Các bài toán liên quan đến khảo sát hàm số - Gv: Trịnh Công Sự

Nội dung text: Các bài toán liên quan đến khảo sát hàm số - Gv: Trịnh Công Sự

1. GIẢI TÍCH 12 Trang1 Gv : Trịnh Công Sự CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ I. HÀM BẬC BA. 3 2 Bài 1: Cho hàm số y x 3 x 2. a) Khảo sát và vẽ đồ thị C của hàm số . 3 2 b) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình : x 3 x 2 m 0 . c) Chứng minh đồ thị C có một tâm đối xứng 3 2 Bài 2: Cho hàm số y 2 x 3 x 5. a) Khảo sát và vẽ đồ thị C của hàm số . 3 2 b) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình : 2x 3 x 4 m 0. c) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị C biết tiếp tuyến đó song song với d : y 12 x 2006 . 1 Bài 3: Cho hàm số y x32 x 2 3 x . 3 a) Khảo sát và vẽ đồ thị C của hàm số. 1 b) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình : x33 x 2 3 x 1 m 0. 3 c) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị C biết tiếp tuyến đó vuông góc với d : x 3 y 2 0. 3 2 Bài 4: Cho hàm số y 2 x 3 x 6 m 1 x 2 m 1 . a) Định m để hàm số có cực đại và cực tiểu . b) Khảo sát và vẽ đồ thị C của hàm số khi m = 1 . 3 2 c) Dùng đồ thị C biện luận theo k số nghiệm của phương trình : 2x 3 x k 2 0. Bài 5 : Cho hàm số y = x3 + 3x2 + 1 . a) Khảo sát và vẽ đồ thị C của hàm số . 3 2 b) Dựa vào đồ thị C biện luận theo m số nghiệm của phương trình x + 3x + m = 0 c) Từ gốc tọa độ có thể kẻ được bao nhiêu tiếp tuyến với đồ thị C . Viết phương trình các tiếp tuyến đó . 3 Bài 6 : Cho hàm số y x 3 x 2 . a) Khảo sát và vẽ đồ thị C của hàm số . 3 b) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình : x 3 x m 1 0 c) Cho d là đường thẳng đi qua điểm uốn của C có hệ số góc k . Biện luận theo k vị trí tương đối của d và C . Bài 7 : Cho hàm số y = x3 – 3x2 – 1 . a) Khảo sát và vẽ đồ thị C của hàm số . 3 2 b) Dựa vào đồ thị biện luận theo m số nghiệm của phương trình x – 3x + 5 – 2m = 0 . c) Viết phương trình tiếp tuyến của C , biết tiếp tuyến song song với đường thẳng :y 4 x 1
2. GIẢI TÍCH 12 Trang2 Gv : Trịnh Công Sự 3 2 Bài 8 : Cho hàm số y x 4 x 4 x . a) Khảo sát và vẽ đồ thị C của hàm số . b) Lập phương trình tiếp tuyến với C đi qua điểm A 0;6 . c) Gọi d là đường thẳng qua gốc tọa độ O có hệ số góc k . Định k để đường thẳng d k k cắt C tại 3 điểm phân biệt . Bài 9 : Cho hàm số : y x3 m3 x 2 4 mx có đồ thị là C . m a) Định m để C có cực trị . m b) Khảo sát và vẽ đồ thị C của hàm số khi m = 0 . 0 1 c) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị C đi qua A ;0 . 0 3 Bài 10 : Cho hàm số : y x33 x 2 3 mx 3 m 4 có đồ thị C . m a) Định m để C có cực trị . m b) Định m để C cắt Ox tại 3 điểm phân biệt . m c) Khảo sát và vẽ đồ thị C của hàm số khi m = 1 . 1 d) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị C đi qua A 0;7 . 1 II. HÀM TRÙNG PHƯƠNG Bài 1 : Cho hàm số y x4 2x 2 3 có đồ thị C . a) Khảo sát hàm số. b) Dựa vào đồ thị C , hãy xác định m để phương trình x4 2x 2 m 0 có bốn nghiệm phân biệt. 1 9 Bài 2 : Cho hàm số y x4 2x 2 4 4 a) Khảo sát và vẽ đồ thị C của hàm số . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị vẽ từ 9 . b) C A 0; 4 1 3 Bài 3 : Cho hàm số y x43 x 2 . 2 2 a) Khảo sát và vẽ đồ thị C của hàm số . b) Viết phương trình tiếp tuyến của C tại điểm uốn . 3 c) Tìm tiếp tuyến của C đi qua điểm A 0; . 2 4 2 2 Bài 4 : Cho hàm số : y mx m 9 x 10 1 ( m là tham số ) a) Khảo sát và vẽ đồ thị 1 của hàm số khi m = 1. b) Tìm m để hàm số 1 có ba cực trị .
3. GIẢI TÍCH 12 Trang3 Gv : Trịnh Công Sự x 4 9 Bài 5 : Cho hàm số y2 x2 . 4 4 a) Khảo sát và vẽ đồ thị C của hàm số . b) Viết phương trình tiếp tuyến của C tại các giao điểm của nó với trục Ox. c) Biện luận theo k số giao điểm của C với đồ thị của hàm số y k 2x 2 . Bài 6 : Cho hàm số : y f x x4 mx 2 m 5 có đồ thị là Cm Xác định m để có ba điểm cực trị. a) Cm b) Khảo sát và vẽ đồ thị C của hàm số với m 2 . c) Viết phương trình tiếp tuyến của C song song với đường thẳng d : y 24x 1. III. HÀM nhất biến 3x 2 Bài 1 : Cho hàm số y có đồ thị là C . x 2 a) Khảo sát và vẽ đồ thị C của hàm số . b) Tìm các điểm trên C có tọa độ là những số nguyên . c) Chứng minh rằng không có tiếp tuyến nào của C đi qua giao điểm hai đường tiệm cận của C . x 3 Bài 2 : Cho hàm số y có đồ thị là C . x 1 a) Khảo sát và vẽ đồ thị C của hàm số . b) Chứng minh rằng đường thẳng y 2 x m luôn cắt C tại 2 điểm phân biệt M và N. c) Xác định m sao cho độ dài đọan MN là nhỏ nhất. x 1 Bài 3: Cho hàm số y có đồ thị là C . x 1 a) Khảo sát và vẽ đồ thị C của hàm số . b) Chứng minh đồ thị nhận giao điểm của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng . c) Viết phương tiếp tuyến của C tại M 0; 1 . 2x 1 Bài 4 : Cho hàm số y có đồ thị là C . x 1 a) Khảo sát và vẽ đồ thị C của hàm số . Tìm các điểm trên C có tọa độ là những số nguyên . b) Tìm trên C những điểm có tổng khoảng cách từ đó đến hai tiệm cận của C là nhỏ nhất . c) Đường thẳng d đi qua A 1;1 có hệ số góc k . Định k để d cắt C tại hai điểm thuộc hai nhánh của C . d) Lập phương trình tiếp tuyến với C , biết tiếp tuyến đó song song với đường phân giác của góc phần tư thứ nhất . x 2 Bài 5 : Cho hàm số y có đồ thị là C . x 3
4. GIẢI TÍCH 12 Trang4 Gv : Trịnh Công Sự a) Khảo sát và vẽ đồ thị C của hàm số . b) Chứng minh giao điểm của hai đường tiệm cận của đồ thị làm tâm đối xứng của C . c) Tìm điểm M trên đồ thị C sao cho khoảng cách từ M đến đường tiệm cận đứng bằng khoảng cách từ M đến đường tiệm cận ngang. 2x 1 Bài 6 : Cho hàm số y . x 1 a) Khảo sát và vẽ đồ thị C của hàm số. b) Chứng minh đồ thị C có tâm đối xứng. c) Gọi I là tâm đối xứng của C . Tìm M thuộc C sao cho IM nhỏ nhất. 3 x 1 Bài 7 : Cho hàm số y . x 2 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị C của hàm số. b) Tìm tất cả các điểm trên C có toạ độ là các số nguyên. c) Viết phương trình tiếp tuyến của C kẽ từ gốc toạ độ. IV. HÀM hữu tỉ 2 x x 1 Bài 1 : Cho hàm số y x 1 a) Khảo sát và vẽ đồ thị C của hàm số. 2 b) Dựa vào đồ thị,hãy biện luận theo m số nghiệm của phươngtrình x 1 m x 1 m 0 c) Chứng minh C không có tiếp tuyến nào song song với đường thẳng y 2x 1. x2 m3 x m Bài 2 : Cho hàm số y , m là tham số, đồ thị là C . m x 1 a) Khảo sát và vẽ đồ thị C của hàm số khi m = 2 . b) Chứng minh rằng C nhận giao điểm các đường tiệm cận làm tâm đối xứng. m c) Đường thẳng d đi qua gốc tọa độ có hệ số góc làk .  Biện luận theo k số giao điểm của đường thẳng d và đồ thị C .  Suy ra phương trình tiếp tuyến của đồ thị C vẽ từ góc tọa độ .Vẽ tiếp tuyến đó. 2 2 x 2 mx m 1 Bài 3 : Cho hàm số y với m là tham số . x m a) Khảo sát và vẽ đồ thị C của hàm số với m = 1 . b) Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A 3;0 có hệ số góc k .Biện luận theo k số giao điểm của đồ thị C và đường thẳng d . Viết phương trình tiếp tuyến của C đi qua điểm A . c) Chứng minh với m bất kì đồ thị hàm số luôn có điểm cực đại, điểm cực tiểu và tổng các tung độ của chúng bằng 0.
5. GIẢI TÍCH 12 Trang5 Gv : Trịnh Công Sự 1 Bài 4 : Cho hàm số y 2 x 1 x 1 a) Khảo sát và vẽ đồ thị C của hàm số . b) Viết phương trình tiếp tuyến với C kẻ từ điểm A 1;3 . c) Định m để đường thẳng d : y x m cắt C tại hai điểm I , J sao cho độ dài IJ bằng 4. 2 x 2 Bài 5 : Cho hàm số y có đồ thị là C . x 1 a) Khảo sát và vẽ đồ thị C của hàm số . b) Tìm các điểm trên C có tọa độ là những số nguyên . c) Tìm các điểm trên C cách đều hai trục tọa độ. 2 x 3 Bài 6 : Cho hàm số y có đồ thị là C . x 1 a) Khảo sát và vẽ đồ thị C của hàm số . 2 b) Dùng độ thị biện luận theo m số nghiệm của phương trình : x mx 3 m 0. c) Một điểm M x; y bất kì thuộc C . Chứng minh rằng tích khoảng cách từ M đến hai 0 0 tiệm cận không đổi . d) Tìm điểm M trên C sao cho tổng khoảng cách từ M đến hai tiệm cận là nhỏ nhất. 2 x 5 Bài 7 : Cho hàm số y có đồ thị là C . x 1 a) Khảo sát và vẽ đồ thị C của hàm số . 2 b) Dùng đồ thị biện luận theo m số nghiệm của phương trình : x mx 5 m 0 . c) Viết phương trình tiếp tuyến đi qua M 3;0 đến C . d) Một điểm M x; y bất kì thuộc C . Chứng minh rằng tích khoảng cách từ M đến hai 0 0 tiệm cận không đổi . Bài 8 : TNTHPT 2007 2 Cho hàm số y x 1 , gọi đồ thị của hàm số là H . 2x 1 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số. b) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị H tại điểm A 0; 3 . Bài 9 : ĐH khối D 2003 2 x 2 x 4 Cho hàm số y 1 ( với m là tham số ) . x 2 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số 1 . b) Tìm m để đường thẳng d: y mx 2 2 m cắt đồ thị của hàm số 1 tại hai điểm phân m biệt