Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 8 - Chủ đề 6: Hình thoi và hình vuông

Nội dung text: Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 8 - Chủ đề 6: Hình thoi và hình vuông

1. BỒI DƯỠNG TOÁN LỚP 8 – CLC Khu vực: Ngó Tư Sở - Đội Cấn – Thỏi Hà CHỦ ĐỀ 6. HèNH THOI VÀ HèNH VUễNG A. Lí THUYẾT 1. Định nghĩa Hỡnh thoi là tứ giỏc cú bốn cạnh bằng nhau (h.6.1). Hỡnh vuụng là tứ giỏc cú bốn gúc vuụng và cú bốn cạnh bằng nhau (h.6.2). Hỡnh 6.1 Hỡnh 6.2 2. Tớnh chất * Trong hỡnh thoi: Hai đường chộo của hỡnh thoi vuụng gúc với nhau; Hai đường chộo là cỏc đường phõn giỏc của cỏc gúc của hỡnh thoi; * Hỡnh vuụng cú đủ cỏc tớnh chất của hỡnh chữ nhật và hỡnh thoi. 3. Dấu hiệu nhận biết * Nhận biết hỡnh thoi: Tứ giỏc cú bốn cạnh bằng nhau là hỡnh thoi; Hỡnh bỡnh hành cú hai cạnh kề bằng nhau là hỡnh thoi; Hỡnh bỡnh hành cú hai đường chộo vuụng gúc với nhau là hỡnh thoi; Hỡnh bỡnh hành cú một đường chộo là đường phõn giỏc của một gúc là hỡnh thoi. * Nhận biết hỡnh vuụng: Hỡnh chữ nhật cú hai cạnh kề bằng nhau là hỡnh vuụng; Hỡnh chữ nhật cú hai đường chộo vuụng gúc là hỡnh vuụng; Hỡnh chữ nhật cú một đường chộo là đường phõn giỏc của một gúc là hỡnh vuụng; Hỡnh thoi cú một gúc vuụng là hỡnh vuụng; Hỡnh thoi cú hai đường chộo bằng nhau là hỡnh vuụng.
2. BỒI DƯỠNG TOÁN LỚP 8 – CLC Khu vực: Ngó Tư Sở - Đội Cấn – Thỏi Hà B. BÀI TẬP VẬN DỤNG. I. MỘT SỐ VÍ DỤ. Vớ dụ 1. Cho hỡnh thoi ABCD, độ dài mỗi cạnh là 13cm. Gọi O là giao điểm của hai đường chộo. Vẽ OH  AD. Biết OH = 6cm, tớnh tỉ số của hai đường chộo BD và AC. Giải * Tỡm cỏch giải Vẽ thờm BK  AD để dựng định lớ đường trung bỡnh của tam giỏc, định lớ Py-ta-go tớnh bỡnh phương độ dài của mỗi đường chộo. * Trỡnh bày lời giải Vẽ BK  AD. Xột BKD cú OH // BK (vỡ cựng vuụng gúc với AD) và OB = OD nờn KH = HD. Vậy OH là đường trung bỡnh của BKD. 1 Suy ra OH BK, do đú BK = 12cm. 2 Xột ABK vuụng tại K cú AK2 = AB2 – BK2 = 132 – 122 = 25 AK = 5cm do đú KD = 8cm. Xột BKD vuụng tại K cú BD2 = BK2 + KD2 = 122 + 82 = 208. Xột AOH vuụng tại H cú OA2 = OH2 + AH2 = 62 + 92 = 117. 2 AC 2 117 AC 468. 2 BD2 208 4 BD 2 Do đú . AC2 468 9 AC 3 Vớ dụ 2. Cho tam giỏc ABC cõn tại A, hai đường cao BE và CF cắt nhau tại H. Đường thẳng AH cắt EF tại D, cắt BC tại G. Gọi M và N lần lượt là hỡnh chiếu của G trờn AB và AC. Chứng minh rằng tứ giỏc DNGM là hỡnh thoi. Giải * Tỡm cỏch giải Dựng định lớ đường trung bỡnh của tam giỏc ta chứng minh được tứ giỏc DNGM là hỡnh bỡnh hành. Sau đú chứng minh hai cạnh kề bằng nhau. * Trỡnh bày lời giải
3. BỒI DƯỠNG TOÁN LỚP 8 – CLC Khu vực: Ngó Tư Sở - Đội Cấn – Thỏi Hà ABE = ACF (cạnh huyền, gúc nhọn) AE = AF và BE = CF. Vỡ H là trực tõm của ABC nờn AH là đường cao, đồng thời là đường trung tuyến, từ đú GB = GC và DE = DF. Xột EBC cú GN // BE (cựng vuụng gúc với AC) và GB = GC nờn NE = NC. Chứng minh tương tự ta được MF = MB. Dựng định lớ đường trung bỡnh của tam giỏc ta chứng minh được DM // GN và DM = GN nờn tứ giỏc DNGM là hỡnh bỡnh hành. 1 Mặt khỏc, DM = DN (cựng bằng của hai cạnh bằng nhau) nờn DNGM là hỡnh thoi. 2 Vớ dụ 3. Cho hỡnh vuụng ABCD. Lấy điểm M trờn đường chộo AC. Vẽ ME  AD, MF  CD và MH  EF. Chứng minh rằng khi điểm M di động trờn AC thỡ đường thẳng MH luụn đi qua một điểm cố định. Giải * Tỡm cỏch giải Vẽ hỡnh chớnh xỏc ta thấy đường thẳng MH đi qua một điểm cố định là điểm B. Vỡ thế ta sẽ ả ả chứng minh ba điểm H, M, B thẳng hàng bằng cỏch chứng minh M1 M2. * Trỡnh bày lời giải Gọi N là giao điểm của đường thẳng EM với BC. Khi đú BN = AE; AE = ME (vỡ AEM vuụng cõn) suy ra BN = ME. Chứng minh tương tự ta được MN = MF. Nối MB ta được BMN = EFM (c.g.c). à à ả ả Suy ra B1 E1 do đú M1 M2. Từ đú ba điểm H, M, B thẳng hàng. Vậy đường thẳng MH luụn đi qua một điểm cố định là điểm B. Vớ dụ 4. Cho hỡnh vuụng ABCD cạnh a. Trờn cạnh BC lấy điểm M, trờn cạnh CD lấy điểm N sao cho chu vi cỏc tam giỏc CMN bằng 2a. Chứng minh rằng gúc MAN cú số đo khụng đổi. Giải * Tỡm cỏch giải Vẽ hỡnh chớnh xỏc ta luụn thấy Mã AN 45o. Vỡ vậy ta vẽ hỡnh phụ tạo ra gúc 90o rồi chứng minh Mã AN bằng nửa gúc vuụng đú.
4. BỒI DƯỠNG TOÁN LỚP 8 – CLC Khu vực: Ngó Tư Sở - Đội Cấn – Thỏi Hà * Trỡnh bày lời giải Trờn tia đối của tia DC lấy điểm E sao cho DE = BM. BAM = DAE (c.g.c) suy ra AM = AE và Bã AM Dã AE. Ta cú Bã AM Dã AM 90o Dã AE Dã AM 90o hay Eã AM 90o. Theo đề bài, CM + CN + MN = 2a mà CM + CN + MB + ND = 2a nờn MN = MB + ND hay MN = DE + ND = EN. Eã AM MAN = EAN (c.c.c) Mã AN Eã AN 45o. 2 Vậy gúc MAN cú số đo khụng đổi. Vớ dụ 5. Cho hỡnh vuụng ABCD. Trờn cỏc cạnh AB, BC, CD lần lượt lấy cỏc điểm M, N, P sao cho AM = BN = CP. Qua N vẽ một đường thẳng vuụng gúc với MP cắt AD tại Q. Chứng minh rằng tứ giỏc MNPQ là hỡnh vuụng. Giải * Tỡm cỏch giải Từ giả thiết ta nghĩ đến việc chứng minh cỏc tam giỏc bằng nhau để suy ra bốn cạnh của tứ giỏc MNPQ bằng nhau, ta được tứ giỏc này là hỡnh thoi. Sau đú chứng minh hai đường chộo bằng nhau để được hỡnh vuụng. * Trỡnh bày lời giải Vẽ ME  CD, NF  AD. Gọi O là giao điểm của ME và NF. Ta cú AB = BC = CD = DA mà AM = BN = CP nờn BM = CN = DP. Dễ thấy tứ giỏc AMOF là hỡnh vuụng. EMP và FNQ cú: Eà F 90o; ME = NF (bằng cạnh hỡnh vuụng); Eã MP Fã NQ (hai gúc cú cạnh tương ứng vuụng gúc) EMP = FNQ (g.c.g) MP = NQ và EP = FQ. Ta cú DE = AM = AF DP = AQ do đú DQ = CP. Cỏc tam giỏc BNM, CPN, DQP và AMQ bằng nhau suy ra MN = NP = PQ = QM.
5. BỒI DƯỠNG TOÁN LỚP 8 – CLC Khu vực: Ngó Tư Sở - Đội Cấn – Thỏi Hà Do đú tứ giỏc MNPQ là hỡnh thoi. Hỡnh thoi này cú hai đường chộo bằng nhau nờn là hỡnh vuụng. II. LUYỆN TẬP Hỡnh thoi 6.1. Một hỡnh thoi cú gúc nhọn bằng 30o. Khoảng cỏch từ giao điểm của hai đường chộo đến mỗi cạnh bằng h. Tớnh độ dài mỗi cạnh của hỡnh thoi. 6.2. Cho hỡnh thoi ABCD, chu vi bằng 8cm. Tỡm giỏ trị lớn nhất của tớch hai đường chộo. 6.3. Cho hỡnh thoi ABCD, À 40o. Gọi M là trung điểm của AB. Vẽ DH  CM. Tớnh số đo của gúc MHB. 6.4. Cho hỡnh thoi ABCD. Trờn nửa mặt phẳng bờ BD cú chứa điểm C, vẽ hỡnh bỡnh hành BDEF cú DE = DC. Chứng minh rằng C là trực tõm của tam giỏc AEF. 6.5. Cho hỡnh bỡnh hành ABCD, hai đường chộo cắt nhau tại O. Gọi E, F, G, H lần lượt là giao điểm cỏc đường phõn giỏc của tam giỏc AOB, BOC, COD và DOA. Chứng minh tứ giỏc EFGH là hỡnh thoi. 6.6. Dựng hỡnh thoi ABCD biết AC + BD = 8cm và à BD 25o. Hỡnh vuụng 6.7. Cho hỡnh vuụng ABCD. Trờn cạnh BC lấy cỏc điểm E và F sao cho BE = EF = FC. Trờn cạnh AD 1 lấy điểm G sao cho AG AD. Tớnh tổng à EG à FG à CG. 3 6.8. Cho hỡnh vuụng ABCD. Trờn đường chộo AC lấy một điểm M. Vẽ ME  AD, MF  CD. Chứng minh rằng ba đường thẳng AF, CE và BM đồng quy. 6.9. Cho tam giỏc ABC vuụng tại A, đường cao AH. Vẽ ra phớa ngoài tam giỏc này cỏc hỡnh vuụng ABDE và ACFG. Chứng minh rằng: a) Ba đường thẳng AH, DE và FG đồng quy; b) Ba đường thẳng AH, BF và CD đồng quy. 6.10. Cho hỡnh vuụng ABCD. Trờn tia đối của tia BA lấy điểm E. Trờn tia đối của tia CB lấy điểm F sao cho AE = CF. Gọi O là trung điểm của EF. Vẽ điểm M sao cho O là trung điểm của DM. Chứng minh rằng tứ giỏc DEMF là hỡnh vuụng.
6. BỒI DƯỠNG TOÁN LỚP 8 – CLC Khu vực: Ngó Tư Sở - Đội Cấn – Thỏi Hà 6.11. Cho tam giỏc ABC, À 45o. Vẽ ba đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, AC, HB và HC. Chứng minh rằng tứ giỏc MNPQ là hỡnh vuụng. 6.12. Cho hỡnh bỡnh hành ABCD. Vẽ ra phớa ngoài của hỡnh bỡnh hành cỏc hỡnh vuụng cú một cạnh là cạnh của hỡnh bỡnh hành. Gọi E, F, G, H lần lượt là tõm (tức là giao điểm của hai đường chộo) của cỏc hỡnh vuụng vẽ trờn cỏc cạnh AB, BC, CD và DA. Chứng minh rằng EG = HF và EG  HF. 6.13. Dựng hỡnh vuụng ABCD biết đỉnh A và trung điểm M của CD. 6.14.Một bàn cờ hỡnh vuụng cú kớch thước 6 6. Cú thể dựng 9 mảnh gỗ hỡnh chữ nhật cú kớch thước 1 4 để ghộp kớn bàn cờ được khụng? 6.15. Một hỡnh chữ nhật cú kớch thước 3 6. Hóy chia hỡnh chữ nhật này thành nhiều phần (hỡnh tam giỏc, tứ giỏc) để ghộp lại thành một hỡnh vuụng (số phần được chia ra càng ớt càng tốt).