›
›
›

Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 8 - Chuyên đề: Bất đẳng thức

doc 43 trang hoaithuong97 6752
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 8 - Chuyên đề: Bất đẳng thức", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • docchuyen_de_boi_duong_hoc_sinh_gioi_toan_8_chuyen_de_bat_dang.doc

Nội dung text: Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 8 - Chuyên đề: Bất đẳng thức

  1. CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC I.LÝ THUYẾT 1. Định nghĩa: Các mệnh đề “ A > B ” hoặc “ A B mà ta biến đổi được thành C > D thì ta nói rằng BĐT C > D là BĐT hệ quả của BĐT A > B. kí hiệu A > B => C > D Nếu BĐT A>B là hệ quả của BĐT C>D và C>D cũng là BĐT hệ quả của BĐT A>B thì ta nói hai BĐT trên tương đương với nhau, Kí hiệu A>B C>D 3. Tính chất: A B A C B C ( Cộng hai vế của BĐT với cùng một số) A B A.C B.C, C 0 (Nhân hai vế của BĐT với cùng một số) A B A.C B.C, C 0 A B,C D A C B D ( Cộng hai BĐT cùng chiều) A B,C D AC BD, A,C 0 (Nhân hai BĐT cùng chiều) A B A2n 1 B2n 1 hoặc A2n B2n Với A > 0, (Nâng hai vế của BĐT lên một lũy thừa) A B A B, A 0 (Khai căn hai vế của một BĐT) a b a b a b (Tính chất giá trị tuyệt đối). II.LUYỆN TẬP Dạng 1: SỬ DỤNG ĐỊNH NGHĨA: A>B TA XÉT HIỆU A – B >0, CHÚ Ý BĐT A2 0 Bài 1: CMR : với mọi x,y,z thì x2 y2 z2 xy yz zx HD: Xét hiệu ta có: 2 x2 y2 z2 xy yz zx 0 x y 2 y z 2 z x 2 0 Dấu bằng xảy ra khi x = y = z Bài 2: CMR : với mọi x,y,z thì x2 y2 z2 2xy 2yz 2zx HD: Xét hiệu ta có: x2 y2 z2 2xy 2yz 2zx 0 x y z 2 0 Trang 1
  2. Dấu bằng xảy ra khi x+z=y Bài 3: CMR : với mọi x,y,z thì x2 y2 z2 3 2 x y z HD: Xét hiệu ta có: x 1 2 y 1 2 z 1 2 0 , Dấu bằng khi x=y=z=1 2 a2 b2 a b Bài 4: CMR : với mọi a,b ta có : 2 2 HD: a2 b2 a2 2ab b2 Xét hiệu ta có : 0 2a2 2b2 a2 2ab b2 0 2 4 a2 2ab b2 0 a b 2 0 , Dấu bằng khi a=- b 2 a2 b2 c2 a b c Bài 5: CMR : với mọi a,b,c ta có : 3 3 HD: a2 b2 c2 a2 b2 c2 2ab 2bc 2ac Ta có: 3 9 3a2 3b2 3c2 a2 b2 c2 2ab 2bc 2ac 0 2a2 2b2 2c2 2ab 2bc 2ac 0 a b 2 b c 2 c a 2 0 , Dấu bằng khi a=b=c a b c 2 Bài 6: CMR : a2 b2 c2 3 HD: Ta có:3a2 3b2 3c2 a2 b2 c2 2ab 2bc 2ca 2a2 2b2 2c2 2ab 2bc 2ac 0 a b 2 b c 2 c a 2 0 , Dấu bằng khi a=b=c a b 2 Bài 7: CMR : a2 b2 2ab 2 HD: a b 2 Ta chứng minh: a2 b2 2a2 2b2 a2 2ab b2 2 a2 b2 2ab 0 a b 2 0 , Dấu bằng khi a=b 2 a b 2 Ta chứng minh 2ab a2 2ab b2 4ab a b 0 , Dấu bằng 2 khi a=b b2 Bài 8: Cho a,b,c là các số thực. CMR: a2 ab 4 HD: Ta có: 4a2 b2 4ab 2a b 2 0 Trang 2
  3. Dấu bằng khi b=2a Bài 9: Cho a,b,c là các số thực. CMR : a2 b2 1 ab a b HD: Ta có: a2 b2 1 ab a b 0 2a2 2b2 2 2ab 2a 2b 0 a2 2ab b2 a2 2a 1 b2 2b 1 0 a b 2 a 1 2 b 1 2 0 . Dấu bằng khi a=b=1 Bài 10: Cho a,b,c,d là các số thực . CMR : a2 b2 c2 d 2 e2 a b c d e HD: Ta có: a2 b2 c2 d 2 e2 ab ac ad ae 0 4a2 4b2 4c2 4d 2 4e2 4ab 4ac 4ad 4ae 0 a2 4ab 4b2 a2 4ac 4c2 a2 4ad 4d 2 a2 4ae 4e2 0 a 2b 2 a 2c 2 a 2d 2 a 2e 2 0 Dấu bằng xảy ra khi a=2b=2c=2d=2e 1 1 Bài 11: Cho a,b thỏa mãn: a+b = 1, a>0, b>0.CMR: 1 1 9 a b HD: a b a b b a a b Ta có: VT 1 1 2 2 4 2 1 a b a b b a a b a b 2 2 1 5 2 5 2.2 9 . Dấu bằng khi a b a b b a b a 2 2 x y Bài 12: Cho x, y 0,CMR : xy 2 HD: Ta có:x2 y2 2xy 4xy x2 2xy y2 0 x y 2 0 , Dấu bằng khi x=y Bài 13: Cho a > 0, b > 0. CMR: a3 b3 a2b ab2 HD: Ta có: a3 a2b b3 ab2 0 a2 a b b2 a b 0 2 a b a2 b2 0 a b a b 0 Dấu bằng khi a=b 1 1 2 Bài 14: Cho a b 1, CMR: 1 a2 1 b2 1 ab HD: Xét 1 1 1 1 a b a b a b hiệu: 2 2 0 0 1 a 1 ab 1 b 1 ab 1 a2 1 ab 1 b2 1 ab b a 2 ab 1 0 , Dấu bằng khi a=b hoặc a.b=1 1 ab a2 1 b2 a Trang 3
  4. Bài 15: CMR : với mọi số thực x,y,z,t ta luôn có : x2 y2 z2 t 2 x y z t HD: Ta có: x2 y2 z2 t 2 xy xz xt 0 4x2 4y2 4z2 4t 2 4xy 4xz 4xt 0 x2 4xy 4y2 x2 4xz 4z2 x2 4xt 4t 2 x2 0 Dấu bằng khi x= 2y=2z=2t=0 a2 Bài 17: CMR : b2 c2 ab ac 2bc 4 HD: Ta có: a2 4b2 4c2 4ab 4ac 8bc 0 a2 4a b c 4 b2 c2 2bc 0 a2 4a b c 4 b c 2 0 a 2a 2c 2 0 Bài 19: CMR : x2 y2 z2 2xy 2zx 2yz HD: Ta có: x2 y2 z2 2xy 2yz 2zx 0 x2 2x y z y2 2 yz z2 0 x2 2x y z y z 2 0 x y z 2 0 Bài 20: CMR : x4 y4 z4 1 2x xy2 x z 1 HD: Ta có: x4 y4 z4 1 2x2 y2 2x2 2xz 2x 0 x4 y4 2x2 y2 x2 2xz z2 x2 2x 1 0 2 2 2 x2 y2 x z x 1 0 , Dấu bằng khi x=z=1, y= 1 Bài 21: CMR : a2 b2 c2 ab bc ca HD: Ta có : a2 b2 c2 ab bc ca 0 2a2 2b2 2c2 2ab 2bc 2ca 0 a b 2 b c 2 c a 2 0 Bài 22: CMR : a2 b2 ab HD: 2 2 2 2 2 2 2 b b 3b b 3b Ta có: a b ab 0 a 2a. 0 a 0 2 4 4 2 4 Bài 23: CMR : x2 xy y2 0 HD: 2 2 2 2 2 y y 3y y 3y Ta có: x 2x. 0 x 0 2 4 4 2 4 Bài 24: CMR : a a b a c a b c b2c2 0 HD: a a b c a b a c b2c2 0 a2 ab ac a2 ab ac bc b2c2 0 Trang 4
  5. 2 a ab ac x 2 2 2 Đặt , Khi đó ta có: x x y y 0 x xy y 0 bc y 2 Bài 25: CMR : a2 b2 a4 b4 a3 b3 HD: Ta có: a6 a2b4 a4b2 b6 a6 2a3b3 b6 a4b2 a3b3 a2b4 a3b3 0 a3b2 a b a2b3 b a 0 2 a b a3b2 a2b3 0 a2b2 a b 0 Bài 26: CMR : a b a3 b3 2 a4 b4 HD: Ta có: a4 ab3 a3b b4 2a4 2b4 a4 ab3 b4 a3b 0 2 a3 a b b3 b a 0 a3 b3 a b 0 a b a2 ab b2 0 Bài 27: Cho a,b > 0, CMR : 2 a3 b3 a b a2 b2 HD: Ta có: 2a3 2b3 a3 ab2 a2b b3 a3 a2b b3 ab2 0 a2 a b b2 b a 0 a b 2 a b 0 Bài 28: Cho a, b > 0, CMR: 4 a3 b3 a b 3 HD: Ta có: 4a3 4b3 a3 3a2b 3ab2 b3 3a3 3a2b 3b3 3ab2 0 3a2 a b 3b2 b a 0 3 a b a2 b2 0 3 a b 2 a b 0 Bài 29: Cho a,b,c > 0, CMR: a3 b3 abc ab a b c HD: Ta có: a3 b3 abc a2b ab2 abc a3 a2b b3 ab2 0 a2 a b b2 b a 0 a b 2 a b 0 2 Bài 30: CMR: a2 b2 ab a b 2 HD: Ta có: a4 2a2b2 b4 ab a2 2ab b2 a3b 2a2b2 ab3 a4 a3b b4 ab3 0 a3 a b b3 b a 0 2 a3 b3 a b 0 a b a2 ab b2 0 Trang 5
  6. Bài 31: CMR: a2 b2 c2 a b c HD: Ta có: a2 b2 c2 ab ac 0 4a2 4b2 4c2 4ab 4ac 0 a2 4ab 4b2 a2 4ac 4c2 2a2 0 a 2b 2 a 2c 2 2a2 0 Bài 32: CMR: a2 b2 c2 d 2 a b c d HD: Ta có: a2 b2 c2 d 2 ab ac ad 0 4a2 4b2 4c2 4d 2 4ab 4ac 4ad 0 a2 4ab 4b2 a2 4ac 4c2 a2 4ad 4d 2 a2 0 a 2b 2 a 2c 2 a 2d 2 a2 0 3 Bài 33: CMR: a2 b2 c2 a b c 4 HD: Ta 2 2 2 3 2 1 2 1 2 1 có: a a b b c c 0 a a b b c c 0 4 4 4 4 2 2 2 1 1 1 a b c 0 2 2 2 Bài 34: CMR: a4 b4 2 4ab HD: Ta có: a4 b4 4ab 2 0 a4 b4 2a2b2 2a2b2 4ab 2 0 2 2 a2 b2 2 a2b2 2ab 1 0 a2 b2 2 ab 1 2 0 Bài 35: CMR: x4 4x 5 0 HD: 2 2 Ta có: x4 4x2 4 4x2 4x 1 0 x2 2 2x 1 0 Không xảy ra dấu bằng. 1 Bài 36: CMR: x4 x 0 2 HD: 2 2 4 2 1 2 1 2 1 1 Ta có: x x x x 0 x x 0 4 4 2 2 Bài 37: CMR: x3 4x 1 3x2 (x 0) HD: Ta có: x3 3x2 4x 1 0 x x2 x 4 x2 1 0 x x 2 2 x2 1 0 , Vì x > 0 Bài 39: CMR: x 1 x 2 x 3 x 4 1 HD: Trang 6
  7. x 1 x 4 x 2 x 3 1 0 x2 5x 4 x2 5x 6 1 0 Đặt x2 5x 5 t , Khi đó ta có: t 1 t 1 1 0 t 2 0 , Dấu bằng khi t=0 Bài 40: CMR: x4 x3 x2 x 1 0 HD: Ta có : x3 x 1 x 1 x2 0 x 1 x3 1 x2 0 2 x 1 x2 x 1 x2 0 ( ĐPCM) Bài 41: CMR : a2 4b2 4c2 4ab 8bc 4ac HD: Ta có: a2 4b2 4c2 4ab 8bc 4ac 0 a2 2b 2 2c 2 2.a.2b 2.2b.2c 2.a.2c 0 a b c 2 0 Bài 42: CMR : 8 a3 b3 c3 a b 3 b c 3 c a 3 với a, b, c >0 HD: Ta có:8a3 8b3 8c3 2a3 2b3 2c3 3a2b 3ab2 3b2c 3bc2 3a2c 3ac2 6a3 6b3 6c3 3a2b 3ab2 3b2c 3bc2 3a2c 3ac2 0 3a3 3a2b 3a3 3a2c 3b3 3b2a 3b3 3b2c 3c3 3bc2 3c3 3ac3 0 3a2 a b 3a2 a c 3b2 b a 3b2 b c 3c2 c b 3c2 c a 0 3 a b a2 b2 3 a c a2 c2 3 b c b2 c2 0 3 a b 2 a b 3 a c a c 3 b c 2 b c 0 Bài 43: CMR: a b c 3 a3 b3 c3 24abc với a,b,c>0 HD: Ta có: a3 b3 c3 3 a b b c c a a3 b3 c3 24abc 3 a b b c c a 24abc a b 2 ab Vì b c 2 bc , Nhân theo vế ta được ĐPCM c a 2 ca x2 y2 x y Bài 44: CMR: Với mọi x, y # 0 ta có: 2 2 4 3 y x y x HD: Ta 2 có: x4 y4 4x2 y2 3xy x2 y2 x2 y2 xy x2 y2 2x2 y2 2xy x2 y2 0 Trang 7
  8. x2 y2 x2 y2 xy 2xy xy x2 y2 0 x2 y2 xy x2 y2 2xy 0 2 x y x2 xy y2 0 1 Bài 45: CMR : Nếu a b 1 , thì a3 b3 4 HD: 2 3 2 3 3 3 2 1 1 1 Ta có:b 1 a b 1 3a 3a a a b 3a 3a 1 3 a 2 4 4 Bài 46: Cho a,b,c > 0, CMR : ab bc ca a2 b2 c2 HD: Ta có: a2 b2 c2 ab bc ca 0 a b 2 b c 2 c a 2 0 a2 a 1 Bài 47: CMR : 0 a2 a 1 HD: 2 2 1 3 2 2 1 3 Ta có:a a 1 a a 0,a a a 1 a a 0,a 4 4 4 4 Bài 48: CMR : 4a a b a 1 a b 1 b2 0 HD: Ta có:4a a b 1 a 1 a b b2 0 4 a2 ab a a2 ab a b b2 0 . a2 ab a x Đặt Khi đó: b y 4x x y y2 0 4x2 4xy y2 0 2x y 2 0 , 2a a 1 Dấu bằng khi 2x y 2a2 2ab 2a b b 2a 1 x y 2 Bài 49: CMR : x2 y2 2xy 2 HD: 2 x y 2 x2 y2 2x2 2y2 x2 y2 2xy x y 0 Ta có: 2 2 x y 2 2xy x2 y2 2xy 4xy x y 0 2 1 1 4 Bài 50: CMR : , Với a,b > 0 a b a b HD: a b 4 2 2 Ta có: a b 4ab a b 0 ab a b Bài 51: CMR : a4 b4 ab a2 b2 Trang 8
  9. HD: Ta 2 có: a4 b4 a3b ab3 0 a3 a b b3 a b 0 a b a2 ab b2 0 4 a4 b4 a b Bài 52: CMR : 2 2 HD: Ta có:8a4 8b4 a4 b4 4a2b2 2a2b2 4a3b 4ab3 7a4 7b4 4a2b2 2a2b2 4a3b 4ab3 0 a4 b4 2a2b2 6a4 6b4 4ab a2 b2 8a2b2 0 2 a2 b2 4ab a2 b2 4a2b2 6 a4 b4 12a2b2 0 2 2 a2 b2 2ab 6 a4 b4 2a2b2 0 a b 4 6 a2 b2 0 Bài 53: Cho a+b+c=0, CMR : ab bc ca 0 HD: Ta có: a2 b2 c2 2 ab bc ca 0 2 ab bc ca a2 b2 c2 0 Dấu bằng khi a=b=c=0 2 2 2 Bài 54: Cho x,y,z R , CMR : x y y z z x 3 x2 y2 z2 HD: Ta có: 2x2 2y2 2z2 2xy 2yz 2zx 3x2 3y2 3z2 x2 y2 z2 2xy 2yz 2zx 0 x y z 2 0 x6 y6 Bài 55: CMR : Với mọi x,y khác 0, ta luôn có : x4 y4 y2 x2 HD: Ta có: x2 y2 x4 y4 x8 y8 x8 y8 x6 y2 x2 y6 0 x6 x2 y2 y6 x2 y2 0 x6 y6 x2 y2 0 x2 y2 x4 x2 y2 y4 x2 y2 0 2 x2 y2 x4 x2 y2 y4 0 Bài 56: CMR : 2a2 b2 c2 2a b c HD: Ta có: 2a2 b2 c2 2ab 2ac 0 a2 2ab b2 a2 2ac c2 0 a b 2 a c 2 0 Bài 57: CMR : a4 a3b ab3 b4 0 HD: 2 Ta có: a3 a b b3 a b 0 a3 b3 a b 0 a b a2 ab b2 0 Bài 58: CMR : a4 2a3b 2a2b2 2ab3 b4 0 Trang 9
  10. HD: 2 2 Ta có: a4 2a2.ab a2b2 b4 2ab.b2 a2b2 0 a2 ab b2 ab 0 Bài 59: CMR : a4 b4 c2 1 2a ab2 a c 1 HD: Ta có: a4 b4 c2 1 2a2b2 2a2 2ac 2a 0 a4 b4 2a2b2 a2 2ac c2 a2 2a 1 0 2 a2 b2 a c 2 a 1 2 0 Bài 60: CMR : ab bc ca 2 3abc a b c HD: Ta có: a2b2 b2c2 c2a2 2ab2c 2abc2 2a2bc 3a2bc 3ab2c 3abc2 0 a2b2 b2c2 c2a2 ab2c abc2 a2bc 0 ab x 2 2 2 2 2 2 Đặt bc y => x y z xy yz zx 0 x y y z z x 0 ca z 1 1 1 1 1 Bài 61: CMR : y x z x z , Với 0 x y z x z y x z HD: Ta 2 y x z x z x z có: 0 y2 xz y x z 0 y2 xz xy yz 0 xz y xz y x z y 0 Trang 10
  11. 1 1 4 Bài 62: Cho a,b dương có tổng 1, CMR : a 1 b 1 3 HD: Quy đồng 3 a b 2 4 a 1 b 1 4 ab a b 1 9 1 4ab a b 2 4ab a b 2 0 ( đúng) a2 b2 a b Bài 63: CMR : Với a,b,c > 0 thì b2 a2 b a HD: a2 b2 a b a b a2 b2 a b Ta có: 2 2 2 0 VT 2 2 2 2 b a b a b a b a b a a2 a b2 b 2 2. 1 2 2. 1 0 b b a a a8 b8 c8 1 1 1 Bài 64: CMR : , a,b,c 0 a3b3c3 a b c HD: 2 2 2 Ta có: a8 b8 c8 a4b4 b4c4 c4a4 a2b2 b2c2 c2a2 VT a2b4c2 b2c4a2 a4b2c2 a2b2c2 a2 b2 c2 a2b2c2 ab bc ca a8 b8 c8 a8 b8 c8 1 1 1 ab bc ca a2b2c2 a3b3c3 a b c Bài 65: CMR : a10 b10 a2 b2 a8 b8 a4 b4 HD: Ta có: a12 a10b2 a2b10 b12 a12 a8b4 a4b8 b12 a10b2 a8b4 a2b10 a4b8 0 a8b2 a2 b2 a2b8 b2 a2 0 a2b2 a2 b2 a6 b6 0 2 a2b2 a2 b2 a4 a2b2 b4 0 1 1 1 Bài 66: Cho a,b,c dương có abc=1, và a b c , CMR : a 1 b 1 c 1 0 a b c HD: Ta có:a b c ab bc ca , Xét a 1 b 1 c 1 abc ab bc ca a b c 1 => a b c ab bc ca 0 Bài 67: Cho a,b>0, thỏa mãn : a3 b3 a b , CMR : a2 b2 ab 1 HD: Ta có: a3 b3 a3 b3 a b a2 ab b2 a b a b a2 b2 ab a2 b2 ab 1 Trang 11
  12. Bài 68: CMR : 2 a8 b8 a3 b3 a5 b5 HD: Ta có: 2a8 2b8 a8 a3b5 a5b3 b8 a8 a5b3 b8 a3b5 0 a5 a3 b3 b5 a3 b3 0 a5 b5 a3 b3 0 , Giả sử a > b =>a3 b3 ,a5 b5 => ĐPCM Nếu a a3 b3 ,a5 b5 => ĐPCM Bài 69: Cho ba số a, b, c bất kỳ, chứng minh bất đẳng thức sau: a2 b2 c2 ab bc ca(1) HD: (1)  2a2 2b2 2c2 2ab 2bc 2ca  (a b)2 (b c)2 (c a)2 0(dung) Dấu “ = ” xảy ra  a b c Bài 70: Cho ba số a, b, c bất kỳ, chứng minh rằng: (ab bc ca)2 3abc(a b c)(1) HD: (1)  a2b2 b2c 2 c2a2 a2bc ab2c abc2 0  2( ) 0  (ab bc)2 (bc ca)2 (ca ba)2 0 Dấu “ = ” xảy ra  ab bc;bc ca;ca ab  a b c Bài 71: Chứng minh rằng: a2 b2 c2 d 2 e2 a(b c d e)a,b,c,d,e R HD: a2 a2 a2 a2 a2 b2 c2 d 2 e2 a(b c d e)  ab b 2 ac c2 ad d 2 ae e2 0 4 4 4 4 a a  ( b)2 ( e)2 0(dung) 2 2 a b c b a c Bài 72: Cho ba số a, b, c thỏa mãn: 0 a b c.CMR : b c a a c b HD: Xét hiệu: a b c b a c 1 1 (a2c ab2 bc2 b2c ba2 ac2 ) (a2c b2c) (b2a ab2 ) (c2b ac2 ) b c a a c b abc abc 1 1 c(a b)(a b) ab(a b) c2 (a b) (a b)(b c)(c a) 0(do : 0 a b c) abc abc Trang 12
  13. a b c 1 1 1 Bài 73: Chứng minh rằng: 2( ) với a, b, c > 0 bc ac ab a b c HD: Xét hiệu: a b c bc ac ab  2( ) 0  a2 b2 c2 2bc 2ca 2ab 0  (a b c)2 0 bc ac ab abc abc abc Bài 74: Chứng minh rằng nếu a b 2 thì a3 b3 a 4 b4 HD: Xét hiệu: a 4 b4 a3 b3 a3 (a 1) b3 (b 1) a3 (a 1) (a 1) (a 1) b3 (b 1) (b 1) (b 1) (a 1)(a3 1) (b 1)(b3 1) a b 2 (a 1)2 (a2 a 1) (b 1)2 (b2 b 1) a b 2 0 0 0 0 Bài 75: Chứng minh rằng nếu a,b,c ta luôn có: a 4 b4 c4 abc(a b c) HD: 1 a 4 b4 c4 abc(a b c) a4 b 4 c4 a2bc b2ac c2ab (2a4 2b4 2c4 2a2bc 2b2ac 2c2ab) 2 1 (a4 2a2b2 b4 ) 2a2b2 (a4 2a2c2 c4 ) 2a2c2 (b4 2b2c2 c4 ) 2b2c2 a2bc b2ac c2ab 2 1 (a2 b2 )2 (a2 c2 )2 (b2 c2 )2 (a2b2 b2c2 2ab2c) (b2c2 c2a2 2abc2 ) (a2b2 c2a2 2a2bc) 2 1 (a2 b2 )2 (b2 c2 )2 (c2 a2 )2 (ab bc)2 (bc ca)2 (ab ac)2 0a,b,c 2 Bài 79: CMR : 3 a8 b8 c8 a3 b3 c3 a5 b5 c5 HD: Ta có:2 a8 b8 a3 b3 a5 b5 2 b8 c8 b3 c3 b5 c5 2 c8 a8 a3 c3 a5 c5 Cộng theo vế ta được: 4 a8 b8 c8 a8 b8 c8 a3 a5 b5 c5 b3 a5 b5 c5 c3 a5 b5 c5 3 a8 b8 c8 a3 b3 c3 a5 b5 c5 Bài 70: Cho a+b=2, CMR : a8 b8 a7 b7 HD: Ta có: 2 a8 b8 a b a7 b7 a8 b8 ab7 a7b Trang 13
  14. a8 b8 a7b ab7 0 a b a7 b7 0 a b 0 a b 0 a b a b Giả sử 7 7 Nếu 7 7 a b 0 a b 0 Bài 71: CMR : a6 b6 c6 a5b b5c c5a, a,b,c 0 HD: Ta có: a5 a b b5 b c c5 c a a b a5 b5 c a c5 b5 0 c a 0 a b 0 a b c Giả sử : 5 5 và 5 5 => ĐPCM c b 0 a b 0 a2 b2 c2 a b c Bài 72: CMR : Với mọi a,b,c > 0 thì b2 c2 c2 a2 a2 b2 b c c a a b HD: 2 2 2 a2 a a b c a b c ab a b ac a c Xét b2 c2 b c b c b2 c2 b c b2 c2 Giả sử a b c => Các ngoặc đều dương => ĐPCM Bài 73: Cho a, b là hai số dương, CMR : a b a3 b3 2 a4 b4 HD: Ta có: 2a4 2b4 a4 ab3 a3b b4 0 a4 a3b b4 ab3 0 a3 a b b3 a b 0 Bài 74: Cho a,b là hai số dương, CMR : a b a4 b4 a2 b2 a3 b3 HD: Ta có: a5 ab4 a4b b5 a5 a2b3 a3b2 b5 0 a4b a3b2 ab4 a2b3 0 a3b a b ab3 b a 0 a b a3b ab3 0 ab a b a2 b2 0 Bài 75: CMR : a2 b2 4 ab 2 a b HD: Ta có: a2 b2 4 ab 2a 2b 0 2a2 2b2 8 2ab 4a 4b 0 a2 2ab b2 a2 4a 4 b2 4b 4 0 Bài 76: Cho a,b là hai số có tổng bằng 2, CMR : a4 b4 a3 b3 HD: Ta có: 2 a4 b4 a b a3 b3 2a4 2b4 a4 ab3 a3b b4 0 a4 a3b b4 ab3 0 a3 a b b3 b a 0 a b a3 b3 0 Bài 77: Cho a,b,c là ba số thỏa mãn : a+b+c=3, CMR : a4 b4 c4 a3 b3 c3 HD: Ta có:3 a4 b4 c4 a b c a3 b3 c3 2 2 b 3 2 2 2 2 2 2 2 a b a b b c b bc c c a c ac a 0 2 4 Trang 14
  15. Bài 78: Cho 0 x, y, z 1 , CMR : 0 x y z xy yz zx 1 HD: Xét tích 1 x 1 y 1 z xyz xy yz zx x y z 1 0 x xy Mà y yz x y z xy yz zx 1 xyz , Mà 0 xyz 1 1 xyz 1 z zx Bài 79: Cho 1 x, y, z 2 và x+y+z=0, CMR : x2 y2 z2 6 HD: x 2 x 1 0 x2 x 2 0 2 Xét y 2 y 1 0 y y 2 0 , Cộng theo vế ta có: 2 z 2 z 1 0 z z 2 0 x2 y2 z2 6 0 x2 y2 z2 6 1 1 1 1 5 Bài 80: Cho x > 0, y > 0, z > 0, CMR : , Với x2 y2 z2 x y z xyz 3 HD: Ta có: x y z 2 0 x2 y2 z2 2xy 2yz 2zx 0 5 5 5 2 xy yz zx 0 2 xy yz zx yz zx xy 1 3 3 6 1 1 1 1 x y z xyz Bài 81: Cho 0 1 a2 1 b 0 1 a2b a2 b 0 1 a2b a2 b Mặt khác: 0 a2 a3 ,b b3 a2 b a3 b3 Vậy 1 a2b a3 b3 , Chứng minh tương tự => ĐPCM Bài 82: CMR : a4 b4 c4 abc a b c HD: Chuyển vế ta có: a4 b4 c4 a2bc ab2c abc2 0 2 2 2 a2 b2 2a2b2 b2 c2 2b2c2 c2 a2 2a2c2 2a2bc 2b2ac 2abc2 0 2 2 2 a2 b2 b2 c2 c2 a2 a2b2 2a2bc a2c2 a2b2 2ab2c b2c2 a2b2 2ab2c b2c2 a2c2 2abc2 b2c2 0 Bài 83: Cho a,b,c,d > 0 thỏa mãn: a c d , b c d , CMR: ab ad bc HD: a c d a c d 0 Ta có: a c b d cd , Nhân vào ta được ĐPCM b c d b d c 0 Trang 15
  16. Bài 84: Cho 0 a,b,c,d 1 , CMR : 1 a 1 b 1 c 1 d 1 a b c d HD: Ta có: 1 a 1 b 1 a b ab 1 a b ( do ab >0) Do c 1 1 c 0 1 a 1 b 1 c 1 a b 1 c 1 a b c Chứng minh tương tự => ĐPCM a2 Bài 85: Cho a.b.c=1, a3 36 , CMR : b2 c2 ab bc ca 3 HD: Xét hiệu 2 2 2 2 a a 2 2 a 2 2 a b c ab bc ac 0 b c ab ac 2bc 3bc 0 4 12 4 12 2 3 3 a a 36abc 3 a 36abc b c , Do a 36 0 ĐPCM 2 12a 12a 2 2 2 ab 1 Bài 87: Cho hai số a, b thỏa mãn: a b 0, Chứng minh rằng: a b 2 a b HD: 2 2 2 ab 1 2 2 2 2 2 Ta có: a b 2 a b a b ab 1 2 a b a b 2 2 2 2 a b a b 2ab 2 a b ab 1 0 4 2 2 2 a b 2ab a b 2 a b ab 1 0 4 2 2 a b 2 a b ab 1 ab 1 0 2 2 a b ab 1 0 (ĐPCM) x y x2 y2 Bài 88: Cho x y 0 hãy so sánh : A , và B x y x2 y2 HD: Vì x 0, y 0 x y 0 x y x y x y 2 2 2 2 2 2 A 2 , lại có: x y 2xy x y , x y 0 x y x y x2 y2 x2 y2 A B 2xy x2 y2 x2 y2 Bài 89: Cho x, y > 0 thỏa mãn điều kiện: x2 y3 x3 y4 , Chứng minh rằng: x3 y3 2 , Dấu bằng xảy ra khi nào? HD: Áp dụng BĐT côsi cho hai số dương ta có: Trang 16
  17. x x3 2x2 , y2 y4 2y3 , Do vậy x x3 y2 y4 2x2 2y3 x y2 x2 y3 x2 y3 x3 y4 x2 y3 ,( x2 y3 x3 y4 ) Mà: x2 1 2x, y4 1 2y2 , nên 1 x2 1 y4 2x 2y2 2x2 2y3 x2 y3 x3 y4 Do vậy x3 y3 2 Dấu bằng xảy ra khi: x y 1 Bài 90: Chứng minh BĐT sau: x2 y2 xy x y 1 HD: Ta có: x2 y2 xy x y 1 2 x2 y2 xy 2 x y 1 2x2 2y2 2xy 2x 2y 2 x2 2xy y2 x2 2x 1 y2 2y 1 0 Bài 91: Cho a, b là các số dương thỏa mãn: a3 b3 a5 b5 , Chứng minh rằng: a2 b2 1 ab HD: Ta có: a2 b2 1 ab a2 b2 ab 1 a b a2 b2 ab a b a3 b3 a b a3 b3 a3 b3 a b a5 b5 2a3b3 ab5 a5b 2 ab a4 2a2b2 b4 0 ab a2 b2 0,a,b 0 2 3 Bài 92: Cho các số a, b, c 0;1 , chứng minh rằng: a b c ab bc ca 1 HD: Do a, b,c 0;1 , nên: 1 a 1 b 1 c 0 1 a b c ab bc ca abc 0 a b c ab bc ca 1 abc 1 2 3 Do a,b,c 0;1 b b,c c , từ đó ta có: a b2 c3 ab bc ca a b c ab bc ca 1 Dạng 2: Dùng các phép biến đổi tương đương Ta biến đổi các bất đẳng thức cần chứng minh tương đường với BĐT đúng hoặc BĐT đã được chứng minh là đúng Nếu A B  C D , với C < D luôn đúng Bài 1: Cho a, b, c, d, e là các số thực, CMR: b2 a. a 2 ab b. a2 b2 1 ab a b 4 Trang 17
  18. a2 b2 c2 a b c c. a2 4b2 4c2 4ab 4ac 8bc d. ( )2 3 3 HD: b2 a.  a 2 ab 0  4a2 b2 4ab  (2a b)2 0(dung) 4 b. a2 b2 1 ab a b  2(a2 b2 1) 2(ab a b)  (a b)2 (a 1)2 (b 1)2 0  a b 1 c.  (a2 4ab 4b2 ) 4c2 (4ac bc) 0  (a 2b)2 2(a 2b).2c (2c)2 0  (a 2b 2c)2 0 a2 b2 c2 a b c d. ( )2  3(a2 b2 c2 ) (a b c)2 a2 b2 c2 2ab 2bc 2ca 3 3  (a b)2 (b c)2 (c a)2 0(dung) 1 1 1 Bài 2: Cho ba số a,b,c R thỏa mãn: abc = 1 và a b c a b c a. Chứng minh rằng: (a 1)(b 1)(c 1) 0 b. Chứng minh răng luôn tồn tại 1 trong ba số a, b, c nhỏ hơn 1 HD: (a 1)(b 1)(c 1) 0  abc ab bc ca a b c 0 a. Ta có:  abc (a b c) (ab bc ca) 0 1 (a b c) (ab bc ca) 0(1) 1 1 1 ab bc ca Và a b c  a b c  a b c ab bc ca(2) a b c abc Từ (1)(2) ta có điều phải chứng minh b. Giả sử tồn tại cả ba số a, b, c lớn hơn 1 abc 1 ( mâu thuẫn với giả thiết ) Vậy luôn tồn tại 1 số nhỏ hơn 1. Bài 3: Chứng minh bất đẳng thức sau: (a10 b10 )(a2 b2 ) (a8 b8 )(a4 b4 )(1) HD: (1)  (a10 b10 )(a2 b2 ) (a8 b8 )(a4 b4 ) 0  a12 a10b2 a2b10 b12 a12 a8b a4b8 b12 0 Trang 18
  19.  (a10b2 a8b4 ) (a2b10 a4b8 ) 0  a8b2 (a2 b2 ) a2b8 (a2 b2 ) 0  (a2 b2 )2 a2b2 (a4 a2b2 b4 ) 0 a b c Bài 4: Chứng minh rằng: 1 2(a,b,c 0) a b b c c a HD: 1 1 a a Ta có: a b a b c a b a b c a b a b c b b c c a b c Tương tự: ; . Vậy 1(*) b c a b c a c a b c a b b c c a a a c b a b c c b Lại có: a a b ; ; a b a b c b c a b c c a a b c a b c Cộng vế với vế ba bất đẳng thức ta được: 2( ) dpcm a b b c c a Bài 5: Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng: a3b2 b3c2 c3a2 a2b3 b2c3 c2a3 HD: a3b2 b3c2 c3a2 a2b3 b2c3 c2a3  a3b2 a2b3 b3c2 c2a3 c3a2 b2c3 0  a2b2 (a b) c2 (b 3 a3 ) c3 (a2 b2 ) 0 2 2 2 2 2 3  (a b) a b c (b ab a ) c (a b) 0  (a b)(b c)(c a)(ab bc ca) 0(luon.dung) a 5(a2 1) 11 Bài 6: Chứng minh rằng: a2 1 2a 2 HD: a 5(a2 1) 11 a2 1 2a 2 a 1 5(a2 1)  5 0 a2 1 2 2a (a 1)2 5a2 a 5  . 0 2(a2 1) a(a2 1) (a 1)2 (a 1)2 9(a2 1)  . 2 2a(a2 1) (nhan.voi.2) 0,dau" "  a 1 Trang 19
  20. x2 y2 x y Bài 7: Chứng minh rằng với mọi số thực x, y 0 ta có 4 3( )(1) y2 x2 y x HD: x2 y2 x y (1)  4 3( ) 0 y2 x2 y x x y x y x y  ( )2 2( ) ( ) 2 0 y x y x y x x y x y  ( 2)( 1) 0 y x y x (x y)2 (x2 xy y2 )  0 x2 y2 2(x y)2 (x2 xy y2 )  0 x2 y2 (x y)2 (2x2 2xy 2y2 )  0 x2 y2 (x y)2 (x2 y2 (x y)2 )  0(luon.dungx, y)  x y 0 x2 y2 Bài 8: Cho a 4,b 4.CMR : a2 b 2 ab 6(a b) HD: Do a 4,b 4 a 4 0;b 4 0 Đặt x a 4(x 0); y b 4(y 0) (1)  (x 4)2 (y 4)2 (x 4)(y 4) 6(x y 8)  x 2 y2 xy 6(x y) 0(dung.do : x, y 0)  x y 0  a b 4 4x2 y2 x2 y2 Bài 9: Cho hai số thực x, y 0,CMR : 3(1) (x2 y2 )2 y2 x2 HD: 4x2 y2 x2 y2 (1)  1 2 0 (x2 y2 )2 y2 x2 4x2 y2 (x2 y2 )2 x4 y4 2x2 y2  0 (x2 y2 )2 x2 y2 (x2 y2 )2 (x2 y2 )2  0 (x2 y2 )2 x2 y2 Trang 20
  21. 2 2 2 1 1  (x y ) . 2 2 2 2 2 0 x y (x y ) (x2 y2 )2 x2 y2  (x2 y2 )2. 0 x2 y2 (x2 y2 )2 x4 y4 x2 y2  (x2 y2 )2. 0 x2 y2 (x2 y2 )2  x y 2a a2 b2 a b Bài 10: Cho các số thực a,b. Chứng minh rằng: ab (1) a b 2 2 HD: a2 b2 2 2 2 ab 2 a b 2a (a b) a b (a b) Ta có: ; ab 2 2 a b 2(a b) 2 a2 b2 a2 b2 ab 2 ab 2 2 2 (a b) 1 1 (1)  0  (a b)2 2a 2b 2(a2 b2 ) 2 ab 0 2 a2 b2 a b ab 2  2a 2b 2(a2 b2 ) 2 ab 0(*) Ta có: (a b)2 (a b)2 a b 2 ab ( a b)2 ;a b 2(a2 b2 ) ( a b)2 2(a2 b2 ) (a b) 2 1 1 (*)  (a b) 0  (a b)2 2(a2 b2 ) a b ( a b)2 0 2 2 2 ( a b) 2(a b ) (a b) 2(a2 b2 ) 4ab 2(a b)4  (a b)2 2(a2 b2 ) 2 ab 0  (a b)2. 0  0  a b 2(a2 b2 ) 2 ab 2(a2 b2 ) 2 ab Dạng 3: Bất đẳng thức dạng nghịch đảo ( Cô si cộng mẫu ) 1 1 4 1 1 1 9 a b a b a b c a b c 1 1 1 n2  a1 a2 ana,a1, ,an 0 a1 a2 an a1 a2 an Trang 21
  22. 1 1 1 3 3 3 Bài 1: Cho a, b, c > 0. CMR: a b c a 2b b 2c c 2a HD: 1 1 1 9 Áp dụng bất đẳng thức dạng: ( tự chứng minh bđt) a b c a b c 1 1 1 9 1 1 1 9 1 1 1 9 ; ; a b b a 2b b c c b 2c c a a c 2a Cộng vế các bất đẳng thức trên ta được: VT VP  a b c 2 3 4 5 6 7 Bài 2: Cho a, b, c > 0. CMR: 4( ) a b c a b c a b c HD: Áp dụng bất đẳng thức dạng: 4 1 1 4 1 1 4 1 1 4 1 1 4 1 1 4 1 1 2. 2( ); 3. 3.( ); x y x y a b a b a b a b c a c a a c c a b c b c 4 1 1 4. 4( ) b c b c Cộng vế ba bất đẳng thức trên ta được: 2 3 4 5 6 7 4( ) a b c a b c a b c a b c 1 Bài 3: Cho a, b, c > 0. CMR: (1) a 4b 4c b 4c 4a c 4a 4b 3 HD: 3a 3b 3c (1) 1 a 4b 4c b 4c 4a c 4a 4b 3a 3b  ( 1) ( 1) ( ) 4 a 4b 4c b 4c 4a 1 1 1 4(a b c)( ) 4 a 4b 4c b 4c 4a c 4a 4b 1 1 1 1  (2) a 4b 4c b 4c 4a c 4a 4b a b c 1 1 1 9 Áp dụng bất đẳng thức: x y z x y z 9 1 Ta được: VT (2) . dpcm 9(a b c) a b c Trang 22
  23. a b c Bài 4: Cho a, b, c > 0 thỏa mãn: a b c 3. Tìm GTLN của A 1 2a 1 2b 1 2c HD: 2a 2b 2c 1 1 1 Cách 1: 2A 1 1 1 3 B 1 2a 1 2b 1 2c 1 2a 1 2b 1 2c 1 1 1 9 B 1 1 2a 1 2b 1 2c 3 2(a b c) 2A 3 B 2 A 1  a b c Cách 2: Áp dụng bất đẳng thức: 9 1 1 1 9 1 1 1 1 1 2 a a 2 (1 ) x y z x y z 1 a a 1 a a 1 2a 9 a 1 2a 9 9 b b 2 c c 2 Tương tự: ; 1 2b 9 9 1 2c 9 9 a b c 6 Cộng ba vế của bất đẳng thức ta được: A 1  a b c 9 9 ab bc ca a b c Bài 5: Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng a b 2c b c 2a c a 2b 4 HD: 4 1 1 Áp dụng bất đẳng thức: x y x y 1 1 1 1 1 1 1 1 VT ab. bc. ca. ab( ) bc( ) ca.( ) (a c) (b c) 4 a c b c 4 4 1 bc ca ab bc ab bc a b c ( ) 4 a b b c a c 4 1 1 Bài 6: Cho a, b, c > 0 thỏa mãn: a + b + c = 1. Tìm GTNN: A abc a2 b2 c2 HD: 1 a b c 1 1 1 9 1 1 1 9 ; 9 abc abc ab bc ca ab bc ca a2 b2 c2 ab bc ca ab bc ca (a b c)2 1 7 Lại có: 3(ab bc ca) (a b c)2 1 3 21 ab bc ca ab bc ca Trang 23
  24. Cộng theo vế ba bất đẳng thức: 9 9 1 A 30 A 30  a b c ab cb ca ab bc ca 3 1 1 1 4 4 4 Bài 7: Cho a, b, c > 0 . Chứng minh rằng: a b c a b 2c b c 2a c a 2b HD: 4 1 1 4 4 4 2 2 2 Ta có: ; (1) (a c)(b c) a c b c a b 2c a c b c a b 4 1 1 4 1 1 4 1 1 ; ; a c a c b c b c a b a b 4 4 4 2 2 2 Lại có: a c b c a b a b c 2 2 2 1 1 1  2( ) 2( )(2) a c b c a b a b c Từ (1)(2) ta có điều phải chứng minh. 7 4 7 1 2 3 Bài 2: Cho a, b, c > 0 . Chứng minh rằng: 9( ) a b c a 2b b 2c c 2a HD: 9 1 1 1 9 1 1 1 9 2 2 2 ; 2. Ta có: a b b a b c b c c b c c b c c b c c 9 1 1 1 9 3 3 3 3. a c c c a a c a a c a a Cộng vế với vế các bất đẳng thức ta được đpcm a b c 1 Bài 3: Cho a, b, c > 0 . Chứng minh rằng: (1) 2a 5b 5c 2b 5c 5a 2c 5a 5b 4 HD: 3 15 (1) 3.VT  3.VT 3 4 4 1 1 1 9 45 15 3.VT 3 (5a 5b 5c)( ) 5(a b c). 2a 5b 5c 12(a b c) 12 4 Dạng 4 : SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC PHỤ Các BĐT phụ hay dùng : Trang 24
  25. 2 a b 2 x y a2 b2 x y 4xy 2 2 y x x2 y2 xy , x y 0 x3 y3 xy(x y) (x y)(y z)(z x) 8xyz 1 Bài 1: Cho a+b > 1, CMR : a4 b4 8 HD: 2 2 2 a b 2ab 1 1 Ta có: a b 1 a2 b2 2 2 a b 2ab 0 2 4 4 2 2 1 2 2 2 1 a b 2a b 4 4 1 4 4 1 => a b 4 2a 2b , Vậy a b 4 4 2 2 2 4 8 a b 2a b 0 1 Bài 2: Cho a+b = 1, CMR : a2 b2 2 HD: 2 2 2 a 2ab b 1 1 Ta có: a b 1 2a2 2b2 1 a2 b2 2 2 a 2ab b 0 2 Bài 3: Cho a+b > 2, CMR : a2 b2 2 HD: 2 2 2 a 2ab b 4 Ta có: a b 4 2a2 2b2 4 a2 b2 2 2 2 a 2ab b 0 Bài 4: Cho a2 b2 2 , CMR: a b 2 HD: a2 b2 2 Ta có: 2 2 2 2 a b 2ab 2ab a b 2 Cộng theo vế ta được: a2 b2 2ab 4 a b 2 4 a b 2 Bài 5: Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của 1 tam giác, CMR: a2 b2 c2 2 ab bc ca HD: Ta có: Vì a,b,c là độ dài ba cạnh của 1 tam giác nên ta có: 2 a b c a ab ac 2 2 2 2 b a c b ab bc a b c 2 ab bc ac c a b 2 c ac bc 1 Bài 6: Cho a,b là hai số thực bất kỳ có tổng bằng 1, CMR: a3 b3 4 HD: Trang 25
  26. Ta có: a b 1 b 1 a b3 1 a 3 => a3 b3 a3 1 3a 3a2 a3 3a2 3a 1 2 2 1 3 1 1 1 3 a a 3 a 4 4 2 4 4 1 1 1 1 Bài 8: Cho a,b,c > 0, CMR : a3 b3 abc b3 c3 abc c3 a3 abc abc HD: Ta có: a3 b3 a b a2 ab b2 a b ab , Do a2 ab b2 ab Khi đó 3 b3 abc a b ab abc ab a b c Chứng minh tương tự ta có: b3 c3 abc bc a b c và c3 a3 abc ac a b c 1 1 1 1 1 a b c 1 Khi đó ta có: VT . a b c ab bc ca a b c abc abc a b c 3 Bài 10: Cho a,b,c > 0, CMR : b c c a a b 2 HD: x a b 1 1 1 Từ x y z 9 , Đặt y b c x y z z c a 1 1 1 => 2 a b c 9 a b b c c a a b c a b c a b c 9 c a b 9 3 => 3 a b b c c a 2 a b b c c a 2 2 a b 1 3 Bài 11: Cho a,b > 0, CMR : b 1 a 1 a b 2 HD: Ta a b 1 1 1 1 9 3 có: 1 1 1 3 a b 1 3 3 b 1 a 1 a b a b a 1 b 1 2 2 3 Bài 15: CMR : a2 b2 c2 a b c 4 HD: 2 1 2 1 2 1 Ta có: a a b b c c 0 4 4 4 1 1 1 Bài 16: Cho a,b,c dương có tổng là 1, CMR : 9 a b c HD: 1 1 1 Vì a b c 1 a b c 9 a b c Trang 26
  27. x4 y4 x2 y2 x y Bài 18: Cho x,y,z > 0, CMR : 2 y4 x4 y2 x2 y x HD: x4 y4 x y x2 y2 2 Ta có: 4 4 2 , Tương tự và 2 2 2 y x y x y x Cộng theo vế ta có: VT 2 2 2 2 Bài 19: Cho a,b là các số dương thỏa mãn: a+b 4 HD: 2 a b 4 Ta có: a b 4ab Do ab a b a b ab 4 a b ab 1 1 a b 4 ab ab a b Bài 21: Cho a,b,c thỏa mãn: a2 b2 c2 3 , CMR: ab bc ca a b c 6 HD: a2 b2 2ab 2 2 2 2 2 Ta có: b c 2bc 2 a b c 2 ab bc ca 2.3 2 ab bc ca 2 2 c a 2ac => ab bc ca 3 (1) a2 1 2a 2 Mặt khác: b 1 2b 3 3 2 a b c a b c 3 (2) 2 c 1 2c Cộng (1) và (2) theo vế ta được ĐPCM x2 y2 1 Bài 22: CMR: , với mọi x,y là số thực 1 16x4 1 16y4 4 HD: x2 1 Ta có: 1 16x4 2. 16x4 2.4x2 8x2 (1) 1 16x4 8 y2 y2 1 Tương tự: (2) 1 16y4 8y2 8 1 Cộng theo vế ta được : VT 4 a b a2 b2 Bài 24: CMR: với a,b > 0 và a > b > 0 thì a b a2 b2 HD: a b a b a b a2 b2 Ta có: , Mà a2 2ab b2 a2 b2 a b a b 2 a b 2 Trang 27
  28. a2 b2 Khi đó VT a2 b2 Bài 25: Cho 3 số a,b,c dương thoă mãn: a+b+c = 4, CMR : a b abc HD: 2 2 Ta có: a b 4ab a b c 4 a b c 16 4 a b c 2 4 a b c 4 a b a b 2 c 4 a b 2 ab c 4abc => a b abc Bài 26: Cho 2 số x,y > 0 thỏa mãn: x3 y3 x y , CMR : x2 y2 1 HD: Ta có: x3 y3 0 x y 0 x2 y2 1 x y x2 y2 x3 y3 x3 xy2 x2 y y3 x3 y3 2y3 x2 y xy2 0 y 2y2 x2 xy 0 1 Bài 27: Cho a+b = 1, CMR: a2 b2 2 HD: 2 2 2 a 2ab b 1 1 Ta có: a b 1 2a2 2b2 1 a2 b2 2 2 a 2ab b 0 2 1 Bài 28: Cho a+b=1, CMR: a4 b4 8 HD: a2 2ab b2 1 1 Ta có: 2a2 2b2 1 a2 b2 2 2 a 2ab b 0 2 4 4 2 2 1 a b 2a b 4 4 1 4 4 1 Mặt khác: 4 2a 2b a b 4 4 2 2 4 8 a b 2a b 0 Bài 30: Cho a,b,c thỏa mãn: a2 b2 c2 1, CMR: abc 2 1 a b c ab bc ca 0 HD: Vì a2 b2 c2 1 a , b , c 1 1 x, y, z 1 Khi đó: a 1 b 1 c 1 0 abc ab bc ca a b c 1 0 (1) Mà a b c 1 2 a b c 2 2 a b c 1 0 a2 b2 c2 2 ab bc ca 2 a b c 1 0 ab bc ca a b c 1 0 (2) Cộng (1) và (2) theo vế ta được: abc 2 ab bc ca a b c 1 0 a2 b2 c2 c b a Bài 3: Chứng minh rằng: b2 c2 a 2 b a c Trang 28
  29. HD: Ta có: (x y)2 0 x2 y 2 2xy( x y) a2 b2 a b a b2 c2 b a 2 c 2 b Áp dụng: 2 . 2 ; 2. ; 2. b2 c2 b c c c2 a2 a b2 a2 c a b c  2VT 2( ) VT VP(dpcm) c a b Bài 4: Cho a, b, c, d, > 0 và abcd = 1. CMR: a2 b2 c2 d 2 a(b c) b(c d) d(c a) 10 HD: Ta có: a2 b2 2ab;c 2 d 2 2cd a2 b2 c2 d 2 2(ab cd) 1 1 1 1 1 1 1 Từ : abcd 1 ab ;ac ;ad ;bc ;bd ;cd ;ad cd bd bc ad ac ab bc 1 ab 1 1 Có: 2(ad bc) 2(ab ) 2.2. 4 do : ( )2 0  ab 2 ab 1 ab ab Vậy a2 b2 c2 d 2 4 Lại có: 1 1 1 ab ac bc bd cd ad (ad bc) (ac bd) (bc ad) (ab ) (ac ) (bc ) 6 ab ac bc 2 2 2 VT 10 Bài 5: Cho x, y, z 0 . CMR: (x y)(y z)(z x) 8xyz(1) HD: (1)  (x y)2 (y z)2 (z x)2 64x2 y2 z2 (x y)2 4xy;(y z)2 4yz;(z x)2 4xz Lại có: (x y)2 (y z)2 (z x)2 64x2 y2 z2 dpcm  x y z Bài 6: Cho a,b,c 0;abc 1 . CMR: (a 1)(b 1)(c 1) 8 HD: Trang 29
  30. (a 1)2 4a;(b 1)2 4b;(c 1)2 4c Ta có: (a 1)(b 1)(c 1)2 (8abc)2 (a 1)(b 1)(c 1) 8abc Bài 7: Cho a,b,c,d 0;abcd 1 . CMR: a2 b2 c2 d 2 ab cd 6 HD: Có: a2 b2 c2 d 2 ab cd 2ab 2cd ab cd 3(ab cd) 1 Lại có: 3(ab cd) 3(ab ) 3.2 6(dpcm) ab Bài 8: Cho x y z 1 . 1 1 a. CMR: x2 y2 z2 b. xy yz zx 3 3 HD: (x y)2 0x, y a. Ta có: x2 y 2 2xy; y2 z2 2yz; x2 z2 2xz 2x2 2y2 2z2 2(xy yz zx) 3x2 3y2 3z2 x2 y2 z2 2(xy yz xz) (x y z)2 (x y z)2 1 x2 y2 z2 3 3 1  x y z 3 b. Theo chứng minh trên: 2x2 2y2 2z2 2(xy yz zx) x2 y2 z2 xy yz zx (x y )2 3(xy yz zx) 1 3(xy yz zx) 1 1 xy yz zx  x y z . 3 3 Bài 9: Cho a,b,c 0 thỏa mãn: a b c 1 . Chứng minh rằng: a b 2c 4(1 a)(1 b)(1 c) HD: Ta có: (x y) 2 4xy  4xy (x y)2 Trang 30
  31. 0 a,b,c 1 1 c 0 4(1 a)(1 b) (1 a 1 b)2 (1 c)2 Áp dụng ta được: VP (1 c)2 (1 c) (1 c2 )(1 c) 1 c 1 a b Mà: 1 a b c VP a b 2c  2 c 0 Bài 10: Cho a,b,c 0 thỏa mãn: abc 1 . Chứng minh rằng: 1 1 1 1 a3 b3 1 b3 c3 1 c3 a3 1 HD: x3 y 3 xy(x y)  (x y)(x y)2 0x, y 0 Áp dụng ta có: 1 1 abc c a3 b3 1 ab(a b) abc ab(a b c) a3 b3 1 ab(a b c) ab(a b c) a b c 1 a 1 b Tương tự: ; b3 c3 1 a b c c3 a3 1 a b c Cộng vế các bất đẳng thức trên ta được điều phải chứng minh. 1 1 1 3 Bài 11: Cho a,b,c 1 . Chứng minh rằng: 1 a2 1 b2 1 c2 1 abc HD: Chứng minh: 1 1 2 x, y 0; xy 1 1 x2 1 y2 1 xy  (2 x2 y2 )(1 xy) 2(1 x2 )(1 y2 )  2xy xy(x2 y2 ) x2 y2 2x2 y2  (x y)2 (xy 1) 0(do : xy 1) 1 1 2 2 1 1 2 1 1 2 Áp dụng: ; ; 1 a2 1 b2 1 ab 1 abc 1 b2 1 c2 1 abc 1 c2 1 a2 1 abc Cộng vế các bất đẳng thức thức ta được điều phải chứng minh. x2 (y z) y2 (z x) z2 (x y) Bài 12: Cho x, y, z 0; x y z 1 . Tìm GTNN: A yz zx xy HD: Trang 31
  32. x2 y2 x2 z 2 y2 z2 A y x z x z y Ta có: a3 b3 (a b)aba,b 0 Thật vậy  (a b)(a 2 ab b2 ) (a b)ab 0  (a b)(a b)2 0a,b 0 Hoặc: a2 b2 ab aba,b  (a b)(a2 ab b2 ) ab(a b)  a3 b3 ab(a b) x2 y2 x3 y3 y2 z2 z2 x2 Áp dụng: x yx, y 0; y z; x z y x xy z y x z 1 Cộng vế ba bất đẳng thức ta được: A 2(x y z0 2 min A 2  x y z 3 xy yz xz Bài 13: Cho x, y, z 0; x2 y2 z2 1 . Tìm GTNN: A z x y HD: x2 y2 y2 z2 x2 z2 A2 2 . mà: a 2 b2 2ab z2 x2 y2 x2 y2 y2 z2 Áp dụng: 2y2 z2 x2 3 Tương tự ta có: A 2 3  x y z min A 3 3 Dạng 5: SẮP SẾP CÁC BIẾN VÀ BĐT TAM GIÁC: a b c Bài 1: Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của 1 tam giác, CMR: 2 b c c a a b HD : a a 2a Ta có : 1 b c b c a b c b b 2b c 2c Tương tự ta có: 1 , , cộng theo vế c a c a a b c a b a b c 2(a b c) VT 2 a b c a b c Bài 2: Cho a,b,c > 0, CMR: 1 2 a b b c c a HD : a a a c b b b a Ta có : và và a b c a b a b c a b c b c a b c c c c b a b c c a a b c Trang 32
  33. Cộng theo vế ta được : a b c a b b c c a M a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c 2 a b c M 1 M 2 a b c a b c a b c d Bài 3: Cho a,b,c,d > 0, CMR: 1 2 a b c b c d c d a d a b HD : a a a d b b a b Ta có : và a b c d a b c a b c d a b c d b c d a b c d c c c b d d d c và a b c d c d a a b c d a b c d d a b a b c d Cộng theo vế ta có : a b c d 2 a b c d M 1 M 2 a b c d a b c d a b b c c d d a Bài 4: Cho a,b,c,d > 0, CMR: 2 3 a b c b c d c d a d a b HD : a b a b a b d Ta có : a b c d a b c a b c d Chứng minh tương tự : b c b c b c a c d c d c d b , a b c d b c d a b c d a b c d c d a a b c d d a d a d a c Và a b c d d a b a b c d Cộng theo vế ta có : 2 a b c d 3 a b c d M a b c d a b c d a b c Bài 5: Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của 1 tam giác, CMR:1 2 b c c a a b HD : a a a a b b b b Ta có : và và a b c b c a b c a b c c a a b c c c c c a b c a b a b c a b c 2 a b c Cộng theo vế ta được : M a b c a b c a b c 3 Bài 6: CMR nếu a,b,c > 0 thì b c c a a b 2 HD : Trang 33
  34. b c x 1 1 1 Áp dung BĐT : x y z 9 , Đặt c a y x y z 2 a b c x y z a b z Khi đó ta có : 1 1 1 a b c a b c a b c 9 2 a b c 9 a b b c c a a b b c c a 2 => ĐPCM a b c Bài 7: Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của 1 tam giác, CMR: 3 b c a a c b a b c HD : b c a x x y 2c y z x z x y Đặt : a c b y y z 2a , Khi đó : 2A x y z a b c z z a 2b x y z x z y 6 A 3 y x x z y z Bài 8: Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của 1 tam giác, 1 1 1 1 1 1 CMR: a b c b c a c a b a b c HD : 1 1 4 2 Áp dụng BĐT Schawzr : a b c b c a 2b b Tương tự ta có : 1 1 2 1 1 2 và , Cộng theo vế ta được : ĐPCM b c a c a b c c a b a b c a Bài 9: CMR với a,b,c là độ dài ba cạnh của 1 tam giác và p là nửa chu vi của tam giác đó thì: 1 1 1 1 1 1 2 p a p b p c a b c HD : 1 1 4 4 Ta có : p a p b 2 p a b c 1 1 4 1 1 4 Tương tự ta có : và p b p c a p c p a b Cộng theo vế ta được điều phải chứng minh Bài 10: Cho tam giác ABC có độ dài ba cạnh là a,b,c chu vi là 2p, CMR: abc p a p b p c 8 HD : Trang 34
  35. Ta có : p a p b 2 p a p b c 2 p a p b Chứng minh tương tự ta có : a 2 p b p c và b 2 p a p c Nhân theo vế ta được : abc 8 p a p b p c Bài 11: CMR: Nếu a,b,c là chiều dài ba cạnh của tam giác thì: ab bc ca a2 b2 c2 2 ab bc ca HD : Ta chứng minh : a2 b2 c2 ab bc ca Chuyển vế ta được : a2 b2 c2 ab bc ca 0 a b 2 b c 2 c a 2 0 Ta chứng minh : a2 b2 c2 2 ab bc ca 2 a b c a ab ac 2 Ta có : b a c b bc ba , Cộng theo vế ta được : c a b 2 c ac bc a2 b2 c2 2 ab bc ca Bài 12: Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của 1 tam giác, CMR: abc a b c b c a c a b HD : Ta có : a b c b c a 2 a b c b c a 2b 2 a b c b c a Tương tự ta có : 2c 2 b c a c a b và 2a 2 a b c c a b Nhân theo vế ta được ĐPCM Bài 13: Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của 1 tam giác, CMR: a4 b4 c4 2 a2b2 b2c2 c2a2 HD : Ta có : a4 b4 c4 2a2b2 2b2c2 2c2a2 0 a4 b4 c4 2a2b2 2b2c2 2c2a2 4a2b2 0 2 a2 b2 c2 2ab 2 0 a2 b2 c2 2ab a2 b2 c2 2ab 0 a b c a b c a b c a b c 0 (Luôn đúng ) b c a a b c Bài 14: Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác, CMR: với a b c b c a a b c HD : Nhân 2 vế với a,b,c ta có : b2c c2a a2b a2c ab2 bc2 c b2 a2 a c2 b2 b a2 c2 0 c a b c b a 0 Đúng 2 Bài 15: CMR với a,b,c là độ dài ba cạnh của 1 tam giác thì: 4a2b2 a2 b2 c2 HD : Trang 35
  36. Xét hiệu : 4a2b2 a2 b2 c2 0 2ab a2 b2 c2 2ab a2 b2 c2 0 a b c a b c c a b c a b 0 đúng Bài 16: Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của 1 tam giác, CMR: a b c 2 b c a 2 c a b 2 a3 b3 c3 HD : Ta xét : a b c 2 a3 a b c 2 a2 a b c a b c a 0 Chứng minh tương tự ta có : Tổng của 3 số âm là 1 số âm 1 Bài 17: Cho a b c 1,CMR : a2 b2 c2 3 HD : 1 2 1 a x a2 x2 .x 3 3 9 1 2 2 2 1 b y b y .y Đặt 3 3 9 Cộng theo vế ta được : 1 2 2 2 1 c z c z .z 3 3 9 2 1 a2 b2 c2 x2 y2 z2 x y z (1) 3 3 Mà : a b c x y z 1 x y z 0 , Thay vào (1) 1 1 => a2 b2 c2 x2 y2 z2 3 3 Bài 18: Cho a,b,c là dộ dài ba cạnh của 1 tam giác, CMR: a2 b2 c2 2 ab bc ca HD : 2 a b c a ab ac 2 Ta có : b c a b ab bc , Cộng theo vế ta được ĐPCM c a b 2 c ac bc 1 1 1 Bài 19: Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của 1 tam giác, CMR: , , , cũng là độ a b b c c a dài 3 cạnh của 1 tam giác HD : Ta cần chứng minh : 1 1 1 1 2 2 1 a b b c a b c a b c a b c a c a c a c 1 1 1 1 1 1 Tương tự ta cũng có : và b c c a a b c a a b b c Bài 20: Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của 1 tam giác có chu vi bằng 2, hãy so sánh a,b,c với 1, CMR: a2 b2 c2 2abc 2 HD : Trang 36
  37. Giải sử : a b c a b c 2a a b c 2 a 1 b,c 1 Khi đó : 1 a 1 b 1 c 0 ab bc ca 1 abc lại có : a b c 2 a2 b2 c2 2 ab bc ca a2 b2 c2 2 1 abc 4 a2 b2 c2 2 2abc a2 b2 c2 2abc 2 Bài 21: Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của 1 tam giác, CMR: abc a b c b c a c a b HD : Ta có : a b c b c a 2 a b c b c a 2b 2 a b c b c a Tương tự ta có : 2c 2 b c a c a b và 2a 2 a b c c a b Nhân theo vế ta được ĐPCM Bài 22: Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của 1 tam giác, CMR : ab bc ca a2 b2 c2 2 ab bc ca HD : Ta chứng minh : a2 b2 c2 ab bc ca Chuyển vế ta được : a2 b2 c2 ab bc ca 0 a b 2 b c 2 c a 2 0 Ta chứng minh : a2 b2 c2 2 ab bc ca Ta có : 2 a b c a ab ac 2 2 2 2 b a c b bc ba , Cộng theo vế ta được : a b c 2 ab bc ca c a b 2 c ac bc Bài 23: Cho a,b,c là chiều dài ba cạnh của 1 tam giác có chu vi bằng 2,CMR: a2 b2 c2 2abc 2 HD : Giải sử : a b c a b c 2a a b c 2 a 1 b,c 1 Khi đó : 1 a 1 b 1 c 0 ab bc ca 1 abc Lại có : a b c 2 a2 b2 c2 2 ab bc ca a2 b2 c2 2 1 abc 4 a2 b2 c2 2 2abc a2 b2 c2 2abc 2 3a b 3b c 3c a Bài 24: Cho a,b,c là ba cạnh của 1 tam giác: CMR: 4 2a c 2b a 2c b HD : 3a b 3b c 3c a Ta có :VT 1 1 1 1 2a c 2b a 2c b a b c b c a c a b 1, Lại có : 2a c 2b a 2c b a b c 2 b c a 2 c a b 2 1 2a c a b c 2b a b c a 2c b c a b Trang 37
  38. a b c 2 1 2a c a b c 2b a b c a 2c b c a b Bài 25: Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của 1 tam giác: a2016 b2016 c2016 CMR : a2015 b2015 c2015 b c a c a b a b c HD : 2016 a 2015 2015 a 2015 a b a c Xét hiệu ta có : a a 1 a b c a b c a b c a Tương tự ta cũng có : 2015 b a b c 2015 c a c b b và c c a b a b c Khi đó a2015 b2015 b2015 c2015 a2015 c2015 VT a b b c a c b c a c a b c a b a b c b c a a b c Giả sử : a b c Ngoặc 2, 3 0 2015 2015 2015 2015 a2015 b2015 c a b a b a b Ta có ngoặc 1= 0 , b c a c a b b c a c a b ĐPCM 1 Bài 26: Cho a b c 1,CMR : a2 b2 c2 3 HD : 1 2 2 2 1 a x a x .x 3 3 9 1 2 2 2 1 Đặt b y b y .y Cộng theo vế ta được : 3 3 9 1 2 1 c z c2 z2 .z 3 3 9 2 1 a2 b2 c2 x2 y2 z2 x y z (1) 3 3 Mà : a b c x y z 1 x y z 0 , Thay vào (1)=> 1 1 a2 b2 c2 x2 y2 z2 3 3 a b c Bài 27: Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của 1 tam giác, CMR: 3 b c a a c b a b c HD : b c a x x y 2c y z x z x y Đặt : a c b y y z 2a , Khi đó : 2A x y z a b c z z a 2b Trang 38
  39. x y z x z y 6 A 3 y x x z y z Bài 28: Tìm tất cả các tam giác vuông có số đo các cạnh là các số nguyên dương và số đo diện tích bằng chu vi HD: Gọi các cạnh của tam giác vuông là x, y, z trong đó cạnh huyền là z ( x, y, z là các số nguyên dương) Ta có: xy 2 x y z (1) và x2 y2 z2 (2) 2 Từ (2) z2 x y 2xy , thay vào (1) ta có: 2 2 z2 x y 4 x y z z2 4z x y 4 x y 2 2 2 z2 4z 4 x y 4 x y 4 z 2 x y 2 z 2 x y 2 z x y 4 , thay vào (1) ta được : xy 2 x y x y 4 xy 4x 4y 8 x 4 y 4 8 1.8 2.4 Từ đó ta tìm được các giá trị của x, y, z là : 5;12;13 ; 12;5;13 ; 6;8;10 ; 8;6;10 Dạng 5: PHƯƠNG PHÁP PHẢN CHỨNG Muốn chứng minh bất đẳng thức A B đúng, ta giả sử A B là sai, tức là A < B là đúng. Sau đó chứng minh A < B là sai A B là đúng Bài 1: Cho a2 b2 2 . CMR: a b 2 HD: Giả sử a b 2 , bình phương hai vế ta được: (a b)2 4  a2 2ab b2 4(1) Mặt khác ta lại có: a 2 b2 2ab 2(a2 b2 ) (a b) 2 Mà 2(a2 b2 ) 4(do, gt) (a b) 2 4 Điều này mâu thuẫn với (1) nên a b 2 a2 Bài 2: Với mọi số thực a, b, c hãy chứng tỏ: b 2 c 2 b(a c) c(a b) . 4 HD: Giả sử: a2 a2 a2 b 2 c 2 b(a c) c(a b)  b2 c2 ab bc ac bc 0  b 2 c2 ab ac 2bc 0 4 4 4 Trang 39
  40. a  ( b c) 2 0(vo.ly) 2 a2 Vậy điều giả sử là sai b 2 c 2 b(a c) c(a b) 4 Bài 3: Cho: a 3 b3 2.CMR : a b 2 . HD: a b 2  (a b)3 8  a3 b3 3ab(a b) 8  3ab(a b) 6  ab(a b) 2  ab(a b) a3 b3  0 (a b)(a2 ab b2 ) ab(a b)  0 (a b)(a b)2 (voly) Bài 4: Cho các số thực a,b,c (0;2).CMR : có ít nhất 1 trong ba bất đẳng thức sau là sai a(2 b) 1;b(2 c) 1;c(2 a) 1 HD: Giả sử cả ba bất đẳng thức trên đều đúng, nhân chúng với nhau theo vế, ta được: a(2 b).b(2 c).c(2 a) 1  a(2 a).b(2 b).c(2 c) 1 Mặt khác, do a (0;2) nên a và 2 a 0 0 a.(2 a) 1 (a 1)2 1 Tương tự: 0 b.(2 b) 1;0 c(2 c) 1 Do đó: a(2 a).b(2 b).c(2 c) 1 ( mâu thuẫn ). Vậy ta có đpcm Bài 5: Cho các số thực a, b, c thỏa mãn: a2 b 2 ab bc ca 0.CMR : a2 b2 c2 HD: Giả sử a 2 b2 c2 , khi đó: a2 b2 2(ab bc ca) a2 b2 a2 b2 c2 2(ab bc ca)  2(a2 b2 ab bc ca) (a b c)2 Kết hợp với gỉa thiết: 0 2(a2 b2 ab bc ca) (a b c)2 (a b c)2 0 ( mâu thuẫn ) Bài 6: Cho các số thực a, b, c thỏa mãn: a b c 0;ab bc ca 0;abc 0.Chứng minh rằng cả ba số a, b, c đều dương HD: Trang 40
  41. Giả sử ba số a, b, c có 1 số không dương. Không mất tính tổng quát, ta giả sử: a 0 Mà lại có: abc 0 a 0 a 0 Lại có: a b c 0 b c 0 a(b c) 0 Từ giả thiết thứ hai: ab + bc + ca > 0, ta có: a(b c) bc 0 bc 0 Vì thế abc < 0 ( mâu thuẫn ). Đpcm Bài 7: Cho ba số a, b, c đôi một khác nhau. CMR: Tồn tại một trong các số 9ab, 9bc, 9ca nhỏ hơn (a b c)2 HD: Giả sử: 9ab (a b c)2;9bc (a b c)2;9ca (a b c)2 3(a b c)2 9(ab bc ca)  (a b c)2 3(ab bc ca) a 2 b2 c2 ab bc ca  (a b)2 (b c)2 (c a) 2 0(1) Theo đầu bài: a, b, c đôi một khác nhau nên: (a b)2 (b c)2 (c a) 2 0(2) Từ (1)(2) ta thấy mâu thuẫn nên đpcm. Bài 8:Cho hai số dương x, y thỏa mãn: x 3 y 3 x y.CMR : x 2 y2 1 HD: Do x, y dương x, y 0; x y Giả sử: x2 y2 1; gt x 3 y 3 x y x3 y3 (x 2 y 2 )(x y)  x3 y3 x3 x2 y yx2 y3  xy2 yx2 2y3 0  y(xy x2 2y2 ) 0(*)  y x(y x) 2y 2 0(vo.ly)  do x y y x 0 0 Do đó (*) không thể xảy ra x2 y2 1(dpcm) Bài 9: Cho cặp số (x; y) thỏa mãn các điều kiện sau: 1 x y 1(1) .CMR : x 2; y 2 1 x y xy 1(2) Trang 41
  42. HD: Ta đi chứng minh: x 2 Giả sử x 2 , khi đó 2 x 2 +) x 2,(1) y 1 x 1 xy 2 +) x 2,(1) y 1 x 1 xy 2 Do đó nếu x 2 xy 2 . Mà x y 1 x y xy 1 ( mâu thuẫn với 2) x 2 Ta đi chứng minh y 2 ( tương tự chứng minh x 2 ) Bài 10: Cho a,b,c 0;a b c abc.CMR : a2 b2 c2 abc HD: Nếu 1 trong ba số bằng 0 thì bất đẳng thức được chứng minh Ta xét: a, b, c > 0 Giả sử ngược lại: a2 b2 c2 abc abc a2 b2 c2 a2 a bc Tương tự ta có: b ac;c ab a b c ab bc ca(1) Lại có: a2 b2 c2 ab bc ca abc a2 b2 c2 ab bc ca abc ab bc ca(2) Từ (1)(2) abc a b c ( mâu thuẫn với giả thiết ) nên điều giả sử là sai Bài 11: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a b c abc . Chứng minh rằng có ít 2 3 6 2 3 6 2 3 6 nhất hai trong số các bất đẳng thức sau đúng: 6; 6; 6 a b c b c a c a b HD: 1 1 1 Ta có: a b c abc  1(do : abc 0) bc ca ab 1 1 1 Đặt x; y; z x, y, z 0; xy yz xz 1 a b c Ta phải chứng minh có ít nhất hai trong ba bất đẳng thức sau đúng: 2x 3y 6z 6;2y 3z 6x 6;2x 3z 6y 6 Giả sử có ít nhất 2 trong 3 bất đẳng thức sau là sai, chẳng hạn: Trang 42
  43. 2x 3y 6z 6;2y 3z 6x 6 Cộng vế hai bất đẳng thức: 8x 5y 9z 12 Từ giả thiết: 1 yz xy yz zx 1 x(y z) 1 yz x , y z 1 yz do.do :12 8. 5y 9z y z 12(y z) 8(1 yz) (5y 9z)(y z)  5y2 6yz 9z2 12y 12z 8 0  y2 2y(3z 2) 9z2 12z 4 4y2 8y 4 0  (y 3z 2)2 4(y 1)2 0(vo.ly) dpcm Bài 12: Cho bốn số a, b, c, d thỏa mãn điều kiện: ac 2(b d). Chứng minh rằng có ít nhất một trong các bđt sau là sai: a2 4b;c2 4d HD: Giả sử hai bđt trên đều đúng a2 c2 4(b d)(1) Theo giả thiết: ac 2(b d)  2ac 4(b d)(2) a 2 c2 2ac  (a c)2 0(voly) Trang 43