Chuyên đề bồi dưỡng HSG môn toán 8 – Phần đại số

Nội dung text: Chuyên đề bồi dưỡng HSG môn toán 8 – Phần đại số

1. Các Chuyên đề bồi dưỡng Hsg môn toán 8 – phần đại số CHUYấN ĐỀ 1 CÁC PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ I. CÁC PHƯƠNG PHÁP CƠ BẢN 1. Phương phỏp đặt nhõn tử chung – Tỡm nhõn tử chung là những đơn, đa thức cú mặt trong tất cả cỏc hạng tử. – Phõn tớch mỗi hạng tử thành tớch của nhõn tử chung và một nhõn tử khỏc. –Viết nhõn tử chung ra ngoài dấu ngoặc, viết cỏc nhõn tử cũn lại của mỗi hạng tử vào trong dấu ngoặc (kể cả dấu của chỳng). Vớ dụ 1. Phõn tớch cỏc đa thức sau thành nhõn tử. 28a2b2 21ab2 + 14a2b = 7ab(4ab 3b + 2a) 2x(y – z) + 5y(z –y ) = 2(y z) – 5y(y z) = (y – z)(2 5y) xm + xm + 3 = xm (x3 + 1) = xm( x+ 1)(x2 – x + 1) 2. Phương phỏp dựng hằng đẳng thức Dựng cỏc hằng đẳng thức đỏng nhớ để phõn tớch đa thức thành nhõn tử. Cần chỳ ý đến việc vận dụng hằng đẳng thức. Vớ dụ 2. Phõn tớch cỏc đa thức sau thành nhõn tử. 9x2 – 4 = (3x)2 – 22 = ( 3x– 2)(3x + 2) 8 – 27a3b6 = 23 – (3ab2)3 = (2 – 3ab2)( 4 + 6ab2 + 9a2b4) 25x4 – 10x2y + y2 = (5x2 – y)2 3. Phương phỏp nhúm nhiều hạng tử – Kết hợp cỏc hạng tử thớch hợp thành từng nhúm. – Áp dụng liờn tiếp cỏc phương phỏp đặt nhõn tử chung hoặc dựng hằng đẳng thức. Vớ dụ 3. Phõn tớch cỏc đa thức sau thành nhõn tử 2x3 – 3x2 + 2x – 3 = ( 2x3 + 2x) – (3x2 + 3) = 2x(x2 + 1) – 3( x2 + 1) = ( x2 + 1)( 2x – 3) x2 – 2xy + y2 – 16 = (x – y)2 42 = ( x – y – 4)( x –y + 4) Trang 1
2. Các Chuyên đề bồi dưỡng Hsg môn toán 8 – phần đại số 4. Phối hợp nhiều phương phỏp Chọn cỏc phương phỏp theo thứ tự ưu tiờn. Đặt nhõn tử chung. Dựng hằng đẳng thức. Nhúm nhiều hạng tử. Vớ dụ 4. Phõn tớch cỏc đa thức sau thành nhõn tử 3xy2 – 12xy + 12x = 3x(y2 – 4y + 4) = 3x(y – 2)2 3x3y – 6x2y – 3xy3 – 6axy2 – 3a2xy + 3xy = = 3xy(x2 – 2y – y2 – 2ay – a2 + 1) = 3xy[( x2 – 2x + 1) – (y2 + 2ay + a2)] = 3xy[(x – 1)2 – (y + a)2] = 3xy[(x – 1) – (y + a)][(x – 1) + (y + a)] = 3xy( x –1 – y – a)(x – 1 + y + a) II. PHƯƠNG PHÁP TÁCH MỘT HẠNG TỬ THÀNH NHIỀU HẠNG TỬ 1. Đối với đa thức bậc hai (f(x) = ax2 + bx + c) a) Cỏch 1 (tỏch hạng tử bậc nhất bx): Bước 1: Tỡm tớch ac, rồi phõn tớch ac ra tớch của hai thừa số nguyờn bằng mọi cỏch. a.c = a1.c1 = a2.c2 = a3.c3 = = ai.ci = Bước 2: Chọn hai thừa số cú tổng bằng b, chẳng hạn chọn tớch a.c = ai.ci với b = ai + ci Bước 3: Tỏch bx = aix + cix. Từ đú nhúm hai số hạng thớch hợp để phõn tớch tiếp. Vớ dụ 5. Phõn tớch đa thức f(x) = 3x2 + 8x + 4 thành nhõn tử. Hướng dẫn Phõn tớch ac = 12 = 3.4 = (–3).(–4) = 2.6 = (–2).(–6) = 1.12 = (–1).(–12) Tớch của hai thừa số cú tổng bằng b = 8 là tớch a.c = 2.6 (a.c = ai.ci). Tỏch 8x = 2x + 6x (bx = aix + cix) Trang 2
3. Các Chuyên đề bồi dưỡng Hsg môn toán 8 – phần đại số Lời giải 3x2 + 8x + 4 = 3x2 + 2x + 6x + 4 = (3x2 + 2x) + (6x + 4)= x(3x + 2) + 2(3x + 2) = (x + 2)(3x +2) b) Cỏch 2 (tỏch hạng tử bậc hai ax2) Làm xuất hiện hiệu hai bỡnh phương : f(x) = (4x2 + 8x + 4) – x2 = (2x + 2)2 – x2 = (2x + 2 – x)(2x + 2 + x) = (x + 2)(3x + 2) Tỏch thành 4 số hạng rồi nhúm : f(x) = 4x2 – x2 + 8x + 4 = (4x2 + 8x) – ( x2 – 4) = 4x(x + 2) – (x – 2)(x + 2) = (x + 2)(3x + 2) f(x) = (12x2 + 8x) – (9x2 – 4) = = (x + 2)(3x + 2) c) Cỏch 3 (tỏch hạng tử tự do c) Tỏch thành 4 số hạng rồi nhúm thành hai nhúm: f(x) = 3x2 + 8x + 16 – 12 = (3x2 – 12) + (8x + 16) = = (x + 2)(3x + 2) d) Cỏch 4 (tỏch 2 số hạng, 3 số hạng) f(x) = (3x2 + 12x + 12) – (4x + 8) = 3(x + 2)2 – 4(x + 2) = (x + 2)(3x – 2) f(x) = (x2 + 4x + 4) + (2x2 + 4x) = = (x + 2)(3x + 2) e) Cỏch 5 (nhẩm nghiệm): Xem phần 2. Chỳ ý : Nếu f(x) = ax2 + bx + c cú dạng A2 ± 2AB + c thỡ ta tỏch như sau : f(x) = A2 ± 2AB + B2 – B2 + c = (A ± B)2 – (B2 – c) Vớ dụ 6. Phõn tớch đa thức f(x) = 4x2 4x 3 thành nhõn tử. Hướng dẫn Ta thấy 4x2 4x = (2x)2 2.2x. Từ đú ta cần thờm và bớt 1 2 = 1 để xuất hiện hằng đẳng thức. Lời giải f(x) = (4x2 – 4x + 1) – 4 = (2x – 1)2 – 22 = (2x – 3)(2x + 1) Trang 3
4. Các Chuyên đề bồi dưỡng Hsg môn toán 8 – phần đại số Vớ dụ 7. Phõn tớch đa thức f(x) = 9x2 + 12x – 5 thành nhõn tử. Lời giải Cỏch 1 : f(x) = 9x2 – 3x + 15x – 5 = (9x2 – 3x) + (15x – 5) = 3x(3x –1) + 5(3x – 1) = (3x – 1)(3x + 5) Cỏch 2 : f(x) = (9x2 + 12x + 4) – 9 = (3x + 2)2 – 32 = (3x – 1)(3x + 5) 2. Đối với đa thức bậc từ 3 trở lờn Trước hết, ta chỳ ý đến một định lớ quan trọng sau : Định lớ : Nếu f(x) cú nghiệm x = a thỡ f(a) = 0. Khi đú, f(x) cú một nhõn tử là x – a và f(x) cú thể viết dưới dạng f(x) = (x – a).q(x) Lỳc đú tỏch cỏc số hạng của f(x) thành cỏc nhúm, mỗi nhúm đều chứa nhõn tử là x – a. Cũng cần lưu ý rằng, nghiệm nguyờn của đa thức, nếu cú, phải là một ước của hệ số tự do. n n 1 n 2 Thật vậy, giả sử đa thức an x an 1x an 2 x a1x a0 với an ,an 1, ,a1,a0 nguyờn, cú nghiệm nguyờn x = a. Thế thỡ : n n 1 n 2 n 1 n 2 an x an 1x an 2 x a1x a0 (x a)(bn 1x bn 2 x b1x b0 ) , trong đú bn 1,bn 2 , ,b1,b0 là cỏc số nguyờn. Hạng tử bậc thấp nhất ở vế phải là – ab 0, hạng tử bậc thấp nhất ở vế trỏi là a0. Do đú – ab0 = a0, suy ra a là ước của a0. Vớ dụ 8. Phõn tớch đa thức f(x) = x3 + x2 + 4 thành nhõn tử. Lời giải Lần lượt kiểm tra với x = ± 1, ± 2, 4, ta thấy f(–2) = (–2) 3 + (–2)2 + 4 = 0. Đa thức f(x) cú một nghiệm x = –2, do đú nú chứa một nhõn tử là x + 2. Từ đú, ta tỏch như sau Cỏch 1 : f(x) = x3 + 2x2 – x2 + 4 = (x3 + 2x2) – (x2 – 4) = x2(x + 2) – (x – 2)(x + 2) = (x + 2)(x2 – x + 2). Cỏch 2 : f(x) = (x3 + 8) + (x2 – 4) = (x + 2)(x2 – 2x + 4) + (x – 2)(x + 2) = (x + 2)(x2 – x + 2). Cỏch 3 : f(x) = (x3 + 4x2 + 4x) – (3x2 + 6x) + (2x + 4) = x(x + 2)2 – 3x(x + 2) + 2(x + 2) = (x + 2)(x2 – x + 2). Trang 4
5. Các Chuyên đề bồi dưỡng Hsg môn toán 8 – phần đại số Cỏch 4 : f(x) = (x3 – x2 + 2x) + (2x2 – 2x + 4) = x(x2 – x + 2) + 2(x2 – x + 2) = (x + 2)(x2 – x + 2). Từ định lớ trờn, ta cú cỏc hệ quả sau : Hệ quả 1. Nếu f(x) cú tổng cỏc hệ số bằng 0 thỡ f(x) cú một nghiệm là x = 1. Từ đú f(x) cú một nhõn tử là x – 1. Chẳng hạn, đa thức x 3 – 5x2 + 8x – 4 cú 1 + (–5) + 8 + (–4) = 0 nờn x = 1 là một nghiệm của đa thức. Đa thức cú một nhõn tử là x – 1. Ta phõn tớch như sau : f(x) = (x3 – x2) – (4x2 – 4x) + (4x – 4) = x2(x – 1) – 4x(x – 1) + 4(x – 1) = (x – 1)( x – 2)2 Hệ quả 2. Nếu f(x) cú tổng cỏc hệ số của cỏc luỹ thừa bậc chẵn bằng tổng cỏc hệ số của cỏc luỹ thừa bậc lẻ thỡ f(x) cú một nghiệm x = –1. Từ đú f(x) cú một nhõn tử là x + 1. Chẳng hạn, đa thức x3 – 5x2 + 3x + 9 cú 1 + 3 = –5 + 9 nờn x = –1 là một nghiệm của đa thức. Đa thức cú một nhõn tử là x + 1. Ta phõn tớch như sau : f(x) = (x3 + x2) – (6x2 + 6x) + (9x + 9) = x2(x + 1) – 6x(x + 1) + 9(x + 1) = (x + 1)( x – 3)2 f (1) Hệ quả 3. Nếu f(x) cú nghiệm nguyờn x = a và f(1) và f(–1) khỏc 0 thỡ và a 1 f ( 1) đều là số nguyờn. a 1 Chứng minh Đa thức f(x) cú nghiệm x = a nờn f(x) cú một nhõn tử là x – a. Do đú f(x) cú dạng : f(x) = (x – a).q(x) (1) Thay x = 1 vào (1), ta cú : f(1) = (1 – a).q(1). f (1) Do f(1) ≠ 0 nờn a ≠ 1, suy ra q(1) = . Vỡ cỏc hệ số của f(x) nguyờn nờn cỏc hệ a 1 f (1) số của q(x) cũng nguyờn. Do đú, q(1) là số nguyờn. Vậy là số nguyờn. a 1 f ( 1) Thay x = –1 vào (1) và chứng minh tương tự ta cú là số nguyờn. a 1 Trang 5
6. Các Chuyên đề bồi dưỡng Hsg môn toán 8 – phần đại số Vớ dụ 9. Phõn tớch đa thức f(x) = 4x3 13x2 + 9x 18 thành nhõn tử. Hướng dẫn Cỏc ước của 18 là ± 1, ± 2, ± 3, ± 6, ± 9, ± 18. f(1) = –18, f(–1) = –44, nờn ± 1 khụng phải là nghiệm của f(x). 18 18 18 18 Dễ thấy , , , khụng là số nguyờn nờn –3, ± 6, ± 9, ± 18 3 1 6 1 9 1 18 1 khụng là nghiệm của f(x). Chỉ cũn –2 và 3. Kiểm tra ta thấy 3 là nghiệm của f(x). Do đú, ta tỏch cỏc hạng tử như sau : f(x) 4x3 12x2 x2 3x 6x 18 4x2 (x 3) x(x 3) 6(x 3) = (x – 3)(4x2 – x + 6) n n 1 n 2 Hệ quả 4. Nếu f(x) = an x an 1x an 2 x a1x a0 (với an ,an 1, ,a1,a0 là p cỏc số nguyờn) cú nghiệm hữu tỉ x = , trong đú p, q Z và (p , q)=1, thỡ p là ước a0, q q là ước dương của an . Chứng minh p Ta thấy f(x) cú nghiệm x = nờn nú cú một nhõn tử là (qx – p). Vỡ cỏc hệ số của f(x) q n 1 n 2 đều nguyờn nờn f(x) cú dạng: f(x) = (qx – p)(bn 1x bn 2x b1x b0 ) Đồng nhất hai vế ta được qb n–1 = an , –pb0 = ao. Từ đú suy ra p là ước của a 0, cũn q là ước dương của an (đpcm). Vớ dụ 10. Phõn tớch đa thức f(x) = 3x3 7x2 + 17x 5 thành nhõn tử. Hướng dẫn Cỏc ước của –5 là 1, 5. Thử trực tiếp ta thấy cỏc số này khụng là nghiệm của f(x). 1 5 1 Như vậy f(x) khụng cú nghiệm nghuyờn. Xột cỏc số , , ta thấy là nghiệm của đa 3 3 3 thức, do đú đa thức cú một nhõn tử là 3x – 1. Ta phõn tớch như sau : f(x) = (3x3 – x2) – (6x2 – 2x) + (15x – 5) = (3x – 1)(x2 – 2x + 5). 3. Đối với đa thức nhiều biến Trang 6
7. Các Chuyên đề bồi dưỡng Hsg môn toán 8 – phần đại số Vớ dụ 11. Phõn tớch cỏc đa thức sau thành nhõn tử a) 2x2 5xy + 2y2 ; b) x2(y z) + y2(z x) + z2(x y). Hướng dẫn a) Phõn tớch đa thức này tương tự như phõn tớch đa thức f(x) = ax2 + bx + c. Ta tỏch hạng tử thứ 2 : 2x2 5xy + 2y2 = (2x2 4xy) (xy 2y2) = 2x(x 2y) y(x 2y) = (x 2y)(2x y) a) Nhận xột z x = (y z) (x y). Vỡ vậy ta tỏch hạng tử thứ hai của đa thức : x2(y z) + y2(z x) + z2(x y) = x2(y z) y2(y z) y2(x y) + z2(x y) = = (y z)(x2 y2) (x y)(y2 z2) = (y z)(x y)(x + y) (x y)(y z)(y + z) = (x y)(y z)(x z) Chỳ ý : 1) Ở cõu b) ta cú thể tỏch y z = (x y) (z x) (hoặc z x= (y z) (x y)) 2) Đa thức ở cõu b) là một trong những đa thức cú dạng đa thức đặc biệt. Khi ta thay x = y (y = z hoặc z = x) vào đa thức thỡ giỏ trị của đa thức bằng 0. Vỡ vậy, ngoài cỏch phõn tớch bằng cỏch tỏch như trờn, ta cũn cỏch phõn tớch bằng cỏch xột giỏ trị riờng (Xem phần IV). III. PHƯƠNG PHÁP THấM VÀ BỚT CÙNG MỘT HẠNG TỬ 1. Thờm và bớt cựng một hạng tử làm xuất hiện hiệu hai bỡnh phương Vớ dụ 12. Phõn tớch đa thức x4 + x2 + 1 thành nhõn tử Lời giải Cỏch 1 : x4 + x2 + 1 = (x4 + 2x2 + 1) – x2 = (x2 + 1)2 – x2 = (x2 – x + 1)(x2 + x + 1). Cỏch 2 : x4 + x2 + 1 = (x4 – x3 + x2) + (x3 + 1) = x2(x2 – x + 1) + (x + 1)(x2 – x + 1) = (x2 – x + 1)(x2 + x + 1). Cỏch 3 : x4 + x2 + 1 = (x4 + x3 + x2) – (x3 – 1) = x2(x2 + x + 1) + (x – 1)(x2 + x + 1) Trang 7
8. Các Chuyên đề bồi dưỡng Hsg môn toán 8 – phần đại số = (x2 – x + 1)(x2 + x + 1). Vớ dụ 13. Phõn tớch đa thức x4 + 16 thành nhõn tử Lời giải Cỏch 1 : x4 + 4 = (x4 + 4x2 + 4) – 4x2 = (x2 + 2)2 – (2x)2 = (x2 – 2x + 2)(x2 + 2x + 2) Cỏch 2 : x4 + 4 = (x4 + 2x3 + 2x2) – (2x3 + 4x2 + 4x) + (2x2 + 4x + 4) = (x2 – 2x + 2)(x2 + 2x + 2) 2. Thờm và bớt cựng một hạng tử làm xuất hiện nhõn tử chung Vớ dụ 14. Phõn tớch đa thức x5 + x 1 thành nhõn tử Lời giải Cỏch 1. x5 + x 1 = x5 x4 + x3 + x4 x3 + x2 x2 + x 1 = x3(x2 x + 1) x2(x2 x + 1) (x2 x + 1) = (x2 x + 1)(x3 x2 1). Cỏch 2. Thờm và bớt x2 : x5 + x 1 = x5 + x2 x2 + x 1 = x2(x3 + 1) (x2 x + 1) = (x2 x + 1)[x2(x + 1) 1] = (x2 x + 1)(x3 x2 1). Vớ dụ 15. Phõn tớch đa thức x7 + x + 1 thành nhõn tử Lời giải x7 + x2 + 1 = x7 – x + x2 + x + 1 = x(x6 – 1) + (x2 + x + 1) = x(x3 – 1)(x3 + 1) + (x2+ x + 1) = x(x3 + 1)(x 1)(x2 + x + 1) + ( x2 + x + 1) = (x2 + x + 1)(x5 x4 – x2 x + 1) Lưu ý : Cỏc đa thức dạng x 3m + 1 + x3n + 2 + 1 như x7 + x2 + 1, x4 + x5 + 1 đều chứa nhõn tử là x2 + x + 1. IV. PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN Đặt ẩn phụ để đưa về dạng tam thức bậc hai rồi sử dụng cỏc phương phỏp cơ bản. Trang 8
9. Các Chuyên đề bồi dưỡng Hsg môn toán 8 – phần đại số Vớ dụ 16. Phõn tớch đa thức sau thành nhõn tử : x(x + 4)(x + 6)(x + 10) + 128 Lời giải x(x + 4)(x + 6)(x + 10) + 128 = (x2 + 10x)(x2 + 10x + 24) + 128 Đặt x2 + 10x + 12 = y, đa thức đó cho cú dạng : (y 12)(y + 12) + 128 = y2 16 = (y + 4)(y 4) = (x2 + 10x + 16)(x2 + 10x + 8) = (x + 2)(x + 8)(x2 + 10x + 8) Nhận xột: Nhờ phương phỏp đổi biến ta đó đưa đa thức bậc 4 đối với x thành đa thức bậc 2 đối với y. Vớ dụ 17. Phõn tớch đa thức sau thành nhõn tử : A = x4 + 6x3 + 7x2 6x + 1. Lời giải Cỏch 1. Giả sử x ≠ 0. Ta viết đa thức dưới dạng : ổ 6 1 ử ộổ 1 ử ổ 1ử ự A = x2 ỗx2 + 6x + 7 - + ữ= x2 ờỗx2 + ữ+ 6ỗx - ữ+ 7ỳ. ỗ 2 2 ữ ỗ 2 ữ ỗ ữ ố x x ứ ởờố x ứ ố xứ ỷỳ 1 1 Đặt x - = y thỡ x2 + = y2 + 2 . Do đú : x x2 A = x2(y2 + 2 + 6y + 7) = x2(y + 3)2 = (xy + 3x)2 2 ộ ổ 1ử ự = ờxỗx - ữ+ 3xỳ = (x2 + 3x 1)2. ỗ ữ ởờ ố xứ ỷỳ Dạng phõn tớch này cũng đỳng với x = 0. Cỏch 2. A = x4 + 6x3 2x2 + 9x2 6x + 1 = x4 + (6x3 2x2) + (9x2 6x + 1) = x4 + 2x2(3x 1) + (3x 1)2 = (x2 + 3x 1)2. IV. PHƯƠNG PHÁP HỆ SỐ BẤT ĐỊNH Vớ dụ 18. Phõn tớch đa thức sau thành nhõn tử : x4 6x3 + 12x2 14x 3 Trang 9
10. Các Chuyên đề bồi dưỡng Hsg môn toán 8 – phần đại số Lời giải Thử với x= 1; 3 khụng là nghiệm của đa thức, đa thức khụng cú nghiệm nguyờn cũng khụng cú nghiệm hữu tỷ. Như vậy đa thức trờn phõn tớch được thành nhõn tử thỡ phải cỳ dạng (x2 + ax + b)(x2 + cx + d) = x4 +(a + c)x3 + (ac+b+d)x2 + (ad+bc)x + bd = x4 6x3 + 12x2 14x + 3. Đồng nhất cỏc hệ số ta được : ùỡ a + c = - 6 ù ù ac + b + d = 12 ớ ù ad + bc = - 14 ù ợù bd = 3 Xột bd= 3 với b, d Z, b { 1, 3}. Với b = 3 thỡ d = 1, hệ điều kiện trờn trở thành ùỡ a + c = - 6 ù ớù ac = 8 2c = 14 ( 6) = 8. Do đú c = 4, a = 2. ù ợù a + 3c = - 14 Vậy x4 6x3 + 12x2 14x + 3 = (x2 2x + 3)(x2 4x + 1). IV. PHƯƠNG PHÁP XẫT GIÁ TRỊ RIấNG Trong phương phỏp này, trước hết ta xỏc định dạng cỏc nhõn tử chứa biến của đa thức, rồi gỏn cho cỏc biến cỏc giỏ trị cụ thể để xỏc định cỏc nhõn tử cũn lại. Vớ dụ 19. Phõn tớch đa thức sau thành nhõn tử : P = x2(y – z) + y2(z – x) + z(x – y). Lời giải Thay x bởi y thỡ P = y2(y – z) + y2( z – y) = 0. Như vậy P chứa thừa số (x – y). Ta thấy nếu thay x bởi y, thay y bởi z, thay z bởi x thỡ p khụng đổi (đa thức P cú thể hoỏn vị vũng quanh). Do đú nếu P đó chứa thừa số (x – y) thỡ cũng chứa thừa số (y – z), (z – x). Vậy P cú dạng k(x – y)(y – z)(z – x). Ta thấy k phải là hằng số vỡ P cú bậc 3 đối với tập hợp cỏc biến x, y, z, cũn tớch (x – y)(y – z)(z – x) cũng cú bậc 3 đối với tập hợp cỏc biến x, y, z. Trang 10
11. Các Chuyên đề bồi dưỡng Hsg môn toán 8 – phần đại số Vỡ đẳng thức x2(y – z) + y2(z – x) + z2(x – y) = k(x – y)(y – z)(z – x) đỳng với mọi x, y, z nờn ta gỏn cho cỏc biến x ,y, z cỏc giỏ trị riờng, chẳng hạn x = 2, y = 1, z = 0 ta được: 4.1 + 1.(–2) + 0 = k.1.1.(–2) suy ra k =1 Vậy P = –(x – y)(y – z)(z – x) = (x – y)(y – z)(x – z) V. PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VỀ MỘT SỐ ĐA THỨC ĐẶC BIỆT 1. Đưa về đa thức : a3 + b3 + c3 3abc Vớ dụ 20. Phõn tớch đa thức sau thành nhõn tử : a) a3 + b3 + c3 3abc. b) (x y)3 + (y z)3 + (z x)3. Lời giải a) a3 + b3 + c3 3abc = (a + b)3 3a2b 3ab2 + c3 3abc = [(a + b)3 + c3] 3ab(a + b + c) = (a + b + c)[(a + b)2 (a + b)c + c2] 3ab(a + b + c) = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 ab bc ca) b) Đặt x y = a, y z = b, z x = c thỡ a + b + c. Theo cõu a) ta cú : a3 + b3 + c3 3abc = 0 a3 + b3 + c3 = 3abc. Vậy (x y)3 + (y z)3 + (z x)3 = 3(x y)(y z)(z x) 2. Đưa về đa thức : (a + b + c)3 a3 b3 c3 Vớ dụ 21. Phõn tớch đa thức sau thành nhõn tử : a) (a + b + c)3 a3 b3 c3. b) 8(x + y + z)3 (x + y)3 (y + z)3 (z + x)3. Lời giải a) (a + b + c)3 a3 b3 c3 = [(a + b) + c]3 a3 b3 c3 = (a + b)3 + c3 + 3c(a + b)(a + b + c) a3 b3 c3 = (a + b)3 + 3c(a + b)(a + b + c) (a + b)(a2 ab + b2) Trang 11
12. Các Chuyên đề bồi dưỡng Hsg môn toán 8 – phần đại số = (a + b)[(a + b)2 + 3c(a + b + c) (a2 ab + b2)] = 3(a + b)(ab + bc + ca + c2) = 3(a + b)[b(a + c) + c(a + c)] = 3(a + b)(b + c)(c + a). b) Đặt x + y = a, y + z = b, z + x = c thỡ a + b + c = 2(a + b + c). Đa thức đó cho cú dạng : (a + b + c)3 a3 b3 c3 Theo kết quả cõu a) ta cú : (a + b + c)3 a3 b3 c3 = 3(a + b)(b + c)(c + a) Hay 8(x + y + z)3 (x + y)3 (y + z)3 (z + x)3 = 3(x + 2y + z)(y + 2z + x)(z + 2x + y) BÀI TẬP 1. Phõn tớch cỏc đa thức sau thành nhõn tử : a) (ab 1)2 + (a + b)2 ; b) x3 + 2x2 + 2x + 1; c) x3 4x2 + 12x 27 ; d) x4 + 2x3 + 2x2 + 2x + 1 ; e) x4 2x3 + 2x 1. 2. Phõn tớch cỏc đa thức sau thành nhõn tử : a) x2 2x 4y2 4y ; b) x4 + 2x3 4x 4 ; c) x2(1 x2) 4 4x2 ; d) (1 + 2x)(1 2x) x(x + 2)(x 2) ; e) x2 + y2 x2y2 + xy x y. 3. Phõn tớch cỏc đa thức sau thành nhõn tử : a) a(b2 + c2 + bc) + b(c2 + a2 + ca) + c(a2 + b2 + ab) ; b) (a + b + c)(ab + bc + ca) abc ; c) c(a + 2b)3 b(2a + b)3. 4. Phõn tớch cỏc đa thức sau thành nhõn tử : a) xy(x + y) yz(y + z) + xz(x z) ; b) x(y2 + z2) + y(z2 + x2) + z(x2 + y2) + 2abc ; c) (x + y)(x2 y2) + (y + z)(y2 z2) + (z + x)(z2 x2) ; d) x3(y z) + y3(z x) + z3(x y) ; e) x3(z y2) + y3(x z2) + z3(y z2) + xyz(xyz 1). Trang 12
13. Các Chuyên đề bồi dưỡng Hsg môn toán 8 – phần đại số 5. Phõn tớch cỏc đa thức sau thành nhõn tử : a) a(b + c)2(b c) + b(c + a)2(c a) + c(a + b)2(a b) b) a(b c)3 + b(c a)3 + c(a b)2 ; c) a2b2(a b) + b2c2(b c) + c2a2(c a) ; d) a(b2 + c2) + b(c2 + a2) + c(a2 + b2) 2abc a3 b3 c3 ; e) a4(b c) + b4(c a) + c4(a b). 6. Phõn tớch cỏc đa thức sau thành nhõn tử : a) (a + b + c)3 (a + b c)3 (b + c a)3 (c + a b)3 ; b) abc (ab + bc + ca) + a + b + c 1. Phõn tớch cỏc đa thức sau thành nhõn tử (từ bài 7 đến bài 16) : 7. a) 6x2 – 11x + 3 ; b) 2x2 + 3x – 27 ; c) x2 – 10x + 24 ; d) 49x2 + 28x – 5 ; e) 2x2 – 5xy – 3y2. 8. a) x3 – 2x + 3 ; b) x3 + 7x – 6 ; c) x3 – 5x + 8x – 4 ; d) x3 – 9x2 + 6x + 16 ; e) x3 + 9x2 + 6x – 16 ; g) x3 – x2 + x – 2 ; h) x3 + 6x2 – x – 30 ; i) x3 – 7x – 6 (giải bằng nhiều cỏch). 9. a) 27x3 + 27x +18x + 4 ; b) 2x3 + x2 +5x + 3 ; c) (x2 – 3)2 + 16. 10. a) (x2 + x)2 2(x2 + x) 15 ; b) x2 + 2xy + y2 x y 12 ; c) (x2 + x + 1)(x2 + x + 2) 12 ; 11. a) (x + a)(x + 2a)(x + 3a)(x + 4a) + a4 ; b) (x2 + y2 + z2)(x + y + z)2 + (xy + yz + zx)2 ; c) 2(x4 + y4 + z4) (x2 + y2 + z2)2 2(x2 + y2 + z2)(x + y + z)2 + (x + y + z)4. 12. (a + b + c)3 4(a3 + b3 + c3) 12abc bằng cỏch đổi biến : đặt a + b = m và a b = n. 13. a) 4x4 32x2 + 1 ; b) x6 + 27 ; c) 3(x4 + x+2+ + 1) (x2 + x + 1)2 ; d) (2x2 4)2 + 9. 14. a) 4x4 + 1 ; b) 4x4 + y4 ; c) x4 + 324. Trang 13
14. Các Chuyên đề bồi dưỡng Hsg môn toán 8 – phần đại số 15. a) x5 + x4 + 1 ; b) x5 + x + 1 ; c) x8 + x7 + 1 ; d) x5 x4 1 ; e) x7 + x5 + 1 ; g) x8 + x4 + 1. 16. a) a6 + a4 + a2b2 + b4 b6 ; b) x3 + 3xy + y3 1. 17. Dựng phương phỏp hệ số bất định : a) 4x4 + 4x3 + 5x2 + 2x + 1 ; b) x4 7x3 + 14x2 7x + 1 ; c) x4 8x + 63 ; d) (x + 1)4 + (x2 + x + 1)2. 18. a) x8 + 14x4 + 1 ; b) x8 + 98x4 + 1. 19. Dựng phương phỏp xột giỏ trị riờng : M = a(b + c a)2 + b(c + a b)2 + c(a + b c)2 + (a + b c)(b + c a)(c + a b). 20. Chứng minh rằng trong ba số a, b, c, tồn tại hai số bằng nhau, nếu : a2(b – c) + b2(c – a) + c2(a – b) 21. Chứng minh rằng nếu a3 + b3 + c3 = 3abc và a, b, c là cỏc số dương thỡ a = b = c. 22. Chứng minh rằng nếu a 4 + b4 + c4 + d4 = 4abcd và a, b, c, d là cỏc số dương thỡ a = b = c = d. 23. Chứng minh rằng nếu m = a + b + c thỡ : (am + bc)(bm + ac)(cm + ab) = (a + b)2(b + c)2(c + a)2. 24. Cho a2 + b2 = 1, c2 + d2 = 1, ac + bd = 0. Chứng minh rằng ab + cd = 0. 25. Chứng minh rằng nếu x2(y + z) + y2(z + x) + z2(x + y) + 2xyz = 0 thỡ : x3 + y3 + z3 = (x + y + z)3. 26. Tớnh cỏc tổng sau : a) S1 = 1 + 2 + 3 + + n ; 2 2 2 2 b) S2 = 1 + 2 + 3 + + n . Trang 14