›
›
›

Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 8 - Chuyên đề: Giải phương trình

doc 42 trang hoaithuong97 13822
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 8 - Chuyên đề: Giải phương trình", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • docchuyen_de_boi_duong_hoc_sinh_gioi_toan_8_chuyen_de_giai_phuo.doc

Nội dung text: Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 8 - Chuyên đề: Giải phương trình

  1. CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 CHUYÊN ĐỀ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH Dạng 1: PHƯƠNG TRÌNH CÓ HỆ SỐ ĐỐI XỨNG Phương pháp giải: Do x=0 không phải là nghiệm của phương trình nên chia cả hai vế cho x2 , rồi đặt ẩn phụ Bài 1: Giải phương trình: x4 3x3 4x2 3x 1 0 HD: Thấy x=0 không phải là nghiệm của phương trình: Chia hai vế cho x2 ta được: 2 1 1 2 1  x 3x 4 2 0 x 2 3 x 4 0 x x x 3 1 1 Đặt x y x2 y2 2 , Thay vào phương trình ta có: x x2 y2 2 3y 4 0 Bài 2: Giải phương trình: 6x4 25x3 12x2 25x 6 0 HD: Nhận thấy x = 0 không phải là nghiệm của phương trình, chia cả hai vế của PTx2 0 ta được: 2 25 6 2 1 1 6x 25x 12 2 0 6 x 2 25 x 12 0 x x x x 1 1 Đặt: x t x2 t 2 2 , Thay vào phương trình ta được: x x2 6 t 2 2 25t 12 0 6t 2 25t 24 0 Bài 3: Giải phương trình: x4 5x3 12x2 5x 1 0 HD: Nhận thấy x=0 không phải nghiệm của PT, chia cả hai vế của PT cho x2 0 , ta được: 2 5 1 2 1 1 x 5x 12 2 0 x 2 5 x 12 0 x x x x 1 1 Đặt: x t x2 t 2 2 , Thay vào phương trình ta được: x x2 t 2 5t 14 0 t 7 t 2 Bài 4: Giải phương trình: x4 2x3 4x2 2x 1 0 Bài 5: Giải phương trình: x4 3x3 6x2 3x 1 0 HD: Nhận thấy x = 0 không phải là nghiệm của PT, chia cả hai vế của PT cho x2 0 , ta được: 2 3 1 2 1 1 x 3x 6 2 0 x 2 3 x 6 0 x x x x 1 Đặt x t , Phương trình tương đương với: t 2 3t 4 0 x Bài 6: Giải phương trình: 2x4 9x3 14x2 9x 2 0 HD: Nhận thấy x=0 không phải là nghiệm của phương trình , chia cả hai vế của PT cho x2 0 ta được: Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 1
  2. CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 2 9 2 2 1 1 2x 9x 14 2 0 2 x 2 9 x 14 0 x x x x 1 Đặt: x t , phương trình trở thành: 2t 2 9t 10 0 x Bài 7: Giải phương trình: x4 3x3 4x2 3x 1 0 Bài 8: Giải phương trình: 3x4 13x3 16x2 13x 3 0 Bài 9: Giải phương trình: 6x4 5x3 38x2 5x 6 0 Bài 10: Giải phương trình: 6x4 7x3 36x2 7x 6 0 Bài 11: Giải phương trình: 2x4 x3 6x2 x 2 0 Bài 12: Giải phương trình: 2x4 5x3 6x2 5x 2 0 Bài 13: Chứng minh phương trình sau vô nghiệm: x4 x3 2x2 x 1 0 Bài 14: Chứng minh phương trình sau vô nghiệm: x4 x3 x2 x 1 0 HD: Nhân hai vế của phương trình với x-1 ta được: x 1 x4 x3 x2 x 1 x5 1 0 x5 1 x 1 1 Cách 2: Đặt y x x Bài 15: Chứng minh phương trình sau vô nghiệm: x4 2x3 4x2 3x 2 0 HD: Biến đổi phương trình thành: x2 x 1 x2 x 2 0 Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 2
  3. CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 Dạng 2: PHƯƠNG TRÌNH DẠNG x a x b x c x d k Phương pháp: Nhận xét về tích a d b c , rồi nhóm hợp lý tạo ra biểu thức chung để đạt ẩn phụ Đôi khi ta phải nhân thêm với các hệ số để có được biểu thức chung Bài 1: Giải phương trình: x 7 x 5 x 4 x 2 72 HD: Phương trình tương đương với x 7 x 2 x 5 x 4 72 x2 9x 14 x2 9x 20 72 0 Đặt x2 9x 14 t , khi đó phương trình trở thành: t t 6 72 0 t 12 t 6 0 2 2 9 23 Với t 12 x 9x 14 12 x 0 2 4 Với t 6 x2 9x 14 6 x 1 x 8 0 Bài 2: Giải phương trình: x 1 x 3 x 5 x 7 297 HD: Phương trình tương đương với: x 1 x 5 x 3 x 7 297 0 x2 4x 21 x2 4x 5 297 0 Đặt x2 4x 5 t khi đó phương trình trở thành: 2 t 16 t 297 0 t 8 192 0 t 27 t 11 0 Với t 27 x2 4x 5 27 x 8 x 4 0 2 Với t 11 x2 4x 5 11 x 2 2 0 Bài 3: Giải phương trình sau: x 7 x 5 x 4 x 2 72 HD: Biến đổi phương trình thành: x2 x x2 x 2 24 Đặt x2 x 1 y , Khi đó phương trình trở thành: y 1 y 1 24 y2 1 24 y2 25 Bài 4: Giải phương trình: x 1 x 2 x 4 x 5 40 Bài 5: Giải phương trình: x x 1 x 1 x 2 24 Bài 6: Giải phương trình: x 4 x 5 x 6 x 7 1680 Bài 7: Giải phương trình: x x 1 x 1 x 2 24 Bài 8: Giải phương trình: x 1 x 3 x 5 x 7 297 Bài 9: Giải phương trình: x x 1 x 2 x 3 24 Bài 10: Giải phương trình: x 2 x 2 x2 10 72 HD: Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 3
  4. CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 2 Đặt x2 4 y . Phương trình trở thành: y y 6 72 y2 6y 9 81 y 3 92 0 2 Bài 11: Giải phương trình: 2x 8x 1 4x 1 9 HD: 2 Nhân 8 vào hai vế ta được: 8x 8x 1 8x 2 72 Đặt 8x 1 y , ta được : y 1 y2 y 1 72 y2 9 y2 8 0 2 Bài 12: Giải phương trình: 12x 7 3x 2 2x 1 3 HD: 2 Nhân hai vế với 24 ta được: 12x 7 12x 8 12x 6 72 Đặt 12 7 y 2 Bài 13: Giải phương trình: 2x 1 x 1 2x 3 18 HD: 2 Nhân hai vế với 4 ta được: 2x 1 2x 2 2x 3 0 , Dặt 2x 2 y 2 Bài 14: Giải phương trình: 6x 7 3x 4 x 1 6 HD: 2 Nhân hai vế với 12 ta được: 6x 7 6x 8 6x 6 72 Đặt y 6x 7 Bài 15: Giải phương trình: 4x 1 12x 1 3x 2 x 1 4 0 HD : Phương trình 4x 1 3x 2 12x 1 x 1 4 0 12x2 11x 2 12x2 11x 1 4 0 Đặt 12x2 11x 1 t khi đó phương trình trở thành: t 3 t 4 0 t 4 t 1 0 Với t 4 12x2 11x 1 4 12x2 11x 3 0 Với t 1 12x2 11x 1 1 3x 2 4x 1 0 2 Bài 16: Giải phương trình: x 1 4x2 8x 3 18 HD: 2 2 2 Biến đổi phương trình thành: x 1 4 x2 2x 1 1 18 x 1 4 x 1 1 18 2 Đặt x 1 t, t 0 , Thay vào phương trình ta được: t 4t 1 18 4t 2 t 18 0 Bài 17: Giải phương trình: x 2 x 3 x 4 x 6 6x2 0 HD: Vì x 0 không là nghiệm của phương trình nên chia hai vế phương trình chox2 ta được: Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 4
  5. CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 12 12 12 x 4 x 1 6 0 . Đặt t x , ta có: x x x 2 t 1 t 4 t 1 6 0 t 3t 2 0 t 2 12 2 x 4 Với t 1 x 1 x x 12 0 x x 3 Với t 2 x2 2x 12 0 x 1 13 Vậy phương trình đã cho có bốn nghiệm: x 3; x 4; x 1 13 Dạng 3: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯA ĐƯỢC VỀ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH TRÙNG PHƯƠNG 4 4 x a x b c 4 4 Bài 1: Giải phương trình: x 1 x 3 82 HD: 4 4 Đặt y x 2 , ta có: y 1 y 1 82 y4 6y2 40 0 4 4 Bài 2: Giải phương trình: x 6 x 8 16 HD: 4 4 Đặt x 7 y , phương trình trở thành: y 1 y 1 16 Rút gọn ta được: 2y 4 12y2 2 16 y 4 6y2 7 0 4 4 Bài 3: Giải phương trình: x 2 x 6 82 4 4 Bài 4: Giải phương trình: x 3 x 5 2 4 4 Bài 5: Giải phương trình: x 3 x 5 16 4 4 Bài 6: Giải phương trình: x 2 x 3 1 4 4 Bài 7: Giải phương trình: x 1 x 3 82 4 4 Bài 8: Giải phương trình: x 2,5 x 1,5 1 4 4 Bài 9: Giải phương trình: 4 x x 2 32 Bài 10: Giải phương trình: x 1 4 x 3 4 2 Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 5
  6. CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 Dạng 4: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẰNG CÁCH ĐẶT ẨN PHỤ 2 Bài 1: Giải phương trình: 2x2 3x 1 5 2x2 3x 3 24 0 2 Bài 2: Giải phương trình: x2 x 4 x2 x 12 2 Bài 3: Giải phương trình: x2 6x 9 15 x2 6x 10 1 HD : 2 Đặt : x2 6x 9 x 3 t, t 0 , Thay vào phương trình ta được : t 2 15 t 1 1 t 2 15t 16 0 t 1 t 16 0 2 2 Bài 4: Giải phương trình: x2 4x 2 x 2 43 HD : 2 Biến đổi phương trình : x2 4x 2 x2 4x 4 43 . Đặt x2 4x y 2 Bài 5: Giải phương trình: 2x2 3 16 x 3 2 0 HD : 2 Ta có: PT 2x2 3 4x 12 2 0 2x2 3 4x 12 2x2 3 4x 12 0 2x2 4x 15 2x2 4x 9 0 Bài 6: Giải phương trình sau: x4 4x3 8x 5 0 HD: Biến đổi phương trình thành: x4 4x3 4x2 4x2 8x 5 0 2 x2 2x 4 x2 2x 5 0 4 4 4 Bài 7: Giải phương trình: 3 x 2 x 5 2x HD: 3 x y Đặt 5 2x y z , phương trình trở thành: 2 x z 4 y4 z4 y z yz 2y2 3yz 2z2 0 4 4 4 Bài 8: Giải phương trình: x 7 x 8 15 2x HD: 4 4 4 2 3 2 Đặt x 7 a, x 8 b a b a b 0 4ab a ab b 0 2 3 3 3 Bài 9: Giải phương trình: x 1 x 2 2x 1 HD: x 1 y Đặt 1 2x t thì ta có: x y z 0 x 2 z Phương trình trở thành: y3 z3 t3 0 vậy yzt 0 x 1 x 2 1 2x 0 3 3 3 Bài 10: Giải phương trình: x 1 x 2 2x 1 HD: Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 6
  7. CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 Đặt x 1 a, x 2 b,1 2x c a b c 0 3 3 3 Phương trình tương đương với x 1 x 2 1 2x 0 a3 b3 c3 0 2 Bài 11 : Giải phương trình: x2 1 3x x2 1 2x2 0 HD: Đặt x2 1 y y2 3xy 2x2 0 x y y 2x 0 2 Bài 12: Giải phương trình: x4 4x2 2x 1 12 2x 1 0 HD : 2 x a 2 2 Đặt . Khi đó phương trình trở thành: a 4ab 12b 0 a 6b a 2b 0 2x 1 b 2 Với a 6b x2 6 2x 1 x2 12x 6 0 x 6 30 2 2 Với a 2b x2 4x 2 0 x 2 6 Bài 13: Giải phương trình: 3x2 8x 4 x2 4 12x4 0 HD: Phương trình tương đương với: 3x 2 x 2 x 2 x 2 12x4 0 2 2 3x2 4x 4 x 2 12x4 0 4x2 x2 4x 4 x 2 12x4 0 2 2 2 2 4x2 x 2 x 2 12x4 0 4x2 x 2 x 2 12x4 0 2 x a Đặt: 2 , Khi đó phương trình trở thành: x 2 b 12a2 4ab b2 0 12a2 6ab 2ab b2 0 6a 2a b b 2a b 0 6a b 2a b 0 a b 6a b 0 6 2 2 2 6x x 4x 4 5x 4x 4 0 2a b 0 a b 0 l 2 2 6 Giải pt trên ta được: x 5 Bài 14: Giải phương trình: x2 1 x2 4x 3 192 HD: 2 Biến đổi phương trình thành: x2 1 x 1 x 3 192 x 1 x 1 x 3 192 Đặt x 1 y Phương trình trở thành: y 2 y2 y 2 192 y2 y2 4 192 Đặt y2 2 z , Phương trình trở thành: z 2 z 2 192 z 14 3 3 3 Bài 15: Giải phương trình: x3 x 1 x 2 x 3 HD: 3 3 3 3 Đặt x y 3 , Phương trình trở thành: y 3 y 4 y 5 y 6 2y y2 9y 21 0 2 Bài 16: Giải phương trình: 3 x2 x 1 2 x 1 2 5 x3 1 Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 7
  8. CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 HD : Vì x 1 không là nghiệm của phương trình nên chia cả hai vế cho x3 1 ta được: x2 x 1 x 1 x2 x 1 2 1 3 2 . Đặt t 3t 5 3t 2 5t 2 0 t 2,t x 1 x2 x 1 x 1 t 3 3 13 t 2 x2 3x 1 0 x 2 1 t 3x2 2x 4 0 phương trình vô nghiệm 3 Bài 17: Giải phương trình: x 1 x 2 x 3 2 x 4 x 5 360 HD: Phương trình x2 6x 5 x2 6x 8 x2 6x 9 360 Đặt t x2 6x , ta có phương trình: y 5 y 8 y 9 360 2 2 x 0 y y 22y 157 0 y 0 x 6x 0 x 6 Vậy phương trình có hai nghiệm: x 0; x 6 . 3 Bài 18: Giải phương trình: x3 5x 5 5x3 24x 30 0 HD: Ta có: x3 5x 30 5 x3 5x 5 x 5 nên phương trình tương đương 3 x3 5x 5 5 x3 24x x3 24x 30 0 . Đặt u x3 5x 5 . Ta được hệ: u3 5u 5 x u x u2 ux x2 6 0 u x . 3 x 5x 5 u x3 4x 5 0 x 1 x2 x 5 0 x 1. Vậy x 1 là nghiệm duy nhất của phương trình. Bài 19: Giải phương trình: x2 x 2 x2 x 3 6 HD: 2 t 2 Đặt x x 2 t . Phương trình đã cho thành t t 1 6 . t 3 Với t 2 thì x2 x 2 2 x2 x 0 x 0 hoặc x 1 . 1 21 Với t 3 thì x2 x 2 3 x2 x 5 0 x . 2 1 21 1 21  Vậy tập nghiệm của phương trình là S 1;0; ;  . 2 2  Bài 20: Giải phương trình: 6x 7 2 3x 4 x 1 1 HD: Biến đổi phương trình thành 36x2 84x 49 36x2 84x 48 12 . 2 t 3 Đặt t 36x 84x 48 thì phương trình trên thành t t 1 12 . t 4 3 5 Với t 3 thì 36x2 84x 48 3 36x2 84x 45 0 x hoặc x . 2 6 Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 8
  9. CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 Với t 4 thì 36x2 84x 48 4 36x2 84x 52 0 , phương trình này vô nghiệm. 5 3 Vậy tập nghiệm của phương trình là S ;  . 6 2 Bài 21: Giải phương trình: x 1 4 x 3 4 82 HD: 4 2 y 1 x 0 Đặt y x 1 thì phương trình đã cho thành 24y 48y 216 82 . y 1 x 2 Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là S 2;0 . Bài 22: Giải phương trình: x 1 x 2 x 4 x 5 10 HD: x 1 x 2 x 4 x 5 Đặt y x 3 thì phương trình trở thành: 4 y 6 x 6 3 y2 4 y2 1 10 y4 5y2 6 0 . y 6 x 6 3 Vậy tập nghiệm của phương trình là S 6 3; 6 3 . Bài 23: Giải phương trình: x2 x 2 x2 2x 2 2x2 HD: Do x 0 không phải là nghiệm của phương trình, chia hai vế cho x 2 ta được: 2 2 2 x 1 x 2 2 . Đặt y x thì phương trình trở thành. x x x 2 x 0 y 0 x x 1 y 1 y 2 2 y 3 2 x 2 x 3 x Bài 24: Giải phương trình: x 2 x 1 x 8 x 4 4x2 HD: Biến đổi phương trình thành: x 2 x 4 x 1 x 8 4x2 x2 6x 8 x2 9x 8 4x2 . Do x 2 không là nghiệm nên chia hai vế của phương trình cho x 2 ta được: 8 8 8 x 6 x 9 4 . Đặt y x thì phương trình trở thành x x x 2 y 5 y 6 y 9 4 y 15y 50 0 . y 10 8 Với y 5 thì x 5 x2 5x 8 0 (vô nghiệm). x Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 9
  10. CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 8 x 5 17 Với y 10 thì x 10 x2 10x 8 0 . x x 5 17 Vậy tập nghiệm của phương trình là S 5 17;5 17 . 2 2 Bài 25: Giải phương trình: 3 x2 2x 1 2 x2 3x 1 5x2 0 HD: Do x 0 không là nghiệm của phương trình, chia hai vế của phương trình cho x 2 ta được 2 2 1 1 1 3 x 2 2 x 3 5 0 . Đặt y x , phương trình trở thành: x x x 1 1 5 x 1 x 2 2 2 y 1 x 2 3 y 2 2 y 3 5 0 y 1 0 . Suy ra . y 1 1 1 5 x 1 x x 2 1 5 1 5  Vậy tập nghiệm của phương trình là S ;  . 2 2  Bài 26: Giải phương trình: 3x4 4x3 5x2 4x 3 0 HD: Phương trình không nhận x 0 là nghiệm, chia hai vế cho x 2 được : 2 1 1 1 2 3 x 2 4 x 5 0 . Đặt t x thì phương trình trở thành 3t 4t 1 0 x x x 1 3t 2 4t 1 0 t 1 hoặc t . 3 1 1 5 1 5 Với t 1 thì x 1 x2 x 1 0 x hoặc x . x 2 2 1 1 1 1 37 1 37 Với t thì x 3x2 x 3 0 x hoặc x . 3 x 3 3 2 4 2 1 5 1 5 1 37 1 37  Vậy tập nghiệm của phương trình là S ; ; ;  . 2 2 2 2  Bài 27: Giải phương trình: 2x4 21x3 34x2 105x 50 0 (1) HD: 105 50 Ta thấy k 5 và k 2 25 nên phương trình là phương trình bậc bốn có hệ số đối 21 2 2 25 5 5 2 2 25 xứng tỉ lệ. 1 2 x 2 21 x 34 0 . Đặt t x suy ra t x 2 10 . x x x x 9 Phương trình trở thành 2t 2 21t 54 0 t 6 hoặc t . 2 5 Với t 6 thì x 6 x2 6x 5 x2 6x 5 0 . x Phương trình có hai nghiệm x1 3 14; x2 3 14 . 9 5 9 Với x thì x 2x2 9x 10 0 . 2 x 2 9 161 9 161 Phương trình có hai nghiệm x ; x . 3 4 4 4 Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 10
  11. CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 9 161 9 161  Vậy PT (1) có tập nghiệm S 3 14;3 14; ;  . 4 4  1 1 1 1 1 Bài 28: Giải phương trình: 0 x x 1 x 2 x 3 x 4 HD: Điều kiện x 1; 2; 3; 4;0 . Ta biến đổi phương trình thành: 1 1 1 1 1 2 x 2 2 x 2 1 0 2 2 0 x x 4 x 1 x 3 x 2 x 4x x 4x 3 x 2 1 1 1 0 . Đặt u x2 4x , phương trình trở thành x2 4x x2 4x 3 2(x2 4x 4) 25 145 2 u 1 1 1 5u 25u 24 10 0 0 . u u 3 2 u 4 2u u 3 u 4 25 145 u 10 2 25 145 x 4x Do đó 10 . Tìm được tập nghiệm của phương trình là 25 145 x2 4x 10 15 145 15 145 15 145 15 145  S 2 ; 2 ; 2 ; 2 . 10 10 10 10  x 4 x 4 x 8 x 8 8 Bài 29: Giải phương trình: x 1 x 1 x 2 x 2 3 HD: 5 5 10 10 8 10 40 8 Biến đổi phương trình thành . x 1 x 1 x 2 x 2 3 x2 1 x2 4 3 Đặt u x2 u 1,u 4;u 0 dẫn đến phương trình u 16 2 1 1  4u 65u 16 0 1 . bTìm được tập nghiệm của phương trình là S ; 4; ;4 . u 2 2  4 x 1 x 6 x 2 x 5 Bài 30: Giải phương trình: x x 2 x2 12x 35 x2 4x 3 x2 10x 24 HD: Điều kiện x 7; 6; 5; 4; 3; 2; 1;0 . Biến đổi phương trình thành x 1 x 6 x 2 x 5 x x 2 x 5 x 7 x 1 x 3 x 4 x 6 x 1 1 1 x 6 1 1 x 2 1 1 x 5 1 1 2 x x 2 2 x 5 x 7 2 x 1 x 3 x x 4 x 6 1 1 1 1 1 1 1 1 x x 2 x 5 x 7 x 1 x 3 x 4 x 6 1 1 1 1 1 1 1 1 x x 7 x 2 x 5 x 1 x 6x x 3 x 4 1 1 1 1 2x 7 2 2 2 2 0 x 7 x 7x 10 x 7x 6 x 7x 12 Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 11
  12. CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 7 x 2 . 1 1 1 1 0(*) x2 7x x2 7x 10 x2 7x 6 x2 7x 12 Đặt u x2 7x thì phương trình (*) có dạng 1 1 1 1 1 1 1 1 2 0 0 u 18u 90 0 . u u 10 u 6 u 12 u u 6 u 10 u 12 Mặt khác u2 18u 90 u 9 2 9 0 với mọi u . Do đó phương trình (*) vô nghiệm. 7 Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x . 2 x2 x 1 x2 2x 2 x2 3x 3 x2 4x 4 Bài 31: Giải phương trình: 0 x 1 x 2 x 3 x 4 HD: Điều kiện x 4; 3; 2; 1 . Biến đổi phương trình thành 1 2 3 4 1 4 2 3 0 0 x 1 x 2 x 3 x 4 x 1 x 4 x 2 x 3 x 0 3 1 x 2 2 0 3 1 . x 5x 4 x 5x 6 0(*) x2 5x 4 x2 5x 6 3 1 11 Đặt u x2 5x thì phương trình (*) trở thành 0 u . u 4 u 6 2 5 3 Từ đó ta có 2x2 10x 11 0 x . 2 5 3 5 3  Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là S 0; ;  . 2 2  4x 3x Bài 32: Giải phương trình: 1 4x2 8x 7 4x2 10x 7 HD: Do x 0 không là nghiệm của phương trình nên chia cả tử và mẫu của mỗi phân thức ở vế 7 trái của phương trình cho x , rồi đặt y 4x ta được x 4 3 1. y 8 y 10 Phương trình trên có 2 nghiệm y 16, y 9 . 7 Với y 9 thì 4x 9 4x2 9x 7 0 . Phương trình này vô nghiệm. x 7 Với y 16 thì 4x 16 4x2 16x 7 0 . Phương trình này có hai nghiệm x 1 7 x ; x . 1 2 2 2 1 7  Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là S ;  . 2 2 Bài 33: Giải phương trình: 2x2 3x 1 2x2 5x 1 9x2 HD: Đặt t 2x2 x 1 , phương trình (1) thành Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 12
  13. CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 t 4x t 4x 9x2 t 2 16x2 9x2 t 2 25x2 t 5x hoặc t 5x . 3 7 Với t 5x thì 2x2 x 1 5x 2x2 6x 1 0 x . 2 2 2 Với t 5x thì 2x2 x 1 5x 2x2 4x 1 0 x . 2 3 7 2 2  Vậy tập nghiệm của phương trình (1) là ;  2 2  Bài 34: Giải phương trình: x2 5x 1 x2 4 6 x 1 2 HD: Đặt u x 1 đưa phương trình (2) về dạng tổng quát u2 7u 3 u2 2u 3 6u2 . Bạn đọc giải tiếp theo phương pháp đã nêu. Ta có thể giải bằng cách khác như sau Viết phương trình đã cho về dạng x2 4 5x 5 x2 4 6 x 1 2 0 . Đặt t x2 4 , Phương trình thành t 2 5x 5 t 6x 6 x 1 0 t 6x 6 t x 1 0 2 2 x 3 7 t 6x 6 x 4 6x 6 x 6x 2 0 . 2 2 1 21 t x 1 x 4 x 1 x x 5 0 x 2 1 21 1 21  Vậy tập nghiệm của PT(2) là S ;3 7; ;3 7  . 2 2  Bài 35: Giải phương trình: x4 9x3 16x2 18x 4 0 HD: PT tương đương với x4 9x x2 2 16x2 4 0 Đặt t x2 2 thì t 2 x4 4x2 4 , PT trên thành: t 2 9xt 20x2 0 t 4x t 5x 0 2 2 x 2 6 t 4x x 2 4x x 4x 2 0 . 2 2 5 33 t 5x x 2 5x x 5x 2 0 x 2 5 33 5 33  Vậy tập nghiệm của phương trình là 2 6; ;2 6;  . 2 2  x2 12 Bài 36: Giải phương trình: 3x2 6x 3 x 2 2 HD: Điều kiện x 2 . Khử mẫu thức ta được phương trình tương đương: 3x4 6x3 16x2 36x 12 0 3x4 6x x2 6 16x2 12 0 . Đặt t x2 6 thì t 2 x4 12x2 36 , suy ra 3x4 3t 2 36x2 108 , PT trên thành: 3t 2 6xt 20t 0 t 3t 6x 20 0 t 0 hoặc 3t 6x 20 . Với t 0 thì x2 6 0 , suy ra x 6 (thỏa mãn đk). Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 13
  14. CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 3 3 Với 3t 6x 20 ta có 3x2 18 6x 20 hay 3x2 6x 2 0 suy ra x (thỏa mãn 3 3 3 3 3  ). Vậy tập nghiệm của PT(4) là S ; 6; ; 6 . 3 3  2x 13x Bài 37: Giải phương trình: 6 3x2 5x 2 3x2 x 2 HD: 2x 13x Đặt t 3x2 2 PT(5) trở thành 6 . ĐK: t 5x,t x . t 5x t x Khử mẫu thức ta được PT tương đương 2t 2 13tx 11x2 0 t x 2t 11x 0 11 t x hoặc t x (thỏa mãn ĐK) 2 Với t x thì 3x2 2 x 3x2 x 2 0.Phương trình vô nghiệm. 11 11 1 4 Với t x thì 3x2 2 x 6x 11x 2 0 x hoặc x .Vậy tập nghiệm của 2 2 2 3 1 4  PT(5) là ;  . 2 3  Bài 38: Giải phương trình: x2 x4 1 x2 2 1 0 HD: Lời giải: PT x2 x2 1 x2 1 x2 2 1 0 x4 x2 x4 x2 2 1 0 2 x4 x2 2 x4 x2 1 0 2 x4 x2 1 0 x4 x2 1 0 . 5 1 5 1  Giải phương trình trùng phương trên ta được tập nghiệm của PT là ;  . 2 2  2 2 x 2 x 2 x2 4 Bài 39: Giải phương trình: 20 5 20 2 0 x 1 x 1 x 1 HD: Điều kiện x 1 . x 2 x 2 2 Đặt y; z , PT có dạng: 20y2 5z2 20yz 0 5 2y z 0 2y z x 1 x 1 Dẫn đến x 2 x 2 2. 2 x 2 x 1 x 2 x 1 2x2 6x 4 x2 3x 2 x2 9x 2 0 x 1 x 1 9 73 9 73 x hoặc x (thỏa mãn ). Vậy tập nghiệm của PT(2) là 2 2 9 73 9 73  ;  . 2 2  Bài 40: Giải phương trình: x4 4x3 19x2 106x 120 0 Bài 41: Giải phương trình: 4x4 12x3 5x2 6x 15 0 Bài 42: Giải phương trình : x4 8x 7 Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 14
  15. CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 HD : 2 x4 2x2 1 2x2 8x 8 x2 2x2 12 2 x2 4x2 22 2 2 x2 1 2 x 2 x2 1 2 x 2 x2 1 2 x 2 x2 1 2.x 2 2 1 1 x2 1 2.x 2 2 x2 2.x 2 2 1 x2 2.x 2 2 2 2 2 2 4 2 1 x 2 2 2 Bài 43: Giải phương trình: 2x 8x 1 4x 1 9 Bài 44: Giải phương trình: 2x4 x3 5x2 x 2 0 HD: Thấy x = 0 khoong phải là nghiệm của phương trình nên chia cả hai vế cho x2 0 ta được: 1 2 1 1 2 x2 x 2x x 5 2 0 2 2 5 0 x x x x 1 1 Đặt: x t x2 t 2 2 , Thay vào phương trình ta được: x x2 2t 2 t 1 0 2t 1 t 1 0 Bài 45: Giải phương trình: x4 4x3 6x2 4x 24 0 3 Bài 46: Giải phương trình: x 4 x x 2 x 8 96 0 Bài 47: Giải phương trình: x4 x 1 x2 2x 2 0 HD: 2 Biến đổi phương trình thành: x4 x 1 x 1 1 0 Đặt: y x 1 x y 1 , Thay vào phương trình ta được: 4 y 1 y y2 1 0 y4 5y3 6y2 5y 1 0 Thấy y = 0 không phải là nghiệm nên chia cả hai vế cho y2 0 , ta được: 5 1 y2 5y 6 0 y y2 2 1 1 y 5 y 2 0 y y 2 2 Bài 48: Giải phương trình: 2 x2 x 1 7 x 1 13 x3 1 HD: 2 2 Biến đổi phương trình thành: 2 x2 x 1 7 x 1 13 x 1 x2 x 1 2 2 x 1 13 x 1 Chia hai vế cho x x 1 , ta được: 2 7 2 2 x x 1 x x 1 x 1 Đặt: y , phương trình trở thành: 2 7y2 13y y 2 1 7y 0 x2 x 1 Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 15
  16. CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 3 3 Bài 49: Giải phương trình: x2 3x 2 x6 3x 2 HD: 3 3 3 Biến đổi phương trình thành: x2 3x 2 3x 2 x2 Dễ thấy: x2 3x 2 3x 2 x2 , Thay vào phương trình trên ta được: 3 3 3 x2 3x 2 3x 2 x2 3x 2 3x 2 3 3 3 3 x2 3x 2 3x 2 x2 3x 2 3x 2 3 x2 3x 2 3x 2 x2 x 1 x2 3x 2 0 x 2 2 2 3 x 3x 2 3x 2 x 0 3x 2 0 2 x 2 x 0 3 x 0 2 Bài 50: Giải phương trình: x2 9 x2 9x 22 x 1 HD: Đặt y x 1 , Phương trình trở thành: y2 2y 10 y2 11y 10 22y2 Vì y = 0 không phải là nghiệm của PT nên chia cả hai vế của phương trình cho y2 0 . 10 10 Phương trình trở thành: y 2 y 11 22 y y 10 2 t 2 Đặt: y 2 t , Phương trình: t t 9 22 t 9t 22 0 y t 11 10 y2 10 Với t = 2, ta được: y 2 2 0 ( Vô lý) y y 10 Với t = -11, ta được : y 2 11 y2 13y 10 0 y Bài 51: Giải phương trình: x2 3x 3 x2 2x 3 2x2 HD: Nhận thấy x = 0 không phải là nghiệm của phương trình, chia cả hai vế cho x2 0 ta được: 3 3 3 x 3 x 2 2 , Đặt: x t , phương trình trở thành: x x x t 3 t 2 2 t 2 5t 4 0 2 Bài 52: Giải phương trình: x2 1 3x x2 1 2x2 0 HD: Đặt x2 1 t, t 1 , Khi đó phương trình trở thành: 2 2 t x t 3xt 2x 0 t x t 2x 0 t 2x 2 2 1 3 Với t x x x 1 x 0 ( Vô nghiệm) 2 4 2 Với t 2x 2x x2 1 x 1 0 x 1 Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 16
  17. CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 2 Bài 53: Giải phương trình: x2 9 12x 1 HD: Cộng cả hai vế với 36x2 ta được: 2 2 2 x2 9 36x2 36x2 12x 1 x2 18x2 81 36x2 6x 1 2 2 2 2 x2 18x2 81 6x 1 x2 9 6x 1 0 x2 9 6x 1 x2 9 6x 1 0 2 2 2 Bài 54: Giải phương trình: x 7 x 8 15 2x HD: Nhận thấy: x 7 x 8 2x 15 , Thay vào phương trình ta được: 2 2 2 x 7 x 8 7 x 8 x 2 2 2 2 x 7 x 8 7 x 8 x 2 7 x 8 x 0 2 7 x 8 x 0 1 Bài 55: Giải phương trình: x3 x2 x 3 Bài 56: Giải phương trình: 4x3 6x2 12x 8 0 2 Bài 57: Giải phương trình: x2 9 12x 1 HD: 2 Cộng thêm 36x2 vào hai vế ta được: x2 9 36x2 36x3 12x 1 Bài 58: Giải phương trình : 6x 1 8x 27x 1 HD : 2 x.3x 23x 33 x 1 1 x 2 a 3 3 Đặt , Phương trình trở thành : a3 b 1 3a b 1 x 1 3 b Vì x3 y3 z3 3xyz x y z x2 y2 z2 xy yz zx , Khi đó : 2x 3x 1 1 Bài 59: Giải phương trình: 8x 4x2 1 x2 2x 1 4 x2 x 1 HD: Nhận thấy x 1 không phải là nghiệm của phương trình 8x 4x2 1 x2 x 1 Với x 1 , phương trình đã cho tương đương với 4 x2 2x 1 2 2 2 x2 x 1 4x2 4x 4 3 x 2x 1 x 2x 1 3 x 1 3 Ta có: 2 2 2 2 x 2x 1 4 x 2x 1 4 x 2x 1 4 4 x 1 4 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x 1 0 x 1 (1) 2 2 8x 4x 1 3 4 x 2x 1 3 2 3 Lại có: x 1 4 4 4 4 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x 1 0 x 1 (2) Từ (1) và (2) suy ra phương trình có nghiệm khi x = - 1 Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 17
  18. CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 2 Bài 60: Giải các phương trình sau: x2 x 4 8x x2 x 4 16x2 0 HD: Đặt x 2 x 4 t , ta có: t 2 8xt 16x 2 0 2 t 4x 0 x2 x 4 4x 0 x2 5x 4 0 x 1 x 4 0 2 Bài 61: Giải các phương trình sau: x2 x 4 x2 x 12 HD: Đặt y x2 x , Phương trình trở thành: y2 4y 12 0 y 6 y 2 0 2 Bài 62: Tìm x biết: x2 x 4 x2 x 12 HD: Đặt x 2 x t , Phương trình trở thành: t 2 4t 12 0 t 6 t 2 0 Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 18
  19. CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 Dạng 5 : NHẨM NGHIỆM ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH Phương pháp : + Nếu phương trình có tổng các hệ số bằng 0 thì phương trình có một nhân tử là : x 1 + Nếu phương trình có hiệu hệ số bậc chẵn với bậc lẻ bằng 0 thì có một nhân tử là : x 1 + Nếu phương trình có nghiệm nguyên thì nghiệm đó là ước của hệ số tự do + Nếu phương trình có nghiệm phân số, thì tử là ước của hệ số tự do, mẫu là ước của hệ số bậc cao nhất + Sửa dụng phương pháp đồng nhất để tách phương trình bậc 4 thành hai phương trình bậc 2 Bài 1: Giải phương trình: x4 2x3 5x2 4x 12 0 HD: Phương trình tương đương với x 1 x 2 x2 x 6 0 Bài 2: Giải phương trình: x4 2x3 4x2 5x 6 0 HD: Phương trình tương đương với: x 2 x 3 x2 x 1 0 Bài 3: Giải phương trình: x4 x2 6x 8 0 HD: Phương trình tương đương với x 1 x 2 x2 x 4 0 Bài 4: Giải phương trình: 6x4 x3 7x2 x 1 0 HD: Phương trình tương đương với: x2 1 2x 1 3x 1 0 Bài 5: Giải phương trình: x4 2x3 4x2 3x 2 0 HD: Phương trình tương đương với x2 x 1 x2 x 2 0 Bài 6: Giải phương trình: 2x4 3x3 8x2 6x 5 0 HD : Phương trình tương đương với x2 x 1 2x2 x 5 0 2 Bài 7: Giải phương trình sau: x2 4 8x 1 HD : 2 2 Thêm 16x2 vào hai vế ta được : x2 4 4x 1 x2 4x 5 x2 4x 3 0 Bài 8: Giải phương trình sau: x4 4x2 12x 9 0 HD: 2 Biến đổi phương trình x4 2x 3 0 Bài 9: Giải phương trình: x4 10x2 x 20 0 HD: 1 17 1 21 Biến đỏi phương trình thành : (x2 x 5)(x2 x 4) 0 x và x 2 2 Bài 10: Giải phương trình: x4 22x2 8x 77 0 Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 19
  20. CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 HD: x 1 2 2 Biến đổi phương trình thành: (x2 2x 7)(x2 2x 11) 0 x 1 2 3 Bài 11: Giải phương trình: x4 6x3 8x2 2x 1 0 HD: x 2 3 2 2 x 2 3 Biến đổi phương trình thành: (x 4x 1)(x 2x 1) 0 , x 1 2 x 1 2 Bài 12: Giải phương trình: x4 2x3 5x2 6x 3 0 HD: 3 21 x 2 2 2 Biến đổi phương trình thành: (x 3x 3)(x x 1) 0 3 21 x 2 Bài 13: Giải phương trình : x4 4x2 12x 9 0 HD : x2 2x 3 0 Biến đổi phương trình thành: x2 2x 3 x2 2x 3 0 x 1; x 3 2 x 2x 3 0 Bài 14: Giải phương trình : x4 13x2 18x 5 0 HD: Biến đổi phương trình thành: x4 4x2 4 9x2 18x 9 0 Bài 15: Giải phương trình : 2x4 10x3 11x2 x 1 0 HD: Biến đổi phương trình thành: 2 2 2 5 1 1 2 3 9 1 3 2 1 2 x x x x x x 2x x 3x 1 0 2 4 4 4 16 2 4 2 2 2 2 x 2x 4x 1 0 2 2 x 3x 1 0 3 13 x 2 Bài 16: Giải phương trình: x4 x3 2x 4 0 HD: Phương trình x4 x3 2x 4 0 x 1 x 2 x2 2 0 Bài 17: Giải phương trình: x4 30x2 31x 30 0 HD: x4 30x2 31x 30 0 x4 x 30 x2 x 1 0 x x3 1 30 x2 x 1 0 x x 1 x2 x 1 30 x2 x 1 0 x2 x 1 x2 x 30 0 , Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 20
  21. CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 2 2 1 3 2 Vì x x 1 x 0 x x 30 0 x 6 x 5 0 2 4 Bài 18: Cho đa thức: P x x4 x3 6x2 40x m 1979 a) Tìm m sao cho P(x) chia hét cho x-2 b) Với m tìm được, hãy giải phương trình P(x) =0 HD: a, P x x 2 x3 3x2 12x 16 m 2011 , Do p x chia hết cho x 2 nên m 2011 0 m 2011 b, Với m=2011=> P x x 2 x3 3x2 12x 16 Do đó: P x 0 x 2 x3 3x2 12x 16 0 x 2 x 1 x2 4x 16 0 2 x 2 x 2 x 1 0 Vì x 4x 16 0 x 1 2 2 Bài 19: Giải bất phương trình: 2x2 3x 4 x2 x 4 0 HD: Biến dổi phương trình về dạng: x x 2 3x2 4x 8 0 2 Nhận thấy: 3x2 4x 8 x 2 2x2 4 0 x x 2 0 x 2 hoặc x 0 Bài 21: Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn bất phương trình: 10x2 20y2 24xy 8x 24y 51 0 HD: 2 2 2 Biến đổi thành: 3x 4y x 4 2y 6 1 0 3x 4y 0 x 4 x 4 0 y 3 2y 6 0 Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 21
  22. CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 Dạng 6 : PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO Bài 1: Giải phương trình: x5 x4 3x3 3x2 x 1 0 HD: Nhận thấy x 1 là 1 nghiệm của phương trình ta có: x 1 x4 2x3 5x2 2x 1 0 2 x2 1 x x2 1 0 Bài 2: Giải phương trình: x5 x4 x3 x2 x 2 HD: Phương trình tương đương với x5 1 x4 x3 x2 x 1 0 x 2 x4 x3 x2 x 1 0 Ta thấy phương trình x4 x3 x2 x 1 vô nghiệm Bài 3: Giải phương trình sau: x5 x3 3x 2 x4 x2 3 HD: Phương trình tương đương với 2 x 2 x4 x2 3 0 Bài 4: Chứng minh phương trình sau vô nghiệm: x6 x5 x4 x3 x2 x 1 0 HD: Nhân hai vế với x 1 ta được: x7 1 0 x 1 Bài 5: Giải phương trình: x5 x2 2x 2 HD : Ta có: PT x5 x2 2x 2 0 x5 x2 2x 2 0 x2 x3 1 2 x 1 0 x2 x 1 x2 x 1 2 x 1 0 2 2 x 1 x x x 1 2 0 Ta thấy x2 0, x2 x 1 0 x2 x2 x 1 2 2 vậy PT có 1 nghiệm x 1 Bài 6: Giải phương trình: x5 2x4 3x3 3x3 2x 1 0 HD: Phương trình có 1 nghiệm x = -1 Bài 7: Giải phương trình: x6 3x5 6x4 21x3 6x2 3x 1 0 HD : Đây là phương trình bậc 6 và ta thấy các hệ số đối xứng do đó ta có thể áp dụng cách giải mà ta đã giải đối với phương trình bậc bốn có hệ số đối xứng. Ta thấy x 0 không là nghiệm của phương trình. Chia 2 vế của phương trình cho x3 ta được: 3 1 2 1 1 1 x 3 3 x 2 6 x 21 0 . Đặt t x , t 2 . Ta có: x x x x 2 1 2 3 1 2 x 2 t 2; x 3 t t 3 nên phương trình trở x x 2 2 3 2 2 t 3 thành:t t 3 3 t 2 6t 21 0 t 3t 9t 27 0 t 3 t 3 0 t 3 1 3 5 t 3 x 3 x2 3x 1 0 x x 2 Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 22
  23. CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 3 5 t 3 x2 3x 1 0 x . Vậy phương trình có bốn nghiệm : 2 3 5 3 5 x ; x . 2 2 Bài 8: Giải phương trình: x6 7x3 8 0 HD: Đặt x3 t , phương trình trở thành: t 2 7t 8 0 t 1 t 8 0 Bài 9: Tìm x, y, z biết: 10x2 y2 4z2 6x 4y 4xz 5 0 HD : 9x2 6x 1 y2 4y 4 4z2 4xz x2 0 2 2 2 3x 1 y 2 2z x 0 Do đó : 3x 1 0 và y 2 0 và 2z x 0 Bài 10: Tìm x, y, z biết: 9x2 y2 2z2 18x 4z 6y 20 0 HD: 9x2 18x 9 y2 6y 9 2 z2 2z 1 0 2 2 2 9 x 1 y 3 2 z 1 0 , Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 23
  24. CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 Dạng 7: PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN Ở MẪU Bài 1: Tìm x biết: x 3 x 3 x 3 x 3 x 1 x 3 x 5 x 7 a, b, 13 14 15 16 65 63 61 59 HD: x 3 x 3 x 3 x 3 1 1 1 1 a, 0 x 3 0 13 14 15 16 13 14 15 16 1 1 1 1 1 1 1 1 =>x 3 vì 0 và 0 nên 0 13 15 14 16 13 14 15 16 x 1 x 3 x 5 x 7 x 66 x 66 x 66 x 66 b, 1 1 1 1 65 63 61 59 65 63 61 59 1 1 1 1 1 1 1 1 => x 66 0 x 61 vì 0 65 63 61 59 65 63 61 59 Bài 2: Tìm x, biết: 29 x 27 x 25 x 23 x 21 x x 10 x 14 x 5 x 148 a, 5 b, 0 21 23 25 27 29 30 43 95 8 HD: 29 x 27 x 25 x 23 x 21 x a, 1 1 1 1 1 0 21 23 25 27 29 50 x 50 x 50 x 50 x 50 x 1 1 1 1 1 => 0 => 50 x 0 21 23 25 27 29 21 23 25 27 29 x 10 x 14 x 5 x 148 b, => 3 2 1 6 0 30 43 95 8 x 100 x 100 x 100 x 100 1 1 1 1 => 0 => x 100 0 30 43 95 8 30 43 95 8 Bài 3: Tìm x, biết: x 5 x 4 x 3 x 100 x 101 x 102 x 2 x 1 x 4 x 3 a, b, 100 101 102 5 4 3 7 8 5 6 HD: x 5 x 4 x 3 x 100 x 101 x 102 a, 1 1 1 1 1 1 100 101 102 5 4 3 x 105 x 105 x 105 x 105 x 105 x 105 => 100 101 102 5 4 3 => x 105 0 x 105 x 2 x 1 x 4 x 3 x 9 x 9 x 9 x 9 b, => 1 1 1 1 7 8 5 6 7 8 5 6 => x 9 0 x 9 Bài 4: Tìm x, biết: x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 2x 19 2x 17 2x 7 2x 5 a, b, 94 93 92 91 90 89 21 23 33 35 HD: x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 a, => 1 1 1 1 1 1 94 93 94 91 90 89 Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 24
  25. CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 x 95 x 95 x 95 x 95 x 95 x 95 => 94 93 92 91 90 89 => x 95 0 x 95 2x 19 2x 17 2x 7 2x 5 b, => 1 1 1 1 21 23 33 35 2x 40 2x 40 2x 40 2x 40 21 35 33 23 2x 40 0 x 20 Bài 5: Tìm x, biết: x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 1 x 2 x 3 x 4 a, b, 59 58 57 56 55 54 15 14 13 12 HD: x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 a, => 1 1 1 1 1 1 59 58 57 56 55 54 x 60 x 60 x 60 x 60 x 60 x 60 59 58 57 56 55 54 => x 60 0 x 60 x 1 x 2 x 3 x 4 x 16 x 16 x 16 x 16 b, 1 1 1 1 15 14 13 12 15 14 13 12 => x 16 0 x 16 Bài 6, Tìm x, biết: x 5 x 15 x 1990 x 1980 x 1 x 3 x 5 x 7 a, b, 1990 1980 5 15 2015 2013 2011 2009 HD: x 5 x 15 x 1990 x 1980 a, => 1 1 1 1 1990 1980 5 15 x 1995 x 1995 x 1995 x 1995 1990 1980 5 15 x 1995 0 x 1995 x 1 x 3 x 5 x 7 b, 1 1 1 1 2015 2013 2011 2009 x 2016 x 2016 x 2016 x 2016 x 2016 0 x 2016 2015 2013 2011 2009 Bài 7, Tìm x, biết: x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 315 x 313 x 311 x 309 x a, b, 4 10 11 12 13 14 101 103 105 107 HD: 1 1 1 1 1 a, x 1 0 x 1 0 x 1 10 11 12 13 14 315 x 313 x 311 x 309 x b, 1 1 1 1 0 101 103 105 107 416 x 416 x 416 x 416 x => 0 416 x 0 x 416 101 103 105 107 315 x 313 x 311 x 309 x 307 x Bài 8: Giải phương trình: 5 0 101 103 105 107 109 HD: Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 25
  26. CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 Phương trình tương đương với : 315 x 313 x 311 x 309 x 307 x 1 1 1 1 1 0 101 103 105 107 109 416 x 416 x 416 x 416 x 416 x 0 101 103 105 107 109 1 1 1 1 1 416 x 0 101 103 105 107 109 416 x 0 x 416 x 90 x 76 x 58 x 36 x 15 Bài 9: Giải phương trình: 15 10 12 14 16 17 x 1 x 3 x 5 x 7 x 9 x 11 x 13 x 15 Bài 10: Giải phương trình: 65 63 61 59 57 55 53 51 315 x 313 x 311 x 309 x 307 x Bài 11: Giải phương trình: 5 0 101 103 105 107 109 x x 3 x 4 Bài 12: Giải phương trình: x 1 x 2 x2 5x 6 x2 6x 8 1 1 1 3 Bài 13: Giải phương trình: x2 5x 4 x2 11x 28 x2 17x 70 4x 2 HD: 1 1 1 3 Phương trình tương đương với: x 1 x 4 x 4 x 7 x 7 x 10 4x 2 1 1 1 1 Bài 14: Giải phương trình: 2008x 1 2009x 2 2010x 4 2011x 5 HD: 1 1 1 1 Phương trình tương đương với: 2008x 1 2011x 5 2010x 4 2009x 2 4019x 6 4019x 6 2008x 1 2011x 5 2010x 4 2009x 2 TH1: 4019x 6 0 TH2: 2008x 1 2011x 5 2010x 4 2009x 2 2x2 5x 3 0 2 13 6 Bài 15: Giải phương trình: 3x2 4x 1 3x2 2x 1 x HD: 1 Điều kiện: x 0, x 1, x 3 2 13 6 Biến đổi phương trình thành: 1 1 x 3x 4 3x 2 x x 1 2 13 Đặt: 3x 4 t , Khi đó phương trình trở thành: 6 2t 2 7t 4 0 x t t 6 x b c x c a x a b Bài 16: Giải phương trình: 3 a b c HD: Phương trình tương đương với: Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 26
  27. CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 x b c a x a b c x a b c 1 1 1 0 x a b c 0 , a b c a b c 1 1 1 TH1: Nếu 0 x a b c a b c 1 1 1 TH2: Nếu 0 , phương trình có nghiệm với mọi x a b c x 1 x 1 3 Bài 17: Giải phương trình: x2 x 1 x2 x 1 x x4 x2 1 HD: Phân tích x4 x2 1 x2 x 1 x2 x 1 x2 2x 1 x2 2x 2 7 Bài 18: Giải phương trình: x2 2x 2 x2 2x 3 6 HD: x2 2x 2 0,x Vì , đặt x2 2x 2 y , Khi đó phương trình trở thành: 2 x 2x 3 0,x y 1 y 7 5y2 7y 6 0 y y 1 6 x2 2x 2 x2 8x 20 x2 4x 6 x2 6x 12 Bài 19: Giải phương trình: x 1 x 4 x 2 x 3 HD: 1 4 2 3 Biến đổi phương trình thành: x 1 x 4 x 2 x 3 x 1 x 4 x 2 x 3 21 Bài 20: Giải phương trình: x2 4x 6 0 x2 4x 10 HD: Điều kiện: x2 4x 10 0 Đặt x2 4x 10 t khi đó phương trình trở thành: 21 t 4 0 t2 4t 21 0 t2 4t 21 0 t 7 t 3 0 t Với t 7 x2 4x 10 7 x 1 x 3 0 2 Với t 3 x2 4x 10 3 x 2 9 0 1 18 18 Bài 21: Giải phương trình: x2 2x 3 x2 2x 2 x2 2x 1 HD: Đặt x2 2x 1 t , Khi đó phương trình trở thành: 1 18 18 t t 1 18t t 4 18 t 4 t 1 t 4 t 1 t t 2 18t 72 0 t 12 t 6 0 2 2 Với t 12 x2 2x 1 12 x 1 12 2 3 2 2 Với t 6 x2 2x 1 6 x 1 6 6 Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 27
  28. CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 2 2 2 1 2 1 2 1 1 2 Bài 22: Giải phương trình sau: 8 x 4 x 2 4 x 2 x x 4 x x x x HD: Điều kiện x 0 2 2 1 2 1 2 1 1 2 Phương trình 8 x 4 x 2 x 2 x x 4 x x x x 2 1 2 1 2 2 8 x 8 x 2 x 4 x 4 16 x x 2 x 1 1 x 2x 1 2a x 1 Bài 23: Giải phương trình: a 1 1 a 1 a4 a4 1 1 1 1 1 Bài 24: Giải phương trình : x2 2x x2 6x 8 x2 10x 24 9 x2 x 5 3x Bài 25: Giải phương trình : 4 0 x x2 x 5 HD: ĐK: x 0, x2 x 5 0 x2 x 5 3x 3 Đặt t , Thay vào phương trình ta được: x x2 x 5 t 3 t 4 t 3 t 1 0 t 2 2 x 2 x 2 5 x2 4 Bài 26: Giải phương trình: . 2 0 x 1 x 1 2 x 1 HD: x2 4 x 2 x 2 x 2 x 2 Nhận thấy: . , Đặt hai ẩn phụ: a, b . Thay vào phương x2 1 x 1 x 1 x 1 x 1 trình: 2 5 2 a 2b a ab b 0 a 2b 2a b 0 2 2a b x 2 2 x 2 Với a 2b x 2 x 1 2 x 2 x 1 x2 3x 2 0 x 1 x 1 2 x 2 x 2 Với 2a b 2 x 2 x 1 x 2 x 1 x2 3x 2 0 x 1 x 1 2 2 25x Bài 27: Giải phương trình: x 2 11 x 5 HD: Điều kiện x 5 2 2 5x 10x2 x2 10x2 Ta viết lại phương trình thành x 11 0 11 0 . x 5 x 5 x 5 x 5 2 x 2 t 1 Đặt t thì phương trình có dạng t 10t 11 0 x 5 t 11 Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 28
  29. CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 x2 1 21 Nếu t 1 ta có: 1 x2 x 5 0 x . Nếu x 5 2 x2 t 11 11 x2 11x 55 0 phương trình vô nghiệm. x 5 5 x 5 x Bài 28: Giải phương trình: x x 6 x 1 x 1 HD: ĐK: x 1 2 2 5 x 5 x Phương trình tương đương với: x x 6 0 x 1 x 1 2 2 x2 5 x x 1 x 5 x 6 x 1 0 x4 5x3 11x2 13x 6 0 x 1 x 2 x2 2x 3 0 2 2 x Bài 29: Giải phương trình: x 2 8 x 1 HD: ĐK: x 1 2 2 Phương trình tương đương với: x2 x 1 x2 8 x 1 x4 2x3 6x2 16x 8 0 2 x 2 x2 2x 2 0 2 2 x x Bài 30: Giải phương trình: 90 x 1 x 1 HD: ĐK: x 1 2 2 x2 x 1 x2 x 1 Phương trình tương đương với : 2 2 90 x 1 x 1 x4 2x3 x2 x4 2x2 x2 2x4 2x2 90 x4 2x2 1 2 90 x2 1 44x4 91x2 45 0 2 2 x 1 Bài 31: Giải phương trình: x 1 2 8 x 2 HD: Phương trình tương đương với: 2 2 2 2 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 2 x 1 . 8 2. 8 0 x 2 x 2 x 2 x 2 2 x 1 Đặt y , Phương trình trở thành: y2 2y 8 0 x 2 12x 3x Bài 32: Giải phương trình: 1 x2 4x 2 x2 2x 2 HD: Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 29
  30. CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 Để ý rằng nếu x là nghiệm thì x 0 nên ta chia cả tử số và mẫu số vế trái cho x thì thu 12 3 2 được: 1 . Đặt t x 2 thì phương trình trở thành: 2 2 x 4 x 2 x x x 12 3 2 2 t 1 1 12t 3t 6 t 2t t 7t 6 0 . t 2 t t 6 2 Với t 1 ta có: x 2 1 t 2 t 2 0 vô nghiệm. x 2 Với t 6 ta có: x 2 6 x2 4x 2 0 x 2 2 . x x2 Bài 33: Giải phương trình: 3x2 6x 3 x 2 2 HD: 2 x 2 x x Biến đổi phương trình: x 2 2x 1 0 x 3 3x 1 0 x 2 x 2 x 2 3 3 Giải 2 phương trình ta thu được các nghiệm là x 6; x . 3 x3 3x2 Bài 34: Giải phương trình: x3 2 0 x 1 3 x 1 HD: Sử dụng HĐT a3 b3 a b 3 3ab a b ta viết lại phương trình thành: 3 x3 3x2 x x2 x 3x2 x3 2 0 x 3 x 2 0 hay 3 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 2 3 2 2 2 2 3 2 x x 3x x x 2 3 2 0 1 1 1 1 x 2x 2 0. x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 Suy ra phương trình đã cho vô nghiệm. 1 1 1 1 Bài 35: Giải phương trình: x2 9x 20 x2 11x 30 x2 13x 42 18 HD: ĐKXĐ: x 4, x 5, x 6, x 7 1 1 1 1 Phương trình trở thành: x 4 x 5 x 5 x 6 x 6 x 7 18 1 1 1 1 1 1 1 x 4 x 5 x 5 x 6 x 6 x 7 18 1 1 1 x 13 x 2 0 x 4 x 7 18 Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 30
  31. CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 Dạng 8: PHƯƠNG TRÌNH CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI I, Phương trình dạng: f x g x f x g x Phương pháp: , f x g x Bài 1: Giải phương trình sau: 2x 3 x 3 x2 x 2 Bài 2: Giải phương trình sau: x 0 x 1 Bài 3: Giải phương trình sau: 2x 1 x 1 Bài 4: Giải phương trình sau: 2x 1 x2 3x 4 HD: 5 3 5 2 x 2x 1 x 3x 4 x2 5x 5 0 Phương trình tương đương với: 2 2 2 2x 1 x 3x 4 x x 3 0 1 13 x 2 Bài 5: Giải phương trình: 2x 5 2x2 7x 5 0 HD: Vì 2x 5 0, 2x2 7x 5 0, Nên suy ra: 2x 5 2x2 7x 5 0 5 2x 5 0 x 5 Dấu bằng xảy ra khi: 2 x 2 2x 7x 5 0 2 x 1 2x 5 0 Bài 6: Giải phương trình: x3 1 x2 3x 2 HD: x3 1 x2 3x 2 Phương trình tương đương với: x 1, x 1 2 3 2 x 1 3x x 2 Bài 7: Giải phương trình: x 6 x 2 5x 9 HD: x 6 x2 5x 9 x 1 x 6 x 2 5x 9 , Vậy: x= 1; x= 3 2 x 6 x 5x 9 x 3 Bài 8: Giải phương trình : x2 x 2x 4 3 1 HD: Lập bảng xét dấu. Từ đó ta có 3 trường hợp: x 0 2 2 3 5 TH 1: ta có: (1) x 3x 4 3 x 3x 1 0 x . 1 x 2 2 Hai giá trị này đều không thuộc khoảng đang xét nên trường hợp này phương trình vô nghiệm. 1 5 1 5 TH 2:0 x 1 ta có (1) x2 x 4 3 x2 x 1 0 x (l) hoặc x 2 2 Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 31
  32. CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 1 29 1 29 TH 3: x > 2 ta có (1) x2 x 4 3 x2 x 7 0 x (l) hoặc x 2 2 1 5 x Vậyphương trình có hai nghiệm. 2 1 29 x 2 Bài 9: 2x 1 2x 1 4 (x 1) 1 9 Bài 10: Giải phương trình : x 2 x 3 4 (x ; ) 2 2 Bài 11: Giải phương trình : 2 x 2 2 x 1 5 1 Bài 12: Giải phương trình : 3x 4 x 2 (x 3; ) 2 Bài 13: Giải phương trình : x 2 1 x 1 x 0; 1 2 1 17 Bài 14: Giải phương trình : x2 x 2 x2 2x (x ; ) 3 4 1 Bài 15: Giải phương trình : x2 2x 2x2 1 (x 1; ; 1 2) 3 Bài 16: Giải phương trình : 3x 5 2x 1 Bài 17: Giải phương trình : 7x 4 3x 4 Bài 18: Giải phương trình : 2x 1 x Bài 19: Giải phương trình : 3x 4 x 2 Bài 20: Giải phương trình : x 3 2x 1 Bài 21: Giải phương trình : 2x 5 3x 2 Bài 22: Giải phương trình : x 3 2x 1 2x 7 Bài 23: Giải phương trình : 3x 1 x 1 3x 1 Bài 24: Giải phương trình : x 3 x 2 5x 2 Bài 25: Giải phương trình : x 2 x 3 Bài 26: Giải phương trình : x2 4 x 2 Bài 27: Giải phương trình : x 1 2x 3 0 Bài 28: Giải phương trình : x 1 x2 1 0 Bài 29: Giải phương trình : x2 1 x2 3x 2 0 Bài 30: Giải phương trình : 5x 2 3x 4 4x 5 Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 32
  33. CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 II, Phương trình dạng: f x g x Phương pháp: Cách 1: Phá giá trị tuyệt đối f x g x Cách 2: Điều kiện g x 0 , f x g x Bài 1: Giải phương trình: 2x 1 x 2 Bài 2: Giải phương trình sau: x 4 3x 5 Bài 3: Giải phương trình: x 2 x 1 1 HD: x 2 x 1 1 x 1 1 x2 1 x 1 1 x 1 2 1 x 0 2 x 1 x 1 1 x x 0  x 1 2 x 0 x 1 (1 x ) 2 x 1 1 x x 1 x 2 Vậy x=1; x= 0 Bài 4: Giải phương trình sau: x 1 x3 x 1 Bài 5: Giải phương trình sau: 4x2 2x 1 2x Bài 6: Giải phương trình sau: x2 5x 4 x 4 Bài 7: Giải phương trình: x2 4x 5 4x 17 HD: 17 Với 4x 17 0 x , Khi đó: VT 0,VP 0 , suy ra phương trình vô nghiệm 4 17 Với x , Khi đó phương trình tương đương với 4 x2 4x 5 4x 17 x2 8x 12 0 x 2 x 6 0 2 2 x 4x 5 17 4x x 22 0 x 22 2 Bài 8: Giải phương trình: x 1 4 x 9 HD: 2 x 1 4 x 9 , Đặt t x , t 0 , Phương trình trở thành: 2 2 t 4 t 1 4t 9 t 2t 8 0 t 2(l) 2 Bài 9: Giải phương trình sau: x 1 3 x 1 2 0 HD: 2 t 1 Đặt: x 1 t, t 0 , Khi đó phương trình trở thành: t 3t 2 0 t 2 Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 33
  34. CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 Bài 10: Giải phương trình: 4x x 1 2x 1 1 HD: Đặt: 2x 1 t, t 0 t 2 4x2 4x 1 4x2 4x t 2 1 , Thay vào phương trình ta được: 2 2 2 t 1(l) 4x 4x 2x 1 1 0 hay t 1 t 1 0 t t 2 0 t 2 2 2 9 x 2x 2 Bài 11: Giải phương trình: x 2 1 2x 7 x 1 x 1 HD: 2 9 3 ĐKXD: x 1 , Phương trình tương đường với: x 1 2 7 x 1 x 1 x 1 3 2 2 9 2 9 Đặt: x 1 t, t 0 , suy ra: t x 1 2 6 x 1 2 x 1 x 1 x 1 t 2 6 2 t 1 Phương trình trở thành: t 6 7t t 6 Bài 12: Giải phương trình: 3x 2 x2 2x 3 HD: 3x 2 x2 2x 3 Vì x2 2x 3 0,x , Nên phương trình 3x 2 x2 2x 3 x  x2 x 5 0 5 21 2 x x 5x 1 0 2 Bài 13: Giải phương trình: x2 x 2 0 Bài 14: Giải phương trình: x2 2x x 1 5 0 Bài 15: Giải phương trình: x2 2x 5 x 1 5 0 Bài 16: Giải phương trình: 4x2 20x 4 2x 5 13 0 Bài 17: Giải phương trình: x2 4x 2 x 2 1 0 Bài 18: Giải phương trình: x2 2x 5 x 1 5 0 2 Bài 19: Giải phương trình sau: 2x 1 3 2x 1 4 0 HD: 2 t 1(l) Đặt: t 2x 1 , t 0 , Phương trình trở thành: t 3t 4 0 t 4 x4 6x2 4 x2 2 Bài 20: Giải phương trình: x2 x HD: x2 2 ĐKXĐ: x 0 , đặt t , t 0 x Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 34
  35. CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 2 t 1 Khi đó phương trình trở thành: t t 2 0 t 2 9 Bài 21: Giải phương trình: x 2 1 x 2 2x 8 (x ) 2 Bài 22: Giải phương trình: x 2 3x 2 2x 1 (x 5 21) x 2 1 1 3 Bài 23: Giải phương trình : x (x ) x 2 2 3 2x x 23 3 Bài 24: Giải phương trình: 5 (x ; ) 2 3x x 2 9 23 x2 1 x 1 Bài 25: Giải phương trình: 2 x 5 x (x 2) Bài 26: Giải phương trình: x2 x 12 x2 x 2 (x 5; 7) Bài 27: Giải phương trình: x2 3x 2 2x 1 (x 5 21) Bài 28: Giải phương trình: x2 4x 3 x 3 (x 0; 5) 1 1 3 17 Bài 29: Giải phương trình: 2x 3 (x 1; ; ) x 2 4 Bài 30: Giải phương trình: x2 1 1 4x Bài 31: Giải phương trình: 4x 1 x2 2x 4 Bài 32: Giải phương trình: 3x 5 2x2 x 3 Bài 33: Giải phương trình: x2 5x 3x 2 5 0 Bài 34: Giải phương trình: x2 2x 8 x2 1 Bài 35: Giải phương trình: x2 5 x 1 1 0 Bài 36: Giải phương trình: 3x2 2 6 x2 x 1 3x 1 Bài 37: Giải phương trình: 2x 3 x 1 x2 x 12 Bài 38: Giải phương trình: 2x x 3 2x 3 3 Bài 39: Giải phương trình: x 2 x 1 x 2 x 3 Bài 40: Giải phương trình: 2x 1 2x 1 2 x 3 Bài 41: Giải phương trình: 1 x2 2x 15 HD: 2 x 3 2 x 3 Ta có: 1 1 , ĐKXĐ: x 5, x 3 x2 2x 15 x 5 x 3 2 Xét x 3 , Phương trình 1 x 3(l) x 5 Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 35
  36. CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 2 Xét x 3 và x 5 phương trình 1 x 7 x 5 Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x 7 Bài 42: Giải phương trình: 4x2 4x 5 2x 1 5 0 HD: 1 Nếu x , Phương trình trở thành: 2x 2x 7 0 2 1 Nếu x phương trình trở thành: 2x 5 x 1 0 2 Bài 43: Giải phương trình: x 3 x 1 HD: Xét x 0 phương trình đã cho trở thành: x 3 x 1 Với x 3 x 3 x 1 vô nghiệm Với 0 x 3 x 1 thỏa mãn: Xét x < 0 phương trình đã cho trở thành: x 3 x 1 Với 3 x 0 x 3 x 1 vô nghiệm Với x 3 x 2 không thỏa mãn: Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 36
  37. CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 III, Phương trình dạng: f x g x h x t x Phương pháp: Lập bảng xét dấu: Sử dụng tính chất: a b a b a.b 0 hoặc: a b a b b a b 0 Bài 1: Giải phương trình sau: x 1 2 x 2 3 x 3 4 3 x 1 Bài 2: Giải phương trình sau: 2 x 1 3 HD: Điều kiện: x 1 3 t Đặt x 1 t t 0 , Phương trình trở thành: 2 t 2 2t 1 0 t 3 Bài 3: Giải phương trình sau: x2 4x 3 x2 4x 3 HD: Biến đổi phương trình về: x 3 x 1 x x 4 3 Bài 4: Giải phương trình sau: x 1 1 x 1 1 2 HD: Sử dụng tính chất a b a b b a b 0 Phương trình tương đương với: x 1 1 x 1 1 2 2 2, Dấu bằng khi: 2 x 1 1 0 x 2 Vậy phương trình có nghiệm x 2 Bài 5: Giải phương trình sau: x 1 3 x 1 x 2 x 2 x 2 2a x a a2 Bài 6: Giải phương trình sau: x x 0 x x HD: Phương trình đã cho x2 2a x a a2 0 TH1: x a , phương trình trở thành: x2 2ax 3a2 0 x a x 3a 0 TH2: x a , phương trình trở thành : x2 2ax a2 0 x a Bài 7: Giải phương trình sau: x 3 x 2 7 Bài 8: Giải phương trình sau: x 2x 3 x 1 Bài 9: Giải phương trình sau: x 1 x x x 3 , 1 x 3 Bài 10: Giải phương trình sau: x 3 x 1 HD: Xét x 0 , phương trình có dạng x 3 x 1 , Giải phương trình bình thường Xét x 0 , Phương trình tương đương với x 3 x 1 , Giải phương trình bình thường Bài 11: Giải phương trình sau: x 2 x 2 3 x 3 4 Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 37
  38. CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 Bài 12: Giải phương trình sau: x 2 x 1 3 x 2 4 Bài 13: Giải phương trình sau: x 1 x 2 x 3 4x Bài 14: Giải phương trình sau: x x 3 x2 x 1 1 3 Bài 15: Giải phương trình sau: x 3 x 2 0 x 1 1 x 5 14 2 x x 9 7 Bài 16: Giải phương trình sau: 4 8 5 5 2 8 Bài 17: Giải phương trình sau: x x 1 3 2x Bài 18: Giải phương trình sau: 5 x x 1 x 6 Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 38
  39. CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 IV. Giải và biện luận Bài 1: Giải và biện luận các phương trình sau: mx 2m mx x 1 HD: mx 2m mx x 1 Phương trình : mx 2m mx x 1 mx 2m mx x 1 x 2m 1 2m 1 x 2m 1(1) Với (1): 1 Nếu 2m 1 0 m , Phương trình có nghiệm đúng với mọi x 2 1 Nếu 2m 1 0 m , phương trình tương đương với x 1 2 Kết luận: 1 Với m , Phương trình có nghiệm đúng với mọi x 2 1 Với m , Phương trình có hai nghiệm là x=-1 và x=2m-1 2 Bài 2: Giải và biện luận phương trình sau: mx 2x 1 x 1 HD: mx 2x 1 x 1 m 1 x 0(2) Ta có: mx 2x 1 x 1 mx 2x 1 1 x m 3 x 2(3) Với phương trình (2) ta có: Nếu m 1 , Thì phương trình (2) có nghiệm đúng với mọi x Nếu m 1 , Thì phương trình có nghiệm x = 0 Với phương trình (3) ta có : Nếu m 3 , thì phương trình (3) vô nghiệm 2 Nếu m 3 , thì phương trình (3) có nghiệm x m 3 Kết luận : Với m 1 , Phương trình có nghiệm đúng với mọi x Với m 3 , Phương trình có nghiệm x = 0 2 Với m 1,m 3 , Phương trình có nghiệm x=0 và x m 3 Bài 3 : Tìm m để phương trình x2 x mx2 m 1 x 2m 1 , có 3 nghiệm phân biệt : HD : Phương trình tương đương với : x x 1 x 1 mx 2m 1 mx 1 x 1 x mx 2m 1 0 (4) x mx 2m 1 mx 2m 1 x m 1 x 1 2m(1) Với (4) tương đương với : mx 2m 1 x m 1 x 1 2m(2) Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 39
  40. CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 Nếu m 1 , thì phương trình (1) vô nghiệm, Khi đó PT ban đầu không thể có ba nghiệm phân biệt Nếu m 1 , thì phương trình (2) vô nghiệm, Khi đó PT ban đàu không có ba nghiệm phân biệt 1 2m x m 1 Nếu m 1 , thì (4) 1 2m x m 1 1 2m 1 2m 1 2m 1 2m Để có ba nghiệm phân biệt thì : 1 và 1 và m 1 m 1 m 1 m 1 2 1  Hay m  0; ;  3 2  1 2  Kết luận : Vậy với m  1; ; ;0;1 , thì phương trình có 3 nghiệm phân biệt 2 3  Bài 4: Giải và biện luận |x2 – 2x +m|+x=0 HD : x 0 x 0 Ta có: |x2 – 2x +m|+x=0 x2 2x m x 2 2 x 3x m 0 (1) x 2x m x 2 x x m 0 (2) Ta có : 1 9 4m và 2 1 4m Biện luận 3 9 4m 1 1 4m + m 0 x  x 2 2 + m > 0: Vô nghiệm Bài 5: Cho phương trình : x2 2x 2 x 1 m 3 0 a, Giải phương trình khi m= -2 b, Tìm m để phương trình sau có nghiệm HD: 2 Phương trình x 1 2 x 1 m 2 0 Đặt t x 1 , t 0 , ta có phương trình: t2 2t m 2 0 (1) 2 t 0 A, Khi m= -2, ta có : t 2t 0 t 2 B, Phương trình đã cho có nghiệm phương trình (1) có nghiệm với t 0 m t2 2t 2 có nghiệm t 0 đồ thị hàm số f x t 2t 2 , với t 0; , cắt trục hoành hay m 2 Bài 6: Giải và biện luận phương trình : mx 2m x 1 HD : mx 2m x 1 m 1 x 1 2m 1 Ta có PT mx 2m x 1 m 1 x 2m 1 2 Giải (1) : Với m 1 , Phương trình trở thành : 0x 1 , Vô nghiệm Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 40
  41. CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 1 2m Với m 1 , Phương trình tương đương với x m 1 Giải (2) : Với m 1 , Phương trình trở thành : 0x 1 , phương trình vô nghiệm 2m 1 Với m 1 , Phương trình tương đương với : x m 1 Kết luận : 3 Với m 1 , Phương trình có nghiệm là x 2 1 2m 2m 1 Với m 1 , Phương trình có nghiệm là :x và x m 1 m 1 Bài 7: giả và biện luận phương trình: mx 2x mx 1 HD : 1 mx 2x mx 1 x Ta có : mx 2x mx 1 2 mx 2x mx 1 2m 2 x 1 Với phương trình : 2m 2 x 1 (*) , ta có : Nếu m 1 thì phương trình (*) vô nghiệm 1 Nếu m 1 thì phương trình (*) có nghiệm x 2m 2 Kết luận : 1 m 1, Phương trình có nghiệm x 2 1 1 m 1 , Phương trình có nghiệm x và x 2 2m 2 Bài 8: Giải và biện luận phương trình sau: 3x m x 1 Bài 9: Giải và biện luận phương trình sau: x2 4x 2 x m 2 m 0 Bài 10: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: |x2 – 2x + m| = x2 + 3x – m – 1 Bài 11: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: 4x 3m 2x m Bài 12: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: 3x 2m x m Bài 13: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: 2x m x 2m 2 Bài 14: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: x2 2x m x Bài 15: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: 3mx 1 5 Bài 16: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: 2x m 2x 2m 1 Bài 17: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: 3x m 2x m 1 Bài 18: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: x m x 1 Bài 19: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: 3x m 2x 2m Bài 20: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: 3x m x 1 Bài 21: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: x m x 1 Bài 22: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: x2 2a x a a 2 0 Bài 23: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: mx 1 2x m 3 Bài 24: Cho phương trình: x 3 2 x 1 4 Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 41
  42. CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 a, Giải phương trình b, Tìm nghiệm nguyên nhỏ nhất của phương trình. Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 42