›
›
›

Chuyền đề bồi dưỡng HSG Toán 7

doc 51 trang mainguyen 7730
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Chuyền đề bồi dưỡng HSG Toán 7", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • docchuyen_de_boi_duong_hsg_toan_7.doc

Nội dung text: Chuyền đề bồi dưỡng HSG Toán 7

  1. CHUYỀN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 7 PHẦN ĐẠI SỐ Chuyền đề 1: Các bài toán thực hiện phép tính: 1. Các kiến thức vận dụng: - Tính chất của phép cộng , phép nhân - Các phép toán về lũy thừa: n m n m+n m n m –n a = a.a  a ; a .a = a ; a : a = a ( a 0, m n) n a an (am)n = am.n ; ( a.b)n = an .bn ; ( )n (b 0) b bn 2 . Một số bài toán : Bài 1: a) Tính tổng : 1+ 2 + 3 + . + n , 1+ 3 + 5 + . + (2n -1) b) Tính tổng : 1.2 + 2.3 + 3.4 + + n.(n+1) 1.2.3+ 2.3.4 + 3.4.5 + .+ n(n+1)(n+2) Với n là số tự nhiên khác không. HD : a) 1+2 + 3 + + n = n(n+1) 1+ 3+ 5+ + (2n-1) = n2 b) 1.2+2.3+3.4+ + n(n+1) = [1.2.(3 - 0) + 2.3.(4 - 1) + 3.4(5 – 2) + + n(n + 1)( (n+2) – (n – 1))] : 3 = [ 1.2.3 – 1.2.3 + 2.3.4 – 2.3.4 + + n(n+1)(n+2)] : 3 = n(n+ 1)(n+2) :3 1.2.3 + 2.3.4+ 3.4.5 + .+ n(n+1)(n+2) = [ 1.2.3(4 – 0) + 2.3.4( 5 -1) + 3.4.5.(6 -2) + + n(n+1)(n+2)( (n+3) – (n- 1))]: 4 = n(n+1)(n+2)(n+3) : 4 Tổng quát: Bài 2: a) Tính tổng : S = 1+ a + a2 + + an c c c b) Tính tổng : A = với a2 – a1 = a3 – a2 = = an – a1.a2 a2.a3 an 1.an an-1 = k HD: a) S = 1+ a + a2 + + an aS = a + a2 + + an + an+1 Ta có : aS – S = an+1 – 1 ( a – 1) S = an+1 – 1 Nếu a = 1 S = n n 1 Nếu a khác 1 , suy ra S = a 1 a 1 c c 1 1 b) Áp dụng ( ) với b – a = k a.b k a b c 1 1 c 1 1 c 1 1 Ta có : A = ( ) ( ) ( ) k a1 a2 k a2 a3 k an 1 an c 1 1 1 1 1 1 = ( ) k a1 a2 a2 a3 an 1 an c 1 1 = ( ) k a1 an Bài 3 : a) Tính tổng : 12 + 22 + 32 + . + n2
  2. b) Tính tổng : 13 + 23 + 33 + + n3 HD : a) 12 + 22 + 32 + .+ n2 = n(n+1)(2n+1): 6 b) 13 + 23 + 33 + + n3 = ( n(n+1):2)2 Bài 3: Thực hiện phép tính: 1 1 1 1 1 3 5 7 49 a) A = ( ) 4.9 9.14 14.19 44.49 89 212.35 46.92 510.73 255.492 b) B 6 3 22.3 84.35 125.7 59.143 HD : A = 9 ; B =7 28 2 1 1 1 2 2 2 Bài 4: 1, Tính: P = 2003 2004 2005 2002 2003 2004 5 5 5 3 3 3 2003 2004 2005 2002 2003 2004 2, Biết: 13 + 23 + . . . . . . .+ 103 = 3025. Tính: S = 23 + 43 + 63 + . . . .+ 203 3 3 0,375 0,3 1,5 1 0,75 1890 Bài 5: a) TÝnh A 11 12 : 115 5 5 5 2005 2,5 1,25 0,625 0,5 3 11 12 1 1 1 1 1 1 b) Cho B 3 32 33 34 32004 32005 1 Chøng minh r»ng .B 2 1 5 5 1 3 13 2 10 . 230 46 Bài 6: a) Tính : 4 27 6 25 4 3 10 1 2 1 : 12 14 10 3 3 7 1 1 1 1 b) TÝnh P 2 3 4 2012 2011 2010 2009 1 1 2 3 2011 HD: Nhận thấy 2011 + 1 = 2010+2 = . 2012 2010 1 MS 1 1 1 2011 1 2 2011 2012 2012 1 1 1 1 2012 2011 = 2012( ) 2 2011 2 3 4 2012 1 1 1 1 (1 2 3 99 100) (63.1,2 21.3,6) 2 3 7 9 c) A 1 2 3 4 99 100
  3. Bài 7: a) Tính giá trị của biểu thức: 11 3 1 2 1 . 4 15 6 . 31 7 3 19 14 31 A . 1 . 5 1 1 93 50 4 12 5 6 6 3 1 1 1 1 1 b) Chứng tỏ rằng: B 1 22 32 32 20042 2004 Bài 8: a) Tính giá trị của biểu thức: 2 4 3 81,624 : 4 4,505 125 3 4 A 2 2  11 2 13 : 0,88 3,53 (2,75)  : 25 25  b) Chứng minh rằng tổng: 1 1 1 1 1 1 1 S 0,2 22 24 26 24n 2 24n 22002 22004 Chuyên đề 2: Bài toán về tính chất của dãy tỉ số bằng nhau: 1. Kiến thức vận dụng : a c - a.d b.c b d a c e a c e a b e -Nếu thì với gt các tỉ số dều có nghĩa b d f b d f b d f a c e - Có = k Thì a = bk, c = d k, e = fk b d f 2. Bài tập vận dụng Dạng 1 Vận dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau để chứng minh đẳng thức a c a2 c2 a Bài 1: Cho . Chứng minh rằng: c b b2 c2 b a c HD: Từ suy ra c2 a.b c b a2 c2 a2 a.b khi đó b2 c2 b2 a.b a(a b) a = b(a b) b Bài 2: Cho a,b,c R và a,b,c 0 thoả mãn b2 = ac. Chứng minh rằng: 2 a = (a 2012b) c (b 2012c)2 HD: Ta có (a + 2012b)2 = a2 + 2.2012.ab + 20122.b2 = a2 + 2.2012.ab + 20122.ac = a( a + 2.2012.b + 20122.c) (b + 2012c)2 = b2 + 2.2012.bc + 20122.c2 = ac+ 2.2012.bc + 20122.c2 = c( a + 2.2012.b + 20122.c)
  4. a (a 2012b)2 Suy ra : = c (b 2012c)2 a c 5a 3b 5c 3d Bài 3: Chøng minh r»ng nÕu th× b d 5a 3b 5c 3d a c HD : Đặt k a = kb, c = kd . b d 5a 3b b(5k 3) 5k 3 5c 3d d(5k 3) 5k 3 Suy ra : và 5a 3b b(5k 3) 5k 3 5c 3d d(5k 3) 5k 3 5a 3b 5c 3d Vậy 5a 3b 5c 3d a2 b2 ab Bài 4: BiÕt với a,b,c, d 0 Chứng minh rằng : c2 d 2 cd a c a d hoặc b d b c a2 b2 ab 2ab a2 2ab b2 (a b)2 a b HD : Ta có = ( )2 (1) c2 d 2 cd 2cd c2 2cd d 2 (c d)2 c d a2 b2 ab 2ab a2 2ab b2 (a b)2 a b = ( )2 (2) c2 d 2 cd 2cd c2 2cd d 2 (c d)2 c d a b a b a b 2 a b 2 c d c d Từ (1) và (2) suy ra : ( ) ( ) c d c d a b b a c d d c Xét 2 TH đi đến đpcm a c Bài 5 : Cho tØ lÖ thøc . Chøng minh r»ng: b d 2 ab a2 b2 a b a2 b2 vµ cd c2 d 2 c d c2 d 2 a c HD : Xuất phát từ biến đổi theo các b d ab a2 b2 a2 c2 a2 b2 a b hướng làm xuất hiện ( )2 cd c2 d 2 b2 d 2 c2 d 2 c d Bài 6 : Cho dãy tỉ số bằng nhau: 2a b c d a 2b c d a b 2c d a b c 2d a b c d a b b c c d d a Tính M c d d a a b b c 2a b c d a 2b c d a b 2c d a b c 2d HD : Từ a b c d 2a b c d a 2b c d a b 2c d a b c 2d Suy ra : 1 1 1 1 a b c d a b c d a b c d a b c d a b c d a b c d
  5. Nếu a + b + c + d = 0 a + b = -( c+d) ; ( b + c) = -( a + d) a b b c c d d a M = -4 c d d a a b b c a b b c c d d a Nếu a + b + c + d 0 a = b = c = d M = 4 c d d a a b b c Bài 7 : a) Chứng minh rằng: x y z Nếu a 2b c 2a b c 4a 4b c a b c Thì x 2y z 2x y z 4x 4y z 3 a b c a b c a b) Cho: . Chứng minh: b c d b c d d x y z a 2b c 2a b c 4a 4b c HD : a) Từ a 2b c 2a b c 4a 4b c x y z a 2b c 2(2a b c) 4a 4b c a (1) x 2y z x 2y z 2(a 2b c) (2a b c) 4a 4b c b (2) 2x y z 2x y z 4(a 2b c) 4(2a b c) 4a 4b c c (3) 4x 4y z 4x 4y z a b c Từ (1) ;(2) và (3) suy ra : x 2y z 2x y z 4x 4y z x y z t Bài 8: Cho y z t z t x t x y x y z chứng minh rằng biểu thức sau có giá trị nguyên. x y y z z t t x P z t t x x y y z HD Từ x y z t y z t z t x t x y x y z y z t z t x t x y x y z x y z t y z t z t x t x y x y z 1 1 1 1 x y z t x y z t z t x y t x y z x y z t x y z t Nếu x + y + z + t = 0 thì P = - 4 Nếu x + y + z + t 0 thì x = y = z = t P = 4 y z x z x y x y z Bài 9 : Cho 3 số x , y , z khác 0 thỏa mãn điều kiện : x y z x y z Hãy tính giá trị của biểu thức : B = 1 1 1 y z x Bài 10 : a) Cho các số a,b,c,d khác 0 . Tính
  6. T =x2011 + y2011 + z2011 + t2011 Biết x,y,z,t thỏa mãn: x2010 y2010 z2010 t2010 x2010 y2010 z2010 t2010 a2 b2 c2 d 2 a2 b2 c2 d 2 b) Tìm số tự nhiên M nhỏ nhất có 4 chữ số thỏa mãn điều kiện: M = a + b = c +d = e + f a 14 c 11 e 13 Biết a,b,c,d,e,f thuộc tập N* và ; ; b 22 d 13 f 17 a b c c) Cho 3 số a, b, c thỏa mãn : . 2009 2010 2011 Tính giá trị của biểu thức : M = 4( a - b)( b – c) – ( c – a )2 Một số bài tương tự Bài 11: Cho d·y tØ sè b»ng nhau: 2012a b c d a 2012b c d a b 2012c d a b c 2012d a b c d a b b c c d d a TÝnh M c d d a a b b c Bài 12: Cho 3 số x , y , z, t khác 0 thỏa mãn điều kiện : y z t nx z t x ny t x y nz x y z nt ( n là số tự nhiên) x y z t và x + y + z + t = 2012 . Tính giá trị của biểu thức P = x + 2y – 3z + t Dạng 2 : Vận dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau để tìm x,y,z, 1+3y 1+5y 1+7y Bài 1: Tìm cặp số (x;y) biết : 12 5x 4x HD : Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có: 1+3y 1+5y 1+7y 1 7y 1 5y 2y 1 5y 1 3y 2y 12 5x 4x 4x 5x x 5x 12 5x 12 2y 2y => với y = 0 thay vào không thỏa mãn x 5x 12 Nếu y khác 0 => -x = 5x -12 => x = 2. Thay x = 2 vào trên ta được: 1 3y 2y 1 y =>1+ 3y = -12y => 1 = -15y => y = 12 2 15 Vậy x = 2, y = 1 thoả mãn đề bài 15 a b c Bài 3 : Cho và a + b + c ≠ 0; a = 2012. b c a Tính b, c.
  7. a b c a b c HD : từ 1 a = b = c = 2012 b c a a b c y x 1 x z 2 x y 3 1 Bài 4 : Tìm các số x,y,z biết : x y z x y z HD: Áp dụng t/c dãy tỉ số bằng nhau: y x 1 x z 2 x y 3 2(x y z) 1 2 (vì x+y+z 0) x y z (x y z) x y z Suy ra : x + y + z = 0,5 từ đó tìm được x, y, z 1 2y 1 4y 1 6y Bài 5 : Tìm x, biết rằng: 18 24 6x 1 2y 1 4y 1 6y 2(1 2y) (1 4y) 1 2y 1 4y (1 6y) HD : Từ 18 24 6x 2.18 24 18 24 6x 1 1 Suy ra : x 1 6 6x x y z Bài 6: T×m x, y, z biÕt: x y z (x, y, z 0 ) z y 1 x z 1 x y 2 x y z x y z 1 HD : Từ x y z z y 1 x z 1 x y 2 2(x y z) 2 1 1 1 1 Từ x + y + z = x + y = - z , y +z = - x , z + x = - y thay vào đẳng 2 2 2 2 thức ban đầu để tìm x. 3x 3y 3z Bài 7 : T×m x, y, z biÕt vµ 2x2 2y2 z 2 1 8 64 216 2x 1 4y 5 2x 4y 4 Bài 8 : Tìm x , y biết : 5 9 7x
  8. Ngày soạn: /10/2017 Ngày giảng: /10/2017 Tiết 10 + 11 +12 Chuyên đề 3: Vận dụng tính chất phép toán để tìm x, y I. MỤC TIÊU: 1. Kiến thức: Hiểu tính chất phép toán cộng, nhân số thực. Quy tắc bỏ dấu ngoặc, quy tắc chuyển vế. Tính chất về giá trị tuyệt đối. Bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối. Tính chất lũy thừa của 1 số thực 2. Kĩ năng: Vận dụng được các kiến thức trên để làm bài tập 3. Thái độ Nghiêm túc, tính cẩn thận, linh hoạt và sáng tạo. II. CHUẨN BỊ: GV: Hệ thống câu hỏi, bài tập phù hợp với mục tiêu và vừa sức HS. HS: Ôn tập theo HD của GV. III. TIẾN TRÌNH DẠY HỌC: 1. Hoạt động 1: Kiến thức vận dụng : a. Tính chất phép toán cộng, nhân số thực b. Quy tắc mở dấu ngoặc, quy tắc chuyển vế A, A 0 c. Tính chất về giá trị tuyệt đối : vớiA 0mọi A ; A A, A 0 d. Bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối : A B A B dấu ‘=’ xẩy ra khi AB 0; A B A B dấu ‘= ‘ xẩy ra A,B >0 A m A m A m (m 0) ; A m (hay m A m) với m > 0 A m A m e. Tính chất lũy thừa của 1 số thực : A 2n 0 với mọi A ; - A2n 0 với mọi A Am = An m = n; An = Bn A = B (nếu n lẻ ) hoặc A = B ( nếu n chẵn) 0< A < B An < Bn ; 2. Hoạt động 2: Bài tập vận dụng Dạng 1: Các bài toán cơ bản Bài 1: Tìm x biết a) x + 2x + 3x + 4x + + 2011x = 2012.2013 x 1 x 2 x 3 x 4 b) 2011 2010 2009 2008 HD : a) x + 2x + 3x + 4x + + 2011x = 2012.2013 x( 1 + 2 + 3 + .+ 2011) = 2012.2013 2011.2012 2.2013 x. 2012.2013 x 2 2011
  9. b) Nhận xét : 2012 = 2011+1= 2010 +2 = 2009 +3 = 2008 +4 x 1 x 2 x 3 x 4 Từ 2011 2010 2009 2008 (x 2012) 2011 (x 2012) 2010 (x 2012) 2009 (x 2012) 2008 2011 2010 2009 2008 x 2012 x 2012 x 2012 x 2012 2 2011 2010 2009 2008 1 1 1 1 (x 2012)( ) 2 2011 2010 2009 2008 1 1 1 1 x 2 : ( ) 2012 2011 2010 2009 2008 Bài 2: Tìm x nguyên biết 1 1 1 1 49 a) 1.3 3.5 5.7 (2x 1)(2x 1) 99 1006 b) 1- 3 + 32 – 33 + .+ (-3)x = 9 1 4 Dạng 2 : Tìm x có chứa giá trị tuyệt đối Dạng : x a x b và x a x b x c Khi giải cần tìm giá trị của x để các GTTĐ bằng không, rồi so sánh các giá trị đó để chia ra các khoảng giá trị của x ( so sánh –a và –b) Bài 1 : Tìm x biết : a) x 2011 x 2012 b) x 2010 x 2011 2012 HD : a) x 2011 x 2012 (1) do VT = x 2011 0,x nên VP = x – 2012 0 x 2012 (*) x 2011 x 2012 2011 2012(vôly) Từ (1) x 2011 2012 x x (2011 2012) : 2 Kết hợp (*) x = 4023:2 b) x 2010 x 2011 2012 (1) Nếu x 2010 từ (1) suy ra : 2010 – x + 2011 – x = 2012 x = 2009 :2 (lấy) Nếu 2010 < x < 2011 từ (1) suy ra : x – 2010 + 2011 – x = 2012 hay 1 = 2012 (loại) Nếu x 2011 từ (1) suy ra : x – 2010 + x – 2011 = 2012 x = 6033:2(lấy) Vậy giá trị x là : 2009 : 2 hoặc 6033 : 2 Một số bài tương tự: Bài 2 : a) T×m x biÕt x 1 x 3 4 b) T×m x biÕt: x2 6x 2 x2 4
  10. c) T×m x biÕt: 2x 3 2 4 x 5 Bài 3 : a)T×m c¸c gi¸ trÞ cña x ®Ó: x 3 x 1 3x b) Tìm x biết: 2x 3 x 2 x Bài 4 : tìm x biết : a) x 1 4 b) x 2011 2012 Dạng : Sử dụng BĐT giá trị tuyệt đối Bài 1 : a) Tìm x ngyên biết : x 1 x 3 x 5 x 7 8 b) Tìm x biết : x 2010 x 2012 x 2014 2 HD : a) ta có x 1 x 3 x 5 x 7 x 1 7 x x 3 5 x 8 (1) Mà x 1 x 3 x 5 x 7 8 suy ra ( 1) xẩy ra dấu “=” 1 x 7 Hay 3 x 5 do x nguyên nên x {3;4;5} 3 x 5 b) ta có x 2010 x 2012 x 2014 x 2010 2014 x x 2012 2 (*) Mà x 2010 x 2012 x 2014 2 nên (*) xẩy ra dấu “=” x 2012 0 Suy ra: x 2012 2010 x 2014 Các bài tương tự Bài 1 : Tìm x nguyên biết : x 1 x 2 x 100 2500 Bài 2 : Tìm x biết x 1 x 2 x 100 605x Bài 3 : T×m x, y tho¶ m·n: x 1 x 2 y 3 x 4 = 3 Bài 4 : Tìm x, y biết : x 2006y x 2012 0 HD : ta có x 2006y 0 với mọi x,y và x 2012 0 với mọi x Suy ra : x 2006y x 2012 0 với mọi x,y mà x 2006y x 2012 0 x y 0 x 2006y x 2012 0 x 2012, y 2 x 2012 0 Dạng: chứa lũy thừa của một số hữu tỉ Bài 1: Tìm số tự nhiên x, biết : a) 5x + 5x+2 = 650 b) 3x-1 + 5.3x-1 = 162 HD : a) 5x + 5x+2 = 650 5x ( 1+ 52) = 650 5x = 25 x = 2 b) 3x-1 + 5.3x-1 = 162 3x -1(1 + 5) = 162 3x – 1 = 27 x = 4 Bài 2 : Tìm các số tự nhiên x, y , biết: a) 2x + 1 . 3y = 12x b) 10x : 5y = 20y 22x 3y HD : a) 2x + 1 . 3y = 12x 2x 1 3y x 2x 1 3x Nhận thấy : ( 2, 3) = 1 x – 1 = y-x = 0 x = y = 1 b) 10x : 5y = 20y 10x = 102y x = 2y Bài 3 : Tìm m , n nguyên dương thỏa mãn : a) 2m + 2n = 2m +n b) 2m – 2n = 256 HD: a) 2m + 2n = 2m +n 2m + n – 2m – 2n = 0 2m ( 2n – 1) –( 2n – 1) = 1
  11. 2n 1 1 (2m -1)(2n – 1) = 1 m n 1 m 2 1 1 b) 2m – 2n = 256 2n ( 2m – n - 1) = 28 Dễ thấy m n, ta xét 2 trường hợp : + Nếu m – n = 1 n = 8 , m = 9 + Nếu m – n 2 thì 2m – n – 1 là 1 số lẻ lớn hơn 1, khi đó VT chứa TSNT khác 2, mà VT chỉ chứa TSNT 2 suy ra TH này không xẩy ra : vậy n = 8, m = 9 x 1 x 11 Bài 4 : Tìm x , biết : x 7 x 7 0 HD : x 7 x 1 x 7 x 11 0 x 1 10 x 7 1 x 7 0 x 7 x 1 1 x 7 10 0 x 1 x 7 0 x 7 0 x 7 10 x 8 1 (x 7)10 0 (x 7) 1 x 6 Bài 5 : Tìm x, y biết : x 2011y (y 1)2012 0 HD : ta có x 2011y 0 với mọi x,y và (y – 1)2012 0 với mọi y Suy ra : x 2011y (y 1)2012 0 với mọi x,y . Mà x 2011y (y 1)2012 0 x 2011y 0 x 2011, y 1 y 1 0 3. Hướng dẫn học ở nhà: - Học bài trong vở ghi, tập làm lại các BT đã chữa. - Sưu tầm các cái toán về vận dụng tính chất phép toán để tìm x, y. Ngày tháng 10 năm 2017 Tổ trưởng chuyên môn duyệt Lê Thị Xuân
  12. Ngày soạn: /10/2017 Ngày giảng: /11/2017 Tiết 13 + 14 +15 Chuyên đề 3: Vận dụng tính chất phép toán để tìm x, y I. MỤC TIÊU: 1. Kiến thức: Hiểu tính chất phép toán cộng, nhân số thực. Quy tắc bỏ dấu ngoặc, quy tắc chuyển vế. Tính chất về giá trị tuyệt đối. Bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối. Tính chất lũy thừa của 1 số thực 2. Kĩ năng: Vận dụng được các kiến thức trên để làm bài tập 3. Thái độ Nghiêm túc, tính cẩn thận, linh hoạt và sáng tạo. II. CHUẨN BỊ: GV: Hệ thống câu hỏi, bài tập phù hợp với mục tiêu và vừa sức HS. HS: Ôn tập theo HD của GV. III. TIẾN TRÌNH DẠY HỌC: 1. Hoạt động 1: Kiến thức vận dụng : a.Tính chất phép toán cộng, nhân số thực b.Quy tắc mở dấu ngoặc, quy tắc chuyển vế A, A 0 c.Tính chất về giá trị tuyệt đối : vớiA 0mọi A ; A A, A 0 d.Bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối : A B A B dấu ‘=’ xẩy ra khi AB 0; A B A B dấu ‘= ‘ xẩy ra A,B >0 A m A m A m (m 0) ; A m (hay m A m) với m > 0 A m A m g.Tính chất lũy thừa của 1 số thực : A 2n 0 với mọi A ; - A 2n 0 với mọi A Am = An m = n; An = Bn A = B (nếu n lẻ ) hoặc A = B ( nếu n chẵn) 0< A < B An < Bn ; 2. Hoạt động 2: Bài tập vận dụng Bài 1. T×m x biÕt : 2 3 1 1 3 5 a) x b) x c) x 15 10 15 10 8 12 3 1 7 5 3 1 1 5 1 d) x e) x f) x 5 4 10 8 20 6 4 6 8 1 9 g) 8,25 x 3 6 10 Bài 2. T×m x biÕt :
  13. 2 4 21 7 14 42 22 8 a. x b. x c. x d. x 3 15 13 26 25 35 15 27 Bài 3. T×m x biÕt : 8 20 a. : x 15 21 4 4 b. x : 2 21 5 2 1 c. x : 4 4 7 5 14 d. 5,75 : x 23 2x 1 1 1 e. 1 : 5 g. 2 x 9 20 5 4 4 4 Bài 4. T×m x biÕt : 2 4 21 7 14 42 22 8 a. x b. x c. x d. x 3 15 13 26 25 35 15 27 8 20 4 4 2 1 14 a. : x b. x : 2 c. x : 4 4 d. 5,75 : x 15 21 21 5 7 5 23 Bài 5. T×m sè nguyªn x biÕt : 3 4 3 6 1 1 1 2 1 1 3 a. 4 .2 x 2 :1 b. 4 . x 5 23 5 15 3 2 6 3 3 2 4 Bài 6. T×m x biÕt : 1 1 5 5 1 3 11 a. 3 : x . 1 b. : x 4 4 3 6 4 4 36 1 3 7 1 1 5 2 3 c. 1 x : 3 : d. x 5 5 4 4 8 7 3 10 22 1 2 1 3 1 3 e. x f. x 15 3 3 5 4 2 7 1 1 1 1 1 5 5 g. 0,25 30%x . 5 h. x : 9 3 4 6 2 3 7 7 3 1 1 4x 720 1 i. 0,5.x : 1 k. 70 : 7 2 7 x 2 Bài 7: T×m x biÕt : 1 3 1 5 1 a. x 3 d. x 2,1; b. x 3,5 5; c. x 0;d. 2 x ; 5 4 2 6 3 2 1 3 2 1 1 1 1 e. x ; g. 5 3x ;h. 2,5 3x 5 1,5; i. x 5 2 4 3 6 5 5 5 Bài 8. Tìm x, biết: 11 5 15 11 4 a) x ; b) x 3,75 2,15 13 42 28 13 15 Giải
  14. 11 5 15 11 b) a) x 4 13 42 28 13 x 3,75 2,15 11 5 15 11 15 x 4 x 3,75 2,15 13 42 28 13 15 15 5 4 x x 2,15 3,75 28 42 15 5 4 x x 1,6 12 15 4 x 1,6 5 4 x 1,6 5 4 x 3 28 x 15 Bài 9. T×m x, biÕt: 1 2 1 3 1 3 a.x b. x 3 5 3 7 4 5 59 KQ: a) x = 2 ; b) - 5 140 Bµi 10: T×m x, biÕt: 2 5 3 21 1 2 a.x b. x c.x 1,5 2 d. 3 7 10 13 3 3 3 1 x 0 4 2 87 13 KQ: a) x = ; b) x = ; c) x = 3,5 hoặc x = - 0,5 ; d) x = -1/4 hoặc 140 21 x = -5/4. Bµi 11 TÝnh: (Bài tập về nhà) 4 2 4 0,8: 1,25 1,08 : 5 25 7 4 E = 1,2 0,5 : 1 5 1 2 5 0,64 6 3 2 25 9 4 17 4 7 1,08 0,08 : 1 0,8:1 4 0,8 3 8 1 3 1 7 0,6 : 4 2 0,64 0,04 119 36 5 0,6 7 4 6 4 4 3 36 17
  15. Bµi 12: T×m x biÕt a) ( x - ) 3 = ; b) (x + ) 2 = ; c) (x - 1)x+2 = (x - 1)x+6 vµ x Z Bµi 13: T×m x biÕt a) + + = víi x { -2; - 5; - 10; - 17} b) + + - = víi x {1;3;8;20} x 1 x 2 x 3 x 4 c) T×m x biÕt : 2009 2008 2007 2006 Bµi 14: T×m x, y Z sao cho 1 1 y x 1 1 x 1 3 a) b) c) x 6 3 6 y 2 4 y 4 x 2 3 x 2 3 d) e) g) 8 y 4 4 y 2 1 1 1 1 . ;(x y 0) x y x y 2a 5 a 2a 9 5a 17 3a Bµi 15: T×m a Z ®Óa) lµ sè nguyªn b) lµ sè 5 5 a 3 a 3 a 3 nguyªn. 3. Hướng dẫn học ở nhà: - Học bài trong vở ghi, tập làm lại các BT đã chữa. - Sưu tầm các cái toán về vận dụng tính chất phép toán để tìm x, y. Ngày tháng 11 năm 2017 Tổ trưởng chuyên môn duyệt Lê Thị Xuân
  16. Ngày soạn: /11/2017 Ngày giảng: /11/2017 Tiết 16 + 17 +18 Chuyên đề 4: Tìm Giá trị nguyên của biến, giá trị của biểu thức. I. MỤC TIÊU: 1. Kiến thức: Hiểu tính chất phép toán cộng, nhân số thực. Quy tắc bỏ dấu ngoặc, quy tắc chuyển vế. Tính chất về giá trị tuyệt đối. Bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối. Tính chất lũy thừa của 1 số thực 2. Kĩ năng: Vận dụng được các kiến thức trên để làm bài tập 3. Thái độ Nghiêm túc, tính cẩn thận, linh hoạt và sáng tạo. II. CHUẨN BỊ: GV: Hệ thống câu hỏi, bài tập phù hợp với mục tiêu và vừa sức HS. HS: Ôn tập theo HD của GV. III. TIẾN TRÌNH DẠY HỌC: Hoạt động1: Các kiến thức vận dụng: - Dấu hiệu chia hết cho 2, 3, 5, 9 - Phân tích ra TSNT, tính chất của số nguyên tố, hợp số, số chính phương - Tính chất chia hết của một tổng , một tích - ƯCLN, BCNN của các số Hoạt động2: Bài tập vận dụng : * Tìm x,y dưới dạng tìm nghiệm của đa thức Bài 1: a) Tìm các số nguyên tố x, y sao cho: 51x + 26y = 2000 b) Tìm số tự nhiên x, y biết: 7(x 2004)2 23 y2 c) Tìm x, y nguyên biết: xy + 3x - y = 6 d) Tìm mọi số nguyên tố thoả mãn : x2-2y2=1 HD: a) Từ 51x + 26y = 2000 17.3.x = 2.( 1000 – 13 y) do 3,17 là số NT nên x 2 mà x NT x = 2. Lại có 1000 – 13y 51 , 1000 – 13y > 0 và y NT y = 73 b) Từ 7(x 2004)2 23 y2 (1) do 7(x–2004)2 0 23 y2 0 y2 23 y {0,2,3,4} Mặt khác 7 là số NT 13 y2 7 vậy y = 3 hoặc y = 4 thay vào (1) suy ra : x= 2005 ,y =4 hoặc x = 2003, y = 4 x 1 1 c) Ta có xy + 3x - y = 6 ( x – 1)( y + 3) = 3 hoặc y 3 3 x 1 1 y 3 3 x 1 3 x 1 3 hoặc hoặc y 3 1 y 1 1 d)x 2-2y2=1 x2 1 2y2 (x 1)(x 1) 2y2
  17. do VP = 2y2 chia hết cho 2 suy ra x > 2, mặt khác y nguyên tố x 1 2y x 3 x 1 y y 2 Bài 2: a) Tìm các số nguyên thỏa mãn : x – y + 2xy = 7 b) Tìm x, y ¥ biết: 25 y2 8(x 2012)2 HD : a) Từ x – y + 2xy = 7 2x – 2y + 2xy = 7 (2x - 1)( 2y + 1) = 13 b) Từ 25 y2 8(x 2012)2 y2 25 và 25 – y2 chia hết cho 8 , suy ra y = 1 hoặc y = 3 hoặc y = 5 , từ đó tìm x Bài 3 1 1 1 a) Tìm giá trị nguyên dương của x và y, sao cho: x y 5 b) Tìm các số a, b, c nguyên dương thoả mãn : a3 3a2 5 5b và a 3 5 c 1 1 1 x5 HD : a) Từ 5 ( x + y) = xy (*) xy5 x y 5 y5 + Với x chia hết cho 5 , đặt x = 5 q ( q là số tự nhiên khác 0) thay vào (*) suy ra: 5q + y = qy 5q = ( q – 1 ) y . Do q = 1 không thỏa mãn , nên với q khác 1 5q 5 ta có y 5 Z q 1 Ư(5) , từ đó tìm được y, x q 1 q 1 b) a3 3a2 5 5b a2 ( a +3) = 5b – 5 , mà a 3 5c a2. 5c = 5( 5b – 1 – 1) 5b 1 1 a2 Do a, b, c nguyên dương nên c = 1( vì nếu c >1 thì 5 b – 1 - 1 5c 1 không chia hết cho 5 do đó a không là số nguyên.) . Với c = 1 a = 2 và b = 2 Bài 4: T×m c¸c cÆp sè nguyªn tè p, q tho¶ m·n: 2 52 p 2013 52 p q2 2 2 HD : 52 p 2013 52 p q2 2013 q2 25 p 25 p 2013 q2 25 p (25 p 1) Do p nguyên tố nên 2013 q2 252 và 2013 – q2 > 0 từ đó tìm được q Bài 5 : T ìm tất cả các số nguyên dương n sao cho: 2n 1 chia hết cho 7 HD : Với n < 3 thì 2n không chia hết cho 7 Với n 3 khi đó n = 3k hoặc n = 3k + 1 hoặc n = 3k + 2 ( k N * ) Xét n = 3k , khi đó 2n -1 = 23k – 1 = 8k – 1 = ( 7 + 1)k -1 = 7.A + 1 -1 = 7.A 7 Xét n = 3k +1 khi đó 2n – 1 = 23k+1 – 1 = 2.83k – 1 = 2.(7A+1) -1 = 7A + 1 không chia hết cho 7 Xét n = 3k+2 khi đó 2n – 1 = 23k +2 -1 = 4.83k – 1 = 4( 7A + 1) – 1 = 7 A + 3 không chia hết cho 7 . Vậy n = 3k với k N * * Tìm x , y để biểu thức có giá trị nguyên, hay chia hết: Bài 1 T×m sè nguyªn m ®Ó: a) Gi¸ trÞ cña biÓu thøc m -1 chia hÕt cho gi¸ trÞ cña biÓu thøc 2m + 1. b) 3m 1 3
  18. HD : a) Cách 1 : Nếu m >1 thì m -1 1 và x là số CP thì 1006 x 1 2012 2009 suy ra 2009 không chia hết cho 1006 x 1 Với x = 1 thay vào không thỏa mãn Với x = 0 thì 2009 :1006 x 1 2009 IV. Hướng dẫn học ở nhà: - Học bài trong vở ghi, xem lại các BT đã chữa. - Sưu tầm các bài toán về tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức. Ngày tháng 11 năm 2017 Tổ trưởng chuyên môn duyệt Lê Thị Xuân
  19. Ngày soạn: /11/2017 Ngày giảng: /11/2017 Tiết 19 + 20 +21 Chuyên đề 5: Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức I. MỤC TIÊU: 1. Kiến thức: Hiểu các đẳng thức a2 + 2.ab + b2 = ( a + b)2 0 với mọi a,b a2 – 2 .ab + b2 = ( a – b)2 0 với mọi a,b A2n 0 với mọi A, - A2n 0 với mọi A A 0,A , A 0,A A B A B ,A, B dấu “ = ” xẩy ra khi A.B 0 A B A B ,A, B dấu “ = ” xẩy ra khi A,B 0 2. Kĩ năng: Vận dụng được các đẳng thức trên để làm bài tập 3. Thái độ Nghiêm túc, tính cẩn thận, linh hoạt và sáng tạo. II. CHUẨN BỊ: GV: Hệ thống câu hỏi, bài tập phù hợp với mục tiêu và vừa sức HS. HS: Ôn tập theo HD của GV. III. TIẾN TRÌNH DẠY HỌC: Hoạt động1: Các kiến thức vận dụng : * a2 + 2.ab + b2 = ( a + b)2 0 với mọi a,b * a2 – 2 .ab + b2 = ( a – b)2 0 với mọi a,b *A2n 0 với mọi A, - A2n 0 với mọi A * A 0,A , A 0,A * A B A B ,A, B dấu “ = ” xẩy ra khi A.B 0 * A B A B ,A, B dấu “ = ” xẩy ra khi A,B 0 Hoạt động 2: Bài tập vận dụng: * Dạng vận dụng đẳng thức : a2 + 2.ab + b2 = ( a + b)2 0 với mọi a,b Và a2 – 2 .ab + b2 = ( a – b)2 0 với mọi a,b Bài 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của các đa thức sau: a) P(x) = 2x2 – 4x + 2012 b) Q(x) = x2 + 100x – 1000
  20. HD : a) P(x) = 2x2 – 4x + 2012 = 2(x2 – 2.x. + 12 ) + 2010 = 2( x – 1)2 + 2010 Do ( x - 1)2 0 với mọi x , nên P(x) 2010 . Vậy Min P(x) = 2010 khi ( x - 1)2 = 0 hay x = 1 b) Q(x) = x2 + 100x – 1000 = ( x + 50)2 – 3500 - 3500 với mọi x Vậy Min Q(x) = -3500 Từ đây ta có bài toán tổng quát : Tìm GTNN của đa thức P(x) = a x2 + bx +c ( a > 0) b b b2 HD: P(x) = a x2 + bx +c = a( x2 + 2.x. + ( )2 ) + ( c - ) 2a 2a 4a b 4ac b2 4ac b2 4ac b2 b = a( x )2 ( ) ,x Vậy Min P(x) = khi x = 2a 4a 4a 4a 2a Bài 2 : Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau: a) A = - a2 + 3a + 4 b) B = 2 x – x2 3 3 9 3 25 HD : a) A = - a2 + 3a + 4 = (a2 2.a. ( )2 ) (4 ) (a )2 2 2 4 2 4 3 25 25 3 Do (a ) 0,a nên A ,a . Vậy Max A = khi a = 2 4 4 2 c) B = 2x x2 (x2 2.x.1 12 ) 1 (x 1)2 1 . Do (x 1) 0,x B 1,x Vậy Max B = 1 khi x = 1 Bài 3 : Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức sau: 2012 a) P = 2012 b) Q = a 2013 x2 4x 2013 a2012 2011 * Dạng vận dụng A2n 0 với mọi A, - A2n 0 với mọi A Bài 1 : Tìm GTNN của biểu thức : a) P = ( x – 2y)2 + ( y – 2012)2012 b) Q = ( x + y – 3)4 + ( x – 2y)2 + 2012 HD : a) do (x 2y)2 0,x, y và (y 2012)2012 0,y suy ra : P 0 với mọi x,y x 2y 0 x 4024 Min P = 0 khi y 2012 0 y 2012 b) Ta có (x y 3)4 0.x, y và (x 2y)2 0.x, y suy ra : Q 2012 với mọi x,y (x y 3)2 0 x 2 Min Q = 2012 khi 2 (x 2y) 0 y 1 2013 Bài 3 : Tìm GTLN của R = 4 (x 2)2 (x y) 3 3 x 2 Bài 4 : Cho phân số: C (x Z) 4 x 5 a) Tìm x Z để C đạt giá trị lớn nhất, tìm giá trị lớn nhất đó. b) Tìm x Z để C là số tự nhiên.
  21. 3 x 2 3 4.(3 x 2) 3 12 x 8 3 23 HD : C . . .(1 ) 4 x 5 4 3.(4 x 5) 4 12 x 15 4 12 x 15 23 C lớn nhất khi lớn nhất 12 x 15 nhỏ nhất và 12 x 15 0 12 x 15 x 2 3 23 8 Vậy Max C = (1 ) khi x = 2 4 9 3 7n 8 Bài 5 : T×m sè tù nhiªn n ®Ó ph©n sè cã gi¸ trÞ lín nhÊt 2n 3 7n 8 7 2(7n 8) 7 14n 16 7 5 HD : Ta có . . (1 ) 2n 3 2 7(2n 3) 2 14n 21 2 14n 21 7n 8 5 Để lớn nhất thì lớn nhất 14n 21 0 và 14n – 21 có giá trị 2n 3 14n 21 21 3 nhỏ nhất n và n nhỏ nhất n = 2 14 2 * Dạng vận dụng A 0,A , A 0,A A B A B ,A, B dấu “ = ” xẩy ra khi A.B 0 A B A B ,A, B dấu “ = ” xẩy ra khi A,B 0 Bài 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức a) A = ( x – 2)2 + y x + 3 b) B = 2011 2012 x 2010 HD: a) ta có (x 2)2 0 với mọi x và y x 0 với mọi x,y A 3 với mọi x,y 2 (x 2) 0 x 2 Suy ra A nhỏ nhất = 3 khi y x 0 y 2 b) Ta có x 2010 0 với mọi x 2012 x 2010 2012 với mọi x 2011 2011 B B với mọi x, suy ra Min B = khi x = 2010 2012 2012 Bài 2 : Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức a) A x 2011 x 2012 b) B x 2010 x 2011 x 2012 c) C = x 1 x 2 x 100 HD : a) Ta có A x 2011 x 2012 = x 2011 2012 x x 2011 2012 x 1 với mọi x A 1 với x . Vậy Min A = 1 Khi (x 2011)(2012 x) 0 2011 x 2012 b) ta có B x 2010 x 2011 x 2012 ( x 2010 2012 x ) x 2011 Do x 2010 2012 x x 2010 2012 x 2 với mọi x (1) Và x 2011 0 với mọi x (2)
  22. Suy ra B ( x 2010 2012 x ) x 2011 2 . Vậy Min B = 2 khi BĐT (1) (x 2010)(2012 x) 0 và (2) xẩy ra dấu “=” hay x 2011 x 2011 0 c) Ta có x 1 x 2 x 100 = ( x 1 100 x ) ( x 2 99 x ) ( x 50 56 x ) x 1 100 x x 2 99 x x 50 56 x = 99 + 97 + + 1 = 2500 Suy ra C 2050 với mọi x . Vậy Min C = 2500 khi (x 1)(100 x) 0 1 x 100 (x 2)(99 x) 0 2 x 99 50 x 56 (x 50)(56 x) 0 50 x 56 IV. Hướng dẫn học ở nhà: - Học bài trong vở ghi, xem lại các BT đã chữa. - Sưu tầm các bài toán về tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức. Ngày tháng 11 năm 2017 Tổ trưởng chuyên môn duyệt Lê Thị Xuân
  23. Ngày soạn: /11/2017 Ngày giảng: /11/2017 Tiết 22 + 23 +24 Chuyên đề 5: Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức I. MỤC TIÊU: 1. Kiến thức: Hiểu các đẳng thức a2 + 2.ab + b2 = ( a + b)2 0 với mọi a,b a2 – 2 .ab + b2 = ( a – b)2 0 với mọi a,b A2n 0 với mọi A, - A2n 0 với mọi A A 0,A , A 0,A A B A B ,A, B dấu “ = ” xẩy ra khi A.B 0 A B A B ,A, B dấu “ = ” xẩy ra khi A,B 0 2. Kĩ năng: Vận dụng được các đẳng thức trên để làm bài tập 3. Thái độ Nghiêm túc, tính cẩn thận, linh hoạt và sáng tạo. II. CHUẨN BỊ: GV: Hệ thống câu hỏi, bài tập phù hợp với mục tiêu và vừa sức HS. HS: Ôn tập theo HD của GV. III. TIẾN TRÌNH DẠY HỌC: Hoạt động1: Các kiến thức vận dụng : * a2 + 2.ab + b2 = ( a + b)2 0 với mọi a,b * a2 – 2 .ab + b2 = ( a – b)2 0 với mọi a,b *A2n 0 với mọi A, - A2n 0 với mọi A * A 0,A , A 0,A * A B A B ,A, B dấu “ = ” xẩy ra khi A.B 0 * A B A B ,A, B dấu “ = ” xẩy ra khi A,B 0 Hoạt động 2: Bài tập vận dụng:
  24. Bài 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: a) A = 0,5 - x 3,5 ; b) B = 1,4 x 2 ; c) C = 5,5 - 2x 1,5 . Giải a) Ta có: A = 0,5 - x 3,5 0,5, dấu "=" xảy ra x - 3,5 = 0 x = 3,5. Vậy maxA = 0,5 x = 3,5. b) Ta có: B = 1,4 x 2 -2, dấu "=" xảy ra 1,4 - x = 0 x = 1,4. Vậy maxB = -2 x = 1,4. c) Ta có: C = 5,5 - 2x 1,5 5,5, dấu "=" xảy ra 2x-1,5 = 0 2x=1,5 x = 0,75 Vậy maxC = 5,5 x = 0,75. Bài 2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: a) M = 10,2 3x 14 ; b) N = 4 - 5x 2 3y 12 Giải a) Ta có: M = 10,2 3x 14 -14, dấu "=" xảy ra 10,2 - 3x = 0 3x =10,2 x = 3,4 Vậy maxM = -14 x = 3,4. b) Ta có: N = 4 - 5x 2 3y 12 4, dấu "=" xảy ra 5x - 2 = 0 (1) và 3y + 12 = 0 (2). * Từ (1) suy ra 5x = 2 x = 0,4; * Từ (2) suy ra 3y = - 12 y = -4 Vậy maxN = 4 x = 0,4 và y = -4. Bài 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: a) A = 1,7 + 3,4 x ; b) B = x 2,8 3,5 ; c) C = 4,3 x + 3,7 Giải a) Ta có: A = 1,7 + 3,4 x 1,7, dấu "=" xảy ra 3,4 - x = 0 x = 3,4 Vậy minA = 1,7 x = 3,4. b) Ta có: B = x 2,8 3,5 -3,5, dấu "=" xảy ra x + 2,8 = 0 x = -2,8 Vậy minA = - 3,5 x = - 2,8. c) Ta có: C = 4,3 x + 3,7 3,7, dấu "=" xảy ra 4,3 - x = 0 x = 4,3 Vậy minA = 3,7 x = 4,3. Bài 4. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: a) M = 3x 8,4 14,2 ; b) N = 4x 3 5y 7,5 17,5 ; c) P = x 2012 x 2011 Giải
  25. a) Ta có: M = 3x 8,4 14,2 - 14,2, dấu "=" xảy ra 3x + 8,4 = 0 3x = - 8,4 x = -2,8 Vậy minA = - 14,2 x = - 2,8. b) Ta có: N = 4x 3 5y 7,5 17,5 17,5, dấu "=" xảy ra 4x - 3 = 0 (1) và 5y + 7,5 = 0 (2). * Từ (1) suy ra 4x = 3 x = 3/4; * Từ (2) suy ra 5y = - 7,5 y = - 1,5 Vậy minN = 17,5 x = 3/4 và y = - 1,5. c) Ta có: P = x 2012 x 2011 = x 2012 2011 x x 2012 2011 x 1 Vậy biểu thức P đạt giá trị nhỏ nhất là 1 khi x - 2012 và 2011 - x cùng dấu, nghĩa là: 2011 x 2012 Bài 5: a/Tìm GTNN của A = 2 / 3x – 1 / - 4 Với mọi x ta có / 3x – 1 / 0 => 2 / 3x – 1 / 0 Do đó 2 / 3x - 1 / - 4 - 4 Vậy GTNN của A = -4 tại 3x – 1 = 0 x = 1/3 b/ Tìm GTNN của B= 1,5 + /2 - x / HD: B đạt GTNN bằng 1,5 tại=2 c/ Tìm GTNN của C = /x-3/ HD:Ta có x 0 / x 3/ 0 GTNN 0 Bài 6: a/ Tìm GTLN của B = 10 - 4 / x - 2 / Với mọi x ta có / x – 2 / 0 => - / 4 / x - 2 / 10 Do đó 10- - 4 / x - 2 / 10 Vậy GTLN của B = 10 tại x = 2 b/ Tìm GGLN của B = -/ x+2 / HD: C= - /x+2/ 0 GTLN 0khix 2 c/ Tìm GTLN của C= 1 - /2x-3/ HD: D = 1-/2x-3/ 1 GTLNlla0khix 3/ 2 Bài 7: Tìm GTNN của C = 6 với x là số nguyên / x / 3 - Xét / x / > 3 => C > 0 - Xét / x / / x / = 0;1hoặc 2 => c = -2 ;-3 hoặc -6 Vậy GTNN của C = -6 x = 2 ; -2 . Bài 8 Tìm GTLN của C = x - / x / - Xét x 0 => C = x - x = 0 (1) - Xét x C = x – (- x ) = 2x < 0 (2)
  26. Từ (1) và (2) ta thấy C 0 Vậy GTLN của C = 0 x 0 Bài 9 : Tìm giá trị biểu thức : a/ A = 6 x3 3x 2 2 / x / 4 với x = -2/3 (đs 20/9) b/ B = 2/x/ - 4/y/ với x = ½ và y = - 3 (đs -8 ) Bài 10 : Rút gọn biểu thức : a/ 3 (x - 1 ) – 2 / x + 3 / (đs :x – 9 với x 3 ;5x+ 3 với x GTNN của A = -1 x = 2/3 b/ B = 5 / 1 – 4x / - 1 => GTNN của B = -1 x = 1/4 c/ C = x2 + 3 / y – 2 / - 1 => GTNN của C = -1 x = 0 ; y = 2 d/ D = x + / x / ( xét x > 0 ;c GTNN của D = 0 x 0 Bài 12: Tìm GTLN của các biểu thức : e/ E = 5 - / 2x - 1 / => GTLN của E = 5 x = 1/2 f/ F = 1 => GTLN của F =1/3 x =2 / x 2 / 3 g/ G = x 2 với x là số nguyên / x / HD : Xét 3 TH : * x 2 C 1 * x = 1 C = 1 x 2 2 * x 1 G 1 x x Ta thấy G lớn nhất khi 2 nhỏ nhất . Mà 2 lớn nhất x nhỏ nhất x x tức x = 1 khi đó G = 3 => GTLN của G = 3 x= 3 IV. Hướng dẫn học ở nhà: - Học bài trong vở ghi, xem lại các BT đã chữa. - Sưu tầm các bài toán về tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức. Ngày tháng 11 năm 2017 Tổ trưởng chuyên môn duyệt Lê Thị Xuân
  27. Ngày soạn: /1/2018 Ngày giảng: /1/2018 Tiết 25 + 26 +27 Chuyên đề 5: Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức I. MỤC TIÊU: 1. Kiến thức: Hiểu các đẳng thức a2 + 2.ab + b2 = ( a + b)2 0 với mọi a,b a2 – 2 .ab + b2 = ( a – b)2 0 với mọi a,b A2n 0 với mọi A, - A2n 0 với mọi A A 0,A , A 0,A A B A B ,A, B dấu “ = ” xẩy ra khi A.B 0 A B A B ,A, B dấu “ = ” xẩy ra khi A,B 0 2. Kĩ năng: Vận dụng được các đẳng thức trên để làm bài tập 3. Thái độ Nghiêm túc, tính cẩn thận, linh hoạt và sáng tạo. II. CHUẨN BỊ: GV: Hệ thống câu hỏi, bài tập phù hợp với mục tiêu và vừa sức HS. HS: Ôn tập theo HD của GV. III. TIẾN TRÌNH DẠY HỌC: Hoạt động1: Các kiến thức vận dụng : * a2 + 2.ab + b2 = ( a + b)2 0 với mọi a,b * a2 – 2 .ab + b2 = ( a – b)2 0 với mọi a,b *A2n 0 với mọi A, - A2n 0 với mọi A * A 0,A , A 0,A * A B A B ,A, B dấu “ = ” xẩy ra khi A.B 0 * A B A B ,A, B dấu “ = ” xẩy ra khi A,B 0
  28. Hoạt động 2: Bài tập vận dụng 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Bài 1 a) A = 2(x +1)2 - 5 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức b) B = 3 (2x - 3)2 - 7 a) A = 2(x +1)2 - 5 GV: Lưu ý HS Lũy thừa bậc chẵn của 1 b) B = 3 (2x - 3)2 - 7 tổng hay 1 hiệu đều lớn hơn hoặc bằng 0 Giải với mọi giá trị của x. 1. a) Ta có (x + 1)2 0 2 x 1 2 0 dấu Vậy các biểu thức A, B đạt giá trị nhỏ "=" xảy ra khi và chỉ khi x + 1 = 0 hay x nhất khi nào? Khi đó x bằng bao nhiêu ? = -1.Vậy minA =- 5 khi và chỉ khi x = -1. HS: Làm bài. 2 b) Ta có (2x - 3)2 0 3 2x 3 0 , dấu GV: Theo dõi HD HS làm bài. "=" xảy ra khi và chỉ khi 2x - 3 = 0 hay 2. Với giá trị nguyên nào của x thì các x = 3 . biểu thức sau có giá trị lớn nhất. Tìm giá 2 trị lớn nhất đó: Vậy minB =- 7 khi và chỉ khi x = 3 . a) A = 10 x ; 2 2 x Bài 2: Với giá trị nguyên nào của x thì b) B =15 2x các biểu thức sau có giá trị lớn nhất. Tìm 4 x giá trị lớn nhất đó: a) A = 10 x ; 2 x b) B =15 2x 4 x GV: y/c HS suy nghĩ nêu hướng làm. giải 10 x 8 GV: Nhận xét, bổ sung, thống nhất cách 2. a) Ta có: A = 1 làm. 2 x 2 x 8 - Biến đổi biểu thức về dạng 1 số nguyên Do đó A lớn nhất khi và chỉ khi lớn 2 x cộng với 1 phân số có tử số là 1 hằng số. nhất. - Biểu thức có giá trị lớn nhất khi và chỉ - Xét x > 2 thì 8 0. Phân số 8 có HS giải, GV theo dõi HD HS giải, thống 2 x 2 x nhất kết quả. tử và mẫu đều dương, tử không đổi nên có giá trị lớn nhất khi mẫu nhỏ nhất. Mẫu 2 - x là số nguyên dương nên có giá trị nhỏ nhất khi 2 - x = 1 tức là khi x = 1.
  29. Khi đó 8 = 8 nên A = 9. 2 x Vậy maxA = 9 x = 1 b) Ta có: 15 2x 2(4 x) 7 7 B = 2 4 x 4 x 4 x Do đó B lớn nhất khi và chỉ khi 7 lớn 4 x nhất. - Xét x > 4 thì 7 0. Phân số 7 có 4 x 4 x tử và mẫu đều dương, tử không đổi nên có giá trị lớn nhất khi mẫu nhỏ nhất. Mẫu 4 - x là số nguyên dương nên có giá trị nhỏ nhất khi 4 - x = 1 tức là khi x = 3. Khi đó 7 = 7 nên B = 9. 4 x Vậy maxA = 9 x = 3 Bài 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: Bài 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: a) A = 1,7 + 3,4 x ; a) A = 1,7 + 3,4 x ; b) B = x 2,8 3,5 ; b) B = x 2,8 3,5 ; c) C = 4,3 x + 3,7 c) C = 4,3 x + 3,7 Giải a) Ta có: A = 1,7 + 3,4 x 1,7, dấu "=" xảy ra 3,4 - x = 0 x = 3,4 Vậy minA = 1,7 x = 3,4. b) Ta có: B = x 2,8 3,5 -3,5, dấu "=" xảy ra x + 2,8 = 0 x = -2,8 Vậy minA = - 3,5 x = - 2,8. c) Ta có: C = 4,3 x + 3,7 3,7, dấu "=" xảy ra 4,3 - x = 0 x = 4,3 Vậy minA = 3,7 x = 4,3. Bài 4. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: Bài 4. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: a) M = 3x 8,4 14,2 ; a) M = 3x 8,4 14,2 ; b) N = 4x 3 5y 7,5 17,5 ; b) N = 4x 3 5y 7,5 17,5 ; c) P = x 2012 x 2011 c) P = x 2012 x 2011 Giải
  30. a) Ta có: M = 3x 8,4 14,2 - 14,2, dấu "=" xảy ra 3x + 8,4 = 0 3x = - 8,4 x = -2,8 Vậy minA = - 14,2 x = - 2,8. b) Ta có: N = 4x 3 5y 7,5 17,5 17,5, dấu "=" xảy ra 4x - 3 = 0 (1) và 5y + 7,5 = 0 (2). * Từ (1) suy ra 4x = 3 x = 3/4; * Từ (2) suy ra 5y = - 7,5 y = - 1,5 Vậy minN = 17,5 x = 3/4 và y = - 1,5. c) Ta có: P = x 2012 x 2011 = x 2012 2011 x x 2012 2011 x 1 Vậy biểu thức P đạt giá trị nhỏ nhất là 1 khi x - 2012 và 2011 - x cùng dấu, nghĩa là: 2011 x 2012 Bài 5: a/Tìm GTNN của A = 2 / 3x – 1 / - 4 Bài 5: a/Tìm GTNN của A = 2 / 3x b/ Tìm GTNN của B= 1,5 + /2 - x / – 1 / - 4 c/ Tìm GTNN của C = /x-3/ Với mọi x ta có / 3x – 1 / 0 => 2 / 3x – 1 / 0Do đó 2 / 3x - 1 / - 4 - 4 Vậy GTNN của A = -4 tại 3x – 1 = 0 x = 1/3 b/ Tìm GTNN của B= 1,5 + /2 - x / HD: B đạt GTNN bằng 1,5 tại=2 c/ Tìm GTNN của C = /x-3/ HD:Ta có x 0 / x 3/ 0 GTNN 0 Bài 6: Bài 6: a/ Tìm GTLN của B = 10 - 4 / x - 2 / a/ Tìm GTLN của B = 10 - 4 / x - 2 / b/ Tìm GGLN của B = -/ x+2 / Với mọi x ta có / x – 2 / 0 => - / c/ Tìm GTLN của C= 1 - /2x-3/ 4 / x - 2 / 10 Do đó 10- - 4 / x - 2 / 10 Vậy GTLN của B = 10 tại x = 2 b/ Tìm GGLN của B = -/ x+2 / HD: C= - /x+2/ 0 GTLN 0khix 2 c/ Tìm GTLN của C= 1 - /2x-3/ HD: D = 1-/2x-3/ 1 GTLNlla0khix 3/ 2 IV. Hướng dẫn học ở nhà: - Học bài trong vở ghi, xem lại các BT đã chữa.
  31. - Sưu tầm các bài toán về tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức. Ngày tháng 1 năm 2018 Tổ trưởng chuyên môn duyệt Lê Thị Xuân
  32. Ngày soạn: /1/2018 Ngày giảng: /1/2018 Tiết 31 + 32 +33 Chuyên đề 6: Dạng toán chứng minh chia hết( tiếp) I. MỤC TIÊU: 1. Kiến thức: Hiểu các dấu hiệu chia hết cho 2, 3, 5, 9. Tính chất chia hết của một tổng Chữ số tận cùng của 2n, 3n ,4n, 5n ,6n, 7n, 8n, 9n 2. Kĩ năng: Vận dụng được các đẳng thức trên để làm bài tập 3. Thái độ Nghiêm túc, tính cẩn thận, linh hoạt và sáng tạo. II. CHUẨN BỊ: GV: Hệ thống câu hỏi, bài tập phù hợp với mục tiêu và vừa sức HS. HS: Ôn tập theo HD của GV. III. TIẾN TRÌNH DẠY HỌC: Hoạt động 1: Các kiến thức vận dụng * Dấu hiệu chia hết cho 2, 3, 5, 9 * Chữ số tận cùng của 2n, 3n ,4n, 5n ,6n, 7n, 8n, 9n * Tính chất chia hết của một tổng Hoạt động 2: Bài tập vận dụng: Bài 1 : Chứng minh rằng : Với mọi số nguyên dương n thì : 3n 2 2n 2 3n 2n chia hết cho 10 HD: ta có 3n 2 2n 2 3n 2n = 3n 2 3n 2n 2 2n =3n (32 1) 2n (22 1) =3n 10 2n 5 3n 10 2n 1 10 = 10( 3n -2n) Vậy 3n 2 2n 2 3n 2n  10 với mọi n là số nguyên dương. Bài 2 : Chứng tỏ rằng: A = 75. (42004 + 42003 + . . . . . + 42 + 4 + 1) + 25 là số chia hết cho 100 HD: A = 75. (42004 + 42003 + . . . . . + 42 + 4 + 1) + 25 = 75.( 42005 – 1) : 3 + 25 = 25( 42005 – 1 + 1) = 25. 42005 chia hết cho 100 p m n Bài 3 : Cho m, n N* và p là số nguyên tố thoả mãn: = (1) m 1 p Chứng minh rằng : p2 = n + 2 HD : + Nếu m + n chia hết cho p p(m 1) do p là số nguyên tố và m, n N* m = 2 hoặc m = p +1 khi đó từ (1) ta có p2 = n + 2 + Nếu m + n không chia hết cho p , từ ( 1) (m + n)(m – 1) = p2 Do p là số nguyên tố và m, n N* m – 1 = p2 và m + n =1 m = p2 +1 và n = - p2 < 0 (loại)
  33. Vậy p2 = n + 2 Bài 4: a) Sè A 101998 4 cã chia hÕt cho 3 kh«ng ? Cã chia hÕt cho 9 kh«ng ? b) Chøng minh r»ng: A 3638 4133 chia hÕt cho 7 HD: a) Ta có 101998 = ( 9 + 1)1998 = 9.k + 1 ( k là số tự nhiên khác không) 4 = 3.1 + 1 Suy ra : A 101998 4 = ( 9.k + 1) – ( 3.1+1) = 9k -3 chia hết cho 3 , không chia hết cho 9 b) Ta có 3638 = (362)19 = 129619 = ( 7.185 + 1) 19 = 7.k + 1 ( k N*) 4133 = ( 7.6 – 1)33 = 7.q – 1 ( q N*) Suy ra : A 3638 4133 = 7k + 1 + 7q – 1 = 7( k + q) 7 Bài 5 : a) Chứng minh rằng: 3n 2 2n 4 3n 2n chia hết cho 30 với mọi n nguyên dương b) Chứng minh rằng: 2a - 5b + 6c  17 nếu a - 11b + 3c  17 (a, b, c Z) Bài 6 : a) Chứng minh rằng: 3a 2b 17 10a b 17 (a, b Z ) b) Cho đa thức f (x) ax2 bx c (a, b, c nguyên). CMR nếu f(x) chia hết cho 3 với mọi giá trị của x thì a, b, c đều chia hết cho 3 HD a) ta có 17a – 34 b 17 và 3a + 2b 17 17a 34b 3a 2b17 2(10a 16b)17 10a 16b17 vì (2, 7) = 1 10a 17b 16b17 10a b17 b) Ta có f(0) = c do f(0) 3 c3 f(1) - f(-1) = (a + b + c) - ( a – b + c) = 2b , do f(1) và f(-1) chia hết cho 3 2b3 b3 vì ( 2, 3) = 1 f(1) 3 a b c3 do b và c chia hết cho 3 a3 Vậy a, b, c đều chia hết cho 3 102006 53 Bài 7 : a) Chøng minh r»ng lµ mét sè tù nhiên 9 b) Cho 2n 1 lµ sè nguyªn tè (n > 2). Chøng minh 2n 1 lµ hîp sè HD : b) ta có (2n +1)( 2n – 1) = 22n -1 = 4n -1 (1) .Do 4n- 1 chia hêt cho 3 và 2n 1 lµ sè nguyªn tè (n > 2) suy ra 2n -1 chia hết cho 3 hay 2n -1 là hợp số Bài 8: Tìm số dư khi chia 2100 a)cho 9, b) cho 25, c) cho 125 Giải a) Luỹ thừa của 2 sát với bội của 9 là 23 = 8 = 9 - 1 Ta có : 2100 = 2. (23)33 = 2.(9 - 1)33 = 2.[B(9) - 1] = B(9) - 2 = B(9) + 7 Vậy: 2100 chia cho 9 thì dư 7
  34. b) Tương tự ta có: 2100 = (210)10 = 102410 = [B(25) - 1]10 = B(25) + 1 Vậy: 2100 chia chop 25 thì dư 1 c)Sử dụng công thức Niutơn: 50.49 100 50 50 49 2 2 = (5 - 1) = (5 - 5. 5 + + 2 . 5 - 50 . 5 ) + 1 Không kể phần hệ số của khai triển Niutơn thì 48 số hạng đầu đã chứa thừa số 5 với số mũ lớn hơn hoặc bằng 3 nên đều chia hết cho 53 = 125, hai số hạng tiếp 50.49 theo: 2 . 52 - 50.5 cũng chia hết cho 125 , số hạng cuối cùng là 1 Vậy: 2100 = B(125) + 1 nên chia cho 125 thì dư 1 Bài 9: Viết số 19951995 thành tổng của các số tự nhiên . Tổng các lập phương đó chia cho 6 thì dư bao nhiêu? Giải 1995 Đặt 1995 = a = a1 + a2 + + an. S a 3 a 3 + a 3 + + a 3 a 3 a 3 + a 3 + + a 3 Gọi 1 2 3 n = 1 2 3 n + a - a 3 3 3 = (a1 - a1) + (a2 - a2) + + (an - an) + a Mỗi dấu ngoặc đều chia hết cho 6 vì mỗi dấu ngoặc là tích của ba số tự nhiên liên tiếp. Chỉ cần tìm số dư khi chia a cho 6 1995 là số lẻ chia hết cho 3, nên a củng là số lẻ chia hết cho 3, do đó chia cho 6 dư 3 Bài 10: Tìm ba chữ số tận cùng của 2100 viết trong hệ thập phân giải Tìm 3 chữ số tận cùng là tìm số dư của phép chia 2100 cho 1000 Trước hết ta tìm số dư của phép chia 2100 cho 125 Vận dụng bài 1 ta có 2100 = B(125) + 1 mà 2100 là số chẵn nên 3 chữ số tận cùng của nó chỉ có thể là 126, 376, 626 hoặc 876 Hiển nhiên 2100 chia hết cho 8 vì 2100 = 1625 chi hết cho 8 nên ba chữ số tận cùng của nó chia hết cho 8 trong các số 126, 376, 626 hoặc 876 chỉ có 376 chia hết cho 8 Vậy: 2100 viết trong hệ thập phân có ba chữ số tận cùng là 376
  35. Tổng quát: Nếu n là số chẵn không chia hết cho 5 thì 3 chữ số tận cùng của nó là 376 Bài 11: Tìm số dư trong phép chia các số sau cho 7 a) 2222 + 5555 b)31993 1930 c) 19921993 + 19941995 d)32 Giải a) ta có: 2222 + 5555 = (21 + 1)22 + (56 – 1)55 = (BS 7 +1)22 + (BS 7 – 1)55 = BS 7 + 1 + BS 7 - 1 = BS 7 nên 2222 + 5555 chia 7 dư 0 b) Luỹ thừa của 3 sát với bội của 7 là 33 = BS 7 – 1 Ta thấy 1993 = BS 6 + 1 = 6k + 1, do đó: 1993 6k + 1 3 2k 2k 3 = 3 = 3.(3 ) = 3(BS 7 – 1) = 3(BS 7 + 1) = BS 7 + 3 c) Ta thấy 1995 chia hết cho 7, do đó: 19921993 + 19941995 = (BS 7 – 3)1993 + (BS 7 – 1)1995 = BS 7 – 31993 + BS 7 – 1 Theo câu b ta có 31993 = BS 7 + 3 nên 19921993 + 19941995 = BS 7 – (BS 7 + 3) – 1 = BS 7 – 4 nên chia cho 7 thì dư 3 1930 d) 32 = 32860 = 33k + 1 = 3.33k = 3(BS 7 – 1) = BS 7 – 3 nên chia cho 7 thì dư 4 Bài tập về nhà Tìm số d ư khi: a) 21994 cho 7 b) 31998 + 51998 cho 13 c) A = 13 + 23 + 33 + + 993 chia cho B = 1 + 2 + 3 + + 99 IV. Hướng dẫn học ở nhà: - Học bài trong vở ghi, xem lại các BT đã chữa. - Sưu tầm các bài toán về tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức. Ngày tháng 1 năm 2018 Tổ trưởng chuyên môn duyệt Lê Thị Xuân
  36. Chuyên đề 7 : Bất đẳng thức 1.Kiến thức vận dụng * Kỹ thuật làm trội : Nếu a 1 0 . Chứng tỏ rằng: M không là số nguyên. a b b c c a a b c a b c a b c HD : Ta có M 1 a b b c c a a b c c a b a b c a b c M 1 a b c (a b) b (b c) c (c a) a Mặt khác M a b b c c a a b b c c a b c a 3 ( ) = 3 – N Do N >1 nên M < 2 a b b c c a Vậy 1 < M < 2 nên M không là số nguyên Bài 2 Chứng minh rằng : a b 2 ab (1) , a b c 33 abc (2) với a, b, c 0 HD : a b 2 ab (a b)2 4ab a2 2ab b2 4ab a2 2ab b2 0 (a b)2 0 (*) Do (*) đúng với mọi a,b nên (1) đúng Bài 3 : Với a, b, c là các số dương . Chứng minh rằng 1 1 1 1 1 a) (a b)( ) 4 (1) b) (a b c)( ) 9 (2) a b a b c 1 1 HD : a) Cách 1 : Từ (a b)( ) 4 (a b)2 4ab (a b)2 0 (*) a b Do (*) đúng suy ra (1) đúng 1 1 2 1 1 2 Cách 2: Ta có a b 2 ab và (a b)( ) 2 ab. 4 a b ab a b ab
  37. Dấu “ =” xẩy ra khi a = b b) Ta có : 1 1 1 b c a c a b a b b c a c (a b c)( ) 3 3 ( ) ( ) ( ) a b c a b c b a c b c a a b b c a c Lại có 2; 2; 2 b a c b c a 1 1 1 Suy ra (a b c)( ) 3 2 2 2 9 Dấu “ = ” xẩy ra khi a = b = c a b c Bài 4 : a) Cho z, y, z là các số dương. x y z 3 Chứng minh rằng: 2x y z 2y z x 2z x y 4 b) Cho a, b, c thoả mãn: a + b + c = 0. Chứng minh rằng: ab bc ca 0 . HD : b) Tính ( a + b + c)2 từ cm được ab bc ca 0
  38. Chuyên đề 8 : Các bài toán về đa thức một ẩn Bài 1 : Cho đa thức P(x) = a x3 + bx2 + cx + d ( a khác 0) Biết P(1) = 100 , P( -1) = 50 , P(0) = 1 , P( 2) = 120 . Tính P(3) HD : ta có P(1) = 100 a + b + c + d = 100 P(-1) = 50 - a + b – c + d = 50 P( 0) = 1 d = 1 P(2) = 8a + 4b + c + d = 120 Từ đó tìm được c, d, và a và XĐ được P(x) Bài 2 : Cho f (x) ax2 bx c với a, b, c là các số hữu tỉ. Chứng tỏ rằng: f ( 2). f (3) 0 . Biết rằng 13a b 2c 0 HD : f( -2) = 4a – 2b + c và f(3) = 9a + 3b + c f(-2).f(3) =(4a – 2b + c)( 9a + 3b + c) Nhận thấy ( 4a – 2b + c) + ( 9a + 3b + c) = 13a + b + 2c = 0 ( 4a – 2b + c ) = - ( 9a + 3b + c) Vậy f(-2).f(3) = - ( 4a – 2b + c).( 4a – 2b + c) = - ( 4a -2b + c)2 0 Bài 3 Cho đa thức f (x) ax2 bx c với a, b, c là các số thực. Biết rằng f(0); f(1); f(2) có giá trị nguyên. Chứng minh rằng 2a, 2b có giá trị nguyên. HD : f(0) = c , f(1) = a + b + c , f(2) = 4a + 2b + c Do f(0) ,f(1), f(2) nguyên c , a + b + c và 4a + 2b + c nguên a + b và 4a + 2b = 2 (a + b) + 2a = 4( a + b) -2b ngyên 2a , 2b nguyên Bài 4 Chứng minh rằng: f(x) ax3 bx2 cx d có giá trị nguyên với mọi x nguyên khi và chỉ khi 6a, 2b, a + b + c và d là số nguyên HD : f(0) = d , f(1) = a + b + c + d , f(2) = 8a +4 b + c + d Nếu f(x) có giá trị nguyên với mọi x d , a + b + c + d, 8a +4b + c + d là các số nguyên . Do d nguyên a + b + c nguyên và (a + b + c + d) + (a + b +c +) +2b nguyên 2b nguyên 6a nguyên . Chiều ngược lại cm tương tự. Bài 5 : Tìm tổng các hệ số của đa thức nhận được sau khi bỏ dấu ngoặc trong biểu thức: A(x) = (3 4x x2 )2004. (3 4x x2 )2005 2 4018 HD : Giả sử A( x) = ao + a1x + a2x + + a4018x Khi đó A(1) = ao + a1 +a2 + .+ a4018 do A(1) = 0 nên ao + a1 +a2 + .+ a4018 = 0 Bài 6 : Cho x = 2011. Tính giá trị của biểu thức: x2011 2012x2010 2012x2009 2012x2008 2012x2 2012x 1 HD : Đặt A = x2011 2012x2010 2012x2009 2012x2008 2012x2 2012x 1 x2010 (x 2011) x2009 (x 2011) x2008 (x 2011) x(x 2011) x 1 tại x = 2012 thì A = 2011
  39. Chuyên đề 9 Các bài toán thực tế 1. Kiến thức vận dụng - Tính chất đại lượng tỉ lệ thuận : Đại lượng y tỉ lệ thuận với đại lượng x khi và chỉ khi : y y y y y = k.x 1 2 3 n k ( k là hệ số tỉ lệ ) x1 x2 x3 xn - Tính chất đại lượng tỉ lệ nghịch : Đại lượng y và đại lượng x được gọi là hai đại lượng tỉ lệ nghịch khi : x.y = a x1.y1 x2.y2 x3.y3 xn .yn a ( a là hệ số tỉ lệ ) - Tính chất dãy tỉ số bằng nhau. 2. Bài tập vận dụng *Phương pháp giải : - Đọc kỹ đề bài , từ đó xác định các đại lượng trong bài toán - Chỉ ra các đại lượng đã biết , đại lượng cần tìm - Chỉ rõ mối quan hệ giữa các đại lượng ( tỉ lệ thuận hay tỉ lệ nghịch) - Áp dụng tính chất về đại lượng tỉ lệ và tính chất dãy tỉ số bằng nhau để giải Bài 1 : Một vật chuyển động trên các cạnh hình vuông. Trên hai cạnh đầu vật chuyển động với vận tốc 5m/s, trên cạnh thứ ba với vận tốc 4m/s, trên cạnh thứ tư với vận tốc 3m/s. Hỏi độ dài cạnh hình vuông biết rằng tổng thời gian vật chuyển động trên bốn cạnh là 59 giây Bài 2 : Ba lớp 7A,7B,7C có 94 học sinh tham gia trồng cây. Mỗi học sinh lớp 7A trồng được 3 cây, Mỗi học sinh lớp 7B trồng được 4 cây, Mỗi học sinh lớp 7C trồng được 5 cây,. Hỏi mỗi lớp có bao nhiêu học sinh. Biết rằng số cây mỗi lớp trồng được đều như nhau. Bài 3 : Một ô tô phải đi từ A đến B trong thời gian dự định. Sau khi đi được nửa quãng đường ô tô tăng vận tốc lên 20 % do đó đến B sớm hơn dự định 10 phút. Tính thời gian ô tô đi từ A đến B. Bài 4 : Trên quãng đường AB dài 31,5 km. An đi từ A đến B, Bình đi từ B đến A. Vận tốc An so với Bình là 2: 3. Đến lúc gặp nhau, thời gian An đi so với Bình đi là 3: 4. Tính quãng đường mỗi người đi tới lúc gặp nhau ? Bài 5 : Ba đội công nhân làm 3 công việc có khối lượng như nhau. Thời gian hoàn thành công việc của đội І, ІІ, ІІІ lần lượt là 3, 5, 6 ngày. Biêt đội ІІ nhiều hơn đội ІІІ là 2 người và năng suất của mỗi công nhân là bằng nhau. Hỏi mỗi đội có bao nhiêu công nhân ? Bài 6 : Ba ô tô cùng khởi hành đi từ A về phía B . Vận tốc ô tô thứ nhất kém ô tô thứ hai là 3 Km/h . Biết thơi gian ô tô thứ nhất, thứ hai và thứ ba đi hết quãng đường AB lần lượt là : 40 phút, 5 giờ , 5 giờ . Tính vận tốc mỗi ô tô ? 8 9 PHẦN HÌNH HỌC I. Một số phương pháp chứng minh hình hoc 1.Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau: P2 : - Chứng minh hai tam giác bằng nhau chứa hai đoạn thẳng đó
  40. - Chứng minh hai đoạn thẳng đó là hai cạnh bên của một tam giác cân - Dựa vào tính chất đường trung tuyến, đường trung trực của đoạn thẳng - Dựa vào định lí Py-ta- go để tính độ dài đoạn thẳng 2.Chứng minh hai góc bằng nhau: P2 : - Chứng minh hai tam giác bằng nhau chứa hai góc đó - Chứng minh hai góc đó là hai góc ở đáy của một tam giác cân - Chứng minh hai đường thẳng song song mà hai góc đó là cặp góc so le trong ,đồng vị - Dựa vào tính chất đường phân giác của tam giác 3. Chứng minh ba điểm thẳng hàng: P2 : - Dựa vào số đo của góc bẹt ( Hai tia đối nhau) - Hai đường thẳng cùng vuông góc với đường thẳng thứ 3 tại một điểm - Hai đường thẳng đi qua một điểm và song song với đường thẳng thứ 3 - Dựa vào tính chất 3 đường trung tuyến, phân giác, trung trực, đường cao 4. Chứng minh hai đường thẳng vuông góc P2 : - Tính chất của tam giác vuông, định lí Py – ta – go đảo - Qua hệ giữa đường thẳng song song và đường thẳng vuông góc - Tính chất 3 đường trung trực, ba đường cao 5 . Chứng minh 3 đường thẳng đồng quy( đi qua một điểm ) P2 : - Dựa vào tính chất của các đường trong tam giác 6. So sánh hai đoạn thẳng, hai góc : P2 : - Gắn hai đoạn thẳng , hai góc vào một tam giác từ đó vận định lí về quan hệ giữa cạnh và góc đối diện trong một tam giác , BĐT tam giác - Dựa vào định lí về quan hệ giữa đường xiên và hình chiếu, đường xiên và đường vuông góc . II. Bài tập vận dụng Bài 1 : Cho tam giác ABC có Â < 900. Vẽ ra phía ngoài tam giác đó hai đoạn D thẳng AD vuông góc và bằng AB; AE E vuông góc và bằng AC. Chứng minh: DC 1 = BE và DC  BE A HD: Phân tích tìm hướng giải *Để CM DC = BE cần CM ∆ABE = ∆ 1 ADC ( c.g.c) I 2 Có : AB = AD, AC = AE (gt) K Cần CM : D· AC B· AE 1 Có : B· AE 900 B· AC D· AC B * Gọi I là giao điểm của AB và CD Để CM : DC  BE cần CM Iµ Bµ 900 2 1 C
  41. µ µ µ ¶ 0 Có I1 I2 ( Hai góc đối đỉnh) và I1 D1 90 µ ¶ Cần CM B1 D1 ( vì ∆ABE = ∆ ADC) Lời giải a) Ta có B· AE 900 B· AC D· AC D· AC B· AE , mặt khác AB = AD, AC = AE (gt) Suy ra ∆ABE = ∆ ADC(c.g.c) DC = BE b) Gọi I là giao điểm của AB và CD µ µ µ ¶ 0 µ ¶ Ta có I1 I2 ( Hai góc đối đỉnh) , I1 D1 90 ( ∆ ADI vuông tại A) và B1 D1 ( vì µ µ 0 ∆ABE = ∆ ADC) I2 B1 90 DC  BC *Khai thác bài 1: Từ bài 1 ta thấy : DC = BE vµ DC  BE khi ∆ABD và ∆ ACE vuông cân, vậy nếu có ∆ABD và ∆ ACE vuông cân , Từ B kẻ BK  CD tại D thì ba điểm E, K, B thẳng hàng Ta có bài toán 1.2 Bài 1. 1: Cho tam gi¸c ABC cã ¢ < 900. VÏ ra phÝa ngoµi tam gi¸c ®ã hai ®o¹n th¼ng AD vu«ng gãc vµ b»ng AB; AE vu«ng gãc vµ b»ng AC . Từ B kẻ BK  CD tại K Chứng minh rằng ba điểm E, K, B thẳng hàng HD : Từ bài 1 chứng minh được DC  BE mà BK  CD tại K suy ra ba điểm E, K, B thẳng hàng *Khai thác bài 1.1 Từ bài 1.1 nếu gọi M là trung điểm của DE kẻ tia M A thì MA  BC từ đó ta có bài toán 1.2 Bài 1.2: Cho tam gi¸c ABC cã ¢ < 900. VÏ ra phÝa ngoµi tam gi¸c ®ã hai ®o¹n th¼ng AD vu«ng gãc vµ b»ng AB; AE vu«ng gãc vµ b»ng AC . Gọi M là trung điểm của DE kẻ tia M A . Chứng minh rằng : MA  BC Phân tích tìm hướng giải HD: Gọi H là giao điểm của tia MA và BC Để CM MA  BC ta cần CM ∆AHC vuông tại H Để CM ∆AHC vuông tại H ta cần tạo ra 1 tam giác vuông bằng ∆AHC N Trên tia AM lấy điểm N sao cho AM = MN 1 D Kẻ DQ  AM tại Q M Cần CM ∆AHC = ∆DQN (g.c.g) E  Q ¶ · · · 1 A CM: ND = AC , N1 ACB , BAC ADN  CM : ∆ABC = ∆DNA ( c.g.c)  Có AD = AB (gt) Cần CM : ND = AE ( = AC) và B B· AC ·ADN H C
  42. + Để CM ND = AE  CM : ∆MDN = ∆MEA (c.g.c) + Để CM B· AC ·ADN  E· AD ·ADN 1800 vìE· AD B· AC 1800  CM AE // DN (∆MDN = ∆MEA) Lời giải Gọi H là giao điểm của tia MA và BC , Trên tia AM lấy điểm N sao cho AM = MN kẻ DQ  AM tại Q Ta có ∆MDN = ∆MEA ( c.g.c) vì : AM = MN ; MD = ME (gt) và E· MA D· MN ( hai góc đối đỉnh) ¶ · DN = AE ( = AC) và AE // DN vì N1 MAE ( cặp góc so le trong ) E· AD ·ADN 1800 ( cặp góc trong cùng phía) mà E· AD B· AC 1800 B· AC ·ADN Xét ∆ABC và ∆DNA có : AB = AD (gt) , AC = DN và B· AC ·ADN ( chứng ¶ · minh trên ) ∆ABC = ∆DNA (c.g.c) N1 ACB · · ¶ · Xét ∆AHC và ∆DQN có : AC = DN , BAC ADN và N1 ACB ∆AHC = ∆DQN (g.c.g) ∆AHC vuông tại H hay MA BC * Khai thác bài toán 1.3 + Từ bài 1.2 ta thấy với M là trung điểm của DE thì tia MA  BC , ngược lại nếu AH  BC tại H thì tia HA sẽ đi qua trung điểm M của DE , ta có bài toán 1.4 Bài 1.3 : Cho tam gi¸c ABC cã ¢ < 900. VÏ ra phÝa ngoµi tam gi¸c ®ã hai ®o¹n th¼ng AD vu«ng gãc vµ b»ng AB; AE vu«ng gãc vµ b»ng AC . Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ A đến BC . Chứng minh rằng tia HA đi qua trung điểm của đoạn thẳng DE HD : Từ bài 1.2 ta có định hướng giải như sau: Kẻ DQ  AM tại Q, ER  AM tại R . Ta có : + D· AQ H· BH ( Cùng phụ R · D BAH ) 1 M AD = AB (gt) ∆AHB = ∆DQA ( Cạnh E 2 huyền – góc nhọn) Q DQ = AH (1) 1 A +·ACH E· AR ( cùng phụ C· AH ) AC = AE (gt) ∆AHB = ∆DQA ( Cạnh huyền – góc nhọn) ER = AH ( 1) . Từ (1) và (2) ER = DQ B Lại có M¶ M¶ ( hai góc đối đỉnh ) 1 2 H C
  43. ∆QDM = ∆REM ( g.c.g) MD = ME hay M là trung điểm của DE + Từ bài 1.3 ta thấy với M là trung điểm của DE thì tia MA  DE , ngược lại nếu H là trung điểm của BC thì tia KA sẽ vuông góc với DE, ta có bài toán 1.4 Bài 1.4: Cho tam giác ABC có Â < 900. Vẽ ra phía ngoài tam giác đó hai đoạn thẳng AD vuông góc và bằng AB; AE vuông góc và bằng AC . Gọi H trung điểm của BC . Chứng minh rằng tia HA vuông góc với DE HD : Từ bài 1.3 ta dễ dạng giải bài toán 1.4 Trên tia AH lấy điểm A’ sao cho AH = HA’ Dễ CM được ∆AHC = ∆A’HB ( g.c.g) D A’B = AC ( = AE) và H· AC H· A' B M AC // A’B B· AC ·ABA' 1800 ( cặp góc E trong cùng phía) A Mà D· AE B· AC 1800 D· AE ·ABA' Xét ∆DAE và ∆ABA’ có : AE = A’B , AD = AB (gt) D· AE ·ABA' ∆DAE = ∆ABA’(c.g.c) · · ADE BAA ' mà B ·ADE B· AA ' 900 ·ADE M· DA 900 Suy ra HA vuông góc với DE H C Bài 2 : Cho tam giác cân ABC (AB = AC). Trên cạnh BC lấy điểm D, trên tia đối của tia CB lấy điểm E sao cho BD = CE. Các đường thẳng vuông góc với BC kẻ từ D và E cắt A' AB, AC lần lượt ở M, N. Chứng minh rằng: a) DM = EN b) Đường thẳng BC cắt MN tại trung điểm I của MN. c) Đường thẳng vuông góc với MN tại I luôn đi qua một điểm cố định khi D thay đổi trên cạnh BC * Phân tích tìm lời giải a) Để cm DM = EN  A Cm ∆BDM = ∆CEN ( g.c.g)  Có BD = CE (gt) , Dµ Eµ 900 ( MD, NE BC) B· CA C· BA ( ∆ABC cân tại A) M b) Để Cm Đường thẳng BC cắt MN tại trung I C B điểm I của MN Cần cm IM = IN E D H  N O
  44. Cm ∆MDI = ∆NEI ( g.c.g) c) Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ A xuống BC , O là giao điểm của AH với đường thẳng vuông góc với MN kẻ từ I Cần cm O là điểm cố định Để cm O là điểm cố định  Cần cm OC  AC  Cần cm O· AC O· CN 900  Cần cm : O· BA O· CA và O· BM O· CM  Cần cm ∆OBM = ∆OCN ( c.c.c) và ∆OAB = ∆OAC (c.g.c) *Khai thác bài 2 Từ bài 2 ta thấy BM = CN , vậy ta có thể phát biểu lại bài toán như sau: Bài 2.1 Cho tam gi¸c c©n ABC (AB = AC). Trªn c¹nh AB lÊy ®iÓm M, trªn tia AC lÊy ®iÓm N sao cho BM = CN . Đường thẳng BC cắt MN tại I . Chøng minh r»ng: a) I là trung điểm của MN b) §­êng th¼ng vu«ng gãc víi MN t¹i I lu«n ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh khi D thay đổi lời giải: A Từ lời giải bài 2 để giải bài 2.1 ta cần kẻ 1 MD BC ( D BC) D NE  BC ( E BC) H B Bài 3 : Cho ∆ABC vuông tại A, K là trung K điểm của cạnh BC . Qua K kẻ đường thẳng C I vuông góc với AK , đường thẳng này cắt các đường thẳng AB và AC lần lượt ở D và E Gọi I là trung điểm của DE . a) Chứng minh rằng : AI  BC b) Có thể nói DE nhỏ hơn BC được không ? E vì sao? *Phân tích tìm lời giải a) Gọi H là giao điểm của BC và AI µ · 0 Để cm AI  BC  Cần cm A1 ACK 90 µ · 0 Để cm A1 ACK 90  Có ·AEK E· AK 900 µ · · · cần cm A1 AEK và ACK CAK  Cần cm ∆AIE cân tại I và ∆AKC cân tại K b) Để so sánh DE với BC cần so sánh IE với CK ( vì 2.IE = DE, 2CK = BC) 
  45. So sánh AI với AK ( vì AI = IE, AK = CK) Có AI AK Lời giải : µ · a)Dễ dàng chứng được ∆AIE cân tại I và ∆AKC cân tại K cần cm A1 AEK · · · · 0 µ · 0 và ACK CAK mà AEK EAK 90 A1 ACK 90 AI  BC b) ta có BC = 2 CK = 2AK ( CK = AK) , DE = 2IE = 2.AI ( AI = IE) Mà AI AK DE BC , DE = BC khi K trùng với I khi đó ∆ABC vuông cân tại A Bài 4: Cho tam giác ABC (AB > AC ) , M là trung điểm của BC. Đường thẳng đi qua M và vuông góc với tia phân giác của góc A tại H cắt hai tia AB, AC lần lượt tại E và F. Chứng minh rằng: A EF 2 a) AH 2 AE 2 4 b) 2B· ME ·ACB Bµ . c) BE = CF lơì giải E 1 Áp dụng định lý Py –ta-go cho tam giác M vuông AFH, ta có: B C HF2 + AH2 = AF2 H Mà AHE = AHF (g-c-g) nên HF = D 1 EF; AF = AE 2 F EF 2 Suy ra: AH 2 AE 2 4 µ µ Tõ AEH AFH Suy ra E1 F XÐt CMF cã ·ACB lµ gãc ngoµi suy ra C· MF ·ACB Fµ µ · µ µ BME cã E1 lµ gãc ngoµi suy ra BME E1 B · · · µ µ µ vËy CMF BME (ACB F) (E1 B) hay 2B· ME ·ACB Bµ (®pcm). µ µ Từ AHE AHF Suy ra AE = AF và E1 F Từ C vẽ CD // AB ( D EF ) => BME CMD(g c g) BE CD (1) µ · · µ Lại có: E1 CDF (cặp góc đồng vị) Do đó CDF F CDF cân CF = CD ( 2) Từ (1) và (2) suy ra BE = CF Bài 5 : Cho tam giác ABC có góc B và góc C là hai góc nhọn .Trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho AD = AB , trên tia đối của tia AC lấy điểm E sao cho AE = AC. a) Chứng minh rằng : BE = CD.
  46. b) Gọi M là trung điểm của BE , N là trung điểm của CB. Chứng minh M,A,N thẳng hàng. c)Ax là tia bất kỳ nằm giữa hai tia AB và AC. Gọi H,K lần lượt là hình chiếu của B và C trên tia Ax . Chứng minh BH + CK BC. d) Xác định vị trí của tia Ax để tổng BH + CK có giá trị lớn nhất. D *Phân tích tìm lời giải E a) Để cm BE = CD  Cần cm ABE = ADC (c.g.c) M A N k b) Để cm M, A, N thẳng hàng. K  Cần cm B· AN B· AM 1800  B I Có B· AN N· AD 1800 Cần cm C M· AB N· AD H Để cm M· AB N· AD  Cần cm ABM = ADN (c.g.c) x c) Gọi là giao điểm của BC và Ax Để cm BH + CK BC  Cần cm BH BI;CK CI Vì BI + IC = BC d) BH + CK có giá trị lớn nhất = BC khi đó K,H trùng với I , do đó Ax vuông góc với BC Bài 6 Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, đường cao AH. ở miền ngoài của tam giác ABC ta vẽ các tam giác vuông cân ABE và ACF đều nhận A làm đỉnh góc vuông. Kẻ EM, FN cùng vuông góc với AH (M, N thuộc AH). a) Chứng minh: EM + HC = NH. N b) Chứng minh: EN // FM. E F *Phân tích tìm lời giải M A a) Để cm EM + HC = NH  Cần cm EM = AH và HC = AN + Để cm EM = AH cần cm ∆AEM =∆BAH ( cạnh huyền – góc nhon) + Để cm HC = AN cần cm ∆AFN B =∆CAH ( cạnh huyền – góc nhon) H C
  47. b) Để cm EN // FM  ·AEF E· FN ( cặp góc so le trong) Gọi I là giao điểm của AN và EF để cm ·AEF E· FN  Cần cm ∆MEI = ∆NFI ( g.c.g) Bài 7 : Cho tam ABC vuông tại A , đường cao AH, trung tuyến AM. Trên tia đối tia MA lấy điểm D sao cho DM = MA. Trên tia đối tia CD lấy điểm I sao cho CI = CA, qua I vẽ đường thẳng song song với AC cắt đường thẳng AH tại E. Chứng minh: AE = BC *Phân tích tìm lời giải Gọi F là giao điểm của BA và IE để Cm AE = BC cần cm : ∆AFE = ∆ CAB Để cm : ∆AFE = ∆ CAB  E Cần cm AF = AC (2); A· FC B· AC 900 (1); E· AF ·ACB (3) + Để cm (1) : A· FC B· AC 900 F  Cm CI // AE vì có FI // AC và B· AC 900 Để Cm CI // AE  A I Cm ∆AMB = ∆ DMC ( c.g.c) + Để cm (2) : AF = AC B M  H C Cm ∆AFI = ∆ ACI ( Cạnh huyền – góc nhọn) + Cm (3) : E· AF ·ACB ( vì D cùng phụ H· AC ) *Khai thác bài toán : Từ bài 7 ta thấy AH AM HE AM + BC = 3AM ( vì AM = MB = MC) Vậy HE lớn nhất = 3AM = 3 BC khi H trùng M khi đó tam giác ABC vuông 2 cân
  48. Bài 8 Cho tam giác ABC có AB < AC. Gọi M là trung điểm của BC, từ M kẻ đường thẳng vuông góc với tia phân giác của góc A, cắt tia này tại N, cắt tia AB tại E và cắt tia AC tại F. Chứng minh rằng: a) AE = AF b) BE = CF AB AC c) AE 2 * Phân tích tìm lời giải a) Để cm AE = AF  A ∆ANE = ∆ ANF ( c. g . c) Hoặc ∆AEF cân tại A ( Có AH vừa là tia phân giác , vừa là F đương cao) B C M b) Để cm BE = CF N cần tạo tam giác chứa BE( hoặc có I 1 cạnh = BE) mà bằng tam giác MCF E + Kẻ BI // AC ∆MBI = ∆CMF( c. g . c) Để cm BE = CF  ∆ BEI cân tại B  Eµ B· EI  Có B· IE ·ABF ( cặp góc đồng vị ) mà Eµ A· FE vì ∆AEF cân tại A c) AB + AC = AB + AF + CF =( AB + FC) + AF mà CF = BC và AE = AF AB AC 2 AE = AB + AC hay AE 2 Bài 9 Cho tam giác ABC có góc A khác 900, góc B và C nhọn, đường cao AH. Vẽ các điểm D, E sao cho AB là trung trực của HD, AC là trung trực của HE. Gọi I, K lần lượt là giao điểm của DE với AB và AC. a) Chứng minh : Tam giác ADE cân tại A b) Tính số đo các góc AIC và A AKB ? K *Phân tich tìm hướng I E D giải - Xét TH góc A < 900 a) Để cm ∆ ADE cân tại A B C H
  49.  cần cm : AD = AH = AE ( Áp dụng t/c đường trung trực) b) Dự đoán CI  IB , BK  KC Do IB, KC tia phân giác góc ngoài của ∆ HIK nên HA là tia phân giác trong. Do ·AHC 900 nên HC là tia phân giác ngoài đỉnh H . Các tia phân giác góc ngoài đỉnh H và K của ∆ HIK cắt nhau ở C nên IC là tia phân giác của góc HIK , do đó IB  IC , Chứng minh tượng tự ta có BK  KC - Xét TH góc A>900 *Khai thác bài toán : Gọi M là điểm bất kỳ thuộc cạnh BC , qua M lấy điểm D’, E’ sao cho AB là trung trực của D’M, AC là trung trực của ME’ . Khi đó ta có ∆ AD’E’ cân tại A và góc DAC có Từ đó ta có bài toán sau: Bài 9.1 Cho tam giác ABC nhọn . Tìm D A điểm M trên cạnh BC sao cho nếu vẽ các E điểm D, E trong đó AB là đường trung trực của MD, AC là đường trung trực của ME thì C B DE có độ dài nhỏ nhất. H M HD . Tự nhận xét bài 9 dễ dàng tìm được vị trí điểm M trên cạnh BC. Bài 10. Cho ∆ ABC với góc A không vuông và E o góc B khác 135 . Gọi M là trung điểm của BC. Về A D phía ngoài ∆ ABC vẽ ∆ ABD vuông cân đáy AB. P Đường thẳng qua A vuông góc với AB và đường thẳng qua C song song với MD cắt nhau tại E. Q Đường thẳng AB cắt CE tại P và DM tại Q . Chứng C minh rằng Q là trung điểm của BP. B M HD. Trên tia đối của tia MQ lấy điểm H H
  50. sao cho MH = MQ - Cm ∆ BMQ = ∆ CMH ( c.g.c) BQ = CH (1) và M· BQ M· CH BQ//CH hay PQ // CH ( vì M· BQ, M· CH là cặp góc so le trong) - Nối PH , cm ∆ PQH = ∆ HCP ( g.c.g) PQ = CH (2) , Do Q nằm giữa B và P dù góc B nhỏ hơn 1350 Từ (1) và (2) Suy ra đpcm. Bài 11. Cho tam giác ABC vuông tại A ( AB > AC) . Tia phân giác góc B cắt AC ở D. Kẻ DH vuông góc với BC. Trên tia AC lấy điểm E sao cho AE = AB . Đường thẳng vuông góc với AE tại E cắt tia DH ở K . Chứng minh rằng : a) BA = BH b) D· BK 450 c) Cho AB = 4 cm, tính chu vi tam giác B I DEK 4 3 1 2 HD : a) Cm ∆ABD = ∆HBD ( cạnh huyền – K H góc nhọn) b) Qua B kẻ đường thẳng vuông góc với A D E EK , cắt EK tại I C Ta có : ·ABI 900 , Cm ∆HBK = ∆IBK ( cạnh huyền – cạnh góc vuông) µ ¶ µ ¶ · 0 B3 B4 mà B1 B2 DBK 45 c)Chu vi tam giác DEK = DE + EK + KD = = 2.4 = 8 cm * Từ bài ta thấy khi D· BK 450 thì chu vi ∆DEK = 2. AB vậy nếu có chu vi ∆DEK = 2 thì ta cũng cm được D· BK 450 .