x ; e) y cos x ; f) y tan x sin 2x . 4 4. Giải các phương trình sau: x 1 x a) sin 4x sin ; b) sin ; c) cos cos 2 ; 5 5 2 2 2 3 1 d) cos x ; e) tan 3x tan ; f) cot 2x cot 18 5 5 3 o x o g) tan(x 15 ) 5; h) tan(2x 1) 3 ; i) cot 20 3 ; 4 2 j) cot 3x tan . 5 5. Tìm nghiệm của các phương trình sau trên khoảng đã cho 1 3 a) sin 2x với 0 x ; b) cos(x 5) với x ; 2 2 1 c) tan(2x 15o ) 1 với 180o x 90o ; d) cot 3x với x 0 . 3 2 6. Giải các phương trình sau: a) sin 2x sin 3x 0; b) cos 2x sin x 0 ; 4 3 4 4 c) sin( sin 2x) 1; d) sin 3x cos 2x ; 2 e) cos cos x ; f) tan (sin x cos x) 1; 2 4 2 4 6. sin 2x.cos3x sin 3x.cos 4x 7. 3 cot2 x 4cot x 3 0 3 4 tan x 0 cos2 x sin2 3x 2sin 3x 3 0 4sin2 2x 8cos2 x 9 0 3. 4cos2 x cos3x 6cos x 2(1 cos 2x) cos3x cos 2x cos x 1 0 (cos x 1)(cos 2x 2cos x) 2sin2 x 4. sin 2x 3cos 2x 3 3sin x 3cos x 2 2 2(sin x cos x)cos x 3 cos 2x
  26. (1 3)sin x (1 3)cos x 2 2( 3 sin x cos x) 3sin 2x 7 cos 2x 2sin x(cos x 1) 3 cos 2x 2(sin x 3 cos x) 3 cos 2x sin 2x 5. sin x cos x 2sin x.cos x 1 0 1 tan x 2 2 sin x 6(sin x cos x) sin x.cos x 6 0 4(sin x cos x) sin 2x 1 6. sin2 x 3sin x.cos x 2 2sin2 x sin x.cos x cos2 x 1 0 1 3 sin x cos x cos x 7. cos3 x sin3 x cos x sin x 4sin3 x 10sin2 x.cos x 6sin x.cos2 x cos3 x 0 4sin3 x sin2 x.cos x 3sin x 3cos3 x 0 2sin3 x 3sin x 4cos3 x 0 sin3 x 5sin2 x.cos x 7sin x.cos2 x 2cos3 x 0 sin 2x.sin x sin 3x 6cos3 x Bài toán chọn lọc 1. Giải các phương trình sau: a) cos 3x 9x2 160x 800 1 8 x8 3x4 2.sin[ (16x2 2x)] 0 (ĐH tổng hợp Lômônốp 1982) 1 5sin x 2cos2 x 0 , với điều kiện cos x 0 (ĐH CSND 1999) 3cot2 x 2 2 sin2 x (2 3 2)cos x 3sin 3x 3 cos9x 1 4sin3 3x cos7x.cos5x 3 sin 2x 1 sin 7x.sin 5x 2 6 3 sin 7x cos7x 2 , x ; (ĐH KTQD 1997) 5 7
  27. (sin x 2cos x)4 (sin x 2cos x)(5 7sin 2x 7cos2 x)cos x cos4 x 0 sin 3x 2cos3 x 1 3sin 2x 2 tan x 3 8cos x cos3x 3 1 1 10 cos x sin x cos x sin x 3 sin x sin2 x sin3 x sin4 x cos x cos2x cos3 x cos4 x (ĐH Nha Trang 1998) sin 4x tan x (ĐH Y Hà nội 2000) tan x.sin2 x 2sin2 x 3(cos 2x sin x.cos x) cos 2x 5 2(2 cos x)(sin x cos x) sin 3x sin 2x.sin x 4 4 3 x 1 3x sin sin 10 2 2 10 2