›
›
›

Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 8 - Tứ giác

doc 74 trang hoaithuong97 5120
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 8 - Tứ giác", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • docchuyen_de_boi_duong_hoc_sinh_gioi_toan_8_tu_giac.doc

Nội dung text: Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 8 - Tứ giác

  1. CHUYấN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 TỨ GIÁC A. Kiến thức 1. Tam giỏc ˆ ˆ ˆ 0 A - A + B + C = 180 ( Tổng 3 gúc trong 1 tam giỏc ) - AB AC BC ( Bất đẳng thức tam giỏc) - AB AC BC ( Bất đẳng thức tam giỏc) B C 2. Tứ giỏc a. Định nghĩa: Tứ giỏc ABCD là hỡnh gồm 4 đoạn thẳng AB, C B BC, CD, DA trong đú bất kỳ 2 đoạn thẳng nào cũng khụng cựng nằm trờn 1 đường thẳng 1 A D b. Tứ giỏc lồi: Là tứ giỏc luụn nằm trong 1 nửa mặt phẳng cú bờ là đường thẳng chứa bất kỳ cạnh nào của tứ giỏc c. Chỳ ý: Khi núi đến tứ giỏc mà khụng chỳ thớch gỡ them, ta hiểu đú là tứ giỏc lồi 3. Tổng cỏc gúc của 1 tứ giỏc - Định lý: Tổng cỏc gúc cảu một tứ giỏc bằng 3600 Aˆ + Bˆ + Cˆ + Dˆ = 3600 - Chỳ ý: Để bốn gúc cho trước thỏa món là bốn gúc của một tứ giỏc khi bốn gúc đú cú tổng bằng 3600 - Bất đẳng thức đường gấp khỳc: AB + BC + CD > DA - Mở rộng: Tổng bốn gúc ngoài ở bốn đỉnh của một tứ giỏc bằng 3600. 4. Gúc ngoài của tứ giỏc: Gúc kề bự với 1 gúc trong của tứ giỏc gọi là gúc ngoài của tứ giỏc ˆ - Ta cú B1 là gúc ngoài tại đỉnh B. B. Bài tập Chỳc cỏc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 1
  2. CHUYấN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 Bài 1: Cho tứ giỏc ABCD cú: BADˆ BCDˆ 900 , phõn giỏc trong của gúc ABC cắt AD tại E. phõn giỏc trong của gúc ADC cắt BC tại F. Chứng minh BE // DF Lời giải A ã ã 0 0 E +) ABC ADC 180  90 (1) 1 B D 0  +) Xột tam giỏc ABE, cú: E1 90 (2)  E C +) Từ (1)(2) 1 BE // DF ovitridongvi Bài 2: Cho tứ giỏc ABCD cú:ãABC Bã AD 1800 . Phõn giỏc trong của cỏc gúc BCD và CDA cắt nhau tại E, biết rằng CD = 2 DE . Chứng minh rằng : ãADC 2Bã CD B Lời giải A ˆ ˆ 0 ˆ ˆ 0 o ã 0 +) Ta cú: A B 180 C D 180 C1 D1 90 DEC 90 E CD +) Gọi M là trung điểm của CD EM MC MD 1 1 C 2 D M 0 0 DEM đều D1 60 C1 30 D 2C(dpcm) Bài 3: Cho tứ giỏc ABCD , cú: Bã AD 2Bã CD 1800 , DA DC . chứng minh rằng BD là phõn giỏc ãABC B Lời giải: 1 C 2 1 +) Trờn tia đối của tia AB lấy điểm E sao cho AE = BC B1 E1(1) A +) BCD EAD(cgc) BED cõn tại D E1 B2 (2) 1 DB DE D Từ (1)(2) B 1 B2 (dpcm) 1 E Bài 4: Cho tứ giỏc ABCD cú BD là phõn giỏc của gúc ABC , AD = C E 1 2 CD , AB < BC . Chứng minh rằng : Bã AD Bã CD 1800 B Lời giải 1 Chỳc cỏc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 2 A D
  3. CHUYấN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 +) Trờn cạnh BC lấy điểm E sao cho BE = BA A1 E1(1) +) BED BAD(cgc) AD ED ED CD ECD cõn tại D ED DA 0 E2 C1(2) . Từ (1)(2) A1 C 1 E1 E2 180 Bài 5:Cho tứ giỏc ABCD cú: Aˆ : Bˆ : Cˆ : Dˆ 5 : 8 :13 :10 a. Tớnh cỏc gúc của tứ giỏc ABCD b. AB cắt CD tại E, AD cắt BC tại F. Phõn giỏc gúc AED và gúc AFB cắt nhau tại O, phõn giỏc gúc AFB cắt CD và AB tại M và N. Chứng minh rằng O là trung điểm của MN Lời giải E a. Aˆ 500 , Bˆ 800 ,Cˆ 1300 , Dˆ 1000 1 2 b. B AEˆD 1800 Aˆ Dˆ 300 ; AFˆB 1800 Aˆ Bˆ 500 1 C EMˆN 1800 Fˆ Bˆ 750 ; ENˆM 1800 750 300 750 M 75 1 1 EMN cõn O là trung điểm của MN O N 1 A D F Bài 6: Cho tứ giỏc ABCD cú Bˆ Dˆ 1800 , AC là phõn giỏc của gúc A. Chứng minh rằng: CB = CD Lời giải A B E 1 2 2 1 1 Dựng tam giỏc ACE cõn tại C CA CE Bˆ Dˆ 1800 2 ˆ ˆ Theo gt: D1 B1 1 ˆ ˆ 0 D B2 B1 180 1 2 C Chỳc cỏc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 3
  4. CHUYấN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 Aˆ Eˆ 1 1 ˆ ˆ Cú: E1 A2 ˆ ˆ A1 A2 Aˆ Eˆ 2 1 ˆ ˆ CEB và CAD cú: C1 C2 CEB CAD(gcg) CB CD ˆ ˆ D1 B1 HèNH THANG, HèNH THANG CÂN A. HèNH THANG A B B C A B D C A D D C H1. HèNH THANG H2. THANG VUễNG H3. THANG CÂN 1. Định nghĩa: Hỡnh thang là tứ giỏc cú hai cạnh đối song song. ABCDla ABCD Là hỡnh thang ( đỏy AB, CD ) AB // CD +) AB: đỏy nhỏ +) CD: đỏy lớn +) AD, BC: cạnh bờn Nhận xột - Nếu một hỡnh thang cú hai cạnh bờn song song thỡ hai cạnh bờn bằng nhau - Nếu một hỡnh thang cú hai cạnh đỏy bằng nhau thỡ hai cạnh bờn song song và bằng nhau Dựa vào nhận xột ta cú A Hỡnh thang ABCD ( AB // CD ), cú: B +) AD // BC AD BC; AB CD D C +) AB CD AD // BC; AD BC 2. Hỡnh thang vuụng là hỡnh thang cú 1 gúc vuụng B. HèNH THANG CÂN A B B C A B D C A C Chỳc cỏc em chăm ngoan – họcD giỏi !!D Trang 4 H1. HèNH THANG H2. THANG VUễNG H3. THANG CÂN
  5. CHUYấN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 1. Định nghĩa Hỡnh thang cõn là hỡnh thang cú hai gúc kề 1 đỏy bằng nhau ABCD(là hinh thang ) ABCD là hỡnh thang cõn ( đỏy AB, CD ) ˆ ˆ ˆ ˆ C=D hoac A=B 2. Tớnh chất: Trong hỡnh thang cõn - Hai cạnh bờn bằng nhau - Hai đường chộo bằng nhau 3. Dấu hiệu nhận biết - Hỡnh thang cú 2 gúc kề 1 đỏy bằng nhau là hỡnh thang cõn - Hỡnh thang cú hai đường chộo bằng nhau là hỡnh thang cõn 4. Chỳ ý: Hỡnh thang cú hai cạnh bờn bằng nhau chưa chắc đó là hỡnh thang cõn ( Hỡnh bỡnh hành ) C. BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài 1: Cho tam giỏc ABC và đường thẳng d đi qua trọng tõm G của tam giỏc ABC và cắt cỏc đoạn AB, AC. Chứng minh rằng tổng khoảng cỏch từ B và C tới d bằng khoảng cỏch từ A tới d Lời giải A Ta cú tứ giỏc BEFC là hỡnh thang ( BE // CF ) Gọi N là trung điểm của EF, M là trung điểm của BC N K F E G D BE CF BE CF 2MN(1) MN 2 MN  d B M C +) Lấy P thuộc tia đối của MG sao cho MP = MG P GP GA 1 MN PK +) Lấy K thuộc d sao cho NG = NK 2 PK  D Chỳc cỏc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 5
  6. CHUYấN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 1 ADG PKG(ch gn) PK DA MN AD(2) AD BE CF 2 Bài 2: Cho tam giỏc ABC cú trọng tõm G và đường thẳng d nằm ngoài tam giỏc. Gọi D, E, F, H lần lượt là hỡnh chiếu của A, B, C, D lờn đường thẳng d. Chứng minh rằng: AD + BE + CF = 3GH A Lời giải P +) Gọi M là trung điểm của BC G +) P là trung điểm của AG M B C +) K là hỡnh chiếu của M lờn d E D Q H K F Ta cú : BE + CF = 2MK AD + GH = 2PQ; MK + PQ = 2GH 2( MK + PQ ) = 4GH; BE + AD + CF = 3GH (dpcm) Bài 3: Cho hỡnh thang ABCD ( AB // CD ), trong đú CD = BC + AD. Hai đường phõn giỏc của hai gúc A và B cắt nhau tại K. Chứng minh rằng C, D, K thẳng hàng. Lời giải A B 2 2 1 1 Trờn CD lấy điểm E sao cho CE = CB ˆ ˆ AD DE CBE cõn tại C E1 B1 2 1 ˆ ˆ ˆ ˆ D E C Mặt khỏc E1 B2 (slt) B1 B2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ADE cõn tại D A1 E2 mà E2 A 2 (slt) A1 A2 EA, EB là phõn giỏc của Aˆ, Bˆ giao điểm của hai đường phõn giỏc gúc A và B cắt nhau tại E thuộc BC E  K D, K ,C thẳng hàng. Bài 4:Cho hỡnh thang cõn ABCD ( AB // CD ) cú đường chộo BD vuụng gúc với cạnh bờn BC và đồng thời DB là tia phõn giỏc của ADˆC a. Tớnh cỏc gúc của hỡnh thang cõn ABCD b. Biết BC = 6cm, tớnh chu vi và diện tớch của hỡnh thang cõn ABCD Chỳc cỏc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 6
  7. CHUYấN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 Lời giải A B a) DBC(Bˆ 900 ) cú BCˆD 2BDˆC ADˆC BCˆD 600;DAˆB CBˆA 1200 D K C b) Tớnh được DC = 2.BC P ABCD 30cm 2 Hạ đường cao BK, ta cú BK 3 3cm S ABCD 27 3(cm ) Bài 5: Cho tam giỏc đều ABC. Từ 1 điểm M nằm bờn trong tam giỏc ta vẽ cỏc tia gốc M song song với BC cắt AB ở D, song song với AC cắt BC tại E, song song với AB cắt AC tại F. Chứng minh rằng chu vi tam giỏc DEF bằng tổng cỏc khoảng cỏch từ M đến ba đỉnh của tam giỏc. A Lời giải F Chu vi tam giỏc ABC là : DE + DF + EF D M Khoảng cỏch từ M đến 3 đỉnh là : MA + MB + MC B C E Ta cần chứng minh : DE + DF + EF = MA + MB + MC +) Ta cú hỡnh thang BDME là hỡnh thang cõn ( MD// BE, Bˆ Eˆ Cˆ 600 ) DE MB Chứng minh tương tự ta cú : DF= MA, EF = MC DE + DF + EF = MA + MB + MC ( đpcm) Bài 6: Cho tam giỏc ABC cõn tại A, điểm I thuộc đường cao AH, BI giao với AC tại D, CI giao với AB tại E a. Chứng minh rằng: AD = AE b. Xỏc định dạng của tứ giỏc BEDC c. Xỏc định I sao cho: BE = ED = DC A Lời giải 1 2 a. D E 2 AIC AIB(cgc) Cˆ Bˆ ACE ABD(gcg) AE AD I 1 1 b. ADE, ACB cõn tại A cú chung gúc A 1 1 2 2 C H B Chỳc cỏc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 7
  8. CHUYấN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 1800 Aˆ DE // BC ADˆE AEˆD ACˆB ABˆC dpcm ˆ ˆ 2 C B Bˆ Dˆ ˆ ˆ 1 2 ˆ ˆ c. DE // BC B2 D2 . Để BE = ED BED cõn tại E B1 B2 ˆ ˆ B2 D2 ˆ ˆ Chứng minh tương tự: C1 C2 Vậy CE và BD là giao điểm của gúc C và B Vậy I là giao điểm của 3 đường phõn giỏc của tam giỏc ABC. Bài 7: Cho hỡnh thang ABCD ( AB // CD) tia phõn giỏc gúc C đi qua trung điểm M của AD. CMR: a) Bã MC 900 b) BC = AB + CD Lời giải a) Giả sử MC cắt AB tại E Khi đú CMD EMA g.c.g CM EM; AD AE à ả à Xột BEC cú: E C2 C1 => BEC cõn Mà BM là đường trung tuyến A B E 2 => BM là đường cao Vậy BM  EC 2 b) Vỡ BEC cõn nờn EB = BC => BC = EA + AB = DC + AB M 1 1 D 2 C Bài 8: Cho hỡnh thang ABCD ( AB // CD), cú Cà 600 , DB là phõn giỏc của gúc Dà , Biết chu vi của hỡnh thang là 20cm, Tớnh mỗi cạnh của hỡnh thang Lời giải E Đặt BC= a, ta cú ngay: AD = AB = BC = a à 0 ả 0 ã 0 Mà: C 60 D2 30 DBC 90 ả 0 à 0 A B Xột BDC cú D2 30 ,C 60 DC 2a 1 Mà Chu vi hỡnh thang là 20 cm nờn ta cú: a a + a + a + 2a = 20 => a = 4 1 1 2 D C Chỳc cỏc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 8
  9. CHUYấN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 ĐƯỜNG TRUNG BèNH CỦA TAM GIÁC, HèNH THANG A. ĐƯỜNG TRUNG BèNH CỦA TAM GIÁC A A B N N M M B C D C H4.ĐƯỜNG TRUNG BèNH TAM GIÁC H5. ĐƯỜNG TRUNG BèNH HèNH THANG 1. Định nghĩa: Đường trung bỡnh của tam giỏc là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh của tam giỏc. 2. Cỏc định lý a. Định lý 1: Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh của tam giỏc và song song với cạnh thứ hai thỡ đi qua trung điểm của cạnh thứ ba ABC, AM MB, MN / BC AN NC b. Định lý 2: Đường trung bỡnh của tam giỏc thỡ song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh ấy: 1 MN // BC;MN BC 2 B. ĐƯỜNG TRUNG BèNH CỦA HèNH THANG A A B N N M Chỳc cỏc em chămM ngoan – học giỏi !! Trang 9 B C D C H4.ĐƯỜNG TRUNG BèNH TAM GIÁC H5. ĐƯỜNG TRUNG BèNH HèNH THANG
  10. CHUYấN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 1. Định nghĩa: Đường trung bỡnh của hỡnh thang là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh bờn của hỡnh thang 2. Cỏc định lý a. Định lý 1: Đường thẳng đi qua trung điểm 1 cạnh bờn của hỡnh thang và song song với hai đỏy thỡ đi qua trung điểm của cạnh bờn thứ hai Nếu EA = ED và EF // AB // CD thỡ FB = FC b. Định lý 2: Đường trung bỡnh của hỡnh thang song song với hai đỏy và bằng nửa tổng hai đỏy 1 Ta cú: EF // AB // CD và EF= (AB CD) 2 3. Mở rộng - Trong hỡnh thang cú hai cạnh bờn khụng song song, đoạn thẳng nối trung điểm của hai đường chộo thỡ song song với hai đỏy và bằng một nửa hiệu hai đỏy A B M N D C CD AB Ta cú: MN / / AB / /CD và MN 2 C. BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài 1: Cho tứ giỏc ABCD. Gọi E, K, F lần lượt là trung điểm của AD, BC, AC a. Chứng minh EK // CD, FK // AB 1 b. So sỏnh EF và (AB CD) 2 1 c. Tỡm điều kiện của tứ giỏc ABCD để 3 điểm E, F, K thẳng hàng, chứng minh EF = (AB CD) 2 Chỳc cỏc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 10
  11. CHUYấN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 Lời giải B A 1 1 1 b. Xột EFK ,cú: EF EK+KF= CD AB (AB CD) 2 2 2 E F c. Để E, F, K thẳng hàng, khi đú EF đồng thời song song với K D AB, CD. Tức là tứ giỏc ABCD là hỡnh thang ( AB // CD ) C 1 EF AB CD 2 Bài 2: Tớnh độ dài đường trung bỡnh của một hỡnh thang cõn biết rằng cỏc đường chộo của nú vuụng gúc và chiều cao = 10cm Lời giải A M B 1 1 ˆ ˆ ˆ ˆ +) ABC BAD(ccc) A1 B1 D1 C1 I ˆ ˆ ˆ ˆ 0 +) AC  BD A1 B1 C1 D1 45 1 1 IAB, ICD vuụng cõn tại I D H N C AB CD AB CD MI ; NI MI NI đường trung 2 2 2 bỡnh của tam giỏc = 10cm. Bài 3: Cho tam giỏc ABC cú AB = c, BC = a, AC = b. Qua A kẻ đường thẳng song song với BC cắt tia phõn giỏc gúc B và C tại D và E. Từ A kẻ AP vuụng gúc với BD; AQ vuụng gúc với CE. PQ lần lượt cắt EB, CD tại M, N. Tớnh MN, PQ theo a, b, c Lời giải Chỳc cỏc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 11
  12. CHUYấN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 A E D 1 P N M Q 2 1 B F H C ˆ ˆ ˆ +) E1 C1 C2 (slt) EAC cõn tại A AE AC; AQ  EC AQ là đường cao, phõn giỏc, trung trực, đường trung tuyến QE QC +) Tương tự ABD cõn tại A và BP PD +) ABH cú BP là phõn giỏc và đường cao ABH cõn tại B P là trung điểm của AH 1 Tương tự: Q là trung điểm của AF PQ FH 2 +) MQ // BC M là trung điểm của BE ; +) N là trung điểm của BE 1 1 1 +) MN (ED BC) (EA AD BC) (AC AB BC) 2 2 2 1 1 1 1 1 1 PQ HF (FC HC) (AC HC) (AC (BC BH )) (AC BC BA) (b a c) 2 2 2 2 2 2 Bài 4: Cho hỡnh thang ABCD ( AB // CD), Gọi E là giao điểm của AD và BC, Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AE, BE, AC, BD. CMR: MNPQ là hỡnh thang Lời giải E Dễ dạng chứng minh được MN // AB M N - Gọi R là trung điểm của AD khi đú ta cú: RQ // AB A B RP // DC // AB R Nờn RP // AB => R, Q, P thẳng hàng => PQ // AB Q P Vậy MNPQ là hỡnh thang D C Bài 5: Cho tam giỏc ABC vuụng tại A, Vẽ AH vuụng gúc với BC tại H, Gọi M, N lần lượt là trung điểm của cỏc đoạn thẳng AH CH, CMR : MN vuụng gúc với AB và BM vuụng gúc với AN Lời giải A Chỳc cỏc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 12 M C B H N
  13. CHUYấN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 Vỡ MN là đường trung bỡnh => MN // AC mà AC  AB => MN  AB => M là trực tõm của ABN ABN cú M là trực tõm => BM  AN Bài 6: Cho đoạn thẳng AB và trung điểm O của nú, trờn cựng 1 nửa mặt phẳng cú bờ AB, vẽ hai tia Ax và By vuụng gúc với AB, Một gúc vuụng đỉnh O cắt Ax tại C, cắt By tại D a) AC + BD = CD b) CO là tia phõn giỏc của ãACD Lời giải a) Gọi I là trung điểm của CD D AC // BD => OI là trung bỡnh của hỡnh thang ABCD I C AC BD 2 =>OI => AC BD 2.OI 1 2 Lại cú COD vuụng => OI là đường trung tuyến 1 => OI = CI = ID => 2OI = IC + ID = CD A O B b) Ta cú OCD vuụng tại O cú OI là đường trung tuyến nờn OI = IC ả à => IOC cõn tại I C2 O1 à à à ả ã Mà: O1 C1 Nờn C1 C2 Vậy OC là tia phõn giỏc gúc ACD Bài 7: Cho tứ giỏc ABCD cú AD = BC, đường thẳng đi qua trung điểm M và N của cỏc cạnh AB và CD cắt AD và BC lần lượt ở E và F, CMR : ãAEM Mã FB Lời giải Gọi I là trung điểm của BD AD BC Ta cú: MI, NI lần lượt là đường trung bỡnh MI IN IMN cõn 2 2 Mả Eà ( đồng vị ) và Nà Fà ( so le trong) E ? Vậy Eà Fà F ? A M B I D N C Chỳc cỏc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 13
  14. CHUYấN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 Bài 8: Cho tam giỏc ABC, AM là đường trung tuyến, vẽ đường thẳng (d) đi qua trung điểm I của AM cắt cỏc cạnh AB, AC, Gọi A’, B’, C’ lần lượt là hỡnh chiếu của A, B, C trờn đường thẳng (d). BB ' CC ' CMR: AA ' 2 Lời giải A Gọi H, K lần lượt là giao của (d) với AB và AC Lấy N là hỡnh chiếu của M trờn đường thẳng (d) C' => AA’I = MNI ( cạnh huyền - gúc nhọn) M' d B' I => AA’ = MN A' Hỡnh thang BB’C’C cú MN là đường trung bỡnh nờn: BB ' CC ' MN AA' B C 2 M Bài 9: Cho tam giỏc ABC cú 3 gúc nhọn, cỏc đường cao BD và CE, gọi I và K theo thứ tự là hỡnh chiếu của B và C trờn đường thẳng ED, CMR: IE = DK Lời giải A Gọi M là trung điểm của BC, kẻ MN  ED Tứ giỏc BIKC là hỡnh thang => NI = NK (1) 1 K BEC vuụng cú EM = BC D 2 N E 1 BDC vuụng cú DM = BC => EM = DM I 2 => EDM cõn cú MN đường cao và là trung tuyến => NE = ND (2) B M C Từ (1) và (2) => IE = DK Bài 10: Cho tam giỏc ABC cú G là trọng tõm, đường thẳng (d) khụng cắt cỏc cạnh của tam giỏc ABC, Gọi A’, B’, C’, G’ lần lượt là hỡnh chiếu của A, B, C, G trờn đường thẳng (d). AA' BB ' CC ' CMR: GG ' 3 Lời giải A Gọi M là trung điểm của AC, và D đối xứng với G qua M, M’ là hỡnh chiếu của M trờn (d), Khi đú ta cú : D M BG GM DM 2 G => G là trung điểm của BD C => GG’ là đường trung bỡnh của hỡnh thang BB’D’D B d Chỳc cỏc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 14 B' A' G' M' D' C'
  15. CHUYấN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 => MM’ là đường trung bỡnh của hỡnh thang GG’D’D BB ' DD ' Nờn: GG ' (1) 2 AA' CC' DD ' GG ' MM ' ;MM ' 2 2 => DD’ + GG’ = AA’ + CC’ => DD’ = AA’ + CC’ - GG’ Thay (1) vào ta được: 2GG’ = BB’ + AA’ + CC’ - GG’ => 3GG’ = AA’ + BB’ + CC’ => ĐPCM Bài 11: Cho tam giỏc ABC cú trọng tõm G ( G nằm bờn trong tam giỏc), Vẽ đường thẳng (d) đi qua G, cắt AB, AC, Gọi A’, B’, C’ là hỡnh chiếu của A, B, C trờn (d), khi đú AA’, BB, CC’ cú mỗi quan hệ gỡ? Lời giải A Gọi I trờn AG sao cho AI = IG Kẻ MM’  (d) I Khi đú ta cú: C' G M' GII’ = GMM’ (cạnh huyền = gúc nhọn) B' A' I' 1 => II’ = MM’ mà II’ = AA’ => AA’ = 2. MM’ 2 B M C Hỡnh thang BB’C’C cú MM’ là đường trung bỡnh Nờn ta cú: 2. MM’ = BB’ + CC’ Nờn ta cú: AA’ = BB’ + CC’ Bài 12: Cho tam giỏc ABC, Gọi D là trung điểm cạnh AB, trờn BC lấy cỏc điểm E, F sao cho BE = EF = FC, trờn tia đối của tia BA lấy điểm G sao cho BG = BD CMR: AF, CD, GE đồng quy Lời giải A Gọi I là giao điểm của CD và GE => E là trọng tõm của DGC => DI = IC D DEC cú IF là đường trung bỡnh nờn IF // DE I Lại cú: DE là đường trung bỡnh ABF => DE // AF B C Khi đú A, I, F thẳng hàng hay AF cú đi qua I E F G Chỳc cỏc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 15
  16. CHUYấN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 Bài 13: Cho tam giỏc ABC cú BC = a, cỏc đường trung tuyến BD, CE, lấy cỏc điểm M, N trờn cỏc cạnh BC sao cho BM = MN = NC, gọi I là giao điểm của AM và BD, K là giao điểm của AN và CE. Tớnh IK Lời giải A Vỡ DN là đường trung bỡnh của ACM => DN // AM BM MN BDN cú: => I là trung điểm của BD AM / /DN Chứng minh tương tự => E D K là trung điểm của EC Kộo dài IK cắt AB và AC lần lượt tại G và H G H I K Khi đú BED cú GI đi qua trung điểm I của BD và // ED nờn GE = GB B M N C CED cú KH đi qua trung điểm K của EC và // ED Nờn HD = HC 1 1 1 1 Khi đú ta cú: GI ED a, KH ED a 2 4 2 4 1 3a 3a Cũn 2GH a a GH 2 2 4 3a 1 1 a Nờn IK= GH - GI - HK= a a 4 4 4 4 a Vậy IK 4 Bài 14: Cho hỡnh thang ABCD cú àA Bà 1v, BC 2AB 2AD , Gọi M là 1 điểm nằm trờn đỏy nhỏ AD, kẻ Mx vuụng gúc với BM và Mx cắt CD tại N. CMR: MB = MN Lời giải Kẻ DK //AB, chứng minh BDC vuụng tại D A M D 1 2 2 ãADC 900 450 1350 1 N Gọi H là trung điểm của BN, Chứng minh MH BN vỡ BMN vuụng 1 2 H 1 1 3 MH BN, DH BN MH DH 2 2 B K C Hã MD Hã DM mà Hã DM ãABH Dã MN Mã BH (1) Và Hã MD Hã MN Dã MN (2) Từ (1) và (2) => Mã BH Hã MN Chỳc cỏc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 16
  17. CHUYấN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 Mà: Mã BH Mã NH 900 Hã MN Mã NH 900 Bài 15: Cho tam giỏc ABC nhọn, trực tõm H, M là trung điểm của BC, qua H kẻ đường thẳng vuụng gúc với HM, cắt AB, AC theo thứ tự tại E và F a) Trờn Tia đối tia HC, lấy điểm D sao cho HD = HC, CMR E là trực tõm của tam giỏc DBH b) CMR: HE = HF Lời giải a) Ta cú MH là đường trung bỡnh BCD => MH// BD Mà EF // MH => EF  BD Ta lại cú: BA DH => BDH cú E là trực tõm b) Gọi G là giao điểm của DE và BH A D => K là giao điểm BH và AC => DHG = CHK ( cạnh huyền - gúc nhọn) K F => HG = HK=> HE = HKF ( c. g. c) => HE = HF H E G B M C Bài 16: Cho hỡnh thang ABCD (AB // CD), Gọi E và F theo thứ tự là trung điểm của BD và AC, vẽ đường thẳng đi qua E và vuụng gúc với AD và đường thẳng qua F vuụng gúc với BC, cắt nhau tại I, CMR: IC = ID Lời giải A B Gọi N là trung điểm của DC K => FN là đường trung bỡnh của ADC P E F FN / / AD => PE  FN EI  FN PE  AD I Chứng minh tương tự: D C FQ  EN FI  EN => I là trực tõm N => IN  EF, mà EF // DC => IN  DC IDC cú IN vừa trung tuyến vừa đường cao => IDC cõn => ID = IC Chỳc cỏc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 17
  18. CHUYấN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 Bài 17: Cho hỡnh thang ABCD, (AB BC), Trờn cựng 1 nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng d, vẽ cỏc ADB, BEC đều, Gọi M, N, P, Q, I theo thứ tự là Trung điểm của cỏc đoạn thẳng BD, AE, BE, CD, DE a) CMR: 3 điểm I, M, N thẳng hàng b) CMR: 3 điểm I, Q, P thẳng hàng 1 c) CMR: MNPQ là thỡnh thang cõn d) NQ DE 2 Lời giải D a) Dễ thấy AD // BE I IN là đường trung bỡnh ADE => IN // AD IM là đường trung bỡnh DBE => IM // BE // AD Q M E => 3 điểm I, M, N thẳng hàng 1 1 b) Chứng minh tương tự N 2 2 P c) Trong AEB cú NP là đường trung bỡnh 1 1 2 2 => NP // (d) A B C Tương tự MQ // (d) => MQ // NP ả à N1 A1 0 => Nà àA 60 , ả ả N2 A2 ả à D1 B1 0 0 0 0 Chứng minh tương tự ta cú: Qã PN 180 60 60 60 à ả P2 B2 d) Vỡ MNPQ thang cõn => NQ = MP, Mà MP là đường trung bỡnh BED nờn: 1 1 MP DE NQ MP DE 2 2 Bài 19: Cho ABC đều, Trờn tia đối của tian AB, lấy D, trờn tia đối của tia AC lấy điểm E sao cho AD=AE, Gọi M, N, P, Q theo thứ tự là cỏc trung điểm của BE, AD, AC, AB, CMR: a) Tứ giỏc BCDE là hỡnh thang cõn b) Tứ giỏc CNEQ là hỡnh thang Chỳc cỏc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 18
  19. CHUYấN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 c) MNP là tam giỏc đều Lời giải a) AED đều => Dà 600 Bà ED / /BC E D Lại cú 2 đường chộo bằng nhau => là hỡnh thang cõn b) ABC đều => CQ AD N AED đều => EN  AD => CQ // EN => là hỡnh thang A 1 c) Ta cú: NP là đường trung bỡnh => NP DC 1 2 M 0 Xột BEP cú Pà 90 , MP là đường trung tuyến Q P 1 1 => MP BE DC 2 2 Xột ENB cú Nà 900 và MN là đường trung tuyờn B 1 1 C => MN BE DC 2 2 Vậy NMP cú 3 cạnh bằng nhau nờn là tam giỏc đều Bài 20: Cho tứ giỏc ABCD, Gọi P, Q theo thứu tự là trung điểm của AD và BC AB CD a) CMR: PQ 2 AB CD b) Tứ giỏc ABCD là hỡnh thang khi và chỉ khi PQ 2 Lời giải B AB CD b) Ta chứng minh ABCD là hỡnh thang PQ 2 A Thật vậy : ADC cú pR là đường trung bỡnh Q 1 PR DC (1) P 2 R RQ là đường trung bỡnh ABC D C 1 RQ AB (2) 2 AB CD Cộng theo vế (1) và (2) ta được : PQ RQ 2 AB CD Ngược lại :PQ PQ PR RQ 3 điểm P, Q, R thẳng hàng, 2 Mà : PQ // DC và RQ // AB => AB // CD => ABCD là hỡnh thang Chỳc cỏc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 19
  20. CHUYấN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 ĐỐI XỨNG TRỤC, DỐI XỨNG TÂM A. Lí THUYẾT 1. Định nghĩa: - Hai điểm A và A’ được gọi là đối xứng với nhau qua đường thẳng d, nếu d là đường trung trực của đoạn thẳng AA’. (H1) - Hai điểm A và A’ được gọi là đối xứng với nhau qua điểm O, nếu O là trung điểm của AA’.(H2) A' Chỳc cỏc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 20 ( d ) A O A' H2 H1 A
  21. CHUYấN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 2. Tớnh chất: -. Mọi điểm nằm trờn đường thẳng (d) đều cỏch đều hai đầu mỳt A và A’. 3. Quy ước: -. Điểm nằm trờn trục đối xứng (d) thỡ điểm đối xứng với nú qua (d) là chớnh nú. - Điểm đối xứng với điểm O qua tõm O chớnh là điểm O. B. Bài tập Bài 1: Cho ABC cú àA 600 , cỏc đường phõn giỏc BD và CE cắt nhau tại I, qua E kẻ đường thẳng vuụng gúc với BD cắt BC ở F, CMR: a, E và F đối xứng nhau qua BD b, IF là phõn giỏc Bã IC c, D và F đối xứng nhau qua IC Lời giải A a) EBF cõn tại B, BD là tia phõn giỏc gúc Bà , 60 nờn BD là đường trung trực EF. D Vậy E, F đối xứng với nhau qua BD E ã 0 à 0 à 0 à 0 I b) Tớnh BIC 120 nờn I1 60 , I2 60 , I3 60 , 1 4 2 3 vậy IF là tia phõn giỏc Bã IC c) IDC = IFC (g.c.g) => IF =ID, CF= CD B F C Do đú: CI là đường trung trực của DF Vậy D, F đối xứng với nhau qua CI Bài 2: Cho ABC nhọn, trong đú àA 600 , Lấy D là điểm bất kỡ trờn BC, gọi E, F lần lượt là điểm đối xứng của D qua cạnh AB, AC. EF cắt AB, AC lần lượt tại M, N a, CMR: AE=AF và Tớnh Eã AF b, CMR: AD là tia phõn giỏc DMN Lời giải A a) Ta cú: D và E đối xứng với nhau qua AB F nờn AB là đường trung trực của ED=> AE=AD N Tương tự AD= AF M Eã AD 2.Mã AD khi đú AE=AF, Ta cú: E ã ã DAF 2.DAM C B D Chỳc cỏc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 21
  22. CHUYấN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 => Eã AF 2 Mã AD Dã AM 2.àA 1200 b) Do đối xứng nờn ta cú: ãAEM ãADM và AEF cõn tại A nờn ãAEM ãAFN ãADM ãADN ãAFN ãADN Vậy AD là phõn giỏc gúc Mã DN Bài 3: Cho tứ giỏc ABCD, cú cỏc đường chộo AC và BD cắt nhau tại O, AD vuụng gúc AC, BD vuụng gúc với CB, Gọi E là giao điểm của AD và BC, d là đường thẳng đi qua cỏc trung điểm của EO và CD a) CMR: A và B đối xứng nhau qua đường thẳng d b) Tứ giỏc ABCD sẽ như thế nào nếu D trựng EO Lời giải E a, Ta cú: Gọi I, K lần lượt là trung điểm của OE và BC AOE vuụng tại A cú AI là trung tuyến I B Nờn AI= IE=IO (1) A BOE vuụng tại B cú BI là đường trung tuyến O Nờn BI=EI=IO (2) Từ (1) và (2) ta cú: IA = IB D K C Tương tự ADC vuụng tại A cú AK là đường trung tuyến => AK = DK=CK BDC cú BK là đường trung tuyến của tam giỏc vuụng nờn BK = KD= KC Nờn KA= KB hay K nằm trờn đường trung trực AB Vậy IK là trung trực của AB hay A và B đối cứng với nhau qua (d) b, Ta thấy EO là đường thẳng chứa đường cao của EDC Nếu d trựng với EO thỡ d vừa là đường trung trực AB và CD nờn ABCD là hỡnh thang cõn Bài 4: Cho ABC, kẻ cỏc đường cao BD và CJ, Gọi H là trực tõm của , E là trung điểm của AH, D là trung điểm của BC, CMR: I và J đối xứng với nhau qua ED Lời giải A BIC vuụng tại I cú ID là trung tuyến ứng với cạnh huyền BC BC E I => ID 2 J BC Chứng minh tương tự: JD ID JD H 2 Chỳc cỏc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 22 B D C
  23. CHUYấN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 Chứng minh tương tự: JE= EI => ED là đường trung trực của IJ => IJ đối xứng nhau qua ED Bài 5: Cho ABC, kẻ đường cao AH, Gọi D và E theo thứ tự là cỏc điểm đối xứng với H qua AB và AC, đường thẳng DE cắt AB, AC lần lượt tại M, N a) CMR: DAE cõn b) CMR: HA là phõn giỏc Mã HN c) CME : 3 đường thẳng BN, CM, AH thẳng hàng d) CMR : BN, CM là cỏc đường cao của ABC Lời giải b, Do Tớnh chất đối xứng ta => AB là phõn giỏc Dã MH AI  HM Kẻ AI AJ (1) AJ  DM AC là phõn giỏc Eã NH , A E I Kẻ AK  HN=> AK= AJ (2) K Từ (1) và (2) ta cú: AI = AK N M J Vậy A cỏch đều 2 cạnh gúc Mã HN D => HA là phõn giỏc gúc Mã HN c, Chứng minh tương tự ta cũng cú: CM là tia phõn giỏc Hã MN B H C BN là tia phõn giỏc gúc Mã NH Trong MHN cỏc đường phõn giỏc trong HA, MC, NB cựng đồng quy tại 1 điểm d, AB là phõn giỏc gúc Dã MH MC là phõn giỏc gúc Mã HN , mà 2 gúc Dã MH,Mã HN kề bự => MC AB => MC là đường cao ABC Chứng minh tương tự BN là đường cao của ABC Bài 6: Cho hỡnh thang vuụng ABCD, (AB//CD). Gọi E , F theo thứ tự là cỏc điểm đối xứng của B và điểm A qua đường thẳng DC, G, H theo thứ tự là cỏc điểm đối xứng của C và E qua AD a, CMR: D là trung điểm của BH b, CMR: AH// BF, CH// BG Lời giải A B a, Gọi I là giao BE và DC, do tớnh chất đối xứng ta cú: 1 BI =IE, Mà DF =AD và AD=BI=> DF =BI G 1 D 2 I Ta cũng cú: DI= HF 3 1 C 1 Chỳc cỏc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 23 1 H F E
  24. CHUYấN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 Hai tam giỏc vuụng BID và DFH bằng nhau cho ta DB= DH (1) à ả ả ả ả ả à 0 0 0 0 Và B1 D1 D1 D2 D3 D1 B1 90 90 90 180 => H, B, D thẳng hàng (2) Từ (1) và (2) => D là trung điểm BH à à b, Dễ dạng chứng minh được ADH = FDB => A1 F1 AH / /BF à à Dễ chứng minh được BDG = HDC =>C1 G1 CH / /GB Chỳc cỏc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 24
  25. CHUYấN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 HèNH BèNH HÀNH A. Lí THUYẾT 1. Định nghĩa: Hỡnh bỡnh hành là tứ giỏc cú cỏc cặp cạnh đối song A B song ABCD ABCD là hỡnh hỡnh hành D C AB // CD, AD // BC H1 - Chỳ ý: Hỡnh bỡnh hành là hỡnh thang đặc biệt cú hai cạnh bờn song song 2. Tớnh chất: Trong hỡnh bỡnh hành - Tớnh chất về cạnh: Cỏc cạnh đối bằng nhau - Tớnh chất về gúc: Cỏc gúc đối bằng nhau - Tớnh chất về đường chộo: Hai đường chộo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường 3. Dấu hiệu nhận biết - Tứ giỏc cú cỏc cạnh đối song song là hỡnh bỡnh hành - Tứ giỏc cú cỏc cạnh đối bằng nhau là hỡnh bỡnh hành - Tứ giỏc cú hai cạnh đối vừa song song vừa bằng nhau là hỡnh bỡnh hành - Tứ giỏc cú cỏc gúc đối bằng nhau là hỡnh bỡnh hành - Tứ giỏc cú hai đường chộo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường là hỡnh bỡnh hành 4. Mở rộng - Hai hỡnh bỡnh hành cú một đường chộo chung thỡ cỏc đường chộo của chỳng đồng quy tại trung điểm của đường chộo chung. A B Chỳc cỏc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 25 K O H D C
  26. CHUYấN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 B. BÀI TẬP Bài 1: Cho tứ giỏc ABCD. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB, CD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AF, CE, BF, DE. CMR: Tứ giỏc MNPQ là hỡnh bỡnh hành Lời giải B E Ta cú : QF, NF là đường trung bỡnh của tam giỏc DEC A QF // EC QF // NE P ; NF // DE QE // NF Q N I M QFNE là hỡnh bỡnh hành QN, FE D F C Cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường Gọi I là trung điểm của EF I là trung điểm của QN Chứng minh tương tự: Tứ giỏc MEPF là hỡnh bỡnh hành I là trung điểm của MP dpcm Bài 2: Cho tứ giỏc ABCD và điểm I thuộc miền trong tứ giỏc. Gọi M, N, P, Q lần lượt là cỏc điểm đối xứng với I qua trung điểm của cỏc cạnh AB, BC, CD, DA. CMR: MNPQ là hỡnh bỡnh hành Lời giải MN // FE;MN 2FE; PQ // GH; PQ 2GH; HG // AC 1 1 HG AC; FE // AC; FE AC 2 2 M E B A Q H I F N D G C P Chỳc cỏc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 26
  27. CHUYấN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 Bài 3:Cho tam giỏc ABC và một điểm I thuộc miền trong của tam giỏc. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB. Gọi D, E, F lần lượt là cỏc điểm đối xứng với I qua M, N, P. Chứng minh rằng cỏc đường thẳng AD, BE, CF đồng quy Lời giải A +) Tứ giỏc FAIB là hỡnh bỡnh hành ( hai đường chộo cắt nhau tại trung điểm của mỗi F N E đường ) P I FA// BI(1) +) Tứ giỏc BICD là hỡnh bỡnh hành B M C BI // CD(2) D Từ (1)(2) FA / / CD(1) FACD là hỡnh bỡnh hành AD,CF cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường (3) Tương tự: ABDE là hỡnh bỡnh hành AD, BE cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường (4) Từ (3)(4) ta cú điều phải chứng minh Bài 4: Cho ABC , O là 1 điểm thuộc miền trong tam giỏc. D, E, F là trung điểm của AD, BC, CA. L, M, N lần lượt là trung điểm của OA, OB, OC. CMR: EL, FM, DN đồng quy A Lời giải +) DMFN là hỡnh bỡnh hành, do: L 1 DF MN BC D F 2 DF / /MN / /BC O N DN, FM cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường M B E C MLFE : hbh Tương tự: DLNE : hbh Chỳc cỏc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 27
  28. CHUYấN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 Bài 5: Cho hỡnh bỡnh hành ABCD,ADˆC 750 . O là giao điểm hai đường chộo. Từ D hạ DE, DF lần lượt vuụng gúc với AB và BC (E AB, F AC ). Tớnh FOˆE Lời giải E A 1 1 B +) Gọi O là giao điểm của AC và BD 2 O Vậy O là trung điểm của AC, BD ABˆC ADˆC 750 D C Xột tam giỏc vuụng DEB, cú: BD 1 AO OD OB Eˆ Bˆ 2 1 1 F ˆ ˆ ˆ +) EOD B1 E1 2B1(Gocngoai ) 1 +) FO BD 0B 0D Bˆ Fˆ FOˆD 2Bˆ 2 2 1 2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 0 Tương tự: FOE EOD FOD 2(B1 B2 ) 2ABC 150 Bài 6: Cho ABC , cú cỏc trung tuyến AD, BE, CF. Biết rằng BE  CF . CMR: AD2 BE 2 CF 2 Sử dụng phương phỏp dịch chuyển tức thời A Lời giải Dựng hỡnh bỡnh hành BEMC MC BE E MC // BE MC  CF(BE  CF) M F ME // BC G FE // CB(duongTB ) Vậy M, E, F thẳng hàng B D C Chỳc cỏc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 28
  29. CHUYấN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 1 +) FE BC 2 1 3 FM ME FE BC BC BC(1) 2 2 AD 3GD 3 Mặt khỏc: 1 AD BC(2) BGC :GD BC 2 2 MF AD MF 2 AD2  Từ (1)(2) AD2 FC 2 BE 2 (dpcm) 2 2 2  Pytago : FM FC MC  Bài 7: Cho hỡnh bỡnh hành ABCD. Về phớa trong hỡnh bỡnh hành dựng cỏc tia Ax, By, Cz, Dt lần lượt tạo với AB, BC, CD, DA cỏc gúc bằng nhau và bằng  . Cỏc tia này cắt nhau tạo thành tứ giỏc MNPQ. CMR: AC, BD, MP, NQ đồng quy Lời giải A 1 M B 2 2 1 N Q 1 2 2 P 1 D C +) Đi chứng minh tứ giỏc MNPQ là hỡnh bỡnh hành Aˆ Cˆ  1,2 1,2 ˆ ˆ  C2 A2 MN // PQ(1) ˆ ˆ A1 C1  ˆ ˆ Tương tự: B2 D2 MQ// NP(2) MNPQ: hinhbinhhanh +) Thờm: AMCP là hỡnh bỡnh hành Chỳc cỏc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 29
  30. CHUYấN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 AM CP ADM CBP(gcg) HBH dpcm AM // CP Bài 8:Cho tứ giỏc ABCD, E là trung điểm của AD, F là trung điểm của BC. G là đỉnh của hỡnh bỡnh hành CADG và H là đỉnh của hỡnh bỡnh hành CABH a. Chứng minh BD // GH b. HD = 2EF Lời giải a. Cú DG // BH và DG = BH nờn tứ giỏc BDGH là hỡnh bỡnh hành BD GH (dpcm) b. Gọi I là trung điểm của BD, J là trung điểm của BH A 1 JI DH (1) 2 B 1  EI A E 2 F 1 EI JF I JE CH  J 2 EI / /JF C AB CH D  EIJF : hinhbinhhanh H JI FE(2) HD 2FE(dpcm) G Bài 9: Cho tam giỏc ABC. Gọi A’ đối xứng với A qua C, B’ đối xứng với B qua A, C’ đối xứng với C qua B. Gọi BM là trung tuyến của tam giỏc ABC, B’M’ là trung tuyến của tam giỏc A’B’C’ a. Chứng minh tứ giỏc ABM’M là hỡnh bỡnh hành b. G là giao điểm của BM và B’M’. Chứng minh rằng G là trọng tõm tam giỏc ABC và A’B’C’ Lời giải Chỳc cỏc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 30
  31. CHUYấN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 1 1 a. BM ' // A'C BM ' // AC AM ABMM ': hinhbinhhanh 2 2 b. Gọi I là trung điểm của B’G, J là trung điểm của BG Suy ra IJ là đường trung bỡnh của tam giỏc GBB’ 1 JI // AB JI // BB ' 2 JI AB JI // MM ' JIMM ': hinhbinhhanh GM ' GI IB ' Suy ra G là trung điểm của IM’ ; MJ G ABC, A' B 'C ' GM GJ JB B' I A M G J C' C B M' A' Bài 10*: Cho tam giỏc đều ABC, một đường thẳng song song với BC cắt AB, AC tại D và E. Gọi G là trọng tõm của tam giỏc ADE, I là trung điểm của CD. Tớnh số đo cỏc gúc tam giỏc GIB Lời giải +) Qua C kẻ đường thẳng song song với BD cắt ED tại K +) CBDK là hỡnh bỡnh hành. Nờn KB cắt CD tại I +) GD = GE +) GDˆK GDˆB 1500 Chỳc cỏc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 31
  32. CHUYấN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 KC KE +) KEC đều KE BD GEK GDB(cgc) GK GB GBK : cõn KC DB Suy ra GI là trung tuyến, đường cao GI  BK GIˆB 900;KGˆB EDˆG 1200 ( AED: deu,G:trongtam) GBK GKB 300 ( GKB:cantaiG) IGˆB 600 A G K D E I C B Bài 11*: Cho tam giỏc ABC, H là trực tõm, I là giao điểm cỏc đường trung trực, K là điểm đối xứng với H qua trung điểm BC. CMR: K đối xứng với A qua I Lời giải A M là trung điểm của BC và HK BHCK Là hỡnh bỡnh hành H N P BH // CK ; BH  AC CK  AC CH // BK I I' BK // CH C AB  BK B M CH  AB Gọi I’ là trung điểm của AK I ' N là đường trung bỡnh của tam K giỏc ACK I ' N // CK ' I ' N  AC Goi P là trung điểm của AB I ' P là đường trung bỡnh của tam giỏc ABK Chỳc cỏc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 32
  33. CHUYấN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 I ' P // BK I ' P  AB I ' N :trungtruc : AC  Cú:  I  I ' K đối xứng với A qua I. I ' P  AB I ' P :trungtruc : AB Bài 12*: Cho ABC , về phớa ngoài tam giỏc vẽ cỏc tam giỏc đều ABD, ACE. Gọi I, M, N lần lượt là trung điểm của DE, AB, AC. CMR: IMN đều E 1 A I F 1 M N D 1 C B Lời giải Dựng phương phỏp phúng to tam giỏc IMN FE AD BD Gọi F là điểm đối xứng với A qua I ADFE là hỡnh bỡnh hành DF AE CE BF FC +) ADˆF AEˆF Dˆ Eˆ ( 600 ADˆF) FEC BDF(cgc) 1 1 ˆ ˆ F1 B1 ˆ 0 ˆ ˆ ˆ 0 ˆ ˆ ˆ 0 0 ˆ 0 ˆ +) BFC 360 F1 BFD DFE 360 DBF BFD DFE 360 (180 BDF) (180 ADF) BDˆF ADˆF ADˆB 600 BFC đều 1 1 1 +) MI BF; NI FC;MN BC MI NI MN MNI đều 2 2 2 Chỳc cỏc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 33
  34. CHUYấN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 Bài 13: Cho HBH ABCD, Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AD, BC, đường chộo AC cắt BE, DF lần lượt tại P và Q, gọi R là trung điểm của đoạn thẳng BP, CMR: a) AP = PQ = QC b) Tứ giỏc ARQE là hỡnh bỡnh hành Lời giải a, Trong BDC cú CO và DF là hai đường trung tuyến nờn Q là trọng tõm D C 1 1 OQ QC OC 2 3 Q E Tương tự ABD cú P là trọng tõm O 1 1 OP AP AO P 2 3 R A Từ (1) và (2) ta cú AP= QC B Ta lại cú : 2 AC 2 PQ AC AP QC AC 2AP AC AO AC AC AP 3 3 3 Vậy AP = PQ = QC 1 b, Vỡ P là trọng tõm ABD nờn EP PB PR 2 Tứ giỏc ARQE cú hai đường chộo cắt nhau tịa trung điểm mỗi đường nờn là HBH Bài 14: Cho HBH ABCD cú àA 1200 , Tia phõn giỏc gúc D đi qua trung điểm I của AB, Kẻ AH vuụng gúc với DC, CMR: a) AB = 2AD b) DI = 2AH c) AC vuụng gúc AD Lời giải H C a) DAI cõn đỉnh A D 1 => AD = AI= AD AI AB 2 M b) Kẻ AH  DC, AM  DI 1 A I B => ADM = ADH => AH= DM = DI 2 c, ADC cú Dà 600 CD 2.AD ADC vuụng tại A BD Bài 15: Cho HBH ABCD, lấy hai điểm E, F trờn BD sao cho BE DF 2 a) CMR: AECF là HBH b) Gọi K là giao điểm của CE và AB, I là trung điểm của AK, xỏc định vị trớ điểm E sao cho AI = IK = KB Chỳc cỏc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 34
  35. CHUYấN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 Lời giải A I K a) Xột ABE và CDF ta cú: 1 B à ả E AB = CD, B1 D1 và BE = CF => ABE= CDF (c. g.c) => AE= CF O Chứng minh tương tự AF = CE F 1 => AECF là hỡnh bỡnh hành D C b) Ta cú: OA OC BK IK OI / /CK , khi đú: E là trung điểm OB AI KI KE / /IO Bài 16: Cho tam giỏc ABC, trờn tia đối của tia BC, lấy điểm D, trờn tia đối của tia CB lấy điểm E sao cho BD=BC=CE, Qua D kẻ đường thẳng // với AB cắt AC ở H, qua E kẻ đường thẳng // với AC cắt AB ở k, chỳng cắt nhau ở I a) Tứ giỏc BHKC là hỡnh gỡ? b) Tia IA cắt BC tại M, CMR : MB=MC c) Tỡm điều kiện của ABC để tứ giỏc DHKE là hỡnh thang cõn Lời giải I a, Tứ giỏc BHKC là hỡnh bỡnh hành vỡ cú 2 đường chộo BK và HC cắt nhau tại trung điểm H K của mỗi đường b, Tứ giỏc AHIK cũng là hỡnh bỡnh hành A nờn AK// IH và AK= IH AB // IH và AB = IH D B M C E => ABHI là hỡnh bỡnh hành => IA // HB => AM là đường trung bỡnh của  HBC => BM = MC c, Tứ giỏc DHKE là hỡnh thang vỡ HK // DE, để là hỡnh thang cõn Dà Eà Hay Bà Cà ABC cõn tại A Bài 17: Cho hỡnh thang vuụng ABCD àA Dà 900 , cú CD= 2AB, gọi H là hỡnh chiếu của D trờn AC, M là trung điểm của HC, CMR: Bã MD 900 Lời giải A B Gọi N là trung điểm của HD, ta cú: MN là đường trung bỡnh H Chỳc cỏc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 35 M N D C
  36. CHUYấN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 1 MN DC, MN / /DC 2 1 Mà: AB / /DC, AB DC 2 nờn AB // MN và AB = MN => ABMN là hỡnh bỡnh hành => AN // BM ADM cú DH  AM, MN  AD, AN  DM Khi đú Bã MD 900 Bài 18: Cho hỡnh thang vuụng ABCD, àA Dà 900 , CD=2AB=2AD, Gọi H là hỡnh chiếu của D lờn AC. Gọi M, P, Q lần lượt là trung điểm của CD, HC và HD a) CMR: Tứ giỏc ABMD là hỡnh vuụng và tam giỏc BDC là tam giỏc vuụng cõn b) CMR: DMPQ là hỡnh bỡnh hành c) CMR: AQ vuụng gúc với DP Lời giải a) Chứng minh tứ giỏc ABMD cú 4 cạnh bằng nhau, A B H lại cú àA 900 nờn ABMD là hỡnh vuụng BCD cú MB = MC = MD nờn là tam giỏc vuụng , Q P lại cú Bã DC 450 Do đú: BDC là tam giỏc vuụng cõn ở B D M C b) Tứ giỏc DMPQ là hỡnh bỡnh hành vỡ cú PQ// DM và PQ = DM c) Chứng minh Q là trực tõm của ADP Bài 19: Cho tam giỏc ABC cú gúc A tự, AC > AB, H là chõn đường cao hạ từ A, về phớa trong gúc Bã AC , dựng D và E sao cho AD vuụng gúc với AB, AD = AB, AE vuụng gúc với AC và AE = AC, M là trung điểm DE. CMR: A, H, M thẳng hàng Lời giải A Dựng hỡnh bỡnh hành DAEF M là trung điểm A AE = DF N Mà AE AC => DF AC I B C H Dã AE Bã AC Dã AE Bã AD Dã AC 900 900 1800 Ta cú: D Mà: Dã AE ãADF 1800 Bã AC ãADF M E ADF = ABC (c.g.c) Bà Dã AF và Cà Fà Gọi FD cắt BC tại I, cắt AC tại N và AF cắt BC tại H’ Chỳc cỏc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 36 F
  37. CHUYấN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 Hã ' IF Nã IC d 2 0 IãH ' F Nà 90 , à à C F Hay AF BC tại H A, F, H thẳng hàng A, H, M thẳng hàng Bài 20: Cho HBH ABCD cú AB và BD cắt nhau tại O, Gọi (d) là đường thẳng đi qua A và khụng cắt đoạn BD, gọi BB’, CC’, DD’ là khoảng cỏch từ B, C, D đến đường thẳng (d), ( B’, C’, D’ nằm trờn (d) ). CMR: BB’ + DD’ = CC’ Lời giải Vẽ OO’  (d) (O’ (d) ) Khi đú ta cú: BB’D’D là hỡnh thang B' cú OO’ là đường trung bỡnh nờn: A B 2.OO’= BB’ + DD’ (1) O' Tương tự ACC’ cú OO’ là đường trung bỡnh nờn: C' O 2.OO’ = CC’ (2) D' Từ (1) và (2) BB’ + DD’ = CC’ D C Bài 21: Cho HBH ABCD và đường thẳng (d) nằm bờn ngoài HBH, Gọi A’, B’, C’, D’ lần lượt là hỡnh chiếu của A, B, C, D trờn (d). CMR: AA’+ CC’ = BB’ + DD’ Lời giải A B Vỡ ABCD là hỡnh bỡnh hành Nờn hai đường chộo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường O Gọi O là giao của hai đường chộo AC và BD O’ là hỡnh chiếu của O xuống (d) D C Khi đú ta cú: OO’ là đường trung bỡnh của d A' D' O' B' C' hỡnh thang AA’C’C nờn: 2OO’ = AA’ + CC’ (1) Tương tự OO’ là đường trung bỡnh của hỡnh thang DD’B’B Nờn: 2.OO’ = DD’ + BB’ (2) Từ (1) và (2) => AA’ + CC’ = BB’ + DD’ Vậy HM BN => BMN cú MH vừa là đường cao vừa là trung tuyến nờn MB = MN Bài 22: Cho ABC cú ba gúc nhọn (AB<AC), gọi H là trực tõm, O là giao điểm của 3 đường trung trực của tam giỏc, D là điểm đối xứng của A qua O a) CMR: Tứ giỏc BHCD là HBH b) Gọi M là trung điểm của BC, CMR : AH=2.MO Chỳc cỏc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 37
  38. CHUYấN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 Lời giải A a) Từ AO= OC = OD Chứng minh ãACD 900 , ta cú: DC AC, BH AC ( H là trực tõm của ABC) BH // DC H Chứng minh tương tự ta cũng cú: CH// DB O Vậy BHCD là Hỡnh bỡnh hành b, M là trung điểm của BC B M C M là trung điểm của HD Mà O là trung điểm của AD OM là đường trung bỡnh của AHD D 1 OM = AH AH = 2OM 2 Bài 23: Cho HBH ABCD, Cỏc đường cao AE và AF, biết AC = 25cm, EF = 24cm, Tớnh khoảng cỏch từ A đến trực tõm H của AEF Lời giải A N B Kẻ CN vuụng gúc với AB, Tứ giỏc EHFC cú EH // CF, HF // FC nờn EHFC là hỡnh binh hành AN = HF (= EC) H F Tứ giỏc ANFH cú AN = HF, AN // HF nờn là hỡnh bỡnh hành AH + NF, AH// NF D E C Lại cú AH  EF nờn NF  EF EFN vuụng tại F cú EF = 24cm, NE = AC = 25cm nờn NF 2 NE 2 EF 2 252 242 49 NF 7 AH 7cm Bài 24: Cho tam giỏc ABC đều, một đường thẳng // với BC cắt AB, AC ở D và E, Gọi D là trọng tõm của tam giỏc ADE, I là trung điểm của CD, Tớnh số đo cỏc gúc của tam giỏc GIB Lời giải A Qua C vẽ đường thẳng song song với BD, cắt DE tại K G Ta cú: BDKC là hỡnh bỡnh hành => B, I, K thẳng hàng D E K Chứng minh GDB= GEK (c.g.c) Để GBK cõn tại G cú Bã GK 1200 , I do đú cỏc gúc của GBI lần lượt là 900 ,600 ,300 B C Chỳc cỏc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 38
  39. CHUYấN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 Bài 25: Cho ABC, D trờn AB, E trờn AC sao cho BD=CE, Gọi M, N là trung điểm của BC, DE, Vẽ cỏc hỡnh bỡnh hành BDNI và CENK a) CMR: I, M, K thẳng hàng b) MN cắt AC tại Q, cắt BA tại P, CMR: APQ cõn Lời giải BI / /DN P a, Tứ giỏc BDNI là hỡnh bỡnh hành BI / /DE BI DN KC / /NE A Tứ giỏc NECK là hỡnh bỡnh hành KC / /DE 1 KC NE Q 2 Từ đú ta cú KC//DE và BI= KC D => Tứ giỏc BICK là hỡnh bỡnh hành N E 1 2 cú M là trung điểm của BC K C => M đi qua trung điểm IK => I, K, M thẳng hàng B M I b, Ta cú: NI=DB, NK= CE mà BD = CE => NI = NK => NIK cõn tại N ả ả Mà MN là đường trung tuyến => NM là phõn giỏc N1 N2 ả ả Lại cú: NK // QC N2 Q2 ( đồng vị) ả à và NI // BD N1 P ( đồng vị ) ả à à ả à à Q2 P Q1 Q2 ( đối đỉnh) P Q1 . Vậy APQ cõn tại A Chỳc cỏc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 39
  40. CHUYấN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 ễN TẬP HèNH CHỮ NHẬT A. Túm tắt lý thuyết A B 1. Định nghĩa: Hỡnh chữ nhật là tứ giỏc cú bốn gúc vuụng ABCD H1 ABCD là hỡnh chữ nhật ˆ ˆ ˆ ˆ A B C D D C - Nhận xột: Hỡnh chữ nhật cũng là 1 hỡnh bỡnh hành, 1 hỡnh thang cõn 2. Tớnh chất: Hỡnh chữ nhật cú tất cả cỏc tớnh chất của hỡnh bỡnh hành và hỡnh thang cõn - Tớnh chất về cạnh: Cỏc cạnh đối bằng nhau, song song với nhau - Tớnh chất về gúc: Bốn gúc bằng nhau - Tớnh chất về đường chộo: Hai đường chộo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường 3. Dấu hiệu nhận biết - Tứ giỏc cú ba gúc vuụng là hỡnh chữ nhật - Hỡnh thang cõn cú 1 gúc vuụng là hỡnh chữ nhật - Hỡnh bỡnh hành cú 1 gúc vuụng là hỡnh chữ nhật - Hỡnh bỡnh hành cú hai đường chộo bằng nhau là hỡnh chữ nhật 4. Ứng dụng vào tam giỏc vuụng A - Trong tam giỏc vuụng, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền 1 M bằng nửa cạnh huyền, ta cú: BM AC 2 B C - Nếu một tam giỏc cú đường trung tuyến ứng với 1 cạnh bằng nửa 1 cạnh ấy thỡ tam giỏc đú là tam giỏc vuụng: BM AC ABC vuụng 2 B. Bài tập Chỳc cỏc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 40
  41. CHUYấN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 Bài 1: Cho hỡnh chữ nhật ABCD. Gọi H là hỡnh chiếu của B lờn AC. Trờn tia đối của tia BM lấy điểm E sao cho BE = AC. Chứng minh rằng: ADˆE 450 E Lời giải +) Ta cú ABCD là hỡnh chữ nhật AC BD BE BED ˆ ˆ Cõn tại B D1 E A B Mặt khỏc OC OD OCˆD ODˆC O ˆ ˆ ˆ 1 ˆ 1 ˆ 1 +) ADE EDB BDC OBH BOH ( gúc ngoài tam 2 H 2 2 D C 1 giỏc ) .900 450 2 Bài 2: Cho hỡnh chữ nhật ABCD. Trờn cỏc đoạn AB, BC, CD, DA lần lượt lấy cỏc điểm M, N, P, Q. Chứng minh rằng: MN NP PQ QM 2AC Lời giải A M B Gọi E, F, I lần lượt là trung điểm của MQ, NP, QN E N Vỡ AQN, CPN là cỏc tam giỏc vuụng Q I F MQ 2AE; NP 2CF  1 1  VT 2(AE EI FI FC) 2AC D C IE MN; FI PQ 2 2  Bài 3: Cho hỡnh chữ nhật ABCD và điểm E thuộc đoạn BD, gọi F là điểm đối xứng với A qua E. Gọi H, K lần lượt là hỡnh chiếu của F lờn BC, CD. CMR: E, H, K thẳng hàng Lời giải A B E Ta cú HKCF là hỡnh chữ nhật F HK, FC cắt nhau tại trung điểm O H I của mỗi đường 1 1 D M C K Chỳc cỏc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 41
  42. CHUYấN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 EI là đường trung bỡnh CFA EI // AC(1) +) Gọi M là trung điểm của DK nờn EM là đường trung bỡnh hỡnh thang ADKF ˆ ˆ ˆ EM // FK EM  CD DEK cõn tại E D1 K1 C1 EK // AC(2) E, I, K :thanghang Từ (1)(2) E, H, K thẳng hàng H IK Bài 4: Cho hỡnh chữ nhật ABCD. Gọi H là hỡnh chiếu của A lờn BD, gọi M, N lần lượt là trung điểm của HD, BC. CMR: AM  MN Lời giải A B Gọi e là trung điểm của AH nờn ME là đường trung F bỡnh của N 1 1 H AHD ME // AD;ME AD BC BN BEMN 2 2 M D C Là hỡnh bỡnh hành BE // MN(1) ME // AD +) ME  AB AD  AB AMB cú E là trực tõm BE  AM (2) AM  MN(dpcm) Bài 5: Cho hỡnh chữ nhật ABCD. Qua điểm E thuộc đoạn AC kẻ đường thẳng song song với BD nú cắt AD, CD ở M và N. Dựng hỡnh chữ nhật NDMF. Chứng minh E là trung điểm của BF Lời giải A P 1 B 1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ +) A1 P1 B1 D1 C1 AEP E F cõn tại E AE EP M +) Tương tự: 1 1 AE EM EM MP N D C +) BPND là hỡnh bỡnh hành ND PB PBMF : hinhbinhhanh ND FM EM MP Chỳc cỏc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 42
  43. CHUYấN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 Bài 6:Cho hỡnh chữ nhật ABCD cú AB > AD. Lấy điểm E thuộc đoạn AD, cỏc điểm I, K thuộc đoạn CD sao cho DI = CK = AE. Đường thẳng qua K và vuụng gúc với EK cắt đoạn BC tại M. Chứng minh rằng: IM  IE Lời giải A B +) Gọi N, H là trung điểm của EM, CD N E M NH là đường trng bỡnh hỡnh thang EDCM NH  CD HD HC  +) DI IH HK KC HI HK NIK D I H K C DI KC  NI NK 1 1 Cõn tại N 1 NK NM NI NM NK EM 2 2 2 EIM vuụng tại I EI  MI Bài 7: Cho hỡnh chữ nhật ABCD, kẻ BH  AC , gọi M là trung điểm của AH, K là trung điểm của CD. CMR: BM  MK Lời giải A B Qua M kẻ đường thẳng vuụng gúc với BC, cắt BH tại I M I Ta cú: MI // AB // CD H D K C M là trung điểm của AH nờn MI là đường trung bỡnh của 1 MI // CK MI AB ABH 2 1 MICK MI CK CD IH IB 2 là hỡnh bỡnh hành MK // CI(1) Trong MBC cú I là trực tõm CI  MB(2) BM  MK dpcm Bài 8: Cho hỡnh chữ nhật ABCD, M là điểm bất kỳ nằm trong hỡnh chữ nhật, vẽ ME  AB tại E, MF  AD tại F, CK  AM tại K. Chứng minh rằng : Chỳc cỏc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 43
  44. CHUYấN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 a) ME 2 MF 2 MA2 b) MA2 MC 2 MB 2 MD 2 c) Bã KD 900 Lời giải A E B a) Tứ giỏc AEMF là hỡnh chữ nhật H F MA EF ME 2 MF 2 EF 2 AM 2 M b) Gọi G là giao điểm của EM và CD, O K H là giao điểm của FM và BC => Tứ giỏc DFMG, GMHC, EBHM là hỡnh chữ nhật, Do vậy MC 2 MH 2 MG 2 D G C MB2 ME 2 MH 2 MD 2 MG 2 MF 2 => ĐPCM c) Gọi O là giao của 2 đường chộo AC và BD AC BD => KO BK  DK Bã KD 900 2 2 Bài 9: Cho H là hỡnh chiếu của B trờn đường chộo AC của HCN ABCD, M và K theo thứ tự là trung điểm của AH và CD 1 a) Gọi I và O theo thứ tự là trung điểm của AB và IC. CMR: MO IC 2 b) Tớnh số đo Bã MK ? A I B Lời giải Ta cú: BIKC là Hỡnh chữ nhật nờn O là trung điểm của IC và BK M O 1 Xột IMC vuụng, Ta cú : MO= DC 2 H 1 1 b, MBK cú MD = IC= BK, Nờn Bã MK 900 D C 2 2 1 1 MBK cú MD IC BK Bã MK 900 2 2 Bài 10: Cho ABC vuụng cõn tại A cú AH là A đường cao, Gọi M là 1 điểm bất kỳ trờn cạnh K BC, I và K là hỡnh chiếu vuụng gúc của M trờn AB, AC, CMR: IHK vuụng cõn I Lời giải 1 Chứng minh AIMK là hỡnh chữ nhật 2 3 B M H Chỳc cỏc em chămC ngoan – học giỏi !! Trang 44
  45. CHUYấN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 Vỡ ABC vuụng cõn tại A => AK= IM = BI mà BH = HA => Hã BI Hã AK 450 => BHI = AHK (c. g. c) => IH = HK ả ả 0 ả ả 0 Mà H3 H2 90 H1 H2 90 Bài 11: Cho ABC vuụng tại A (AC > AB), đường cao AH, trờn HC lấy HD = HA, đường  BC tại D cắt AC tại E a) CMR: AE = AB b) M là TĐ của BE, Tớnh ãAHM Lời giải a, Chứng minh AE = AB Kẻ EF  AH => tứ giỏc HDEF là hỡnh chữ nhật => HBA FAE(gcg ) AB AE A BE b, ABE vuụng cõn tại A AM 2 BE BDE vuụng cõn tại D MD E 2 F Từ đú ta cú: AM = MD M ả ả 0 B C Xột AHM DHM (cgc) H1 H2 45 H D Bài 12: Cho ABC cõn tại A, từ 1 điểm D bất kỳ trờn đỏy BC, vẽ đường thẳng vuụng gúc với BC cắt cỏc đường thẳng AB, AC ở E và F, Vẽ cỏc HCN BDEH, CDFK, Gọi I, J lần lượt là tõm cỏc HCN BDEH và CDFK, M là trung điểm của AD a) CMR: Trung điểm HK là 1 điểm cú định khụng phụ thuộc vào vị trớ của D trờn BC b) CMR: 3 điểm I, J, M thẳng hàng và 3 đường thẳng AD, HJ, KI đồng quy Lời giải H E à ả à à ả à a) Ta cú: B1 D1 mà B1 C1 D1 C1 ID / / AC A Chứng minh tương tự ta cú: JD // AB Khi đú AIDJ là hỡnh bỡnh hành => AJ // ID, AJ = ID => Chứng minh AHIJ là hỡnh bỡnh hành I F K => IJ // AH và IJ = AH và IJ // AK và IJ = AK M Khi đú 3 điểm A, H, K thẳng hàng J và A là trung điểm của HK 1 1 2 1 B D ChỳcC cỏc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 45
  46. CHUYấN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 b) Tứ giỏc AIDJ là hỡnh bỡnh hành => M là trung điểm của AD, thỡ M nằm trờn đường chộo của HBH Bài 13: Cho HCN ABCD và E là điểm nằm trờn đường chộo AC, trờn tia đối của tia EB lấy F sao cho EF = BE, Gọi M, N là hỡnh chiếu của F trờn 2 đường thẳng AD, DC. CMR: a) DF // AC và MN // BD b) 3 điểm E, M, N thẳng hàng Lời giải a, Dễ thấy OE là đường trung bỡnh của BDF => DF // OE => DF // AC A B à ả 1 A1 D1 ( Đồng vị ) à ả ả => OAD cõn A1 D2 D1 O ả ả => IDM cõn D1 M1 2 N Dả Mả ( đồng vị) => MN // DB D 2 1 1 C b, I là trung điểm DF => IE là trung bỡnh I => IE // DB mà MN // BD 1 1 Vậy M, N, E thẳng hàng M F Bài 14: Cho hỡnh chữ nhật ABCD, điểm P thuộc đường chộo BD ( P khỏc B và D), Gọi M là điểm đối xứng của C qua P a) Chứng minh AM song song với BD b) Gọi E, F lần lượt là hỡnh chiếu của M trờn AD và AB. Chứng mỉnh ba điểm E, F, P thẳng hàng c) Chứng minh tỉ số độ dài hai đoạn thẳng MF và FA khụng phụ thuộc vào vị trớ của P B C P O M I F E A D K a) Ta cú: O là trung điểm của AC (ABCD là hỡnh chữ nhật) P là trung điểm của CM ( Vỡ M đối xứng với C qua P) Chỳc cỏc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 46
  47. CHUYấN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 Nờn Op là đường trung bỡnh của ACM, do đú: OP//AM=> AM//BD 1 b) Vỡ OP là đường trunh bỡnh của ACM nờn OP//AM và OP= AM 2 Do đú: OP//AI và OP=AI=> tứ giỏc AIPO là hỡnh bỡnh hành=> PI// AC (1) Kẻ ME//AB cắt AC tại K, ta cú: Kã AE Eã AM Kã DA Nờn AE là phõn giỏc Kã AM , mặt khỏc: AE  KM AKM cõn E là trung điểm của KM, do đú EI là đường trung bỡnh của AMK=> EI//OA=>EI// AC (2) Ta lại cú: E, I, F thẳng hàng (3) Từ (1), (2) và (3) ta cú: E, F, P thẳng hàng. Bài 15: Cho ABC vuụng tại A, đường cao AH, trung tuyến AM, Gọi D và E theo thứ tự là chõn đường vuụng gúc kẻ từ H đến AB, AC ,CMR: a, AH= DE b, Hã AB Mã AC c, AM  DE d, DI//EK, với I là trung điểm của HB, K là trung điểm của HC Lời giải a) Tứ giỏc ADHE cú 3 gúc vuụng nờn là HCN => AH= DE b) ABC vuụng tại A, Cú AM là đường trung tuyến => AM= MB= MC ã à B => AMC cõn tại M => MAC C I 1 H Mặt khỏc Hã AB Cà , D Vỡ cựng phụ với Hã AC Hã AB Mã AC Cà M K O c) Chứng minh AM DE , Ta cú: àA Eả 900 , ta cú: 1 2 3 2 1 1 2 3 ả à ả à ả à 0 C E2 A1 E2 A3 E2 E1 90 A E d, Ta cú: HEC cú EK = KH = KC => EKC cõn tại K ả à à => E3 C A1 => EK //AM => KE  DE. Chứng minh tương tự=> DI  DE DI / /EK Bài 16: Cho ABC đều cú cạnh bằng 4cm, M và N là cỏc điểm lần lượt chuyển động trờn hai cạnh BC và AC sao cho BM= CN a) Tớnh diện tớch ABC b) Xỏc định vị trớ của M, và N để độ dài MN nhỏ nhất . Tỡm độ dài nhỏ nhất đú? Lời giải A Chỳc cỏc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 47 Q H N P B C M
  48. CHUYấN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 a 3 4 3 a) Tớnh được độ dài đường cao: h 2 3 cm 2 2 1 1 Suy ra diện tớch: S a.h 4.2 3 4 3(cm2 ) ABC 2 2 b) Gọi P và Q là chõn đường vuụng gúc kẻ từ M và N xuống AB 1 Ta cú: ANQ vuụng ở Q, cú: À 600 AQ AN 2 1 Tương tự đối với MPB cú : PB BM 2 1 1 1 1 Cộng theo vế ta được : AQ PB AN BM AN NC AC 2 2 2 2 Kẻ MH  QN . Tứ giỏc MPQH là hỡnh chữ nhật 1 1 Ta cú: MN MH PQ AB AQ BP AB AC AB 2 2 1 Như vậy khi M, N di chuyển ta luụn cú: MN AB 2 1 Và MN AB , Khi M, N lần lượt là trung điểm của BC và AC 2 Suy ra vị trớ của M,N cần xỏc định lần lượt là trung điểm BC và AC, 1 Khi đú độ dài nhỏ nhất của MN là : MN AB 2cm 2 Bài 17: Cho ABC nhọn, Trực tõm H, giao điểm của cỏc đường trung trực là O, Gọi P, Q, N theo thứ tự là trung điểm của cỏc đoạn thẳng AB, AH, AC a) CMR: OPQN là HBH b) ABC cần cú điều kiện gỡ để OPQN là HCN Lời giải a) Gọi O là giao của 3 đường trung trực nờn OP  AB,ON  AC Trong AHC, QN là đường trung bỡnh nờn QN// HC Và PO //HC ( cựng vuụng gúc với AB) Chứng minh tương tự ta cú: OPQN là hỡnh bỡnh hành Chỳc cỏc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 48
  49. CHUYấN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 A b) Tứ giỏc BCQN là hỡnh chữ nhật cú 2 đường chộo là NC và BQ => NC = BQ=> 1 1 MP NC BQ Q 2 2 N Xột MQB cú MP là đường trung tuyến nờn MP P 1 = BQ 2 H O Nờn MBQ vuụng tại M => MB  MQ B C HèNH THOI A. Túm tắt lý thuyết Chỳc cỏc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 49
  50. CHUYấN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 B 1. Định nghĩa: Hỡnh thoi là tứ giỏc cú bốn cạnh bằng nhau ABCD ABCD là hỡnh thoi A C O AB BC CD DA D 2. Tớnh chất: Hỡnh thoi cú tất cả cỏc tớnh chất của hỡnh bỡnh hành - Tớnh chất về cạnh: +) Cú bốn cạnh bằng nhau +) Cỏc cạnh đối song song - Tớnh chất về gúc: Cỏc gúc đối bằng nhau - Tớnh chất về đường chộo: +) Hai đường chộo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường +) Hai đường chộo vuụng gúc với nhau +)Hai đường chộo là cỏc đường phõn giỏc của cỏc gúc ở đỉnh của hỡnh thoi 3. Dấu hiệu nhận biết - Tứ giỏc cú bốn cạnh bằng nhau là hỡnh thoi - Hỡnh hỡnh hành cú hai cạnh kề bằng nhau là hỡnh thoi - Hỡnh bỡnh hành cú hai đường chộo vuụng gúc với nhau là hỡnh thoi - Hỡnh bỡnh hành cú một đường chộo là đường phõn giỏc của một gúc ở đỉnh là hỡnh thoi 4. Chỳ ý: - Hỡnh thoi cú 1 tõm đối xứng là giao điểm của hai đường chộo - Hỡnh thoi cú hai trục đối xứng là cỏc đường chộo của hỡnh thoi B. Bài tập Chỳc cỏc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 50
  51. CHUYấN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 Bài 1: Cho hỡnh thoi ABCD và điểm E nằm ngoài hỡnh thoi và khụng nằm trờn đường thẳng CD sao cho CD = CE. Dựng hỡnh bỡnh hành ACEF. Chứng minh rằng B là trực tõm DEF Lời giải F E Vỡ ABCD là hỡnh thoi CB CD BD  AC B Cú : BD  FE(1) AC // FE A C Lấy K đối xứng với E qua C EBK I vuụng tại B D ( đường trung tuyến bằng nửa cạnh huyền ) +) Cú KCFA là hỡnh bỡnh hành ( K CK //, FE ) CA, FK cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường BD, FK cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường BK // DF BFDK là hỡnh hỡnh hành (2) EB  BK Từ (1)(2) B là trực tõm EDF Bài 2: Cho tam giỏc ABC cú AB < AC, phõn giỏc trong AD. Lấy cỏc điểm M, N lần lượt thuộc cỏc đoạn AB, AC sao cho BM = CN. Gọi P, Q lần lượt là rung điểm của MC, MB. Chứng minh rằng AD  PQ K A Lời giải Gọi E, F lần lượt là trung điểm của MN, BC M EQ,QF, FP, PE là đường trung bỡnh của E N cỏc 1 BMN, BNC, BMC, MNC EQ FP BM; P 2 1 Q EP FQ NC EPFQ:lahinhthoi FE :laphangiac 2 B D F Chỳc cỏc em chămC ngoan – học giỏi !! Trang 51
  52. CHUYấN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 1 củQEˆP FEˆQ FEˆP PEˆQ(1) FE  PQ 2 +) Gọi k là giao điểm của FE và AB Vỡ EQ// AB BKˆF FEˆQ(2) mà: QEˆP BAˆC(3) ( gúc cú cạnh tương ứng song song ) 1 Từ (1)(2)(3) BKˆF BAˆC BAˆD FK // AD AD  PQ 2 Bài 3: Cho hỡnh thoi ABCD cú Aˆ 600 . Đường thẳng MN cắt AB ở M, cắt BC ở N. Biết BM + NB cú độ dài bằng 1 cạnh của hỡnh thoi. CMR MND đều Lời giải B N M +) ABD đều (1) A C BM BN AB +)  BN AM 3 AB BM MA 1 2 4 D +) AMD BND(cgc) DM DN(2) Dˆ Dˆ  1 3 ˆ ˆ 0  D2 D3 60 (3) MND: deu ˆ ˆ 0 D1 D2 60  Bài 4: Cho hỡnh bỡnh hành ABCD cú AB = 2AD, Dà 700 , vẽ BH vuụng gúc với AD, H AD . Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của CD và AB ã a) CMR: ANMD là hỡnh thoi b) Tớnh HMC Lời giải b) Ta cú: H 3 ả à 0 ả 1 2 M1 D 70 , Tớnh M 2 Ta cú: Mả Hả ( So le trong) A N 2 1 B ả ả ả ả Mà : M 2 H3 H1 H3 2 Chỳc cỏc em chăm ngoan – học70 giỏi !! 1 Trang 52 D M C
  53. CHUYấN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 ả ả à 0 Xột HAN cõn tại N => H1 H3 A 70 ả 0 ả 0 ã 0 0 0 =>H1 35 M 2 35 , Vậy HMC 35 70 105 Bài 5: Cho ABC nhọn, vẽ cỏc đường cao AD và BE, Tia phõn giỏc Ax của Dã AC cắt BE và BC lần lượt ở M và N, Tia phõn giỏc By của Eã BC cắt AD và AC lần lượt tại P và Q. CMR: a) AN BQ b) Tứ giỏc MPNQ là hỡnh thoi Lời giải A a) Ta cú: Eã BC Dã AC ( cựng phụ gúc C) 1 2 à ả à ả A1 A2 B1 B2 à ã 0 ả ã 0 EBQ vuụng B1 BQE 90 A2 BQE 90 E ãAOQ 900 AN  BQ M Q b) APQ cú AO vừa là đường phõn giỏc vừa là đường cao P O => AO là đường trung trực 1 B 2 => MP = MQ, NP = NQ D N C BMN cú BO vừa là đường phõn giỏc vừa là đường cao => là đường trung trực ( đpcm) Bài 6: Cho ABC đều, đường cao AD, M là điểm nằm giữa B và D, gọi N là Trung điểm của AM, vẽ ME vuụng gúc AB tại E, MF vuụng gúc AC tại F. CMR: DENF là hỡnh thoi Lời giải 1 Ta cú: MN = EN = DF= FN AM 2 A Eã ND Eã NM Mã ND 2.Eã AM 2Mã AD 2.Dã AE 600 1 Dã NF Mã NF Mã ND 2 Dã NF 2.Mã AC 2.Mã AD 2.Dã AC 600 N => NED đều, NDF đều 1 2 F Vậy DENF là hỡnh thoi E B M D C Bài 7: Cho tam giỏc đều ABC, trực tõm H, kẻ đường cao AD, một điểm M thuộc cạnh BC, từ M kẻ ME vuụng gúc với AB và MF vuụng gúc với AC, Gọi I là trung điểm của AM, CMR: a) DEIF là hỡnh thoi b) Đường thẳng HM đi qua tõm đối xứng của hỡnh thoi DEIF Lời giải A Chỳc cỏc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 53 K I F H N E G B M J D C
  54. CHUYấN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 1 a) ADM vuụng cú DI AM 2 1 Tương tự: EI AM DI EI EID cõn 2 à à EI AI AIE cõn cú I1 2A1 à ả ã à à 0 Tương tự : I2 2.A2 EID I1 I2 60 => EID đều => EI = ED = IP Chứng minh tương tự: IF = FD = ID => Tứ giỏc EIFD là hỡnh thoi b) Gọi O là giao điểm của hai đường chộo của hỡnh thoi DEIF và N là trung điểm AH, Ta cú: AMH cú IN là đường trung bỡnh => IN // MH, IDN cú OH là đường trung bỡnh => OH // IN Như vậy O, H, M thẳng hàng => MH đi qua giao điểm O của ID và EF Bài 8: Cho ABC, trờn tia AB ta lấy 1 điểm D, trờn tia AC lấy 1 điểm E sao cho BD=CE, Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của BC, CD, DE, EB a) CMR: MNPQ là hỡnh thoi b) CMR: cỏc đường chộo của hỡnh thoi MNPQ song song với cỏc phõn giỏc trong và ngoài của gúc A Lời giải A y b, Vỡ MNPQ là hỡnh thoi, MP và NQ là hai đường chộo => MP  NQ Gọi I, J lầ lượt là giao NQ với AB và AC B M C à à => PQ // AD =>I1 Q1 ( so le trong ) J Q Tương tự: Nả Qà => IAJ cõn tại A 1 1 N => Phõn giỏc Ax là đường cao I E => Ax  IJ, Mà MP  IJ P => Ax // MP D x Dễ dàng chứng minh được NQ // Ay. Bài 9: Cho hỡnh thoi ABCD, trờn tia đối của tia BA, ta lấy điểm M, trờn tia đối của tia CB lấy N, trờn tia đối tia DC lấy P, trờn tia đối tia AD lấy Q sao cho BM = CN = DP = AQ Chỳc cỏc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 54
  55. CHUYấN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 a, CMR: MNPQ là hỡnh bỡnh hành b, CMR : MNPQ là hỡnh thoi và ABCD cú cựng tõm đối xứng c, Hỡnh thoi ABCD phải cú ĐK gỡ để MNPQ là hỡnh vuụng Lời giải M a) AQM NCP QM PN B MBN PDQ QP MN ˆ ˆ Q b) OBM 0DN O1 O2 1 C ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 0 POM POB O1 POB O? BOD 180 A O 2 => P, O, M thẳng hàng N Chứng minh tương tự ta cú: Q, O, N thẳng hàng D => HBH MNPQ cú tõm O P c, Để MNPQ là hỡnh thoi thỡ Hỡnh bỡnh hành MNPQ cú hai cạnh kề bằng nhau: QM= QD. Thật vậy: QAM= MBN =>Mã BN Qã AM Qã AM Bã AD , Mà Qã AM Bã AD và Qã AM Bã AD 1800 Bã AD 900 Bài 9: Cho HBH ABCD, cỏc đường chộo cắt nhau ở O, gọi E, F, G, H theo thứ tự là giao điểm của cỏc đường phõn giỏc của cỏc OAB, OBC, OCD, OAD CMR: EFGH là hỡnh thoi Lời giải D C Vỡ OH , OF là hai tia phõn giỏc của cỏc gúc đối đỉnh G 1 nờn H, O, F thẳng hàng H 2 Tương tự ta cú: G, O, E thẳng hàng 1 O Lại cú OH OG F ( Hai tia phõn giỏc của hai gúc kề bự) 1 E Xột OAE = OCG (c.g.c) => OG =OE A B Chứng minh tương tự : OH= OF => EFGH là hỡnh bỡnh hành cú hai đường chộo vuụng gúc với nhau => là hỡnh thoi Chỳc cỏc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 55
  56. CHUYấN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 HèNH VUễNG A. Túm tắt lý thuyết 1. Định nghĩa: Hỡnh vuụng là tứ giỏc cú bốn gúc vuụng và bốn cạnh bằng A B nhau Aˆ Bˆ Cˆ Dˆ ABCD là hỡnh vuụng AB BC CD DA D C 2. Nhận xột : Từ định nghĩa hỡnh vuụng ta suy ra - Hỡnh vuụng là hỡnh chữ nhật cú bốn cạnh bằng nhau - Hỡnh vuụng là hỡnh thoi cú 4 gúc vuụng Hỡnh vuụng vừa là hỡnh chữ nhật vừa là hỡnh thoi 3. Tớnh chất: Hỡnh vuụng cú tất cả cỏc tớnh chất của hỡnh bỡnh thoi và hỡnh chữ nhật - Tớnh chất về cạnh: +) Cú bốn cạnh bằng nhau +) Cỏc cạnh đối song song - Tớnh chất về gúc: Bốn gúc bằng nhau - Tớnh chất về đường chộo: +) Hai đường chộo bằng nhau +) Hai đường chộo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường +) Hai đường chộo vuụng gúc với nhau Chỳc cỏc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 56
  57. CHUYấN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 +) Hai đường chộo là cỏc đường phõn giỏc của cỏc gúc ở đỉnh của hỡnh thoi 3. Dấu hiệu nhận biết - Hỡnh chữ nhật cú hai cạnh kề bằng nhau là hỡnh vuụng - Hỡnh chữ nhật cú hai đường chộo vuụn gúc với nhau là hỡnh vuụng - Hỡnh chữ nhật cú 1 đường chộo là đường phõn giỏc của một gúc là hỡnh vuụng - Hỡnh thoi cú một gúc vuụng là hỡnh vuụng - Hỡnh thoi cú hai đường chộo bằng nhau là hỡnh vuụng 4. Nhận xột: Một tứ giỏc vừa là hỡnh chữ nhật vừa là hỡnh thoi thỡ tứ giỏc đú là hỡnh vuụng 5. Tớnh chất đối xứng của hỡnh vuụng - Hỡnh vuụng cú 1 tõm đối xứng là giao điểm của hai đường chộo - Hỡnh vuụng cú bốn chục đối xứng: +) 2 đường chộo của hỡnh vuụng +) 2 đường thẳng nối trung điểm cỏc cạnh đối diện của hỡnh vuụng B. Bài tập và cỏc dạng toỏn Bài 1: [ HSG – Hà Nội – 2009 ] Cho hỡnh vuụng ABCD và 1 điểm E bất kỳ nằm giữa hai điểm A và B. Trờn tia đối của tia CB lấy điểm F sao cho CF = AE a. Tớnh EDˆF b. Gọi G là điểm đối xứng với D qua trung điểm I của EF. Tứ giỏc DEGF là hỡnh gỡ? Vỡ sao? c. Chứng minh ba đường thẳng AC, DG, EF đồng quy tại 1 điểm Lời giải Chỳc cỏc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 57
  58. CHUYấN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 A E a. B EDˆF EDˆC CDˆF EDˆC EDˆA 900(CDˆF EDˆA) G b. Xột DEGF cú: EI IF, DI = IG DEGF là hỡnh bỡnh hành , lại cú Dˆ 900 DEGF là hỡnh chữ nhật I mà ADE CDF ED FD DEGF là hỡnh C vuụng ( dấu hiệu nhận biết ) D c. Ta cú EF giao DG tại I, ta đi chứng minh I thuộc F đường trực của AC 1 Cú: IB ID EF I thuộc đường trung trực của BD I AC ( AC là đường trung trực của 2 BD) Bài 2: Cho hỡnh vuụng ABCD. Trờn tia đối của tia CB lấy điểm M , trờn tia đối của tia DC lấy điểm N sao cho BM = DN. Vẽ hỡnh bỡnh hành AFMN. Chứng minh rằng a. ABM ADN b. Tứ giỏc AMFN là hỡnh vuụng c. Kẻ FH  BM,FK CN , chứng minh rằng : ACˆF 900 d. B, D, O thẳng hàng ( O là trung điểm của FA ) Lời giải F H a. ABM ADN(cgc) AM AN DAˆN BAˆM 2 M b. Hỡnh bỡnh hành AMFN, cú: AM = AN 1 O D 1 AMFN C N K 2 là hỡnh thoi. Lại cú MAN MAD DAN MAD MAB 900 AMFN 2 B A là hỡnh vuụng c. ACˆF ACˆD DCˆF 450 DCˆF Chỳc cỏc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 58
  59. CHUYấN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 Ta đi chứng minh DCˆF 450 CHFK là hỡnh vuụng Cú: ˆ ˆ 0 ˆ ˆ 0 ˆ ˆ 0 ˆ ˆ M1 M2 90 N2 M2 90 , N1 N2 90 M2 N1 MHF NKF(ch gn) FH FK CHFK là hỡnh vuụng DCFˆ 450 ACˆF 900 (đpcm) d. Ta đi chứng minh 3 điểm B, D, O nằm trờn đường trung trực của AC Ta cú: ABCD là hỡnh vuụng B, D nằm trờn đường trung trực của AC O là trung điểm của AF O là trung điểm của MN OA OM 1 Lại cú OC OM AC OM OC OA OC O nằm trờn đường trung trực của AC 2 B,D,O thẳng hàng. Bài 3: Cho đoạn thẳng AB và điểm M thuộc đoạn thẳng đú. Vẽ về một phớa của AB cỏc hỡnh vuụng AMCD, BMEF a. Chứng minh AE  BC b. Gọi H là giao điểm của AE và BC. Chứng minh ba điểm D, H, F thẳng hàng c. Chứng minh đường thẳng DF luụn đi qua một điểm cố định khi M di chuyển trờn đoạn thẳng cố định AB E F Lời giải I H a. Cú MD // BE ( hai gúc đồng vị bằng nhau ) D O' C mà: MD  AC AC  BE . Lại cú O EC  AB C là trực tõm tam giỏc ABE AE  BC B A M K b. Gọi O và O’ lần lượt là tõm của hai hỡnh vuụng AMCD và BMEF Tam giỏc vuụng AHC cú OH là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền AC 1 1 OH AC DM 2 2 Chỳc cỏc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 59
  60. CHUYấN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 DMH(Hˆ 900) DH  MH(1) Chứng minh tương tự, ta được HF  MH(2) D,H,F thẳng hàng. c. Gọi I là giao điểm của AC và DF Chứng minh được OI là đường trung bỡnh của tam giỏc DMF, hay I là trung điểm DF Kẻ IK vuụng gúc AB ( K thuộc AB ) K là trung điểm của AB, vậy K cố định 1 1 Mặt khỏc IK (AD BF) AB ( Khụng đổi ) I cố định. Vậy DE luụn đi qua I cố định. 2 2 Bài 4: Cho hỡnh vuụng ABCD và điểm M thuộc đoạn BC. Lấy điểm N thuộc đoạn CD sao cho MAˆN 450 . Chứng minh rằng: BM DN MN Lời giải A B 1 Trờn tia đối của tia DC lấy điểm E sao cho : DE = BM 45 2 ˆ ˆ Ta cú: ABM ADE(cgc) AM AE; A1 A3 M +) MAˆE MAˆD DAˆE MAˆD BAˆM 900 EAˆN 900 +) EAN MAN(cgc) EN MN  DN BM MN E D N C Bài 5: Cho hỡnh vuụng ABCD và điểm M thuộc đoạn BD. Gọi E, F lần lượt là hỡnh chiếu của M lờn AB, AD. Chứng minh rằng: BF, DE, CM đồng quy. E A B Lời giải +) Ta cú: FAEM là hỡnh chữ nhật K +) Ta cú: FDM vuụng cõn tại F AE FM FD F M +) AD DC  EAD FDC(cgc) EAˆD FCˆD EDˆA EDˆC 900 ˆ ˆ  A D  D C Chỳc cỏc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 60
  61. CHUYấN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 CF  DE(1) Tương tự: BF  CE(2) +) Gọi K là giao điểm của CM và EF KMˆF MCˆD(dvi) MAˆD AFˆE FEˆM KFˆM KMˆF KFˆM FEˆM 900 CM  FE(3)  AFK:can doi.xung.hinh.vuong Từ (1)(2)(3) ba đường cao trong CEF Bài 6:Cho hỡnh vuụng ABCD, E là điểm bất kỳ trờn AB. Phõn giỏc gúc CDE cắt BC tại K. Chứng minh rằng: CK + EA = DE Lời giải E A B +) Trờn tia đối của tia CK lấy điểm F sao cho CF = AE K CK EA CK CF FK AED CFD(cgc) DE DF;Dˆ Dˆ 1 +) 1 4 2 3 C ˆ ˆ 0 ˆ ˆ ˆ ˆ D 4 +) Xột DKF cú: DFK DEA 90 D1;FDK D3 D4 ˆ 0 ˆ ˆ 0 0 ˆ ˆ ˆ 0 ˆ ˆ ˆ F DFK 180 DEK FDK 180 (90 D1) (D3 D4 ) 90 D1 D3 D4 0 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 90 D3 D1 D2 D4 D3 FDK DKF DKF cõn tại F DF KF DE CK FC DE AE CK DE Bài 7: Cho hỡnh vuụng ABCD. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB, BC. M là giao điểm của CE và DF. Chứng minh rằng : AM = AB E Lời giải A B ˆ ˆ ˆ ˆ 0 +) E F F C1 90 CE  FD F +) Gọi N là trung điểm của CD M +) AECN là hỡnh bỡnh hành I +) MCD vuụng MN ND D N C Chỳc cỏc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 61
  62. CHUYấN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 Cú : AN  DM Chứng minh : AM AD AB Bài 8:Cho hỡnh vuụng ABCD. Gọi M, N là trung điểm của AB, AD. BN và CM cắt nhau tại P. Chứng minh rằng: DP = AB Lời giải A M B 2 +) BAN CBM(cgc); ABˆN BCˆN P N ˆ ˆ 0 ˆ 0 C1 B2 90 BPC 90 +) Kộo dài BN cắt CD tại E 1 E D C +) BAN EDN(cgc) AB DE D là trung điểm của EC 1 +) Xột CPE vuụng tại P PD EC CD AB(dpcm) 2 Bài 9: Cho ABC . Về phớa ngoài tam giỏc dựng cỏc hỡnh vuụng ABDE, ACFG. Chứng minh rằng đường cao AH của ABC đi qua trung điểm của EG Lời giải Q G Gọi P, Q là hỡnh chiếu của E, G lờn AH I AE AB  E 0 P EPˆA AHˆB 90  EAP AHB F ˆ ˆ ˆ A EAP ABH ( phu : BAH ) PE AH (1) D Tương tự: GQA CHA(ch.gn) GQ AH (2) GQ EP B H C EP GQ  ˆ ˆ Xột EPI, GQI cú: I1 I2  EPI GQI(gcg) EI IG ˆ ˆ 0 P Q 90  Chỳc cỏc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 62
  63. CHUYấN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 Bài 10:Cho ABC , M là trung điểm của BC. Về phớa ngoài tam giỏc dựng cỏc hỡnh vuụng ABDE, ACFG. Gọi P, Q lần lượt là tõm của cỏc hỡnh vuụng đú. CMR: MPQ vuụng cõn Lời giải MP // EC MQ // BG +) PM và QM là đường trung bỡnh của cỏc EBC, BGC 1 ; 1 MP EC MQ BG 2 2 EC BG +) AEC ABG(cgc) ˆ ˆ AEC ABG ˆ ˆ ˆ 0 Xột IHB cú: I1 B H 180 Iˆ Iˆ 2 1 ˆ ˆ ˆ ˆ 0 ˆ 0 I1 B I2 E 90 H 90 G ˆ ˆ B E MP  MQ EC  BG MPQ E MP MQ A Q F vuụng cõn. I P H D B M C Bài 11:Cho ABC , về phớa ngoài tam giỏc dựng cỏc hỡnh vuụng ABGH, ACEF, BCIJ. Gọi O1,O2,O3 lần lượt tõm cỏc hỡnh vuụng, M là trung điểm của BC, D là trung điểm của HF. CMR: a. O1MO2 vuụng cõn b. DO1MO2 là hỡnh vuụng c. HF 2AM d. AD  BC; AM  HF e. O1O2 AO3 Lời giải Chỳc cỏc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 63
  64. CHUYấN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 Xột ˆ 0 ˆ ˆ ˆ ˆ FAB, CAH : FA AC; AB AH;FAB 90 A CAH FAB CAH(cgc) FB CH AHJ1 I1BJ1 ˆ ˆ 0 ˆ ˆ 0 Mà: AHJ1 AJ1H 90 I1BJ1 BJ1I1 90 FB  CH +) O2M là đường trung bỡnh H 1 FCB O M // FB;O M BF 2 2 2 D D1 F G A O1 J1 O2 I1 E B C M O3 I J 1 O1M  O2M +) O1M là đường trung bỡnh HBC O1M // HC;O2M HC O1MO2 vuụng 2 O1M O2M cõn. Chỳc cỏc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 64
  65. CHUYấN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 1 b. +) O D là đường trung bỡnh FHC O D// BF;O D BF 2 1 1 2 +) O1D là đường trung bỡnh 1 FBH O D // HC;O D HC O M O M O D O D DO MO là hỡnh thoi, Mˆ 900 là 2 2 2 1 2 1 2 1 2 hỡnh vuụng c. Tứ giỏc ABA1C là hỡnh bỡnh hành ˆ 0 ˆ ˆ 0 ˆ ˆ BA1 AC; ABA1 180 BAC BA1 FA; ABA1 180 BAC FAH BA AH +) ABA1 FAH AA1 HF  2AM FH d. Hạ CC1  AM  C1 ˆ ˆ ˆ AM cắt FH tại D1. HAF BAA1(cgc) HFA AA1B CAA1(slt) ˆ ˆ 0 ˆ ˆ 0 ˆ 0 Mà: CAA1 FAD1 90 D1FA D1AF 90 D1 90 AM  FH Bài 12: Cho hỡnh vuụng ABCD, cỏc điểm E, F lần lượt trờn cỏc cạnh BC, CD sao cho Eã AF 450 , trờn tia đối của tia DC lấy điểm M sao cho DM = BE. CMR: ã 0 a) ABE ADM , MAF 45 b) Chu vu tam giỏc CEF bằng 1 nửa chu vi tứ giỏc ABCD Lời giải a, ABE = ADN ( 2 cạnh gúc vuụng) A B à ả 1 => A1 A2 45 2 => Mã AE 900 Mã AF 900 450 45 b, AEF = AMF (c.g.c) E => EF = MF, EF = MD+DF=BE+DF Chu vi CEF = CE+EF+CF = CK+BE+DF+CF= BC+CD 1 M D F C = chu vi ABCD 2 Bài 13: Cho tam giỏc ABC vuụng tại A, kẻ đường cao AH và trung tuyến AM, đường phõn giỏc gúc A, cắt đường trung trực BC tại D, Từ D kẻ DE vuụng gúc với BA và DF vuụng gúc với AC Chỳc cỏc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 65
  66. CHUYấN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 a) CMR: AD là phõn giỏc Hã AM b) 3 điểm E, M, F thẳng hàng c) Tam giỏc BDC là tam giỏc vuụng cõn Lời giải A à à a) Ta cú: C1 A1 ( cựng phụ gúc B) 2 1 3 1 4 Mà AM= BC=> AM= MC=> ảA Cà àA ảA , àA ảA 2 2 1 1 2 3 4 F => AD là tia phõn giỏc M B 1 C ả ả H b) AH // DM =>D1 A4 , ả à ả à E mà A4 A3 D1 A3 ADM cõn 1 => AM= MD 3 2 Chứng minh Tứ giỏc AEDF là hỡnh vuụng => EA= ED => FA=FD D Ta cú: M, E, F đều nằm trờn đường trung trực của AD => Thẳng hàng ả ả c, BED = CFD => D2 D3 ã ã ả ã ả ã 0 BDC BDF D3 BDF D2 EDF 90 => BDC vuụng cõn Bài 14: Cho tam giỏc ABC vuụng tại A, và AB AB => Bà Cà Mà: Bà Hã AC Hã AC Cà => HC>AH=> AH= HD=> HC>HD=> D nằm giữa H,C b, Ta cú: à ả 0 ả à 0 à à A1 A2 90 , A2 A3 90 A1 A3 kết hợp với AE= AH=> AEF = AHB => AB= AF Tứ giỏc ABGF là hỡn bỡnh hành cú 1 gúc vuụng => HCN cú AB = AF => là hỡnh vuụng c) Gọi M là giao điểm BF, AG, A E 3 2 1 Chỳc cỏc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 66 F M B C H D G
  67. CHUYấN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 1 Khi đú BDF cú DM = BF 2 1 Tương tự AM= BF 2 => M nằm trờn đường trung trực AD Ta lại cú: AE= ED, HA= HD => E, H cũng nằm trờn đường trung trực của AD hay H, M, E thẳng hàng Bài 15: Cho hỡnh vuụng ABCD và 1 điểm E bắt kỳ nằm giữa 2 điểm A và B, trờn tia đối của tia CB lấy 1 điểm F sao cho CF =AE a) Tớnh Eã DF b) Gọi G là điểm đối xứng với D qua trung điểm I của EF, tứ giỏc DEGF là hỡnh gỡ? c) CMR: AC, DG, EF đồng quy Lời giải A E B a) AED = CFD (c.g.c) => ãADE Cã DF Eã DF Eã DC Cã DF Eã DC ãADE G => Eã DF ãADC 900 b) Tứ giỏc DEGF cú I là trung điểm của EF (gt) I I là trung điểm của DG Do đú: DEGF là hỡnh bỡnh hành D C lại cú: Eã DF 900 => Là hỡnh chữ nhật, lại cú tiếp DE= DF => Là hỡnh vuụng F Bài 16: Cho hỡnh vuụng ABCD, M là điểm bất kỡ trờn cạnh BC, trong nửa mp bờ AB chứa C đựng hỡnh vuụng AMHN, Qua M dựng đường thẳng d song song với AB, d cắt AH ở E, Cắt DC ở F a) CMR: B) M=ND b) CMR: N, D, C thẳng hàng c) EMFN là hỡnh gỡ? d) Chứng minh DF BM FM và chu vi MFC khụng đổi khi M thay đổi trờn BC Lời giải A B à ã 0 1 a) Tứ giỏc ABCD là hỡnh vuụng=>A1 MAD 90 (1) 2 Vỡ AMHN là hỡnh vuụng d E M ả ã 0 3 A2 MAD 90 (2) 1 Từ (1) và (2) ta cú: À ảA 1 2 O 2 Chỳc cỏc em chăm ngoan – học giỏi !!1 2 Trang 67 N D F C H
  68. CHUYấN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 Ta cú : AND= AMB (c.g.c) à ả 0 B D1 90 ,BM ND b, ABCD là hỡnh vuụng ả 0 ả ả ã 0 D2 90 D1 D2 NDC 180 , Nờn N, D, C thẳng hàng c, Gọi O là giao điểm của hai đường chộo AH và MN của hỡnh vuụng AMHN => O là tõm đối xứng của hỡnh vuụng AMHN => AH là đường trung trực của đoạn MN, mà E, F AH => EN=Em và FM=FN (3) à ả O1 O2 EM NF (4) Từ (3) và (4) => EM=NE=NF=FM=> MENF là hỡnh thoi (5) d, Từ (5) suy ra FM=FN=FD+DN, mà DN=MB (cmt) => MF=DF+BM Gọi chu vi của MCF là P và cạnh hỡnh vuụng ABCD là a Ta cú : P MC CF MF MC CF BM DF , Vỡ ( MF=DF+MB) MC MB CF FD BC CD a a 2a Hỡnh vuụng ABCD cho trước => a khụng đổi=> P khụng đổi Bài 17: Cho hỡnh vuụng ABCD, Gọi E là 1 điểm bất kỳ trờn cạnh BC ( E khỏc B và C), Qua A kẻ Ax vuụng gúc với AE, Ax cắt CD tại F, trung tuyến AI của AEF cắt CD ở K, đường thẳng kẻ qua E, song song với AB cắt AI ở G a) Chứng minh AE=AF và tứ giỏc EGFK là hỡnh thoi b) Chứng minh AKF đồng dạng với CAF và AF2 FK.FC c) Khi E thay đổi trờn BC, chứng minh chu vi của EKC khụng đổi Lời giải A B a) Xột ABE vuụng tại B và ADF vuụng tại D cú: AB=AD, G E Bã AE Cã AF => ABE= ADF => AE=AF Vỡ AE=AF và AI là đường trung tuyến I AEF=> AI  EF Hai IEG vuụng tại I và IFK vuụng tại I cú: F D K C IE=IF, IãEG IãFK , x Nờn IEG= IFK=> EG=FK Chỳc cỏc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 68
  69. CHUYấN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 Tứ giỏc EGFK cú hai cạnh đối EG và FK song song và bằng nhau nờn là hỡnh bỡnh hành. Hỡnh bỡnh hành EGFK cú hai đường chộo GK và EF vuụng gúc nờn là hỡnh thoi b) Xột AKF và CAF cú: Ã FK Cã FA , AF FK Kã AF Ã CF 450 AKF : CAF(g.g) AF 2 FK.FC FC AF c) Theo cõu a ta cú: ABE = ADF nờn EB=FD, Tứ giỏc EGFK là hỡnh thoi nờn EK= KF Do đú chu vi EKC là: CEKC EK KC CE CF CE CD DF CE 2CD ( Khụng đổi) 2a 2a Bài 18: Cho hỡnh vuụng ABCD cạnh a, trờn AB lấy AM , trờn BC lấy BN sao cho BN 3 3 a) CMR: AN vuụng gúc DM b) Gọi I và J lần lượt là trung điểm của NM, DN và K là giao AN và DN, Tớnh IK , KJ và IJ Lời giải ả à ả ả 0 à ả 0 à 0 a, Ta chứng minh ABN = DAM=>D1 A1 , Mà : D1 M1 90 => A1 M1 90 K 90 a2 4a2 a b, Ta cú : MN 5 9 9 3 1 a KI MN 5 A M B 2 6 1 1 a 10 a Tương tự ta cú : DN KJ 10 3 6 K I a a Tương tự DM 13 IJ 13 3 6 N 1 J D C Bài 19: Cho hỡnh vuụng ABCD, Từ điểm M tựy ý trờn đường chộo BD, kẻ ME, MF lần lượt vuụng gúc với AB và AD, CMR: a, CF=DE, CF DE b, CM=EF, OM EF c, CM, BF, DE đồng quy d, Xỏc định M để diện tớch AEMF lớn nhất Lời giải A E B a) BD là đường chộo của hỡnh vuụng ABCD => BD là phõn giỏc gúc D Chỳc cỏc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 69 H 2 F N 1 M 1 O 1 1 D C
  70. CHUYấN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 =>ãADB 450 DFM cõn tại F=> DF=FM=AE à ả CDF = DAE (c.g.c) => CF = DE và C1 D1 à à 0 ả à 0 ã 0 Mà C1 F1 90 D1 F1 90 FOD 90 b, AM =EF, BD là đường trung trực của AC => MA =MC=> MC= EF Kộo dài FM cắt BC tại N => Tứ giỏc BEMN là hỡnh vuụng, => MN= ME ả ã => EMF= MNC(c. g. c) =>M1 MEF , ả ả 0 ã ả 0 Mà M1 M 2 90 MEF M 2 90 =>Eã HM 900 => ĐPCM c) EFC cú CH EF=> CM trựng CH là đường cao ứng với cạnh EF Lại cú ED CF tại O=> ED là đường cao ứng với cạnh CF Chứng minh tương tự cõu a=> CE BF=> BF là đường cao ứng với cạnh CE => 3 đường CM, BF, DE đồng quy Chỳc cỏc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 70
  71. CHUYấN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 CÁC BÀI TẬP TỔNG HỢP VỀ TỨ GIÁC ĐẶC BIỆT Bài 1: Cho ABC , về ra phớa ngoài tam giỏc dựng cỏc hỡnh vuụng BCDE, ACIG và hỡnh bỡnh hành BEQK, CDPE. Chứng minh rằng APQ vuụng cõn G Lời giải ABC CFP(cgc) : AC CF; BC PF CD; H Cˆ Fˆ (bự: DCˆ F ) CP = AB ; Aˆ Cˆ F 1 1 1 2 A 1 1 AC BQ Tương tự: ABC BKQ(cgc) ˆ ˆ K A1 B1 1 2 1 B C P ABQ ACP(cgc) AQ AP APQ Cõn tại A Q E D Ta cú: QAˆP QAˆB BAˆC CAˆP APˆC FCˆP CAˆP 180 0 900 900 ( Tổng ba gúc tam giỏc ) APQ vuụng cõn Bài 2: [ HSG: 14/04/2014 ] Cho hỡnh thang ABCD vuụng tại A và D, biết CD = 2AB = 2AD và BC a 2 . Gọi E là trung điểm của CD a. ABED là hỡnh gỡ? Vỡ sao b. Tớnh SABCD theo a c. Gọi I là trung điểm của BC, H là chõn đường vuụng gúc kẻ từ D xuống AC. Tớnh HDˆI Chỳc cỏc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 71
  72. CHUYấN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 Lời giải a. Hỡnh chữ nhật cú hai cạnh kề bằng nhau nờn là hỡnh vuụng b. BEC vuụng cõn vuụng cõn (AB CD).AD (a 2a).a 3a2 AB AD a;CD 2a;SABCD A B 2 2 2 H a 2 HDˆI HDˆB BDˆI I c. . Ta đi chứng minh : ˆ ˆ 0 HDB HDA 90 BDˆI ADˆH ACˆD(phu : HDˆC)  BDI : DCA(cgc) BI 1 AD D E C Vỡ : ;Bˆ Dˆ 900 HDˆI 450 BD 2 DC Bài 3: [ HSG – Yờn Dũng – Bắc Giang – 2014 ] Cho ABC . Gọi I là 1 điểm di chuyển trờn cạnh BC. Qua I kẻ đường thẳng song song với cạnh AC cắt AB tại M. Qua I kẻ đường thẳng song song với AB cắt AC tại N a. Gọi O là trung điểm của AI. CMR: M, O, N thẳng hàng b. Kẻ MH, NK, AD vuụng gúc với BC lần lượt tại H, K, D. Chứng minh rằng MH + NK = AD c. Tỡm vị trớ của điểm I để MN // BC Lời giải a AM // NI  a.  HBH MN  AI tại trung điểm AN // MI  của mỗi đường M ,O, N thẳng hàng m o n b. Kẻ OE  BC ta đi chứng minh MHKN là hỡnh thang vuụng b h d e i k c Ta cú: O là trung điểm của MN, mà : OE // MH // NK OE là đường trung bỡnh hỡnh thang vuụng MNHK MH NK 2OE(1) +) Xột ADI OE là đường trng bỡnh ADI AD 2OE(2) MH NK AD(dpcm) Chỳc cỏc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 72
  73. CHUYấN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 c. Ta cú : MN // BC  MN là đường trung bỡnh ABC , lại cú O là trung điểm của AI mà : MI // AC, M là trung điểm của AB I phải là trung điểm của BC Bài 4: Cho hỡnh vuụng ABCD, M là điểm trờn cạnh BC. Trong nửa mặt phẳng bờ AB chứa điểm C dựng hỡnh vuụng AMHN. Qua M dựng đường thẳng d song song với AB, d cắt AH ở E, cắt DC ở F a. Chứng minh rằng: BM = ND b. N, D, C thẳng hàng c. FMNE là hỡnh gỡ? d. DF + BM = FM và chu vi MFC khụng đổi khi M thay đổi vị trớ trờn BC Lời giải ˆ ˆ 0 A a. AND AMB(cgc) B D1 90 ;BM ND B 1 ˆ 0 2 b. NDC 180 N,D,C thẳng hàng E M 1 c. Ta cú : MN là đường trung trực của AH 1 EN EM O E, F AH ; EOM FON(ch gn) FN EM 2 FM FN Vậy 4 cạnh bằng nhau nờn là hỡnh thoi. 1 2 N D C FM FN ND DF BM FD F d. +) P MFC MC CF FM MC CF BM DF H (MC MB) (CF DF) 2AB ( khụng đổi ) Bài 5: Cho hỡnh vuụng ABCD cú độ dài cạnh là a. Gọi M và N theo thứ tự là hai điểm trờn cạnh BC và CD sao cho MAˆN 450 . Trờn tia đối của tia DC lấy điểm K sao cho DK = BM a. Chứng minh ADK ABM b. Chứng minh AN là tia phõn giỏc KAˆM c. Tớnh chu vi CMN theo a d. BD cắt AM và AN lần lượt tại E và F. Chứng minh rằng ba đoạn BE, FE, FD lập thành ba cạnh của 1 tam giỏc vuụng Lời giải Chỳc cỏc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 73
  74. CHUYấN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 A a. ADK ABM (c g c) 5 B 4 1 2 3 ˆ ˆ E b. ADK ABM A1 A5 M +) ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 0 KAM A1 A2 A3 A4 A5 A2 A3 A4 90 F H KAˆN 900 NAˆM 450 KAˆN MAˆN 450 dpcm c. PCMN MN NC CM CM CN KN K D N C ( ANK AMN) CM CN KD DN 2a d. Gọi H là chõn đường vuụng gúc kẻ từ A đến MN ˆ ˆ ˆ ˆ 0 AND AMH(ch gn) A2 A3 FAD FAH(cgc) FH FD; AHF ADF 45 AEH AEB(cgc) EH EB; AHˆE ABE 450 Ta cú: EHˆF EHˆA FHˆA 900 vuụng tại H Vậy BE, DF, FE lập thành ba cạnh của một tam giỏc vuụng Chỳc cỏc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 74