›
›
›

Bài toán liên quan đến tham số

pdf 20 trang mainguyen 8851
Download
Bạn đang xem tài liệu "Bài toán liên quan đến tham số", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pdfbai_toan_lien_quan_den_tham_so.pdf

Nội dung text: Bài toán liên quan đến tham số

  1. Nguy n T t Thu http//:www.maths.vn CH ƯƠ NG VII BÀI TỐN LIÊN QUAN ðN THAM S Khi gi i các bài tốn v ph ươ ng trình, b t ph ươ ng trình, h ph ươ ng trình ta th ưng hay g p các bài tốn liên quan đn tham s . Cĩ l đây là d ng tốn mà nhi u h c sinh lúng túng nh t. Trong ch ươ ng này chúng ta s đi nghiên c u m t s d ng tốn mà chúng ta th ươ ng hay g p (nh ư xác đnh tham s đ ph ươ ng trình cĩ nghi m, cĩ k nghi m, nghi m đúng v i m i x thu c t p D nào đĩ ) và ph ươ ng pháp gi i các dng tốn đĩ. 1. Ph ươ ng pháp hàm s Bài tốn 1: Tìm điu ki n ca tham s đ ph ươ ng trình f(x)=g(m) cĩ nghi m trên D Ph ươ ng pháp : Da vào tính ch t phươ ng trình cĩ nghi m ⇔ hai đ th ca hai hàm s y= f( x ) và y= g( m ) ct nhau. Do đĩ đ gi i bài tốn này ta ti n hành theo các b ưc sau: 1) Lp b ng bi n thiên c a hàm s y= f( x ). 2) Da vào b ng bi n thiên ta xác đnh m đ đưng th ng y= g( m ) c t đ th hàm s y= f( x ). Chú ý : Nu hàm s y= f( x ) liên t c trên D và m= min f (x) , M= Maxf (x) thì x∈ D x∈ D ph ươ ng trình : f( x) = k cĩ nghi m khi và ch khi m≤ k ≤ M. Ví d 1: Tìm m đ các ph ươ ng trình sau cĩ nghi m 1) x2++− x1 x 2 −+= x1m . 2) 4 x2 + 1 − x = m Gi i: 1)Xét hàm s f(x)= x2 ++− x1 x 2 −+ x1 cĩ t p xác đnh là D=R. 2x1+ 2x1 − Ta cĩ: f '(x) = − 2x2++ x12x 2 −+ x1 ⇒ f'x() =⇔ 0 (2x + 1) x2 −+= x 1() 2x − 1 x 2 ++ x 1 (1) 12 13  1 2 13 ⇒ x+ [(x −+=− )2 ]x  [(x ++⇔= ) 2 ]x0 thay vào (1) ta th y 2 24  2 24 khơng th a mãn. V y ph ươ ng trình f '(x)= 0 vơ nghi m ⇒ f '(x) khơng đi d u trên R, mà f'(0)= 1 > 0⇒ f(x)> 0 ∀ x ∈ R⇒ f(x) đng bi n. 2x Mt khác: limf (x) = lim = 1 và limf (x)= − 1 . →+∞ x→+∞ x x2+++ x1 x 2 −+ x1 x→−∞ Bng bi n thiên: Tr ưng THPT Lê H ng Phong – Biên Hịa – ðng Nai - 1 -
  2. Nguy n T t Thu http//:www.maths.vn x −∞ +∞ f’(x) + 1 f(x) -1 Da vào b ng bi n thiên ta th y ph ươ ng trình đã cho cĩ nghi m ⇔−1 < m < 1 . 2) ðK: x≥ 0 Xét hàm s f(x)=4 x2 + 1 − x v i x∈ D = [0; +∞ ) x 1 Ta cĩ: f '(x) = − . 24 (x2+ 1) 3 2 x ⇒ f'(x)0=⇔ xx =4 (x23 +⇔= 1) x 6 (x 23 +⇔=+ 1) x 22 x 1 vơ nghi m 1 1 ⇒ f '(x) khơng đi d u trên D, mà f '(1)= − < 0⇒ f '(x)< 0 ∀ x ∈ D 24 8 2 1 Mt khác: lim f (x)= lim = 0 x→+∞ x →+∞ 4(x23++ 1) 4 x(x 222 ++ 1) 4 x(x 42 ++ 1)4 x 6 ⇒ 0< f(x) ≤ f(0) = 1 ∀∈ x D ⇒ ph ươ ng trình cĩ nghi m ⇔0 < m ≤ 1 . Chú ý : N u ph ươ ng trình ch ưa cĩ d ng trên thì ta tìm cách cơ l p m đư a v d ng trên. Ví d 2: Tìm m đ các ph ươ ng trình sau cĩ nghi m: 1) 4 x4 − 13x + m +−= x 1 0 . 2) xx+ x12 += m(5 −+− x 4 x) . Gi i: x≤ 1 1) Ph ươ ng trình ⇔4 x4 − 13x + m = 1 − x ⇔  x4− 13x + m =− (1 x) 2 x≤ 1 ⇔  . Xét hàm s f(x)= 4x3 − 6x 2 − 9x v i x≤ 1 4x3− 6x 2 − 9x =− 1 m  3 x = 2 2 Ta cĩ: f'(x)= 12x − 12x − 9⇒ f'(x)= 0 ⇔  . 1 x = −  2 Bng bi n thiên: x −∞ −1 / 2 1 f’(x) + 0 – 5 f(x) 2 −∞ −11 Tr ưng THPT Lê H ng Phong – Biên Hịa – ðng Nai - 2 -
  3. Nguy n T t Thu http//:www.maths.vn 5 3 Da vào b ng bi n thiên suy ra ph ươ ng trình cĩ nghi m ⇔−1 m ≤ ⇔ m ≥− . 2 2 2) ðiu kin: 0≤ x ≤ 4 . Khi đĩ ph ươ ng trình ⇔f(x) = (x x ++ x 12)(5 −−−= x 4 x) m (Vì 5−−x 4 −≠ x 0 ) Xét hàm s f(x)= (x x ++ x 12)(5 −−− x 4 x) v i 0≤ x ≤ 4 . 3 1 1 1 Ta cĩ: f'(x)(x= + )( − ) . 2 2x+ 12 24 − x 25 − x 1 1 Do 0 0⇒ f'(x)0> ∀x[0;4) ∈ . 24− x 25 − x Vy f(x) là hàm đng bi n trên [0;4] ⇒ 2 3( 5−= 2) f(0) ≤ f(x) ≤ f(4) = 12 Suy ra ph ươ ng trình cĩ nghi m ⇔2 3( 5 −≤≤ 2) m 12. Chú ý : Khi g p h ph ươ ng trình trong đĩ m t ph ươ ng trình c a h khơng ch a tham s thì ta s đi gi i quy t ph ươ ng trình này tr ưc. T ph ươ ng trình này ta s tìm đưc t p nghi m x∈ D ( đi v i h m t n) ho c s rút đưc n này qua n kia. Khi đĩ nghi m c a h ph thu c vào nghi m c a ph ươ ng trình th hai v i k t qu ta tìm đưc trên. −  2 4 5x x 1  2≤   (1) Ví d 3: Tìm m đ h sau cĩ nghi m:  2  .  2 3x− mx x + 16 = 0 (2) Gi i: Ta th y (1) là b t ph ươ ng trình m t n nên ta s đi gi i b t ph ươ ng trình này 2 − Ta cĩ: 2x≤ 2 5x4 ⇔ x 2 ≤ 5x4 −⇔ x 2 − 5x401x4 +≤⇔≤≤ . H cĩ nghi m ⇔ (2) cĩ nghi m x∈ [1;4] . 3x2 + 16 3x2 + 16 (2)⇔ = m . Xét hàm s f (x) = v i x∈ [1;4] x x x x 3 6x2 x− x(3x 2 + 16) 3 x(x2 − 16) cĩ f '(x) =2 = ≤∀∈0 x [1;4] . x3 2x 3 ⇒ 8= f (4) ≤ f (x) ≤ f (1) = 19 ∀∈ x [1;4] . Vy h cĩ nghi m ⇔8 ≤ m ≤ 19 . Ví d 4: Tìm m đ h sau cĩ nghi m:  2x++ x1 2 ++ x1 7− 7 + 2007x ≤ 2007 (1)  . 2 x− (m + 2)x + 2m += 3 0 (2) Gi i: Tr ưng THPT Lê H ng Phong – Biên Hịa – ðng Nai - 3 -
  4. Nguy n T t Thu http//:www.maths.vn + + − Ta cĩ: (1)⇔ 72 x1 (7 2(x1) −≤− 1) 2007(1 x) (3) . • Nu x> 1⇒ VT(3)> 0 > VP(3)⇒ (3) vơ nghi m. • Nu x≤ 1⇒ VT(3)≤ 0 ≤ VP(3)⇒ (3) đúng ⇒ (3) cĩ nghi m x≤ 1 . Suy ra h cĩ nghi m ⇔ (2) cĩ nghi m x≤ 1 . x2 − 2x + 3 Ta cĩ: (2)⇔ m = = f(x) . Xét hàm s f(x) v i x≤ 1 , cĩ: x− 2 x2 − 4x + 1 f'(x)= ⇒ f'(x)0= ⇔ x2 = − 3 . (x− 2) 2 Bng bi n thiên x −∞ 2− 3 1 f’(x) + 0 – 2− 2 3 f(x) −∞ −2 Da vào b ng bi n thiên ⇒ h cĩ nghi m ⇔m ≤ 2 − 23 . Ví d 5: Tìm m đ h ph ươ ng trình sau cĩ nghi m: 2x− y + m = 0 (1)  . y+ xy = 2 (2) Gi i: Ta th y (2) là ph ươ ng trình khơng ch a tham s nên ta s gi i quy t (2) tr ưc y≤ 2  Ta cĩ: (2)⇔ xy = 2 − y ⇔  y2 − 4y + 4 . Thay vào (1) ta đưc: x =  y y4y42 − + 4y4 − −+=⇔=ym0 m = f(y) (3). y y H cĩ nghi m ⇔ (3) cĩ nghi m y≤ 2 . Xét hàm s f(y) v i y≤ 2 4 ⇒ f'(y)= > 0⇒ f(y) đng bi n trên các kho ng (−∞ ;0) ∪ (0;2] y2 lim f(y)= 4; lim f(y) = −∞ ; lim f(y) = +∞ . Ta cĩ b ng bi n thiên: →−∞ + − y y0→ y0 → y −∞ 0 2 f’(y) + + +∞ 2 f(y) 4 −∞ ⇒ h cĩ nghi m ⇔m ∈ ( −∞ ;2] ∪ (4; +∞ ) . Tr ưng THPT Lê H ng Phong – Biên Hịa – ðng Nai - 4 -
  5. Nguy n T t Thu http//:www.maths.vn Chú ý : Khi bài tốn yêu c u xác đnh s nghi m c a ph ươ ng trình thì ta ph i l ưu ý S nghi m c a ph ươ ng trình f(x)= g(m) chính là s giao đim c a đ th hai hàm s y= f(x) và y= g(m) . Do đĩ ph ươ ng trình cĩ k nghi m ⇔ hai đ th trên c t nhau t i k giao đim. Ví d 6: Tìm t t c các giá tr c a m đ ph ươ ng trình sau cĩ đúng hai nghi m phân bi t: x43− 4x + 16x ++ m4 x 43 − 4x + 16x += m 6 . Gi i: ðt t=4 x4 − 4x 3 + 16x + m, t ≥ 0 . Ta cĩ ph ươ ng trình : t2+−=⇔=⇔ t60 t24 x 4 − 4x 3 + 16xm2 += ⇔−=m x4 − 4x 3 + 16x − 16 . Xét hàm s f(x)=− x4 4x 3 + 16x − 16 = − 3 2 2 x 1 ⇒ f'(x)= 4(x −+=− 3x 4) 4(x 2)(x + 1)⇒ f'(x)= 0 ⇔  . x= 2 Bng bi n thiên x −∞ -1 2 +∞ f’(x) – 0 + 0 + +∞ +∞ f(x) -27 Da vào b ng bi n thiên ⇒ ph ươ ng trình cĩ hai nghi m phân bi t ⇔−m >− 27 ⇔ m 0 ∀ x ) x2 + 2 − 1 x2 x2 + 2 − 1 − x 2 + Xét hàm s f(x)= ⇒ f'(x) = x 2 2 + − 2 x 2 1 ()x2 + 2 − 1 2− x2 + 2 f'(x)= ⇒ f'(x)0x= ⇔ =± 2 . 2 x2+ 2() x 2 + 21 − Bng bi n thiên: x −∞ − 2 2 +∞ f’(x) – 0 + 0 – +∞ 2 f(x) − 2 −∞ Tr ưng THPT Lê H ng Phong – Biên Hịa – ðng Nai - 5 -
  6. Nguy n T t Thu http//:www.maths.vn Da vào b ng bi n thiên ⇒ −2 < m < 2 . Ví d 8: Tìm t t c các giá tr c a m đ ph ươ ng trình : mx2 + 1 = cos x cĩ đúng π  mt nghi m x∈ 0;  . 2  Gi i: Ta th y đ pt cĩ nghi m thì m≤ 0 . Khi đĩ: x sin 2 cos x− 1 Ph ươ ng trình ⇔ =⇔m2 =− 2m . x2x  2   2  sin t π  Xét hàm s : f (t) = v i t∈ 0;  t 4  t.cost− sint cos t( t− tgt ) π  Ta cĩ: f '(t)= = < 0 vi ∀t ∈  0;  ⇒ f(t) ngh ch bi n. t2 t 2 4  x sin 2 π 2 2 2 2 8 π Mà: f ( ) = và limf(t)1= ⇒ < f(t)1 < ⇒ <2 <∀∈ 1 x(0;) . 4 π t→ 0 π π2x  2 2   2  π 8 Vy ph ươ ng trình cĩ đúng m t nghi m x∈ (0; ) ⇔ <−2m < 1 2 π2 1 4 ⇔− <m <− . 2 π2 3(x+ 1)2 +− y m = 0 Ví d 9: Tìm m đ h ph ươ ng trình :  cĩ ba cp nghi m x+ xy = 1 phân bi t . Gi i: x≤ 1 + = ⇔ = − ⇔  = Ta cĩ : x xy 1 xy 1 x  x2 − 2x + 1 (do x 0 khơng là nghi m y =  x ph ươ ng trình ). x2 − 2x + 1 Thay vào ph ươ ng trình th nh t ta đưc: 3x6x2 ++ =− m3 (a) . x H cĩ ba c p nghi m ⇔ (a) cĩ ba nghi m phân bi t th a mãn x≤ 1 . x2x12 − + 1 Xét hàm s f(x)3x=++2 6x =+−+ 3x 2 7x2 v i x≤ 1 . x x 16x7x13+ 2 − 11 ⇒ f'(x)6x7= +− = ⇒ f'(x)0=⇔ x =− 1;x =− ;x = . x2 x 2 2 3 Tr ưng THPT Lê H ng Phong – Biên Hịa – ðng Nai - 6 -
  7. Nguy n T t Thu http//:www.maths.vn Bng bi n thiên: x 1 1 −∞ −1 − 0 1 2 3 f’(x) − 0 + 0 − − 0 + 27 +∞ − −∞ 9 4 f(x) 11 −7 −∞ 3 Da vào b ng bi n thiên ta th y (a) cĩ ba nghi m phân bi t 11 20  ≤m − 3 ≤ 9  ≤m ≤ 12 3 3 ⇔  ⇔  . 27 −15 −7 ≤ m − 3 ≤− −4 ≤ m ≤  4  4 20− 15 Vy ≤m ≤ 12 ∪−≤ 4 m ≤ là nh ng giá tr c n tìm. 3 4 Ví d 10: Bi n lu n s nghi m c a ph ươ ng trình sau: mx2 + 1 = x + 2 − m . Gi i: x+ 2 PT ⇔m(x2 ++=+⇔= 11)x2 m = f(x) (do x2 + 110 + > ) x2 + 1 + 1 S nghi m c a ph ươ ng trình chính là s giao đim c a đ th hai hàm s y= m và y= f(x) . x(x+ 2) x2 + 1 + 1 − 2 + x2 + 1 − 2x + 1 Xét hàm s y= f(x) , ta cĩ: f '(x) =x 1 = ( x2++ 1 1) 2 x 22 + 1( x ++ 1 1) 2  1 x ≥ 4 ⇒ f'(x)0=⇔+=−⇔ x12x12  2 ⇔= x .  2 2 3 x+= 1 4x − 4x + 1 2 x(1+ ) lim f (x)= limx = − 1 và lim f(x)= 1 . x→−∞ x →−∞ 1 1  x→+∞ −x 1 + −  x2 x  Bng bi n thiên Tr ưng THPT Lê H ng Phong – Biên Hịa – ðng Nai - 7 -
  8. Nguy n T t Thu http//:www.maths.vn x 4 −∞ +∞ 3 f’(x) + 0 − 5 f(x) 4 −1 1 Da vào b ng bi n thiên suy ra:  5 m > • Nu  ⇒ ph ươ ng trình vơ nghi m.  4 m≤ − 1  5 m = • Nu  ⇒ ph ươ ng trình cĩ m t nghi m.  4 −1 < m ≤ 1 5 • Nu 1< m < ⇒ ph ươ ng trình cĩ hai nghi m phân bi t. 4 Chú ý : Khi đt n ph ta ph i tìm mi n xác đnh c a n ph và gi i quy t bài tốn n ph trên mi n xác đnh v a tìm. C th : * Khi đt t= u(x),x ∈ D , ta tìm đưc t∈ Y và ph ươ ng trình f(x,m)= 0 (1) tr thành g(t,m)= 0 (2). Khi đĩ (1) cĩ nghi m x∈ D ⇔ (2) cĩ nghi m t∈ Y . * ð tìm mi n xác đnh c a t ta cĩ th s d ng các ph ươ ng trình tìm mi n giá tr (vì mi n xác đnh c a t chính là mi n giá tr c a hàm u(x) ). * Nu bài tốn yêu c u xác đnh s nghi m thì ta ph i tìm s t ươ ng ng gi a x và t, tc là m i giá tr t∈ Y thì ph ươ ng trình u(x)= t cĩ bao nhiêu nghi m x∈ D ?. Ví d 11: Tìm m đ các ph ươ ng trình sau cĩ nghi m. 2 1) x+ 9x −=− x + 9xm + . 2) 3++ x 6 −− x (3 + x)(6 −= x) m . 3) m(x22x−+42 −−+= 4) x22x 4 2 − 4 . Gi i: 1) ðiu ki n: 0≤ x ≤ 9 . Ph ươ ng trình ⇔+9 2x(9 −=−++⇔−= x) x2 9x m 2 m x(9 −− x) 2x(9 − x) x+ 9 − x 9 ðt t= x(9x)0t − ⇒ ≤ ≤ = . 2 2 Ta cĩ ph ươ ng trình : 2− m = t2 − 2t = f(t) (1). 9 Ph ươ ng trình đã cho cĩ nghi m ⇔ (1) cĩ nghi m t∈ [0; ] 2 Tr ưng THPT Lê H ng Phong – Biên Hịa – ðng Nai - 8 -
  9. Nguy n T t Thu http//:www.maths.vn 9 Xét hàm s f(t) v i t∈ [0; ] , cĩ f'(t)= 2t − 2 > 0⇒ f'(t)= 0 ⇔ t = 1 . 2 Bng bi n thiên: t 9 0 1 2 f’(t) − 0 + 45 0 f(t) 4 −1 45 37 Vy ph ươ ng trình cĩ nghi m ⇔−≤−12m ≤ ⇔− ≤ m3 ≤ . 4 4 2) ðiu ki n: −3 ≤ x ≤ 6 . t2 − 9 ðt t= 3 ++ x 6 − x⇒ t2 =+ 9 2(3 + x)(6 − x)⇒ (3+ x)(6 − x) = 2 t2 − 9 Ph ươ ng trình đã cho tr thành: t− =⇔−=− m t2 2t92m (2). 2 1 1 Xét hàm s t(x)= 3 ++ x 6 − x⇒ t'(x) = − 2x+ 3 26 − x 3 ⇒ t'(x)0=⇔ 6 −= x x +⇔= 3 x . Ta cĩ b ng bi n thiên c a t(x) 2 x 3 −3 6 2 t’(x) + 0 − 3 2 t(x) 3 3 Da vào b ng bi n thiên ⇒ t∈ [3;3 2] . ⇒ (1) cĩ nghi m ⇔ (2) cĩ nghi m t∈ [3;3 2] . Xét hàm s f(t)= t2 − 2t v i 3≤ t ≤ 32 , cĩ f'(t)= 2t − 2 > 0 ∀∈ t [3;3 2] ⇒ f(t) là hàm đng bi n trên [3;3 2] ⇒ 3= f(3) ≤≤ f(t) f(3 2) =− 18 6 2 ∀∈ t [3;3 2]. 6 2− 9 Vy ph ươ ng trình cĩ nghi m ⇔≤−≤−392m1862 ⇔ ≤≤ m3 . 2 3) ðiu ki n : x≥ 2 . Ta th y x= 2 khơng là nghi m c a ph ươ ng trình nên ta chia hai v ph ươ ng trình x2−  x2 + cho 4 x2 − 4 , ta đưc: m4+ 2  − 4 = 2 (*). x2+  x2 − Tr ưng THPT Lê H ng Phong – Biên Hịa – ðng Nai - 9 -
  10. Nguy n T t Thu http//:www.maths.vn x+ 2 2(t4 + 1) 4 ðt t=4 > 0t(x2)x2x⇒ 4 − = + ⇒ = > 2 ⇔ >⇔>0 t 1 x− 2 t4 − 1 t4 − 1 1  t2t2 + Khi đĩ (*) tr thành: m+−=⇔= 2t2m  = f(t) (3). t  2t1+ Ph ươ ng trình đã cho cĩ nghi m ⇔ (3) cĩ nghi m t> 1 . 2t2 + 2t + 2 Xét hàm s f(t) v i t> 1 , cĩ: f'(t)= >∀> 0 t1 . ()2t+ 1 2 ⇒ f (t)> f (1) = 1 ∀> t 1 . Vy ph ươ ng trình cĩ nghi m ⇔m > 1 . Chú ý : Trong các bài tốn trên sau khi đt n ph ta th ưng g p khĩ kh ăn khi xác đnh mi n xác đnh c a t . trên chúng ta đã làm quen v i ba cách tìm mi n xác đnh c a t. Tuy nhiên ngồi nh ng cách trên ta cịn cĩ nh ng cách khác đ tìm mi n xác đnh c a t. Ch ng h n: câu 2) ta cĩ th áp d ng B ðT Cơsi đ tìm xác đnh ca t : 2(3+ x)(6 − x) ≤ 9⇒ 9≤ t2 ≤ 18⇒ 3≤ t ≤ 32 . câu 3 đ tìm mi n xác đnh ta cĩ th làm nh ư sau: 1 1 t=4 1 + vì >0 ∀x > 2⇒ t> 1 . x− 2 x− 2 Ví d 12: Tìm m đ các ph ươ ng trình 1) tan2 x+ cot 2 x + m(tan x + cot x) += 3 0 cĩ nghi m . 2+ 2 +− −= 3 2) log3 x log 3 x 1 2m 1 0 cĩ nghi m trên [1;3 ] . 2− 2 − 2 − 1 3) m.92xx−+ (2m 1)6 2xx + m.4 2xx = 0 cĩ nghi m x th a mãn x ≥ . 2 Gi i: 1) ðt t= tan x + cot x⇒ tan2 x+ cot 2 x = t 2 − 2 và |t|≥ 2 . t2 + 1 Ph ươ ng trình đã cho tr thành: t2 + mt +=⇔ 1 0 =− m (3) ( vì t≠ 0 ). t Ph ươ ng trình đã cho cĩ nghi m ⇔ (3) cĩ nghi m t th a mãn |t|≥ 2 . t2 + 1 t2 − 1 Xét hàm s f (t) = v i |t|≥ 2 , ta cĩ: f'(t)= >∀ 0 t: |t| ≥ 2 t t2 Bng bi n thiên t −∞ -2 2 +∞ f’(t) + + -5/2 +∞ f(t) −∞ 5/2 Tr ưng THPT Lê H ng Phong – Biên Hịa – ðng Nai - 10 -
  11. Nguy n T t Thu http//:www.maths.vn 5 Da vào b ng bi n thiên, ta th y ph ươ ng trình cĩ nghi m ⇔| m | ≥ . 2 =2 + ⇒ 2= 2 − ≤ ≤ 3 ⇒ ≤ ≤ 2) ðt t log3 x 1 log 3 x t 1 . V i 1x3 1t2 . Ph ươ ng trình đã cho tr thành: t2 + t = 2m + 2 (2) Ph ươ ng trình đã cho cĩ nghi m trên [1;33 ] ⇔ (2) cĩ nghi m 1≤ t ≤ 2 . Xét hàm s f(t)= t2 + t v i 1≤ t ≤ 2 , ta th y f(t) là hàm đng bi n trên [1;2] Suy ra 2= f (1) ≤ f (t) ≤ f (2) =∀∈ 5 t [1;2] . 3 Vy ph ươ ng trình cĩ nghi m ⇔≤22m25 +≤⇔≤ 0m ≤ . 2 3) ðt u= 2x2 − x⇒ u'(x)= 4x − 1 . 1 Lp b ng bi n thiên c a u(x) ta ⇒ u≥ 0 ∀ x : x ≥ . 2 Bt ph ươ ng trình tr thành: m9u− (2m + 1)6 u + m4 u = 0 32u  3 u ⇔m −+ (2m1)  +=⇔−++= m0 mt2 (2m1)t m0 2  2 3  u (trong đĩ ta đt t=   ⇒ t≥ 1 ∀ u ≥ 0 ) 2  t ⇔m(t2 −+=⇔= 2t1)t m = f(t) (3) (do t=1 khơng là nghi m PT) t2 − 2t + 1 Yêu c u bài tốn ⇔ (3) cĩ nghi m t> 1 . 1− t 2 Xét hàm s f (t) v i t> 1 , cĩ f'(t)= 0 t1 và lim f(t)= 0 (t2− 2t + 1) 2 x→+∞ Bng bi n thiên t 1 +∞ f’(t) + +∞ f(t) 0 Vy m> 0 là nh ng giá tr c n tìm. Ví d 13: Tìm m đ ph ươ ng trình sau cĩ nghi m (4m− 3) x ++ 3 (3m − 4)1 −+−= x m 1 0 (1). Gi i: ðiu ki n : −3 ≤ x ≤ 1 . Ph ươ ng trình ⇔m(4x ++ 3 31 −+= x 1) 3x ++ 3 4x −+ 1 1 3x++ 3 41 −+ x 1 ⇔ = m (2). 4x++ 3 31 −+ x 1 Tr ưng THPT Lê H ng Phong – Biên Hịa – ðng Nai - 11 -
  12. Nguy n T t Thu http//:www.maths.vn  2t  x+ 3 = 2 2 2  1+ t 2 Vì ( x3+) +( 1x −) = 4 nên ta cĩ th đt:  v i 0≤ t ≤ 1 .  1− t 2 1− x = 2  1+ t 2 12t+−++ 8(1 t)2 1 t 2 7t 2 −− 12t 9 Khi đĩ (2) tr thành: m = = = f (t) (3). 16t+−++ 6(1 t)2 t 2 1 5t 2 −− 16t 7 (1) cĩ nghi m ⇔ (3) cĩ nghi m t∈ [ − 1;1] . 52t2 + 8t + 60 Xét hàm s f(t) v i t∈ [0;1] , cĩ f '(t)=− 1) log 4 (1)  3 3 3  . log (x2 −+− 2x 5) mlog 2 = 5 (2)  2 x2 − 2x + 5 Gi i: ðiu ki n : x> 1 . x+1 x + 1 (1)⇔ log > log 2 ⇔ >⇔ 1 ). 3x−1 3 x − 1 Vy h đã cho cĩ hai nghi m phân bi t ⇔ (2) cĩ hai nghi m phân bi t 1<x < 3 . =2 − + ⇒ < < ∀ ∈ ðt t log2 (x 2x 5) 2 t 3 x (1;3) và (2) tr thành m t+ =⇔ 5 t2 − 5t =− m (3) t Tr ưng THPT Lê H ng Phong – Biên Hịa – ðng Nai - 12 -
  13. Nguy n T t Thu http//:www.maths.vn T cách đt t ta cĩ: (x − 1)2 = 2t − 4 ⇒ V i m i giá tr t∈ (2;3) thì cho ta đúng mt giá tr x∈ (1;3) . Suy ra (2) cĩ 2 nghi m phân bi t x∈ (1;3) ⇔ (3) cĩ 2 nghi m phân bi t t∈ (2;3) . 5 Xét hàm s f(t)= t2 − 5t v i t∈ (2;3) ⇒ f'(t)= 2t − 5⇒ f'(t)= 0 ⇔ t = 2 Bng bi n thiên t 5 2 3 2 f’(t) − 0 + −6 −6 f(t) 25 − 4 25 25 ⇒ (3) cĩ 2 nghi m phân bi t t(2;3)∈ ⇔− 2 thì v i m i giá tr c a t cho t ươ ng ng hai giá tr c a x. Nên (1) cĩ đúng hai nghi m phân bi t ⇔ (2) ho c cĩ đúng hai nghi m t=2 và t=-2 ho c (2) cĩ đúng m t nghi m th a mãn |t|>2. 2= a + 6 TH 1: N u (2) cĩ đúng hai ngi m t= ± 2 ⇒  h vơ nghi m. 22= a + 6 TH 2: (2) cĩ đúng m t nghi m th a mãn |t|>2. Xét hàm s f(t)= t3 + 3t 2 − 9t v i t> 2 , cĩ: f '(t)= 3t2 +−= 6t 9 3(t − 1)(t + 3) . Ta cĩ b ng bi n thiên: t −∞ -3 -2 2 +∞ f’(t) + 0 - + 27 +∞ f(t) −∞ 22 2 Da vào b ng bin thiên ta th y phươ ng trình (2) cĩ đúng m t nghi m t> 2 Tr ưng THPT Lê H ng Phong – Biên Hịa – ðng Nai - 13 -
  14. Nguy n T t Thu http//:www.maths.vn a62+ 27  a > 21 Ví d 15: Tìm m đ ph ươ ng trình sau cĩ bn nghi m phân bi t. m(1x+−−+=22 1x 2)21x −++−−− 422 1x 1x 1 (1). Gi i: ðiu ki n : x≤ 1 . 0≤ t ≤ 1 ðt t= 1x +2 − 1x − 22 ≥ 0⇒ t= 221x − − 4 ⇔  . 21x−4 = 2t − 2 −t2 + t + 1 (1) tr thành: m(t2)1t+=−+⇔=2 t m = f(t) (2). t+ 2 −22  − 2 2 −=4 2t ⇔=±− 2t ∀∈ T cách đt t ⇒1 x x4 1  t [0;1] 2  2 ⇒ v i m i giá tr t∈ (0;1] ta cĩ hai giá tr x, cịn t= 0⇒ x= 0 . −2 2  − 2  2 −2t1 =− 2t 2 ⇔=⇔=2 2 Mt khác: 1  1   tttt1 2 1 2 2   2  ⇒ (1) cĩ bn nghi m phân bi t ⇔ (2) cĩ đúng hai nghi m t∈ (0;1] −t2 − 4t + 1 Xét hàm s f(t) v i t∈ [0;1] , cĩ: f'(t)= ⇒ f'(t)0=⇔= t 52. − (t+ 2) 2 Bng bi n thiên t 0 5− 2 1 f’(t) + 0 − 1 1 f(t) 2 3 −2 5 1 ⇒ (2) cĩ hai nghi m phân bi t t∈ (0;1] ⇔− 2 5 <≤ m . 3 1 Vy −2 5 < m ≤ là nh ng giá tr c n tìm. 3 Ví d 16: Bi n lu n s nghi m c a ph ươ ng trình : 32+ 3 2 3 2 m.2x1++− (2m1)(3 5) x ++ (3 5) x = 0 (1). Gi i: 3 3 x2 x 2 35−   35 +  (1) ⇔+−2m(2m1)  +   = 0 (2). 2   2  Tr ưng THPT Lê H ng Phong – Biên Hịa – ðng Nai - 14 -
  15. Nguy n T t Thu http//:www.maths.vn 3 x2 3+ 5  ðt t=   ⇒ t≥ 1 . Khi đĩ (2) tr thành: 2  1 t2 − 1 2m+ (2m1) − +=⇔− t 0 2m(t +=−⇔− 2) t2 1 2m = = f(t) (3). t t+ 2 3 2 +  x ∀ ≥ =3 5 ⇔=± 3 Vi t 1⇒ t  x log+ t (*) . 2  3 5 2 • Nu t= 1⇒ (*) cĩ m t giá tr x= 0 • Nu t> 1⇒ (*) cĩ hai giá tr x. ⇒ S nghi m c a (1) ph thu c vào s nghi m t≥ 1 c a (3) t2 + 4t + 1 Xét hàm s f(t) v i t≥ 1 , cĩ: f'(t)= >∀≥ 0 t1 . (t+ 2) 2 Bng bi n thiên: t 1 +∞ f’(t) + +∞ f(t) 0 Da vào b ng bi n thiên, ta cĩ: * Nu −2m 0⇒ (3) vơ nghi m ⇒ (1) vơ nghi m. * N u m= 0⇒ (3) cĩ m t nghi m t= 1⇒ (1) cĩ m t nghi m x= 0 * N u m 1⇒ (1) cĩ hai nghi m phân bi t. Ví d 17: Tìm t t c các giá tr c a m đ ph ươ ng trình : −2 −−− −+−= (m 1)log1 (x 2) (m 5)log 1 (x 2) m 1 0 (1) 2 2 < ≤ < cĩ hai nghi m tho mãn điu ki n : 2x1 x 2 4 . Gi i: = − ∈− ∀∈ ∈ − ðt t log1 (x 2)⇒ t ( 2;0) x (2;4) và m i t ( 2;0) cho m t giá tr 2 x∈ (2;4) . Khi đĩ (1) tr thành: t2 − 5t + 1 (m1)t−2 −−+−=⇔= (m5)t m10 m = f(t) (2). t2 − t + 1 ⇔ −< ≤ < Yêu c u bài tốn (2) cĩ hai nghi m 2t1 t 2 0 . t2 + 4 Xét hàm s f(t) v i t∈ ( − 2;0) , cĩ f '(t)=− <∀∈− 0 t ( 2;0). (t2− t + 1) 2 15 ⇒1= f(0) <<−= m f( 2) là nh ng giá tr c n tìm. 7 Tr ưng THPT Lê H ng Phong – Biên Hịa – ðng Nai - 15 -
  16. Nguy n T t Thu http//:www.maths.vn Bài tốn 2: Tìm m đ b t ph ươ ng trình f( x) > gm( ) cĩ nghi m trên D. Ph ươ ng pháp: Vi d ng tốn này tr ưc h t ta đi kh o sát và l p b ng bi n thiên ca hàm s f (x) trên D, r i d a vào các tính ch t sau đ chúng ta đnh giá tr c a tham s : 1) Bt ph ươ ng trình f(x)≥ g(m) cĩ nghi m trên D ⇔maxf(x) ≥ g(m) x∈ D 2) Bt ph ươ ng trình f(x)≤ g(m) cĩ nghi m trên D ⇔minf(x) ≤ g(m) x∈ D Ví d 1: Tìm m đ b t ph ươ ng trình sau cĩ nghi m 1) 4−++≥ x x 5 m 2) mx −−≤+ x 3 m 1. Gi i: 1) ðiu ki n : −5 ≤ x ≤ 4 . Xét hàm s f(x)= 4 −+ x x + 5 −1 1 4xx5 −−+ ⇒ f '(x) = + = . 24− x 2x + 5 2(4 −+ x)(x 5) 1 ⇒ f'(x)0=⇔ 4x −− x50 +=⇔=− x . 2 −1  Suy ra maxf(x)= max f(4),f( ),f( − 5)  = 3 2 . [-5;4] 2  Vy b t ph ươ ng trình cĩ nghi m ⇔m ≤ maxf(x) = 3 2 . [− 5;4] 2) ðiu ki n : x≥ 3 . x− 3 + 1 x− 3 + 1 Bt ph ươ ng trình ⇔m ≤ . Xét hàm s f (x) = v i x≥ 3 . x− 1 x− 1 5x− − x3 − Ta cĩ: f'(x)= ⇒ f'(x)0= ⇔ x4 = và lim f(x)= 0 . 2 x− 3(x − 1) 2 x→+∞ Bng bi n thiên: x 3 4 +∞ f’ + 0 - 2 f 3 1 0 2 2 Vy b t ph ươ ng trình cĩ nghi m ⇔m ≤ maxf (x) = . x≥ 3 3 Tr ưng THPT Lê H ng Phong – Biên Hịa – ðng Nai - 16 -
  17. Nguy n T t Thu http//:www.maths.vn Ví d 2: Tìm m đ các b t ph ươ ng trình sau cĩ nghi m 2 + lgx− mlgx ++≤ m 3 0 1) 4x− m.2 x 1 +− 3 2m ≤ 0 (1) 2)  (2). x> 1 Gi i: 1) ðt t= 2x , t > 0 . Khi đĩ b t ph ươ ng trình tr thành: t2 + 3 t2 − 2mt +−≤⇔ 3 2m 0 f(t) = ≤ 2m (3). t+ 1 (1) cĩ nghi m ⇔ (3) cĩ nghi m t> 0 . Xét hàm s f(t) v i t> 0 , ta cĩ: t2 + 2t − 3 f'(t)= ⇒ f'(t)0= ⇔ t1 = (do t> 0 ). ()t+ 1 2 Bng bi n thiên: t 0 1 +∞ f’(t) − 0 + 3 +∞ f(t) 2 ⇒ (3) cĩ nghi m t> 0 ⇔2m ≥⇔ 2 m ≥ 1 . Vy m≥ 1 là nh ng giá tr c n tìm. 2) ðt t= lgx⇒ t> 0 ∀x > 1 . Khi đĩ b t ph ươ ng trình đã cho tr thành: t2− mt ++≥⇔ m 30 t 2 +≤ 3 m(t1) − (1). t2 + 3 * t ⇒ (1)⇔ m ≥ = f(t) (3). t− 1 Ta cĩ b ng bi n thi n f(t) t 1 3 +∞ f’(t) − 0 + +∞ +∞ f(t) 6 (3) cĩ nghi m t1> ⇔ m ≥ 6 . m< − 3 Vy  là nh ng giá tr c n tìm. m≥ 6 Tr ưng THPT Lê H ng Phong – Biên Hịa – ðng Nai - 17 -
  18. Nguy n T t Thu http//:www.maths.vn Ví d 3: Tìm m đ b t ph ươ ng trình : m( x2 − 2x +++ 2 1) x(2 −≤ x) 0 (1) cĩ nghi m x∈ [0;1 + 3] . Gi i: ðt t= x2 −+= 2x 2 (x −+ 1) 2 1⇒ t∈ [1;2] ∀∈x [0;1 + 3] t2 − 2 Khi đĩ (1) tr thành: m(t1)t+≤−⇔≤2 2 m = f(t) (2). t+ 1 t2 + 2t + 2 Xét hàm s f(t) trên [1;2] , ta cĩ: f '(t)= >∀∈ 0 t [1;2] (t+ 1) 2 (1) cĩ nghi m x∈ [0;1 + 3] ⇔ (2) cĩ nghi m t∈ [1;2] 2 ⇔≤m maxf (t) = f (2) = . [1;2] 3 Ví d 4: Tìm m đ b t ph ươ ng trình sau cĩ nghi m: 2 2 2 2sin x+ 3 cos x ≥ m.3 sin x . Gi i: t t 2sin2 x 1 sin 2 x  21  B t ph ươ ng trình ⇔() + 3() ≥⇔+ m 3  ≥ m 3 9 39  t t 2 2  1 vi t= sin x⇒ t∈ [0;1] . Xét hàm s f(t)= + 3  , ta th y f(t) là hàm 3  9 ngh ch bi n. ⇒ max f (t)= f (0) = 4 . V y b t ph ươ ng trình cĩ nghi m ⇔m ≤ 4 . [0;1] Ví d 5: Tìm m đ h b t ph ươ ng trình sau cĩ nghi m:  2x+−≥ 1 1 2x − 1 (1)  . | 8x−++ 5| x3 2x +− 1 2m ≥ 0 (2) 1 Gi i: ðiu ki n: x ≥ . 2 1 5 Ta cĩ: (1)⇔ 2x1 +≥ 2x11 −+⇔≥ 122x1 −⇔≤≤ x . 2 8 Khi đĩ: (2)⇔−++ 8x 5 x3 + 2x +− 1 2m ≥⇔ 0 f(x) = x3 − 6x +≥ 6 2m (3). 1 5  1 5  Xét hàm s f (x) trên ; , ta cĩ: f'(x)= 3x2 −≤ 6 0 ∀∈ x ; . 2 8  2 8  1 25 ⇒ maxf(x)= f( ) = . 1 5  2 8 ;  2 8  Tr ưng THPT Lê H ng Phong – Biên Hịa – ðng Nai - 18 -
  19. Nguy n T t Thu http//:www.maths.vn ⇔ 1 5  25 25 H cĩ nghi m (3) cĩ nghi m x∈ ;  ⇔≤ 2m maxf(x) =⇔≤ m . 2 8  1 5  8 16 ;  2 8  Ví d 5: Tìm t t c giá tr c a tham s a đ h sau cĩ nghi m (x,y) tho mãn điu ki n x≥ 4 .  x+ y = 3 (1)  .  x++ 5 y +≤ 3 a (2) Gi i: ðiu ki n : x,y≥ 0 x≥ 4 ðt t= x⇒ y3t= − , do  ⇒ 2≤ t ≤ 3 . Khi đĩ (2) tr thành: y≥ 0 a≥ t2 ++ 5 t 2 −+= 6t12 f(t) (3). t t− 3 Xét hàm s f(t) v i t∈[ 2;3 ], cĩ f '(t) = + t2+ 5 t 2 − 6t12 + ⇒ f'(t)=⇔ 0 t(t − 3)2 +=− 3 (3 t)t 2 + 5 (*) ⇒ t(t2−+=− 3) 22 3t (3 t)t 22 +−⇔−+= 5(3 t) 22 2t 30t 45 0 ph ươ ng trình vơ nghi m vì t∈[ 2;3 ] BBT: t 2 3 f '(t) + 14+ 3 f (t) 5 H cĩ nghi m ⇔ (3) cĩ nghi m t∈ [1;2] ⇔≥ a minf(t) = f(2) = 5 . [1;2] Vy a≥ 5 là nh ng giá tr c n tìm. Chú ý : ð b t ph ươ ng trình : f(x)≥ k (f(x) ≤∀∈⇔≤ k) x D k minf(x) (k ≥ maxf(x)) . D D Ví d 6: Tìm m đ b t ph ươ ng trình : (x+ 3)(x + 1)(x2 ++≥ 4x 6) m nghi m đúng ∀x ∈ R . Gi i: Bt ph ươ ng trình ⇔(x2 ++ 4x 3)(x 2 ++≥ 4x 6) m . ðt t= x2 + 4x3(x +=+ 2) 2 − 1⇒ t≥ − 1 và b t ph ươ ng trình tr thành: t2 + 3t ≥ m ∀≥− t 1 (*) Xét hàm s f(t)= t2 + 3t⇒ f'(t)= 2t + 3 > 0 ∀≥− t 1⇒ minf(t)= − 2 . t≥− 1 Bt ph ươ ng trình đã cho nghi m đúng vi ∀x ∈ R ⇔ (*) nghi m đúng v i ∀t ≥ − 1 Tr ưng THPT Lê H ng Phong – Biên Hịa – ðng Nai - 19 -
  20. Nguy n T t Thu http//:www.maths.vn ⇔≤m minf(t) =− 2 là nh ng giá tr c n tìm. t≥− 1 Ví d 7: Tìm m đ b t ph ươ ng trình : (4+ x)(6 −≤−+ x) x2 2x m nghi m đúng ∀x ∈[ − 4;6 ]. Gi i: 4+ x + 6 − x ðt t= (4x)(6x) + − ⇒ 0t≤ ≤ = 5. 2 Khi đĩ b t ph ươ ng trình tr thành: t24t≤ −2 + m ⇔ t 2 +≤+ tm24 (*). Yêu c u bài tốn ⇔ (*) nghi m đúng ∀t ∈ [0;5] . Xét hàm s f(t)= t2 + t v i t∈ [0;5] , ta th y f(t) là hàm đng bi n trên [0;5] Suy ra max f (t)= f (5) = 30 . [0;5] Vy (*) nghi m đúng ∀t ∈ [0;5] ⇔m + 24 ≥ 30 ⇔ m ≥− 6 . 1 Ví d 8: Tìm m đ b t ph ươ ng trình sau nghi m đúng v i m i | x | ≥ . 2 2− 2 − 2 − 92xx−− 2(m1)6 2xx ++ (m1)4 2xx ≥ 0 . Gi i: 2x2 − x 2x2 − x 3  Chia hai v b t ph ươ ng trình cho 4 và đt t =   , ta đưc: 2  t2 − 2(m − 1)t ++≥ m 1 0 (1). 1 t2 + 2t + 1 Vi |x|≥ ⇒ 2x2 − x0 ≥ ⇒ t1≥ ⇒ (1)⇔ m ≤ = f (t) . 2 2t− 1 Yêu c u bài tốn ⇔m ≤ minf(t) . t≥ 1 2t2 − 2t − 4 Ta cĩ f'(t)= ⇒ f'(t)0= ⇔ t2 = . (2t− 1) 2 Bng bi n thiên t 1 2 +∞ f’(t) − 0 + 4 +∞ f(t) 3 Vy m≤ minf(t) ⇔ m ≤ 3 . t≥ 1 Tr ưng THPT Lê H ng Phong – Biên Hịa – ðng Nai - 20 -