Bổ trợ kiến thức Toán

120 trang mainguyen 4590

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bổ trợ kiến thức Toán", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

bo_tro_kien_thuc_toan.doc

Nội dung text: Bổ trợ kiến thức Toán

ÑAÏI SOÁ MOÄT SOÁ KIEÁN THÖÙC *Phöông trình ñöôøng troøn : x a 2 y b 2 R 2 Hay : x 2 y 2 2ax 2by c 0 Coùtaâm laø: I a; b vaø baùn kính :R a 2 b2 c 0 *Phöông trình nhöõng ñieåm trong ñöôøng troøn vaø treân ñöôøng troøn laø: x a 2 y b 2 R 2 ( laø mieàn gaïch hình 2) *Phöông trình nhöõng ñieåm ngoaøi ñöôøng troøn vaø treân ñöôøng troøn laø: x a 2 y b 2 R 2 (laø mieàn gaïch hình 3) 1
ÑAÏI SOÁ *Ñöôøng thaúng : ax + by + c = 0 chia maët phaúng toïa ñoä thaønh 2 phaàn ax + by + c 0 vaø ax + by + c 0 ñeå bieát phaàn naøo lôùn hôn 0 hay nhoû hôn 0, thoâng thöôøng ta laáy 1 ñieåm treân mieàn theá vaøo. Neáu khoâng thoaû ta laáy mieàn ngöôïc laïi . Xeùt ñöôøng thaúng : -x + y – 2 0 (nhö hình veõ).Ta laáy ñieåm (0;0) theá vaøo (-x + y – 2) ta ñöôïc -2 0 . Neân ta laáy mieàn chöùa (0;0) ñoù chính laø mieàn gaïch nhö treân hình veõ * cho haøm soá : y = f(x) coù mxñ laø D , gtnn = m ,gtln = M ta noùi: Haøm soá y = f(x) coù nghieäm khi : m y M trong mxñ f(x) coù nghieäm khi M trong mxñ f(x) ñuùng  x khi m trong mxñ f(x) coù nghieäm khi m trong mxñ f(x) ñuùng  x khi M trong mxñ *Cho A(x0 , y0 ) vaø ñöôøng thaúng ( ) coù phöông trình : ax + by + c = 0 , khoaûng caùch töø A ñeán ñöôøng thaúng laø : ax by c d(A; ) = 0 0 a 2 b2 *Coâng thöùc ñoåi truïc : [ gs I(a;b) ] x X a Ñoåi truïc oxy IXY y Y b 2
ÑAÏI SOÁ phaàn1 GIAÛI BAÈNG PHÖÔNG PHAÙP ÑOÀ THÒ Tìm m ñeå heä phöông trình sau coù nghieäm. 1 sin x sin y 2 * cos2x cos2y m Giaûi : Ñaët u = sinx , v = siny Baøi toaùn trô ûthaønh tìm m ñeå heä sau coù nghieäm : 1 u v 1 2 2 2 2 m (*) u v 2 2 u 1 3 v 1 4 Caùc ñieåm thoûa (3)(4) laø nhöõng ñieåm naèm treân vaø trong hình vuoâng ABCD nhö hình veõ ,(2) laø phöông trình ñöôøng troøn taâm I(0,0) baùn kính 2 m R = , do soá giao ñieåm cuûa ñöôøng thaúng vaø ñöôøng troøn chính laø 2 soá nghieäm . Vaäy ñeå heä phöông trình coù nghieäm ñöôøng troøn phaûi caét 1 ñöôøng thaúng u + v = naèm trong hình vuoâng. Deã thaáy 2 1 M(1 ; - ) vaø OM = ON 2 1 5 2 1 OM = , OH = = , suy ra ycbt laø 4 2 8 3
ÑAÏI SOÁ 1 2 m 5 8 2 4 1 7 - m 2 4 Cho heä phöông trình. x ay a 0 2 2 (*) x y x 0 a) tìm taát caû caùc giaù trò cuûa a ñeå heä coù 2 nghieäm phaân bieät. b)goïi (x1 ; y1) , (x2 ; y2 ) laø 2 nghieäm cuûa heä ,chöùng minh raèng . 2 2 (x2 – x1) + (y2 – y1) 1 Giaûi : a) Heä ñaõ cho coù theå vieát laïi : 4
ÑAÏI SOÁ x a(y 1) 0 (1) (*) 1 1 (x )2 y2 (2) 2 4 Ta nhaän thaáy (1) laø phöông trình ñöôøng thaúng ,luoân qua ñieåm coá ñònh 1 1 (0;1) . (2) laø phöông trình ñöôøng troøn coù taâm I( ;0) baùn kính R = . 2 2 Do soá giao ñieåm cuûa ñöôøng thaúng vaø ñöôøng troøn chính laø soá nghieäm . Vaäy ñeå heä phöông trình coù 2 nghieäm khi : 1 m.0 m 2 1 D(I ;d) = < 1 m 2 2 4 0 <m < 3 2 2 b) ta coù AB = (x 2 x1 ) (y2 y1 ) 2R 2 2 (x2 –x1) + (y2 – y1) 4R =1 (ñpcm) Daáu (=) xaûy ra khi ñöôøng thaúng qua taâm : 1 1 Hay : - a = 0 a = 2 2 5
ÑAÏI SOÁ Cho heä phöông trình. 4 2 x 5x 4 0 (*) 2 2 x (2a 1)x a a 2 0 Tìm a sao cho heä sau ñaây coù nghieäm. Giaûi : Heä ñaõ cho coù theå vieát laïi : (x a 1)(x a 2) 0 (1) * 1 x 2 (2) 2 x 1 (3) Caùc ñieåm M(x;y) thoûa(1) laø nhöõng ñieåm naèm treân 2 ñöôøng thaúng nhö hình veõ Caùc ñieåm M(x;y) thoûa (2) laø nhöõng ñieåm naèm treân 2 mieàn gaïch Ta coù A(-2;0) , B(-2;3) , C(-1;2) , D(1;0) , E(2;-1) , F(-1;-1) , K(1;-3) , M(2;-4) . Vaäy töø ñoà thò heä coù nghieäm khi : -4<a<-3 , -1<a<0 , 2<a<3. Cho heä phöong trình. 2 (x y) 3(x y) 2 0 (*) 2 2 2 x y m Tìm m sao cho heä sau ñaây coù 3 nghieäm . Giaûi : 6
ÑAÏI SOÁ Heä ñaõ cho coù theå vieát laïi : (x y 2)(x y 1) 0 (1) (*) 2 2 2 x y m (2) Caùc ñieåm M(x;y) thoûa (1) laø nhöõng ñieåm naèm treân 2 ñöôøng thaúng nhö hình veõ Caùc ñieåm M(x;y) thoûa (2) laø nhöõng ñieåm naèm treân ñöôøng troøn taâm I(0;0) baùn kính R =m , do soá giao ñieåm cuûa ñöôøng thaúng vaø ñöôøng troøn chính laø soá nghieäm . Vaäy ñeå heä phöông trình coù 3 nghieäm thì : 2 R = ON , maø ON = = 2 (aùp duïng ñktx) do ñoù : 2 m 2 m = 2 m 2 Bieän luaän theo a veà soá nghieäm cuûa phöông trình. x 2 y 2 (x 2a)(y a) 0 Giaûi : Ta ñoåi truïc cho deã veà vieäc tính toaùn vaø bieän luaän: 7
ÑAÏI SOÁ x X Ñoåi truïc oxy 0XY y 2Y Heä ñaõ cho coù theå vieát laïi : X Y 2 1 (X 2a)(Y 2a) 0 2 Ta nhaän thaáy caùc ñieåm M(x;y) thoaû maõn (1) laø hình vuoâng A,B,C,D trong ñoù A(-2;0) , B(0;2) , C(2;0) , D(0;-2) .Caùc ñieåm thoûa maõn (2) naèm treân 2 ñöôøng: X = 2a ,Y= 2a , maø giao ñieåm I cuûa chuùng luoân luoân di ñoäng treân Y = X , deã thaáy ñieåm I/(1;1) nhö hình veõ , do soá giao ñieåm cuûa 2 ñöôøng thaúng vaø hình vuoâng ABCD chính laø soá nghieäm . neân ta coù : 2a 2 a 1 Neáu heä voâ nghieäm. 2a 2 a 1 2a 2 a 1 Neáu heä coù 2 nghieäm. 2a 2 a 1 8
ÑAÏI SOÁ 2 2a 2 1 a 1 1 Neáu 2a 1 a heä coù 4 nghieäm. 2 2a 1 1 a 2 1 2a 1 a Neáu 2 heä coù 3 nghieäm. 1 2a 1 a 2 Tìm a ñeå phöông trình sau coù 2 nghieäm . x x 2 a x (*) Giaûi : Vôùi ñieàu kieän x – x2 0 , ñaët y = x x 2 0 y x a 1 y x a 1 2 2 1 2 2 1 (*) trôû thaønh y x x 0 2 (x ) y 2 2 4 y 0 3 y 0 3 (2) vaø (3) laø phöông trình nöûa ñöôøng troøn laáy phaàn döông nhö hình veõ 1 1 , coù taâm I( ;0) baùn kính R = . (1) laø phöông trình ñöôøng thaúng x +y 2 2 = a , do soá giao ñieåm cuûa ñöôøng thaúng vaø ñöôøng troøn chính laø soá nghieäm . Vaäy ñeå heä phöông trình coù 2 nghieäm thì ñöôøng thaúng x +y = a phaûi lôùn hôn hoaëc baèng x + y = 1 vaø nhoû hôn tieáp xuùc treân , maø tieáp xuùc treân baèng . 1 1 2 a a (n) 2 1 2 2 2 1 2 a (l) a 1 2 9
ÑAÏI SOÁ 1 2 hay 0 a < 2 ñònh a ñeå phöông trình sau coù 4 nghieäm . 2x 2 5x 4 x 2 5x a (*) Giaûi : 2 5 9 9 Ñaët t x 2 5x 4 x 2 4 4 (*) 2 t t 4 a a 4 2 t t a 4 3t 1 , t 0 a 4 t 2 , t 0 9 Nhaän xeùt  t thì ta ñöôïc 2 nghieäm x , theo ycbt ta caàn coù 2 4 9 nghieäm t 4 10
ÑAÏI SOÁ 9 27 Deã thaáy A( ; ) (1) laø phöông trình y = -3t ñeå thoaû baøi toaùn thì ( 4 4 9 t 0 ) 4 (2) laø phöông trình ñöôøng thaúng y = t ,t 0 Vaäy ñeåâ phöông trình coù 4 nghieäm x hay coù 2 nghieäm t thì: 27 43 0 a 4 4 a 4 4 Cho heä baát phöong trình. 2 2 x y 1 a 1 (*) 2 2 x 1 y a 2 Tìm a ñeå heä coù nghieäm duy nhaát . Giaûi : Baát phöông trình (1) laø nhöõng ñieåm naèm treân vaø trong ñöôøng troøn taâm O2(0;-1) baùn kính R2 =a . (nhö hình veõ) Baát phöông trình (2) laø nhöõng ñieåm naèm treân vaø trong ñöôøng troøn taâm O1(-1;0) baùn kính R1 = a . Vaäy heä coù nghieäm duy nhaát khi : R1 + R2 = O1O2 11
ÑAÏI SOÁ 1 Hay : 2a = 0 1 2 1 0 2 a 2 Tìm m ñeå heä baát phöông trình sau coù nghieäm duy nhaát. x 2 3x 2 0 * 2 x 6x m(6 m) 0 Giaûi : Heä (*) cho coù theå vieát laïi . 1 x 2 1 * x m x m 6 0 2 12
ÑAÏI SOÁ Xeùt heä toaï ñoä tröïc chuaån oxa. Töø hình veõ coù theå thaáy caùc ñieåm M(x;a) thoûa maõn (1) vaø (2) laø mieàn gaïch cheùo naèm treân vaø trong hình thang ABCD .Vaäy heä baát phöông trình coù nghieäm duy nhaát khi : a = 1 hoaëc a = 5 Tìm m ñeå heä phöông trình coù 8 nghieäm. x 1 y 1 1 2 2 2 (x 1) (y 1) m Giaûi : Ta ñoåi truïc cho deã veà vieäc tính toaùn vaø bieän luaän. Ñoåi truïc oxy 0XY x X 1 y Y 1 13
ÑAÏI SOÁ Heä ñaõ cho coù theå vieát laïi . X Y 1 1 2 2 2 X Y m 2 Caùc ñieåm M(x;y) thoûa (1) laø nhöõng ñieåm naèm treân hình vuoâng ABCD , nhö hình veõ .Caùc ñieåm M(x;y) thoûa (2) laø phöông trình ñöôøng troøn taâm O(0;0) baùn kímh R =m . Do soá giao ñieåm cuûa ñöôøng thaúng vaø ñöôøng troøn chính laø soá nghieäm . Vaäy ñeå heä phöông trình coù 8 nghieäm khi : OH < R < OB . 1 Maø : OH = ( aùp duïng ñktx) , OB = 1 . 2 2 m 1 1 2 Vaäy < m < 1 ñoù laø ycbt 2 2 1 m 2 Bieän luaän soá nghieäm cuûa phöông trình . 12 3x 2 2m x * Giaûi : 14
ÑAÏI SOÁ Vôùi ñieàu kieän 12 – 3x2 0 ñaët y = 12 3x 2 . Phöông trình coù theå vieát laïi y 0 1 x 2 y2 (*) 1 2 4 12 x y 2m 3 Coù theå thaáy caùc ñieåm M(x;y) thoûa (1) vaø (2) laø phöông trình cuûa nöûa ellip laáy phaàn döông , nhö treân hình veõ . Coù theå thaáy caùc ñieåm M(x;y) thoûa (3) laø phöông trình ñöôøng thaúng luoân di ñoäng vaø coù heä soá goùc laø -1 . Xeùt caùc vò trí tôùi haïn cuûa noù : qua A öùng vôùi m = -1 4 12 4m2 Vò trí tieáp xuùc treân m 2 m 0 Taïi B öùng vôùi m = 1 15
ÑAÏI SOÁ Vaäy ta coù : Neáu 1 m 2 hoaëc m<-1 phöông trình voâ nghieäm. x 2 2x a 0 * Cho heä : 2 x 4x 6a 0 a) tìm a ñeå heä coù nghieäm. b) tìm a ñeå heä coù nghieäm duy nhaát. Giaûi : Heä ñaõ cho coù theå vieát lai . a x 2 2x 1 x 2 4x * a 2 6 Caùc ñieåm M(x;a) thoûa maõn (1) vaø (2) naèm trong mieàn gaïch cheùo ta coù, 3 S1(2; ) , S2(-1;1) vaø 2 8 xA = - < 1 7 16
ÑAÏI SOÁ a) töø hình veõ, heä ñaõ cho coù nghieäm khi . 0 a 1 a 1 b) heä ñaõ cho coù nghieäm duy nhaát khi . a 0 tìm m ñeå heä baát phöông trình sau coù nghieäm duy nhaát . x y 2xy m 1 * x y 1 Giaûi : Heä ñaõ cho coù theå vieát thaønh . 2xy m 1 x y 2xy m 1 x y 2 x y 1 x y 1 2xy m 1 x 2 y2 2x 2xy 2y x y 1 (x 1)2 (y 1)2 m 1 1 x y 1 2 Xeùt heä toaï ñoä tröïc chuaån oxy 17
ÑAÏI SOÁ Nhaän xeùt : nhöõng ñieåm M(x;y) thoûa maõn (1) laø nhöõng ñieåm naèm treân vaø trong ñöôøng troøn taâm I(1;1) baùn kính R = m 1 (nhö hình veõ) , nhöõng ñieåm M(x;y) thoûa maõn (2) laø mieàn gaïch cheùo vaø ñöôøng thaúng x +y =1 .Vaäy heä coù nghieäm duy nhaát khi vaø chæ khi R = OH , 2 2 1 Maø OH = ( aùp duïng ñktx) vaäy : m 1 m laø ycbt 2 2 2 tìm m ñeå heä baát phöông trình sau coù nghieäm. 2 x 2x 4 m 0 * 4 2 x 6x 8x 18 m 0 Giaûi : Heä ñaõ cho coù theå vieát thaønh . m x 2 2x 4 1 * 4 2 x 6x 8x 18 m 2 phöông trình m = -x2 + 2x +4 laø parabol coù ñænh S(1;5) nhö hình veõ do ñoù caùc ñieåm M(x;y)thoaû (1 ) laø nhöõng ñieåm naèm trong parabol chöùa mieàn thoûa (0;0) . Xeùt haøm soá: m = x4 -6x2 -8x+18 mxñ: D = R Ñaïo haøm : m/ = 4x3 -12x-8 = 4(x+1)2(x-2) x 1 / m = 0 x 2 baûng bieán thieân . 18
ÑAÏI SOÁ x ct 2 Haøm soá ñaït cöïc tieåu taïi . yct 6 Ñieåm ñaëc bieät (1;5) ; (3;5) caùc ñieåm M(x;y) thoaû maõn (*) laø mieàn gaïch cheùo nhö hình veõ . töø ñoà thò ta thaáy heä coù nghieäm khi ñöôøng thaúng y = m caét mieàn gaïch cheùo, hay -6 m 5 x 2 (5a 2)x 4a 2 2a 0 * Cho heä : 2 2 x a 4 a) tìm a ñeå heä coù nghieäm. b) tìm a ñeå heä coù nghieäm duy nhaát. Giaûi : Heä ñaõ cho coù theå vieát laïi . 19
ÑAÏI SOÁ (x a)(x 4a 2) 0 1 * 2 2 * x a 4 2 Xeùt heä toaï ñoä tröïc chuaån oxa . 2 2 Deã nhaän thaáy A(-2;0) , B(-2 ;2 ) O1( ; ) , F(-2 -2 ) 3 3 M(x;a) thoûa maõn (1) vaø (2) laø nhöõng ñieåm naèm trong mieàn gaïch soïc nhö hình veõ, nhö vaäy ñeå heä phöông trình coù nghieäm ñöôøng thaúng y =a phaûi caét mieàn gaïch soïc . Vaäy theo ycbt thì a) heä coù nghieäm khi - 2 a 2 2 b) heä coù nghieäm duy nhaát khi a = -2 hoaëc a = - hoaêc a = 2 3 2x 2 3x 2 0 * Cho heä : 2 3 x m(m 1)x m 0 a) tìm m ñeå heä coù nghieäm. b) tìm m ñeå heä coù nghieäm duy nhaát. Giaûi : Heä ñaõ cho coù theå vieát laïi nhö sau . 20
ÑAÏI SOÁ 1 2 x 1 * 2 2 (x m )(x m) 0 2 Xeùt heä toaï ñoä tröïc chuaån oxm . Caùc ñieåm M(x;m) thoûa maõn (1) naèm trong giôùi haïn cuûa 2 ñöôøng thaúng 1 x =-2 vaø.x = , caùc ñieåm M(x;m) thoûa maõn (2) naèm trong mieàn gaïch 2 1 2 soïc nhö hình veõ .Deã thaáy A(; ) , vaäy ñeå phöông trình coù nghieäm 2 2 thì ñöôøng thaúng m = phaûi caét mieàn gaïch soïc trong giôùi haïn cho pheùp cuõa (1) hay. 2 a) heä coù nghieäm khi m 2 2 m b) heä coù nghieäm duy nhaát khi . 2 m 0 21
ÑAÏI SOÁ Tìm m ñeå heä phöông trình coù nghieäm. x 1 y 1 1 2 2 2 * x y m Giaûi : Ta ñoåi truïc cho deã veà vieäc tính toaùn vaø bieän luaän: Ñoåi truïc oxy 0XY x X 1 y Y 1 Heä ñaõ cho coù theå vieát laïi . X Y 1 1 2 2 2 * (X 1) (Y 1) m 2 Caùc ñieåm M(x;y) thoûa (1) laø nhöõng ñieåm naèm treân hình vuoâng ABCD , nhö hình veõ .Caùc ñieåm M(x;y) thoûa (2) laø phöông trình ñöôøng troøn taâm O(-1;-1) baùn kímh R =m . Do soá giao ñieåm cuûa ñöôøng thaúng vaø ñöôøng troøn chính laø soá nghieäm . Vaäy ñeå heä phöông trình coù nghieäm khi : ON R OM . 1 Maø : ON = ( aùp duïng ñktx) , OB = 5 . 2 2 m 5 1 2 Vaäy m 5 ñoù laø ycbt 2 2 5 m 2 22
ÑAÏI SOÁ MOÄT SOÁ BAØI TAÄP Tìm m ñeå phöông trình coù nghieäm 1 sin x 1 cos x m Cho phöông trình . 9 x x (9 x)x m a) tìm gtln vaø gtnn ( 9 x x ) b) tìm m ñeå phöông trình coù nghieäm . x 2 (5a 2)x 4a 2 2a 0 * Cho heä 2 2 x a 0 tìm a ñeå heä coù nghieäm. 23
ÑAÏI SOÁ Tìm m ñeå baát phöông trình sau ñuùng x : 4 x 6 (4 x)(6 x) x 2 2x m (m x 2 )(m x 2) 0 * Cho heä 2 x 1 tìm m ñeå heä voâ nghieäm. log x2 y2 (x y) 1 Cho heä * x 2y m tìm m ñeå heä coù nghieäm. Tìm m ñeå baát phöông trình sau coù nghieäm. loga+x(x(a-x)) < loga+x x Cho heä phöong trình. ax y 5a 2 0 2 2 (*) x y y 0 a) tìm taát caû caùc giaù trò cuûa a ñeå heä coù 2 nghieäm phaân bieät. b) goïi A(x1 ; y1) , B(x2 ; y2 ) laø 2 nghieäm cuûa heä .Tìm a ñeå ñoä daøi daây cung AB ñaït giaù trò lôùn nhaát . 24
ÑAÏI SOÁ phaàn2 HEÄ PHÖÔNG TRÌNH Xeùt ña thöùc vôùi bieán laø x,y goïi F(x;y) .Neáu ta coù F(x;y) = F(y;x) vôùi moi x ,y R thì F(x;y) laø ña thöùc ñoái xöùng: Ñoái xöùng loaïi 1 .(neáu thay x bôûi y vaø thay y bôûi x phöông trình (1) vaån laø phöông trình (1) vaø phöông trình (2) vaån laø phöông trình (2) ) Ñoái xöùng loaïi 2 .(neáu thay x bôûi y vaø thay y bôûi x phöông trình (1 ) trôû thaønh (2)vaø phöông trình (2) trôû thaønh (1)) Baøi taäp ñoái xöùng loai Giaûi heä phöông trình . x y xy 5 * 2 2 x y y x 6 Giaûi : Heä ñaõ cho coù theå vieát laïi nhö sau . x y xy 5 S x y * ñaët ñieàu kieän S2 4P xy(x y) 6 P xy Heä phöông trình töông ñöông vôùi . S 3 x 2 n S P 5 P 2 x y 3 y 1 * SP 6 S 2 xy 2 x 1 l P 3 y 2 Giaûi heä phöông trình . x y z 1 * 2 2x 2y 2xy z 1 Giaûi : 25
ÑAÏI SOÁ (Ta cöù coi z nhö laø tham soá , ta ñöôïc heä ñoái xöùng loaïi 1 ) Heä ñaõ cho coù theå vieát laïi nhö sau . x y 1 z x y 1 z * 2 2 1 2z z 2x 2y 2xy 1 z xy 2 Ñeå phöông trình coù nghieäm x,y khi 2 2 4 1 2z z 2 1 z 1 z 0 z 1 2 Neáu z 1 heä voâ nghieäm x y 0 x 0 Neáu z =1 thì xy 0 y 0 Vaäy heä coù nghieäm x = 0 ,y = 0 , z = 1 . Cho heä phöông trình . x y xy m * 2 2 x y m a) giaûi heä vôùi m = 5 b) vôùi giaù trò naøo cuûa m thì heä coù nghieäm . Giaûi : Heä ñaõ cho coù theå vieát laïi nhö sau . x y xy m * 2 (x y) 2xy m S x y ñaët ñieàu kieän S2 4P P xy 26
ÑAÏI SOÁ S P m S P m * 2 2 (S) 2P m S 2S 3m 0 S1 1 1 3m 1 P1 m 1 1 3m S2 1 1 3m 2 P2 m 1 1 3m a) vôùi m = 5 S1 3 x 2 n P1 2 x y 3 y 1 * S2 5 xy 2 x 1 l P2 10 y 2 b) ñeå heä phöông trình coù nghieäm. 2 th1: S1 4P1 . hay ( 1 1 3m)2 4(m 1 1 3m) 2 1 3m m 2 m 2 0 vn 1 3m 0 m 2 0 2 4(1 3m) (m 2) 0 m 8 2 th2: S2 4P2 . hay ( 1 1 3m)2 4(m 1 1 3m) 31 3m m 2 deã thaáy baát phöông trình voâ nghieäm vì m 2 0 27
ÑAÏI SOÁ Vaäy ñeå heä phöông trình coù nghieäm khi 0 m 8 ñoù laø ycbt. Baøi taäp ñoái xöùng loai 2 Giaûi heä phöông trình . 2 2 x 3x y 1 * 2 2 y 3y x 1 Giaûi : Heä ñaõ cho coù theå vieát laïi nhö sau . x 2 3x y 2 1 x 2 3x y 2 1 * 2 2 2 2 x y 3x 3y y x (x y)(2x 2y 3) 0 x 2 3x y 2 1 x 2 3x y 2 1 x y 0 x y 0 x 2 3x y 2 1 x 2 3x y 2 1 2x 2y 3 0 2x 2y 3 0 1 3x 0 x y 1 x 9 3 0 1 4 1 vn y 3 3 y x 4 Haûy xaùc ñònh a ñeå heä sau coù nghieäm duy nhaát . 2 x y axy 1 * 2 y x axy 1 28
ÑAÏI SOÁ Giaûi : xeùt ñieàu kieän caàn : Nhaän xeùt raèng neáu heä phöông trình coù nghieäm (x;y) thì heä phöông trình cuõng coù nghieäm (y;x) .Vaäy ñeå heä phöông trình coù nghieäm duy nhaát thì x = y ,ta ñöôïc x2 + x = ax2 + 1 (a- 1)x2 –x + 1 = 0 (1) phöông trình (1) coù nghieäm duy nhaát a 1 a 1 0 5 1 4(a 1) 0 a 4 xeùt ñieàu kieän ñuû : 2 x y xy 1 x 2 y xy 1 vôùi a =1 heä coù daïng : * 2 y x xy 1 (x y)(x y 1) 0 x 1 x y y 1 2 x y xy 1 x 1 vaäy a=1 loai . y 1 x y 0 2 x y xy 1 x 0 y 1 5 x 2 y xy 1 5 4 vôùi a = heä coù daïng : * deã nhaän thaáy heä coù 4 2 5 y x xy 1 4 5 ít nhaát 2 nghieäm thoaû nhö (1;0) , (0;1) . Vaäy vôùi a = khoâng thoûa 4 keát luaän : khoâng toàn taïi a ñeå heä coù nghieäm duy nhaát 29
ÑAÏI SOÁ Giaûi heä . x 1 2 y a * 2 x y 1 a Giaûi : Ñieàu kieän : 1 x, y 2 Heä ñaõ cho coù theå vieát laïi nhö sau . x 1 2 y a * x 1 y 1 2 y 2 x 0 x 1 2 y a y x x y x y 0 x 1 2 y a x 1 y 1 2 y 2 x a 0 heä voâ nghieäm y x y x a > 0 (1) 2 2 3 2 (x 1)(2 x) a 2 (x 1)(2 x) a 3 y x y x a 3 3 a 6 2 1 2 2 1 9 (a2 3)2 x x 2 (a 3) 0 x 4 1,2 2 Heä ñaúng caáp. Giaûi heä phöông trình . x 2 xy y2 5 y x 5 2 * 2 x y 2 xy 30
ÑAÏI SOÁ Giaûi : Ñieàu kieän : x 0 , y 0 Heä ñaõ cho coù theå vieát laïi nhö sau . x 2 xy y2 5 * 2 5xy 2 2x y 2 2 x 2 xy y2 5 2 5xy 2 2 2 5( 2x y ) 2 x xy y 5 2 x2 xy y 2 5 x2 xy y 2 5 x 2y 2 29 2 8x xy 3y 0 3 2 x y 16 2 2 y 1 x xy y 5 y 1 x 2y x 2y x2 xy y 2 5 * x2 xy y 2 5 3 x y 3 vn 16 x y 16 x 2 y 1 vaäy heä coù 2 nghieäm . x 2 y 1 31
ÑAÏI SOÁ Giaûi heä phöông trình . 2 2 3x 2xy y 11 * 2 2 x 2xy 3y 17 Giaûi : 51x 2 34xy 17y 2 11.17 * 40x 2 12xy 16y 2 0 2 2 11x 22xy 33y 17.11 Nhaän xeùt phöông trình khoâng coù nghieäm (x;0) . x x Ta coù :40( ) 2 12( ) 16 0 y y x 1 y 2 x 1 1 x y y 2 2 2 y 4 4 3 x * 3 4 x y 5 5 3 y 3 2 25 y 3 4 3 x 3 5 3 y 3 Vaäy heä phöông trình coù 4 nghieäm nhö treân. Giaûi heä phöông trình . 2 2 x 2xy 3y 0 * x x y y 2 32
ÑAÏI SOÁ Giaûi : Deã daøng nhaän thaáy heä khoâng coù nghieäm (x;0) . 2 2 x 2 2x x 2xy 3y 0 ( ) 3 0 Do ñoù * y y x x y y 2 x x y y 2 x 1 x y y 2x x 2 x 3 x 3y y 8y y 2 x x y y 2 x y x 0 x 1 2 y 1 x 1 3 x x 3y 2 1 y 0 y 1 2 y2 4 MOÄT SOÁ BAØI TAÄP . Giaûi heä phöông trình . sin 2 x m tan y m * 2 tan y msin x m a) Giaûi heä vôùi m = 1 b)Vôùi nhöõng giaù trò naøo cuûa m thì heä coù nghieäm 33
ÑAÏI SOÁ chöùng toû raèng vôùi a 0 , heä coù nghieäm duy nhaát . 2 2 a 2x y y * a 2 2y 2 x x Cho (x;y;z) laø nghieäm cuûa heä phöông trình x 2 y2 z2 8 xy yz zx 4 8 8 Chöøng minh raèng . x, y,z 3 3 Tìm a ñeå heä sau ñaây coù nghieäm. 3 cos x a.cos x * 3 sin x a.sin x Tìm a ñeå heä sau ñaây coù nghieäm duy nhaát. xy (x y)z 2 a * 2 2 2 x y 2009z a Giaûi heä phöông trình . 3x 2 5xy 4y2 3 2 2 9y 11xy 8x 6 34
ÑAÏI SOÁ Giaûi heä phöông trình . 1 x y 1 5 xy 1 x 2 y2 1 2 2 x y Giaûi heä phöông trình . 2 2 2x 3x y 2 2 2 2y 3y x 2 Tìm a ñeå heä sau ñaây coù nghieäm. x 4 y 1 4 x y 3a Cho heä phöông trình. x y a 1 2 2 2 x y y x 2a m 3 a) giaûi heä m=3 b) chöùng minh raèng vôùi moïi m heä phöông trìmh luoân coù nghieäm Moät soá daïng thöôøng gaëp khaùc. f (x) f (y) y g(x) 35
ÑAÏI SOÁ Giaûi heä phöông trình . 2 2 x x y y * 2 2 x y 3(x y) Giaûi : Heä ñaõ cho coù theå vieát laïi nhö sau . 2 2 x x y y (x y)(x y 1) 0 * 2 2 2 2 x y 3(x y) x y 3(x y) x y 1 2 2 x y 3(x y) x y 1 2 2 2 x y 3(x y) Vì x y 0 neân deã nhaän thaáy (2) voâ nghieäm . x 0 x y y 0 * 2x(x 3) 0 x 3 y 3 Giaûi heä phöông trình . 3 3 x 7x y 7y * 2 2 x y x y 4 Giaûi : Heä ñaõ cho coù theå vieát laïi nhö sau . 36
ÑAÏI SOÁ x y 1 2 2 2 2 (x y)(x y xy 7) 0 x y x y 4 * xeùt 2 2 2 2 x y x y 4 x xy y 7 0 2 2 2 x y x y 4 2 2 2 x xy y 7 0 coù x = 3y 28 0 neân (2) voâ nghieäm x 1 x y x y y 1 * x 1 2 2x 2x 4 0 x 2 x 2 y 2 Tìm caùc soá x,y thuoäc khoaûng (0; ) thoûa maõn heä. cot gx cot gy x y * 5x 8y 2 Giaûi : Xeùt haøm soá y = cotgx – x vôùi x (0; ) y/ = - ( cotg2x + 1) – 1 < 0  x . Vaäy haøm soá luoân luoân giaûm do ñoù phöông trình cotgx – x = cotgy – y coù nghieäm duy nhaát x = y 2 x x y x y 13 5x 8y 2 13x 2 2 y 13 37
ÑAÏI SOÁ Phöông trình aån ñoái xöùng xn a bn bx a Giaûi phöông trình . x 3 1 23 2x 1 (*) Giaûi : ñaët t 3 2x 1 3 2 2 x 1 2t (x t)(x t xt) 2(t x) * 3 3 t 1 2x t 1 2x x t 2 2 x t xt 1 0 3 t 1 2x 2 2 Deã daøng thaáy phöông trình x t xt 1 0 voâ nghieäm vì x < 0 x 1 3 x t x 2x 1 1 5 * hay x t 3 1 2x 3 2 x 2x 1 0 1 5 x 2 Giaûi phöông trình . x 2 1 2 2x 1 (*) Giaûi : 1 x ñaët t 2x 1 0 2 38
ÑAÏI SOÁ x 2 1 2t (x t)(x t) 2(t x) * 2 2 t 1 2x t 1 2x x t x t 1 0 (l) 2 t 1 2x 1 x Phöông trình x t 1 0 voâ nghieäm vì 2 t 0 x t x 2x 1 * x 1 2 2 t 1 2x x 2x 1 0 39
ÑAÏI SOÁ Phaàn 3 ÑIEÀU KIEÄN CAÀN VAØ ÑUÛ. (coù theå giaûi nhöõng baøi phi tuyeán) Caàn phaùt hieän ñieàu kieän caàn hôïp lí.Choïn ñieàu kieän ñuû . Tìm a ñeå heä sau ñaây coù nghieäm duy nhaát. x 2 2 x y x a * 2 2 x y 1 Giaûi : * ñieàu kieän caàn. Giaû söû heä coù nghieäm duy nhaát (x;y) thì heä cuõng coù nghieäm (-x;y) ,do tính duy nhaát cuûa nghieäm neân heä coù nghieäm duy nhaát khi . x = -x x = 0 . Thay vaøo (*) ta ñöôïc 1 y a a 0 2 y 1 a 2 *ñieàu kieän ñuû . Vôùi a = 2 heä (*) trôû thaønh . x 2 2 x y x 2 1 deã nhaän thaáy heä coù nghieäm (1;0) , (-1;0) 2 2 x y 1 2 neân a = 0 khoâng thoûa . Vôùi a = 2 heä (*) trôû thaønh . x 2 2 x y x 3 2 x x 1, y 1 x x , 2 y 2 2 x y 1 4 2 x y 2 x 0 Vaäy (3)(4) x x y 1 x 2 y2 1 40
ÑAÏI SOÁ Vaäy theo ycbt thì : a = 0 Tìm a ñeå heä sau ñaây coù nghieäm vôùi moïi b . 2 a 2 y (x 1) (b 1) 2 * 2 a bx x y 1 Giaûi : * ñieàu kieän caàn. Giaû söû heä coù nghieäm  b töùc coù nghieäm vôùi b = 0 , ta ñöôïc 2 x 1 1 2 a 2 (x 1) 1 a x y 1 a 1 2 a x y 1 a 0 a 0 2 a x y 1 *ñieàu kieän ñuû . Vôùi a = 0 heä (*) trôû thaønh 2 y (b 1) 1 1 neáu b 0 suy ra y = 0 ta nhaän thaáy (2) khoâng 2 bx x y 1 2 thoûa maõn . Vaäy b 0 vaø a = 0 khoâng thoaû maõn ycbt . Vôùi a = 1 heä (*) trôû thaønh 2 2 y x (b 1) 1 3 roõ raøng  b (3)(4) luoân luoân thoûa maõn 2 bx x y 0 4 x 0 y 0 Vaäy a = 1 laø ñieàu kieän caàn vaø ñuû ñeå thoaû ycbt . Tìm a ñeå heä sau ñaây coù nghieäm vôùi moïi b . bx 2 2 2 (a 1)by a * 3 2 (a 1)x y 1 41
ÑAÏI SOÁ Giaûi : * ñieàu kieän caàn. Giaû söû heä coù nghieäm  b töùc coù nghieäm vôùi b = 0 , ta ñöôïc 2 1 a a 1 3 2 (a 1)x y 1 a 1 *ñieàu kieän ñuû . Vôùi a = 1 heä (*) trôû thaønh bx 2 bx 2 2by 1 2 1 2b 1 2 2 y 1 y 1 2 1 Deã nhaän thaáy  b phöông trìmh 1 voâ nghieäm . Vaäy a = 1 khoâng 2 thoûa maõn . Vôùi a = -1 heä (*) trôû thaønh bx 2 2 a 3 x 0 roõ raøng  b heä (3)(4) luoân luoân nhaän laø 3 2 2x y 1 4 y 1 nghieäm Vaäy a = -1 laø ñieàu kieän caàn vaø ñuû ñeå thoûa maõn ycbt . Tìm a ñeå heä sau ñaây coù nghieäm duy nhaát. 2 ax a 1 y sin x * 2 2 tan x y 1 Giaûi : * ñieàu kieän caàn. Giaû söû heä coù nghieäm duy nhaát (x;y) thì heä cuõng coù nghieäm (-x;y) ,do tính duy nhaát cuûa nghieäm neân heä coù nghieäm duy nhaát khi . x = -x x = 0 . Thay vaøo (*) ta ñöôïc 42
ÑAÏI SOÁ a 1 y a 0 2 y 1 a 2 * ñieàu kieän ñuû Vôùi a = 0 heä (*) trôû thaønh 1 y sin x y 1 heä naøy voâ soá nghieäm tuøy theo giaù trò 2 2 tan x y 1 x k cuûa k Vaäy a = 0 khoâng thoaû maõn ycbt Vôùi a = 2 heä (*) trôû thaønh 2 4x 1 y sin x 1 y 1 y 1, x, 4x 2 1 sin x 1(1)(2) 2 2 tan x y 1 2 y 1 2 x 0 2x sin x 0 y 1 2 tan x 0 Vaäy a = 2 laø ñieàu kieän caàn vaø ñuû ñeå thoûa maõn Tìm m ñeå phöông trình sau ñaây coù nghieäm duy nhaát. 4 x 4 1 x x 1 x m * Giaûi : * ñieàu kieän caàn. Neáu (*) coù nghieäm x = x0 thì (*) cuõng coù x = 1 - x0 do tình duy nhaát cuûa nghieäm neân ñeå phöông trình coù nghieäm duy nhaát khi x0 = 1 - x0 1 hay x0 = 2 Thay vaøo (*) ta ñöôïc . m = 2 4 8 * ñieàu kieän ñuû Vôùi m = 2 4 8 (*) trôû thaønh 43
ÑAÏI SOÁ 4 x 4 1 x x 1 x 2 4 8 * Theo baát ñaúng thöùc Bunhiakoápki thì . x 1 x 2 (1) 4 x 4 1 x 8 (2) töø (1) vaø (2) ñeå thoaû (*) ta caàn ñaúng thöùc (1) vaø (2) xaûy ra ñoàng thôøi , hay 1 x 1 1 x 1 x 1 4 x 2 4 1 1 x Toùm laïi phöông trình coù nghieäm duy nhaát khi m = 2 4 8 Tìm x ñeå phöông trình sau nhgieäm ñuùng a 2log 2 (4 7 2x ) log 2 2 (4 3x) * 2 a 2 a x Giaûi : * ñieàu kieän caàn. Phöông trình (*) ñuùng a neân ñuùng vôùi a = 0 , ta coù 2log2 (4 7 2x ) log2 (4 3x) (1) 4 7 2x 0 7 4 x 1 4 3x 0 x Vaäy (1) 2 3 87 7 2x 0 x 25x 2 62x 87 0 25 4 7 2x 4 3x *ñieàu kieän ñuû . Vôùi x = 1 (*) trôû thaønh 2log 2 1 log 2 2 1 (2) 2 a 2 a x .(2) hieån nhieân ñuùng a 44
ÑAÏI SOÁ 87 Vôùi x (*) trôû thaønh . 25 2 19 361 2 87 2 2log 2 log 2 2 a 2 a 2 a 87 2 5 2 a2 25 25 252 872 ( 1)a 2 0 3 252 87 Deã daøng nhaän thaáy (3) chæ ñuùng vôùi a = 0 , neân x khoâng thoûa 25 maõn ycbt Toùm laïi ñieàu kieän caàn vaø ñuû laø x = 1 . Tìm x ñeå phöông trình sau nhgieäm ñuùng a 2 2 2 2 log (a x 5a x 6 x ) log 2 (3 x 1) * 2 2 a Giaûi : * ñieàu kieän caàn. Phöông trình (*) ñuùng a neân ñuùng vôùi a = 0 , ta coù 1 x 6 x 2 log2 6 x log2 (3 x 1) x 1 3 x 5 6 x x 1 3 * ñieàu kieän ñuû . 2 log (2 12a ) log 2 2 Vôùi x = 2 (*) trôû thaønh . (*) 2 2 a . phöông trình 1 khoâng theå ñuùng a vì ñieàu kieän a 2 vaäy vôùi x = 2 khoâng thoûa maõn 6 ycbt. Vôùi x = 5 (*) trôû thaønh log 1 log 2 1 (*) 2 2 a . roõ raøng phöông trình ñuùng a Toùm laïi ñieàu kieän caàn vaø ñuû laø x = 5 . 45
ÑAÏI SOÁ Tìm m ñeå phöông trình sau ñaây coù nghieäm duy nhaát. 1 m * 2 x 2 Giaûi : *ñieàu kieän caàn . Neáu phöông trình (*) coù nghieäm x = x0 thì phöông trình (*) cuõng coù nghieäm x = 4 - x0 do tính duy nhaát cuûa nghieäm neân , ñeå phöông trình coù nghieäm duy nhaát thì x0 = 4 - x0 x0 = 2 vôùi x0 = 2 ta ñöôïc . 1 m m 1 2 2 2 * ñieàu kieän ñuû . Vôùi m = 1 (*) trôû thaønh 1 1 2 x 2 1 x 2 thoûa maõn ycbt. 2 x 2 Toùm laïi ñieàu kieän caàn vaø ñuû laø m = 1 . Tìm a ñeå heä sau ñaây coù nghieäm. 2 2 1 a x 2xy 7y a 1 * 2 2 3x 10xy 5y 2 Giaûi : *ñieàu kieän caàn . Giaû söû heä coù nghieäm (x;y) hay . 2 2 1 a 2 2 1 a x 2xy 7y 2x 4xy 14y 2( ) a 1 a 1 2 2 2 2 3x 10xy 5y 2 3x 10xy 5y 2 46
ÑAÏI SOÁ 4 (x 3y)2 suy ra a 1 0 a 1 a 1 * ñieàu kieän ñuû . Vôùi a 1 2 2 1 a 2 x 2xy 7y 1 1 Ta coù 1 1 2 2 a 1 a 1 3x 10xy 5y 2 2 Coù nghieäm thì (*) coù nghieäm vì moïi nghieäm (1) (2) ñeàu laø nghieäm cuûa heä (*) 2 2 2 2 x 2xy 7y 1 x 2xy 7y 1 Xeùt heä (1) (2) 2 2 2 3x 10xy 5y 2 (x 3y) 0 x 3y 1 heä coù nghieäm .Vaäy ñieàu kieän caàn vaø ñuû laø a 1 y2 4 Tìm b ñeå heä sau ñaây coù nghieäm. 5x 2 4xy 2y2 3 * 2 2 2b 1 7x 4xy 2y 2b 5 Giaûi : *ñieàu kieän caàn . Giaû söû heä coù nghieäm (x;y) hay . 5x 2 4xy 2y2 3 5x 2 4xy 2y2 3 2 2 2b 1 2 2 2b 1 7x 4xy 2y 21x 12xy 6y 3 2b 5 2b 5 18 (4x 2y)2 2b 5 18 5 (4x 2y)2 suy ra 2b 5 0 a 2b 5 2 * ñieàu kieän ñuû . 47
ÑAÏI SOÁ 5 Vôùi a ta coù 2 2 2 2b 1 6 5x 4xy 2y 3 1 1 1 2 2 2b 5 2b 5 7x 4xy 2y 1 2 1 2 Coù nghieäm thì (*) coù nghieäm vì moïi nghieäm 1 2 ñeàu laø nghieäm cuûa heä (*) 2 2 2 2 5x 4xy 2y 3 5x 4xy 2y 3 Xeùt heä (1) (2) 2 2 2 7x 4xy 2y 1 (4x 2y) 0 1 x y 2 heä coù nghieäm . 1 x 2 7 5 Vaäy ñieàu kieän caàn vaø ñuû laø a 2 Tìm a ñeå heä sau ñaây coù nghieäm. 2 2 3a 1 5x 7xy 2y a 2 * 2 2 3x xy y 1 Giaûi : * ñieàu kieän caàn . Giaû söû heä coù nghieäm (x;y) hay . 2 2 3a 1 2 2 3a 1 5x 7xy 2y 5x 7xy 2y a 2 a 2 2 2 2 2 3x xy y 1 9x 3xy 3y 3 5 4x 2 4xy y2 a 2 5 (2x y)2 suy ra a 2 0 a 2 a 2 48
ÑAÏI SOÁ * ñieàu kieän ñuû . Vôùi a 2 ta coù 2 2 3a 1 5 5x 7xy 2y 3 1 3 3 2 2 a 2 a 2 3x xy y 1 2 Coù nghieäm thì (*) coù nghieäm vì moïi nghieäm 1 2 ñeàu laø nghieäm cuûa heä (*) Xeùt heä 2 2 2 5x 7xy 2y 3 (2x y) 0 1 2 2 2 2 2 3x xy y 1 3x xy y 1 y 2x 1 x 2 9 heä coù nghieäm .Vaäy ñieàu kieän caàn vaø ñuû laø a 2 MOÄT SOÁ BAØI TAÄP Tìm a ñeå heä sau ñaây coù nghieäm. 5x 2 2xy y 2 3 * 2 2 3a 6x 6xy 3y a 1 Tìm a , b ñeå phöông trình sau ñaây coù nghieäm ñuùng  x sao chox 1 . 4x 3 ax 2 bx 1 * Tìm a ñeå heä sau ñaây coù nghieäm duy nhaát. xy (x y)z 2 a * 2 2 2 x y 2009z a 49
ÑAÏI SOÁ Phaàn 4 PHÖÔNG TRÌNH VAØ BAÁT PHÖÔNG TRÌNH Xeùt tam thöùc baäc hai f(x) = ax2 + bx + c =0 (1) , a 0 Ta coù = b2 – 4ac . b Vaäy a. f (x) (ax ) (2) 2 4 Töø (2) suy ra moät soá keát quaû sau ñaây . Ñònh lí 1 : neáu 0 Ñònh lí 2: neáu = 0 thì phöông trình (1) coù nghieäm duy nhaát Ñònh lí 3: neáu > 0 thì phöông trình (1) coù 2 nghieäm b x 1,2 2a Ôû ñònh lí (3) - neáu a.f(x) 0 khi x x2 * töø ñoù ta thu ñöôïc moät soá heä quaû sau . Heä quaû1 : treân truïc soá thöïc xeùt khoaûng ,  maø ,  khoâng laø nghieäm a. f ( ) 0 Neáu ta coù thì 0 vaø x1  x2 a. f ( ) 0 Heä quaû2 : treân truïc soá thöïc xeùt khoaûng , , maø , , khoâng laø nghieäm a. f ( ) 0 Neáu ta coù a. f ( ) 0 thì 0 vaø x1  x2  a. f ( ) 0 50
ÑAÏI SOÁ Caùc soá a,b,c thoûa maõn ñieàu kieän . 5a+4b+6c=0 (1 ) Chöùng minh raèng phöông trình . f(x) = ax2 + bx + c = 0 (2) coù nghieäm . Giaûi : 2 Neáu a = 0 (1) ta coù c b thay vaøo phöông trình (2) ta ñöôïc . 3 2 2 bx b 0 vaäy luoân coù nghieäm x 3 3 Neáu a 0 . (1) (4a+2b +c) + ( a + 2b + 4c ) + c =0 1 1 f(2) + 4f( ) + f(0) af(2) + 4af( ) + af(0) =0 2 2 Vaäy toàn taïi ít nhaát moät soá haïng aâm hoaëc 3 soáâ haïng baèng khoâng , hay phöông trình (2) coù nghieäm . Cho a,b,c laø ñoä daøi ba caïnh cuûa moät tam giaùc . Chöùng minh raèng phöông trình (a2 +b2-c2)x2-4abx+ a2 +b2-c2 = 0 (*) coù nghieäm . Giaûi : Neáu a2 +b2-c2 = 0 ABC laø tam giaùc vuoâng taïi c thì (*) coù nghieäm x = 0 Neáu a2 +b2-c2 0 ta coù / = (2ab)2 – (a2 +b2-c2)2 = (2ab + a2 +b2-c2)(2ab - a2 -b2+c2) = [(a+b)2 – c2][c2-(a-b)2] = (a+b-c)(a+b+c)(c+b-a)(c+a-b) > 0 51
ÑAÏI SOÁ Vì a,b,c laø 3 caïnh cuûa moät tam giaùc neân / > 0 , vaäy phöông trình luoân coù 2 nghieäm ( toång hai caïnh cuûa moät tam giaùc luoân lôùn hôn caïnh coøn laïi ) Toùm laïi phöông trình (*) luoân luoân coù nghieäm . Cho caùc phöông trình . ax2 + bx + c =0 (a.c 0 ) cy2 + by + a =0 coù caùc nghieäm x1 , x2 , y1 , y2 töông öùng . Chöùng minh raèng 2 2 2 2 x1 x2 y1 y2 4 Giaûi : Theo Cauchy ta luoân coù . a 2 b 2 2 ab c Ta coù : x 2 x 2 2 x .x 2 1 2 1 2 a a y 2 y 2 2 y .y 2 1 2 1 2 c 2 2 2 2 c a Vaäy x1 x2 y1 y2 2 2.2 4 (ñpcm) a c Giaû söû x , y laø caùc soá thoaû caùc phöông trình x 2 2ax 9 0 a 3 y 2 2by 9 0 b 3 Tìm giaù trò nhoû nhaát cuûa bieåu thöùc 2 2 1 1 f a,b 3 x y x y Giaûi : 52
ÑAÏI SOÁ Nhaän xeùt töø giaû thieát ta coù x 0, y 0 Ñaët x t khi ñoù theo Cauchy ta ñöôïc . 2 1 1 16 f a, b 3 t y 2 3 t y 2 8 3 (xem phaàn baát 2 t y t y ñaúng thöùc) Vaäy min f(a,b) = 8 3 ñaúng thöùc xaûy ra khi . 1 t y t 4 t y 3 2 16 thay vaøo phöông trình 3 t y 4 2 3y 1 1 t y y 4 3 ta coù. 1 2 9 3 1 a 9 0 a 3 4 3 24 3 1 2 9 3 1 b 9 0 b 4 4 3 3 2 3 Giaûi vaø bieän luaän. t(t 2 1) t 2 m(1 t 2 )2 * Giaûi : 2 4t 2t * t(t 2 1) t 2 m(1 t 2 )2 4m 1 t 2 1 t 2 x 1 2t Ñaët 2 x t 0 khi x 0 1 1 t 1 1 x 2 t x 0 x 53
ÑAÏI SOÁ Phöông trình (*) coù theå vieát laïi . f (x) x 2 2x 4m 0 2 , x 1 f ( 1) 1 4m Ta coù : f (1) 3 4m 1 4m Th1 : 1 m = phöông trình (2) coù nghieäm x x 1 t 1 4 1 2 Th2: 3 x1 1 m = phöông trình (2) coù nghieäm t 1 4 x 2 3(l) 1 m 4 Th3: 3 m 4 1 3 Neáu m hay x 1 x 1 thì phöông trình coù 1 4 4 1 2 nghieâm x2 1 1 4m phöông trình naøy cho 2 nghieäm (1) 2 1 1 x 2 t 2 x 2 3 Neáu m hay x 1 1 x thì phöông trình voâ nghieäm . 4 1 2 54
ÑAÏI SOÁ m af (1) af ( 1) - _ + + 1 4 0 0 + + _ 3 0 4 + _ _ + Tìm a ñeå phöông trình coù nghieäm a 1 x 2 a 1 x 2 a 0 0 x 1 Tìm a ñeå phöông trình coù nghieäm a 2 4a 3 x 2 2(a 1)x 2 0 2 x 1 Tìm a ñeå phöông trình coù nghieäm ax 2 (a 3 2a 2 1)x a(a 2) 0 0 x 1 Giaûi phöông trình ax 4 x 2 1 0 Giaûi phöông trình x x 2 2a 0 1 x 1 x 55
ÑAÏI SOÁ Xeùt phöông trình . 2 1 x ax 0 coù nghieäm x1 , x2 2 Tìm giaù trò nhoû nhaát cuûa 2 1 1 2 f (a) x1 x 2 x1 x 2 x1 x 2 Giaûi : 1 x1 0 Vì x1.x2 0 neân x1 x 2 2 x 2 0 2 1 1 2 Ñaët x1 t0 khi ñoù . f (a) t 0 x 2 t 0 x 2 t 0 x 2 Xeùt 2 soá a, b döông ta luoân coù . a b 2 0 a b 2 4ab a, b 0 a, b 0 1 1 4 a b a b 4ab a b a b a, b 0 a, b 0 Vaäy töø baát ñaúng thöùc treân ta ñöôïc . 2 4 2 f (a) t 0 x 2 t 0 x 2 t 0 x 2 16 2 t x 2 8 8 2 8 0 2 2 t 0 x 2 min f (a) 8 2 8 56
ÑAÏI SOÁ 1 t 0 x 2 t 0 x1 4 2 Daáu baèng xaûy ra khi 2 8 t x 1 0 2 2 x t 0 x 2 2 4 2 Cho 3 soá   0 ñaët      a ; b ;c  3 3 Chöùng minh raèng caùc phöông trình . ax 2 2bx c 0 (1) ñeàu coù 2 nghieâm x 2 2ax b 0 (2) Giaûi : Xeùt phöông trình (1) ta coù 2      / b 2 ac .  3 3 1     2 3 (  ) 9 1    2   2   2  0 18 Vì ø   0 . Xeùt phöông trình (2) ta coù 2      / a 2 b 3 3 1    2 3(    ) 9 1   2   2  2  0 18 Vì   0 . Toùm laïi caùc phöông trình treân ñeàu coù 2 nghieäm . 57
ÑAÏI SOÁ Baøi taäp Cho phöông trình .f (x) ax 2 bx c 0 vaø a 0 tìm caùc ñieàu kieân sau . x1  x 2  x1 x 2 x1  x 2  trong ñoù gs x1 x 2 laø 2 nghieäm x1 x 2  x1 x 2  Baøi toaùn cöïc trò baäc hai Tìm giaù trò lôùn nhaát ,nhoû nhaát cuûa bieåu thöùc : x 2 2x 2 y * x 2 2x 2 Giaûi : Vì x 2 2x 2 0 x neân . (*) y 1 x 2 2 y 1 x 2 y 1 0 coù nghieäm Th1 . y 1ta ñöôïc x 0 Th2 . y 1ñeå phöông trình coù nghieäm khi . y 1 2 2 y 1 2 0 y 2 6y 1 0 3 2 2 y 3 2 2 Toùm laïi töø hai tröôøng hôïp ta ñöôïc . max y 3 2 2 min y 3 2 2 58
ÑAÏI SOÁ Tìm giaù trò lôùn nhaát ,nhoû nhaát cuûa bieåu thöùc : 3 x 3 4 1 x 1 y * 4 x 3 3 1 x 1 Giaûi : 2 2 ñieàu kieän 3 x 1 vaø x 3 1 x 4 neân ta ñaët . 2t x 3 2 2 1 t 0 t 1 1 t 2 1 x 2 1 t 2 7t 2 12t 9 Ta ñöôïc y 0 t 1 5t 2 16t 7 Deã daøng nhaän thaáy 0 t 1 thì 5t 2 16t 7 0 neân 7 5y t 2 2 8y 6 t 7y 9 0 7 1 Th1 y ta ñöôïc t 0,1 5 13 7 Th2 y 5 99y 2 190y 99 0y f (0) 7y 9 ta coù f (1) 18y 14 S 6 8y 2 7 5y 7 9 1) f (0).f (1) 0 y 9 7 59
ÑAÏI SOÁ f (0).f (1) 0 18y 14 7y 9 0 S 0 1 3y 1 6 8y 0 heä voâ nghieäm 2) 2 y 0 7 5y 7y 9 0 af (0) 0 9 7 Vaäy max y vaø min y 7 9 Tìm giaù trò lôùn nhaát ,nhoû nhaát cuûa bieåu thöùc : A x 2 xy 2y 2 bieát raèng x 2 y 2 xy 1 Giaûi : x 2 xy 2y 2 A (*) x 2 y 2 xy _y 0 A 1 t 2 t 2 x _y 0 A , t t 2 t 1 y t 2 t 2 A phaûi coù nghieäm t 2 t 1 A 1 t 2 A 1 t A 2 0 phaûi coù nghieäm 3A 2 14A 7 0 7 2 7 7 2 7 A 3 3 7 2 7 7 2 7 max A , min A 3 3 Baøi taäp 60
ÑAÏI SOÁ Tìm giaù trò nhoû nhaát cuûa bieåu thöùc : A 2x 2 xy y 2 bieát raèng 2x 2 y 2 xy 1 Tìm giaù trò lôùn nhaát ,nhoû nhaát cuûa bieåu thöùc : 20x 2 10x 3 y * 3x 2 2x 1 Tìm giaù trò lôùn nhaát ,nhoû nhaát cuûa bieåu thöùc : x 2 y 2 y , x.y 0 x 2 xy 4y 2 Phöông trình baäc boán Daïng 1 ax 4 bx 2 c 0 ñaët t x 2 0 Daïng 2 x a x b x c x d 0 Vôùi a b c d Ñaët t x a x b (tính ñeå tìm ñieàu kieän cuûa t ) Daïng 3 x a 4 x b 4 m a b Ñaët t x 2 Haèng ñaúng thöùc a b 4 a 4 4a 3b 4b3a 6a 2b 2 b 4 Daïng 4 ax 4 bx 3 cx bx a 0 Chia 2 veá cho x 2 (vì x=0 khoâng laø nghieäm) 61
ÑAÏI SOÁ 1 Ñaët t x x (tính ñeå tìm ñieàu kieän cuûa t ) Tìm nghieäm thöïc cuûa phöông trình : x 1 x 5 x 3 x 7 297 1 Giaûi : Vì 5 1 7 3 neân ta ñaët t x 1 x 5 x 2 4x 5 t coù nghieäm . 4 5 t 0 t 1 Phöông trình coù daïng . 2 t 27 n t 16t 297 0 1 t 11 l t 1 t 1 Vaäy ta coù . x 1 x 5 27 x 4 x 8 Tìm nghieäm thöïc cuûa phöông trình : x 4 x 1 4 97 Giaûi : 1 Ñaët t x 2 Phöông trình treân coù theå vieát thaønh : 62
ÑAÏI SOÁ 4 4 1 1 t t 97 2 2 16t 4 24t 2 775 0 25 5 t 2 n t 4 2 124 5 t 2 l t 16 2 Vaäy ta coù . 1 5 x 2 2 x 3 1 5 x 2 x 2 2 Tìm nghieäm cuûa phöông trình : 6x 4 35x3 62x 2 35x 6 0 (*) Giaûi : Nhaän xeùt phöông trình (*) khoâng coù nghieäm x = 0 1 1 * 6 x 2 35 x 62 0 x 2 x 1 1 Ta ñaët t x t 2 2 x2 , t 2 x x2 Phöông trình coù daïng . 6t 2 35t 50 0 10 t n 3 vaäy ta ñöôïc nghieäm nhö sau . 5 t n 2 63
ÑAÏI SOÁ x 3 1 10 1 x n x x 3 3 1 5 x 2 x n x 2 1 x 2 Baøi taäp Tìm nghieäm cuûa phöông trình : x 4 5x 3 10x 2 5x 4 0 (*) Tìm nghieäm cuûa phöông trình : x 4 x 3 4x 2 x 1 0 (*) Tìm nghieäm cuûa phöông trình : 1 cos x 4 cos x 1 4 8 64
ÑAÏI SOÁ Phaàn 5 BAÁT ÑAÚNG THÖÙC. GTLN VAØ GTNN 1) baát ñaúng thöùc Cauchy. Vôùi a1,a 2 ,a 3 , ,a n laø nhöõng soâù döông , ta luoân coù a a a a 1 2 3 n n a a a a n 1 2 3 n Ñaúng thöùc xaûy ra khi vaø chæ khi a1 a2 a3 an 2) Baát ñaúng thöùc Bunhiakoâpxki hay Cauchy-Svaxô Vôùi moïi a1,a 2 ,a 3 , ,a n ,b1 , b 2 , b 2 , , b n ta luoân coù a1b1 a 2 b 2 a 3b3 a n b n 2 2 2 2 2 2 2 2 a1 a 2 a 3 a n b1 b 2 b3 a n Ñaúng thöùc xaûy ra khi vaø chæ khi a a a a 1 2 3 n b1 b2 b3 bn Ñaëc bieät . a b 2 0 a b 2 4ab a,b 0 a,b 0 1 1 4 a b a b 4ab a b a b a,b 0 a,b 0 Chuùng ta neân nhaän bieát tröôùc ñieåm rôi cuûa caùc baát ñaúng thöùc thò vieäc chöùng minh coù theå deã hôn moät ít. Ngoaøi ra coù nhieàu caùch chöùng minh baát ñaúng thöùc nhö khaûo saùt , phöông phaùp ñoà thò , phöông phaùp töông ñöông , vectô , tam thöùc ,ñieàu kieän coù nghieäm 65
ÑAÏI SOÁ Cauchy ngöôïc daáu Cho a,b,c 0 vaø a b c 3 a b c Tìm giaù trò nhoû nhaát A 1 b 2 1 c2 1 a 2 Giaûi (Vôùi baøi naøy ta nhaän xeùt do tính ñoái xöùng cuûa (a;b;c) maø ñieåm rôi cuûa ñaúng thöùc coù theå laø a b c 1 ) a ab 2 a a ab 2 2 a Ta coù 1 b 1 b 2 2 1 b 2 1 b 2ab Cuõng chöùng minh töông töï vaø coäng veá theo veá ta ñöôïc 1 A a b c (ab bc ca) 1 2 3(ab bc ca) a b c 2 Maø ab bc ca 3 2 3 Vaäy töø 1 vaø 2 ta ñöôïc A 2 Ñaúng thöùc xaûy ra khi 1 a a b 1 b vaø b c hay a b c 1 1 c c a Cho a,b,c 0 vaø a b c 3 1 a 1 b 1 c Tìm giaù trò nhoû nhaát A 1 b 2 1 c2 1 a 2 Giaûi 66
ÑAÏI SOÁ 1 a b2 (a 1) (a 1) 1 b2 1 b2 2 Ta coù 1 b 2b 1 a b(a 1) (a 1) 1 b2 2 Chöùng minh töông töï vaø coäng veá theo veá ta ñöôïc a b c ab bc ca A 3 2 2 3(ab bc ca) a b c 2 Maø ab bc ca 3 2 Töø ñoù suy ra A 3 Ñaúng thöùc xaûy ra khi 1 a a b 1 b vaø b c hay a b c 1 1 c c a Chöùng minh raèng  soá döông a,b,c ,d ta luoân coù. a 3 b3 c3 d 3 a b c d a 2 b 2 b 2 c 2 c 2 d 2 d 2 a 2 2 Giaûi a 3 ab 2 a a 2 b 2 a 2 b 2 2 2 Ta coù a b 2ab a 3 b a a 2 b 2 2 b3 c b 2 2 2 b c c3 d c c 2 d 2 2 67
ÑAÏI SOÁ d 3 a d d 2 a 2 2 Coäng veá theo veá ta ñöôïc ñpcm a 3 b3 c3 d3 a b c d a 2 b 2 b 2 c2 c2 d 2 d 2 a 2 2 Chöùng minh raèng  soá döông a,b,c ,ta luoân coù. a3 b3 c3 a b c a 2 ab b2 b2 bc c 2 c 2 ca a 2 3 Giaûi Ta coù a 3 ab a b a a 2 ab b 2 a 2 ab b 2 2 2 a b 2ab a 3 ab a b a b a a a 2 ab b 2 3ab 3 Chöùng minh töông töï ta coù. b3 bc b c b c b b 2 2 3bc 3 b bc c c3 ca c a c a c c c 2 ca a 2 3ca 3 Coäng veá theo veá ta ñöôïc ñieàu phaûi chöùng minh a 3 b3 c3 a b c a 2 ab b 2 b 2 bc c 2 c 2 ca a 2 3 68
ÑAÏI SOÁ a,b,c laø ñoä daøi ba caïnh cuûa moät tam giaùc vôùi chu vi 2p. Chöùng chöùng minh raèng : abc a) p a p b p c 8 1 1 1 1 1 1 b) 2 p a p b p c a b c Giaûi : a) Aùp duïng baát ñaúng thöùc Cauchy vôùi 2 soá döông ta coù . p a p b c p a p b 1 2 2 p b p c a p b p c 2 2 2 p c p a b p c p a 3 2 2 a b c Trong ñoù p 2 nhaân veá theo veá 1 2 3 ta ñöôïc abc p a p b p c (ñpcm) 8 b) nhö chöùng minh treân ta coù . 1 1 4 4 p a p b p a p b c 1 1 4 4 p b p c p b p c a 1 1 4 4 p c p a p c p a b Coäng veá theo veá ta ñöôïc ñpcm 1 1 1 1 1 1 2 p a p b p c a b c 69
ÑAÏI SOÁ Baøi taäp Cauchy ngöôïc Cho a,b,c 0 vaø a b c 3 a 2 b 2 c2 Chöùng minh raèng 1 1 2b3 1 2c3 1 2a 3 Cho a,b,c, 0 ø Chöùng minh 1 1 1 1 a 3 b3 abc b3 c3 abc c3 a 3 abc abc Cho a,b,c, 0 vaø a b c d 4 a 2 b 2 c2 d 2 Chöùng minh 2 1 b 2c 1 c2d 1 d 2a 1 a 2 b Cho a,b,c, 0 ab bc ca a b c Chöùng minh a b b c c a 2 Cho 0 x 1, 0 y 2 . Chöùng minh : 1 x 2 y 4x y 4 Ñaúng thöùc xaûy ra khi naøo . 1 1 1 Cho x, y,z laø caùc soá döông thoûa maõn 20 x y z 1 1 1 Chöùng minh raèng . 5 x y 2z y z 2x z x 2y 70
ÑAÏI SOÁ Ñieåm rôi cuûa Cauchy Cho x, y, 0 vaø x 2 y 2 1 Tìm giaù trò nhoû nhaát A x 3 y3 Giaûi (Vôùi baøi naøy ta nhaän xeùt do tính ñoái xöùng cuûa (x;y) maø ñieåm rôi cuûa 1 ñaúng thöùc coù theå laø x y ) 2 aùp duïng Cauchy cho 3 soá döông. 3 3 1 3 3 1 2 1 x x 33 x .x . 3x 2 2 2 2 2 3 3 1 3 3 1 2 1 y y 33 y .y . 3y 2 2 2 2 Coäng veá theo veá ta ñöôïc . 1 1 2x 3 2y3 3 (x 2 y 2 ) 2 2 1 A 2 1 Min.A 2 Cho x, y, z 0 vaø x 2 y2 z 2 3 Tìm giaù trò nhoû nhaát A x 4 y 4 z 4 Giaûi (Vôùi baøi naøy ta nhaän xeùt do tính ñoái xöùng cuûa (x;y) maø ñieåm rôi cuûa ñaúng thöùc coù theå laø x y 1 ) aùp duïng Cauchy cho 4 soá döông . 71
ÑAÏI SOÁ x4 x4 1 1 44 x4.x41.1 4x2 y4 y4 1 1 44 y4.y41.1 4y2 z4 z4 1 1 44 z4.z41.1 4z2 coäng veá theo veá ta ñöôïc . 2(x 4 y 4 z 4 ) 6 4(x 2 y 2 z 2 ) 12 x 4 y 4 z 4 3 Min.A 3 Vaán ñeà laø taïi sao ta bieát coäng hai soá x 4 , vaø hai soá 1 ta ñi tìm tính toång quaùt cuûa baøi toaùn . Cho x, y, 0 ,a b vaø x a ya 1 Tìm giaù trò nhoû nhaát A x b y b Giaûi aùp duïng Cauchy cho b soá döông ta coù . 1 1 1 x b x b x b  a b a b a b a 222 b a bx a . .a 2(b a) Töông töï ta coù . 1 1 1 y b y b y b  a b a b a b a 222 b a bya . .a 2(b a) Coäng veá theo veá ta ñöôïc . 72
ÑAÏI SOÁ 1 b a.A 2(b a) a 2b .a 2(b a) 1 b a.A 2(b a) 2a 2(b a) .a 2(b a) 1 A a 2b a 1 min A a 2b a Cho x, y, 0 , vaø ax 2 by 2 1 Tìm giaù trò nhoû nhaát A cx 3 dy3 Giaûi Goïi soá m laø soá döông giaû ñònh vaø aùp duïng baát ñaúng thöùc Cauchy cho 3 soá döông . a 3 cx 3 cx 3 .m 3ax 2 .3 m c 2 b3 dy3 dy3 .m 3by 2 .3 m d 2 Coäng veá theo veá ta ñöôïc. a 3 b3 2A .m .33 m (*) 2 2 c d Ñaúng thöùc xaûy ra khi . 3 3 a cx m 3 3 c 2 a b A .m do ñoù töø (*) ta ñöôïc b3 c 2 d 2 dy3 m c 2 a 3 b3 c3d 3 2 .m 33 m m 2 2 c d (a 3d 2 b3c2 )3 73
ÑAÏI SOÁ Khi ñoù giaù trò nhoû nhaát laø . cd A a 3d 2 b3c 2 Baøi taäp ñieåm rôi cuûa Cauchy Cho x, y,z 0 , vaø x 4 y 4 z 4 3 Tìm giaù trò nhoû nhaát A x 6 y6 z 6 Cho x, y, 0 , vaø x 2 y 2 1 2 Tìm giaù trò nhoû nhaát A x 3 y3 2 Cho x, y, 0 , vaø 3x 2 4y 2 1 Tìm giaù trò nhoû nhaát A 5x 3 6y3 Cho x, y, 0 , vaø 7x 2 8y 2 1 Tìm giaù trò nhoû nhaát A 9x 3 10y3 74
ÑAÏI SOÁ Cauchy thuaän- pheùp töông ñöông-Bunhiacoâpxki hay Cauchy-Svaxô Cho ba soá a,b,c baát kyø . Chöùng minh raèng a 2 b 2 c 2 ab bc ca Giaûi Caùch1 Aùp duïng Cauchy cho hai soá döông ta luoân coù . a 2 b2 2 ab 2ab Töông töï . b 2 c 2 2 bc 2bc c 2 a 2 2 ca 2ca Coäng veá theo veá ta ra ñieàu phaûi chöùng minh . Caùch2 Duøng pheùp bieán ñoåi töông ñöông ,ta chöùng minh a 2 b2 c2 ab bc ca 2(a 2 b2 c2 ) 2(ab bc ca) (a 2 b 2 ab) (b 2 c 2 bc) (c 2 a 2 ca) 0 a b 2 b c 2 c a 2 0 Baát ñaúng thöùc luoân luoân ñuùng vôùi moïi a,b,c Caùch3 duøng tam thöùc baäc hai f (a) a 2 (b c)a b 2 c 2 bc Ta caàn chöùng minh f (a) 0a 75
ÑAÏI SOÁ 2 2 2 a (b c) 4(b c bc) 3b 2 6cb 3c 2 3(b c) 2 0 Vaäy f (a) 0 a hay a 2 b2 c2 ab bc ca Cho a,b,c ba soá döông thoûa maõn ñieàu kieän . 1 1 1 2 chöùng minh raèng a.b.c 0,125 1 a 1 b 1 c Giaûi Töø giaû thuyeát ta coù . 1 1 1 2 1 a 1 b 1 c ù 1 1 1 b c 1 1 1 a 1 b 1 c 1 b 1 c aùp duïng Cauchy cho hai soá döông ta coù . 1 b c bc 2 1 a 1 b 1 c 1 b 1 c Töông töï ta coù . 1 c a ca 1 a b ab 2 2 1 b 1 c 1 a 1 c 1 a 1 c 1 a 1 b 1 a 1 b Nhaân veá theo veá ta ñöôïc . 1 1 1 abc . . 8 1 a 1 b 1 c 1 a 1 b 1 c 1 abc 0,125 8 Cho ba soá a,b,c 0 . Chöùng minh raèng . 3 1 a 1 b 1 c 1 3 abc 76
ÑAÏI SOÁ Giaûi Ta coù . 1 a 1 b 1 c 1 a b c ab bc ca abc (*) aùp duïng Cauchy vôùi ba soá döông ta ñöôïc. a b c 33 abc ab bc ca 33 abc 2 (*) 1 a 1 b 1 c 1 33 abc 33 abc 2 abc 2 1 a 1 b 1 c 1 3 abc Cho ba soá a,b,c 0 . Thoûa maõn . ab bc ca abc b2 2a2 c2 2b2 a2 2c2 CMR: 3 (*) ab bc ca Giaûi Töø giaû thuyeát ta coù a, b,c 0 1 1 1 ab bc ca abc 1 a b c 1 1 1 1 1 1 1 1 1 * 3 aùp duïng a 2 b2 b2 b2 c 2 c 2 c 2 a 2 a 2 baát ñaúng thöùc Bunhiacoâpxki ta coù . x y z 12 12 12 . x 2 y 2 z 2 Do ñoù ta coù . 1 1 1 1 1 1 1 a 2 b2 b2 3 a b b 1 1 1 1 1 1 1 b2 c2 c2 3 b c c 77
ÑAÏI SOÁ 1 1 1 1 1 1 1 c2 a 2 a 2 3 c a a Coäng veá theo veá ta ñöôïc . b2 2a 2 c2 2b2 a 2 2c2 1 1 1 1 3 ab bc cb 3 a b c b2 2a 2 c2 2b2 a 2 2c2 3 ab bc cb Cho ba soá a,b,c baát kyø . Chöùng minh raèng ab bc ca 2 3abc a b c Giaûi Duøng pheùp bieán ñoåi töông ñöông. ab bc ca 2 3abc a b c ab bc ca 2 abc a b c 0 ab bc 2 bc ca 2 ca ab 2 0 Baát ñaúng thöùc cuoái cuøng luoân luoân ñuùng neân baát ñaúng thöùc caàn chöng minh ñuùng . Cho ba soá a.b.c 0 baát kyø . Chöùng minh raèng 1 1 1 9 a 2 b2 c2 a 2 b2 c2 Giaûi x a 2 2 Ñaët y b töø ñoù baøi toaùn ñöôïc chöùng minh laø 2 z c Vôùi x 0, y 0, z 0 chöùng minh . 1 1 1 9 x y z x y z 78
ÑAÏI SOÁ 1 1 1 9 x y z x y z (xy yz zx)(x y z) 9 xyz aùp duïng Cauchy cho ba soá döông ta coù xy yz zx 33 xyz 2 x y z 33 xyz Nhaân veá theo veá ta ñöôïc . (xy yz zx )(x y z ) 9xyz (xy yz zx)(x y z) 9 (ñpcm) xyz Baøi taäp Cauchy vaø Cauchy-Svaxô Cho a,b,c,d ba soá döông thoûa maõn ñieàu kieän 1 1 1 1 1 3 chöùng minh raèng a.b.c 1 a 1 b 1 c 1 d 81 Chöùng minh raèng vôùi moïi x, y döông ta coù 1 1 x 2 y2 2 x y x y Chöùng minh raèng vôùi moïi x, y döông ta coù 1 1 1 xy 4 x y 79
ÑAÏI SOÁ Cauchy - Cauchy-Svaxô keïp khaûo saùt Giaû söû x, y laø nhöõng soá döông thoûa maõn ñieàu kieän : x y 1 1 Haõy tìm giaù trò nhoû nhaát cuûa bieåu thöùc P xy xy Giaûi aùp duïng baát ñaúng thöùc Cauchy cho hai soá döông 1 1 x y 2 xy xy 4 1 ñaët t xy 0 t 4 1 P t t 1 1 p/ 1 0 x (0, ] t 2 4 Ñeå phöông trình coù nghieäm 1 17 P P( ) 4 4 1 17 xy 1 min P 4 x y 4 2 x y 1 Cho x, y, z thay ñoåi x 2 y2 z2 1 tìm giaù trò lôùn nhaát , vaø nhoû nhaát cuûa P x y z xy yz zx Giaûi aùp duïng baát ñaúng thöùc Bunhiacoâpxky ta coù x y z 12 12 12 x 2 y2 z2 x y z 3 80
ÑAÏI SOÁ Ta laïi coù . x y z 2 1 2xy 2yz 2zx Ñaët t x y z t 3 1 1 P f (t) t 2 t treâ ñoaïn t 3 2 2 Ñaïo haøm f (t) t 1 f (t) 0 t 1 Baûng bieán thieân. x 3 1 3 f (t) - 0 + 1 3 1 3 f (t) 1 Töø baûng bieán thieân ta coù : min P 1 ; max P 1 3 Cho x, y, thay ñoåi thoûa maõn ñieàu kieän x 0 y 0 haõy tìm giaù trò lôùn nhaát vaø nhoû nhaátcuûa bieåu thöùc : x y 1 P 3x 9y Giaûi 81
ÑAÏI SOÁ P 3x 9x 3x 32y 9 P 3x 32x Ñaët t 3x , x 0,1 t 1.3 9 ta khaûo saùt haøm soá P t treân ñoaïn 1,3 t 2 ñaïo haøm 18 P 1 t 3 P 0 t 3 18 P(1) 10 9 9 min P 33 Ta coù P(3 18) 33 4 4 max P 10 P(3) 4 Baøi taäp Cho x, y,z thay ñoåi laø nhöõng soá döông sao cho x 2 y2 z 2 1 tìm giaù trò lôùn nhaát , vaø nhoû nhaát cuûa P x y z xy yz zx tìm giaù trò lôùn nhaát , vaø nhoû nhaát cuûa haøm soá 2x 4x sin cos 1 1 x 2 1 x 2 82
ÑAÏI SOÁ Phöông phaùp vectô Thoâng thöôøng ñöôïc söû duïng khi trong caên baäc hai coù toång cuûa hai bình phöông Cho x, y, z laø nhöõng soá döông .Chöùng minh raèng : x 2 xy y 2 y 2 yz z 2 z 2 zx x 2 3(x y z) Giaûi Trong maët phaúng oxy goïi ba vectô coù toïa ñoä y 3y z 3z x 3x a x ; ; b y ; ; c z ; 2 2 2 2 2 2 3 3 a b c x y z ; x y z 2 2 Theo baát ñaúng thöùc vectô ta coù:a b c a b c hay x 2 xy y 2 y 2 yz z 2 z 2 zx x 2 3(x y z) Chöùng minh raèng vôùi moïi x vaø y ta ñeàu coù 4cos2 x.cos2 y sin 2 (x y) 4sin 2 x.sin 2 y sin 2 (x y) 2 Giaûi Trong maët phaúng oxy goïi hai vectô coù toïa ñoä a 2cos x.cos y;sin(x y) ; b 2sin x.sin y;sin(x y) a b 2cos(x y);2sin(x y) Khi ñoù. a 4cos 2 x.cos 2 y sin 2 (x y) b 4sin 2 x.sin 2 y sin 2 (x y) a b 4cos2 (x y) 4sin 2 (x y) 2 Theo baát ñaúng thöùc vectô ta coù:a b a b vaäy. 83
ÑAÏI SOÁ 4cos2 x.cos2 y sin 2 (x y) 4sin 2 x.sin 2 y sin 2 (x y) 2 Cho ba soá a,b,c 0 . Thoûa maõn . ab bc ca abc b2 2a2 c2 2b2 a2 2c2 CMR: 3 (*) ab bc ca Giaûi Töø giaû thuyeát ta coù a,b,c 0 1 1 1 ab bc ca abc 1 a b c 1 2 1 2 1 2 (*) 3 a 2 b 2 b 2 c 2 c 2 a 2 Trong maët phaúng oxy goïi ba vectô coù toïa ñoä 1 2 1 2 1 2 a ; ; b ; ; c ; a b b c c a 1 1 1 1 1 1 a b c ; 2 a b c a b c Theo baát ñaúng thöùc vectô ta coù:a b c a b c hay 2 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 1 1 2 a 2 b2 b2 c2 c2 a 2 a b c a b c 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 3 a 2 b 2 b 2 c 2 c 2 a 2 a b c 1 2 1 2 1 2 3 a 2 b 2 b 2 c2 c2 a 2 84
ÑAÏI SOÁ Baøi taäp vectô Cho ba soá x, y, z 0 . Thoûa maõn . x y z 1 1 1 1 CMR:x 2 y 2 z 2 82 (*) x 2 y 2 z 2 Cho ba soá a,b,c 0 . Thoûa maõn . 1 ab bc ca abc tìm giaù trò nhoû nhaát cuûa 3 b2 8a2 c2 8b2 a2 8c2 A (*) ab bc ca Cho ba soá x, y, laø nhöõng soá thöïc , chöùng minh raèng : x 2 4y 2 6x 9 x 2 4y 2 2x 10 5 Cho ba soá a, b,c laø nhöõng soá tuøy yù , chöùng minh raèng a b 2 b d 2 a 2 b 2 c 2 d 2 a c 2 b 2 a c 2 b 2 2 a 2 b 2 Cho ba soá x, y, z 0 , chöùng minh raèng : x y z 3 x y z 85
ÑAÏI SOÁ Chöùng minh baát ñaúng thöùc Cauchy – Svaxô . Vôùi moïi a1,a 2 ,a 3 , ,a n ,b1 , b 2 , b 2 , , b n ta luoân coù a1b1 a 2 b 2 a 3b3 a n b n 2 2 2 2 2 2 2 2 a1 a 2 a 3 a n b1 b 2 b3 a n x, y,z , chöùng minh raèng : xyz x y z x 4 y 4 z 4 Moät soá coâng thöùc thöôøng gaëp trong baát ñaúng thöùc vectô u v u v u,v 0 u.v u .v.cos u;v u .v u.v u .v.cos u;v u.v u .v 86
ÑAÏI SOÁ Ñaúng thöùc Lagrange Ñònh lí Lagrange Neáu haøm soá y f (x) lieân tuïc treân ñoaïn a;b vaø coù ñaïo haøm treân khoaûng a;b thì toàn taïi moät ñieåm c a;b sao cho : f (b) f (a) f (c) b a yù nghóa hình hoïc cuûa ñònh lí Lagrange Neáu haøm soá y f (x) lieân tuïc treân ñoaïn a;b vaø coù ñaïo haøm treân khoaûng a;b thì toàn taïi moät ñieåm c a;b maø heä soá goùc taïi c;f (c) baèng vôùi heä soá goùc cuûa caùt tuyeán AB nhö hình veõ . y f(b) B f(c) C f(a) A a c b töø ñoù ta coù baát ñaúng thöùc sau f (b) f (a) f (c) b a baát ñaúng thöùc caàn chöùng minh a c b 87
ÑAÏI SOÁ Tìm c trong coâng thöùc Lagrange. y x 2 x treân 1;5 Giaûi haøm soáy lieân tuïc treân ñoaïn 1;5 vaø coù ñaïo haøm treân khoaûng 1;5 neân theo Lagrange ta coù f (b) f (a) f (c) b a f (5) f (1) c 1;5 2c 1 5 1 20 4 2c 1 c 3 Chöùng minh raèng neáu 0 b a thì : a b a a b ln a b b Giaûi Xeùt haøm soá . f (x) ln x treân ñoaïn b,a Ñaïo haøm . 1 f (x) x Theo Lagrange ta coù ln a ln b c b;a : f (c) a b a a b ln 1 b c b c a 1 1 1 a b a b a b Maø 2 b 0 a c b a c b 88
ÑAÏI SOÁ a b a a b Töø 1 vaø 2 ln a b b Chöùng minh raèng neáu n 1 thì : 1 n 1 ln n n 1 n 1 1 1 1 1 1 Suy ra :  ln n 1  2 3 n 2 n 1 Giaûi Xeùt haøm soá . f (x) ln x treân ñoaïn n 1, n Ñaïo haøm . 1 f (x) x Theo Lagrange ta coù ln n ln n 1 c n; n 1 : f (c) n n 1 n 1 ln 1 n 1 c n 1 c n 1 1 1 Maø 2 n 1 0 n c n 1 1 n 1 Töø 1 vaø 2 ln n n 1 n 1 Suy ra : 1 n 2 ln 2 1 2 1 1 n 3 ln3 ln 2 3 2 1 1 n n ln n ln n 1 n n 1 89
ÑAÏI SOÁ Coäng veá theo veá , ta ñöôïc : 1 1 1 1 1  ln n 1  2 3 n 2 n 1 Cho haøm soá f(x) lieân tuc treân a; b coù ñaïo haøm trong khoaûng a; b vaø f (x) 0 x a; b chöùng minh raèng : f (c) f (b) b a . e f (c) vôùi c a, b f (a) Giaûi Ta coù : f (c) f (b) b a . f (b) f (c) e f (c) ln b a . 1 f (a) f (a) f (c) Xeùt haøm soá : g(x) lnf (x) thoûa maõn caùc ñieàu kieän cuûa ñònh thöùc Lagange Ñaïo haøm : f (x) g (x) f (x) Theo Lagrange ta coù lnf (b) lnf (a) c a; b : f (c) b a f (b) f (x) ln b a 2 f (a) f (x) f (c) f (b) b a . Töø 1 vaø 2 e f (c) f (a) Cho phöông trình:ax 2 bx c 0 a 0 . Bieát raèng : 6a 3b 2c 0 . Chöùng minh raèng phöông trình coù ít nhaát 1 nghieäm trong khoaûng 0,3 Giaûi 90
ÑAÏI SOÁ 1 1 Xeùt haøm soá f (x) x 3 bx cx 3 2 Ñaïo haøm : f (x) ax 2 bx c aùp dung Lagrange treân ñoaïn 0,3 f (3) f (0) f (x) 3 0 6a 3b 2c f (x) 0 3 ax 2 bx c 0 Vaäy phöông trình : ax 2 bx c 0 a 0 coù ít nhaát 1 nghieäm trong 0,3 Baøi taäp Lagrange a b c Cho m 0 a, b,c baát kyø thoûa maõn . 0 m 2 m 1 m Chöùng minh raèng phöông trình ax 2 bx c 0 coù nghieäm thuoäc khoaûng 0,1 Cho phöông trình:ax 2 bx c 0 a 0 . Bieát raèng : 3a 4b 6c 0 . Chöùng minh raèng phöông trình coù ít nhaát 1 nghieäm trong khoaûng 0,1 91
ÑAÏI SOÁ Phaàn 5 PHÖÔNG TRÌNH ,BAÁT PHÖÔNG TRÌNH MUÕ , LOGARIT Thoâng thöôøng ta ñaët aån soá phuï ñöa veà baäc hai hoaëc tính taêng giaûm Giaûi phöông trình . x x 3 2 2 3 2 2 6 (*) Giaûi x x Nhaät xeùt . 3 2 2 3 2 2 1 x t 3 2 2 0 Ñaët 1 3 2 2 t (*) coù daïng . 1 t 6 t 2 6t 1 0 t x t 3 2 2 3 2 2 3 2 2 x 1 x x 1 t 3 2 2 3 2 2 3 2 2 Giaûi phöông trình . x x 5 21 7 5 21 2 x 3 (*) Giaûi x x 5 21 5 21 7 8 (*) coù theå vieát laïi . 2 2 92
ÑAÏI SOÁ x x 5 21 5 21 1 Nhaät xeùt . 2 2 x 5 21 t 0 2 Ñaët 1 5 21 t 2 (*) coù daïng . 7 t 8 t 2 8t 7 0 t x 5 21 1 2 x 0 t 1 x log 7 t 7 x 5 21 5 21 7 2 2 Giaûi phöông trình . 3.25x 2 3x 10 5x 2 3 x 0 (*) Giaûi Ñaët t 5x 2 0 ta ñöôïc. 3t 2 3x 10 t 3 x 0 . t 0 1 2 t 3x 10 12 3 x 3x 8 2 1 t 1 3 t 3 x 1 Vôùi t 3 93
ÑAÏI SOÁ 1 25 1 5x 2 x 2 log 3 x log 3 3 5 5 Vôùi t 3 x 5x 2 3 x deã daøng thaáy phöông trình coù nghieäm duy nhaát x 2 vì . y 3 x laø haøm soá nghòch bieán . y 5x 2 laø haøm soá ñoàng bieán . Toùm laïi phöông trình coù hai nghieäm . Giaûi phöông trình . 4 x 2log 1 log 6 4 1 (*) 3 x 3 x log 2 Giaûi Ñieàu kieän : 4 x 0 x 4 0 3 x 1 3 x 1 Vôùi ñieàu kieän treân thì (*) coù theå vieát laïi . 1 4 x 2 log2 6 2 log3 x 3 x 1 log2 6 4 x log3 x log3 x 1 6 x 3 4 x x 3 x 2 l Toùm laïi phöông trình coù nghieäm . x 3 94
ÑAÏI SOÁ Giaûi phöông trình . 1 x 3 x x 3.log3 2log 2 (*) Giaûi Vôùi ñieàu kieän x 0 Ñaët x 26y 1 23y 22 y 23y 3.log3 2log2 1 23y 22 y log3 2y 1 23y 22y 32y y y y 1 8 4 1 9 9 9 y y y 1 8 4 Deã daøng nhaän thaáy haøm soá f (y) 9 9 9 laø haøm nghòch bieán ,f (y) 1 laø haèng soá . Vaäy phöông trình coù moät nghieäm , maø f (y) f (2) y 2 vaäy (*) coù nghieäm x 212 cho ba soá döông a,b,c . Chöùng minh raèng : a b c a b c a.b.c 3 a .b .c * Giaûi a b c a b c * ln a.b.c 3 ln a .b .c a b c ln a ln b ln c 3 a ln a b ln b c ln c 2a ln a 2b ln b 2c ln c a ln b a ln c b ln a b ln c c ln a ln b 0 a b ln a ln b b c ln b ln c c a ln c la 0 Baát ñaúng thöùc cuoái cuøng luoân luoân ñuùng neân (*) ñuùng 95
ÑAÏI SOÁ Baøi taäp Giaûi phöông trình . x2 3 5 x 1 x 1 log2 log 1 2log0,25 2log2 2 Giaûi phöông trình . x x 1 2 2 4 log 1 log2 0 2 Giaûi phöông trình . x 2 x 3 log3 x log3 6 Giaûi baât phöông trình . 2logx log x 6 2x 3.2 x 2 2 1 Giaûi baát phöông trình . 1 x 5 2log5 2 log x Giaûi heä phöông trình . x y 3 .2 927 log x y 2 3 Giaûi phöông trình . x x 57 75 96
ÑAÏI SOÁ Phaàn 6 ÖÙNG DUÏNG ÑAÏO HAØM TRONG BAØI TOAÙN TÌM m Cho baát phöông trình . 2 2 22 cos2x 21 cos x 2sin x m * Tìm m ñeå baát phöông trình ñuùng vôùi moïi x Giaûi Töø (*) coù theå vieát laïi . 2 2 2 22cos 1 21 cos x 21 cos x m 2 2 2 hay 2.22cos 22cos x 2.2 cos x m 2 Ñaët t 2cos x 1 t 2 Khi ñoù (*) coù daïng 2 f (t) 2t 2 2t m t 1,2 t 2 2 2t3 t 2 1 f (t) 4t 2 t 2 t 2 f (t) 0 t 1 Baûng bieàn thieân. t 1 2 f (t) + f (t) 11 2 Ñeå baát phöông trình ñuùng vôùi moïi x hay ñuùng vôùi moïi t 1,2 khi vaø chæ khi min f (t) m hay m 2 t 1,2 97
ÑAÏI SOÁ Tìm m ñeå baát phöông trình sau coù nghieäm 2 2 2 2sin x 3cos x m.3sin x (*) Giaûi 2 Ñaët t 2sin x , 1 t 2 2 t 3 Ta coù . 3sin x 3log2 tlog2 (*) coù daïng . 3 3 log2 t 3 m.t t log2 3 1 log2 3 f (t) t 3 m , t 1,2 t 2log2 Ñaïo haøm . 3 3 3 log2 3.2log2 f (t) 1 log2 t 3 . t 2log2 1 3 3 log2 1 3 1 log2 t 6log2 3 0 t t 2log2 1 Ñeå thoûa ycbt thì . maxf (t) m hay f (1) m m 4 t 1,2 1)Tìm mieàn giaù trò . t 9 x x 2) tìm m ñeå phöông trình coù nghieäm . 9 x x 9 x .x m Giaûi 1) t 9 x x Mieàn xaùc ñònh . x 0,9 Ñaïo haøm . 98
ÑAÏI SOÁ 1 1 t 2 9 x 2 x 9 t 0 x 2 Baûng bieán thieân . 9 x 0 9 2 t + 0 - 3 2 t 3 3 Ñeå phöông trình coù nghieäm thì . 3 t 3 2 2) x 0,9 ñaët t 9 x x ñieàu kieän 3 t 3 2 t 2 9 9 x x 2 Phöông trình coù daïng . t 2 9 m t , 3 t 3 2 2 Ñaïo haøm 2t m 1 2 m 0 t 1 Baûng bieán thieân. t 3 3 2 m 3 m 6 2 9 2 99
ÑAÏI SOÁ Ñeå phöông trình coù nghieäm thì . mim.m m max.m hay 3,3 2  3,3 2  6 2 9 m 3 2 Tìm m ñeå baát phöông trình sau ñuùng vôùi moïi x  5,1 2 2 4 5 4x x 21 5 4x x m (*) Giaûi Nhaän xeùt x  5,1 thì 0 x 2 2 9 3 2 Ñaët t 2 5 4x x 1 t 8 Baát phöônh trình (*) coù daïng . f (t) t 2 2t m , t 1,8 Ñaïo haøm . f (t) 2t 2 0 t 1,8 Ñeå thoûa ycbt thì . minf (t) m f (1) m m 3 t 1,8 Tìm m ñeå baát phöông trình sau ñuùng vôùi moïi t 0 t t 3 2 2 2009 3 2 2 2008 m (*) Giaûi t t Nhaän xeùt . 3 2 2 . 3 2 2 1 t Ñaët x 3 2 2 , t 0 x 1 Baát phöông trình (*) coù daïng . 2009 f (t) t 2008 , t 1, t Ñaïo haøm . 100
ÑAÏI SOÁ 2009 f (t) 1 0 t 1, t 2 Ñeå thoûa ycbt thì . min f (t) m f (1) m m 0 t 1, Baøi taäp Coù moät mieáng bìa hình vuoâng caïnh 60 cm nguôøi ta muoán laøm moät caùi hoäp khoâng coù naép baèng caùch caét boû ôû boán goùc boán hình vuoâng baèng nhau . Tìm caïnh hình vuoâng bò caét, sao cho hoäp ñoù coù theå tích lôùn nhaát . 1)Tìm mieàn giaù trò . t 2 x x 6 2) tìm m ñeå phöông trình coù nghieäm . 2 x x 6 2 x x 6 m Cho baát phöông trình . 6 2 9 4 x x 5 4 x x 5 m 2 Tìm m ñeå baát phöông trình ñuùng vôùi moïi x Cho phöông trình . x 9 x x 2 9x m a) giaûi phöông trình khi m =9 b)xaùc ñònh tham soá m ñeå phöông trình coù nghieäm 101
ÑAÏI SOÁ Tìm m ñeå baát phöông trình sau ñuùng vôùi moïi t 0 t t 9 4 5 10 9 4 5 9 m (*) 1)Tìm mieàn giaù trò . t 1 x x 1 2) tìm m ñeå phöông trình coù nghieäm . 1 x x 1 1 x x 1 m  Số Phức định nghĩa số phức : Cho a và b là hai số thực và i là đơn vị ảo, khi đó z = a + bi được gọi là số phức. Số thực a được gọi là phần thực và số thực b được gọi là phần ảo của số phức z -Phần thực của số phức z = a + bi được ký hiệu là Re(z). -Phần ảo của số phức z = a + bi được ký hiệu là Im(z). Định nghĩa số i : Số i, được gọi là đơn vị ảo, là một số sao cho i2 1 Dạng đại số của số phức Hai số phức bằng nhau: Hai số phức được gọi là bằng nhau nếu chúng có phần thực và phần ảo tương ứng bằng nhau. Ví dụ : Cho z1 5 3i ; z2 a 3i tìm tất cả các số thực m để z1 z2 102
ÑAÏI SOÁ Giải : a 5 z1 z2 5 3i a 3i a 5 3 3 Phép cộng và phép trừ của hai số phức : Cho hai số phức . z1 a1 b1i và z2 a 2 b2i khi đó Phép cộng . a1 b1i a 2 b2i a1 a 2 b1 b2 i Phép trừ . a1 b1i a 2 b2i a1 a 2 b1 b2 i Tóm lại : Khi cộng (trừ ) hai số phức, ta cộng (trừ ) phần thực và phần ảo tương ứng. Ví dụ : Tìm phần thực và phần ảo của số phức . z 3 9i 6 5i Giải : z 3 9i 6 5i 12 14i Rez 12 ; Imz 14 Phép nhân Cho hai số phức . z1 a1 b1i và z2 a 2 b2i khi đó Phép nhân . a1 b1i . a 2 b2i a1a 2 b1b2 a1b2 b1a 2 i Tóm lại : Nhân hai số phức, ta thực hiện giống như nhân hai biểu thức đại số với chú ý i2 1 Ví dụ : thực hiện phép tính đã cho và biểu diễn kết quảdưới dạng đại số z 1 2i 2 i 2 5i Giải : z 1 2i 2 i 2 1 2i 4 4i i2 1 2i 3 4i 3 2i 8i2 11 2i Định nghĩa số phức liên hợp: 103
ÑAÏI SOÁ Số phức z a bi được gọi là số phức liên hợp của số phức z a bi . Ví dụ: Tìm số phức liên hợp của số phức . z 2 5i 1 3i Giải : z 2 5i 1 3i 2 i 15i2 17 i vậy số phức liên hợp là z 17 i Tính chất của số phức liên hợp: Cho z ,w là hai số phức z,w là hai số phức liên hợp z z là một số thực z.z là một số thực z z khi z là một số thực z w z w z.w z.w z z zn z n với n là số tự nhiên 104
ÑAÏI SOÁ Phép chia hai số phức cho z = a + bi , w = c + di (w 0) ta có . z a bi a bi c di ac adi bci bdi2 w c di c di c di c2 d2 ac bd bc ad i ac bd bc ad i c2 d2 c2 d2 c2 d2 ( ta nhân tử và mẫu cho số phức liên hợp của mẫu ) Dạng lượng giác Imz b M(a;b) a + bi r Trục thực 0 Rez a Định nghĩa Môdun của số phức: Môdun của số phức z = a + bi là một số thực dương được định nghĩa như sau: Mod z r a 2 b2 ký hiệu z vậy môdun của số z bằng khoảng cách từ điểm M biểu thị nó đến gốc tọa độ . Ví dụ: 105
ÑAÏI SOÁ Tìm môdun của số phức sau . z 4 3i Giải : Ta có a = 4 , b = 3 vậy Mod(z) = 42 32 5 Định nghĩa argument của số phức : a bi z a bi a 2 b2 2 2 2 2 a b a b Trong đó . 2 2 r a b a cos z r cos sin i a 2 b2 b sin a 2 b2 là dạng lượng giác a cos a 2 b2 Mọi nghiệm của hệ phương trình gọi là argument của b sin a 2 b2 số phức z a bi 0 . Mọi argument của số phức z khác nhau bội lần 2 và ký hiệu thống nhất Argz .mỗi giá trị argument trùng với véctơ bán kính OM của điểm M Góc được giới hạn trong khoảng 0 2 hoặc Ví dụ: Tìm argument của số phức z 1 3i 106
ÑAÏI SOÁ Giải : a 1 , b 3 ta tìm góc a 1 cos r 2 vậy Argz = b 3 3 3 sin r 2 Bằng nhau giữa hai số phức ở dạng lượng giác: 1 2 k2 z1 z2 r1 r2 Phép nhân ở dạng lượng giác: Nhân hai số phức ở dạng lượng giác: môđun nhân với nhau và argument cộng lại. z1.z2 r1.r2 cos 1 2 sin 1 2 .i Ví dụ: Tìm dạng lượng giác, môđun và argument của số phức : z 1 i 1 3i Giải : z 1 i 1 3i 2 cos sin .i 2 cos isin . 4 4 3 3 2 2 cos isin 4 3 4 3 2 2 cos sin i 12 12 Phép chia ở dạng lượng giác: Chia hai số phức ở dạng lượng giác: môđun chia cho nhau và argument trừ ra. 107
ÑAÏI SOÁ z1 r1 cos 1 2 sin 1 2 .i z2 r2 Ví dụ: Tìm dạng lượng giác, môđun và argument của số phức : 2 12i z 3 i Giải : 1 3 4 i 2 12i 2 2 3i 2 2 z 3 i 3 i 3 1 2 i 2 2 2 cos isin 3 3 7 7 2 cos isin 5 5 cos isin 6 6 6 6 Dạng mũ số phức Định lý Euler (1707-1783): z ei cos isin Ví dụ: Tìm dạng mũ của số phức sau. z 3 i Giải : 108
ÑAÏI SOÁ 3 1 z 3 i 2 i 2 2 5 5 2 cos isin 6 6 5 i. 2e 6 Ví dụ: Biểu diễn các số phức sau lên mặt phẳng phức z e2 i Giải : z e2 i e2ei e2 cos isin Môđun không thay đổi, suy ra tập hợp các điểm là đường tròn. Dạng lũy thừa z a bi z2 z.z a bi a bi a 2 b2 2abi z3 a bi 3 a 3 3a 2bi 3ab2i2 b3i3 n n n k n k k z a bi Cna b k 0 0 n 0 1 n 1 1 0 1 n 1 1 0 n Cna b Cna b Cna b Cna b A Bi Ví dụ: tính z5 của z 2 i Giải : 109
ÑAÏI SOÁ 5 k 5 k k z 2 i C5 2 i k 0 1 5 0 1 4 1 2 3 2 3 2 3 4 1 4 1 0 5 C5 2 i C5 2 i C5 2 i C5 2 i C5 2 i C5 2 i 32 80i1 80 40i 10 i 38 41i Lũy thừa bậc n của số phức i: i i i5 i4.i i i2 1 i6 i4.i2 1 i3 i2.i i i7 i4.i3 i i4 i2.i2 1 i8 i4.i4 1 vậy ta có qui luật sau đây . Giả sử n là số tự nhiên, khi đó in ir , với r là phần dư của n chia cho 4. Ví dụ: t ính z c ủa z i403 Giải : Ta . 403 = 100.4 +3 z i403 i100.4 3 i3 1 về bài toán dễ ta có thể làm theo cách này nhưng bài toán phức tạp ta nhờ vào công thức De Moivre . De Moivre : Cho r > 0, cho n là số tự nhiên. Khi đó ta r cos isin n r n cos n isin n Ví dụ: Sử dụng công thức de Moivre’s, tính: z25 1 i 25 Giải : 110
ÑAÏI SOÁ 1 1 z 1 i 2 i 2 2 2 cos isin 4 4 25 25 25 25 vậy . z25 1 i 2 cos isin 4 4 = 4096 2 cos isin 4 4 Định nghĩa căn bậc n của số phức: Căn bậc n của số phức z là số phức w, sao cho wn = z, trong đó n là số tự nhiên z a bi cos isin n z n r cos isin n k2 k2 zk r cos isin n n với k 1,2,3, n 1 Căn bậc n của số phức z có đúng n nghiệm phân biệt. Số nghiệm của một đa thức: Nhà bác học người Đức Carl Friedrich Gauss (1777-1855) chứng minh rằng mọi đa thức có ít nhất một nghiệm. Đa thức P(z) bậc n có đúng n nghiệm kể cả nghiệm bội. Nếu đa thức với hệ số thực, chúng ta có một hệ quả rất quan trọng sau đây . Nếu a + bi là một nghiệm phức của đa thức P(z) với hệ số thực, thì a – bi cũng là một nghiệm phức. Ví dụ: 1) Tìm đa thức bậc 3 với hệ số thực nhận z1 3i và z 2 5 i Giải : 111
ÑAÏI SOÁ Vì z1 3i và z 2 5 i là hai nghiệm nên z1 3i và z2 5 i cũng hai nghiệm vậy không tồn tại đa thức bậc 3 thỏa ycbt Bài tập 1) tính trong C a) 9 + 5i +(7-2i) b) (2+6i)(5 8i) c ) 1 5i 2 1 2i d) 2 i 1 i tan e) 1 i tan Giải : a) 9 + 5i +(7-2i) = 12 +3i b) (2+6i)(5 8i) = 10 16i 30i 48i2 58 14i c) 1 5i 2 1 10i 25i 2 24 10i 1 2i 1 2i 2 i 2 i 4i 2i 2 5i d) 2 i 2 i 2 i 3 3 1 i tan 1 i tan 1 i tan e) 1 i tan 1 i tan 1 i tan 1 2i tan tan 2 cos2 2isin cos sin 2 1 tan 2 cos2 isin 2 2) giải phương trình trong C : a) x 2 2x 2 0 b) x 2 5x 7 0 Giải : a) x 2 2x 2 0 112
ÑAÏI SOÁ 1 x1,2 1 1 phương trình có hai nghiệm phức : x1 1 i , x 2 1 i b) x 2 5x 7 0 3 5 3 x phương trình có hai nghiệm phức 1,2 2 5 3i 5 3i x , x 1 2 2 2 2 2 3) tìm nghiệm thực của phương trình : a) x 6i 7 yi b) 1 i x 2 5i y 4 17i c) 12 2x i 1 i x y 3 2i 17 6i Giải : x 7 a) y 6 b) 1 i x 2 5i y 4 17i x xi 2y 5yi 4 17i x 2y x 5y i 4 17i x 2y 4 x 2 x 5y 17 y 3 17 6i c) 12 2x i 1 i x y 3 2i 12 2x 2xi i i2 3x 2xi 3y 2yi 1 5x 3y 1 2y i 113
ÑAÏI SOÁ 17 1 1 5x 3y x 12 3 6 1 1 2y y 12 4 4) giải phương trình trong C : a) x 2 1 i x 1 i 0 b) x 2 1 2i x i 1 0 Giải : a) x 2 1 i x 1 i 0 2 x 1 i 4 1 i 4 2i gọi a bi 2 4 2i a 2 b2 2abi 4 2i 2 2 a2 b2 4 a b 4 2 2 2ab 2 a b 2 5 a 5 2 a2 5 2 2 b 5 2 b 5 2 a 5 2 ab 1 b 5 2 Vậy phương trình có nghiệm . 1 i 5 2 i 5 2 x 1,2 2 b) x 2 1 2i x i 1 0 114
ÑAÏI SOÁ 2 x 1 2i 4 i 1 4i2 5 1 Vậy phương trình có nghiệm . x1 1 i , x 2 i 5) Tìm đa thức bậc 4 với hệ số thực nhận z1 3i và z2 2 i làm nghiệm . Giải : Đa thức cần tìm là . f (z) z z1 z z1 z z2 z z2 z 3i z 3i z (2 i) z (2 i) z2 9 z2 4z 5 6)tìm tất cả các nghiệm của P(z) z4 4z3 14z2 36z 45 biết z 2 i là một nghiệm . Giải : Bởi vì đa thức với hệ số thực và 2 + i là một nghiệm, theo hệ quả ta có 2 –i là một nghiệm. P(z) có thể phân tích thành . z (2z i z (2 i) z2 4z 5 P(z) có thể tách thành . P(z) z2 4z 5 z2 9 Mà z2 9 z 3i z 3i vậy phương trình có 4 nghiệm . 2 i , 2 i , 3i , 3i 7) giải phương trình sau trong C : z9 i 0 z9 i 0 z 9 i 9 cos isin 2 2 Giải : k2 k2 z cos 2 isin 2 k 9 9 115
ÑAÏI SOÁ với k 0,1,2, ,8 8) giải phương trình sau trong C a)z5 1 i 0 b)z2 z 1 0 c)z2 2z 1 i 0 Giải : a) 5 5 1 1 z 1 i 0 z 1 i 5 2 i 2 2 3 3 5 2 cos isin 4 4 3 3 k2 k2 z 10 2 cos 4 isin 4 k 5 5 với k 0,1,2,3 b)z2 z 1 0 3 phương trình có hai nghiệm . 1 3 1 i 3 x 1,2 2 2 1 3 1 3 x i , x i 1 2 2 2 2 2 c)z2 2z 1 i 0 i phương trình có 2 nghiệm . z1,2 1 i 9) mô tả hình học các tập số phức thỏa mãn các điều kiện sau : 116
ÑAÏI SOÁ a) Re z 0 f )1 z 2 2 b) 0 Im z 1 g) z 1 Re z c) Im z 2 k) z i z 2 d) z 1 m)0 arg z e) z 1 2 4 n) arg z 4 Giải : a) Rez 0 x 0 là nửa mặt phẳng x 0 b) 0 Imz 1 0 y 1là dải 0 y 1 c) Imz 2 y 2 là dải 2 y 2 d) z 1đặt z x yi ta có z x2 y2 x2 y2 1 là phần trong của có tâm I(0;0) bán kính R=1 e) z 1 2 đặt z a bi ta có z i x 1 yi x 1 2 y2 2 Là phương trình đường tròn tâm I(-1,0) bán kính R=4 . f )1 z 2 2 đặt z x yi ta có z 2 x 2 yi x 2 2 y2 1 x 2 2 y2 4 Là hình khuyên giữa 2 đường tròn x 2 2 y2 1và x 2 2 y2 1 mà x 2 2 y2 1 không thuộc hình khuyên g) z 1 Re z đặt z x yi ta có 117
ÑAÏI SOÁ x2 y2 1 x x2 y2 1 x2 2x y2 1 2x vậy D x, y y2 1 2x k) z i z 2 đặt z x yi ta có z 1 x 1 yi x 1 2 y2 2 2 z 2 x 2 yi x 2 y ycbt x 1 2 y2 x 2 2 y2 4x 2y 3 0 Là phương trình đường thẳng 4x 2y 3 0 m)0 argz là hình quạt được giới hạn bởi 4 l1 x, y y 0,x 0 và l2 x, y y x,x 0 n) argz argz 4 4 4 3 5 argz 4 4 Là hìmh quạt giới hạn bởi các tia . l1 x, y y x,x 0 và l2 x, y y x,x 0 10) Tìm dạng mũ của số phức sau: z 3 i Giải : 5 5 z 3 i 2 cos isin 6 6 5 i. 2e 6 11) chứng minh công thức Ơle (Euler) : 118
ÑAÏI SOÁ ei e i cos 2 Giải : ei cos isin Ta có i e cos isin ei e i cos isin cos isin cos 2 2 12) chứng minh công thức Ơle (Euler): ei e i sin 2i Giải : ei cos isin Ta có i e cos isin ei e i cos isin cos isin sin 2i 2i Bài tập tự làm 13) chứng minh công thức Moivre : Nếu z r.ei thì zn r n .ein 14) tính theo Moivre : a) 1 i 10 1 i 5 b) 1 i 3 20 1 3i c) 1 i 6 d) 1 i 8 1 i 3 15)chứng minh các đẳng thức : 119
ÑAÏI SOÁ n n n n a) 1 i 2 2 cos isin 4 4 n n n b) 3 i 2n cos isin 6 6 16) tìm căn bậc 3 của số : a 2 2i 3 17) tìm nghiệm của đa thức z6 2z3 1 : 18) giải phương trình trong C : a) z2 2z 5 0 b)4 z2 2z 1 0 c) z2 2i 3 z 5 i 0 d)z3 1 0 e) z 1 4 16 f ) z 1 4 16 19)tìm tất cả các nghiệm của P(z) z4 6z3 9z2 100 biết z 1 2i là một nghiệm . 109 NGUỄN THÁI BÌNH ,F3 ,TÂN AN , LONG AN 120