Các dạng Toán thường gặp trong kỳ thi THPT Quốc gia - Chủ đề: Mặt cầu. Khối cầu

Nội dung text: Các dạng Toán thường gặp trong kỳ thi THPT Quốc gia - Chủ đề: Mặt cầu. Khối cầu

1. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG CHUYÊN MẶT CẦU, KHỐI CẦU ĐỀ 16 MỤC LỤC PHẦN A. CÂU HỎI 1 Dạng 1. Diện tích xung quanh, bán kính 1 Dạng 2. Thể tích 2 Dạng 3. Khối cầu nội tiếp, ngoại tiếp khối đa diện 3 Dạng 3.1 Khối cầu nội tiếp, ngoại tiếp khối lăng trụ 3 Dạng 3.2 Khối cầu nội tiếp, ngoại tiếp khối chóp 4 Dạng 3.2.1 Khối chóp có cạnh bên vuông góc với đáy 4 Dạng 3.2.2 Khối chóp có mặt bên vuông góc với đáy 7 Dạng 3.2.3 Khối chóp đều 8 Dạng 3.2.4 Khối chóp khác 8 Dạng 4. Bài toán thực tế, cực trị 10 PHẦN B. ĐÁP ÁN THAM KHẢO 11 Dạng 1. Diện tích xung quanh, bán kính 11 Dạng 2. Thể tích 12 Dạng 3. Khối cầu nội tiếp, ngoại tiếp khối đa diện 13 Dạng 3.1 Khối cầu nội tiếp, ngoại tiếp khối lăng trụ 13 Dạng 3.2 Khối cầu nội tiếp, ngoại tiếp khối chóp 17 Dạng 3.2.1 Khối chóp có cạnh bên vuông góc với đáy 17 Dạng 3.2.2 Khối chóp có mặt bên vuông góc với đáy 29 Dạng 3.2.3 Khối chóp đều 36 Dạng 3.2.4 Khối chóp khác 39 Dạng 4. Bài toán thực tế, cực trị 49 1
2. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG PHẦN A. CÂU HỎI Dạng 1. Diện tích xung quanh, bán kính Câu 1. (Mã đề 101 BGD&ĐT NĂM 2018)Diện tích của mặt cầu bán kính R bằng: 4 A. R2 B. R2 C. 2 R2 D. 4 R2 3 Câu 2. (THPT THIỆU HÓA – THANH HÓA NĂM 2018-2019 LẦN 01)Cho mặt cầu có diện tích bằng 16 a2 . Khi đó, bán kính mặt cầu bằng a 2 A. 2 2a B. 2a C. 2a D. 2 Câu 3. (CHUYÊN ĐHSP HÀ NỘI NĂM 2018-2019 LẦN 01)Diện tích mặt cầu bán kính 2a là 4 a2 A. 4 a2 . B.16 a 2 . C.16a2 . D. . 3 Câu 4. (THPT NGHĨA HƯNG NĐ- GK2 - 2018 - 2019)Diện tích của một mặt cầu bằng 16 cm2 . Bán kính của mặt cầu đó là. A.8cm . B. 2cm . C. 4cm . D. 6cm . Câu 5. (SỞ GD&ĐT BÌNH PHƯỚC NĂM 2018-2019 LẦN 01)Tính diện tích mặt cầu S khi biết chu vi đường tròn lớn của nó bằng 4 A. S 32 B. S 16 C. S 64 D. S 8 Câu 6. Cho ba hình cầu tiếp xúc ngoài nhau từng đôi một và cùng tiếp xúc với một mặt phẳng. Các tiếp điểm của các hình cầu trên mặt phẳng lập thành tam giác có các cạnh bằng 4 , 2 và 3 . Tích bán kính của ba hình cầu trên là A.12 B.3 C. 6 D.9 Dạng 2. Thể tích 2
3. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG Câu 7. (Mã đề 102 BGD&ĐT NĂM 2018)Thể tích của khối cầu bán kính R bằng 3 4 A. R3 B. R3 C. 4 R3 D. 2 R3 4 3 Câu 8. (ĐỀ THAM KHẢO BGD&ĐT NĂM 2018-2019)Thể tích khối cầu bán kính a bằng : a3 4 a3 A. B. 2 a3 C. D. 4 a3 3 3 Câu 9. (THPT ĐÔNG SƠN THANH HÓA NĂM 2018-2019 LẦN 02)Thể tích khối cầu bán kính 3 cm bằng A.36 cm3 . B.108 cm3 . C.9 cm3 . D.54 cm3 . Câu 10. (THPT LÊ XOAY VĨNH PHÚC LẦN 1 NĂM 2018-2019)Cho mặt cầu S có diện tích 4 a 2 cm2 . Khi đó, thể tích khối cầu S là 4 a3 a3 64 a3 16 a3 A. cm3 . B. cm3 . C. cm3 . D. cm3 . 3 3 3 3 Câu 11. (CHUYEN PHAN BỘI CHÂU NGHỆ AN NĂM 2018-2019 LẦN 02)Cho mặt cầu có diện tích bằng 36 a2 . Thể tich khối cầu là A.18 a3 . B.12 a3 . C.36 a3 . D. 9 a3 . Câu 12. (CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN ĐIỆN BIÊN LẦN 3 NĂM 2018- 2019)Cắt mặt cầu S bằng một mặt phẳng cách tâm một khoảng bằng 4cm được thiết diện là một hình tròn có diện tích 9 cm2 . Tính thể tích khối cầu S . 250 2500 25 500 A. cm3 . B. cm3 . C. cm3 . D. cm3 . 3 3 3 3 Câu 13. Một khối đồ chơi gồm hai khối cầu H1 , H2 tiếp xúc với nhau, lần lượt có bán kính tương 1 ứng là r ,r thỏa mãn r r (tham khảo hình vẽ). 1 2 2 2 1 3
4. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG Biết rằng thể tích của toàn bộ khối đồ chơi bằng 180cm3 . Thể tích của khối cầu H1 bằng A.90 cm3 B.120 cm3 C.160 cm3 D.135 cm3 Câu 14. Cho một bán cầu đựng đầy nước với bán kính R 2 . Người ta bỏ vào đó một quả cầu có bán kính bằng 2R . Tính lượng nước còn lại trong bán cầu ban đầu. 112 16 A.V 24 3 .B.V . 3 3 8 C.V . D.V 24 3 40 . 3 Dạng 3. Khối cầu nội tiếp, ngoại tiếp khối đa diện Dạng 3.1 Khối cầu nội tiếp, ngoại tiếp khối lăng trụ Câu 15. (MÃ ĐỀ 123 BGD&DT NĂM 2017)Tìm bán kính R mặt cầu ngoại tiếp một hình lập phương có cạnh bằng 2a. A. R 3a B. R a C.100 D. R 2 3a Câu 16. (MÃ ĐỀ 110 BGD&ĐT NĂM 2017)Cho mặt cầu bán kính R ngoại tiếp một hình lập phương cạnh a . Mệnh đề nào dưới đây đúng? 3R 2 3R A. a B. a C. a 2R D. a 2 3R 3 3 Câu 17. (THPT CHUYÊN ĐẠI HỌC VINH NĂM 2018-2019 LẦN 01)Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A' B 'C ' D ' có AB a , AD AA' 2a . Diện tích của mặt cầu ngoại tiếp của hình hộp chữ nhật đã cho bằng 3 a2 9 a2 A.9 a2 B. C. D.3 a2 4 4 Câu 18. (CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG NAM ĐỊNH LẦN 1 NĂM 2018- 2019)Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật có ba kích thước 1, 2 , 3 là 4
5. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG 9 7 14 9 A.36 . B. . C. . D. . 2 3 8 Câu 19. (TRƯỜNG THPT HOÀNG HOA THÁM HƯNG YÊN NĂM 2018- 2019)Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình lập phương cạnh 3 cm là 27 3 9 3 27 3 A. cm3. B. cm3. C.9 3 cm3. D. cm3. 2 2 8 Câu 20. (CHUYÊN NGUYỄN TRÃI HẢI DƯƠNG NĂM 2018-2019 LẦN 01)Diện tích mặt cầu ngoại tiếp khối hộp chữ nhật có kích thước a , a 3 , 2a là A.8a2 . B. 4 a2 . C.16 a2 . D.8 a2 . Câu 21. (SỞ GD&ĐT BẮC NINH NĂM 2018-2019 LẦN 01)Cho hình lăng trụ đứng ABC.A B C có đáy ABC là tam giác vuông tại A , AB a 3 , BC 2a , đường thẳng AC tạo với mặt phẳng BCC B một góc 30 . Diện tích của mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ đã cho bằng: A.3 a2 . B. 6 a2 . C. 4 a2 . D. 24 a2 . Dạng 3.2 Khối cầu nội tiếp, ngoại tiếp khối chóp Dạng 3.2.1 Khối chóp có cạnh bên vuông góc với đáy Câu 22. (THPT QUỲNH LƯU 3 NGHỆ AN NĂM 2018-2019)Cho hình chóp S.ABCD có SA  ABCD , SA a và đáy ABCD nội tiếp đường tròn bán kính bằng a . Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD là A. a 3 . B. a 3 . C. a 5 . D. a 2 . 3 2 2 3 Câu 23. (GKI THPT LƯƠNG THẾ VINH HÀ NỘI NĂM 2018-2019)Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B và AB a . Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy.Đường thẳng SC tạo với mặt đáy một góc 600 . Tính diện tích mặt cầu đi qua 4 đỉnh của hình chóp S.ABC . 32a2 8a2 A.8a2 B. C. D. 4a2 3 3 Câu 24. (CHUYÊN NGUYỄN TẤT THÀNH YÊN BÁI LẦN 01 NĂM 2018- 2019)Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a . Cạnh bên SA a 6 và vuông góc với đáy ABCD . Tính theo a diện tích mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABCD . A.8 a2 . B. a2 2 . C. 2 a2 . D. 2a2 . 5
6. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG Câu 25. (THPT CHUYÊN THÁI NGUYÊN LẦN 01 NĂM 2018-2019)Trong không gian, cho hình chóp S.ABC có SA, AB, BC đôi một vuông góc với nhau và SA a, AB b, BC c. Mặt cầu đi qua S, A, B,C có bán kính bằng 2(a b c) 1 A. . B. a2 b2 c2 . C. 2 a2 b2 c2 . D. a2 b2 c2 . 3 2 Câu 26. (MĐ 105 BGD&ĐT NĂM 2017)Cho tứ diện ABCD có tam giác BCD vuông tại C , AB vuông góc với mặt phẳng BCD , AB 5a , BC 3a và CD 4a . Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD . 5a 2 5a 3 5a 2 5a 3 A. R B. R C. R D. R 3 3 2 2 Câu 27. (MĐ 104 BGD&DT NĂM 2017)Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với AB 3a, BC 4a , SA 12a và SA vuông góc với đáy. Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD . 13a 5a 17a A. R B. R 6a C. R D. R 2 2 2 Câu 28. (KTNL GV THUẬN THÀNH 2 BẮC NINH NĂM 2018-2019)Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông tại B , SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) . SA 5, AB 3, BC 4 . Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC 5 2 5 A. R . B. R 5. C. R . D. R 5 2 . 2 2 Câu 29. (KTNL GIA BÌNH NĂM 2018-2019)Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B , AB 8 , BC 6 . Biết SA 6 và SA  (ABC) . Tính thể tích khối cầu có tâm thuộc phần không gian bên trong của hình chóp và tiếp xúc với tất cả các mặt phẳng của hình chóp SABC . A.16 B. 625 C. 256 D. 25 9 81 81 9 Câu 30. (THPT AN LÃO HẢI PHÒNG NĂM 2018-2019 LẦN 02)Cho hình chóp S.ABC có đường cao SA , đáy ABC là tam giác vuông tại A . Biết SA 6a, AB 2a, AC 4a . Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC ? A. R 2a 7 . B. R a 14 . C. R 2a 3 . D. r 2a 5 . Câu 31. (THPT GIA LỘC HẢI DƯƠNG NĂM 2018-2019 LẦN 01)Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật có đường chéo bằng 2a , cạnh SA có độ dài bằng 2a và vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD ? 6
7. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG A. a 6 . B. a 6 . C. 2a 6 . D. a 6 . 2 4 3 12 Câu 32. (HSG BẮC NINH NĂM 2018-2019)Cho hình chóp S.ABC có B· AC 60 , BC a , SA  ABC . Gọi M , N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên SB và SC . Bán kính mặt cầu đi qua các điểm A, B,C, M , N bằng a 3 2a 3 A. B. C. a D. 2a 3 3 Câu 33. (PEN I - THẦY LÊ ANH TUẤN - ĐỀ 3 - NĂM 2019)Hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB a, SA  ABCD , SC tạo với mặt đáy một góc 450 . Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD có bán kính bằng a 2 . Thể tích của khối chóp S.ABCD bằng a3 3 2a3 3 A. 2a3 . B. 2a3 3 . C. . D. . 3 3 Câu 34. (CHUYÊN HẠ LONG NĂM 2018-2019 LẦN 02)Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh bằng a . SA  (ABCD), SA a 3. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp? a 5 A. . B. 2a. C. a 5. D. a 7. 2 Câu 35. (THPT GANG THÉP THÁI NGUYÊN NĂM 2018-2019)Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B , BC 2a , cạnh bên SA vuông góc với đáy. Gọi H , K lần lượt là hình chiếu của A lên SB và SC , khi đó thể tích của khối cầu ngoại tiếp hình chóp AHKCB là a3 2 a3 8 2 a3 A. 2 a3 . B. . C. . D. . 3 2 3 Câu 36. (THPT YÊN KHÁNH - NINH BÌNH - 2018 - 2019)Cho hình chóp SABC , đáy ABC là tam giác đều cạnh a; SA  ABC . Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên SB; SC . Diện tích mặt cầu đi qua 5 điểm A, B,C, K, H là 4 a2 4 a2 a2 A. . B.3 a2 . C. . D. . 9 3 3 Câu 37. (GKI CS2 LƯƠNG THẾ VINH HÀ NỘI NĂM 2018-2019 LẦN 01)Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B và AB a . Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Đường thẳng SC tạo với đáy một góc 600 . Tính diện tích mặt cầu đi qua bốn đỉnh của hình chóp SABC 7
8. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG 32a2 8a2 A.8a2 . B. . C. D. 4a2 . 3 3 Câu 38. (THPT YÊN PHONG SỐ 1 BẮC NINH NĂM 2018-2019 LẦN 01)Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng ABC , tam giác ABC vuông tại B . Biết SA 2a, AB a, BC a 3 . Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. 1 A. a . B. 2a 2 . C. a 2 . D. x 3 ; y . 2 Câu 39. (THPT YÊN PHONG SỐ 1 BẮC NINH NĂM 2018-2019 LẦN 01)Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có các cạnh bên SA, SB, SC vuông 3 góc với nhau từng đôi một. Biết thể tích của khối chóp bằng a . Tính bán 6 kính r của mặt cầu nội tiếp của hình chóp S.ABC . a a 2a A. r . B. r 2a . C. r . D. r . 3 3 3 3 2 3 3 3 2 3 Câu 40. (CỤM LIÊN TRƯỜNG HẢI PHÒNG NĂM 2018-2019 LẦN 01)Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a . Đường thẳng SA a 2 vuông góc với đáy ABCD . Gọi M là trung điểm SC , mặt phẳng đi qua hai điểm Avà M đồng thời song song với BD cắt SB, SD lần lượt tại E, F . Bán kính mặt cầu đi qua năm điểm S, A, E, M , F nhận giá trị nào sau đây? a a 2 A. a B. C. D. a 2 2 2 Câu 41. (ĐỀ GK2 VIỆT ĐỨC HÀ NỘI NĂM 2018-2019)Trong không gian cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B với AB BC 1, AD 2, cạnh bên SA 1 và SA vuông góc với đáy. Gọi E là trung điểm AD . Tính diện tích Smc của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.CDE . A. Smc 11 . B. Smc 5 . C. Smc 2 . D. Smc 3 . Câu 42. (SỞ GD&ĐT BẮC NINH NĂM 2018-2019 LẦN 01)Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A , SA vuông góc với mặt phẳng ABC và AB 2, AC 4, SA 5 . Mặt cầu đi qua các đỉnh của hình chóp S.ABC có bán kính là: 25 5 10 A. R . B. R . C. R 5. D. R . 2 2 3 8
9. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG Dạng 3.2.2 Khối chóp có mặt bên vuông góc với đáy Câu 43. (THPT-THANG-LONG-HA-NOI-NAM-2018-2019 LẦN 01)Cho tứ diện ABCD có các mặt ABC và BCD là các tam giác đều cạnh bằng 2; hai mặt phẳng ABD và ACD vuông góc với nhau. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD . 2 3 6 A. 2 2 . B. 2 . C. . D. . 3 3 Câu 44. (KSCL THPT NGUYỄN KHUYẾN LẦN 05 NĂM 2018-2019)Hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng 1, mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính thể tích của khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC . 5 15 5 15 4 3 5 A.V B.V C.V D.V 18 54 27 3 Câu 45. (THPT AN LÃO HẢI PHÒNG NĂM 2018-2019 LẦN 02)Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang cân, AB 2a , CD a , ·ABC 600 . Mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với ABCD . Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABC . a 3 2a 3 2a A. R B. R a C. R D. R 3 3 3 Câu 46. (THPT LƯƠNG THẾ VINH HÀ NỘI NĂM 2018-2019 LẦN 1)Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B , AB BC a, AD 2a . Tam giác SAD đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính diện tích của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC theo a . A. 6 a2 . B.10 a2 . C.3 a2 . D.5 a2 . Câu 47. (HỌC MÃI NĂM 2018-2019-LẦN 02)Cho hình chóp S.ABC có AB a, ·ACB 300 . Biết SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy ABC . Tính diện tích mặt cầu Smc ngoại tiếp hình chóp S.ABC . 7 a2 13 a2 7 a2 A. S . B. S . C. S . D. S 4 a2 . mc 3 mc 3 mc 12 mc Câu 48. (KTNL GV BẮC GIANG NĂM 2018-2019)Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính diện tích S của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD 2 2 2 4 a 7 a 2 S 3 a S S S 7 a A. . B. 3 . C. 3 . D. . 9
10. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG Câu 49. (THPT CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG NAM ĐỊNH NĂM 2018- 2019 LẦN 01)Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính thể tích V của khối cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho. 7 21 a3 7 21 a3 4 3 a3 4 3 a3 A.V . B.V . C.V . D.V . 54 18 81 27 Câu 50. (SỞ GD&ĐT PHÚ THỌ NĂM 2018-2019 LẦN 01)Cho tứ diện ABCD có AB BC AC BD 2a, AD a 3 ; hai mặt phẳng ACD và BCD vuông góc với nhau. Diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD bằng 2 2 2 2 A. 64 a B. 4 a C.16 a D. 64 a 27 27 9 9 Câu 51. (THPT NGHĨA HƯNG NĐ- GK2 - 2018 - 2019)Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. Tam giác SAB nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng ABCD . Biết rằng AB a, AD a 3 và ·ASB 60 . Tính diện tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD . 13 a2 13 a2 11 a2 11 a2 A. S . B. S . C. S . D. S . 2 3 2 3 Dạng 3.2.3 Khối chóp đều Câu 52. (THCS - THPT NGUYỄN KHUYẾN NĂM 2018-2019 LẦN 01)Nếu tứ diện đều có cạnh bằng a thì mặt cầu ngoại tiếp của tứ diện có bán kính bằng: A. a 2 . B. a 2 . C. a 6 . D. a 6 . 6 4 4 6 Câu 53. (ĐỀ THAM KHẢO BGD&ĐT NĂM 2017)Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 3 2a, cạnh bên bằng 5a. Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD. 25a A. R 3a . B. R 2a. C. R . D. R 2a . 8 Câu 54. (ĐỀ 15 LOVE BOOK NĂM 2018-2019)Hình chóp đều S.ABCD tất cả các cạnh bằng a . Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là A. 4 a2 . B. a2 . C. 2 a2 D. 2 a2 . Câu 55. (THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC NĂM 2018-2019 LẦN 02)Cho hình chóp tứ giác đều có góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng 60° . Biết rằng mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đó có bán kính R = a 3. Tính độ dài cạnh đáy của hình chóp tứ giác đều nói trên. 10
11. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG 12 3 9 A. a B. 2a C. a D. a 5 2 4 Câu 56. (GKI CS2 LƯƠNG THẾ VINH HÀ NỘI NĂM 2018-2019 LẦN 01)Cho hình chóp đều S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh AB a , góc giữa mặt bên với mặt phẳng đáy bằng 600 . Tính bán kính mặt cầu đi qua bốn đỉnh của hình chóp S.ABC A. a 3 . B. 7a . C. 7a . D. a . 2 12 16 2 Câu 57. (THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC LẦN 02 NĂM 2018-2019)Cho hình chóp tứ giác đều có góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng 60 . Biết rằng mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đó có bán kính R a 3. Tính độ dài cạnh đáy của hình chóp tứ giác đều nói trên. 12 3 9 A. a . B. 2a . C. a . D. a . 5 2 4 Dạng 3.2.4 Khối chóp khác Câu 58. (CHUYÊN QUỐC HỌC HUẾ NĂM 2018-2019 LẦN 1)Cho mặt cầu · tâm O và tam giác ABC có ba đỉnh nằm trên mặt cầu với góc BAC 300 và BC a . Gọi S là điểm nằm trên mặt cầu, không thuộc mặt phẳng ABC và thỏa mãn SA SB SC , góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng ABC bằng 600 . Tính thể tích V của khối cầu tâm O theo a . 3 32 3 4 3 15 3 A.V a3 B.V a3 C.V a3 D.V a3 9 27 27 27 Câu 59. (CHUYÊN BẮC GIANG NĂM 2018-2019 LẦN 02)Cho hình chóp a 3 S.ABC có SA , các cạnh còn lại cùng bằng a. Bán kính R của mặt cầu 2 ngoại tiếp hình chóp S.ABC là: a 13 a a 13 a 13 A. R B. R C. R D. R 2 3 3 6 Câu 60. Cho hình chóp S.ABC có SA SB SC a , ·ASB ·ASC 90 , B· SC 60 . Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. 2 2 A. 7 a B. 7 a 18 12 2 2 C. 7 a D. 7 a 3 6 Câu 61. (SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO VĨNH PHÚC NĂM 2018 - 2019 LẦN 01)Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a . Hình 11
12. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng ABCD là điểm H thuộc đoạn AC thoả mãn AC 4AH và SH a . Tính bán kính mặt cầu nội tiếp hình chóp S.ABCD (mặt cầu tiếp xúc với tất cả các mặt bên của hình chóp) A. 4a . B. 4a . C. 4a . D. 4a . 9 13 5 17 5 13 9 17 Câu 62. (CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN ĐIỆN BIÊN NĂM 2018-2019 LẦN 02)Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB 3, AD 4 và các cạnh bên của hình chóp tạo với mặt đáy một góc 60. Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho. 250 3 125 3 50 3 500 3 A.V . B.V . C.V . D.V . 3 6 3 27 Câu 63. (CHUYEN PHAN BỘI CHÂU NGHỆ AN NĂM 2018-2019 LẦN 02)Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh a , tam giác SAB đều và tam giác SCD vuông cân tại S . Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. 7 a2 8 a2 5 a2 A. . B. . C. . D. a2 3 3 3 Câu 64. (CHUYÊN HƯNG YÊN NĂM 2018-2019 LẦN 03)Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình chữ nhật tâm I cạnh AB 3a , BC 4a . Hình chiếu của S trên mặt phẳng ABCD là trung điểm của ID. Biết rằng SB tạo với mặt phẳng ABCD một góc 45. Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD . 25 125 125 A. a2 . B. a2 . C. a2 . D. 4 a2 . 2 4 2 Câu 65. (CHUYÊN HẠ LONG NĂM 2018-2019 LẦN 02)Cho tứ diện ABCD có AB CD 3, AD BC 5, AC BD 6 . Tính thê tích khối cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD . 35 35 A. 35 ( đvtt).B. 35 ( đvtt).C. ( đvtt).D. 35 35 ( đvtt). 6 Câu 66. (THPT YÊN PHONG SỐ 1 BẮC NINH NĂM 2018-2019 LẦN 01)Cho đường tròn tâm O có đường kính AB 2a nằm trong mặt phẳng P . Gọi I là điểm đối xứng với O qua A . Lấy điểm S sao cho SI vuông góc với mặt phẳng P và SI 2a . Tính bán kính R của mặt cầu qua đường tròn tâm O và điểm S . a 65 a 65 7a A. R . B. R . C. R a 5. D. R . 4 16 4 12
13. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG Câu 67. (LIÊN TRƯỜNG THPT TP VINH NGHỆ AN NĂM 2018-2019)Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B , AB BC 3a 2 , · · 0 SAB SCB 90 . Biết khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) bằng 2a 3 . Tính thể tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC . A. 72 18 a3 . B.18 18 a3 . C. 6 18 a3 . D. 24 18 a3 . Câu 68. (CHUYÊN ĐHSP HÀ NỘI NĂM 2018-2019 LẦN 01)Cho hình chóp O.ABC có OA OB OC a , ·AOB 60 , B· OC 90 , ·AOC 120 . Gọi S là trung điểm cạnh OB . Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC là A. a B. a 7 C. a 7 D. a 4 4 2 2 Câu 69. (ĐỀ HỌC SINH GIỎI TỈNH BẮC NINH NĂM 2018-2019)Cho tứ diện ABCD có AB 6a , CD 8a và các cạnh còn lại bằng a 74 . Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD . 100 A.S 25 a 2 . B.S 100 a 2 . C.S a 2 . D.S 96 a 2 . 3 Dạng 4. Bài toán thực tế, cực trị Câu 70. (HSG BẮC NINH NĂM 2018-2019)Một cơ sở sản suất đồ gia dụng được đặt hàng làm các chiếc hộp kín hình trụ bằng nhôm đề đựng rượu có thể tích là V 28 a3 a 0 . Để tiết kiệm sản suất và mang lại lợi nhuận cao nhất thì cơ sở sẽ sản suất những chiếc hộp hình trụ có bán kính là R sao cho diện tích nhôm cần dùng là ít nhất. Tìm R A. R a 3 7 B. R 2a 3 7 C. R 2a 3 14 D. R a 3 14 Câu 71. (MĐ 104 BGD&DT NĂM 2017)Trong tất cả các hình chóp tứ giác đều nội tiếp mặt cầu có bán kính bằng 9, tính thể tích V của khối chóp có thể tích lớn nhất. A.V 576 2 B.V 144 6 C.V 144 D.V 576 Câu 72. (SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO VĨNH PHÚC NĂM 2018 - 2019 LẦN 01)Trong tất cả các hình chóp tứ giác đều nội tiếp mặt cầu có bán kính bằng 9 , khối chóp có thể tích lớn nhất bằng bao nhiêu ? A.576 2 . B.144. C.576 . D.144 6 . Câu 73. (THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC NĂM 2018-2019 LẦN 3)Trong không gian Oxyz , lấy điểm C trên tia Oz sao cho OC 1. Trên hai tia Ox,Oy 13
14. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG lần lượt lấy hai điểm A, B thay đổi sao cho OA OB OC . Tìm giá trị nhỏ nhất của bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện O.ABC ? 6 6 6 A. B. 6 C. D. 4 3 2 Câu 74. (KTNL GV THPT LÝ THÁI TỔ NĂM 2018-2019)Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, các cạnh bên của hình chóp bằng 6 cm , AB 4 cm . Khi thể tích khối chóp S.ABCD đạt giá trị lớn nhất, tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp S.ABCD . A.12 cm2 . B. 4 cm2 . C.9 cm2 . D.36 cm2 . PHẦN B. ĐÁP ÁN THAM KHẢO Dạng 1. Diện tích xung quanh, bán kính Câu 1. Chọn D Câu 2. Chọn C Ta có: S 4 R2 16 a2 R 2a Câu 3. Ta có: S 4 R2 4 2a 2 16 a2 . Câu 4. Ta có: 4 R2 16 R2 4 R 2(cm). Câu 5. Chọn B Nhận xét :Đường tròn lớn của mặt cầu S là đường tròn đi qua tâm của mặt cầu S nên bán kính của đường tròn lớn cũng là bán kính của mặt cầu S . Chu vi đường tròn lớn của mặt cầu S bằng 4 2 R 4 R 2 . Vậy diện tích mặt cầu S là S 4 R2 16 . Câu 6. Chọn B O1 O2 R 1 R2 A B 14
15. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG Nhận xét: Đường tròn O1; R1 , O2 ; R2 tiếp xúc ngoài, cùng tiếp xúc với một đường thẳng tại hai điểm A và B . Khi đó ta có: AB 2 R1R2 . Gọi tâm các mặt cầu lần lượt là O1, O2 , O3 có bán kính lần lượt là R1, R2 , R3 . Vì các tiếp điểm của các mặt cầu với mặt phẳng tiếp xúc lập thành tam giác có các cạnh bằng 4, 2 và 3 nên ta có hệ phương trình: 2 R1R2 4 2 R2 R3 2 8R1R2 R3 2.4.3 hay R1R2 R3 3. 2 R R 3 3 1 Dạng 2. Thể tích Câu 7. Chọn B Câu 8. Chọn C 4 4 Câu 9. Thể tích khối cầu là: V . .R3 . .33 36 cm3 . 3 3 Câu 10. Gọi mặt cầu có bán kính R . Theo đề ta có 4 R2 4 a2 . Vậy R a(cm) . 4 R3 4 a3 Khi đó, thể tích khối cầu S là: V cm3 . 3 3 Câu 11. Gọi R là bán kính mặt cầu. Mặt cầu có diện tích bằng 36 a2 nên 4 R2 36 a2 R2 9a2 R 3a 4 4 Thể tích khối cầu là V R3 (3a)3 36 a3 3 3 Câu 12. Gọi I và R lần lượt là tâm và bán kính mặt cầu S . Gọi P là mặt phẳng cách tâm một khoảng bằng 4cm . Ta có h d I, P 4 cm . P cắt mặt cầu S theo được thiết diện là một hình tròn có bán kính r . Theo giả thiết ta có r 2 9 r 3 cm . 4 500 Ta có R r 2 h2 5 cm . Suy ra thể tích khối cầu S là V R3 cm3 . 3 3 Câu 13. Chọn C 4  Thể tích khối H là V r3 1 1 3 1 4  Thể tích khối H là V r3 2 2 3 2 3 4 3 4 3 4 3 4 1 9 4 3 9  Tổng thể tích 2 khối là V V1 V2 r1 r2 r1 r1 r1 V1 3 3 3 3 2 8 3 8 15
16. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG 9  Suy ra V 180 V 160 8 1 1 I R'=2R R h Câu 14. Khi đặt khối cầu có bán kính R 2R vào khối cầu có bán kính R ta được phần chung của hai khối cầu. phần chung đó gọi là chỏm cầu. Gọi h là 2 h chiều cao chỏm cầu. Thể tích khối chỏm cầu là Vc h R . 3 với h R R 2 R2 4 42 22 4 2 3 . 2 4 2 3 2 V 4 2 3 4 64 36 3 c . 3 3 1 4 16 Thể tích một nửa khối cầu V . R3 . 2 3 3 Thể tích khối nước còn lại trong nửa khối cầu: 16 2 112 Vn V Vc 64 36 3 24 3 . 3 3 3 Dạng 3. Khối cầu nội tiếp, ngoại tiếp khối đa diện Dạng 3.1 Khối cầu nội tiếp, ngoại tiếp khối lăng trụ Câu 15. Chọn A 16
17. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG AC Đường chéo của hình lập phương: AC 2 3a . Bán kính R a 3 . 2 Câu 16. Chọn B Gọi O AC  A C O là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương. 1 a 3 2R 2 3R Bán kính mặt cầu: R OA AC a 2 2 3 3 Câu 17. Chọn A B' C' A' D' 2a B C a A 2a D Bán kính khối cầu là một nửa đường chéo của hình hộp chữ nhật: 1 1 3 R AB2 AD2 BB '2 a2 (2a)2 (2a)2 a . 2 2 2 Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật là: 17
18. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG 2 2 3a 2 S 4 R 4 9 a . 2 Câu 18. Gọi R là bán kính khối cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật. 1 1 14 Ta có R BD 12 22 32 . 2 2 2 3 4 3 4 14 7 14 Vậy thể tích khối cầu là: V R . 3 3 2 3 B A C D O F E Câu 19. G H Gọi R là bán kính khối cầu ngoại tiếp hình lập phương ABCD.EFGH . 1 3 3 Ta có CE AB. 3 3 3 cm. Suy ra R CE cm. 2 2 3 4 3 4 3 3 27 3 3 Thể tích khối cầu là: V R cm . 3 3 2 2 18
19. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG Câu 20. Xét hình hộp chữ nhật là ABCD.A B C D có AB a , AD a 3 , AA 2a . Gọi I là trung điểm A C , suy ra I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật ABCD.A B C D . Ta có bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình hộp ABCD.A B C D là: 1 1 R AC AB2 AD2 AA 2 a 2 . 2 2 Vậy diện tích mặt cầu là: S 4 R2 8 a2 . Câu 21. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên BC AH  BCC B . ·AC , BCC B H· C A 30 . ABC là tam giác vuông tại A , AB a 3 , BC 2a suy ra AC a . AB.AC a 3 Ta có: AH AC 2AH a 3 AA AC 2 AC 2 a 2 . BC 2 Gọi I , I lần lượt là trung điểm BC , B C . Dễ thấy I , I lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC , A B C . Gọi O là trung điểm của II suy ra O là tâm mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ đã cho. 19
20. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG 2 2 BC BB a 6 Bán kính mặt cầu là : R OB . 2 2 2 Diện tích của mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ đã cho bằng: S 4 R2 6 a2 . Dạng 3.2 Khối cầu nội tiếp, ngoại tiếp khối chóp Dạng 3.2.1 Khối chóp có cạnh bên vuông góc với đáy Câu 22. Gọi điểm O là tâm đường tròn ngoại tiếp đáy. I là trung điểm SA . J là tâm mặt cầu ngoại tiếp. 2 2 2 2 a a 5 Dễ thấy AIJO là hình chữ nhật. Do đó JA AO AI a . 2 2 Câu 23. Chọn A Theo giả thiết: S· CA 600 SC 2a 2 . SC Bán kính mặt cầu R a 2 . 2 Diện tích S 4 R2 8a2 . Câu 24. Gọi O AC  BD , đường chéo AC a 2 . 20
21. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG Gọi I là trung điểm của SC . Suy ra OI là đường trung bình của tam giác SAC . Suy ra OI // SA OI  ABCD . Hay OI là trục đường tròn ngoại tiếp đáy ABCD . Mà IS IC IA IB IC ID IS . Suy ra I là tâm mặt cầu ngoại tiếp chóp S.ABCD . Bán kính mặt cầu ngoại tiếp chóp S.ABCD : SC SA2 AC 2 R SI a 2 . 2 2 Diện tích mặt cầu: S 4 R2 8 a2 . Câu 25. SA  AB Ta có: SA  ABC SA  AC. SA  BC BC  SA Ta có: BC  SAB BC  SB. BC  AB Gọi O là trung điểm SC , ta có tam giác SAC, SBC vuông lần lượt tại A và B nên: SC OA OB OC OS . Do đó mặt cầu đi qua S, A, B,C có tâm O và bán kính 2 SC R . 2 1 Ta có: SC 2 SB2 BC 2 SA2 AB2 BC 2 a2 b2 c2. suy ra R a2 b2 c2 . 2 Câu 26. Chọn C 21
22. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG Tam giác BCD vuông tại C nên áp dụng định lí Pitago, ta được BD 5a . Tam giác ABD vuông tại B nên áp dụng định lí Pitago, ta được AD 5a 2. Vì B và C cùng nhìn AD dưới một góc vuông nên tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD là trung điểm I của AD . Bán kính mặt cầu này là: AD 5a 2 R . 2 2 Câu 27. Chọn A S 12a I A D 3a O B 4a C Ta có: AC AB2 BC 2 5a Vì SA  AC nên SC SA2 AC 2 13a BC  AB Nhận thấy: BC  SB . Tương tự:CD  SD BC  SA Do các điểm A, B, D đều nhìn đoạn thẳng SC dưới một góc vuông nên gọi I là trung điểm của đoạn thẳng SC thì I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD . SC 13a Vậy R . 2 2 Câu 28. Chọn A 22
23. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG S d M I C A K B Gọi K là trung điểm AC . Gọi M là trung điểm SA . Vì tam giác ABC vuông tại B nên K là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . Từ K dựng đường thẳng d vuông góc với mp ABC . Trong mp SAC dựng MI là đường trung trực đoạn SA cắt d tại I . Khi đó điểm I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC và bán kính mặt cầu là R AI . 5 SA 5 Ta có AC AB2 BC 2 5 AK . Có IK MA . 2 2 2 25 25 5 2 Vậy R AI AK 2 IK 2 .Gọi I là trung điểm của SC. Tam giác SAC 4 4 2 vuông tại A nên IS IC IA (1) Ta có BC  AB; BC  SA BC  SAB BC  SB SBC vuông tạiB. Nên IS IC IB (2) Từ (1) và (2) ta có I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC bán kính 1 R SC. 2 AC AB2 BC 2 5 ; SC AS 2 AC 2 5 2 5 2 Vậy R . 2 Câu 29. Chọn C 23
24. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG Gọi r là bán kính khối cầu nội tiếp chóp S.ABC , ta có 1 3VS.ABC VS.ABC Stp .r r 3 Stp 1 V SA.S 48 S.ABC 3 ABC Ta dễ dàng có SAB , SAC vuông tại S Tính được AC AB2 BC 2 10 3VS.ABC 4 Stp SSAB SSAC SABC 108 (đvdt) r Stp 3 4 256 Vậy thể tích khối cầu nội tiếp chóp S.ABC là V .r3 . 3 81 Câu 30. Chọn B Ta có BC AB2 AC 2 4a2 16a2 2a 5 Rd a 5 SA2 R R2 5a2 9a2 a 14 . d 4 S I A B Câu 31. D C *) Ta có SAC vuông tại A 1 . ) CM SDC vuông tạiD.Ta có: AD  CD ( vì ABCD là hình chữ nhật). 24
25. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG SA  CD (vì cạnh SA vuông góc với mặt phẳng đáy). Ta suy ra: CD  SAD CD  SD SDC vuông tại D 2 . *) Chứng minh tương tự, ta được SBC vuông tại B 3 . Từ 1 , 2 , 3 : Ta suy ra: mặt cầu S ngoại tiếp hình chóp S.ABCD có đường kính SC . Ta có: SC SA2 AC 2 4a2 2a2 a 6 . Vậy mặt cầu S ngoại tiếp hình chóp S.ABCD có bán kính bằng SC a 6 R . 2 2 S N M H A C K I Câu 32. B  Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC IA IB IC 1 .  Kẻ IH là trung trực của AC . IH  AC  IH  SAC IH  ANC . IH  SA  Mà ANC vuông tại N có AC là cạnh huyền và H là trung điểm AC IH là trục của ANC IA IC IN 2 .  Tương tự kẻ IK là trung trực của AB IK là trục của AMB IA IB IM 3 . 1 , 2 , 3 IA IB IC IM IN I là tâm đường tròn ngoại tiếp chóp A.BCMN . BC a a 3 Định lí hàm sin trong ABC : IA . 2sin B· AC 2sin 60 3 25
26. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG Câu 33. Chọn D Gọi O là tâm của hình chữ nhật ABCD ; I là trung điểm đoạn SC . BC  SA BC  SAB BC  SB . BC  AB CD  SA CD  SAD CD  SD CD  AD Các điểm A, B, D cùng nhìn SC dưới một góc vuông nên I chính là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD . Mặt khác AC là hình chiếu của SC trên mặt phẳng đáy nên góc giữa SC và mặt phẳng đáy là góc ACS bằng 450 . Do đó tam giác SAC vuông cân tại A SA AC 2a . 1 1 2a3 3 V SA.S .2a.a.a 3 . S.ABCD 3 ABCD 3 3 Câu 34. Gọi O AC  BD. Dựng ( d ) đi qua O và vuông góc với mp ABCD . Dựng là đường trung trực của cạnh SA cắt SA tại E . I d  I là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD => Bán kính là: IA. 26
27. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG a 2 a 3 a 2 a 3 a 5 Ta có AO , AE . AI AO2 AE 2 ( )2 ( )2 . 2 2 2 2 2 Câu 35. Gọi M là trung điểm BC . 1 ABC vuông cân tại B MB MA MC AC . (1) 2 1 KAC vuông tại K MK AC . (2) 2 BC  AB   BC  SAB BC  AH BC  SA   AH  SBC AH  HC . AH  SB  1 AHC vuông tại H MH AC . (3) 2 Từ 1 3 M là tâm khối cầu ngoại tiếp hình chóp AHKCB . 1 1 Bán kính khối cầu cần tìm: R AC AB2 BC 2 a 2 . 2 2 4 8 2 a3 Thể tích khối cầu: V R3 . 3 3 27
28. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG S K H N A C M I B Câu 36. Gọi I và R lần lượt là tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . a 3 Vì ABC là tam giác đều cạnh nên ta có: IA IB IC R . 3 Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AB và AC . Ta có: IM  AB và IM  SA ( do SA  ABC ) suy ra IM  SAB ; Mà AH  HB nên M là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AHB ; Do đó IM là trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác AHB IA IH IB 1 Lại có: IN  AC và IN  SA ( do SA  ABC ) suy ra IN  SAC ; Mà AK  KC nên N là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AKC ; Do đó IN là trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác AKC IA IK IC 2 Từ 1 và 2 suy ra I là tâm mặt cầu đi qua 5 điểm A, B,C, K, H và bán a 3 4 a2 kính mặt cầu đó là R S 4 R2 . 3 mc 3 Câu 37. Chọn B S d M I C A K B 28
29. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG Gọi K, M lần lượt là trung điểm của AC, AS Tam giác ABC là tam giác vuông cân tại B nên K là tâm đường tròn ngoại tiếp Từ K dựng đường thẳng d vuông góc mặt phẳng (ABC). Trong (SAC), dựng đường trung trực của SA cắt d tại I Khi đó I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SABC và bán kính mặt cầu là R IA AC a 2 Ta có AC AB2 BC 2 a 2 AK 2 2 SA a 6 SA AC.tan S· CA a 6 MA 2 2 R IA MA2 AK 2 a 2 . Diện tích mặt cầu là S 4 R2 8a2 Câu 38. Chọn C S O B A C BC  AB Ta có  BC  SAB BC  SB , lại có CA  SA. BC  SA  Do đó 2 điểm A, B nhìn đoạn SC dưới một góc vuông. Suy ra mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S. ABC là mặt cầu đường kính SC. Xét tam giac ABC có AC BC 2 BA2 2a suy ra SC SA2 AC 2 2a 2 . Vậy R a 2 . Câu 39. Chọn A 29
30. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG 3V Cách 1. Áp dụng công thức: r (*) và tam giác đều cạnh x có diện tích Stp x2 3 S . 4 Từ giả thiết S.ABC đều có SA SB SC . Lại có SA, SB, SC đôi một vuông a3 góc và thể tích khối chóp S.ABC bằng nên ta có SA SB SC a . 6 Suy ra AB BC CA a 2 và tam giác ABC đều cạnh có độ dài a 2 . Do đó diện tích toàn phần của khối chóp S.ABC là 2 2 a2 a 2 3 a 3 3 S S S S S 3 . tp SAB SBC SCA ABC 2 4 2 Thay vào (*) ta được: a3 3. 3V a r 6 . S 2 tp a 3 3 3 3 2 Cách 2. Xác định tâm và tính bán kính Từ giả thiết suy ra SA SB SC a . Kẻ SH  (ABC) , ta có H là trực tâm của tam giác ABC. Gọi M AH  BC , dựng tia phân giác trong của góc A· MB cắt SH tại I, kẻ IE  SBC tại E. Dễ thấy E SM . Khi đó ta có IH IE hay d(I, ABC) d(I, SBC) do S.ABC la chóp tam giác đều nên hoàn toàn có 30
31. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG d(I, ABC) d(I, SAB) d(I, SAC) tức là I là tâm mặt cầu nội tiếp khối chóp S.ABC. Ta có r IH IE . BC a 2 a Xét SAM vuông tại S, đường cao SH , tính được SM . 2 2 2 a2 a 6 SM 2 a2 a 6 a AM SA2 SM 2 a2 ; MH : . 2 2 AM 2 2 6 1 1 1 1 3 a SH . SH 2 SA2 SB2 SC 2 a2 3 Áp dụng tính chất đường phân giác ta có IH MH IH MH IH MH IS MS IH IS MH MS SH MH MS MH.SH a a a a a IH . : ( ) MH MS 6 3 6 2 3 3 a Vậy r IH . 3 3 Câu 40. Chọn C PBD Ta có BD / /EF. Gọi I là giao điểm của AM và SO SBD  FE Dễ thấy I là trong tâm tam giác SAC 31
32. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG SF SI 2 2 2 2 SF SD SF.SD SD2 SA2 AD2 2a2 SF.SD SA2 SD SO 3 3 3 3 Xét tam giác vuông SAD và SF.SD SA2 AF là đường cao của tam giác AF  SF , chứng minh tương tự ta có AE  SB Tam giác SA AC a 2 nên AM vừa là trung tuyến vừa là đường cao của tam giác SAC AM  SM AF  SF Ta có AE  SE nên mặt cầu đi qua năm điểm S, A, E,M, F có tâm là trung AM  SM điểm của SA a 2 SA và bán kính bằng 2 2 O S F G E A D H I M Câu 41. B C Gọi H, G, F lần lượt là trung điểm AB, SC, SE ; M AC  BD . Dễ thấy AFGH là hình bình hành. AF  SE(SA AE) Ta có GF  SE(GF / / AB / /CE, AB  SE) Khi đó, (AFGH ) là mặt phẳng trung trực của SE . Theo giả thiết: tứ giác ABCE là hình vuông CE  AD CED vuông tại E. Gọi I là trung điểm của CD , ta có I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CDE . Đường thẳng d đi qua I và song song SA là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác CDE . 32
33. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG GH cắt d tại O , ta có O là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.CDE , bán kính: R OC O d OE OC OD Vì OS OC OD OE O GH  (AFGH ) OS=OE 1 2 GM OI 3 IC CD , OIH đồng dạng GMH nên OI . 2 2 MH IH 2 11 Áp dụng định lý Pitago vào tam giác OIC , suy ra R OC . 2 2 Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.CDE là Smc 4 R 11 . Câu 42. Cách 1. Gọi M , H lần lượt là trung điểm BC,SA . Ta có tam giác ABC vuông tại A suy ra M là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . Qua M kẻ đường thẳng d sao cho d  ABC d là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . Trong mặt phẳng SAM kẻ đường trung trực của đoạn SA , cắt d tại I IA IB IC IA IB IC IS I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp IA IS S.ABC. HA  ABC HA  AM ● . IM  ABC HA// IM HI  SA ● AM  SA HI // AM . HI, SA, AM  SAM 33
34. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG Suy ra tứ giác HAMI là hình chữ nhật. 1 1 1 5 Ta có AM BC 22 42 5 , IM SA . 2 2 2 2 Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC là: 5 5 R AI AM 2 IM 2 5 . 4 2 Cách 2.Sử dụng kết quả: Nếu SABC là một tứ diện vuông đỉnh A thì bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABC được tính bởi công thức: 1 R AS 2 AB2 AC 2 2 1 2 5 Áp dụng công thức trên, ta có R 5 22 42 . 2 2 34