›
›
›

Bộ Đề thi chọn học sinh giỏi cấp trường lớp 7- Môn Toán

doc 29 trang mainguyen 4870
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bộ Đề thi chọn học sinh giỏi cấp trường lớp 7- Môn Toán", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • docbo_de_thi_chon_hoc_sinh_gioi_cap_truong_lop_7_mon_toan.doc

Nội dung text: Bộ Đề thi chọn học sinh giỏi cấp trường lớp 7- Môn Toán

  1. §Ò 1 thi chän häc sinh giái cÊp tr­êng líp 7- M«n: To¸n. Thêi gian: 120 phót 212.35 46.92 510.73 255.492 Bài 1:( 3 điểm) a) Thực hiện phép tính: A 6 3 22.3 84.35 125.7 59.143 b) Chứng minh rằng: Với mọi số nguyên dương n thì : 3n 2 2n 2 3n 2n chia hết cho 10 1 4 2 Bài 2:(2 điểm) Tìm x biết: x 3,2 3 5 5 a c a2 c2 a Bài 3: (2 điểm) Cho . Chứng minh rằng: c b b2 c2 b Bài 4: (3 điểm) Cho tam giác ABC, M là trung điểm của BC. Trên tia đối của của tia MA lấy điểm E sao cho ME = MA. Chứng minh rằng: a) AC = EB và AC // BE b) Gọi I là một điểm trên AC ; K là một điểm trên EB sao cho AI = EK . C.minh ba điểm I , M , K thẳng hàng 0 0 c) Từ E kẻ EH  BC H BC . Biết H· BE 50 ;M· EB 25 . Tính H· EM và B· ME §Ò 2 thi chän häc sinh giái cÊp tr­êng líp 7- M«n: To¸n. Thêi gian: 120 phót 1 Bµi 1. T×m gi¸ trÞ n nguyªn d­¬ng: a) .16n 2n ; b) 27 < 3n < 243 8 1 1 1 1 1 3 5 7 49 Bµi 2. Thùc hiÖn phÐp tÝnh: ( ) 4.9 9.14 14.19 44.49 89 Bµi 3. a) T×m x biÕt: 2x 3 x 2 b) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña A =x 2006 2007 x Khi x thay ®æi Bµi 4. HiÖn nay hai kim ®ång hå chØ 10 giê. Sau Ýt nhÊt bao l©u th× 2 kim ®ång hå n»m ®èi diÖn nhau trªn mét ®­êng th¼ng. Bµi 5. Cho tam gi¸c vu«ng ABC ( A = 1v), ®­êng cao AH, trung tuyÕn AM. Trªn tia ®èi tia MA lÊy ®iÓm D sao cho DM = MA. Trªn tia ®èi tia CD lÊy ®iÓm I sao cho CI = CA, qua I vÏ ®­êng th¼ng song song víi AC c¾t ®­êng th¼ng AH t¹i E. Chøng minh: AE = BC.
  2. §Ò 3 thi chän häc sinh giái cÊp tr­êng líp 7- M«n: To¸n. Thêi gian: 120 phót x y a / ; xy=84 C©u 1: T×m c¸c cÆp sè (x; y) biÕt: 3 7 1+3y 1+5y 1+7y b/ 12 5x 4x x2 15 C©u 2: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt hoÆc lín nhÊt cña c¸c biÓu thøc sau : A = x 1 +5 ; B = x2 3 C©u 3: Cho tam gi¸c ABC cã ¢ < 900. VÏ ra phÝa ngoµi tam gi¸c ®ã hai ®o¹n th¼ng AD vu«ng gãc vµ b»ng AB; AE vu«ng gãc vµ b»ng AC. a, Chøng minh: DC = BE vµ DC  BE b, Gäi N lµ trung ®iÓm cña DE. Trªn tia ®èi cña tia NA lÊy M sao cho NA = NM. C/minh: AB = ME vµ ABC= EMA Chøng minh: MA  BC §Ò 4 thi chän häc sinh giái cÊp tr­êng líp 7- M«n: To¸n. Thêi gian: 120 phót 3 2 2 3 2003 2 . . 1 1 1 1 3 4 C©u 1 ( 2 ®iÓm) Thùc hiÖn phÐp tÝnh : a- 6. 3. 1 : ( 1 ; b- 2 3 3 3 3 2 5 . 5 12 a 2 a 3 C©u 2 ( 2 ®iÓm) a, T×m sè nguyªn a ®Ó lµ sè nguyªn; b, T×m sè nguyªn x,y sao cho x-2xy+y=0 a 1 a c C©u 3 ( 2 ®iÓm) a, Chøng minh r»ng nÕu a+c=2b vµ 2bd = c (b+d) th× víi b,d kh¸c 0 b d b, CÇn bao nhiªu sè h¹ng cña tæng S = 1+2+3+ ®Ó ®­îc mét sè cã ba ch÷ sè gièng nhau . C©u 4 ( 3 ®iÓm) Cho tam gi¸c ABC cã gãc B b»ng 450 , gãc C b»ng 1200. Trªn tia ®èi cña tia CB lÊy ®iÓm D sao cho CD=2CB . TÝnh gãc ADE C©u 5 ( 1®iÓm) T×m mäi sè nguyªn tè tho¶ m·n : x2-2y2=1 §Ò 5 thi chän häc sinh giái cÊp tr­êng líp 7- M«n: To¸n. Thêi gian: 120 phót 200 1000 1 1 163.310 120.69 Bài 1: a) So sánh hợp lý: và ; b) Tính A = 16 2 46.312 611 c) Cho x, y, z lµ c¸c sè kh¸c 0 vµ x2 = yz , y2 = xz , z 2 = xy. Chøng minh r»ng: x = y = z Bài 2: Tìm x biết: a) (2x-1)4 = 16 b) (2x+1)4 = (2x+1)6 x 1 x 2 x 3 x 4 c) x 3 8 20 d) 2009 2008 2007 2006 Bài 3: Tìm các số x, y, z biết : a) (3x - 5)2006 +(y2 - 1)2008 + (x - z) 2100 = 0 x y z b) và x2 + y2 + z2 = 116 2 3 4 Bài 4 : a) Cho hai ®¹i l­îng tØ lÖ nghÞch x vµ y ; x1, x 2 lµ hai gi¸ trÞ bÊt k× cña x; y1, y2 lµ hai gi¸ trÞ t­¬ng øng cña 2 2 y.TÝnh y1, y2 biÕt y1 + y2 = 52 vµ x1=2 , x 2= 3. b) Cho hµm sè : f(x) = a.x2 + b.x + c víi a, b, c, d Z BiÕt f (1)3; f (0)3; f ( 1)3 .Chøng minh r»ng a, b, c ®Òu chia hÕt cho 3 n 2 n 2 n n c) Chứng minh rằng : Với mọi số nguyên dương n thì : 3 2 3 2 chia hết cho 10 Bài 5: Cho tam giác ABC vuông cân tại A, M là trung điểm BC. Lấy điểm D bất kì thuộc cạnh BC. H và I thứ tự là hình chiếu của B và C xuống đường thẳng AD. Đường thẳng AM cắt CI tại N. Chứng minh rằng: a) BH = AI. b) BH2 + CI2 có giá trị không đổi. c) Đường thẳng Dn vuông góc với AC. d) IM là phân giác của góc HIC.
  3. §Ò 6 thi chän häc sinh giái cÊp tr­êng líp 7- M«n: To¸n. Thêi gian: 120 phót Câu 1. Tìm x biết: a) 3x 1 5.3x 1 162 b) 3x +x2 = 0 c) (x-1)(x-3) 0) 2b 2c 2d 2a 2011a 2010b 2011b 2010c 2011c 2010d 2011d 2010a Tính A = c d a d a b b c Câu 3. a) Tìm cặp số nguyên (x,y) thoả mãn x + y + xy =2. 27 2x b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức Q = (với x nguyên) 12 x Câu 4. a) Cho đa thức f(x) = ax2 + bx + c. Chứng minh rằng nếu f(x) nhận 1 và -1 là nghiệm thì a và c là 2 số đối nhau. 2 b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x 3 2 y 3 2007 Câu 5. Cho ABC vuông tại A. M là trung điểm BC, trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho AM = MD. Gọi I và K lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ B và C xuống AD, N là chân đường vuông góc hạ từ M xuống AC. a) Chứng minh rằng BK = CI và BK//CI. b) Chứng minh KN 4 c, 4- x +2x =3 C©u3: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: A = x + 8 -x C©u 4: BiÕt r»ng :12+22+33+ +102= 385. TÝnh tæng : S= 22+ 42+ +202 C©u 5 : Cho tam gi¸c ABC ,trung tuyÕn AM .Gäi I lµ trung ®iÓm cña ®o¹n th¼ng AM, BI c¾t c¹nh AC t¹i D. a. Chøng minh AC=3 AD b. Chøng minh ID =1/4BD §Ò 8 thi chän häc sinh giái cÊp tr­êng líp 7- M«n: To¸n. Thêi gian: 120 phót 3 a b c a b c a C©u 1 . ( 2®) Cho: . Chøng minh: . b c d b c d d a c b C©u 2. (1®). T×m A biÕt r»ng: A = . b c a b c a C©u 3. (2®). T×m x Z ®Ó A Z vµ t×m gi¸ trÞ ®ã. x 3 1 2x a). A = . b). A = . x 2 x 3 C©u 4. (2®). T×m x, biÕt: a) x 3 = 5 . b). ( x+ 2) 2 = 81. c). 5 x + 5 x+ 2 = 650 C©u 5. (3®). Cho ABC vu«ng c©n t¹i A, trung tuyÕn AM . E BC, BH AE, CK  AE, (H,K AE). Chøng minh MHK vu«ng c©n
  4. §Ò 9 thi chän häc sinh giái cÊp tr­êng líp 7- M«n: To¸n. Thêi gian: 120 phót x3 x2 03y 1 Bài 1: (1,5 điểm) Tính A biết x ; y là số nguyên âm lớn nhất x2 y 2 x 16 y 25 z 9 9 x 11 x Bài 2: (2 điểm) Cho và 2 .Tìm x+y+z 9 16 25 7 9 Bài 3: (1,5 điểm) Tìm x,y Z biết 2xy+3x = 4 ; 16 - 72 + 90. Bài 4: (2 điểm) Cho đa thức: P = 3x3 + 4x2 - 8x+1 a/ Chứng minh rằng x= 1 là nghiệm của đa thức. b/ Tính giá trị của P biết x2+x-3 = 0 Bài 5: (3 điểm) Cho tam giác ABC có vuông tại A(AB<AC) trên cạnh Aclấy điểm Esao cho AE = AB. Tia phân giác của góc BAC cắt đường trung trực của CE tại F. a/ Chứng minh tam giác BFC b/ Biết góc ACB bằng 300.Chứng minh tam giác BFE đều. §Ò 10 thi chän häc sinh giái cÊp tr­êng líp 7- M«n: To¸n. Thêi gian: 120 phót Bài 1: (1 điểm) Tìm số biết: = = , và x – y + z = 4 Bài 2: (1 điểm) Biết + ab + = 25 ; + = 9 ; + ac + = 16 và a 0; c ≠ 0; a ≠ -c. Chứng minh rằng: = . Bài 3: (2,5 điểm0 a/ Tìm giá trị của m để đa thức sau là đa thức bậc 3 theo biến x: f (x) = ( - 25) + (20 + 4m) + 7 - 9 b/ Tìm giá trị nhỏ nhất của đa thức g(x) = 16 - 72 + 90. Bài 4: (2 điểm) Tìm số chia và số dư biết rằng số bị chia bằng 112 và thương bằng 5. Bài 5: (3 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, AB < AC < BC. Các tia phân giác của góc A và góc C cắt nhau tại O. Gọi F là hình chiếu của O trên BC; H là hình chiếu của O trên AC. Lấy điểm I trên đoạn FC sao cho FI = AH. Gọi K là giao điểm của FH và AI. a/ Chứng minh tam giác FCH cân và AK = KI. b/ Chứng minh ba điểm B, O, K thẳng hàng. §Ò 11 thi chän häc sinh giái cÊp tr­êng líp 7- M«n: To¸n. Thêi gian: 120 phót x 4 4 x y y z 2x 3y 4z Bài 1:(2 đ)a. Tìm x, y biết: = và x+ y = 22; b. Cho và . Tính M = 7 y 7 3 4 5 6 3x 4y 5z Bài 2: ( 2,0 điểm) a. Cho H = 22010 22009 22008 2 1 . TÝnh 2010H 1 1 1 1 b. Thực hiện tính M = 1 (1 2) (1 2 3) (1 2 3 4) (1 2 3 16) 2 3 4 16 1 2 3 4 5 30 31 Bài 3: ( 2,5 điểm) Tìm x biết:a. . . . . . 4 x 4 6 8 10 12 62 64 45 45 45 45 65 65 65 65 65 65 b. . 8 x ; c. 4x 3 - x 1 = 7 35 35 35 25 25 Bài 4: ( 3,5đ) Cho tam giác ABC có B < 900 và B = 2C. Kẻ đường cao AH. Trên tia đối của tia BA lấy điểm E sao cho BE = BH. Đường thẳng HE cắt AC tại D. a. Chứng minh BEH = ACB. b. Chứng minh DH = DC = DA. d. Chứng minh AE = HC. c. Lấy B’ sao cho H là trung điểm của BB’. Chứng minh tam giác AB’C cân. §Ò 12 thi chän häc sinh giái cÊp tr­êng líp 7- M«n: To¸n. Thêi gian: 120 phót 212.35 46.92 510.73 255.492 Bài 1:(4 điểm)a) Thực hiện phép tính: A 6 3 22.3 84.35 125.7 59.143 b) Chứng minh rằng : Với mọi số nguyên dương n thì : 3n 2 2n 2 3n 2n chia hết cho 10 1 4 2 x 1 x 11 Bài 2:(4 điểm)Tìm x biết: a. x 3,2 ; b. x 7 x 7 0 3 5 5
  5. 2 3 1 Bài 3: (4 điểm) a, Số A được chia thành 3 số tỉ lệ theo : : . Biết rằng tổng các bình phương của ba số 5 4 6 a c a2 c2 a đó bằng 24309. Tìm số A. b, Cho . Chứng minh rằng: c b b2 c2 b Bài 4: (4 điểm) Cho tam giác ABC, M là trung điểm của BC. Trên tia đối của của tia MA lấy điểm E sao cho ME = MA. Chứng minh rằng: a) AC = EB và AC // BE b) Gọi I là một điểm trên AC; K là một điểm trên EB sao cho AI = EK. C/m ba điểm I, M, K thẳng hàng c) Từ E kẻ EH  BC H BC . Biết H· BE = 50o ; M· EB =25o . Tính H· EM và B· ME Bài 5: (4 điểm) Cho tam giác ABC cân tại A có Aµ 200 , vẽ tam giác đều DBC (D nằm trong tam giác ABC). Tia phân giác của góc ABD cắt AC tại M. Chứng minh: a, Tia AD là phân giác của góc BAC ; b, AM = BC §Ò 13 thi chän häc sinh giái cÊp tr­êng líp 7- M«n: To¸n. Thêi gian: 120 phót 219.273 15.49.94 Câu1. (3 điểm) Rút gọn biểu thức A 69.210 1210 Câu 2. (4 điểm) Chứng minh: P 3x 1 3x 2 3x 3 3x 100 120 (x N) 5 4 Câu 3. (4 điểm) Cho hai hàm số y x và y x 4 5 a. Vẽ đồ thị 2 h/số trên trên cùng hệ trục tọa độ Oxy. b. CMR:đồ thị của hai h/số trên vuông góc với nhau. Câu 4. (4,5điểm). Cho ∆ABC cân, µA 100 . Gọi M là điểm nằm trong tam giác sao cho M· BC 10 ,M· CB 20 . Trên tia đối của AC lấy điểm E sao cho CE = CB. a. Chứng minh: ∆BME đều. b. Tính ·AMB 2 Câu 5. (4,5điểm). Cho ∆ABC, trung tuyến BM. Trên tia BM lấy I và K sao cho BI BM và M là trung điểm của 3 IK. Gọi N là trung điểm của KC. IN cắt AC tại O. Chứng minh: 1 a. O là trọng tâm của ∆IKC. b. IO BC . 3 §Ò 14 thi chän häc sinh giái cÊp tr­êng líp 7- M«n: To¸n. Thêi gian: 120 phót 2a b c d a 2b c d a b 2c d a b c 2d C©u1: (2 ®iÓm) Cho d·y tØ sè b»ng nhau: a b c d a b b c c d d a T×m gi¸ trÞ biÓu thøc: M= c d d a a b b c C©u2: (1 ®iÓm) . Cho S = abc bca cab . Chøng minh r»ng S kh«ng ph¶i lµ sè chÝnh ph­¬ng. C©u3: (2 ®iÓm) Mét « t« ch¹y tõ A ®Õn B víi vËn tèc 65 km/h, cïng lóc ®ã mét xe m¸y ch¹y tõ B ®Õn A víi vËn tèc 40 km/h. BiÕt kho¶ng c¸ch AB lµ 540 km vµ M lµ trung ®iÓm cña AB. Hái sau khi khëi hµnh bao l©u th× «t« c¸ch M mét kho¶ng b»ng 1/2 kho¶ng c¸ch tõ xe m¸y ®Õn M. C©u4: (2 ®iÓm) Cho tam gi¸c ABC, O lµ ®iÓm n»m trong tam gi¸c. a. Chøng minh r»ng: B· OC µA ·ABO ·ACO µA b. BiÕt ·ABO ·ACO 900 vµ tia BO lµ tia ph©n gi¸c cña gãc B. CMR: Tia CO lµ tia ph©n gi¸c cña gãc C. 2 C©u 5: (1,5®iÓm). Cho 9 ®­êng th¼ng trong ®ã kh«ng cã 2 ®­êng th¼ng nµo song song. CMR Ýt nhÊt còng cã 2 ®­êng th¼ng mµ gãc nhän gi÷a chóng kh«ng nhá h¬n 200. C©u 6: (1,5®iÓm). Khi ch¬i c¸ ngùa, thay v× gieo 1 con sóc s¾c, ta gieo c¶ hai con sóc s¾c cïng mét lóc th× ®iÓm thÊp nhÊt lµ 2, cao nhÊt lµ 12. c¸c ®iÓm kh¸c lµ 3; 4; 5 ;6 11. H·y lËp b¶ng tÇn sè vÒ kh¶ n¨ng xuÊt hiÖn mçi lo¹i ®iÓm nãi trªn? TÝnh tÇn xuÊt cña mçi lo¹i ®iÓm ®ã.
  6. §Ò thi chän häc sinh giái cÊp tr­êng líp 7- M«n: To¸n. Thêi gian: 120 phót Bµi 1: TÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc: (a b)( x y) (a y)(b x) 1 3 A = . Víi a = ; b = -2 ; x = ; y = 1 abxy(xy ay ab by) 3 2 a1 a2 a9 Bµi 2: Chøng minh r»ng: NÕu 0 < a1 < a2 < < a9 th×: 3 a3 a6 a9 Bµi 3: Cã 3 m¶nh ®Êt h×nh ch÷ nhËt: A; B vµ C. C¸c diÖn tÝch cña A vµ B tØ lÖ víi 4 vµ 5, c¸c diÖn tÝch cña B vµ C tØ lÖ víi 7 vµ 8; A vµ B cã cïng chiÒu dµi vµ tæng c¸c chiÒu réng cña chóng lµ 27m. B vµ C cã cïng chiÒu réng. ChiÒu dµi cña m¶nh ®Êt C lµ 24m. H·y tÝnh diÖn tÝch cña mçi m¶nh ®Êt ®ã. 4x 7 3x2 9x 2 Bµi 4: Cho 2 biÓu thøc: A = ; B = x 2 x 3 a) T×m gi¸ trÞ nguyªn cña x ®Ó mçi biÓu thøc cã gi¸ trÞ nguyªn b) T×m gi¸ trÞ nguyªn cña x ®Ó c¶ hai biÓu thøc cïng cã gi¸ trÞ nguyªn. Bµi 5: Cho tam gi¸c c©n ABC, AB = AC. Trªn tia ®èi cña c¸c tia BC vµ CB lÊy theo thø tù hai ®iÓm D vµ E sao cho BD = CE. a) Chøng minh tam gi¸c ADE lµ tam gi¸c c©n. b) Gäi M lµ trung ®iÓm cña BC. Chøng minh AM lµ tia ph©n gi¸c cña gãc DAE c) Tõ B vµ C vÏ BH vµ CK theo thø tù vu«ng gãc víi AD vµ AE. Chøng minh BH = CK d) Chøng minh 3 ®­êng th¼ng AM; BH; CK gÆp nhau t¹i 1 ®iÓm. §¸p ¸n §Ò 1 thi chän häc sinh giái cÊp tr­êng líp 7. M«n: To¸n Bài 1:(3 điểm): a) (1.5 điểm) 10 212.35 46.92 510.73 255.492 212.35 212.34 510.73 5 .74 A 6 3 12 6 12 5 9 3 9 3 3 22.3 84.35 125.7 59.143 2 .3 2 .3 5 .7 5 .2 .7 212.34. 3 1 510.73. 1 7 212.35. 3 1 59.73. 1 23 212.34.2 510.73. 6 212.35.4 59.73.9 1 10 7 6 3 2 b) (1.5 điểm) 3n 2 2n 2 3n 2n = 3n 2 3n 2n 2 2n =3n (32 1) 2n (22 1) =3n 10 2n 5 3n 10 2n 1 10 = 10( 3n -2n) Vậy 3n 2 2n 2 3n 2n  10 với mọi n là số nguyên dương. Bài 2:(2 điểm)
  7. 1 4 2 1 4 16 2 x 3,2 x 3 5 5 3 5 5 5 1 4 14 x 3 5 5 1 1 x 2 x 2 3 3 x 1 2 3 x 2 1 7 3 3 x 2 1 5 3 3 a c a2 c2 a2 a.b a(a b) a Bài 3: (2 điểm) Từ suy ra c2 a.b khi đó = c b b2 c2 b2 a.b b(a b) b Bài 4: (3 điểm) a/ (1điểm) Xét AMC và EMB có : A AM = EM (gt ) ·AMC E· MB (đối đỉnh ) BM = MC (gt ) I Nên : AMC = EMB (c.g.c ) AC = EB Vì AMC = EMB M· AC M· EB (2 góc có vị trí so le trong được B M C tạo bởi đường thẳng AC và EB cắt đường thẳng AE ) H Suy ra AC // BE . b/ (1 điểm ) Xét AMI và EMK có : K AM = EM (gt ) · · MAI MEK ( vì AMC EMB ) E AI = EK (gt ) Nên AMI EMK ( c.g.c ) Suy ra: ·AMI E· MK Mà ·AMI I·ME 1800 ( tính chất hai góc kề bù ) E· MK I·ME 1800 Ba điểm I;M;K thẳng hàng c/ (1 điểm ) Trong tam giác vuông BHE ( Hµ 900 có H· BE 500 H· EB 900 H· BE 900 500 400 H· EM H· EB M· EB 400 250 150 B· ME BME là góc ngoài tại đỉnh M của HEM Nên B· ME H· EM M· HE 150 900 1050 ( định lý góc ngoài của tam giác ) ( Học sinh giải theo cách khác đúng kết quả vẫn cho điểm tối đa) §¸p ¸n §Ò 2 thi chän häc sinh giái cÊp tr­êng líp 7. M«n: To¸n Bµi 1. T×m gi¸ trÞ n nguyªn d­¬ng: (4 ®iÓm mçi c©u 2 ®iÓm) 1 a) .16n 2n ; => 24n-3 = 2n => 4n – 3 = n => n = 1 8 b) 27 33 n = 4 Bµi 2. Thùc hiÖn phÐp tÝnh: (4 ®iÓm) 1 1 1 1 1 3 5 7 49 ( ) 4.9 9.14 14.19 44.49 89 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 (1 3 5 7 49) = ( ). 5 4 9 9 14 14 19 44 49 12
  8. 1 1 1 2 (12.50 25) 5.9.7.89 9 = ( ). 5 4 49 89 5.4.7.7.89 28 Bµi 3. (4 ®iÓm mçi c©u 2 ®iÓm) a) T×m x biÕt: 2x 3 x 2 Ta cã: x + 2 0 => x - 2. 3 + NÕu x - th× =>2x 2x 3 + 3 x= x 2+ 2 => x = - 1 (Tho¶ m·n) 2 3 5 + NÕu - 2 x 2x - 2x3 - 3x = x2 + 2 => x = - (Tho¶ m·n) 2 3 + NÕu - 2 > x Kh«ng cã gi¸ trÞ cña x tho¶ m·n b) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña A =x 2006 2007 x Khi x thay ®æi + NÕu x -2006 => - 2x + 4013 > – 4012 + 4013 = 1 => A > 1 + NÕu 2006 x 2007 th×: A = x – 2006 + 2007 – x = 1 + NÕu x > 2007 th× A = x - 2006 - 2007 + x = 2x – 4013 Do x > 2007 => 2x – 4013 > 4014 – 4013 = 1 => A > 1. VËy A ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt lµ 1 khi 2006 x 2007 Bµi 4. HiÖn nay hai kim ®ång hå chØ 10 giê. Sau Ýt nhÊt bao l©u th× 2 kim ®ång hå n»m ®èi diÖn nhau trªn mét ®­êng th¼ng. (4 ®iÓm mçi) Gäi x, y lµ sè vßng quay cña kim phót vµ kim giê khi 10giê ®Õn lóc 2 kim ®èi nhau trªn mét ®­êng th¼ng, ta cã: 1 x – y = (øng víi tõ sè 12 ®Õn sè 4 trªn ®«ng hå) 3 vµ x : y = 12 (Do kim phót quay nhanh gÊp 12 lÇn kim giê) x 12 x y x y 1 1 Do ®ã: :11 y 1 12 1 11 3 33 12 4 => x = (vòng) x (giê) 33 11 4 VËy thêi gian Ýt nhÊt ®Ó 2 kim ®ång hå tõ khi 10 giê ®Õn lóc n»m ®èi diÖn nhau trªn mét ®­êng th¼ng lµ giê 11 Bµi 5. Cho tam gi¸c vu«ng ABC ( A = 1v), ®­êng cao AH, trung tuyÕn AM. Trªn tia ®èi tia MA lÊy ®iÓm D sao cho DM = MA. Trªn tia ®èi tia CD lÊy ®iÓm I sao cho CI = CA, qua I vÏ ®­êng th¼ng song song víi AC c¾t ®­êng th¼ng AH t¹i E. Chøng minh: AE = BC (4 ®iÓm mçi) §­êng th¼ng AB c¾t EI t¹i F E ABM = DCM v×: AM = DM (gt), MB = MC (gt), F ·AMB = DMC (®®) => BAM = CDM =>FB // ID => ID AC I Vµ FAI = CIA (so le trong) (1) A IE // AC (gt) => FIA = CAI (so le trong) (2) Tõ (1) vµ (2) => CAI = FIA (AI chung) => IC = AC = AF (3) B H M D
  9. vµ E FA = 1v (4) MÆt kh¸c EAF = BAH (®®), BAH = ACB ( cïng phô ABC) => EAF = ACB (5) Tõ (3), (4) vµ (5) => AFE = CAB =>AE = BC §¸p ¸n §Ò 3 thi chän häc sinh giái cÊp tr­êng líp 7. M«n: To¸n §¸p ¸n ®Ò 3 to¸n 7 C©u 1: T×m tÊt c¶ c¸c sè nguyªn a biÕt a 4 ; 0 a 4 =>a = 0; 1; 2; 3 ; 4 * a = 0 => a = 0; * a = 1 => a = 1 hoÆc a = - 1 ; * a = 2 => a = 2 hoÆc a = - 2 * a = 3 => a = 3 hoÆc a = - 3; * a = 4 => a = 4 hoÆc a = - 4 9 9 C©u 2: T×m ph©n sè cã tö lµ 7 biÕt nã lín h¬n vµ nhá h¬n 10 11 9 7 9 63 63 63 Gäi mÉu ph©n sè cÇn t×m lµ x. Ta cã: => 10 x 11 70 9x 77 7 => -77 9x = -72 => x = 8 . VËy ph©n sè cÇn t×m lµ 8 C©u 3. Cho 2 ®a thøc: P x = x2 + 2mx + m2 vµ Q x = x2 + (2m+1)x + m2 . T×m m biÕt P (1) = Q (-1) P(1) = 12 + 2m.1 + m2 = m2 + 2m + 1; Q(-1) = 1 – 2m – 1 +m2 = m2 – 2m §Ó P(1) = Q(-1) th× m2 + 2m + 1 = m2 – 2m 4m = -1 m = -1/4 x y x2 y2 xy 84 C©u 4: T×m c¸c cÆp sè (x; y) biÕt: a / ; xy=84 => 4 3 7 9 49 3.7 21 => x2 = 4.49 = 196 => x = 14 => y2 = 4.4 = 16 => x = 4 Do x,y cïng dÊu nªn: x = 6; y = 14 ; x = - 6; y = -14 1+3y 1+5y 1+7y b/ 12 5x 4x 1+3y 1+5y 1+7y 1 7y 1 5y 2y 1 5y 1 3y 2y ¸p dông tÝnh chÊt d·y tØ sè b»ng nhau ta cã: 12 5x 4x 4x 5x x 5x 12 5x 12 2y 2y 1 3y 2y => => -x = 5x -12 => x = 2. Thay x = 2 vµo trªn ta ®­îc: y x 5x 12 12 2 1 1 =>1+ 3y = -12y => 1 = -15y => y = . VËy x = 2, y = tho¶ m·n ®Ò bµi 15 15 C©u 5: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt hoÆc lín nhÊt cña c¸c biÓu thøc sau : A = x 1 +5 Ta cã : x 1 0. DÊu = x¶y ra x= -1. A 5. M DÊu = x¶y ra x= -1. VËy: Min A = 5 x= -1. x2 15 x2 3 12 12 B = = = 1 + P x2 3 x2 3 x2 3 E Ta cã: x2 0. DÊu = x¶y ra x = 0 x2 + 3 3 ( 2 vÕ d­¬ngN ) 1 D 1 12 12 12 12 2 2 4 1+ 2 1+ 4 B 5 x 3 3 x 3 x 3 A DÊu = x¶y ra x = 0 . VËy : Max B = 5 x = 0. 1 K I ĐA:§Ò 3- C©u 6: 2 T B H C
  10. a/ XÐt ADC vµ BAF ta cã: DA = BA(gt); AE = AC (gt); DAC = BAE ( cïng b»ng 900 + BAC ) => DAC = BAE(c.g.c ) => DC = BE XÐt AIE vµ TIC I1 = I2 ( ®®) E1 = C1( do DAC = BAE) => EAI = CTI => CTI = 900 => DC  BE b/ Ta cã: MNE = AND (c.g.c) => D1 = MEN, AD = ME mµ AD = AB ( gt) => AB = ME (®pcm) (1) 0 V× D1 = MEN => DA//ME => DAE + AEM = 180 ( trong cïng phÝa ) mµ BAC + DAE = 1800 => BAC = AEM ( 2 ) Ta l¹i cã: AC = AE (gt) ( 3). Tõ (1),(2) vµ (3) => ABC = EMA ( ®pcm) c/ KÐo dµi MA c¾t BC t¹i H. Tõ E h¹ EP  MH XÐt AHC vµ EPA cã: CAH = AEP ( do cïng phô víi gPAE ) AE = CA ( gt) PAE = HCA ( do ABC = EMA c©u b) => AHC = EPA => EPA = AHC => AHC = 900 => MA  BC (®pcm) §¸p ¸n §Ò 4 thi chän häc sinh giái cÊp tr­êng líp 7. M«n: To¸n C©u H­íng dÉn chÊm §iÓm 1.a Thùc hiÖn theo tõng b­íc ®óng kÕt qu¶ -2 cho ®iÓm tèi ®a 1§iÓm 1.b Thùc hiÖn theo tõng b­íc ®óng kÕt qu¶ 14,4 cho ®iÓm tèi ®a 1§iÓm 2.a a 2 a 3 a(a 1) 3 3 0,25 Ta cã : = a a 1 a 1 a 1 a 2 a 3 3 v× a lµ sè nguyªn nªn lµ sè nguyªn khi lµ sè nguyªn hay a 1 a 1 0,25 a+1 lµ ­íc cña 3 do ®ã ta cã b¶ng sau : a+1 -3 -1 1 3 0,25 a -4 -2 0 2 2 a a 3 0,25 VËy víi a 4, 2,0,2 th× lµ sè nguyªn a 1 2.b Tõ : x-2xy+y=0 Hay (1-2y)(2x-1) = -1 0,25 V× x,y lµ c¸c sè nguyªn nªn (1-2y)vµ (2x-1) lµ c¸c sè nguyªn do ®ã ta cã c¸c tr­êng hîp sau : 1 2y 1 x 0 0,25 2x 1 1 y 0 0,25
  11. 1 2y 1 x 1 0,25 HoÆc 2x 1 1 y 1 VËy cã 2 cÆp sè x, y nh­ trªn tho¶ m·n ®iÒu kiÖn ®Çu bµi 3.a V× a+c=2b nªn tõ 2bd = c (b+d) Ta cã: (a+c)d=c(b+d) 0,5 a c Hay ad=bc Suy ra ( §PCM) 0,5 b d 3.b Gi¶ sö sè cã 3 ch÷ sè lµ aaa =111.a ( a lµ ch÷ sè kh¸c 0) Gäi sè sè h¹ng cña tæng lµ n , ta cã : n(n 1) 111a 3.37.a Hay n(n+1) =2.3.37.a 0,25 2 VËy n(n+1) chia hÕt cho 37 , mµ 37 lµ sè nguyªn tè vµ n+1 16 2 2 2 200 200 5.200 1000 1 1 1 1 Cách 2: > = 16 32 2 2
  12. 3 4 10 2 9 2 .3 3.2.5.2 . 2.3 212.310 310.212.5 212.310 1 5 b)P 6 12 12 11 11 11 11 2 12 11 2 .3 2 .3 2 3 2.3 1 2 .3 2.3 6.212.310 4.211.311 4 7.211.311 7.211.311 7 x z y x z y x y z c) V× x, y, z lµ c¸c sè kh¸c 0 vµ x2 = yz , y2 = xz , z 2 = xy ; ; .¸p dông y x z y x z y z x x y z x y z tÝnh chÊt d·y tØ sè b»ng nhau 1 x y z y z x y z x Bài 2: (1,5 điểm): a) (2x-1)4 = 16 .Tìm đúng x =1,5 ; x = -0,5 (0,25điểm) b) (2x+1)4 = (2x+1)6. Tìm đúng x = -0,5 ; x = 0; x = -15 (0,5điểm) c) x 3 8 20 x 3 8 20 x 3 8 20 ; x 3 8 20 x 3 8 20 x 3 28 x = 25; x = - 31 x 3 8 20 x 3 12 : vô nghiệm x 1 x 2 x 3 x 4 x 1 x 2 x 3 x 4 d) 1 1 1 1 2009 2008 2007 2006 2009 2008 2007 2006 x 2010 x 2010 x 2010 x 2010 2009 2008 2007 2006 x 2010 x 2010 x 2010 x 2010 0 2009 2008 2007 2006 1 1 1 1 x 2010 0 x 2010 0 x 2010 2009 2008 2007 2006 Bài 3: a) (3x - 5)2006 +(y2 - 1)2008 + (x - z) 2100 = 0 (3x - 5)2006 = 0; (y2 - 1)2008 = 0; (x - z) 2100 = 0 5 3x - 5 = 0; y2 - 1 = 0 ; x - z = 0 x = z = ;y = -1;y = 1 3 x y z b) và x2 + y2 + z2 = 116 2 3 4 x2 y2 z2 x2 y2 z2 116 4 Từ giả thiết 4 9 16 4 9 16 29 Tìm đúng: (x = 4; y = 6; z = 8 ); (x = - 4; y = - 6; z = - 8 ) Bài 4: a) V× x, y lµ hai ®¹i l­îng tØ lÖ nghÞch nªn: 2 2 2 2 2 2 x1 y2 y2 2 y2 y1 y2 y1 y1 y2 y1 y2 52 4 x2 y1 y1 3 2 3 2 3 9 4 9 4 13 2 )y1 36 y1 6 Víi y1= - 6 th× y2 = - 4 ; Víi y1 = 6 th× y2= 4 . b)Ta cã: f(0) = c; f(1) = a + b + c; f(-1) = a - b +c
  13. ) f (0)3 c3 ) f (1)3 a b c3 a b3 1 ) f ( 1)3 a b c3 a b3 2 Tõ (1) vµ (2) Suy ra (a + b) +(a - b) 3 2a3 a3 v× ( 2; 3) = 1 b3 VËy a , b , c ®Òu chia hÕt cho 3 c) 3n 2 2n 2 3n 2n = 3n 2 3n 2n 2 2n =3n (32 1) 2n (22 1) =3n 10 2n 5 3n 10 2n 1 10 = 10( 3n -2n-1) n 2 n 2 n n Vậy 3 2 3 2  10 với mọi n là số nguyên dương. B H D M I N Bài 5: A C a. AIC = BHA BH = AI (0,5điểm) b. BH2 + CI2 = BH2 + AH2 = AB2 (0,75điểm) c. AM, CI là 2 đường cao cắt nhau tại N N là trực tâm DN AC (0,75điểm) d. BHM = AIM HM = MI và BMH = IMA (0,25điểm) mà :  IMA + BMI = 900 BMH + BMI = 900 (0,25điểm) HMI vuông cân HIM = 450 (0,25điểm) mà : HIC = 900 HIM =MIC= 450 IM là phân giác HIC (0,25điểm) *) Ghi chuù: Neáu hoïc sinh coù caùch giaûi khaùc ñuùng, vaãn ñöôïc ñieåm toái ña §¸p ¸n §Ò 6 thi chän häc sinh giái cÊp tr­êng líp 7. M«n: To¸n ĐÁP ÁN - BIỂU CHẤM CÂU NỘI DUNG ĐIỂM Câu 1 a) (1,5đ) 0,75 (4,5 đ) 3x 1 (1+5) = 162  3x 1 = 27 0,75 => x-1= 3 => x = 4 b) (1,5đ) 0,75 3x +x2 = 0  x(3 + x) = 0 0,75 x=0 hoặc x= -3 c) (1,5đ) (x-1)(x-3) x-3 nên 0,5 x 1 0 1,0 (x-1)(x-3) < 0 1 x 3 x 3 0 Câu 2 a) (1,5đ) 0,75 (3,0 đ) x y z Từ ta có: 3 4 5 x 2 y 2 z 2 2x 2 2y 2 3z 2 2x 2 2y 2 3z 2 100 4 0,75 9 16 25 18 32 75 25 25
  14. CÂU NỘI DUNG ĐIỂM x 6 y 8 x 2 36 x 10 2 y 64 ( Vì x, y, z cùng dấu) 2 x 6 z 100 y 8 z 10 b) (1,5 đ) a b c d a b c d 1 Ta có (do a,b,c,d > 0 => a+b+c+d >0) 0,5 2b 2c 2d 2a 2b 2c 2d 2a 2 0,5 suy ra a = b = c= d Thay vào tính được P = 2 0,5 Câu 3 a) (1,5đ) (3,0 đ) Ta có x + y + xy =2  x + 1 + y(x + 1) = 3  (x+1)(y+1)=3 0,75 Do x, y nguyên nên x + 1 và y + 1 phải là ước của 3. Lập bảng ta có: x+1 1 3 -1 -3 0,5 y+1 3 1 -3 -1 x 0 2 -2 -4 y 2 0 -4 -2 Vậy các cặp (x,y) là: (0,2); (2,0); (-2,-4); (-4,-2) 0,25 b) (1,5 đ) 27 2x 3 Q = = 2+ 0,25 12 x 12 x 3 0,25 A lớn nhất khi lớn nhất 12 x 0,25 3 * Xét x > 12 thì 0. Vì phân số có tử và mẫu là các số dương, tử không 0,25 12 x đổi nên phân số có giá trị lớn nhất khi mẫu nhỏ nhất. 12-x 0 0,25 3 Vậy để lớn nhất thì x Z  x = 11 12 x 12-x nhỏ nhất 0,25 A có giá trị lớn nhất là 5 khi x =11 Câu 4 a) (2,0 đ) (4,0 đ) Ta có: 1 là nghiệm của f(x) => f(1) = 0 hay a + b + c = 0 (1) 0,75 -1 là nghiệm của f(x) => f(-1) = 0 hay a - b + c = 0 (2) 0,75 Từ (1) và (2) suy ra 2a + 2c = 0 => a + c = 0 => a = -c 0,5 Vậy a và c là hai số đối nhau. b) (2,0 đ) 2 Ta có x 3 2 2 ,x => x 3 2 4 . Dấu "=" xảy ra  x = 3 0,5 y 3 0 , y . Dấu "=" xảy ra  y = -3 0,5 2 Vậy P = x 3 2 y 3 2007 4 + 2007 = 2011. 0,5
  15. CÂU NỘI DUNG ĐIỂM Dấu "=" xảy ra  x = 3 và y = -3 Vậy giá trị nhỏ nhất của P = 2011  x = 3 và y = -3 0,5 Câu 5 (5,5 đ) B K D M H I A N C O' O a) (2,0 đ) 0,5 - Chứng minh IBM = KCM => IM= MK 1,0 - Chứng minh IMC = KMB 0,5 => CI = BK và góc MKB = góc MIC => BK//CI b) (1,5 đ) Chỉ ra được AM = MC => AMC cân tại M => đường cao MN đồng thời là đường trung tuyến của AMC => N là trung điểm AC 0,5 1 AKC vuông tại K có KN là trung tuyến => KN = AC 0,25 2 1 Mặt khác MC = BC 0,25 2 1 1 Lại có ABC vuông tại A => BC > AC => BC > AC hay MC > KN 2 2 0,5 Vậy MC > KN (ĐPCM) c) (1,0 đ) Theo CM ý a IM = MK mà AM = MD (gt) => AI = KD Vậy để AI = IM = MK = KD thì cần AI = IM Mặt khác BI AM => khi đó BI vừa là trung tuyến, vừa là đường cao ABM 0,5 => ABM cân tại B (1) Mà ABC vuông tại A, trung tuyến AM nên ta có ABM cân tại M (2) 0,5 Từ (1) và (2) ruy ra ABM đều => góc ABM = 600 Vậy vuông ABC cần thêm điều kiện góc ABM = 600 d) (1,0 đ) Xảy ra 2 trường hợp: Trường hợp 1: Nếu I thuộc đoạn AM => H thuộc đoạn MC => BI và DH cắt tia MN. Gọi O là giao điểm của BI và tia MN, O’ là giao điểm của DH và tia MN 0,5 Dễ dàng chứng minh AIO = MHO’ => MO = MO’ => O  O’ Suy ra BI, DH, MN đồng quy. Trường hợp 2: Nếu I thuộc đoạn MD => H thuộc đoạn MB 0,5 => BI và BH cắt tia đối của tia MN. Chứng minh tương tự trường hợp 1 Vậy BI, DH, MN đồng quy. (Học sinh có thể sử dụng các cách khác để CM: VD sử dụng tính chất đồng quy của 3 đường cao )
  16. Lưu ý: - Lời giải chỉ trình bày tóm tắt, học sinh trình bày hoàn chỉnh, lý luận chặt chẽ mới cho điểm tối đa. - Học sinh có thể trình bày nhiều cách giải khác nhau nếu đúng thì cho điểm tương ứng. §¸p ¸n §Ò 7 thi chän häc sinh giái cÊp tr­êng líp 7. M«n: To¸n C©u1: Nh©n tõng vÕ bÊt ®¼ng thøc ta ®­îc : (abc)2=36abc +, NÕu mét trong c¸c sè a,b,c b»ng 0 th× 2 sè cßn l¹i còng b»ng 0 +,NÕu c¶ 3sè a,b,c kh¸c 0 th× chia 2 vÕ cho abc ta ®­îc abc=36 +, Tõ abc =36 vµ ab=c ta ®­îc c2=36 nªn c=6;c=-6 +, Tõ abc =36 vµ bc=4a ta ®­îc 4a2=36 nªn a=3; a=-3 +, Tõ abc =36 vµ ab=9b ta ®­îc 9b2=36 nªn b=2; b=-2 -, NÕu c = 6 th× avµ b cïng dÊu nªn a=3, b=2 hoÆc a=-3 , b=-2 -, NÕu c = -6 th× avµ b tr¸i dÊu nªn a=3 b=-2 hoÆc a=-3 b=2 Tãm l¹i cã 5 bé sè (a,b,c) tho· m·n bµi to¸n (0,0,0); (3,2,6);(-3,-2,6);(3,-2,-6);(-3,2.-6) C©u 2. (3®) a.(1®)5x-3 -2 4=> 3x+1>4hoÆc 3x+1 4=> x>1 *NÕu 3x+1 x 1 hoÆc x x 4 (0,25®) (1) 4-x+2x=3 => x=-1( tho¶ m·n ®k) (0,25®) *4-x x>4 (0,25®) (1) x-4+2x=3 x=7/3 (lo¹i) (0,25®) C©u3. (1®)¸p dông a+b a+bTa cã A=x+8-x x+8-x=8 MinA =8 x(8-x) 0 (0,25®) x 0 * =>0 x 8 (0,25®) 8 x 0 x 0 x 0 * => kh«ng tho· m·n(0,25®) 8 x 0 x 8 VËy minA=8 khi 0 x 8(0,25®) C©u4. Ta cã S=(2.1)2+(2.2)2+ + (2.10)2(0,5®) =22.12+22.22+ +22.102 =22(12+22+ +102) =22.385=1540(0,5®) A C©u5.(3®) D E C B M
  17. Chøng minh: a (1,5®) Gäi E lµ trung ®iÓm CD trong tam gi¸c BCD cã ME lµ ®­êng trung b×nh => ME//BD(0,25®) Trong tam gi¸c MAE cã I lµ trung ®iÓm cña c¹nh AM (gt) mµ ID//ME(gt) Nªn D lµ trung ®iÓm cña AE => AD=DE (1)(0,5®) V× E lµ trung ®iÓm cña DC => DE=EC (2) (0,5®) So s¸nh (1)vµ (2) => AD=DE=EC=> AC= 3AD(0,25®) b.(1®) Trong tam gi¸c MAE ,ID lµ ®­êng trung b×nh (theo a) => ID=1/2ME (1) (0,25®) Trong tam gi¸c BCD; ME lµ §­êng trung b×nh => ME=1/2BD (2)(0,5®) So s¸nh (1) vµ (2) => ID =1/4 BD (0,25®) §¸p ¸n §Ò 8 thi chän häc sinh giái cÊp tr­êng líp 7. M«n: To¸n a b c a a b c a b c C©u 1. Ta cã . . . (1) Ta l¹i cã . (2) b c d d b c d b c a 3 a b c a Tõ (1) vµ(2) => . b c d d a c b a b c C©u 2. A = .= . b c a b c a 2 a b c 1 NÕu a+b+c 0 => A = . 2 NÕu a+b+c = 0 => A = -1. 5 C©u 3. a). A = 1 + ®Ó A Z th× x- 2 lµ ­íc cña 5. x 2 => x – 2 = ( 1; 5) * x = 3 => A = 6 * x = 7 => A = 2 * x = 1 => A = - 4 * x = -3 => A = 0 7 b) A = - 2 ®Ó A Z th× x+ 3 lµ ­íc cña 7. x 3 => x + 3 = ( 1; 7) * x = -2 => A = 5 * x = 4 => A = -1 * x = -4 => A = - 9 * x = -10 => A = -3 . C©u 4. a). x = 8 hoÆc - 2 b). x = 7 hoÆc - 11 c). x = 2. C©u 5. ( Tù vÏ h×nh) MHK lµ c©n t¹i M . ThËt vËy: ACK = BAH. (gcg) => AK = BH . AMK = BMH (g.c.g) => MK = MH. VËy: MHK c©n t¹i M . §¸p ¸n §Ò 9 thi chän häc sinh giái cÊp tr­êng líp 7. M«n: To¸n Bài1: (1,5 điểm) + Tìm được: x = ; y = -1 (0,5đ)
  18. + Với x = - ; y = -1 A = - (0,5đ) + Với x = ; y = -1 A= - (0,5đ) Bài 2: (2 điểm) + Từ + = 2 (2 – x)( + ) = 0 x = 2 (0,75đ) + Thay x = 2 = = = = = 2. (1đ) + x + y + z = 100 (0,25đ) Bài 3: (2 điểm) + Biến đổi được: x(2y + 3) = 4 (0,5đ) + Chỉ ra được x, y Z x Ư(4) và 2y + 3 lẻ (0,5đ) + Lập bảng. (1đ) x -4 -2 -1 1 2 4 2y + 3 -1 -2 -4 4 2 1 y -2 loại loại loại loại -1 Bài 4: (2 điểm). a) Chỉ được; a + b + c + d = 0 đpcm. (0,5đ) (hoặc tính được P(1) = 0 đpcm). b) + Rút được: + x = 3 (1) (0,25đ) + Biến đổi được P = (3 + 3 ) + ( + x) – 9x + 1 = 3x( + x) + ( + x) – 9x + 1 (1đ) + Thay (1) vào: P = 9x + 3 – 9x + 1 = 4(0,25đ) (Học sinh có thể giải đúng bằng cách khác vẫn cho điểm) Bài 5: (2,5 điểm) + Hình vẽ (phục vụ được câu 1): (0,25đ) a) Chỉ ra được F là giao điểm 2 trung trực của BEC (0,5đ) F trung trực BC BFC cân (0,5đ) (học sinh có thể chứng minh: FC = FE; FB = FE đpcm). K F b) + Tính được EBC = 15 . (0,5đ) + Hạ FK AB FKB = FHC (ch + cgv) B (0,75đ) BFC vuông cân FBC = 45 . (0,25đ) + Kết luận BFE đều. (0,25đ) A F H C §¸p ¸n §Ò 10 thi chän häc sinh giái cÊp tr­êng líp 7. M«n: To¸n
  19. Bài 1: (1điểm) 0,5đ = = và x, y, z N, x ≠ 0 = = 0,25đ 0,25đ = = = = = 1 x = 2; y = 3; z = 5. Vậy = 235 Bài 2: (1,5 điểm) 0,5đ Ta có: + + + ac + = + ab + (vì 9 + 16 = 25) 0,25đ Suy ra: 2 = a(b – c) 0,25đ = (vì a ≠ 0; c ≠ 0) 0,5đ = = = (vì a ≠ -c nên a + c ≠ 0) Bài 3: (2,5điểm) 0,5đ a/ (1 điểm) f(x) = ( - 25) + (20 + 4m) + 7 - 9 là đa thức bậc 3 0,25đ 0,25đ biến x khi: - 25 = 0 và 20 + 4m ≠ 0 m = 5 và m ≠ -5 Vậy m = 5 thì f(x) là đa thức bậc 3 biến x. b/ (1,5 điểm) g(x) = 16 - 72 + 90 = - 2.4 .9 + + 9 0,25đ 0,25đ g(x) = + 9 Với mọi giá trị của x ta có: ≥ 0 g(x) = + 9 ≥ 9. 0,25đ Giá trị nhỏ nhất của g(x) là 9 Khi và chỉ khi = 0 0,25đ - 9 = 0 = 9 = x = . 0,5đ Bài 4: (2 điểm) Gọi số chia là a và số dư là r (a, r N*; a > r) Ta có: * 112 = 5a + r 0,5đ 5a r 5a + r 112 : 6 a ≥ 19 (2) Từ (1) và (2) a = 19; 20; 21; 22 lập bảng số: a 19 20 21 22 0,5đ r = 112 – 5a 17 12 7 2 Bài 5: (3 điểm) a/ (1,5 điểm) - Chứng minh CHO = CFO (cạnh huyền – góc nhọn) 0,25đ suy ra: CH = CF. Kết luận FCH cân tại C. 0,25đ -Vẽ IG //AC (G FH). Chứng minh FIG cân tại I. 0,25đ - Suy ra: AH = IG, và IGK = AHK. 0,25đ - Chứng minh AHK = IGK (g-c-g). 0,25đ - Suy ra AK = KI 0,25đ
  20. b/ (1,5 điểm) Vẽ OE  AB tại E. Tương tự câu a ta có: AEH, BEF thứ tự cân tại A, B. Suy ra: BE = BF và AE = AH. 0,5đ BA = BE + EA = BF + AH = BF + FI = BI. Suy ra: ABI cân tại B. 0,5đ Mà BO là phân giác góc B, và BK là đường trung tuyến của ABI nên: B, O, K là ba điểm thẳng hàng. 0,5đ A E H K OG B F I C §¸p ¸n §Ò 11 thi chän häc sinh giái cÊp tr­êng líp 7. M«n: To¸n Bài 1: (2,0 điểm) =28 7x 28 4y 0,25 x y x y 0,25 4 7 4 7 x y 22 2 x 8; y 14 0,25 4 7 11 x y x y y z y z x y z ; (1) 0,25 3 4 15 20 5 6 20 24 15 20 24 2x 3y 4z 2x 3y 4z (1) 0,25 30 60 96 30 60 96 3x 4y 5z 3x 4y 5z (1) 0,25 45 80 120 45 80 120 2x 3y 4z 3x 4y 5z 2x 3x : =: 0,25 30 60 96 45 80 120 30 45 2x 3y 4z 245 2x 3y 4z 186 . 1 M 0,25 186 3x 4y 5z 3x 4y 5z 245 Bài 2: ( 2,0 điểm) Ta cã 2H = 22011 22010 22009 22 2 0,25 2H-H = 22011 22010 22010. 22009 22009 22 22 2 2 1 0,25 H = 22011 2.22010 1 0,25 H 22011 22011 1 1 2010H = 2010 0,25 Thực hiện tính: 1 2.3 1 3.4 1 4.5 1 16.17 0,25 M = 1 . . 2 2 3 2 4 2 16 2 2 3 4 5 17 . 0,25 2 2 2 2 2
  21. 1 1 2 3 17 1 0,25 2 1 17.18 1 76 0,25 2 2 Bài 3: ( 2,5 điểm) 1 2 3 4 5 30 31 . . . . . 4 x 0,25 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.31 26 1.2.3.4 30.31 22x 0,25 1.2.3.4 30.31.230.26 1 22x x 18 0,25 236 4.45 6.65 . 8 x 0,25 3.35 2.25 46 66 . 23x 0,25 36 26 6 6 6 4 . 23x 0,25 3 2 212 23x x 4 0,25 3 11 x < - -(4x +3) – (1-x) =7 x = - ( Tháa m·n) 0,25 4 3 3 - x < 1 4x+3 – (1-x) = 7 x = 1 ( Lo¹i) 0,25 4 x 1 4x+ 3 – (x -1) = 7 x= 1 ( Tháa m·n) 0,25 Bài 4: ( 3,5 điểm) Câu a: 0,75 điểm Hình vẽ: 0,25 BEH cân tại B nên E = H1 0,25 ABC = E + H1 = 2 E A 0,25 ABC = 2 C BEH = ACB 1 Câu b: 1,0 điểm D Chứng tỏ được DHC cân tại D nên 0,25 DC = DH. DAH có: 2 0,25 B DAH = 900 - C 1 H B’ C 0 0 0,25 DHA = 90 - H2 =90 - C E DAH cân tại D nên DA = DH. 0,25 Câu c: 0,75 điểm 0,25 ABB’ cân tại A nên B’ = B = 2C 0,25
  22. B’ = A1 + C nên 2C = A1 + C 0,25 C = A1 AB’C cân tại B’ Câu d: 0,75 điểm AB = AB’ = CB’ 0,25 BE = BH = B’H 0,25 Có: AE = AB + BE HC = CB’ + B’H 0,25 AE = HC §¸p ¸n §Ò 12 thi chän häc sinh giái cÊp tr­êng líp 7. M«n: To¸n Bài 1:(4 điểm): a) (2 điểm) 10 212.35 46.92 510.73 255.492 212.35 212.34 510.73 5 .74 A 6 3 12 6 12 5 9 3 9 3 3 22.3 84.35 125.7 59.143 2 .3 2 .3 5 .7 5 .2 .7 212.34. 3 1 510.73. 1 7 212.35. 3 1 59.73. 1 23 212.34.2 510.73. 6 212.35.4 59.73.9 1 10 7 6 3 2 b) (2 điểm) 3n 2 2n 2 3n 2n = 3n 2 3n 2n 2 2n =3n (32 1) 2n (22 1) =3n 10 2n 5 3n 10 2n 1 10 = 10( 3n -2n) Vậy 3n 2 2n 2 3n 2n  10 với mọi n là số nguyên dương. Bài 2:(4 điểm) a) (2 điểm)
  23. 1 4 2 1 4 16 2 x 3,2 x 3 5 5 3 5 5 5 1 4 14 x 3 5 5 1 1 x 2 x 2 3 3 x 1 2 3 x 2 1 7 3 3 x 2 1 5 3 3 b) (2 điểm) x 7 x 1 x 7 x 11 0 x 1 10 x 7 1 x 7 0 x 7 x 1 1 x 7 10 0 x 1 x 7 0 1 (x 7)10 0 x 7 0 x 7 10 (x 7) 1 x 8 Bài 3: (4 điểm) a) (2,5 điểm) Gọi a, b, c là ba số được chia ra từ số A. 2 3 1 Theo đề bài ta có: a : b : c = : : (1) 5 4 6 và a2 +b2 +c2 = 24309 (2) a b c 2 3 k Từ (1) = k a k;b k;c 2 3 1 5 4 6 5 4 6 4 9 1 Do đó (2) k 2 ( ) 24309 25 16 36 k = 180 và k = 180 + Với k =180, ta được: a = 72; b = 135; c = 30. Khi đó ta có số A = a + b + c = 237. + Với k = 180 , ta được: a = 72 ; b = 135 ; c = 30 Khi đó ta có só A = 72 +( 135 ) + ( 30 ) = 237 .
  24. b) (1,5 điểm) a c Từ suy ra c2 a.b c b a2 c2 a2 a.b khi đó b2 c2 b2 a.b a(a b) a = b(a b) b Bài 4: (4 điểm) A a/ (1điểm) Xét AMC và EMB có : AM = EM (gt ) ·AMC = E· MB (đối đỉnh ) I BM = MC (gt ) M C Nên : AMC = EMB (c.g.c ) B H AC = EB Vì AMC = EMB M· AC = M· EB K (2 góc có vị trí so le trong được tạo bởi đường thẳng AC và EB cắt đường thẳng AE ) E Suy ra AC // BE . b/ (1 điểm ) Xét AMI và EMK có : AM = EM (gt ) M· AI = M· EK ( vì AMC EMB ) AI = EK (gt ) Nên AMI EMK ( c.g.c ) Suy ra ·AMI = E· MK Mà ·AMI + I·ME = 180o ( tính chất hai góc kề bù ) E· MK + I·ME = 180o Ba điểm I;M;K thẳng hàng c/ (1,5 điểm ) Trong tam giác vuông BHE ( Hµ = 90o ) có H· BE = 50o H· BE = 90o - H· BE = 90o - 50o =40o H· EM = H· EB - M· EB = 40o - 25o = 15o B· ME là góc ngoài tại đỉnh M của HEM A Nên B· ME = H· EM + M· HE = 15o + 90o = 105o ( định lý góc ngoài của tam giác ) Bài 5: (4 điểm) 200 a) Chứng minh ADB = ADC (c.c.c) M suy ra D· AB D· AC Do đó D· AB 200 : 2 100 b) ABC cân tại A, mà µA 200 (gt) nên ·ABC (1800 200 ) : 2 800 D ABC đều nên D· BC 600 Tia BD nằm giữa hai tia BA và BC suy ra ·ABD 800 600 200 . Tia BM là phân giác của góc ABD B C
  25. nên ·ABM 100 Xét tam giác ABM và BAD có: AB cạnh chung ; B· AM ·ABD 200 ; ·ABM D· AB 100 Vậy: ABM = BAD (g.c.g) suy ra AM = BD, mà BD = BC (gt) nên AM = BC §¸p ¸n §Ò 13 thi chän häc sinh giái cÊp tr­êng líp 7. M«n: To¸n Câu1: (3 điểm) 219.273 15.49.94 219.39 3.5.218.38 218.39.(2 5) 1 A (mỗi bước đúng 1điểm) 69.210 1210 29.39.210 (22.3)10 219.39.(1 6) 2 Câu 2: 4 điểm. (Phân tích đúng 1 bước 1điểm) P 3x 1 3x 2 3x 3 3x 4 3x 5 3x 6 3x 7 3x 8 3x 97 3x 98 3x 99 3x 100 3x. 3 32 33 34 3x 4. 3 32 33 34 3x 96. 3 32 33 34 3x.120 3x 4.120 3x 96.120 120. 3x 3x 4 3x 96 120 Câu 3: 4 điểm. Vẽ đồ thị 1điểm a) (mỗi x 0 4 x 0 5 bảng 0,25điểm) 5 4 y x 0 5 y x 0 -4 4 5 Đồ thị 5 y x là đường thẳng qua điểm O(0;0) 4 và điểm A(4;5) (0,25điểm) 4 Đồ thị y x là đường thẳng qua điểm O(0;0) và điểm B(5;-4) (0,25điểm) 5 b) Cần chứng minh OA  OB y Xét ∆OMA và ∆ONB có: OM ON 5 5 M A M¶ Nµ 90  OMA ONB (c.g.c) (1điểm) MA NB 4  · ·  AOM BON  B· OA B· ON ·AON 90 mà ·AOM ·AON 90 (1điểm)  O N 5 4 x Vậy OA  OB Câu 4: 4,5 điểm a) Chứng minh ∆BME đều -4 ∆ABC cân (gt), µA 100 ·ABC Cµ 40 (0,25đ) B CB CE BCE cân tại C (0,25đ) Cµ 40 B· EC E· BC 70 (0,25đ) E E· BM E· BC M· BC 70 10 60 (1) (0,25đ) M· CE B· CE M· CB 40 20 20 (0,25đ) A CE CB  Vì M· CE M· CB 20  MCE MCB (c.g.c) (1đ) M 0 0 CM chung B 10 20 C  ME MB EMB cân tại M (2) (0,25đ) Từ (1) và (2) BME đều. (0,25đ)
  26. b) ·ABM ·ABC M· BC 40 10 30 (0,25đ) ·ABE E· BM ·ABM 60 30 30 (0,25đ) BE BM  ·ABE ·ABM 30  ABE ABM (c.g.c) Vì (1,25đ) BM chung  ·AMB ·AEB 70 5. a) ∆IKC có MI =MK và NK= NC (gt) (0,5đ) Nên CM và IN là hai trung tuyến. (0,25đ) A Mà CM cắt IN tại O nên O là trọng tâm. (0,25đ) b) ∆AMI và ∆CMK có MI = MK (gt) (0,25đ) ¶ ¶ K M1 M 2 (đđ); MA = MC (gt) (0,5đ) M Nên ∆AMI = ∆CMK (c.g.c) (0,25đ) 1 2 1 Kµ Iµ và AI = KC (1) (0,25đ) I N 1 o 1 2 ∆ABC có I là trọng tâm IE AI (2) (0,25đ) 2 E C 1 B Mặt khác KN KC (3) (0,25đ) 2 Từ (1), (2) và (3) KN = IE (0,25đ) ∆IBE và ∆KIN có KN = IE (cmt) (0,25đ) µ µ µ K I2 ( I1) ; IB =IK (0,25đ) Nên ∆IBE = ∆KIN (c.g.c) (0,25đ) 1 1 IN BE mà BE BC IN BC (4) (0,25đ) 2 2 2 ∆IKC có O là trọng tâm nên IO IN (5) (0,25đ) 3 2 1 1 Từ (4) và (5) IO . BC BC (0,25đ) 3 2 3 §¸p ¸n §Ò 14 thi chän häc sinh giái cÊp tr­êng líp 7. M«n: To¸n C©u 1: Mçi tØ sè ®· cho ®Òu bít ®i 1 ta ®­îc: 2a b c d a 2b c d a b 2c d a b c 2d 1 1= 1 1 a b c d a b c d a b c d a b c d a b c d a b c d +, NÕu a+b+c+d 0 th× a = b = c = d lóc ®ã M = 1+1+1+1=4 +, NÕu a+b+c+d = 0 th× a+b = - (c+d); b+c = - (d+a); c+d = - (a+b); d+a = -(b+c), lóc ®ã M = (-1) + (-1) + (-1) + (-1) = -4. C©u 2: S = (100a+10b+c)+(100b+10c+a)+ (100c+10a+b) = 111(a+b+c) = 37.3(a+b+c). V× 0 S kh«ng thÓ lµ sè chÝnh ph­¬ng. C©u 3: Qu·ng ®­êng AB dµi 540 Km; nöa qu¶ng d­êng AB dµi 270 Km. Gäi qu·ng ®­êng « t« vµ xe m¸y ®· ®i lµ S1, S2. Trong cïng 1 thêi gian th× qu·ng ®­êng tØ lÖ thuËn víi vËn tèc do ®ã S S 1 2 t (t chÝnh lµ thêi gian cÇn t×m). A M B V1 V2
  27. 270 a 270 2a 540 2a 270 2a (540 2a) (270 2a) 270 t= ;t 3 65 40 130 40 130 40 90 VËy sau khi khëi hµnh 3 giê th× « t« c¸ch M mét kho¶ng b»ng 1/2 kho¶ng c¸ch tõ xe m¸y ®Õn M. C©u 4: a, Tia CO c¾t AB t¹i D. · · µ ¶ +, XÐt BOD cã BOC lµ gãc ngoµi nªn BOC = B1 D1 A ¶ µ µ +, XÐt ADC cã gãc D1 lµ gãc ngoµi nªn D1 A C1 · µ µ µ VËy BOC =A C1 + B1 D µA µA µA b, NÕu ·ABO ·ACO 900 th× B· OC = µA 900 900 2 2 2 O C XÐt BOC cã: B µA Bµ C¶ 1800 Oµ B¶ 1800 900 2 2 2 2 µA Bµ 1800 Cµ Cµ C¶ 900 900 2 2 2 2  tia CO lµ tia ph©n gi¸c cña gãc C. C©u 5: LÊy ®iÓm O tuú ý.Qua O vÏ 9 ®­êng th¼ng lÇn l­ît song song víi 9 ®­êng th¼ng ®· cho. 9 ®­êng th¼ng qua O t¹o thµnh 18 gãc kh«ng cã ®iÓm trong chung, mçi gãc nµy t­¬ng øng b»ng gãc gi÷a hai ®­êng th¼ng trong sè 9 ®­¬ng th¼ng ®· cho. Tæng sè ®o cña 18 gãc ®Ønh O lµ 3600 do ®ã Ýt nhÊt cã 1 gãc kh«ng nhá h¬n 3600 : 18 = 200, tõ ®ã suy ra Ýt nhÊt còng cã hai ®­êng th¼ng mµ gãc nhän gi÷a chóng kh«ng nhá h¬n 200. C©u 6: Tæng sè ®iÓm ghi ë hai mÆt trªn cña hai con sóc s¾c cã thÓ lµ: 2 = 1+1 3 = 1+2 = 2+1 4 = 1+3 =2 +2 = 3+1 5 = 1+4 =2+3=3+2=4+1. 6=1+5=2+4=3+3=4+2=5+1 7=1+6=2+5=3+4= 4+3=5+2=-6+1 8= 2+6=3+5=4+4=5+3=6+2 9=3+6=4+5=5+4=6+3 10=4+6=5+5=6+4 11=5+6=6+5 12=6+6. §iÓm sè (x) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 TÇn sè( n) 1 2 3 4 5 6 5 4 3 2 1 TÇn suÊt (f) 2,8% 5,6% 8,3% 11,1% 13,9% 16,7% 13,9% 11,1% 8,3% 5,6% 2,8% Nh­ vËy tæng sè 7 ®iÓm cã kh¶ n¨ng x¶y ra nhÊt tíi 16,7% §¸p ¸n §Ò thi chän häc sinh giái cÊp tr­êng líp 7. M«n: To¸n Bµi C¸ch gi¶i Tổng (a b)( x y) (a y)(b x) a( x y) b( x y) a(b x) y(b x) A = = abxy(xy ay ab by) abxy(xy ay ab by) 1 2,5 ax ay bx by ab ax by xy ay bx ab xy = = abxy(xy ay ab by) abxy(xy ay ab by)
  28. (xy ay ab by) 1 = = abxy(xy ay ab by) abxy 1 3 1 Víi a = ; b = -2 ; x = ; y = 1 ta ®­îc: A = 1 1 3 3 2 ( 2) 1 3 2 Ta cã: 0 0 nªn ta ®­îc: 3 a3 a6 a9 Gäi diÖn tÝch, chiÒu dµi, chiÒu réng cña c¸c m¶nh ®Êt A, B, C theo thø tù lµ SA, dA, rA, SB, dB, rB, SC, SA 4 SB 7 dC, rC. Theo bµi ra ta cã: ; ; dA = dB ; rA + rB = 27(m) ; rB = rC ; dC = 24(m) SB 5 SC 8 Hai h×nh ch÷ nhËt A vµ B cã cïng chiÒu dµi nªn c¸c diÖn tÝch cña chóng tØ lÖ thuËn víi c¸c chiÒu SA 4 rA rA rB rA rB 27 réng. Ta cã: 3 rA = 12(m) ; rB = 15(m) = rC 3 SB 5 rB 4 5 4 5 9 4,5 Hai h×nh ch÷ nhËt B vµ C cã cïng chiÒu réng nªn c¸c diÖn tÝch cña chóng tØ lÖ thuËn víi c¸c chiÒu SB 7 dB 7dC 7.24 dµi. Ta cã: dB = 21 (m) = dA SC 8 dC 8 8 2 Do ®ã: SA = dA.rA = 21. 12 = 252 (m ) 2 SB = dB. rB = 21. 15 = 315 (m ) 2 SC = dC. rC = 24. 15 = 360 (m ) 4x 7 4(x 2) 1 1 a) Ta cã: A = = 4 Víi x Z th× x - 2 Z. x 2 x 2 x 2 1 §Ó A nguyªn th× nguyªn. x - 2 lµ ­íc cña 1 x 2 Ta cã: x - 2 = 1 hoÆc x - 2 = -1. Do ®ã: x = 3 hoÆc x = 1 VËy ®Ó A nguyªn th× x = 3 hoÆc x = 1 3x2 9x 2 3x(x 3) 2 2 4 +) B = = 3x 3 x 3 x 3 x 3 Víi x Z th× x - 3 Z. 2 §Ó B nguyªn th× nguyªn. x - 3 lµ ­íc cña 2 x 3 Ta cã: x - 3 = 2 hoÆc x - 3 = 1. Do ®ã x = 5 ; x = 1 ; x = 4 ; x = 2 VËy ®Ó B nguyªn th× x = 5 hoÆc x = 1 hoÆc x = 4 hoÆc x = 2 b) Tõ c©u a) suy ra: §Ó A vµ B cïng nguyªn th× x = 1 A ABC cã AB = AC. GT DB = CE (D tia ®èi cña CB; E tia ®èi cña BC) a) ADE c©n H K b) MB = MC, chøng minh AM M KL lµ tia ph©n gi¸c gãc DAE D B C E c) BH  AD = H; CK  AE = K O 5 chøng minh: BH = CK 8 d) AM  BH  CK t¹i 1 ®iÓm Chøng minh: a) ABC c©n cã AB = AC nªn: A· C A· C Suy ra: A· D A· CE XÐt ABD vµ ACE cã: AB = AC (gt) A· D A· CE (CM trªn) DB = CE (gt)
  29. Do ®ã ABD = ACE (c - g - c) AD = AE (2 c¹nh t­¬ng øng). VËy ADE c©n t¹i A. b) XÐt AMD vµ AME cã: MD = ME (Do DB = CE vµ MB = MC theo gt) AM: C¹nh chung AD = AE (CM trªn) Do ®ã AMD = AME (c - c - c) M· AD M· AE . VËy AM lµ tia ph©n gi¸c cña D· AE c) V× ADE c©n t¹i A (CM c©u a)). Nªn ·ADE ·AED XÐt BHD vµ CKE cã: B· DH C· EK (Do ·ADE ·AED ) DB = CE (gt) BHD = CKE (C¹nh huyÒn- gãc nhän). Do ®ã: BH = CK. d) Gäi giao ®iÓm cña BH vµ CK lµ O. XÐt AHO vµ AKO cã: OA: C¹nh chung AH = AK (Do AD = AE; DH = KE (v× BHD = CKE )) AHO = AKO (C¹nh huyÒn- C¹nh gãc vu«ng) Do ®ã O· AH O· AK nªn AO lµ tia ph©n gi¸c cña K· AH hay AO lµ tia ph©n gi¸c cña D· AE . MÆt kh¸c theo c©u b) AM lµ tia ph©n gi¸c cña D· AE . Do ®ã AO  AM, suy ra 3 ®­êng th¼ng AM; BH; CK c¾t nhau t¹i O.