Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 8 - Chuyên đề: Số chính phương, số nguyên tố

42 trang hoaithuong97 20878

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 8 - Chuyên đề: Số chính phương, số nguyên tố", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

chuyen_de_boi_duong_hoc_sinh_gioi_toan_8_chuyen_de_so_chinh.doc

Nội dung text: Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 8 - Chuyên đề: Số chính phương, số nguyên tố

CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 CHUYÊN ĐỀ: SỐ CHÍNH PHƯƠNG, SỐ NGUYÊN TỐ A. LÝ THUYẾT: 1. Định nghĩa: Số chính phương là bình phương của một số tự nhiên 2. Tính chất: Số chính phương chỉ có chữ số tận cùng là: 0; 1; 4; 5; 6; 9 Khi phân tích ra thừa số nguyên tố, số chính phương chỉ chứa các thừa số nguyên tố với lũy thừa chẵn. - Số chính phương thì chia hết cho 4 hoặc chia cho 4 dư 1 - Số chính phương thì chia hết cho 3 hoặc chia cho 3 dư 1 - Số chính phương chia hết cho 2 thì sẽ chia hết cho 4 - Số chính phương chia hết cho 3 thì chia hết cho 9 - Số chính phương chia hết cho 5 thì chia hết cho 25 - Số chính phương chia hết cho 8 thì chia hết cho 16 - Số chính phương tận cùng là 1 hoặc 4 hoặc 9 thì chữ số hàng chục là số chẵn - Số chính phương tận cùng là 5 thì chữ số hàng chục là 2 - Số chính phương tận cùng là 6 thì chữ số hàng chục là số lẻ. B. LUYỆN TẬP : Dạng 1: CHỨNG MINH LÀ MỘT SỐ CHÍNH PHƯƠNG Bài 1: Cho số A 11 11122 2225 ( 2005 chữ số 1 và 2006 chữ số 2). Chứng minh rằng A là số chính phương HD: Ta có: 9A 100 00100 0025 100 00 100 00 25 2004 2005 4012 2007 2 2 2 2006 9A 100. 00 2.5.100 00 5 10 5 , là số chính phương. 2006 2006 Bài 2: Chứng minh rằng số C 44 4488 89 có n số 4 và n-1 số 8, viết được dưới dạng bình phương của 1 số tự nhiên. HD: n Đặt 111 11 a 10 9a 1 n n Ta có: 444 448 8 89 444 44888. 8 1 4a.10 8a 1 n n 1 n n 2 2 2 4a 9a 1 8a 1 36a 12a 1 6a 1 666. 67 n 1 Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 1
CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 Bài 3 : Chứng minh rằng số A 1 1 1 4 4 4 1 là số chính phương 2n n HD : 2 10n 2 Biến đổi A khi đó A là số chính phương 3 Bài 4 : Chứng minh số B 1 1 1 1 1 1 6 6 6 8 là số chính phương. 2n n 1 n HD : 2 10n 8 Biến đổi tổng B khi đó B là số chính phương 3 Bài 5 : Chứng minh rằng số C 4 4 4 2 2 2 8 8 8 7 là số chính phương. 2n n 1 n HD : 2 2.10n 7 Biến đổi C khi đó C là số chính phương 3 Bài 6 : Chứng minh rằng A 2249 9 910 0 09 cũng là số chính phương n 2 n HD : A 224.102n 99 9.10n 2 10n 1 9 224.102n 10n 2 1 .10n 2 10n 1 9 2 A 224.102n 102n 10n 2 10n 1 9 225.102n 90.10n 9 15.10n 3 Vậy A là số chính phương. Bài 7 : Chứng minh rằng B 1 1 15 5 56 cũng là số chính phương. HD : n n n 10 1 n 10 1 B 1 1 15 5 5 1 1 1 1.10 5.1 1 1 1 B .10 5. 1 n n n n 9 9 2 102n 10n 5.10n 5 9 10n 2 B , Vậy B là số chính phương 9 3 Bài 8 : Cho a 11 1 (2008 chữ số 1) và b 100 05 ( 2007 chữ số 0). Chứng minh rằng: ab 1 là số tự nhiên. HD: 2008 10 1 2008 Ta có: a 1 1 1 ,b 10 5 2008 9 2 2008 2008 1008 2008 2 10 1 10 5 10 4.10 5 9 102008 2 ab 1 1 9 9 3 Vậy ab 1 là 1 số tự nhiên Bài 9 : Cho m 111. 1,n 444. 4 , Chứng minh rằng m n 1 là số chính phương. 2k k Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 2
CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 HD: 102k 1 10k 1 102k 1 10k 1 102k 1 4.10k 4 9 Ta có: m ,n m n 1 4. 1 9 9 9 9 9 2 10k 2 , Vậy m n 1 là số chính phương. 3 Bài 10: Cho số nguyên dương n và các số A 444. 4 và B 888. 8 . 2n n Chứng minh rằng: A 2B 4 là số chính phương. HD: n Ta có: A 444  4 444 . 4000. 0 444  4 444  4. 10 1 888  8 2n n n n n n 2 4.111  1.999  9 B 4.111  1.9.111  1 B 6.111  1 B n n n n n 2 2 3 3 .888  8 B B B 4 n 4 2 2 2 3 3 3 3 A 2B 4 B B 2B 4 B 2. B.2 4 B 2 4 4 4 4 2 2 2 3 .888  8 2 3.222  2 2 666  68 Vậy A 2B 4 là số chính phương. 4 n n n 1 Bài 11: Cho: A 111 1 ( 2m chữ số 1); B 111 1 (m + 1 chữ số 1); C 666 6 (m chữ số 6) . Chứng minh A B C 8 là số chính phương HD: m 102m 1 10m 1 1 6 10 1 Ta có: A 111 1 và B 111 1 và C 666 6 9 9 9 m 2 102m 1 10m 1 1 6 10 1 102m 16.10m 64 10m 8 Khi đó : A B C 8 8 9 9 9 9 3 Mà 10m 83 10m 8 Z . Vậy A B C 8 là số chính phương. Bài 12: Cho dãy số : 49 ; 4489 ; 444889 ; 44448889 ; . Dãy số trên được xây dựng bằng cách thêm số 48 vào giữa số số đứng trước nó, Chứng minh rằng tất cả các số của dãy trên đều là số chính phương. HD : Xét số tổng quát : n 4 4 48 8 89 4 4 48 8 8 1 4 4 4.10 8 8 8 1 n n 1 n n n n n n n 10 1 n 10 1 4.1 1 1.10 8.1 1 1 1 4. .10 8. 1 n n 9 9 2 4.102n 4.10n 8.10n 8 9 4.102n 4.10n 1 2.10n 1 9 9 3 Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 3
CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 Mà 2.10n 1 có tổng các chữ số là 3 nên chia hết cho 3, vậy các số có dạng trên đều là số chính phương Bài 13: Cho hai số tự nhiên a, b thỏa mãn: 2a2 a 3b2 b Chứng minh rằng 2a 2b 1 là số chính phương. HD: Ta có: 2a2 a 3b2 b a b 2a 2b 1 b2 (*) Gọi d là UC a b;2a 2b 1 với d N * , Thì: a bd 2 2 2 a b 2a 2b 1 d b d bd , 2a 2b 1d Mà : a b d ad 2a 2b d , mà 2a 2b 1 d 1d d 1 Do đó : a b,2a 2b 1 1 , Từ (*) ta được : a b,2a 2b 1 là số chính phương Vậy 2a 2b 1 là số chính phương. Bài 14: Cho x, y là các số nguyên thỏa mãn : 2x2 x 3y2 y Chứng minh : x y;2x 2y 1;3x 3y 1 đều là các số chính phương. Bài 15: Cho n là số nguyên dương và m là ước nguyên dương của 2n2 . CMR :n2 m không là số chính phương. HD: Giả sử: n2 m là số chính phương. Đặt: n2 m k 2 k N (1) 2n2 Theo bài ra ta có: 2n2 mp p N m Thay vào (1) ta được : p 2 2n 2 n2 k 2 n2 p2 2pn2 p2k 2 n2 p2 2p pk p 2 Do n2 , pk là các số chính phương, nên p2 2p là số chính phương. 2 Mặt khác: p2 p2 2p p 1 p2 2p không là số chính phương (Mâu thuẫn với giả sử) Vậy n2 m không là số chính phương. Bài 16: Chứng minh: A 13 23 1003 là số chính phương Bài 17: Chứng minh rằng : S 1.2.3 2.3.4 3.4.5 k k 1 k 2 thì 4S 1 là số chính phương. HD : Ta có : 4S 1.2.3 4 0 2.3.4 5 1 k k 1 k 2 k 3 k 1 4S 1.2.3.4 0.1.2.3 2.3.4.5 1.2.3.4 k k 1 k 2 k 3 k 1 k k 1 k 2 4S k k 1 k 2 k 3 Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 4
CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 4S 1 k k 1 k 2 k 3 1 là tích 4 số tự nhiên liên tiếp cộng với 1 nên 4S 1 là số chính phương. Bài 18 : Chứng minh rằng tích của 4 số nguyên dương liên tiếp không thể là một số chính phương. HD: Giả sử có 4 số nguyên dương liên tiếp là: n,n 1,n 2,n 3 2 Xét tích: P n n 1 n 2 n 3 n 4 n2 3n n2 3n 2 n2 3n 2 n2 3n 2 2 Dễ dàng nhận thấy: n2 3n P n2 3n 1 Vậy P không thể là số chính phương. Bài 19 : Chứng minh rằng với mọi số nguyên x, y thì : A x y x 2y x 3y x 4y y4 là số chính phương. HD : Ta có : A x y x 2y x 3y x 4y y4 x2 5xy 4y2 x2 5xy 6y2 y4 Đặt x2 5xy 5y2 t t Z Khi đó : 2 A t y2 t y2 y4 t 2 y4 y4 t 2 x2 5xy y2 . Vậy A là số chính phương. Bài 20 : Chứng minh tích của 4 số tự nhiên liên tiếp cộng với 1 luôn là số chính phương. HD : Gọi 4 số tự nhiên liên tiếp là : n,n 1,n 2,n 3 n N . Ta có : A n n 1 n 2 n 3 1 n n 3 n 2 n 1 1 2 A n2 3n n2 3n 2 1 , Đặt n2 3n t t N A t t 2 1 t 1 Vậy tích của 4 số tự nhiên liên tiếp cộng với 1 là số chính phương. Bài 21 : Chứng minh rằng tổng các bình phương của 5 số tự nhiên liên tiếp không thể là 1 số chính phương. HD : Gọi 5 số tự nhiên liên tiếp là n 2;n 1;n;n 1;n 2 n N,n 2 2 2 2 2 Xét A n 2 n 1 n2 n 1 n 2 5 n2 2 Nhận thấy A5 nhưng không chia hết cho 25 vì n2 không có tận cùng là 3 hoặc 8 Bài 22: Chứng minh rằng: n N,n 1 thì A n6 n4 2n3 2n2 không thể là số chính phương. HD: Giả sử: n6 n4 2n3 2n2 k 2 , k Z 2 2 n4 n2 1 2n2 n 1 k 2 n 1 n2 n3 n2 2 k 2 n 1 n2 n 1 1 k 2 2 n 1 1 phải là số chính phương. 2 2 2 Ta lại có: n 1 n 1 1 n2 2 1 n n2 , Do n 1 n 1 1 không phải là số chính phương. Vậy A n6 n4 2n3 2n2 không thể là số chính phương. Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 5
CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 Bài 23 : Chứng minh rằng tổng bình phương của hai số lẻ bất kỳ không phải là một số chính phương HD : Gọi a 2k 1,b 2m 1 k,m N 2 2 Xét a2 b2 2k 1 2m 1 4k 2 4k 1 4m2 4m 1 4 k 2 k m2 m 2 4t 2 t N Như vậy a2 b2 chia cho 4 dư 2, mà ta biết số chính phương chia 4 không có số dư là 2, Vậy a2 b2 không là 1 số chính phương Bài 24 : Chứng minh rằng: A n4 2n3 2n2 2n 1 , không phải là số chính phương HD: 2 Ta có: A n2 n2 2n 1 n2 2n 1 n2 1 n 1 Vì n2 1 không phải là số chính phương nên A không thể là số chính phương Bài 25 : Chứng minh rằng nếu p là tích của n số nguyên tố đầu tiên thì p-1 và p+1 không thể là các số chính phương HD : Vì p là tích của n số nguyên tố đầu tiên nên p2 và p không chia hết cho 4 (1) Giả sử p 1 là số chính phương. Đặt p 1 m2 m N Vì p chẵn nên p+1 lẻ=> mlẻ2 => m lẻ Đặt m 2k 1 k N m2 4k 2 4k 1 p 1 4k 2 4k 1 p 4k 2 4k 4k k 1 4 mâu thuẫn với ( 1) Vậy p+1 không thể là số chính phương Lại có : p 2.3.5.7 là 1 số chia hết cho 3 =>p 1 3k 2 k N ( Vô lý) Vì không có số chính phương nào chia 3 dư 2 => p-1 không là số chính phương Vậy nếu p là tích của n số nguyên tố đầu tiên thì p-1 và p+1 không thể là số chính phương Bài 26 : Cho N 1.3.5.7 2019 . Chứng minh rằng trong ba số nguyên liên tiếp 2N 1;2N;2N 1 không có số nào là số chính phương. HD : Ta có : 2N 1 2.1.3.5.7 2019 1 Thấy 2N3 2n 1 3k 2 k N =>2N 1 không là số chính phương Và 2N 2.1.3.5.7 2019 là số chia hết cho 2 nhưng không chia hết cho 4 nên 2N không là số chính phương Và 2N 1 2.1.3.5 2019 1 lẻ nên không chia hết cho 4 2N  4 2N 1 không chia cho 4 dư 1=> 2N+1 không là số chính phương. Bài 27 : Chứng minh rằng trong ba số nguyên liên tiếp 2N 1,2N,2N 1 không có số nào là số chính phương, trong đó : N 1.3.5 1999 Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 6
CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 HD : Ta thấy : 2N2,2N  4 2N không là số chính phương N3 2N 1  2 mod3 2N 1 không là số chính phương Giả sử : 2N 1 k 2 k lẻ 2N k 2 1 k 1 k 1 4 N2 Vô lý Vậy ta có đpcm Bài 28 : Cho 5 số chính phương bất kỳ có chữ số hàng chục khác nhau còn chữ số hàng đơn vị là 6, Chứng minh rằng tổng các chữ số hàng chục của 5 số chính phương đó là 1 số chính phương. HD : Theo tính chất : ‘ Một số chính phương có chữ số hàng đơn vị là 6 thì chữ số hàng chục của nó là 1 số lẻ, vì vậy chữ số hàng chục của 5 số chính phương đã cho là : 1 ;3 ;5 ;7 ;9 khi đó tổng của chúng là : 1+3+5+7+9=25 là 1 số chính phương Bài 29 : Cho các số nguyên a, b, c thỏa mãn : ab bc ca 1 Chứng minh rằng: A 1 a2 1 b2 1 c2 là số chính phương HD: Ta có: ab bc ca 1 1 a2 ab bc ca a2 a a b c a b a b a c Tương tự : 1 b2 a b b c và 1 c2 a c b c 2 2 2 2 Khi đó : 1 a 1 b 1 c a b b c c a , Vì a, b, c là các số nguyên nên là số chính phương Bài 30 : Cho a, b, c là các số hữu tỉ khác 0 thỏa mãn: a b c 0 , Chứng minh rằng 1 1 1 M là bình phương của 1 số hữu tỉ a2 b2 c2 HD: Ta có: 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 a b c 1 1 1 2 2 2 2 2. a b c a b c ab bc ac a b c abc a b c Bài 31: Cho đa thức bậc ba f x với hệ số x3 là 1 số nguyên dương và f 5 f 3 2010 Chứng minh rằng: f 7 f 1 là hợp số HD: 3 2 Ta có: f x a.x bx cx d a Z , Theo đề bài ta có: 2010 f 5 f 3 53 33 a 52 32 b 5 3 c 98a 16b 2c 16b 2c 2010 98a Và : f 7 f 1 73 1 a 72 1 b 7 1 c 342a 3 16b 2c 342a 3 2010 98a 48a 6030 3 16a 2010 3 . Vì a nguyên dương nên: 16a 2010 1 , Vậy f 7 f 1 là hợp số. Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 7
CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 Bài 32 : Chứng minh rằng : Các số a và b đều là tổng của hai số chính phương thì tích a.b cũng là tổng của hai số chính phương. HD : Giả sử: a m2 n2 và b p2 q2 , m,n, p,q Z Ta có: a.b m2 n2 p2 q2 m2 p2 m2q2 n2 p2 n2q2 m2 p2 n2q2 2mnpq m2q2 n2 p2 2mnpq 2 2 mp nq mq np , ĐPCM. Bài 33: Chứng minh rằng với mọi số nguyên x, y thì A (x y)(x 2y)(x 3y)(x 4y) y4 Là một số chính phương HD : Cách 1: A (x2 5xy 4y2 )(x2 5xy 6y2 ) y4 x4 10x3 y 35x2 y2 50xy3 25y4 (x2 5xy)2 2.(x2 5xy).5y2 (5y2 )2 (x 2 5xy 5y2 )2 Vì x, y, z Z x2 ,5xy,5y2 Z x2 5xy 5y2 Z A là số chính phương Cách 2: Đặt x2 5xy 4y2 t(t Z) A (t y2 )(t y2 ) y4 t 2 (x2 5xy 5y2 )2 (dpcm) Bài 34: Chứng minh rằng tích của bốn số tự nhiên liên tiếp cộng them 1 luôn là số chính phương HD : Gọi bốn số tự nhiên liên tiếp là: n, n + 1, n + 2, n + 3 (n Z ) Ta có: n(n 1)(n 2)(n 3) 1 (n2 3n 1)2 (dpcm) Bài 35: Chứng minh rằng tổng các bình phương của 5 số tự nhiên liên tiếp không thể là SCP HD : Gọi 5 số tự nhiên liên tiếp là: n 2,n 1,n,n 1,n 2(n N,n 2) Ta có: (n 2)2 (n 1)2 n2 (n 1)2 (n 2)2 5n2 10 5(n2 2) Vì n2 là số chính phương nên n không thể có chữ số tận cùng là 3 hoặc 8 nên n 2 + 2 không chia hết cho 5, hay 5(n2 2) không phải là số chính phương. Bài 36: Cho hai số chính phương liên tiếp. CMR tổng của hai số đó cộng với tích của chúng là một số chính phương lẻ HD : Gọi hai số chính phương liên tiếp lần lượt là: a2 và (a 1)2 (a Z) Theo bài ra ta có: Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 8
CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 a2 (a 1) 2 a2 (a 1)2 a4 2a3 3a2 2a 1 (a4 2a3 3a2 ) (a2 2a 1) (a2 a)2 2(a2 a) 1 (a 2 a 1)2 là SCP lẻ vì a 2 a a(a 1) là số chẵn a2 a 1 là số lẻ Bài 37: Chứng minh rằng số n2 + 2014 với n nguyên dương không phải là số chính phương HD : Giả sử n2 + 2014 là số chính phương Đặt n2 2014 k 2 k 2 n2 2014 (k n)(k n) 2014 Ta có (k n) (k n) 2n chẵn k n;k n cùng tính chất chẵn lẻ k;n cùng tính chẵn lẻ Mặt khác ta lại có : (k n)(k n) 2014 k n;k n đều chia hết cho 2 hay (k n)(k n)4 Mà 20144 (k n)(k n) 2014 không có số nguyên dương nào của n để là SCP. Bài 38: Chứng minh rằng số có dạng n6 n4 2n3 2n2 ,n N,n 1 không phải SCP HD : Ta có : 6 4 3 2 2 4 2 2 2 2 3 2 n n 2n 2n n (n n 2n 1) n n (n 1)(n 1) 2(n 1) n (n 1)(n n 2) 2 3 2 2 2 2 2 2 n (n 1) (n 1) (n 1) n (n 1) (n 1)(n n 1) (n 1)(n 1) n (n 1) (n 2n 2) Ta đi chứng minh n2 2n 2 không phải số chính phương ( dựa vào n2 A (n 1)2 ) Ta có : n2 2n 2 (n 1)2 1 (n 1)2 ;n2 2n 2 n2 2(n 1) 2 (n 1)2 n2 2n 2 n2 n2 2n 2 Không phải số chính phương. Bài 39: Chứng minh rằng tổng bình phương của hai số lẻ bất kỳ không phải là SCP HD : Vì a, b là hai số lẻ, ta đặt a 2k 1 2 2 2 2 (k,m N) a b 4(k k m m) 2 4t 2(t N) b 2m 1 Không có số chính phương nào dạng 4t 2 2(t N) a2 b2 không phải số chính phương Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 9
CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 Bài 40: Cho 5 số chính phương bất kỳ có chữ số hàng chục khác nhau còn chữ số hàng đơn vị đều là 6. Chứng minh rằng tổng các chữ số hàng chục của 5 số chính phương đó là một số CP HD : Cách 1: Ta đã biết một số chính phương có chữ số hàng đơn vị là 6 thì chữ số hàng chục là lẻ Vì vậy chữ số hàng chục của 5 số chính phương đã cho là : 1, 3, 5, 7, 9 Khi đó tổng của chúng là : 25 = 52 là số chính phương Cách 2: Nếu một số chính phương M = a2 có chữ số hàng đơn vị là 6 thì chữ số tận cùng của a là 4 hoặc 6 nên a2 a4 Theo dấu hiệu chia hết cho 4 thì hai chữ số tận cùng của M chỉ có thể là 16, 36, 56, 76, 96 Do đó ta có : 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 = 52 là số chính phương. Bài 41: Cho A 22 23 24 220 . CMR : A + 4 không là số chính phương HD : A 22 23 24 220 2A 23 24 221 2A A A 221 22 A 4 221 2.(210 )2 Không phải là số chính phương Bài 42: Cho B 31 32 3100 . CMR : 2B + 3 không là số chính phương HD : B 31 32 3100 3B 32 33 3100 2B 3 3101 3.(350 )2 dpcm Bài 43: Chứng minh rằng A 1 1 15 5 56 là số chính phương n 1 n HD : n 1 n n 1 99 9 n 1 10 1 n 1 5(10 1) A 1 1 1.10 5 5 5.10 6 .10 5 5 5.10 6 .10 .10 6 n 1 n 9 n 9 9 102n 2 10n 1 5.10n 1 50 54 102n 2 4.10n 1 4 10n 1 2 A ( )2 9 9 3 Bài 44: Chứng minh rằng B 11. .1122. 225 là số chính phương 1997 1998 HD : Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 10
CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 1999 1 1997 1999 2 1998 B 11. .11.10 22 22.10 5 (10 1).10 (10 1).10 5 1997 1998 9 9 2 100 005 1 1 (103996 2.5.101998 25) (101998 5)2 ( 1997 ) 2 9 3 3 Bài 45: A 1 1 1 44  4 1 là số chính phương 2nchuso1 nchuso4 HD : 101 1 102 1 103 1 Ta có : 1 ;11 ;111 9 9 9 102n 1 4(10n 1) 102n 4.102 4 10n 2 A 1 ( )2 9 9 9 3 Vì 10 n 23 A là số chính phương Bài 46: Cho S 1.2.3 2.3.4 3.4.5 k(k 1)(k 2) . CMR: 4S + 1 là số chính phương HD : Ta có: k(k 1)(k 2) 1 k(k 1)(k 2)(k 3) (k 1) 4 1 1 k(k 1)(k 2)(k 3) (k 1)k(k 1)(k 2) 4 4 1 S k(k 1)(k 2)(k 3) 4S 1 k(k 1)(k 2)(k 3) 1 4 Bài 47: Cho một dãy số có số đầu tiên là 16, các số sau được tạo ra bằng cách viết thêm số 15 vào chính giữa số liền trước nó: 16, 1156, 111556, Chứng minh rằng mọi số của dãy đều là số chính phương HD : Trong mỗi số của dãy trên, số chữ số 5 luôn ít hơn số chữ số 1 là một chữ số Đặt A 11 11. 55 55 thuộc dãy số trên. Ta sẽ chứng minh A là số chính phương n.chu.so.1 n 1.chu.so.5 n Thật vậy, đặt a 1 1 11 10 9a 1 n.chu.so.1 Ta có: Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 11
CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 n A 1 1.11 .10 5. 11 11 .10 5 1 n.chu.so.1 n 1.chu.so.1 n 11 11.10 5.11 11 1 a(9a 1) 5a 1 n.chu.so.1 n.chu.so.1 2 2 (3a 1) 33 33 4 n 1.chu.so.3 Vậy A là số chính phương. Dạng 2 : TÌM GIÁ TRỊ CỦA BIẾN ĐỂ BIỂU THỨC LÀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG Bài 1 : Tìm số tự nhiên n có 2 chữ số biết rằng 2n 1 và 3n 1 đều là các số chính phương. HD : Ta có : 10 n 99 21 2n 1 199 , tìm các số chính phương lẻ trong khoảng trên ta được : 25 ;49 ;81 ;121 ;169 ứng với n bằng 12 ;24 ;40 ;60 ;84 Thay n vào 3n 1 ta được các giá trị lần lượt là : 37 ; 73 ; 121 ; 181 ; 153 Và thấy chỉ có 121 là số chính phương, vậy n=40 Bài 2 : Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho n+26 và n-11 đều là lập phương của 1 số nguyên dương. HD: n 26 a3(1) Giả sử: với a,b N * 3 n 11 b (2) Lấy (1) –(2) theo vế ta được: 37 a3 b3 a b a2 ab b2 37 1.37 Mà a b và a b a2 ab b2 nên ta có: a b 1 a b 1 b 3 n 38 2 2 2 2 a ab b 37 b 1 b b 1 b 37 Bài 3: Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho n 2015 và n 2199 đều là các số chính phương. HD: Giả sử a và b là các số tự nhiên sao cho: n 2015 a2 ,n 2199 b2 b a b a 184 23.23 Vì b a,b a là hai số có cùng tính chẵn lẻ và b a b a Nên: b a 2 a 45 b a 4 a 21 TH1: n 10 hoặc: n 1574 0 (loại) b a 92 b 47 b a 46 b 25 Bài 4: Tìm số tự nhiên n sao cho n + 12 và n – 11 đều là số chính phương. Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 12
CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 HD: Giả sử n 12 a2 và n 11 b2 , a,b N,a b Suy ra: a2 b2 n 12 n 11 23 a b a b 23.1 , Vì a b a b 0 a b 23 a 12 Khi đó: n 132 a b 1 b 11 Bài 5: Tìm số tự nhiên n sao cho A n2 n 6 là số chính phương. HD: Ta có: A n2 n 6 là số chính phương nên A có dạng : A n2 n 6 k 2 , k N * 2 2 4n2 4n 24 4k 2 2k 2n 1 23 2k 2n 1 2k 2n 1 23 2k 2n 1 23 k 6 , Vì 2k 2n 1 2k 2n 1 . 2k 2n 1 1 n 5 Vậy với n 5 thì A là số chính phương. Bài 6 : Tìm tất cả các cặp số nguyên dương (m ; n) sao cho 2m 1n và 2n 1m HD : 2m 1n Ta có : m,n lẻ. Giả sử : n m 2n 1 3m 2n 1m n 1,m 3 TH1 : 2n 1 m do 2m 1 2 2n 1 1n 3n n 3,m 7 TH2 : 2n 1 3m do 3m 2n 1 2m 1 m 1 n 1 Vậy có 5 cặp số nguyên dương tìm được : 1;1 , 1;3 , 3;7 , 3;1 , 7;3 Bài 7: Tìm số tự nhiên n sao cho n2 2n 12 là số chính phương HD: 2 Đặt n2 2n 12 k 2 k N n2 2n 1 11 k 2 k 2 n 1 11 k n 1 k n 1 11 Nhận xét: k n 1 k n 1 nên ta có các TH sau: k n 1 11 k 6 TH1: Vậy số tự nhiên cần tìm là 4 k n 1 1 n 4 Bài 8: Tìm số tự nhiên n sao cho: n n 3 là số chính phương. HD: Đặt n n 3 a2 a N n2 3n a2 4n2 12n 4a2 4n2 12n 9 9 4a2 2 2n 3 4a2 9 2n 3 2a 2n 3 2a 9 Nhận xét: 2n 3 2a 2n 3 2a và chúng là các số dương nên ta có: Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 13
CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 2n 3 2a 9 n 1 2n 3 2a 1 a 2 Bài 9 : Tìm số tự nhiên n sao cho 13n +3 là số chính phương. HD: Đặt 13n 3 y2 y N 13 n 1 y2 16 13 n 1 y 4 y 4 y 4 y 4 13 mà 13 là số nguyên tố nên y 413 hoặc y 413 => y 13k 4 k N 2 Khi đó: 13 n 1 13k 4 16 13k 13k 8 n 13k 2 8k 1 Vậy với n 13k 2 8k 1 k N thì 13n+3 là số chính phương Bài 10 : Tìm số tự nhiên n sao cho n2 n 1589 là số chính phương. HD: 2 Đặt n2 n 1589 m2 m N 4n2 1 6355 4m2 2m 2n 1 2m 2n 1 6355 6355.1 1271.5 205.31 155.41 Nhận thấy 2m 2n 1 2m 2n 1 0 và chúng là những số lẻ nên ta có các TH Xét các Th ta có các giá trị của n là: 1588; 316; 43; 28 Bài 11 : Tìm a để a2 a 43 là số chính phương HD: Làm tương tự như trên ta có: a 2;a 42;a 13 Bài 12 : Tìm a để a2 81 là số chính phương HD: Làm tương tự ta có a 0;a 12;a 40 Bài 13 : Tìm a để a2 31a 1984 là số chính phương HD : Làm tương tự như các bài trên ta có : a 12;a 33;a 48;a 97;a 176;a 332;a 565;a 1728 Bài 14: Tìm số tự nhiên n để : n2 2004 là số chính phương HD : Làm tương tự như trên ta có : n 500;n 164 Bài 15 : Tìm số tự nhiên n sao cho : 23 n n 3 là số chính phương. HD : Làm tương tự như trên ta có : n 3;n 5;n 7;n 13;n 19;n 21;n 23 Bài 16 : Tìm số tự nhiên n để n2 2006 là số chính phương HD : Đặt n2 2006 m2 m N m2 n2 2006 m n m n 2006 Như vậy trong hai số m và n phải có ít nhất 1 số chẵn (1) Mặt khác : m n m n 2m => 2 số m+n và m-n cùng tính chẵn lẻ (2) Như vậy m+n và m-n là hai số chẵn=> m n m n 4 nhưng 2006 không chia hết cho 4 Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 14
CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 Dẫn đến mâu thuẫn, vậy không có số tự nhiên n nào thỏa mãn Bài 17 : Tìm tất cả các số tự nhiên n để : 2n 15 là số chính phương HD : Đặt 2n 15 k 2 , Vì 2n  3,153 k 2  3 k 2 chia 3 dư 1 2n chia 3 dư 1=> n chẵn TH1: Nếu n=0=> 2n 42 TH2: Nếu n 2 2n  0 mod 4 2n 15  3 mod 4 k 2  3 mod4 vô lý Vì số chính phương chia cho 4 chỉ có thể dư 0 hoặc 1 Vậy n=0 là số cần tìm Bài 18 : Tìm tất các các số nguyên n để : n4 2n3 2n2 n 7 là số chính phương HD : 2 Đặt y2 n4 2n3 2n2 n 7 n2 n 1 n2 n 6 2 2 2 2 2 1 3 2 2 2 y n n n 6. hoặc : y n n 2 3 n n 1 2 4 Khi n 0 hoặc n 1 y2 7 không phải là số chính phương Với n 0, 1 n2 n 1 n 1 n 1 n và 3 n2 n 1 0 2 2 2 2 2 2 2 2 2 n 2 Ta có : n n y n n 2 y n n 1 , lúc đó : n n 6 0 n 3 Bài 19 : Tìm các số nguyên dương n sao cho số Sn 1.2.3 7 n n 1 n 7 có thể viết dưới dạng tổng các bình phương của hai số nguyên dương. HD : 2 2 * Giả sử : Sn a b với a,b N Dễ thấy: n n 1 n 7 64 Sn 4 a,b chẵn a 2a1,b 2b1 Đặt n n 1 n 7 64k . có: 2 2 a1 b1 2.3.5.6.7 16k4 a1 2a2 ,b1 2b2 thay vào ta lại có tiếp: 2 2 a2 b2 9.5.7 4k  3 mod 4 , Vô lý vậy không tồn tại n thỏa mãn. Bài 20 : Tìm tât cả các số tự nhiên n sao cho 28 211 2n là số chính phương. HD: Gỉả sử: 28 211 2n a2 a N 2n a2 482 a 48 a 48 2 p.2q a 48 a 48 với p,q N , p q n, p q khi đó ta có: a 48 2 p 2 p 2q 96 2q 2 p q 1 25.3 q 5 và p q 2 p 7 n 12 q a 48 2 Thử lại ta thấy 28 211 2n 802 2 Bài 21 : Tìm các số tự nhiên n để n2 8 36 là số nguyên tố HD: Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 15
CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 2 Ta có: n2 8 36 n4 16n2 64 36 n4 100 16n2 2 n2 10 36n2 n2 10 6n n2 10 6n 2 2 Để n2 8 36 là số nguyên tố thì n2 10 6n 1 n 3 0 n 3 2 Thử lại với n 3 n2 8 36 37 là số nguyên tố Bài 22: Tìm tất cả các số nguyên tố có dạng p nn 1 . trong đó n N* , biết p có không nhiều hơn 19 chữ số. HD: Ta thấy n=1 thỏa mãn: Với n 1 ta có: TH1: Nếu n lẻ thì: nn 1  n 1 và nn 1 n 1 a a TH2: Nếu n 2a.t với a 0, t lẻ. Khi đó; nn n2 .t nn 1n2 1 6 6 TH3: Nếu n 2a thì 1616 1 210 .16 1 103 .10 1019 n 16 Thử và nhận thấy n=2, n=4, n=8 thỏa mãn. p 2 Bài 23 : Tìm các cặp số nguyên tố p, q thỏa mãn phương trình sau : 52 1997 52q q2 HD : p 2 Ta có : 52  1 mod3 và 52q  1 mod3 và 1997  2 mod3 q2  1 2 1  2 mod3 Vô lý, Vậy không tồn tại p và q thỏa mãn. Bài 24: Tìm tất cả các số nguyên tố p sao cho tổng tất cả các ước tự nhiên của p4 là một số chính phương. HD: a. Vì p là số nguyên tố nên p4 có các ước tự nhiên là: 1; p; p2; p3; p4 Giả sử: 1 p p2 p3 p4 n2 , n N * 4n2 4 4 p 4 p2 4 p3 4 p4 4 p4 4 p3 4 p2 (2 p2 p)2 ( 1) 2 Mặt khác: 4n2 4 p4 4 p3 4 p2 4 p 4 4 p4 4 p2 4 4 p3 8p2 4 p 2 p2 p (2) 2 Từ (1) và (2) 4n2 2 p2 p 1 4n2 4 p4 4 p3 5p2 2 p 1 Do đó 4 p4 4 p3 5p2 2 p 1 4 p4 4 p3 4 p2 4 p 4 2 p2 2 p 3 0 ( p 3)( p 1) 0 Vì p N p 3 Bài 25: Tìm số tự nhiên n sao cho các số sau là số chính phương: n2 4n 2013 Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 16
CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 HD: n2 4n 2013 m 2 (m N) (n 2)2 2009 m2 (m n 2)(m n 2) 2009.1 287.7 49.41 Vì m + n + 2 > m + n – 2 nên có 3 trường hợp xảy ra. Dạng 3 : TÌM SỐ CHÍNH PHƯƠNG Bài 1 : Tìm số tự nhiên có 9 chữ số: A a1a2a3b1b2b3a1a2a3 trong đó a1 0 và b1b2b3 2.a1a2a3 2 2 2 2 và đồng thời A viết được dưới dạng A p1 .p2 .p3 .p4 với p1, p2 , p3, p4 là bốn số nguyên tố. HD: 6 3 Ta có: A a1a2a3b1b2b3a1a2a3 a1a2a3.10 b1b2b3.10 a1a2a3 a a a 6 3 a a a a a a 6 3 1 2 3.10 2.10 . 1 2 3 1 2 3 a1a2a3 10 2.10 1 a1a2a3.1002001 2 2 2 a1a2a3.7 .11 .13 Như vậy a1a2a3 phải là bình phương của 1 số nguyên tố p khác 7, 11, 13 Do b1b2b3 1000,a1 0 100 a1a2a3 500 a1a2a3 289 =>10 p 23 p 17,19 a1a2a3 361 Vậy A 289578289 hoặc A 361722361 Bài 2 : Tìm tất cả các số chính phương gồm 4 chữ số biết rằng khi ta thêm 1 đơn vị vào chữ số hàng nghìn, thêm 3 đơn vị vào chữ số hàng trăm, thêm 5 đơn vị vào chữ số hàng chục, thêm 3 đơn vị vào chữ số hàng đơn vị ta vẫn được 1 số chính phương HD: Gọi abcd là số phải tìm, a, b, c, d N,0 a,b,c,d 9,a 0 Với k,m N,31 k m 100 , ta có : 2 abcd k abcd k 2 2 2 a 1 b 3 c 5 d 3 m abcd 1353 m Do đó : m2 k 2 1353 m k m k 123.11 41.33,(k m 200) m k 123 m k 41 m 67 m 37 Nên hoặc : hoặc m k 11 m k 33 k 56 k 4 Vậy abcd 3136 Bài 3 : Tìm tất cả các bộ ba số tự nhiên lớn hơn 1 thỏa mãn: Tích của hai số bất kỳ trong ba số ấy cộng với 1 chia hết cho số còn lại. Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 17
CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 HD: Gọi ba số càn tìm là: a,b,c , giả sử : 1 c b a Ta có: ab 1c và bc 1a và ca 1b , Như vậy a b c 1 c b a , Nhân theo vế ta được : ab 1 bc 1 ca 1 abc abc ab bc ca 1 abc 3ab 1 c 3 (1) TH1 : Nếu c 2 ab 1 2 a,b là số lẻ. Từ (1) => 2a 2b 1ab 2a 2b 1 ab Từ đó ta tìm được a=7, b=3 3b 1a TH2 : Nếu c 3 3b 1 a hoặc 3b 1 2a 3a 1b Xét 3b 1 a a : 3 dư 1 a 4,3a 1b 9a 3a 1 12a 1 a 7,b 2 c (loại) Xét 3b 1 2a làm tương tự như trên, ta thấy không có bộ ba số nào thỏa mãn: Vậy bộ ba số cần tìm là: 7; 3; 2 Bài 4 : Cho A là số chính phương gồm 4 chữ số, Nếu ta thêm vào mỗi chữ số của A một đơn vị thì ta được số B cũng là số chính phương. Tìm hai số A và B HD : Gọi A abcd k 2 , Khi đó : B a 1 b 1 c 1 d 1 m2 k,m N,32 k m 100 Khi đó ta có : m2 k 2 1111 m k m k 1111 ( 1) Nhận xét thấy tích m k m k 0 m k , m k là hai số nguyên dương m k 11 m 56 Và m k m k 200 nên m k m k 11.101 m k 101 k 45 Vậy hai số A 2025,B 3136 Bài 5 : Tìm 1 số chính phương gồm 4 chữ số biết rằng số gồm 2 chữ số đầu lớn hơn số gồm hai chữ số sau một đơn vị HD : Đặt abcd k 2 , ta có : ab cd 1 với k N,32 k 100 Suy ra : 101cd k 2 100 k 10 k 10 k 10101 hoặc k 10101 Mà k 1;101 1 k 10101 , lại do : 32 k 100 42 k 10 10 k 10 101 k 91 abcd 912 8281 Bài 6 : Tìm số chính phương có 4 chữ số biết rằng 2 chữ số đầu giống nhau, 2 chữ số cuối giống nhau HD : Gọi số chính phương phải tìm là : aabb n2 , a,b N ,1 a 9,0 b 9 Ta có : n2 aabb 11.a0b 11 100a b 11 99a a b (1) Nhân xét thấy : aabb11 a b11 Mà 1 a 9,0 b 9 1 a b 18 a b 11 Thay vào (1) ta được : n2 112 9a 1 9a 1 là số chính phương Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 18
CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 Bằng phép thử a từ 1 đến 9 ta thấy có a = 7 là thỏa mãn => b=4 Vậy số cần tìm là 7744 Bài 7 : Tìm một số có 4 chữ số vừa là số chính phương vừa là một lập phương HD : Gọi số chính phương đó là : abcd x2 y3 x, y N Vì y3 x2 y cũng là một số chính phương. Ta có : 1000 abcd 9999 10 y 21 mà y là số chính phương nên y =16 abcd 4096 Bài 8 : Tìm một số chính phương gồm 4 chữ số sao cho chữ số cuối là số nguyên tố, căn bậc hai của số đó có tổng các chữ số là một số chính phương. HD : Gọi số phải tìm là : abcd với a,b,c,d N,1 a 9,0 b,c,d 9 Vì abcd là số chính phương nên d 0;1;4;5;6;9 mà d là số nguyên tố nên d 5 Đặt abcd k 2 1000 32 k 100 với k là 1 số có hai chữ số mà k2 có tận cùng là 5 => k có tận cùng là 5 và tổng các chữ số của k là một số chính phương = > k=45 Vậy abcd 2025 Bài 9 : Tìm số tự nhiên có hai chữ số biết rằng hiệu bình phương của số đó và số bởi hai chữ số của số đó nhưng viết theo thứ tự ngược lại là một số chính phương. HD : Gọi số tự nhiên có hai chữ số cần tìm là : ab a,b N,1 a,b 9 2 2 2 2 Số viết theo thứ tự ngược lại là : ba ab ba 10a b 10b a 99 a2 b2 11 a2 b2 11 a b a b 11 , Vì 0 a b 8,2 a b 18 a b11 a b 11 2 2 2 2 Khi đó : ab ba 32.112 a b , để ab ba là số chính phương thì a b phải là số chính phương do đó : a b 1 hoặc a b 4 TH1 : Nếu a b 1 a b 11 a 6,b 5 ab 65 652 562 332 TH2 : a b 4,a b 11 a 7,5 ( loại) Bài 10 : Cho một số chính phương có 4 chữ số, Nếu thâm 3 vào mỗi chữ số đó ta cũng được một số chính phương, Tìm số chính phương ban đầu. HD : Số cần tìm là 1156 Bài 11 : Tìm số có hai chữ số mà bình phương của số ấy bằng lập phương của tổng các chữ số của nó. HD : Gọi số phải tìm là ab a,b N,1 a 9,0 b 9 2 3 2 3 Theo bài ra ta có : ab a b 10a b a b Khi đó ab là một lập phương và a+b là một số chính phương Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 19
CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 Đặt ab t3 t N ,a b m2 m N Vì 10 ab 99 ab 27 hoặc ab 64 TH1 : ab 27 a b 9 là số chính phương TH2 : ab 64 a b 10 không là số chính phương ( loại) Bài 12 : Tìm ba số lẻ liên tiếp mà tổng bình phương là một số có 4 có 4 chữ số giống nhau. HD : Gọi ba số lẻ liên tiếp đó là : 2n 1,2n 1,2n 3 n N 2 2 2 Ta có : A 2n 1 2n 1 2n 3 12n2 12n 11 aaaa 111.a với a lẻ và1 a 9 12n n 1 11 101a 1 101a 13 2a 13 Vì 1 a 9 1 2a 1 17 và 2a 1 lẻ nên 2a 1 3;9;15 a 2;5;8 => a=5 => n=21 Bài 13 : Tìm số có hai chữ số sao cho tích của số đó với tổng các chữ số của nó bằng tổng lập phương các chữ số của số đó. HD : Gọi số cần tìm là : ab, a,b N,0 a,b 9,a 0 2 Theo bài ra ta có : ab a b a3 b3 10a b a2 ab b2 a b 3ab 3a 3 b a b a b 1 , lại có a b và a b 1 nguyên tố cùng nhau do đó : a b 3a a 4;b 8 , Vậy số càn tìm có thể là 48 hoặc 37. a b 1 3 b a 3;b 7 Bài 14 : Số 1997 được viết dưới dạng tổng của n số hợp số với nhau, nhưng không viết được tổng của n+1 số hợp số với nhau, hỏi n bằng bao nhiêu ? HD : Nhận thấy 4 là hợp số nhỏ nhất mà 1997 4 , 1997 Gọi n là số hợp số có tổng bằng 1997, n nhỏ nhất n 499 4 Lại có : 1997= 4+4+4+ +4+9 ( có 447 số 4), Vậy n= 448 Bài 15 : Phân tích số 2000 thành tổng các bình phương của 3 số nguyên dương HD : Ta phải tìm các số nguyên dương x, y, z thỏa mãn : x2 y2 z2 2000 Chú ý : Một số chính phương khi chia cho 4 sẽ dư 0 hoặc 1 2 2 2 Mà : 20004 x, y,z là số chẵn, Đặt x 2x1, y 2y1,z 2z1 x1 x2 x3 500 2 2 2 Tương tự : x1 2x2 , y1 2y2 ,z1 2z2 x2 y2 z2 125 Không mất tính tỏng quát ta giả sử : x y z x2 y2 z2 2 2 => x2 125 3.x2 6 x2 12 2 2 2 2 Với x2 7 y2 z2 76 , mà y2 ,z2 chẵn =>y3 z3 19 , với y2 y3,z2 z3 Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 20
CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 2 2 Mà 19 chia 4 dư 3, nên không tồn tại y3,z3 thỏa mãn : y3 z3 19 2 2 Với x2 8 y2 z2 61 y2 6,z2 5 x 32, y 24,z 20 2 2 Với x2 9 y2 z2 44 , lập luận giống như x2 7 2 2 Với x2 10 y2 z2 25 y2 4,z2 3 x 40, y 14,z 12 2 2 Với x2 11 y2 z2 4 y2 2,z2 0 không thỏa mãn Bài 16: Tìm số chính phương có bốn chữ số, biết rằng 2 chữ số đầu giống nhau, hai chữ số cuối giống nhau HD : Gọi số chính phương cần tìm là : aabb n2 (a,b N,1 a 9,0 b 9) Ta có : aabb 1000a 100a 10b b 1100a 11b n2 n2 11(100a b)(1) Lại có : aabb11 100a b11 99a a b11 a b11 Mà : 1 a 9,0 b 9 1 a b 18 a b 11 Thay a + b = 11 vào (1), được :n2 11(99a 11) 111(9a 1) 9a 1 phải là số chính phương Bằng phép thử a = 1, 2, ., 9 ta được a = 7, b = 4 Vậy số cần tìm là : 7744 112.82 882 Bài 17: Tìm số chính phương abcd , biết : ab cd 1 HD : abcd n2 Đặt n2 100ab cd 100(cd 1) cd 101cd 100 n2 102 101cd 101cd (n 10)(n 10) n 10101 Vì 101 là số nguyên tố n 10101 Ta có : 1000 n2 10000 31 n 100 n 10101 n 91 abcd 912 8281 Bài 18: Tìm số nguyên tố ab(a b 0) , sao cho ab ba là số chính phương HD : Ta có : ab ba 9(a b) 32 (a b) n2 a b phải là số chính phương Có : 1 a b 8 a b 1;a b 4 a – b = 1 thì ab 21;32;43;54;65;76;87;98 43 Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 21
CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 a – b = 4 thì ab 51;62;73;84;95 73 Bài 19: Tìm một số có bốn chữ số vừa là số chính phương vừa là một lập phương HD : Gọi số cần tìm là: abcd(1 a 9;0 b,c 9) Đặt abcd x2 y3 (x, y N) Ta có : x2 y3 y.y2 y là số chính phương Có : 1000 abcd 9999 103 y3 3 9999 10 y 21 Vì y là số chính phương nên y = 16 abcd 163 4096 Bài 20: Tìm STN có hai chữ số, biết rằng hiệu các bình phương của hai số đó và số viết bởi hai chữ số đó nhưng theo thứ tự ngược lại là một số chính phương HD : Gọi STN có hai chữ số là : ab(a,b N,1 a,b 9) Số viết theo thứ tự ngược là : ba 2 2 Theo bài ra ta có : ab ba n2 (n N) (10a b)2 (10b a)2 n2 99(a2 b2 ) n2 Đặt 99(a2 b2 ) n2 n2 11 n11 n2 121 99(a b)(a b)11 a2 b2 11 (a b)(a b)11 Vì 8 a b 8;2 a b 18 a b11 a b 11 2 2 Khi đó : ab ba 99.11 32.112 (a b) là số chính phương a b : lasochinhphuong a b 1 0 < a - b < 9 a b 4 a b 1 a 6 2 2 2 +) ab 65 65 56 1089 33 a b 11 b 5 a b 4 +) a 7,5(loai) a b 11 Vậy số cần tìm là : 65 Bài 21: Tìm một số chính phương gồm bốn chữ số sao cho chữ số cuối là số nguyên tố, căn bậc hai của số đó có tổng các chữ số là một số chính phương Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 22
CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 HD : Gọi số phải tìm là : abcd(1 a 9;0 b,c,d 9) abcd Là số chính phương d 0;1;4;5;6;9 Mà d là số nguyên tố nên d = 5 Đặt abcd k 2 1000 k 2 10000 32 k 100; k 2 k K là số có hai chữ số mà k2 tận cùng là 5 nên k có tận cùng là 5 Tổng các chữ số của k là số chính phương nên k = 45 abcd 2025 Bài 22: Cho A là số chính phương gồm bốn chữ số. Nếu ta thêm vào mỗi chữ số của A một đơn vị thì ta được một số chính phương. Hãy tìm các số A và B HD : Gọi số chính phương A là : abcd k 2 (k N) Nếu thêm vào mỗi chữ số của A một đơn vị ta được : B (a 1)(b 1)(c 1)(d 1) m2 (a,b,c,d,m N);32 k m 100 A abcd k 2 Có : m2 k 2 1111 (m k)(m k) 11.101 2 B abcd 1111 m m k 101 m 56 A 2025 Vì m k;m k 0 m k m k m k 11 k 45 B 3136 Bài 23: Tìm SCP gồm bốn chữ số, biết rằng khi ta cộng thêm 1 đơn vị vào chữ số hàng nghìn, thêm 3 vào chữ số hàng trăm, thêm 5 vào chữ số hàng chục, thêm 3 vào chữ số hàng đơn vị ta vân được một số chính phương HD : Gọi abcd là số phải tìm (a,b,c,d N,0 a,b,c,d 9,a 0) Vì abcd là số chính phương, đặt abcd k 2 (k N)(1) 1000 k 2 10.000 Ta có số mới là : (a 1)(b 3)(c 5)(d 7) m2 (m N) abcd 1353 m2 (2) Từ (1)(2) m2 k 2 1353 (m k)(m k) 1353 121.11 33.41 Có : m k m k 0 m k m k m k 123 m 67 +) m k 11 k 56 Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 23
CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 m k 41 m 37 +) (loai) m k 33 k 4 Vậy abcd 3136 Bài 24: Tìm một số chính phương gồm bốn chữ số biết rằng số gồm hai chữ số đầu lớn hơn số gồm hai chữ số sau 1 đơn vị HD : Đặt abcd k 2 ab cd 1 2 k 10101 Khi đó ta có : k N 101cd k 100 (k 10)(k 10) k 10101 32 k 100 Mà (k 10;101) 1 k 10101;32 k 100 42 k 10 110 k 10 101 k 91 abcd 912 8281 Bài 25: Tìm số có hai chữ số mà bình phương của số ấy bằng lập phương của tổng các chữ số của nó HD : Gọi số phải tìm là : ab(a,b N,1 a 9,0 b 9) Theo giả thiết ta có : ab (a b)3 (10a b)2 (a b)3 (a b)(a b)2 Do đó ab là một lập phương và a + b là một số chính phương Đặt ab t3 (t N),a b m2 (m N) ab 27 Vì 10 ab 99 ab 64 Nếu ab 27 a b 9(tm) Nếu ab 64 a b 10(loai) Vậy số cần tìm là 27 Bài 26: Tìm một số chính phương gồm 4 chữ số abcd = k 2 sao cho chữ số cuối là số nguyên tố, số k có tổng các chữ số là một số chính phương. HD : Gọi số phải tìm là abcd với a, b, c, d nguyên và 1 a 9; 0 b, c, d 9 Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 24
CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 abcd chính phương d 0,1,4,5,6,9 d nguyên tố d = 5 Có số chính phương abcd = k2 abcd vừa phải chia hết cho 11 vừa phải chia hết cho 3 tức là bội số của 33 Mà 31 < M < 50 nên M = 33 và ta có abcd 332 1089, dcba 9801 992 Bài 28: Tìm số chính phương abcd biết rằng ab cd 1 HD : Giả sử n2 abcd 100ab cd 100 cd 1 cd 101cd 100 Suy ra : 101cd n2 102 n 10 n 10 Vì n < 100 và 101 là số nguyên tố nên n + 10 = 101 suy ra n = 91 Thử lại abcd 912 8281 có 82 – 81 =1 Vậy số cần tìm là 8281 Bài 29: Tìm số tự nhiên có hai chữ số biết rằng hiệu các bình phương của số đó và viết số bở hai chữ số của số đó nhưng theo thứ tự ngược lại là một số chính phương HD : Gọi số tự nhiên có hai chữ sốphải tìm là ab (a, b N, 1 a, b 9) Số viết theo thứ tự ngược lại ba Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 25
CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 Ta có ab 2 - ba 2 = (10a + b)2 – (10b + a)2 = 99 (a2 – b2)  11 a2 – b2  11 Hay (a - b) (a + b)  11 Vì 0 < a – b 8, 2 a + b 18 nên a + b  11 a + b = 11 Khi đó: ab 2 - ba 2= 32 . 112 . (a – b) Để ab 2 - ba 2 là số chính phương thì a – b phải là số chính phương do đó a – b = 1 hoặc a – b = 4 Nếu a – b = 1 kết hợp với a + b = 11 a = 6, b = 5 , ab = 65 Khi đó 652 – 562 = 1089 = 332 Nếu a – b = 4 kết hợp với a + b = 11 a = 7,5 loại Vậy số phải tìm là 65 Bài 30: Tìm số có 2 chữ số mà bình phương của số ấy bằng lập phương của tổng các chữ số của nó. HD : Gọi số phải tìm là ab với a, b N, 1 a 9; 0 b 9 2 Theo giả thiết ta có: ab = (a + b)3 ab là một lập phương và a + b là một số chính phương Đặt ab = t3 (t N), a + b = 12 (1 N) Vì 10 ab 99 ab = 27 hoặc ab = 64 Nếu ab = 27 a + b = 9 là số chính phương Nếu ab = 64 a + b = 10 không là số chính phương loại Vậy số cần tìm là ab = 27 Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 26
CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 Dạng 4 : CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN TÍNH CHẤT SỐ CHÍNH PHƯƠNG Bài 1: Chứng minh rằng nếu: 2n 1 và 3n 1, n N , Đều là các số chính phương thì n chia hết cho 40 HD: Do 2n 1 là số chính phương lẻ nên 2n 1 chia cho 8 dư 1, suy ra n là số chẵn Do 3n 1 là số chính phương lẻ nên 3n 1 chia cho 8 dư 1, suy ra 3n8 n8 (1) Do 3n 1 và 2n 1 đều là số chính phương lẻ nên có tận cùng là 1; 5; 9, do đó khi chia cho 5 thì có dư là 1; 0; 4 Mà 2n 1 3n 1 5n 2 , Do đó 3n 1 và 2n 1 khi chia cho 5 đều dư 1 =>2n5 và 3n5 n5 (2) Từ (1) và (2) => nBCNN 5;8 n40 Bài 2 : Chứng minh rằng nếu n là số tự nhiên sao cho n 1 và 2n 1 đều là các số chính phương thì n là bội số của 24. HD : Đặt n 1 k 2 ,2n 1 m2 k,m N , khi đó m là số lẻ m 2a 1 m2 4a a 1 1 m2 1 4a a 1 n 2a a 1 => n là số chẵn => n+1 lẻ => k lẻ 2 2 Đặt k 2b 1 b N k 2 4b b 1 1 n 4b b 1 n8 (1) Mặt khác k 2 m2 3n 2  2 mod3 . Mặt khác k2 và m2 chia cho 3 dư 0 hoặc 1 Nên đề k 2 m2  2 mod3 k 2  1 mod3 và m2  1 mod3 m2 k 2 3 Hay 2n 1 n 1 3 n3 (2) . Mà 8;3 1 n24 Bài 3 : Chứng minh rằng: n4 2n3 n2 2n chia hết cho 24 với mọi số nguyên n HD: 4 3 2 3 2 2 n 2n n 2n n n 2n n 2 n n n 2 n 2 n n 1 n 1 n 2 Vì n 2 n 1 n n 1 là tích của 4 số nguyên liên tiếp nên trong đó phải có 1 số chia hết cho 2, và 1 số chia hết cho 4, và 1 số chia hết cho 3 Bài 4 : Chứng minh rằng: 5n 2 26.5n 82n 159 HD: Ta có: 5n 2 26.5n 82n 1 51.5n 8.64n 59 8 .5n 8.64n 59.5n 8. 64n 5n Vì 64n 5n  64 5 59 (đpcm) Bài 5: Chứng minh rằng: Với mọi n nguyên dương đều có: 5n 5n 1 6n 3n 2n 91 HD: Ta có: 5n 5n 1 6n 3n 2n 25n 18n 12n 5n Chia hết cho 7 25n 12n 18n 5n Chia hết cho 13. Mà 7;13 1 đpcm. Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 27
CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 Bài 6: Chứng minh rằng nếu tổng của hai số nguyên chia hết cho 3, thì tổng các lập phương của chúng chia hết cho 3 HD : Gọi hai số phải tìm là a và b, ta có : a b3 2 Ta có : a3 b3 a b a2 ab b2 a b a2 2ab b2 3ab a b a b 3ab 2 2 Vì a b3 a b 3ab3 , Do vậy a b a b 3ab 9 Bài 7: Chứng minh rằng tổng các lũy thừa bậc 3 của ba số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 9 HD: Gọi ba số tự nhiên liên tiếp là: a 1,a,a 1, a N,a 0 3 3 Ta có: a 1 a3 a 1 3a3 6a 3a a 1 a 1 9a Bài 8: Chứng minh rằng: 1110 1 chia hết cho 100 HD: Ta có: 1110 1 11 1 119 118 11 1 10 119 118 11 1 Vì 119 118 11 1 , có chữ số tận cùng là 0 nên chia hết cho 10 Vậy 1110 1 chia hết cho 100 Bài 9: Cho a, b là bình phương của hai số nguyên lẻ liên tiếp, Chứng minh rằng ab a b 148 HD: Ta có: ab a b 1 a 1 b 1 , Vì a, b là bình phương của hai số nguyên lẻ liên tiếp nên : 2 2 a 2n 1 ,b 2n 3 ,n Z 2 2 Khi đó: ab a b 1 a 1 b 1 2n 1 1 2n 3 1 2 4n2 4n 4n2 12n 8 16n n 1 n 2 2 2 Vì 16n n 1 n 2 16 và n n 1 n 2 3 16n n 1 n 2 3 , mà 3;16 1 2 Nên 16n n 1 n 2 48 ab a b 148 Bài 10 : Chứng minh rằng không thể có các số nguyên lẻ : a1,a2 ,a3, ,a2000 thỏa mãn đẳng thức: 2 2 2 2 2 a1 a2 a3 a1999 a2000 HD: Nhận xét: Nếu a là số nguyên lẻ thì a2 chia cho 4 dư 1 2 Giả sử a 2k 1 a2 2k 1 4k 2 4k 1 4m 1, m Z . Áp dụng nhận xét trên vào bài toán ta có: Nếu a1,a2 ,a3, a2000 đều là các số nguyên lẻ thì: 2 2 2 2 a1 a2 a3 a1999  1 1 1 1  1999 mod 4  3 mod 4 (1) 2 Mà a2000  1 mod 4 (2) Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 28
CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 Từ (1) và (2) suy ra điều phải chứng minh. Bài 11 : Chứng minh rằng tồn tại một số chia hết cho 1999 và tổng các chữ số của nó bằng 1999. HD: Ta thấy số 3998 2.1999 và số A 19991999 199939983998 3998 luôn chia hết cho 1999 ( Số A có x số 1999 và y số 3998) Tổng các chữ số của A là : 1 9 9 9 x 3 9 9 8 y 1999 1999 29y 11 y 11 y Khi đó ta có : x 71 y , Vì x N N y 11 x 60 29 28 28 Vậy số A=19991999 199939983998 3998 thỏa mãn yêu cầu đầu bài ( số A có 60 số 1999 và 11 số 3998) Bài 12 : Chứng minh rằng trong 7 số tự nhiên bất kỳ ta luôn chọn được 4 số sao cho tổng của chúng chia hết cho 4 HD : Xét 7 số tự nhiên bất kỳ : a1,a2 ,a3, ,a7 Nhật xét : trong ba số tự nhiên bất kỳ luôn tồn tại hai số có tổng chia hết cho 2 Áp dụng điều trên ta có : Trong ba số a1,a2 ,a3 , giả sử : a1 a2 2 a1 a2 2k1 Trong ba số a3,a4 ,a5 , giả sử : a3 a4 2 a3 a4 2k2 Trong ba số a5,a6 ,a7 , giả sử : a5 a6 2 a5 a6 2k3 Trong ba số k1,k2 ,k3 giả sử k1 k2 2 k1 k2 2m =>a1 a2 a3 a4 2 k1 k2 4m4 . Bài 13: Tìm các số nguyên x để 199 x2 2x 2 là một số chính phương chẵn. HD: 2 2 Đặt 199 x2 2x 2 2y , y N 200 x 1 2 4y2 4y2 2 200 4y2 16 y2 4 y 2, y N Với y 0 ( không thỏa mãn) Với y 1 ( Thỏa mãn) x1 13, x2 15 Với y 2 ( Thỏa mãn) x3 1, x4 3 Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 29
CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 Dạng 5: CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN SỐ NGUYÊN TỐ pq m2 1 Bài 1 : Tìm tất cả các số nguyên tố p, q sao cho tồn tại số tự nhiên m thỏa mãn : p q m 1 HD : 2 2 m 1 4 Nếu p q p 2m 2 m 1 m 1 Do m N , và p là số nguyên tố nên 4 m 1 m 0,m 1,m 3 p 2; p 5 Nếu p q pq và p q là nguyên tố cùng nhau vì pq chỉ chia hết cho các ước nguyên tố là p và q còn p q thì không chia hết cho p và cũng không chia hết cho q. Gọi r là một ước chung của m2 1 và m 1 m 1 m 1 r m2 1r m2 1 m2 1 r 2r r 1 hoặc r 2 Nếu r 1 p q m 1, pq m2 1 p,q là hai nghiệm của phương trình : 2 x2 m 1 x m2 1 0 vô nghiệm do 3m2 2m 3 m 1 2m2 2 0 Nếu r 2 2pq m2 1 và 2 p q m 1 p,q là hai nghiệm của phương trình : 2 2x2 m 1 x m2 1 0 vô nghiệm do 7m2 2m 7 m 1 6m2 6 0 Vậy bộ các số nguyên tố p;q cần tìm là : p;q 2;2 ; 5;5  Bài 2: Tìm số nguyên tố biết rằng nó vừa là tổng vừa là hiệu của hai số nguyên tố. HD: Số nguyên tố cần tìm không thể là 2, do 2 là số nguyên tố nhỏ nhất nên không thể biểu diễn được thành tổng của 2 số nguyên tố. Vậy số nguyên tố cần tìm là số nguyên tố lẻ (vì 2 là số nguyên tố chẵn duy nhất) Do đó tổng của hai số nguyên tố và hiệu của hai số nguyên tố sẽ là một số nguyên tố lẻ khi nó là tổng của Một số nguyên tố lẻ với 2 và là hiệu của một số nguyên tố lẻ với 2. Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 30
CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 a b 2 Gọi a là số nguyên tố cần tìm: (b, c là hai số nguyên tố lẻ) a c 2 c b 4 a b 2,c b 4 b,a,c theo thứ tự là 3 số nguyên lẻ liên tiếp, b c 2a Mà trong ba số lẻ liên tiếp luôn có 1 số chia hết cho 3, 3 lại là số nguyên tố bé nhất. Nên b 3,a 5,c 7 , Thấy: 5 3 2,5 7 2 là số nguyên tố cần tìm. Bài 3: Tìm ba số nguyên tố mà tích của chúng bằng năm lần tổng của chúng. HD: Gọi a, b, c là ba số nguyên tố cần tìm ta có: abc 5 a b c Tích ba số nguyên tố abc chia hết cho 5 nên có một số bằng 5. Giả sử a = 5 được: 5bc 5 5 b c bc 5 b c bc b c 1 6 b 1 c 1 6 Do b,c là các số nguyên dương có vai trò như nhau nên ta có các hệ: b 1 1 b 2 b 1 2 b 3 hoặc c 1 6 c 7 c 1 3 c 4 Vậy ba số nguyên tố cần tìm là 2, 5, 7. Dạng 6: Dùng chữ số tận cùng để giải bài toán số chính phương SCP chỉ có thể có chữ số tận cùng : 0, 1, 4, 5, 6, 9 SCP không có chữ số tận cùng là : 2, 3, 7, 8 SCP có chữ số tận cùng là 1, 4, 9 thì chữ số hàng chục chỉ có thể là số chẵn Nếu SCP có tận cùng là số 6 thì chữ số hàng chục chỉ có thể là số lẻ Nếu SCP có tận cùng là số 5 thì chữ số hàng chục chỉ có thể là số 2 Nếu SCP có tận cùng là số 0 thì SCP đó có một số chẵn chữ số 0 tận cùng, vd : 100, 10000 Bài 1: Chứng minh rằng số sau không là số chính phương a. A 1111 111111 11111111 b. B 100100 1010 8 c. 1010 5 HD: a. A có chữ số tận cùng là 3 b. B có chữ số tận cùng là 8 c. C có chữ số tận cùng là 5 Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 31
CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 Bài 2: Chứng minh rằng STN A 20153 20142 20132 20122 20112 không là số chính phương HD: Ta có: 20153 có tận cùng là 5, 20142 có tận cùng là 6, 20132 có tận cùng là 9, 20122 có tận cùng là 4, 20112 có tận cùng là 1. Vậy A có chữ số tận cùng là 5 + 9 + 6 + 4 – 1 = 3 Bài 3: Không tính kết quả hãy cho biết các tổng, các hiệu sau có phải là SCP hay không ? a. 7.13.25.63.105 113 b. 11.19.27.63.99 122.93 c. 12.13.14.15.16 3.12.13.14.82 HD: a. A 7.13.25.63.105 113 tc :8 tc:5 b. 11.19.27.63.99 122.92 tc : 7 tc:1 tc:4 c. 12.13.14.15.16 3.12.13.14.82 12.13.14(15.16 3.82) 12.13.14(3.80 3.82) 0 khongla : SCP tc:0 tc:4 Bài 4: Cho bốn chữ số 0, 2, 3, 4. Tìm SCP có bốn chữ số gồ cả bốn chữ số trên HD: Gọi A là SCP có bốn chữ số cần tìm A không có tận cùng là 2 hoặc 3 nên chữ số tận cùng của A là 0, 4 +) Nếu chữ số tận cùng của A là 0 suy ra chữ số hàng chục là 0 ( vô lý ) +) Nếu chữ số tận cùng của A là 4 suy ra chữ số hàng chục của A phải là số chẵn suy ra là 0 hoặc 2 A Có thể là : 3204 hoặc 2304 hoặc 3024 Có : 562 3204 572 ;2304 482 ;542 3024 552 Vậy số cần tìm là : 2304 Bài 5: Chứng minh rằng tổng các bình phương của 5 số tự nhiên liên tiếp không là số chính phương HD: Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 32
CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 Gọi 5 số tự nhiên liên tiếp là : n 2,n 1,n,n 1,n 2(n N,n 2) Đặt S (n 2)2 (n 1)2 n2 (n 1)2 (n 2)2 5(n2 2) Vì n2 không có chữ số tận cùng là 3 hoặc 8 nên n2 + 2 không có chữ số tận cùng là 5 hoặc 0 2 S5 n 2/ 5 S không là số chính phương S/ 25 Bài 6: Chứng minh rằng các số sau không là số chính phương a. 1212 1312 1412 tc : 3 100 b. 7 101 tc : 2 tc:1 c. 100100 98 8 tc : 7 Bài 7: Tìm SCP có bốn chữ số được viết bởi các chữ số: 3, 6, 8, 8 HD: SCP này có tận cùng là 6 chữ số hàng chục là 3 Thử lại 8836 = 942 Bài 8: Tìm SCP có bốn chữ số sau: 2, 3, 4 và 9 HD: SCP này có tận cùng là 4 hoặc 9 +) Nếu chữ số tận cùng là 4 suy ra chữ số hàng chục chẵn = 2 có các số: 3924, 9324 Thử lại: Đi phân tích TSNT xem số nào thỏa mãn +) Nếu chữ số tận cùng là 9 chữ số hàng chục là 2 hoặc 4 2 Có các số: 3429;4329;2349;3249 57 loai Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 33
CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 Dạng 7: Phương pháp phản chứng để giải các bài toán về số chính phương Bài 1: Chứng minh rằng với n N , thì: 3n 4 không là số chính phương HD: n 0 3n 4 5 khongla : SCP n 1 3n 4 7 khongla : SCP Với n 2 Giải sử 3n 4 là số chính phương m 2 3k 3n 4 m2 (m N,m 3) m2 4 3n (m 2)(m 2) 32 (k q n) q m 2 3 (k,q N;k,q 1) (m 2) (m 2) 3q 3k 4 3q 3k (*) VT (*)/ 3 n Voly 3 4 : khonglaSCP VP(*)3 Bài 2: Chứng minh rằng không tồn tại hai số chính phương có hiệu bằng 10002 HD: Giả sử có hai số chính phương : m2 và n2 thỏa mãn điều kiện ban đầu Tức là : m2 – n2 = 10002 Với giả thiết m > n (m n)(m n) 10002 Vì m2 – n2 là số chẵn nên m2 và n2 cùng tính chẵn lẻ suy ra m và n cùng tính chẵn lẻ m n2;m n2 (m n)(m n)4 Mà : 10002 không chia hết cho 4 vô lý. Bài 3: Chứng minh rằng với mọi n nguyên dương thì n2 + 2 không là số chính phương HD: 2 2 2 * 2 2 Giải sử n + 2 là số chính phương, đặt n 2 m (m N ) m n 2 dpcm 4 / 4 Bài 4: Chứng minh rằng tích của bốn số nguyên dương liên tiếp không là số chính phương HD: Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 34
CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 Đặt S n(n 1)(n 2)(n 3)(n N * ) Ta đi chứng minh S không là số chính phương Giả sử S m2 (m N * ) n(n 1)(n 2)(n 3) m2 (n2 3n)(n2 3n 2) m2 Đặt n2 3n a(a N *) a(a 2) m2 a2 2a m2 (a 1)2 m2 1 (a 1)2 m2 1 a 1 m 1 (a 1 m)(a 1 m) 1 m 0(voly) S : khonglasochinhphuong a 1 m 1 Bài 5: Chứng minh rằng tổng abc bca cab không là số chính phương HD: Đặt S abc bca cab 111(a b c) 3.37(a b c) Giả sử S là số chính phương S37 S372 a b c37 Mà a b c 27 voly S : khonglasochinhphuong Bài 6: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n thì 7n 24 không là SCP HD: Giải sử 7n 24 là số chính phương, đặt 7n 24 a2 (a N * ) +) n lẻ, đặt n 2k 1 7n 24 49k.7 24 a2 Có: 49 : 4 dư 1 49k : 4 dư 1 ; 7.49k : 4 dư 3 a2 : 4 dư 3 ( vô lý ) +) n chẵn, 72k 24 a2 (k 0) 24 (7k )2 a2 (a 7k )(a 7k ) (a 7k )(a 7k ) 2.12 4.6 Vì a 7k ;a 7k cùng tính chất chẵn lẻ Xét hai trường hợp được: 2.7k 10;2.7k 2 không tồn tại k Vậy 7n 24 không là số chính phương Bài 7: Chứng minh rằng không tồn tại số tự nhiên n sao cho: 13n2 2 là số chính phương HD: 13n2 2 m2 (*) Với n chẵn, n lẻ m cũng chẵn lẻ m,n cùng tính chẵn lẻ Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 35
CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 2 Nếu m, n là các số lẻ thì 1 3n 2 : 4 du : 3 khongtontai chia4:du1 Nếu m, n chẵn VT (*) : 4du2 voly dpcm VP(*)4 Bài 8: Chứng minh rằng: n2 5n 35/(n N) HD: Giả sử ngược lại: n2 5n 35121n N nào đó 4n2 20n 140121 (2n 5)2 165121 112 (1) Ta có: 165 11.1511 (2n 5)2 11 2n 511 Vì 11 là số nguyên tố (2n 5)2 112 121(2) 165 11.15121 112 (voly) dpcm Nhận xét: Nếu a2  p mà p là số nguyên tố a2  p2 Dạng 8: Sử dụng tính chất chia hết để giải bài toán số chính phương Nhận xét: a. a2  0,1(mod3) b. a2  0,1(mod 4) c. a2  0,1,4(mod5) d. a2  0,1,4(mod7) e. a2  0,1,4(mod8)(a : chan  0,4;a : le 1) f. a2  0,1,4,9(mod11) g. a2  0,1,4,5,6,9(mod10) h. a2  / 2,3,7,8(mod10) Số chính phương chia hết cho p2n 1  p2n 2 ( p ) Bài 1: Các số sau có phải số chính phương không? a. 21000 (2500 )2 phai b. 31993 31992.3 (3996 )2.3 khongphai c. 4101 (22 )101 (2101)2 phai Bài 2: Các số sau có là số chính phương không 2 3 20 a. 3 3 3 . 3 9 Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 36
CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 Có: A3 nhưng A chia 9 dư 3 nên A không là số chính phương b. B 11 112 113 11(1 11 121) 1463 tan cungla : 3 không c. 1010 8 tc :8 khong d. 1010 5 tc : 5 nhưng không chia hết cho 25 nên không là số chính phương 29 58 87 29 58 29 87 58 e. E 29 58 87 29 (1 2.29 3.29) 29 29  / 29 Ta có: A chia hết cho 29 29 nhưng không chia hết cho 29 30, mà 29 là số nguyên tố nên E không là số chính phương f. A 1234567890 Ta có: S(A) = 45. A chia hết cho 2 nhưng không chia hết cho 4 nên A không là số chính phương Hoặc cách khác: A chia hết cho 5 nhưng không chia hết cho 25 nên không là số chính phương Bài 3: Giả sử N 1.3.5 2015.Chứng minh rằng các số: 2N – 1 ; 2N ; 2N + 1 không phải là số chính phương HD: 2N3 2N 1: 3du2 khonglasochinhphuong N lẻ N 2k 1 2N 4k 2chia4du2 khonglasochinhphuong N 4q 1 2N 1 8q 3 N lẻ khonglasochinhphuong N 4q 3 2N 1 8q 7 Bài 4: Cho a, b, c là các số nguyên dương thỏa mãn: a2 b2 c 2 . CMR: abc chia hết cho 60 HD: Ta có: 60 = 3 . 4 . 5 Giả sử abc không chia hết cho 3 a,b,c không chia hết cho 3 ( 3 là số nguyên tố ) a2  b2  c2 1(mod3) 1 1 1(mod3) voly abc3(1) Nếu trong 3 số a, b, c có ít nhất hai số chẵn thì abc4(2) Nếu trong 3 số có đúng 1 số chẵn và 2 số lẻ. Ta thấy nếu a và b cùng lẻ thì c chẵn a2 b2 1 1  2(mod 4);c2  0(mod 4) voly Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 37
CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 Không mất tính tổng quát giả sử a chẵn còn b, c lẻ a2  c2 b2 1 1  0(mod8) a2 8 a4 abc4 Giả sử a2 b2  0,2,3(mod5) abc/ 5 a,b,c/ 5 a2 ,b2 ,c2 1,4(mod5) voly abc5(3) 2 c 1,4 Từ (1)(2)(3) abc3.4.5 60(dpcm) Bài 5: Cho n là số nguyên dương sao cho 2n + 1 và 3n + 1 đều là các số chính phương, chứng minh rằng n chia hết cho 40 HD: Đặt 2n 1 a2 ;3n 1 b2 (a,b N) Ta có a lẻ 2 2 2 2 3n b 18 a 1(mod4) a 1 2n4 n : chan b : le b 1(mod8) n8(1) (3,8) 1 a2 b2 5n 2  2(mod5) a2  b2 1(mod5) 2n a2 15 2 2 a ,b  0,1,4(mod5) Mà ( 2,5) = 1 n5(2) n40 Bài 6: Cho A là tổng các bình phương của 111 STN liên tiếp nào đó. CMR: A không phải là SCP HD: Xét tổng các bình phương của 3 số tự nhiên liên tiếp (a 1)2 a2 (a 1)2 3a2 2  2(mod3)a N Chia A thành 37 nhóm, mỗi nhóm là tổng các bình phương của 3 STN liên tiếp A  37.2 1.2  2(mod3) A không là số chính phương Bài 7: Cho A là tổng các bình phương của 108 STN liên tiếp nào đó. CMR: A không là SCP HD: Xét tổng các bình phương của 4 STN liên tiếp a2 (a 1)2 (a 2)2 (a 3)2 4a2 12a 14  2(mod 4)a N Chia A thành 27 nhóm, mỗi nhóm 4 STN liên tiếp Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 38
CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 A  27.2  54  2(mod 4) A: khonglasochinhphuong Bài 8: Viết liên tiếp các STN từ 1 đến 101 thành dãy theo thứ tự tùy ý nào đó tạo thành số A. Chứng minh rằng A không là số chính phương HD: 101.102 A 1 2 101  101.51  2.6  3(mod9) do 2 10n 1(mod9) A3; A/ 9 A: khonglasochinhphuong Dạng 9: Phương pháp kẹp để giải bài toán số chính phương Nội dung phương pháp: Dựa vào tính chất sau: Không tồn tại số chính phương nằm giữa hai số chính phương liên tiếp Vd: 4, 9, 16, 25, . Như vậy để chứng minh số K không phải SCP ta chỉ cần chỉ ra STN q sao cho: q2 k (q 1)2 Bài 1: Chứng minh rằng số 10224 không là số chính phương HD: Nhận thấy: 1012 10201;1022 10404;10201 10224 10404 1012 10224 1022 khonglasochinhphuong Bài 2: Tìm số tự nhiên n để n2 3n là số chính phương HD: +) n 0 n2 3n 0 lasochinhphuong +) n 1 n2 3n 4 lasochinhphuong +) n 1: (n 1)2 n2 2n 1 n2 2n n n2 3n;(n 2)2 n2 3n (n 1)2 n2 3n (n 2)2 n2 3n : khonglasochinhphuong Bài 3: Chứng minh rằng n N các số sau không là số chính phương a. n2 7n 10 b. 4n2 5n 2 Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 39
CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 HD: a. Nhận thấy n N (n 3)2 n2 6n 9 (n 4)2 dpcm b. (2n 1)2 4n2 5n 2 (2n 2)2 Bài 4: Chứng minh rằng tích của bốn số nguyên dương liên tiếp không là SCP HD: Giả sử n N , đặt S n(n 1)(n 2)(n 3) (n2 3n)(n2 3n 2) a(a 2) a2 2a(a N * ) Nhận thấy a2 a2 2a (a 1)2 S : khonglasochinhphuong Bài 5: Chứng minh rằng số a.S 20162016 20161000 2016999 20162 2016 không là SCP HD: Ta có : S 20162016 (20161008 )2 (1) Ta đi chứng minh S (20161008 1)2 20162016 2.20161008 1 Thật vậy : 20161000 2016999 20162 2016 1000.20161000 1000.20161000 20161001 2.20161008 1 S (2016 1)2 (2) dpcm b. CMR : A 20182018 20181000 2018999 20182 2018 5 không là số chính phương HD: Ta có : A 20182018 (20181009 )2 A 20182018 5 20182018 20181000 20181000 20182018 1001.20181000 20182018 2.20181009 1 (20181009 1)2 A: khonglasochinhphuong Bài 6: Chứng minh rằng tổng bốn số tự nhiên liên tiếp không là số chính phương HD: A n2 (n 1)2 (n 2)2 (n 3)2 4n2 12n 14(n 0) (2n 3)2 5 (2n 4)2 4n 2 (2n 3)2 A (2n 4)2 A: khonglasochinhphuong Bài 1: Chứng minh rằng số 40725 không là số chính phương HD: Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 40
CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 Ta có số 40725 chia 8 dư 5 nên không là số chính phương Hoặc: 2012 40725 2022 Bài 2: Chứng minh rằng với số tự nhiên n thì các số sau không phải số chính phương 2 2 a) A n 2n 3 b) B 9n 8n 10 HD: a) Ta có: n2 2n 1 n2 2n 3 n2 4n 4 (n 1)2 n2 2n 3 (n 2)2 A n2 2n 3 không là số chính phương b) Với n = 0, n = 1 thì không thỏa mãn n 2 (3n 1)2 9n2 8n 10 (3n 2)2 Bài 3: Chứng minh rằng tích của hai số tự nhiên liên tiếp khác 0 không là số chính phương HD: Dễ thấy: n2 n2 n n2 2n 1 (n 1)2 dpcm Dạng 10 : Dựa vào các chú ý quan trọng sau - Nếu x, y là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau có tích là 1 số chính phương thì x, y là các số chính phương xy m2 x, y : SCP (x, y) 1 +) Giả sử x, y, z là các số nguyên dương, p là số nguyên tố thỏa mãn : xy = p.z2 và (x,y) = 1 x a2 x pa2 ; (a,b N * ) 2 2 y p.b y b 1 1 1 Bài 1: Cho a, b, c là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau và thỏa mãn : a b c Chứng minh rằng : a + b là số chính phương HD: Ta có : 1 1 1 (a b)c ab ab ac bc 1 a(b c) b2 bc b2 (b c)(a b) b2 a b c Giả sử (a b,b c) 1 p  sao cho Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 41
CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 p / a b 2 p / a p / b p / b p /(a,b,c) 1(voly) p / b c p / c Nên điều giả sử là sai (a b,b c) 1 a b;b c lasochinhphuong Bài 2: Cho n là số nguyên dương sao cho n2 là hiệu lập phương của hai số tự nhiên liên tiếp. Chứng minh rằng n là tổng của hai số tự nhiên liên tiếp HD: Theo giả thiết : n2 (k 1)3 k 3 (k N) n2 3k 2 3k 1 4n2 3(4k 2 4k 1) 1 3(2k 1)2 1 (2n 1)(2n 1) 3(2k 1)2 Vì 2n + 1 và 2n – 1 nguyên tố cùng nhau nên xảy ra 2 trường hợp sau 2n 1 a2 a2 1 a 1 a 1 a : le n ( )2 ( )2 2 2n 1 3b 2 2 2 2n 1 3a2 b2 3a2 2  2(mod3) voly 2 2n 1 b a2 1 a 1 a 1 Vậy chỉ có trường hợp 1 và n ( )2 ( )2 2 2 2 Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 42