Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 8 - Chuyên đề: Chia hết của đa thức

Nội dung text: Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 8 - Chuyên đề: Chia hết của đa thức

1. CHUYÊN ĐỀ: CHIA HẾT CỦA ĐA THỨC I.LÝ THUYẾT 1. Định nghĩa Cho A và B là hai đa thức (B 0) , Khi đó tồn tại duy nhất một cặp hai đa thức P và R sao cho: A B.Q R Trong đó: R 0 hoặc bậc của R nhỏ hơn bậc của B. Q là đa thức thương, R là dư. Nếu R = 0 thì phép chia A cho B là phép chia hết. 2. Mở rộng Có thể dử dụng thêm các phương pháp: Sử dụng hằng đẳng thức: a3 b3 : a b a2 ab b2 hoặc a2 b2 : a b a b Sử dụng thêm phương pháp phân tích thành nhân tử, nhẩm nghiệm. Sử dụng các định lý: Bơzu. Lược đồ Horner. II.LUYỆN TẬP Dạng 1: SỬ DỤNG ĐỊNH LÝ BOWZU TÌM SỐ DƯ 1. Định nghĩa: Định lý Bơ-zu:”Dư của phép chia f(x) cho nhị thức bậc nhất x-a là 1 hằng số có giá trị là f(a)”. 2. Hệ quả: Nếu a là nghiệm của đa thức f x thì f x  x a . Bài 1: Không thực hiện phép chia, hãy xét xem, f x 3x3 2x2 9x 2 có chia hết cho x-2 không, có chia hết cho x+2 không? HD: Theo định lý Bơ- zu thì dư của f x 3x3 2x2 9x 2 khi chia cho nhị thức bậc nhất x-2 có giá trị là:f 2 2.23 2.22 9.2 2 0 . Vậy f x  x 2 Tương tự: Số dư của f x 3x3 2x2 9x 2 khi chia cho x+2 có giá trị là: f 2 2. 2 3 2. 2 2 9. 2 2 4 Vậy f x  x 2 Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 1
2. Bài 2: Tìm số a để 2x3 3x2 x ax 2 HD: Theo định lý Bơ- zu thì dư của f x 2x3 3x2 x a khi chia cho nhị thức bậc nhất x+2, có giá trị là: f 2 2. 8 3.4 2 a a 22 Để f(x) chia hết cho x+2 thì a-22=0 hay a=22 Bài 3: Tìm hế số a để: 4x2 6x ax 3 HD: Theo định lý Bơzu thì dư của f x 4x2 6x a khi chia cho nhị thức bậc nhất x - 3, có giá trị là: f 3 4.9 6.3 a a 18 Để f(x) chia hết cho x - 3 thì a+ 18 = 0 hay a = -18 Bài 4: Tìm hế số a để: 2x2 x ax 3 HD: Theo định lý Bơzu thì dư của f x 2x2 x a khi chia cho nhị thức bậc nhất x + 3, có giá trị là: f 3 2.9 3 a a 15 Để f(x) chia hết cho x + 3 thì a+ 15 = 0 hay a = -15 Bài 5: Tìm hế số a để: 10x2 7x a2x 3 HD: Hạ phép chia ta có:10x2 7x a 2x 3 5x 4 a 12 Để 10x2 7x a2x 3 a 12 0 a 12 Bài 6: Tìm hế số a để: 2x2 ax 1: x 3 dư 4 HD: Theo định lý Bơzu ta có : Dư của f x 2x2 ax 1 , khi chia cho x-3 là f 3 2.9 3a 1 3a 19 Để có số dư là 4 thì 3a 19 4 3a 15 a 5 Bài 7: Tìm hế số a để: ax5 5x4 9x 1 HD: Theo định lý Bơ- Zu ta có : Dư của f x ax5 5x4 9 , khi chia cho x - 1 là f 1 a 5 9 a 4 Để có phép chia hết thì a 4 0 a 4 Bài 8: Tìm hế số a để: 8x2 26x a2x 3 Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 2
3. HD: Hạ phép chia ta có:8x2 26x a 2x 3 4x 7 a 21 Để 8x2 26x a2x 3 a 21 0 a 21 Bài 9: Tìm hế số a để: x4 x3 6x2 x ax2 x 5 HD: Hạ phép chia hoặc đồng nhất, ta có: x4 x3 6x2 x a x2 x 5 x2 1 a 5 Để phép chia là phép chia hết thì a - 5 = 0 hay a = 5 Bài 10: Tìm hế số a, b để: x3 ax bx2 x 2 HD: Hạ phép chia ta có: x3 ax b x2 x 2 x 1 a 3 x b 2 Để là phép chia hết thì a + 3=0 và b-2 =0 hay a=-3 và b=2 Bài 11: Tìm hế số a để: x3 ax2 4x2 4x 4 HD: Hạ phép chia ta có : x3 ax2 4 x2 4x 4 x a 4 12 4a x 12 4a Để được phép chia hết thì 12-4a=0 hay a=3 Bài 12: Tìm hế số a để: x4 ax bx2 4 HD: x4 ax bx 2 Để x4 ax bx2 4 thì 4 x ax bx 2 Áp dụng định Bơzu ta có: f x x4 ax b f 2 16 2a b 0 Và: f 2 16 2a b 0 Giải hệ ta được a=0 và b=-16 Bài 13: Tìm hế số a để: x4 ax3 bx 1x2 1 HD: x4 ax3 bx 1x 1 Để x4 ax3 bx 1x2 1 thì 4 3 x ax bx 1x 1 Áp dụng định Bơzu ta có: f x x4 ax3 bx 1 f 1 1 a b 1 0 Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 3
4. Và: f 1 1 a b 1 0 , Giải hệ ta được a tùy ý và b= - a Bài 14: Tìm hế số a để: x3 ax bx2 2x 2 HD: Hạ phép chia ta có : x3 ax b x2 2x 2 x 2 a b x b 4 Để phép chia là phép chia hết thì : a+b=0 và b-4=0=> b=4 và a=-4 Bài 15: Tìm hế số a để: x4 ax2 bx2 x 1 HD: Hạ phép chia ta có : x4 ax2 b x2 x 1 x2 x a a 1 x a b Để là phép chia hết thì a-1=0 và a-b=0=> a=b=1 Bài 16: Tìm hế số a để: ax3 bx2 5x 50x2 3x 10 HD: Hạ phép chia ta có : ax3 bx2 5x 50 x2 3x 10 ax 3a b a 3b 5 x 30a 10b 50 Để là phép chia hết thì a+3b+5=0 và 30a-10b+50=0 Bài 17: Tìm hế số a để: ax4 bx3 1 x 1 2 HD: Hạ phép chia ta có : 4 3 2 2 ax bx 1 x 2x 1 a.x 2a b x 3a 2b 8a 5b x 3a 2b 1 Để là phép chia hết thì :8a+5b=0 và 3a+2b-1=0 Bài 18: Tìm hế số a để: x4 4 x2 ax b HD: Tách: x4 4 x2 2x 2 x2 2x 2 Vậy b=2 và a=2 hoặc a=-2 Bài 19: Tìm hế số m để: x4 3x3 6x2 7x mx2 2x 1 HD: Ta có: x4 3x3 6x2 7x m x2 2x 1 x2 x 3 m 3 Để là phép chia hết thì m – 3=0=> m=3 Bài 20: Tìm hế số a để: 10x2 7x a2x 3 HD: Hạ phép chia ta có:10x2 7x a 2x 3 5x 4 a 12 Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 4
5. Để là phép chia hết thì a+12=0 hay a=-12 Bài 21: Tìm hế số a để: 2x2 ax 4x 4 HD: Theo định lý Bơ- Zu ta có, Dư của f x 2x2 a.x 4 khi chia cho x+4 là: f 4 2.16 4a 4 28 4a Để là phép chia hết thì 28-4a=0=>a=7 Bài 22: Tìm hế số a để: x3 ax2 5x 3x2 2x 3 HD: 3 2 2 Hạ phép chia ta có: x a.x 5x 3 x 2x 3 x a 2 2a 6 x 3a 3 Để là phép chia hết thì -3a-3 =0=>a=-1 1 Bài 23: Tìm hế số a để: x2 ax 5a2 x 2a 4 HD: 1 Theo định lý Bơ- Zu ta có, Dư của f x x2 a.x 5a2 khi chia cho x+2a là: 4 1 1 1 1 f 2a 4a2 2a2 5a2 a2 , Để là phép chia hết thì a2 0 a 4 4 4 2 Bài 24: Tìm số dư của x x3 x9 x27 x81 khi chia cho x-1 HD: Ta có :P x x 1 x3 1 x9 1 x27 1 x81 1 5 nên số dư là 5 Bài 25: Tìm số dư của : x x3 x9 x27 x81 khi chia cho x2 1 HD: Ta có :P x x3 x x9 x x27 x x81 1 5x => Dư 5x Bài 26: Xác định dư của: P x 1 x x9 x25 x49 x81 khi chia cho x3 x HD: P x x9 x x25 x x49 x x81 x 5x 1 = x x8 1 x x24 1 x x48 1 x x80 1 5x 1 , Vậy số dư là : 5x - 1 Bài 27: Tìm n nguyên để: 3n3 10n2 53n 1 HD: Hạ phép chia ta có :3n3 10n2 5 3n 1 n2 3n 1 4 Để 3n3 10n2 53n 1 43n 1 3n 1 U 4 1; 2; 4 Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 5
6. Bài 28: Tìm n nguyên để 2n2 n 22n 1 HD: Hạ phép chia ta có : 2n2 n 2 2n 1 n 1 3 Để : 2n2 n 22n 1 32n 1 2n 1 U 3 1; 3 Bài 29: Tìm các số x nguyên để 4x3 6x2 8x2x 1 HD: Hạ phép chia ta có : 4x3 6x2 8x 2x 1 2x2 2x 3 3 Để 4x3 6x2 8x2x 1 32x 1 2x 1 U 3 1; 3 Bài 30: Tìm các số x nguyên để: 4x3 3x2 2x 83x 3 HD: Theo định Bơ zụ thì dư của f x 4x3 3x2 2x 83 , khi chia cho x-3 là : f 3 4.27 3.9 2.3 83 4 . Để 4x3 3x2 2x 83x 3 x 3 U 4 1; 2; 4 Bài 31: Tìm các số x nguyên để: 4n3 4n2 n 42n 1 HD: Hạ phép chia ta có : 4n3 4n2 n 4 2n 1 2n2 3n 1 3 Để 4n3 4n2 n 42n 1 32n 1 2n 1 U 3 1; 3 Bài 32: Tìm các số x nguyên để: 8n2 4n 12n 1 HD: Hạ phép chia ta có :8n2 4n 1 2n 1 4n 4 5 Để 8n2 4n 12n 1 52n 1 2n 1 U 5 1; 5 Bài 33: Tìm các số x nguyên để: 3n3 8n2 15n 63n 1 HD: Hạ phép chia ta có :3n3 8n2 15n 6 3n 1 n2 3n 4 2 Để 3n3 8n2 15n 63n 1 23n 1 3n 1 U 2 1; 2 Bài 34: Tìm các số x nguyên để: 4n3 2n2 6n 52n 1 HD: Hạ phép chia ta có : 4n3 2n2 6n 5 2n 1 2n2 3 2 Để 4n3 2n2 6n 52n 1 22n 1 2n 1 U 2 1; 2 Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 6
7. Bài 35:Tìm giá trị của a để (21x2 - 9x3 + x + x4 + a)  ( x2 - x - 2) HD: Thực hiện phép chia tìm đúng thương: x2 – 8x + 15 và dư: a + 30 Phép chia hết nên a + 30 = 0 suy ra a = -30 Bài 36: Với giá trị nào của a thì x3 -5x2 +7x + a chia hết cho (x -1)2 HD: Chia ra kết quả dư a + 3 Kết quả a = -3 Bài 37: Tìm số nguyên n để giá trị của biểu thức A chia hết cho giá trị của biểu thức B. Với A = n3 + 2n2- 3n + 2; B = n2 – n HD: 2 Ta có: n3 + 2n2- 3n + 2 = (n2 – n)(n + 3) + n2 n Do đó Giá trị của A chia hết cho giá trị của B n2 – n Ư(2) 2 chia hết cho n(n – 1) 2 chia hết cho n Ta có bảng: n 1 -1 2 -2 n – 1 0 -2 1 -3 n(n – 1) 0 2 2 6 Loại T/m T/m Loại Vậy với n = -1, n = 2 thì giá trị của biểu thức A chia hết cho giá trị của biểu thức B Bài 38: Tìm số nguyên n dể n5 + 1 chia hết cho n3 + 1 HD: n5 + 1  n3 + 1 n5 + n2 – n2 + 1  n3 + 1 n2(n3 + 1)- ( n2 – 1)  n3 + 1 (n – 1)(n + 1)  (n+1)(n2 – n + 1) n – 1  n2 – n + 1 n(n – 1)  n2 – n + 1 Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 7
8. Hay n2 – n  n2 – n + 1 (n2 – n + 1) – 1  n2 – n + 1 1 n2 – n + 1 Xét hai trường hợp: TH1: n2 – n + 1 = 1 n2 – n = 0 n(n – 1) = 0 n = 0, n = 1 thử lại thấy t/m đề bài TH2: n2 – n + 1 = - 1 n2 – n + 2 = 0 , không có giá trị của n thoả mãn 2018 2018 Bài 39: Chứng minh F x2 x 1 x2 x 1 2 chia hết cho x 1 . HD: 2018 2018 F x2 x 1 x2 x 1 2 chia hết cho x 1 . 2018 2018 Ta có : F x2 x 1 x2 x 1 2 x 1 .Q x r 2018 2018 Xét tại x 1 thì r 12 1 1 12 1 1 2 0 2018 2018 Vậy, F x2 x 1 x2 x 1 2 chia hết cho x 1 . Bài 40: Chứng minh: G x8n x4n 1 chia hết cho x2n xn 1 , với n N . HD: G x8n x4n 1 chia hết cho x2n xn 1 , với n N . 2 2 Ta có: G x8n x4n 1 x8n 2x4n 1 x4n x4n 1 x2n x4n x2n 1 x4n x2n 1 (1) 2 2 Mặt khác, x4n x2n 1 x4n 2x2n 1 x2n x2n 1 xn x2n xn 1 x2n xn 1 2 Từ (1) và (2) suy ra G x8n x4n 1 x2n xn 1 x2n xn 1 x4n x2n 1 Vậy, G x8n x4n 1 chia hết cho x2n xn 1 , với n N . Bài 41:Xác định số hữu tỉ k để đa thức A x3 y3 z3 kxyz chia hết cho đa thức x y z HD: Gọi thương của phép chia A x3 y3 z3 kxyz cho đa thức x y z là Q , Ta có : x3 y3 z3 kxyz = x y z Q . Đẳng thức trên đúng với mọi x, y, z nên với x 1, y 1, z 2 ta có: Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 8
9. 3 13 13 2 k 2 1 1 2 Q 6 2k 0 k 3 Vậy, A x3 y3 z3 kxyz chia hết cho đa thức x y z thì k 3 . Bài 42:Xác định các hệ số hữu tỉ a và b sao cho f x x4 ax2 b chia hết cho g x x2 x 1 . HD: Phép chia hết của f x x4 ax2 b cho g x x2 x 1 có đa thức thương dạng h x x2 cx b . Ta viết x4 ax2 b x2 x 1 x2 cx b với mọi x Ta có: x2 x 1 x2 cx b x4 c3 x bx2 x3 cx2 bx x2 cx b x4 c 1 x3 b c 1 x2 b c x b Suy ra x4 ax2 b x4 c 1 x3 b c 1 x2 b c x b với mọi x Đồng nhất thức hai vế, ta được: c 1 0, b c 1 a, b c 0 Suy ra a b c 1 Vậy, a b 1 Bài 43: Tìm các số a, b, c sao cho đa thức x4 + ax + b chia hết cho (x2 - 4) HD: Chia đa thức x4 + ax + b cho x2 – 4 Được đa thức dư suy ra a = 0 ; b = - 16. Bài 44: Với giá trị nào của a và b thì đa thức : f(x) =x4-3x3+3x2 + ax+b chia hết cho đa thức g(x) =x2+4-3x. HD: Chia f(x) cho g(x) Ta có : x4-3x2+3x2+ax+b: x2-3x+4. = x2+1 dư (a-3)x + b+4 f(x): g(x) khi và chỉ khi số dư bằng không. Từ đây suy ra a-3=0 => a=3 Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 9
10. b+4=0 => b=-4 Bài 45: Tìm a, b để: x3 + ax2 + 2x + b chia hết cho x2 + x + 1 HD: a 2 Thực hiện phép chia đa thức, rồi từ đó ta tìm được: b 1 Bài 46: Cho đa thức P(x) = x2+bx+c, trong đó b và c là các số nguyên. Biết rằng đa thức x4 + 6x2+25 và 3x4+4x2+28x+5 đều chia hết cho P(x). Tính P(1) HD: Từ giả thiết chỉ ra: 14x2-28x +70 chia hết cho x2+bx+c (x2-2x+5 ) (x2+bx+c) mà b; c là các số nguyên nên b=-2; c=5 Khi đó P(1) =12-2.1+5 =4 Bài 47: tìm các số nguyên a và b để đa thức A(x) = x4 3x3 ax b chia hết cho đa thức B(x) x2 3x 4 HD: Ta có: A(x) =B(x).(x2-1) + ( a – 3)x + b + 4 a 3 0 a 3 Để A(x)B(x) thì b 4 0 b 4 Bài 48: Tìm dư khi chia đa thức x100 – 2x51 + 1 cho x2 – 1 HD: Ta có: f(x) = x100 - 2x51 + 1 = (x2-1).q(x) + ax + b Theo định lí Bơ-zu : f(1) = 0 = a + b f(-1)= 4 = -a + b => b=2 ; a = -2. Vậy dư là : -2x+2 Bài 49: Tìm dư khi chia đa thức x100 – 2x51 + 1 cho x2 + 1 HD: Ta có f(x) = (x100+x2) - (2x51+2x) - (x2+1) + (2x+2) f(x) = x2(x98+1) - 2x(x50+1) - (x2+1) + (2x+2) Vì : x2(x98+1)  (x2+1) ; 2x(x50+1)  (x2+1) ; (x2+1)  (x2+1). => (2x+2) chia cho (x2+1) dư là 2x+2 Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 10
11. Bài 50: Chứng minh rằng f(x) = x99 + x88 + + x11 +1 chia hết cho g(x) = x9 + x8 + + x + 1 HD: Ta có : f(x) – g(x) = x99 – x9 + x88 – x8+ + x11 – x + 1 – 1 = x9(x90 - 1) + x8(x80 - 1) + x(x10 - 1) chia hết cho x10 – 1 Mà x10 – 1 = (x - 1)(x9 + x8 + + x + 1) chia hết cho x9 + x8 + + x + 1 Suy ra f(x) – g(x) chia hết cho g(x) = x9 + x8 + + x + 1 Vậy f(x) = x99 + x88 + + x11 +1 chia hết cho g(x) = x9 + x8 + + x + 1 Bài 51: Cho đa thức A(x) = a2x3 + 3ax2 – 6x – 2a (a Q). x/định a sao cho A(x) chia hết cho x + 1 ? HD: Gọi thương của phép chia A(x) cho x + 1 là Q(x) Ta có: a2x3 + 3ax2 – 6x – 2a = (x + 1). Q(x) Vì đẳng thức đùng với mọi x nên ta cho x = -1, ta được: 2 2 a 2 -a + 3a + 6 – 2a = 0 -a + a + 6 = 0  a 3 Với a = -2 thì A(x) = 4x3 – 6x2 – 6x + 4 và Q(x) = 4x2– 10x + 4 Với a = 3 thì A(x) = 9x3 + 9x2 – 6x – 6 và Q(x) = 9x2 – 6 Bài 52: Tìm đa thức bậc hai P(x) biết P(0) = 25; P(1) = 7; P(2) = -9 HD: Để tìm đa thức P(x) có bậc không quá n khi biết giá trị của đa thức tại n + 1 điểm c 1, c2, , cn+1 ta có thể biểu diễn P(x) dưới dạng: P(x) = b0 + b1 (x – c1) + b2.(x-c1)(x-c2) + + bn.(x-c1)(x-c2) (x - cn) Giải: Đặt P(x) = b0 + b1x+ b2x(x-1) (*) b0 25 b0 25 Thay x lần lượt bằng 0, 1, 2 vào (*) ta được: b0 b1 7 b1 18 b0 2b1 2b2 9 b2 1 Vậy đa thức cần tìm có dạng P(x) = x2 – 19x + 25 Bài 53: Cho đa thức P(x) = 6x 5 + ax4 + bx3 + x2 + cx + 450, biết đa thức P(x) chia hết cho các đa thức x – 2; x – 3; x – 5. Hãy tìm a, b, c và các nghiệm của P(x). HD: P(2)=192+16a+8b+4+2c+450=0 c+4b+8a=-323 Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 11
12. P(3)=1458+81a+27b+9+3c+450=0 c+9b+27a=-639 P(5)=18750+625a+125b+25+5c+450=0 c+25b+125a=-3845 Kết quả : a = -59 ; b = 161 ; c = -495 Ta có: P(x)=(x-2)(x-3)(x-5)(mx2+nx+q) m = 6 ; n= 1 ; q = -15 P(x)=(x-2)(x-3)(x-5)(6x2+x-15)= )=(x-2)(x-3)(x-5)(3x+5)(2x-3) 5 3 Vậy nghiệm của P(x) là:x= 2; 3 ;5 ; ; 3 2 3. Bài tập chưa làm Bài 1: Tìm phần dư của phép chia f x x2012 x2011 1 cho đa thức : a, x2 1 b, x2 x 1 HD: Bài 2: Cho đa thức: P(x) x4 x3 6x2 40x m 1979 a, Tìm m sao cho P(x) chia hết cho x-2 b, Với m tìm được, hãy giải thích phương trình P(x)=0 HD: Bài 3: Tìm số nguyên n sao cho: 3n3 10n2 5 chia hết cho 3n 1 HD: Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 12
13. Dạng 2: Tìm đa thức Bài 1: Tìm a,b sao cho f x x3 ax b , chia cho x+1 dư 7, chia cho x-3 dư -5 HD: f x x 1 .A x 7 a b 8 Theo bài ra ta có: , Cho x=-1, x=3=> f x x 3 .B x 5 3a b 32 Bài 2: Tìm hằng số a,b,c sao cho: ax3 bx2 c chia hết cho x+2, chia cho x2 1 dư 5 HD: Theo bài ra ta có: x2 1 x 1 x 1 Khi dó ta có : f x a.x3 bx2 c x 2 A x => f x x 1 x 1 B x 5 Cho x= - 2 khi đó ta có : - 8a + 4b + c = 0 Cho x=1=> a + b + c = 5 Cho x=-1 => - a + b + c = 5 8a 4b c 0 Khi đó ta có hệ: a b c 5 a b c 5 Bài 3: Xác định a, b biết: 2x3 ax b chia cho x+1 dư -6, chia cho x-2 dư 21 HD: Theo bài ra ta có : f x 2x3 a.x b x 1 A x 6 và f x 2.x3 a.x b x 2 B x 21 Cho x 1 2 a b 6 Cho x 2 16 2a b 21 2 a b 6 Khi đó ta có hệ : 16 2a b 21 Bài 4: Tìm hệ số a,b sao cho: x4 x3 3x2 ax b chia cho x2 x 2 được dư là 2x-3 HD: Theo bài ra ta có : x2 x 2 x 2 x 1 Nên ta có : f x x4 x3 3x2 a.x b x 2 x 1 2x 3 Cho x 2 16 8 12 2a b 1 Cho x 1 1 1 3 a b 6 2a b 5 Khi đó ta có hệ a b 5 Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 13
14. Bài 5: Cho P(x) x4 x3 x2 ax b,Q x x2 x 2 , Xác định a,b để P x Q x HD: Đặt phép chia ta có : P x x4 x3 x2 a.x b x2 x 2 A x a 1 x b 2 a 1 0 a 1 Để P x Q x b 2 0 b 2 Bài 6: Xác định các số hữu tỉ a,b,c sao cho: 2x4 ax2 bx c chia hết cho x-2, chia cho x2 1 dư 2x HD: Theo bài ra ta có : f x 2x4 a.x2 bx c x 2 A x Và f x 2x4 a.x2 bx c x 1 x 1 .B x 2x Cho x 2 32 4a 2b c 0 Cho x 1 2 a b c 2 4a 2b c 32 Cho x 1 2 a b c 2 . Khi đó ta có hệ : a b c 0 a b c 4 Bài 7: Xác định a,b sao cho: P x ax4 bx3 1Q x x 1 2 HD: Đặt phép chia: P x a.x4 bx3 1 x 1 2 .A x 4a 3b x 1 3a 2b 4a 3b 0 Để P x Q x 1 3a 2b 0 Bài 8: Xác định a,b sao cho: 6x4 7x3 ax2 3x 2x2 x b HD: Đặt phép chia 6x4 7x3 a.x2 3x 2 x2 x b A x a 5b 2 x 6b2 ab b 2 a 5b 2 0 Để là phép chia hết thì 2 6b ab b 2 0 Bài 10: Tìm đa thức f(x) biết: f(x) chia cho x+4 dư là 9, còn f(x) chia cho x-3 dư là 2, và f x : x2 x 12 có thương là x2 3 và còn dư HD: f x x2 x 12 x2 3 ax b x 3 x 4 x2 3 ax b f x 4a b 9 4a b 9 Cho x 4, x 3 . Khi đó ta có hệ : f x 3a b 2 3a b 2 Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 14
15. Bài 11: Xác định đa thức A x ax3 bx2 c , biết: A(x) chia hết cho x-2 và A x : x2 x 2 dư là 3x+2 HD: Ta có : x2 x 2 x 1 x 2 Khi đó ta có : A x a.x3 bx2 c x 2 B x Và A x a.x3 bx2 c x 1 x 2 C x 3x 2 Cho x 2 8a 4b c 0 , Cho x 1 a b c 5 , Cho x 2 8a 4b c 4 8a 4b c 0 Khi đó ta có hệ : 8a 4b c 4 a b c 5 Bài 12: Tìm đa thức f(x) biết: f(x) chia cho x-3 dư 2, f(x) chia cho x+4 dư 9, và f x : x2 x 12 được thương là x2 3 và còn dư HD: Do f(x) chia cho x2 x 12 x 3 x 4 được thương là x2 3 còn dư nên ta có : f x x 4 x 3 x2 3 a.x b Cho x 4 f x 4a b 9 Cho x 3 f x 3a b 2 4a b 9 Khi đó ta có hệ: 3a b 2 Bài 13: Tìm 1 đa thức bậc 3 P(x) biết, P(x) chia cho các đa thức (x-1), (x-2), (x-3) đều được dư là 6, và P(-1)=-18 HD: Ta có: f x 6 chia hết cho x 1, x 2, x 3 Vì f(x) là đa thức bậc 3 nên f(x) có dạng f x 6 m x 1 x 2 x 3 , m là hằng số Lại có : f 1 18 18 6 m 2 3 4 m 1 Vậy f x 6 x 2 x 3 x 4 f x x3 6x2 11x Bài 14: Tìm đa thức bậc 4 biết: P( 1) 0, P x P x 1 x x 1 2x 1 HD: Cho x=0=>P 0 P 1 0 mà P(-1)=0=>P(0)=0 Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 15
16. Lần lượt cho x=-2,1,2 ta có: P(-2)=0,P(1)=6, P(2)=36 Đặt P x e d x 2 c x 2 x 1 b x 2 x 1 x a x 2 x 1 x x 1 Chọn x=-2=>e=0 Chọn x=-1=>d= 0 Chọn x=0=>c= 0 Chọn x=1=>b=1 Chọn x=2=>a=1/2 1 Vậy đa thức cần tìm là: P x x 2 x 1 x x 1 x 2 x 1 2 Bài 15: Tìm đa thức P(x) thỏa mãn: P(x) chia cho x+3 dư 1, P(x) chia cho x- 4 dư 8, chia cho (x+3)(x-4) được thương là 3x, còn dư HD: Vì P(x) chia cho (x+3)(x-4) được thương là 3x còn dư nên ta có: P x x 3 x 4 3x ax b Và P x x 3 A x 1 Và P x x 4 B x 8 Cho x 3 P x 1 3a b Cho x 4 P x 8 8a b 3a b 1 Khi đó ta có hệ: 8a b 8 Bài 16: Tìm đa thức bậc hai P(x) biết: P(0) =19, P(1)=5, P(2)=1995 HD: Đặt: P x c b x 0 a x 0 x 1 Cho x=0=>c=19 Cho x=1=>b=-14 Cho x=2=>a=1002 Vậy đa thức cần tìm là: P x 1002x x 1 14x 19 Bài 17: Tìm đa thức bậc ba P(x) biết: P(0)=10, P(1)=12, P(2)=4, P(3)=1 HD: Đặt P x d cx bx x 1 ax x 1 x 2 Cho x 0 P 0 10 d Cho x 1 P 1 12 c d c 2 Cho x 2 P 2 4 d 2c 2b b 5 Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 16
17. 5 Cho x 3 P 3 1 d 3c 6b 6a a 2 5 Vậy đa thức cần tìm là: P x x x 1 x 2 5x x 1 2x 10 2 Bài 18: Tìm đa thức bậc hai biết: P(0)=19, P(1)=85, P(2)=1985 HD: Đặt P x a.x x 1 bx c Cho x 0 P 0 19 c c 19 Cho x 1 P 1 85 b c b 66 Cho x 2 P 2 1985 2a 2b c a 917 Vậy đa thức bậc hai cần tìm là: P x 917x x 1 66x 19 Bài 19: Cho đa thức: P x x4 ax2 1 và Q x x3 ax 1 , xác định a để P(x) và Q(x) có nghiệm chung HD: Giả sử nghiệm chung là c => P x xQ x x 1 P c cQ c c 1 vì x=c là nghiệm , NênP c Q c 0 c 1 0 c 1 , Khi c=1=>P(1)=Q(1)=a+2=0=>a= - 2 Vậy a= - 2 thì P(x) và Q(x) có nghiệm chung Bài 20: Tìm đa thức bậc ba P x , biết rằng khi chia P x cho x 1 , cho x 2 , cho x 3 đều dư 6 và P 1 18 . HD: Từ đề bài suy ra P x 6 chia hết cho x 1 , cho x 2 , cho x 3 Do đó, P x 6 chia hết cho x 1 x 2 x 3 . Đặt P x 6 m. x 1 x 2 x 3 với m Q . ( vì P x có bậc là ba ) Suy ra P x 6 m. x 1 x 2 x 3 với m Q . Theo giả thiết P 1 18 , do đó 18 6 2 3 4 m m 1 Vậy, P x 6 x 1 x 2 x 3 Bai 21: Tìm dư của phép chia đa thức: x99+ x55+x11+x+ 7 cho x2-1 Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 17
18. HD: 99 55 11 2 Gọi Q(x) là thương của phép chia x +x +x +x+7 cho x -1 99 55 11 Ta có x +x +x +x+7=( x-1 )( x+1 ).Q(x)+ax+b(*) Trong đó ax+b là dư của phép chia trên Với x=1 thì(*)=> 11=a+b Với x=-1 thì(*)=> 3=-a+b=> a=4,b=7 Vậy dư của phép chia x99+x55+x11+x+7 cho x2-1 là 4x+7 Bài 22: Tìm số dư trong phép chia của biểu thức x 2 x 4 x 6 x 8 2008 cho đa thức x2 10x 21. HD: Ta có: P(x) x 2 x 4 x 6 x 8 2008 x2 10x 16 x2 10x 24 2008 Đặt t x2 10x 21 (t 3; t 7) , biểu thức P(x) đợc viết lại: P(x) t 5 t 3 2008 t 2 2t 1993 Do đó khi chia t 2 2t 1993 cho t ta có số d là 1993 1. Bài tập chưa làm: Bài 1: Tìm đa thức f(x) biết f(x) chia x-2 dư 3, chia cho x-5 dư 6 và chia cho x2 7x 10 được thương là x2 4 và còn dư Bài 2: Xác định các số hữ tỉ a, b sao cho x3 ax b chia hết cho x2 2x 3 Bài 3: Cho đa thức bậc hai : P x ax2 bx c biết P(x) thỏa mãn cả hai điều kiện sau : P(0)=-2, 4.P(x)-P(2x-1)=6x-6. CMR :a+b+c=0 và xác định đa thức P(x) Bài 4: Cho đa thức: f x ax2 bx c , Xác định a,b,c biết f(0)=2, f(1)=7,f(-2)=-14 Bài 5: Cho đa thức bậc nhất f(x)=ax+b, Hãy tìm điều kiện của b để thỏa mãn hệ thức: f x1 x2 f x1 f x2 với mọi x Bài 6: Cho đa thức: f x ax2 bx c , Xác định các hệ số f 0 2 , f 1 7, f 2 14 Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 18
19. Bài 7: Cho đa thức: f x x8 x5 x2 x 1 , CMR f x luôn dương với mọi giá trị của x Bài 8: Cho a và b là hai số tự nhiên. Số a chia 5 dư 1, số b chia 5 dư 2, CMR: ab chia 5 dư 2 Bài 9: Cho đa thức: f x x3 2ax2 4x 3b . Tìm các hệ số a, b biết khi chia đa thức cho x-3 ta được đa thức dư là -5 và khi chia đa thức cho x+1 thì được dư là -1 Bài 10: Xác định các hệ số của a, b để x4 a.x2 b chia hết cho x2 x 1 Bài 11: Cho đa thức: A x4 2x3 2x m 1 và đa thức: B x2 2x 1 , Tìm m để đa thức A chia cho đa thức B có dư là giá trị của ẩn làm cho đa thức B bằng 0 Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 19