›
›
›

Chuyên đề bồi dưỡng Toán Lớp 7 - Bùi Nhật Minh

doc 28 trang dichphong 4020
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Chuyên đề bồi dưỡng Toán Lớp 7 - Bùi Nhật Minh", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • docchuyen_de_boi_duong_toan_lop_7_bui_nhat_minh.doc

Nội dung text: Chuyên đề bồi dưỡng Toán Lớp 7 - Bùi Nhật Minh

  1. CHUYấN ĐỀ BỒI DƯỠNG TOÁN 7 DÃY CÁC SỐ VIẾT THEO QUY LUẬT Bài 1: Tỡm số hạng thứ n của cỏc dóy số sau: a) 3, 8, 15, 24, 35, b) 3, 24, 63, 120, 195, c) 1, 3, 6, 10, 15, d) 2, 5, 10, 17, 26, e) 6, 14, 24, 36, 50, f) 4, 28, 70, 130, 208, g) 2, 5, 9, 14, 20, h) 3, 6, 10, 15, 21, i) 2, 8, 20, 40, 70, Hướng dẫn: a) 3, 8, 15, 24, 35, 1.(1+2) ; 2.(2+2); 3.(3+2); 4.(4+2); ; n(n+2) b) 3, 24, 63, 120, 195, ( 3.1-2).3.1; (3.2-2).3.2; (3.3-2).3.3 ; (3.4-2).3.4 ; ; (3n-2)3n c) 1, 3, 6, 10, 15, 1.(1+1)/2 ; 2.(2+1)/2 ; 3.(3+1)/2 ; 4.(4+1)/2 ; ; n( n + 1)/2 d) 2, 5, 10, 17, 26, 1 12 ; 1 22 ; 1 32 ; 1 42 ; 1 52 ; 1 62 ; ;1 n2 e) 6, 14, 24, 36, 50, 1.(1+5) ; 2.(2+5) ; 3.(3+5) ; 4.(4+5) ; 5.(5+5) ; ; n(n+5) f) 4, 28, 70, 130, 208, ( 3.1-2).(3.1+1) ; ( 3.2-2).(3.2+1) ; ( 3.3-2).(3.3+1) ; ; (3n-2)(3n+1) g) 2, 5, 9, 14, 20, 1.( 1 + 3)/2 ; 2( 2 + 3)/2 ; 3( 3 + 3)/2 ; 4( 4 + 3)/2 ; ;n( n + 3)/2 ; h) 3, 6, 10, 15, 21, (1 + 1)(1 + 2)/2 ; (2 + 1)(2 + 2)/2 ; (3 + 1)(3 + 2)/2 ; ;(n+ 1)(n + 2)/2 ; i) 2, 8, 20, 40, 70, 1( 1 +1)(1 + 2)/ 3 ; 2( 2 +1)(2 + 2)/ 3 ; .; n( n +1)(n + 2)/ 3 ; Bựi Nhật Minh-Trung học cơ sở Bồng Lĩnh 1
  2. CHUYấN ĐỀ BỒI DƯỠNG TOÁN 7 CÁC BÀI TOÁN TÍNH TỔNG CỦA DÃY SỐ Bài 2: Tớnh: a, A = 1+2+3+ +(n-1)+n Hướng dẫn: a, A = 1+2+3+ +(n-1)+n A = n (n+1):2 b, A = 1.2+2.3+3.4+ +99.100 3A = 1.2.3+2.3(4-1)+3.4.(5-2)+ +99.100.(101-98) 3A = 1.2.3+2.3.4-1.2.3+3.4.5-2.3.4+ +99.100.101-98.99.100 3A = 99.100.101 A = 333300 Tổng quỏt: A = 1.2+2.3+3.4+. + (n - 1) n A = (n-1)n(n+1): 3 Bài 3: Tớnh: A = 1.3+2.4+3.5+ +99.101 Hướng dẫn: A = 1(2+1)+2(3+1)+3(4+1)+ +99(100+1) A = 1.2+1+2.3+2+3.4+3+ +99.100+99 A = (1.2+2.3+3.4+ +99.100)+(1+2+3+ +99) A = 333300 + 4950 = 338250 Tổng quỏt: A = 1.3+2.4+3.5+ +(n-1)(n+1) A= (n-1)n(n+1):3 + n(n-1):2 = (n-1)n(2n+1):6 Bài 4: Tớnh: A = 1.4+2.5+3.6+ +99.102 Hướng dẫn: A = 1(2+2)+2(3+2)+3(4+2)+ +99(100+2) A = 1.2+1.2+2.3+2.2+3.4+3.2+ +99.100+99.2 A = (1.2+2.3+3.4+ +99.100)+2(1+2+3+ +99) A = 333300 + 9900= 343200 Bài 5: Tớnh: A = 4+12+24+40+ +19404+19800 A/2 = 1.2+2.3+3.4+4.5+ +98.99+99.100 A= 666600 Bài 6: Tớnh: A = 1+3+6+10+ +4851+4950 Bựi Nhật Minh-Trung học cơ sở Bồng Lĩnh 2
  3. CHUYấN ĐỀ BỒI DƯỠNG TOÁN 7 2A = 1.2+2.3+3.4+ +99.100 Bài 7: Tớnh: A = 6+16+30+48+ +19600+19998 2A = 1.3+2.4+3.5+ +99.101 A = 338250:2 = 169125 Bài 8: Tớnh: A = 2+5+9+14+ +4949+5049 2A = 1.4+2.5+3.6+ +99.102 A = 343200:2 = 171600 Bài 9: Tớnh: A = 1.2.3+2.3.4+3.4.5+ +98.99.100 4A = 1.2.3.4+2.3.4(5-1)+3.4.5.(6-2)+ +98.99.100.(101-97) 4A = 1.2.3.4+2.3.4.5-1.2.3.4+3.4.5.6-2.3.4.5+ +98.99.100.101- 97.98.99.100 = 98.99.100.101 A = 2449755 Tổng quỏt: A = 1.2.3+2.3.4+3.4.5+ +(n-2)(n-1)n A = (n-2)(n-1)n(n+1):4 Bài 10: Tớnh: A = 12+22+32+ +992+1002 A = 1+2(1+1)+3(2+1)+ +99(98+1)+100(99+1) A = 1+1.2+2+2.3+3+ +98.99+99+99.100+100 A = (1.2+2.3+3.4+ +99.100)+(1+2+3+ +99+100) A = 333300 + 5050= 338050 Tổng quỏt: A = 12+22+32+ +(n-1)2+n2 A = (n-1) n (n+1):3 + n(n +1):2 = n(n+1)(2n+1):6 Bài 11: Tớnh: A = 22+42+62+ +982+1002 Hướng dẫn: A = 22(12+22+32+ +492+502) Bài 12: Tớnh: A = 12+32+52+ +972+992 A = (12+22+32+ +992+1002)-(22+42+62+ +982+1002) A = (12+22+32+ +992+1002)-22(12+22+32+ +492+502) Bài 13: Tớnh: A = 12-22+32-42+ +992-1002 A = (12+22+32+ +992+1002)-2(22+42+62+ +982+1002) Bài 14: Tớnh: A = 1.22+2.32+3.42+ +98.992 Bựi Nhật Minh-Trung học cơ sở Bồng Lĩnh 3
  4. CHUYấN ĐỀ BỒI DƯỠNG TOÁN 7 A = 1.2(3-1)+2.3(4-1)+3.4(5-1)+ +98.99(100-1) A = 1.2.3-1.2+2.3.4-2.3+3.4.5-3.4+ +98.99.100-98.99 A = (1.2.3+2.3.4+3.4.5+ +98.99.100)-(1.2+2.3+3.4+ +98.99) Bài 15: Tớnh: A = 1.3+3.5+5.7+ +97.99+99.101 Hướng dẫn: A = 1(1+2)+3(3+2)+5(5+2)+ +97(97+2)+99(99+2) A = (12+32+52+ +972+992)+2(1+3+5+ +97+99) Bài 16: Tớnh: A = 2.4+4.6+6.8+ +98.100+100.102 A = 2(2+2)+4(4+2)+6(6+2)+ +98(98+2)+100(100+2) A = (2 +4 +6 + +98 +100 )+4(1+2+3+ +49+50) Bài17: Tớnh: A = 13+23+33+ +993+1003 A = 12(1+0)+22(1+1)+32(2+1)+ +992(98+1)+1002(99+1) = (1.22+2.32+3.42+ +98.992+99.1002)+(12+22+32+ +992+1002) Bài 20: Tớnh: A = 13-23+33-43+ +993-1003 A = (13+33+53+ +973+993) -(23+43+63+ +983+1003) Bài 21: Tính A = 1.2.3 + 2.3.4 + + 98.99.100 4A = 1.2.3.4 + 2.3.4.4 + 3.4.5.4 + + 98.99.100.4 = 1.2.3.4 + 2.3.4(5 - 1) + 3.4.5(6 - 2)+ + 98.99.100(101 - 97) = 1.2.3.4 + 2.3.4.5 - 1.2.3.4 + 3.4.5.6 - 2.3.4.5 + + 98.99.100.101 - 97.98.99.100 = 98.99.100.101 = 24 497 550 Bài 22: Tính A = 1.3.5 + 3.5.7 + + 5.7.9 + + 95.97.99 8A = 1.3.5.8 + 3.5.7.8 + 5.7.9.8 + + 95.97.99.8 = 1.3.5(7 + 1) + 3.5.7(9 - 1) + 5.7.9(11 - 3) + + 95.97.99(101 - 93) = 1.3.5.7 + 15 + 3.5.7.9 - 1.3.5.7 + 5.7.9.11 - 3.5.7.9 + + 95.97.99.101 - 93.95.97.99 = 15 + 95.97.99.101 A = 11 517 600 Tổng quát 4kn(n+ k)(n +2k) =n(n +k)(n + 2k)(n + 3k)-(n -k)(n + k)n(n + 2k) Bựi Nhật Minh-Trung học cơ sở Bồng Lĩnh 4
  5. CHUYấN ĐỀ BỒI DƯỠNG TOÁN 7 Bài 23: Tính A = 12 + 22 + 32 + 42 + + 1002 A = 1 + 2(1 + 1) + 3(2 + 1) + 4(3 + 1) + + 100(99 + 1) = 1 + 1.2 + 2 + 2.3 + 3 + 3.4 + 4 + + 99.100 + 100 = (1.2 + 2.3 + 3.4 + + 99.100) + ( 1 + 2 + 3 + + 100) Thay đổi khoảng cách giữa các cơ số trong bài 6 ta có bài toán: Bài 24: Tính A = 12 + 32 + 52 + + 992 A= 1 + 3(2 + 1) + 5(2 + 3) + 7(2 + 5) + + 99(2 + 97) = 1 + 2.3 + 1.3 + 2.5 + 3.5 + 2.7 + 5.7 + + 2.99 + 97.99 = 1 + 2(3 + 5 + 7 + + 99) + (1.3 + 3.5 + 5.7 + + 97.99) = 1 + 4998 + 161651 = 166650 Tổng quát : (n - a) ((n + a) = n2 - a2 n2 = (n - a)(n + a) + a2 (a là khoảng cách giữa các cơ số) Bài 25: Tính A = 1.2.3 + 3.4.5 + 5.6.7 + + 99.99.100: A = 1.3.( 5 – 3) + 3.5.( 7 – 3) + 5.7.( 9 -3) + + 99.101.( 103 – 3) = ( 1.3.5 + 3.5.7 + + 5.7.9 + + 99.101.103 ) – ( 1.3.3 + 3.5.3 + + 99.101.3 ) = ( 15 + 99.101.103.105): 8 – 3( 1.3 + 3.5 + 5.7 + + 99.101) = 13517400 – 3.171650 = 13002450 Thay đổi số mũ của bài toán 25 ta có bài toán: Bài 26: Tính A = 13 + 23 + 33 + + 1003 Sử dụng : (n - 1)n(n + 1) = n3 - n n3 = n + (n - 1)n(n + 1) A = 1 + 2 + 1.2.3 + 3 + 2.3.4 + + 100 + 99.100.101 = (1 + 2 + 3 + + 100) + (1.2.3 + 2.3.4 + + 99.100.101) = 5050 + 101989800 = 101994850 Thay đổi khoảng cách giữa các cơ số ở bài toán 26 ta có bài toán Bựi Nhật Minh-Trung học cơ sở Bồng Lĩnh 5
  6. CHUYấN ĐỀ BỒI DƯỠNG TOÁN 7 Bài 27: Tính A = 13 + 33 + 53 + + 993 Sử dụng (n - 2)n(n + 2) = n3 - 4n n3 = (n - 2)n(n + 2) + 4n A = 1 + 1.3.5 + 4.3 + 3.5.7 + 4.5 + + 97.99.101 + 4.99 = 1 + (1.3.5 + 3.5.7 + + 97.99.101) + 4(3 + 5 + 7 + + 99) = 1 + 12487503 + 9996 = 12497500 Với khoảng cách là a ta tách : (n - a)n(n + a) = n3 - a2n. ở bài toán 26, 27 ta có thể làm như bài toán 24, 25. Thay đổi số mũ của một thừa số trong bài toán 28 ta có: Bài 28: Tính A = 1.22 + 2.32 + 3.42 + + 99.1002 A = 1.2.(3 - 1) + 2.3(4 - 1) + 3.4(5 - 1) + + 99.100.(101 - 1) = 1.2.3 - 1.2 + 2.3.4 - 2.3 + 3.4.5 - 3.4 + + 99.100.101 - 99.100 = (1.2.3 + 2.3.4 + + 99.100.101)-(1.2 + 2.3 + 3.4 + + 99.100) = 25497450 – 333300 = 25164150 Với cách khai thác như trên ta có thể khai thác, phát triển các bài toán trên thành rất nhiều bài toán hay mà trong quá trình giải đòi hỏi học sinh phải có sự linh hoạt, sáng tạo. Trong các bài toán trên ta có thể thay đổi số hạng cuối cùng của dãy bằng số hạng tổng quát theo quy luật của dãy. *Vận dụng cách giải trên hãy giải các bài toán sau: 1. Tính A = 1.99 + 2.98 + 3.97 + + 49.51+ 50.50 2. Tính B = 1.3 +5.7+9.11+ + 97.101 3 Tính C = 1.3.5 – 3.5.7 + 5.7.9 – 7.9.11 + - 97.99.101 4. Tính D = 1.99 + 3.97 + 5.95 + + 49.51 5. Tính E = 1.33 + 3.53 + 5.73 + + 49.513 6. Tính F = 1.992 + 2.982 + 3.972 + + 49.512 Bựi Nhật Minh-Trung học cơ sở Bồng Lĩnh 6
  7. CHUYấN ĐỀ BỒI DƯỠNG TOÁN 7 CHUYấN ĐỀ PHÂN SỐ Bài 1: a. Cho a, b, n N* Hóy so sỏnh a n và a b n b 11 10 b. Cho A = 10 1 ; B = 10 1 . So sỏnh A và B 1012 1 1011 1 Ta xột 3 trường hợp a 1 a n a n a +TH1: b a=b thỡ b n thỡ b n = b =1. a +TH2: b 1 a>b a n a ab bn a(b n) n(b a) a n a Ta cú: 0 b n b b(b n) b(b n) b n b a +TH3: b 11.17 (4n + 3) => + 4n + 3 = 11 -> n = 2 + 4n + 3 = -11 -> n = + 4n +3 = 187 -> n = 46 + 4n + 3 = 17 -> 4n = 14 -> khụng cú n N + 4n + 3 = -17 Bựi Nhật Minh-Trung học cơ sở Bồng Lĩnh 7
  8. CHUYấN ĐỀ BỒI DƯỠNG TOÁN 7 Vậy n = 8n 193 2(4n 3) 187 187 187 b.A 2 N > -2 và 11.17 (4n + 3) 4n 3 4n 3 4n 3 4n 3 c. A là tối giản khi 187 và 4n + 3 cú UCLN bằng 1. Mà 187=11.17 ->4n+3 khụng chia hết cho 11 và 17. -> n 11k + 2 (k N) -> n 17m + 12 ( m N) d) Để A rỳt gọn được thỡ 4n + 3 = 11k hoặc 4n + 3 = 17k ; 11k 3 17k 3 n hoặc n 4 4 11k 3 Mặt khỏc: 150 n = 156 -> A ; n = 165 -> A ; n = 167 -> A 19 39 61 Chuyờn đề: TỈ LỆ THỨC-TÍNH CHẤT CỦA DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU DÃY CÁC SỐ VIẾT THEO QUY LUẬT Bài 1: Tỡm số hạng thứ n của cỏc dóy số sau: a) 3, 8, 15, 24, 35, b) 3, 24, 63, 120, 195, c) 1, 3, 6, 10, 15, Bựi Nhật Minh-Trung học cơ sở Bồng Lĩnh 8
  9. CHUYấN ĐỀ BỒI DƯỠNG TOÁN 7 d) 2, 5, 10, 17, 26, e) 6, 14, 24, 36, 50, f) 4, 28, 70, 130, 208, g) 2, 5, 9, 14, 20, h) 3, 6, 10, 15, 21, i) 2, 8, 20, 40, 70, Hướng dẫn: a) n(n+2) b) (3n-2)3n n( n + 1) c) 2 d) 1+n2 e) n(n+5) f) (3n-2)(3n+1) n( n + 3) g) 2 (n + 1)(n + 2) h) 2 n( n +1)(n + 2) i) 3 Bài 2: Tớnh: a,A = 1+2+3+ +(n-1)+n b,A = 1.2+2.3+3.4+ +99.100 Bựi Nhật Minh-Trung học cơ sở Bồng Lĩnh 9
  10. CHUYấN ĐỀ BỒI DƯỠNG TOÁN 7 Hướng dẫn: a,A = 1+2+3+ +(n-1)+n A = n (n+1):2 b,3A = 1.2.3+2.3(4-1)+3.4.(5-2)+ +99.100.(101-98) 3A = 1.2.3+2.3.4-1.2.3+3.4.5-2.3.4+ +99.100.101- 98.99.100 3A = 99.100.101 A = 333300 Tổng quỏt: A = 1.2+2.3+3.4+. + (n - 1) n A = (n-1)n(n+1): 3 Bài 3: Tớnh: A = 1.3+2.4+3.5+ +99.101 Hướng dẫn: A = 1(2+1)+2(3+1)+3(4+1)+ +99(100+1) A = 1.2+1+2.3+2+3.4+3+ +99.100+99 1 Cỏc chuyờn đề Bồi dưỡng HSG Toỏn lớp 7 A = (1.2+2.3+3.4+ +99.100)+(1+2+3+ +99) A = 333300 + 4950 = 338250 Tổng quỏt: A = 1.3+2.4+3.5+ +(n-1)(n+1) A= (n-1)n(n+1):3 + n(n-1):2 A= (n-1)n(2n+1):6 Bựi Nhật Minh-Trung học cơ sở Bồng Lĩnh 10
  11. CHUYấN ĐỀ BỒI DƯỠNG TOÁN 7 Bài 4: Tớnh: A = 1.4+2.5+3.6+ +99.102 Hướng dẫn: A = 1(2+2)+2(3+2)+3(4+2)+ +99(100+2) A = 1.2+1.2+2.3+2.2+3.4+3.2+ +99.100+99.2 A = (1.2+2.3+3.4+ +99.100)+2(1+2+3+ +99) A = 333300 + 9900 A = 343200 Bài 5: Tớnh: A = 4+12+24+40+ +19404+19800 Hướng dẫn: 1 A = 1.2+2.3+3.4+4.5+ +98.99+99.100 2 A= 666600 Bài 6: Tớnh: A = 1+3+6+10+ +4851+4950 Hướng dẫn: 2A = 1.2+2.3+3.4+ +99.100 A= 333300:2 A= 166650 Bài 7: Tớnh: A = 6+16+30+48+ +19600+19998 Hướng dẫn: 2A = 1.3+2.4+3.5+ +99.101 A = 338250:2 Bựi Nhật Minh-Trung học cơ sở Bồng Lĩnh 11
  12. CHUYấN ĐỀ BỒI DƯỠNG TOÁN 7 A = 169125 Bài 8: Tớnh: A = 2+5+9+14+ +4949+5049 Hướng dẫn: 2A = 1.4+2.5+3.6+ +99.102 A = 343200:2 A = 171600 Bài 9: Tớnh: A = 1.2.3+2.3.4+3.4.5+ +98.99.100 Hướng dẫn: 4A = 1.2.3.4+2.3.4(5-1)+3.4.5.(6-2)+ +98.99.100.(101-97) 4A = 1.2.3.4+2.3.4.5-1.2.3.4+3.4.5.6- 2.3.4.5+ +98.99.100.101-97.98.99.100 4A = 98.99.100.101 2 Cỏc chuyờn đề Bồi dưỡng HSG Toỏn lớp 7 A = 2449755 Tổng quỏt: A = 1.2.3+2.3.4+3.4.5+ +(n-2)(n-1)n A = (n-2)(n-1)n(n+1):4 Bài 10: Tớnh: A = 12+22+32+ +992+1002 Hướng dẫn: Bựi Nhật Minh-Trung học cơ sở Bồng Lĩnh 12
  13. CHUYấN ĐỀ BỒI DƯỠNG TOÁN 7 A = 1+2(1+1)+3(2+1)+ +99(98+1)+100(99+1) A = 1+1.2+2+2.3+3+ +98.99+99+99.100+100 A = (1.2+2.3+3.4+ +99.100)+(1+2+3+ +99+100) A = 333300 + 5050 A = 338050 Tổng quỏt: A = 12+22+32+ +(n-1)2+n2 A = (n-1) n (n+1):3 + n(n +1):2 A = n(n+1)(2n+1):6 Bài 11: Tớnh: A = 22+42+62+ +982+1002 Hướng dẫn: A = 22(12+22+32+ +492+502) Bài 12: Tớnh: A = 12+32+52+ +972+992 Hướng dẫn: A = (12+22+32+ +992+1002)-(22+42+62+ +982+1002) A = (12+22+32+ +992+1002)-22(12+22+32+ +492+502) Bài 13: Tớnh: A = 12-22+32-42+ +992-1002 Hướng dẫn: A = (12+22+32+ +992+1002)-2(22+42+62+ +982+1002) Bài 14: Tớnh: A = 1.22+2.32+3.42+ +98.992 Hướng dẫn: A = 1.2(3-1)+2.3(4-1)+3.4(5-1)+ +98.99(100-1) Bựi Nhật Minh-Trung học cơ sở Bồng Lĩnh 13
  14. CHUYấN ĐỀ BỒI DƯỠNG TOÁN 7 A = 1.2.3-1.2+2.3.4-2.3+3.4.5-3.4+ +98.99.100-98.99 A = (1.2.3+2.3.4+3.4.5+ +98.99.100)- (1.2+2.3+3.4+ +98.99) Bài 15: Tớnh: A = 1.3+3.5+5.7+ +97.99+99.101 Hướng dẫn: A = 1(1+2)+3(3+2)+5(5+2)+ +97(97+2)+99(99+2) A = (12+32+52+ +972+992)+2(1+3+5+ +97+99) Bài 16: Tớnh: A = 2.4+4.6+6.8+ +98.100+100.102 Hướng dẫn: A = 2(2+2)+4(4+2)+6(6+2)+ +98(98+2)+100(100+2) 3 Cỏc chuyờn đề Bồi dưỡng HSG Toỏn lớp 7 2 2 2 2 2 A = (2 +4 +6 + +98 +100 )+4(1+2+3+ +49+50) Bài 17: Tớnh: A = 13+23+33+ +993+1003 Hướng dẫn: A = 12(1+0)+22(1+1)+32(2+1)+ +992(98+1)+1002(99+1) A = (1.22+2.32+3.42+ +98.992+99.1002)+(12+22+32+ +992+100 2) Bựi Nhật Minh-Trung học cơ sở Bồng Lĩnh 14
  15. CHUYấN ĐỀ BỒI DƯỠNG TOÁN 7 A = [1.2(3-1)+2.3(4-1)+3.4(5-1)+ +98.99(100-1)] +(12+22+32+ +992+1002) 98.99+(12+22+32+ A = 1.2.3-1.2+2.3.4-2.3+3.4.5-3.4+ +98.99.100- +992+1002) A = (1.2.3+2.3.4+3.4.5+ +98.99.100)- (1.2+2.3+3.4+ +98.99) (12+22+32+ +992+1002) Bài 18: Tớnh: A = 23+43+63+ +983+1003 Hướng dẫn: Bài 19: Tớnh: A = 13+33+53+ +973+993 Hướng dẫn: Bài 20: Tớnh: A = 13-23+33-43+ +993-1003 Hướng dẫn: Chuyờn đề: TỈ LỆ THỨC-TÍNH CHẤT CỦA DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU A. CƠ SỞ LÍ THUYẾT I. TỈ LỆ THỨC 1. Định nghĩa: ac = Tỉ lệ thức là một đẳng thức của hai tỉ số (hoặc a : b = c : d). bd Bựi Nhật Minh-Trung học cơ sở Bồng Lĩnh 15
  16. CHUYấN ĐỀ BỒI DƯỠNG TOÁN 7 Cỏc số a, b, c, d được gọi là cỏc số hạng của t ỉ l ệ th ức; a và d là cỏc s ố h ạng ngoài hay ngo ại tỉ, b và c là cỏc số hạng trong hay trung tỉ. 2. Tớnh chất: ac = thỡ ad = bc Tớnh chất 1: Nếu bd Tớnh chất 2: Nếu ad = bc và a, b, c, d ≠ 0 thỡ ta cú cỏc tỉ lệ thức sau: ac ab dc db =, =, = = , bd cd ba ca Nhận xột: Từ một trong năm đẳng thức trờn ta cú thể suy ra cỏc đẳng thức cũn lại. II. TÍNH CHẤT CỦA DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU a c a+c a−c ac = suy ra: = = = -Tớnh chất: Từ b d b+d b−d bd -Tớnh chất trờn cũn mở rộng cho dóy tỉ số bằng nhau: a+b+c a −b+c ace ace Bựi Nhật Minh-Trung học cơ sở Bồng Lĩnh 16
  17. CHUYấN ĐỀ BỒI DƯỠNG TOÁN 7 == suy ra: b = d = f = b + d + f = b − d + f = bd f (giả thiết cỏc tỉ số trờn đều cú nghĩa). 4 Cỏc chuyờn đề Bồi dưỡng HSG Toỏn lớp 7 abc * Chỳ ý: Khi cú dóy tỉ số = = ta núi cỏc số a, b, c tỉ lệ với cỏc số 2, 3, 5. 235 Ta cũng viết a : b : c = 2 : 3 : 5 B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI DẠNG I: TèM GIÁ TRỊ CỦA BIẾN TRONG CÁC TỈ LỆ THỨC. xy và x + y = 20 = Vớ dụ 1: Tỡm hai số x và y biết 23 Giải: Cỏch 1: (Đặt ẩn phụ) xy , suy ra: x = 2k , y = 3k = =k Bựi Nhật Minh-Trung học cơ sở Bồng Lĩnh 17
  18. CHUYấN ĐỀ BỒI DƯỠNG TOÁN 7 Đặt 23 Theo giả thiết: x + y = 20 ⇒ 2k + 3k = 20 ⇒ 5k = 20 ⇒ k = 4 Do đú: x = 2.4 = 8 y = 3.4 = 12 KL: x = 8 , y = 12 Cỏch 2: (sử dụng tớnh chất của dóy tỉ số bằng nhau): Áp dụng tớnh chất của dóy tỉ số bằng nhau ta cú: x y x + y 20 == = =4 2 3 2+3 5 x Do đú: = 4 ⇒ x = 8 2 y = 4 ⇒ y = 12 3 KL: x = 8 , y = 12 Cỏch 3: (phương phỏp thế) xy 2y = ⇒x= Từ giả thiết 23 3 2y mà x + y = 20 ⇒ + y = 20 ⇒ 5 y = 60 ⇒ y = 12 3 Bựi Nhật Minh-Trung học cơ sở Bồng Lĩnh 18
  19. CHUYấN ĐỀ BỒI DƯỠNG TOÁN 7 2.12 Do đú: x = =8 3 KL: x = 8 , y = 12 xy yz Vớ dụ 2: Tỡm x, y, z biết: = , = và 2 x − 3 y + z = 6 34 35 Giải: xy x y =⇒= Từ giả thiết: (1) 34 9 12 yz y z =⇒ = (2) 35 12 20 xy z Từ (1) và (2) suy ra: = = (*) 9 12 20 2x − 3y + z 6 xy z 2x 3y z Ta cú: = = = = = = = =3 9 12 20 18 36 20 18 − 36 + 20 2 x Do đú: = 3 ⇒ x = 27 9 Bựi Nhật Minh-Trung học cơ sở Bồng Lĩnh 19
  20. CHUYấN ĐỀ BỒI DƯỠNG TOÁN 7 5 Cỏc chuyờn đề Bồi dưỡng HSG Toỏn lớp 7 y = 3 ⇒ y = 36 12 z = 3 ⇒ z = 60 20 KL: x = 27 , y = 36 , z = 60 xy z = = = k ( sau đú giải như cỏch 1 của VD1). Cỏch 2: Sau khi làm đến (*) ta đặt 9 12 20 Cỏch 3: (phương phỏp thế: ta tớnh x, y theo z) Từ giả thiết: yz 3z = ⇒y= 35 5 3z 3. xy 3y 9z = 5= = ⇒x= Bựi Nhật Minh-Trung học cơ sở Bồng Lĩnh 20
  21. CHUYấN ĐỀ BỒI DƯỠNG TOÁN 7 34 4 4 20 9z 3z z mà 2 x − 3 y + z = 6 ⇒ 2. − 3. + z = 6 ⇒ = 60 ⇒ z = 60 20 5 10 3.60 9.60 Suy ra: y = = 36 , x = = 27 5 20 KL: x = 27 , y = 36 , z = 60 xy và x. y = 40 Vớ dụ 3: Tỡm hai số x, y biết rằng: = 25 Giải: Cỏch 1: (đặt ẩn phụ) xy , suy ra x = 2k , y = 5k = =k Đặt 25 Theo giả thiết: x. y = 40 ⇒ 2k .5k = 40 ⇒ 10k 2 = 40 ⇒ k 2 = 4 ⇒ k = ±2 + Với k = 2 ta cú: x = 2.2 = 4 y = 5.2 = 10 + Với k = −2 ta cú: x = 2.(−2) = −4 y = 5.(−2) = −10 KL: x = 4 , y = 10 hoặc x = −4 , y = −10 Bựi Nhật Minh-Trung học cơ sở Bồng Lĩnh 21
  22. CHUYấN ĐỀ BỒI DƯỠNG TOÁN 7 Cỏch 2: ( sử dụng tớnh chất của dóy tỉ số bằng nhau) Hiển nhiờn x ≠ 0 xy x 2 xy 40 = Nhõn cả hai vế của với x ta được: = = =8 25 2 5 5 ⇒ x 2 = 16 ⇒ x = ±4 4y 4.5 + Với x = 4 ta cú = ⇒ y = = 10 25 2 −4 y − 4.5 = ⇒y= = −10 + Với x = −4 ta cú 2 5 2 KL: x = 4 , y = 10 hoặc x = −4 , y = −10 Cỏch 3: (phương phỏp thế) làm tương tự cỏch 3 của vớ dụ 1. BÀI TẬP VẬN DỤNG: Bài 1: Tỡm cỏc số x, y, z biết rằng: 6 Cỏc chuyờn đề Bồi dưỡng HSG Toỏn lớp 7 x y z xy yz và 5 x + y − 2 z = 28 và 2 x + 3 y − z = 124 Bựi Nhật Minh-Trung học cơ sở Bồng Lĩnh 22
  23. CHUYấN ĐỀ BỒI DƯỠNG TOÁN 7 a) = = b) = , = 10 6 21 34 57 2x 3y 4z xy và x + y + z = 49 xy = 54 = = d) = và c) 3 4 5 23 x y z xy f) y + z + 1 = = = x+ y+z e) = và x 2 − y 2 = 4 z + x +1 x + y − 2 53 Bài 2: Tỡm cỏc số x, y, z biết rằng: x y z xy yz và 5 x + y − 2 z = 28 và 2 x + 3 y − z = 124 == = = a) b) , 10 6 21 34 57 2x 3y 4z xy và x + y + z = 49 xy = 54 = = d) = và c) 3 4 5 23 Bựi Nhật Minh-Trung học cơ sở Bồng Lĩnh 23
  24. CHUYấN ĐỀ BỒI DƯỠNG TOÁN 7 x y z xy f) y + z + 1 = = = x+ y+z e) = và x 2 − y 2 = 4 z + x +1 x + y − 2 53 Bài 3: Tỡm cỏc số x, y, z biết rằng: x −1 y − 2 z − 3 a) 3x = 2 y , 7 y = 5 z và x − y + z = 32 và 2 x + 3 y − z = 50 = = b) 2 3 4 xyz c) 2 x = 3 y = 5 z và x + y − z = 95 d) = = và xyz = 810 235 y + z +1 z + x + 2 x + y − 3 1 = = = f) 10 x = 6 y và 2 x 2 − y 2 = −28 e) x+ y+z x y z Bài 4: Tỡm cỏc số x, y, z biết rằng: x −1 y − 2 z − 3 a) 3x = 2 y , 7 y = 5 z và x − y + z = 32 và 2 Bựi Nhật Minh-Trung học cơ sở Bồng Lĩnh 24
  25. CHUYấN ĐỀ BỒI DƯỠNG TOÁN 7 x + 3 y − z = 50 = = b) 2 3 4 xyz c) 2 x = 3 y = 5 z và x + y − z = 95 d) = = và xyz = 810 235 y + z +1 z + x + 2 x + y − 3 1 = = = f) 10 x = 6 y và 2 x 2 − y 2 = −28 e) x+ y+z x y z Bài 5: Tỡm x, y biết rằng: 1+ 2y 1+ 4y 1+ 6y = = 18 24 6x Bài 6: Tỡm x, y biết rằng: 1+ 2y 1+ 4y 1+ 6y = = 18 24 6x a b c d = = = Bài 7: Cho a + b + c + d ≠ 0 và b+c+d a+c+d a+b+d a+b+c a+b b+c c+d d +a Bựi Nhật Minh-Trung học cơ sở Bồng Lĩnh 25
  26. CHUYấN ĐỀ BỒI DƯỠNG TOÁN 7 Tỡm giỏ trị của: A = + + + c+d a+d a+b b+c a+b+c+d a b c d 1 Giải: b + c + d = a + c + d = a + b + d = a + b + c = 3(a + b + c + d ) = 3 ( Vỡ a + b + c + d ≠ 0 ) =>3a = b+c+d; 3b = a+c+d => 3a-3b= b- a => 3(a- b) = -(a-b) =>4(a-b) = 0 =>a=b Tương tự =>a=b=c=d=>A=4 Bài 8: Tỡm cỏc số x; y; z biết rằng: x 7 x y a) y = 3 và 5x – 2y = 87; = b) và 2x – y = 34; 19 21 7 Cỏc chuyờn đề Bồi dưỡng HSG Toỏn lớp 7 2 x + 1 3y − 2 2x + 3y − 1 3 3 3 x y z = = và x2 + y2 + z2 = 14. Bựi Nhật Minh-Trung học cơ sở Bồng Lĩnh 26
  27. CHUYấN ĐỀ BỒI DƯỠNG TOÁN 7 = = b) c) 5 7 6x 8 64 216 Bài 9: Tỡm cỏc số a, b, c biết rằng: 2a = 3b; 5b = 7c và 3a + 5c – 7b = 30. Bài 10: Tỡm cỏc số x, y, z biết : a) x : y : z = 3 : 4 : 5 và 5z2 – 3x2 – 2y2 = 594; b) x + y = x : y = 3.(x – y) a) Đỏp số: x = 9; y = 12; z = 15 hoặc x = - 9; y = - 12; z = - 15. Giai b) Từ đề bài suy ra: 2y(2y – x) = 0, mà y khỏc 0 nờn 2y – x = 0, do đú : x = 2y. Từ đú tỡm được : x = 4/3; y = 2/3. Bài 11. Tỡm hai số hữu tỉ a và b biết rằng hiệu của a và b bằng thương của a và b và bằng hai lần tổng của a và b ? Giai. Rỳt ra được: a = - 3b, từ đú suy ra : a = - 2,25; b = 0,75. a b c Biết a+b+c ≠ 0 .Tỡm giỏ trị của mỗi tỉ số đú ? Bài 12: Cho ba tỉ số bằng nhau: . , , b +c c +a a +b Bài 13. Số học sinh khối 6,7,8,9 của một trường THCS lần lượt tỉ l ệ v ới 9;10;11;8. Bi ết r ằng Bựi Nhật Minh-Trung học cơ sở Bồng Lĩnh 27
  28. CHUYấN ĐỀ BỒI DƯỠNG TOÁN 7 số học sinh khối 6 nhiều hơn số học sinh khối 9 là 8 em. Tớnh số học sinh của trường đú? Bài 14: Chứng minh rằng nếu cú cỏc số a, b, c, d thỏa món đẳng thức: [ab( ab − 2cd ) + c d ].[ ab( ab − 2) + 2(ab + 1)] = 0 2 2 thỡ chỳng lập thành một tỉ lệ thức. Giải:  ab ( ab − 2cd ) + c d  .  ab ( ab − 2 ) + 2(ab + 1)  = 0 22    (Vỡ ab(ab-2)+2(ab+1)=a2b2+1>0 với mọi a,b) 22 => ab(ab-2cd)+c d =0 =>a2b2-2abcd+ c2d2=0 =>(ab-cd)2=0 =>ab=cd =>đpcm Bựi Nhật Minh-Trung học cơ sở Bồng Lĩnh 28