Chuyên đề Hình cầu

Nội dung text: Chuyên đề Hình cầu

1. CHUYÊN ĐỀ 10: HÌNH CẦU TÓM TẮT CÔNG THỨC (1) Phương trình mặt cầu 1) Phương trình mặt cầu (S) có tâm I(a, b, c) bán kính R là (x – a)2 + (y – b)2 + (z – c)2 = R2 2) Dạng tổng quát của phương trình mặt cầu là x2 + y2 + z2 – 2ax – 2by – 2cz + d = 0 sẽ có tâm I(a, b, c) bán kính R = abcd222+ +− nếu ta có điều kiện a2 + b2 + c2 – d > 0 3) Điều kiện tiếp xúc giữa mặt phẳng (P) và mặt cầu (S) có tâm I bán kính R là khoảng cách từ I đến (P) bằng bán kính R. Ví dụ 1: Lập phương trình mặt cầu có tâm I(2, 3, –1) cắt đường thẳng (d) ⎧54320xyz−++=0 ⎨ ⎩34xyz−+−= 80 tại hai điểm A và B sao cho AB = 16 Giải Gọi (P) là mặt phẳng qua I và vuông góc đường thẳng (d). Ta có phương trình tham số đường (d) là ⎧xt=−14 ⎪ ⎪ 125 ⎨yt=− ⎪ 22 ⎩⎪zt=− G Gọi (P) là mặt phẳng qua I(2, 3, –1) và vuông góc đường thẳng (d) nên có pháp vectơ là a = ⎛1 ⎞ ⎜1, ,− 1⎟. Vậy phương trình (P) viết ⎝⎠2 1 (x – 2) + (y – 3) - (z + 1) = 0 ⇔ 2x + y – 2z – 9 = 0 2 1 25 Giao điểm K giữa (d) và (P) có tọa độ ( t – 14, t – , –t ) 2 2 thỏa phương trình (P). Vậy ta có 1
2. 1 25 2(t – 14) + ( t – ) +2t – 9 = 0 2 2 Suy ra t = 11. Vậy ta có K (–3, –7, –11). Khoảng cách từ I đến (d) là IK = 25++ 100 100 = 15 AB2 Do đó bán kính mặt cầu là R = IK 2 + = 225+ 64 4 Nên phương trình mặt cầu viết là : (x – 2)2 + (y – 3)2 + (z + 1)2 = 289 Ví dụ 2: Lập phương trình mặt cầu có tâm thuộc đường thẳng (d) ⎧24xyz+−−= 70 ⎨ ⎩4xyz++−= 5 14 0 và tiếp xúc với hai mặt phẳng có phương trình (P) : x + 2y – 2z – 2 = 0 ; (Q) : x + 2y – 2z + 4 = 0 Giải Ta có (P) // (Q) nên khi gọi A, B là giao điểm của (d) với (P) và (Q) thì tâm I mặt cầu tiếp xúc với (P) và (Q) phải là trung điểm đoạn AB và bán kính mặt cầu bằng khoảng cách từ I đến (P). Ta có tọa độ A là nghiệm của hệ ⎧24xyz+−−= 70 ⎪ ⎨45xyz++−= 140 ⇒ A(2, 1, 1) ⎪ ⎩xyz+−−=2220 Ta có tọa độ B là nghiệm của hệ ⎧24xyz+−−= 70 ⎪ ⎨45xyz++−= 140 ⇒ B(–4, 5, 5) ⎪ ⎩xyz+−+=2240 Vậy tâm mặt cầu là I(–1, 3, 3) và bán kính R = 1 Nên phương trình mặt cầu viết thành (x + 1)2 + (y – 3)2 + (z – 3)2 = 1. Ví dụ 3 ( ĐH KHỐI D –2004) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho 3 điểm A (2; 0; 1); B(1;0;0); C (1; 1; 1) và mặt phẳng (P): x + y + z – 2 = 0. Viết phương trình mặt cầu đi qua 3 điểm A, B, C và có tâm thuộc mặt phẳng (P). Giải 2
3. Cách 1: x2 + y2 + z2 + 2ax + 2by + 2cz + d = 0. Mặt cầu qua A, B, C và có tâm thuộc mặt phẳng (P) nên ta có: ⎧4a++=− 2c d 5 ⎧a1=− ⎪ ⎪ ⎪2a+=− d 1 ⎪b0= ⎨ ⇔ ⎨ ⎪2a+++=− 2b 2c d 3 ⎪c1=− ⎩⎪abc++=− 2 ⎩⎪d1= ⇔ x2 + y2 + z2 – 2x – 2z + 1 = 0 Cách 2: Gọi I(x; y; z) là tâm mặt cầu ⎪⎧IA22== IB IC2 Giả thiết cho: ⎨ ⎩⎪I(P)∈ ⎧(x−++−=−++ 2)22 y (z 1) 2 (x 1) 222 y z ⎪ ⎪ 222 2 2 2 ⇔ ⎨(x−++=−+−+− 1) y z(x1)(y 1) (z 1) ⎪xyz20++−= ⎩⎪ ⎧2x+−= 2z 4 0 ⎧x1= ⎪ ⎪ ⇔ ⎨yz1+= ⇔ ⎨y0= ⇒ I (1; 0; 1) ⎪ ⎪ ⎩xyz20++−= ⎩z1= Bán kính R = IB = 1 Suy ra phương trình mặt cầu: (x – 1)2 + y2+ (z –1)2=1 Ví dụ4 ( Đề Dự Trữ KHỐI D -2002) Trong không gian với hệ tọa độ Đềcac vuông góc Oxyz cho đường ⎧2x− 2y − z + 1 = 0 thẳng d : ⎨ và mặt cầu ⎩x+ 2y − 2z − 4 = 0 (S) : x2 + y2 + z2 + 4x – 6y + m = 0. Tìm m để đường thẳng d cắt mặt cầu (S) tại hai điểm M, N sao cho khoảng cách giữa hai điểm đó bằng 9. Giải Phương trình mặt cầu (S) : (x + 2)2 + (y – 3)2 + z2 = 13 – m ĐK : m < 13 (S) có tâm I(−2; 3; 0), R = 13− m . 9 Vì MN = 9 ⇒ HM = HN = (IH ⊥ MN) 2 ⎧−−+=2y z 1 0 ⎧y1= (d) cho x = 0 ⇒ ⎨ ⇒ ⎨ ⇒ A(0; 1; −1) ⎩2y−−= 2z 4 0 ⎩z1= − ⎡→ n1 =−− (2, 2, 1) → (d) có ⎢ ⇒ a = 3(2; 1; 2) ⎢→ ⎣⎢n(1,2,2)2 =− ⎯→ ⎯→ → AI = (−2; 2; 1), [ AI , a ] = (9; 18; − 18) = 9(1; 2; − 2) ⎯→ → ⏐[AI,a]⏐++ 9 1 4 4 IH = d(I, d) = → ==3 . ⏐⏐a 34++ 1 4 Δ vuông IHN ta có : 81 117 IM2 = IH2 + HN2 ⇔13 – m = 9 + = 44 3
4. 65 ⇔ m = − . 4 Ví dụ 5 ( ĐỀ DỰ TRỮ KHỐI D -2003) Trong không gian với hệ tọa độ Đềcac vuông góc Oxyz cho mặt phẳng (P) : 2x + 2y + z – m2 – 3m = 0 (m là tham số) và mặt cầu (S) : (x – 1)2 + (y + 1)2 + (z – 1)2 = 9 Tìm m để mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S). Với m tìm được hãy xác định tọa độ tiếp điểm của mặt phẳng (P) và mặt cầu (S). Giải Mặt cầu (S) có tâm I(1; −1; 1), bán kính R = 3. Mặt phẳng P tiếp xúc với (S) ⇔ d(I: P) = R ⇔ 2− 2 + 1 − m2 − 3m = 3 4 + 4 + 1 ⇔ m2 + 3m – 1 = 9 hay m2 + 3m – 1 = −9 ⇔ m2 + 3m – 10 = 0 hay m2 + 3m + 8 = 0 (VN) ⇔ m = −5 hay m = 2 ⇒ (P) : 2x + 2y + z – 10 = 0 ⎧x12t=+ ⎪ Phương trình đường thẳng Δ qua I và ⊥ (P) : Δ=−+⎨y12t ⎪ ⎩z1t=+ Thế vào phương trình mp (P) ⇒ 2(1 + 2t) + 2(−1 + 2t) + 1 + t – 10 = 0 ⇒ t = 1 ⇒ Tiếp điểm M của P và (S) là M(3; 1; 2). Cách khác IM2 = 9 ⇔ 4t2 + 4t2 + t2 = 9 ⇒ t = ± 1 ⇒ M(3; 1; 2) hay M(-1; -3; 0).Vì M∈ P ⇒ M(3; 1; 2) PHẠM HỒNG DANH-TRẦN MINH QUANG –TRẦN VĂN TOÀN ( TRUNG TÂM LUYỆN THI CLC VĨNH VIỄN ) 4