Bài tập nâng cao Hình học lớp 8

Nội dung text: Bài tập nâng cao Hình học lớp 8

1. Gia sư Tài Năng Việt BÀI TẬP NÂNG CAO HÌNH HỌC LỚP 8 BÀI 1: Cho hình thang ABCD ( AB//CD). a/ Chứng minh rằng nếu hai tia phân giác của hai góc A và D cùng đi qua trung điểm F của cạnh bên BC thì cạnh bên AD bằng tổng hai đáy. b/ Chứng minh rằng nếu AD = AB + CD thì hai tia phân giác của hai góc A và D cắt nhau tại trung điểm của cạnh bên BC. Giải: a) ABCD : AB//CD; BDA F A F ; A D F F CD ; FBCFBFC : A B Chứng minh: AB + DC = AD. Gọi EADAEAB : . (1) Ta có : A B F A E F ( c - g - c) E Suy ra: A FEB A F ; Mặt khác : A FD 9 0 0 ( vì FADFDA 900 ) F Nên D F E D F C ( cùng phụ với 2 góc bằng nhau ) + DF : cạnh chung Vậy D E F D C F ( g - c- g) ) DE = DC (2) Từ (1) và (2), suy ra: AB + DC = AD (đpcm) D C b) ABCD : AB//CD; ; ; AB + DC = AD. A B Chứng minh: Gọi . Suy ra : DE = DC. Nên ABFAEF ( c - g - c) E ) AFAFBE ; BF = EF (*) Tương tự: DFEDFC ( c - g - c) F ) EDFCDF ; EF = FC ( ) Mặt khác : AFAFEF90DED 0 ( ) Từ (*); ( ) và ( ), suy ra : BFCEDD AFBAFEFCF180 0 Hay ba điểm B; F và C thẳng hàng và FB = FC D C Nên F là trung điểm của BC. Bài 2: Cho ABC cân ở A. Gọi I là một điểm bất kỳ thuộc đường cao AH. Gọi D là giao điểm của BI và AC. E là giao điểm của CI và AB. A a. CMR: AD = AE b. BEDC là hình gì ? c. Xác định vị trí của I để BE = ED = DC Giải: a) Xét ABC:; AB AC AH  BC E D nên AH là trung trực của BC; I AH Suy ra : BI = CI; IBC ICB I Mặt khác : BC Giáo viên : Nguyễn Đình Huynh 1 Tổ : Toán - Tin. B H C
2. Gia sư Tài Năng Việt Nên I B E I C D Xét EIB và D I C Có ; BI = CI; B I E C I D Nên = ( g - c - g) ) BE = DC mà AB = AC nên AD = AC - DC = AB - BE = AE. b) Từ AD = AE. Ta có : ADE cân. 1800 A Nên AEDABC ( Cặp góc đồng vị) 2 Suy ra: DE // BC ( Dhnb) và A B C A C B Vậy BCDE là hình thang cân ( dhnb) c) Để BE = ED thì BED cân tại E EBDEDB Mà B D C E D B ( Cặp góc so le trong) Suy ra : B D C D B E hay BD là đường phân giác của góc B Vậy I là giao điểm ba đường phân giác của ABC Thì BE = DE = DC. BÀI 3 : Cho ABC, trên tia BA lấy D sao cho A là trung điểm BD. Trên tia CB lấy điểm E sao cho B là trung điểm CE. Hai đường thẳng AC và DE cắt nhau tại I. Chứng DE minh rằng: DI D 3 Giải: Qua B, vẽ BJ // AC; J D E Xét B D J . Ta có : I AB = AD ( gt) IA // JB ( vì BJ // AC) A Suy ra : ID = IJ ( Định lí) J Tương tự : JB là đương trung bình của C E I Nên IJ = JE DE Vậy DI = IJ = JE hay DI = 3 E B C BÀI 4: Cho hình bình hành ABCD. Các điểm E, F thuộc đường chéo AC sao cho AE = EF = FC. Gọi M là giao điểm của BF và CD; N là giao điểm của DE và AB. Chứng minh rằng: a. M, N theo thứ tự là trung điểm của CD, AB. b. EMFN là hình bình hành. Giải: a) Xét ADE và BCF : A N AD = BC; DAE BCF ; AE = CF B Nên = ( c- g- c) E ) AED BFC ; DE = BF. ( 1) Mà AED NEC F Suy ra : BFC NEC ( cặp góc đồng vị) Nên DN // BM ( dhnb) D M C Giáo viên : Nguyễn Đình Huynh 2 Tổ : Toán - Tin.
3. Gia sư Tài Năng Việt Xét D E C : EF = FC; MF // DE Suy ra : DM = MC DE Hay MF là đường trung bình của nên MF // DE; MF (2) 2 + Tương tự: EN là đường trung bình của ABF BF Nên AN = NB; EN (3) 2 Từ (1); (2) và (3), suy ra : EN = MF; EN // MF nên . EMFN là hình bình hành. BÀI 5: Cho hình bình hành ABCD trong đó có AD = 2AB. Kẻ CE  AB. Gọi M là trung điểm của AD, nối EM, kẻ MF vuông góc với CE; MF cắt BC tại N. a. Tứ giác MNCD là hình gì ? b. EMC là tam giác gì ? c. Chứng minh rằng: BAD AEM 2 A M D Giải: a) Xét AECD : AE // CD ( gt ) E AM = MD (gt) MF // AE ( vì cùng vuông góc với CE) F Suy ra : EF = FC ( đlí 3) + Xét B C E : NF // BE ( cm trên) EF = FC B N C Suy ra : BN = NC. Vậy MNCD : MD = NC = AD ; MD // NC 2 Nên MNCD là hình bình hành ( dhnb) b) E M C cân tại M Vì MF vừa là đường cao, vừa là đường trung tuyến ứng với cạnh EC. c) Ta có : AEM EMF ( cặp góc soletrong) )2EMC AEM (*) Mặt khác : CMNMNA ( cặp góc soletrong) Mà MNAMAN ( vì A M N cân tại M) MNABAN Suy ra : BADBANMANCMNEMC 2 ( )từ (*) và ( ) Ta có : Bài 6: Cho hình bình hành ABCD, hai đường chéo cắt nhau ở O. Hai đường thẳng d1 và d2 cùng đi qua O và vuông góc với nhau. Đường thẳng d1 cắt các cạnh AB và CD ở M và P. Đường thẳng d2 cắt các cạnh BC và AD ở N và Q. a/ Chứng minh tứ giác MNPQ là hình thoi. b/ Nếu ABCD là hình vuông thì tứ giác MNPQ là hình gì? Chứng minh. a) Vì O là tâm đối xứng của hình bình hành nên M và P; N và Q đối xứng với nhau qua O. Suy ra : OM = OP; ON = OQ. d1 Nên OMN OPN OPQ OMQ ( CGV - CGV) A M B ) MN NP PQ QM Hay MNPQ là hình thoi. b) Nếu ABCD là hình vuông N Q Giáo viên : Nguyễn Đình Huynh d23 O Tổ : Toán - Tin. D P C
4. Gia sư Tài Năng Việt thì MNPQ là hình vuông. Vì A 900 nên AQMAMQ 900 Mà A Q M B M N Nên BMNAMQ 900 Suy ra : QMNBMNAMQ 18018090900000 Nên MNPQ là hình vuông. ( dhnb) BÀI 7. Cho tam giác ABC và O là một điểm thuộc miền trong của tam giác. Gọi D, E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CA và L, M, N lần lượt là trung điểm của các đoạn OA, OB, OC. Chứng minh rằng: Các đoạn thẳng EL, FM và DN đồng qui. A Giải: Xét DFNM . Ta có : Vì DM là đường trung bình của ABO L 1 Nên DM // AO; DM AO . 2 D O F 1 Tương tự : NF // AO; NF AO 2 J Vậy DFNM là hình bình hành M N Gọi JDNMF . Ta có : J là trung điểm của DN và MF. B E C Chứng minh tương tự : EFLM là hình bình hành nên J cũng là trung điểm chung của MF và LE Hay EL, FM và DN đồng qui. Bài 8. Cho hình bình hành ABCD. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo ; E là điểm đối xứng của A qua B ; F là giao điểm của BC và ED ; G là giao điểm của BC và OE ; H là giao điểm của EC và OF. Chứng minh rằng A, G, H thẳng hàng. Giải: Vì O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD nên OA = OC suy ra EO là trung tuyến của EAC. E Q Vì E đối xứng với A qua B nên B là trung điểm của EA H suy ra CB là trung tuyến của EAC. Q B G C Vì G là giao điểm của CB và EO Q Q F Q Q nên G là trọng tâm của EAC. (1) O Q Mặt khác, ABCD là hình bình hành A D nên CD // AB, CD = AB, mà B là trung điểm của AE Q Q suy ra CD // BE, CD = BE. Do đó BECD là hình bình hành. Từ đó F là trung điểm của hai đường chéo ED và BC của hình bình hành BECD. Giáo viên : Nguyễn Đình Huynh 4 Tổ : Toán - Tin.
5. Gia sư Tài Năng Việt Ta có OF là đường trung bình của CAB nên OF // AB OH // AE HE = HC. Do đó AH là trung tuyến của EAC. (2) Từ (1) và (2) suy ra A, G, H thẳng hàng (đpcm). A B I Bài 9. Cho hình chữ nhật ABCD (AB < BC) có 2 O là giao điểm của hai đường chéo. Trên tia đối K của tia CD lấy điểm E sao cho CE = CD. Gọi F 1 F là hình chiếu của của D trên BE ; I là giao điểm 1 của AB và CF ; K là giao điểm của AF và BC. O I Chứng minh rằng ba điểm O, K, I thẳng hàng Vì ABCD là hình chữ nhật 2 D nên AB = CD, AC = BD và OA = OB = OC = OD. C E Ta có CB  AI (vì ABCD là hình chữ nhật) CB là đường cao của CAI. (1) + FBD vuông tại F (vì F là hình chiếu của D lên BE) có FO là trung tuyến ứng với cạnh huyền BD 1 1 nên OF = BD OF = AC. 2 2 + FAC có FO là đường trung tuyến ứng với cạnh AC 1 mà FO = AC nên FAC vuông tại F. 2 Suy ra AF  CI hay AF là đường cao của CAI. (2) + K là giao điểm của AF và CB nên từ (1) và (2) suy ra K là trực tâm của CAI. Do đó IK  AC. (3) Mặt khác, tứ giác ABEC có AB = CE (cùng bằng CD) và AB // CE (vì AB // CD) nên là hình bình hành BE // AC BF //AC ABFC là hình thang. Lại có FDE vuông tại F, FC là trung tuyến ứng với cạnh DE (vì CD = CE) nên CF = CD CF = AB (vì AB = CD). Giáo viên : Nguyễn Đình Huynh 5 Tổ : Toán - Tin.
6. Gia sư Tài Năng Việt Suy ra BAC = FCA (cạnh huyền – cạnh góc vuông) AF = BC. Hình thang ABFC có hai đường chéo AF và BC bằng nhau nên là hình thang cân. Suy ra IAC· ICA= · IAC cân tại I IO là trung tuyến đồng thời là đường cao. Hay IO  AC. (4) Từ (3) và (4) suy ra I, K, O thẳng hàng (đpcm). Bài 10: Cho hình bình hành ABCD. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Trên AB lấy điểm E, trên CD lấy điểm F sao cho AE = CF. a. Chứng minh E đối xứng với F qua O b. Từ E dựng Ex // AC cắt BC tại I, dựng Fy // AC cắt AD tại K. Chứng minh rằng: EI = FK; I và K đối xứng với nhau qua O. E Giải: A B a) Xét tứ giác AECF có : K AE = CF; AE // CF Nên AECF là hình bình hành ( dhnb) O Mà O là trung điểm của AC I Nên O cũng là trung điểm của EF Vậy E và F đối xứng với nhau qua O. D F C b) Xét EIFK : EI // KF ( cùng song song với AC) Mặt khác : Xét BEI và D F K : DF = EB ( Vì AE = CF) EBI FDK ( Vì ABCD là hình bình hành) + EIBACB ( Cặp góc đồng vị) + DKF DAC ( Cặp góc đồng vị) Mà ACBDAC ( Cặp góc soletrong) Nên EIBDKF Suy ra : = ( g - c - g) ) EI = KF Vậy EIFK là hình bình hành ( dhnb) Suy ra : EI = FK và O là trung điểm của IK hay I và K đối xứng qua O. Bài 11: Cho hình chữ nhật ABCD, nối C với một điểm E bất kỳ trên đường chéo BD, trên tia đối của EC lấy điểm F sao cho EF = EC. Vẽ FH và FK lần lượt vuông góc với AB và AD. Chứng minh rằng: a) Tứ giác AHFK là hình chữ nhật b) AF song song với BD và KH song song với AC Giáo viên : Nguyễn Đình Huynh 6 Tổ : Toán - Tin.
7. Gia sư Tài Năng Việt c) Ba điểm E, H, K thẳng hàng. K F Giải: x a) Xét AHFK : A H K 900 A x J B nên AHFK là hình chữ nhật. H b) * Xét A CF : OA = OC; EC = EF nên OE là đường trung bình của A CF E nên OE // AF hay AF // BD. O * Tương tự : EJ là đường trung bình của Nên EJ // AC C Mặt khác : AKJ cân tại J D ) A KJ KA J + KA J KD E ( cặp góc đồng vị) )AKJ KDE hay K D E cân 1800 KDE Suy ra : AJKDEK nên K; J và E thẳng hàng. 2 Mà K; J và H thẳng hàng. Nên K; H và E cũng thẳng hàng và HK // AC. Bài tập 12. Cho hình bình hành ABCD. Trên đường chéo BD lấy hai điểm E và F sao cho BE = DF. Kẻ EH  AB, FK  CD (H AB, K CD). Gọi O là trung điểm của EF. Chứng minh rằng ba điểm H, O, K thẳng hàng. GIẢI Vì EH  AB, FK  CD và AB // CD nên EH // FK (1) Xét HBE và KDF có BE = DF, KDFHBE· = · , DKFBHE90· ==· 0 HBE = KDF (cạnh huyền – góc nhọn) A H B HE = KF (2) Từ (1) và (2) E F O suy ra HEKF là hình bình hành Vì O là trung điểm của EF D K C cũng là trung điểm của HK. Vậy O, H, K thẳng hàng (đpcm). Bài tập 13: Trong hình vuông ABCD lấy điểm E sao cho EB· C = ECB· = 150 . Trên nửa mặt phẳng bờ CD không chứa điểm E vẽ tam giác đều CDF. Chứng minh rằng B, E, F thẳng hàng. A B Giáo viên : Nguyễn Đình Huynh 7 Tổ : Toán - ETin. D C F
8. Gia sư Tài Năng Việt GIẢI: Xét : BECBECEBCECB:180 0 = 1800 - ( 150 + 150) = 1500 BCF: BCF BCD DCF 900 60 0 150 0 )1801801501515BFCBCFCBF00000 ( Hoặc BCFBCCF: ( cùng bằng CD) Nên B CF cân tại C )15BFCCBF 0 ; ECFECBDCF 9090156013500000 Vậy CEFCFBECF 180180151353000000 Ta có : CEFCEB 1800 hay B, E, F thẳng hàng. Bài tập 14: Cho tam giác ABC vuông cân tại A .Điểm M thuộc cạnh BC .Gọi E và F theo thứ tự là hình chiêu của M trên AB ,AC.Chứng minh rằng khi M chuyển động trên BC thì a/ Chu vi của tứ giác MEAF không đổi . b/Đường thẳng đi qua M và vuông góc với EF luôn đi qua điểm K cố định . c/ Tam giác KEF có diện tích nhỏ nhất khi M là trung điểm của BC 0 Giải: a) Xét MEAFL : AEF 90 C Q K Là hình chữ nhạt. )AF;MEMFAE Mặt khác : ABC vuông cân F P Nên CFM vuông cân M )CFFMAE H Nên Cvi MEAF = AE + EM + FM + AF = 2( AF + FM) = 2( AF + FC) = 2AC không đổi vì AC không đổi. B b) Gọi K là điểm đối xứng của A qua BC. A E Vì vuông cân nên AK cũng là đường trung trực của BC Suy ra : ABKC là hình vuông. Gọi P FM  BK; Q ME  CK ; H là hình chiếu của M xuống EF. Suy ra : + MPKQ là hình chữ nhật. + MFCQ; MEBP là hình vuông. Xét MFE và KPM : FM = KP ( = MQ); ME = MP ( 2 cạnh của hình vuông MEBP); EMF90 P 0 Nên = ( c - g - c) Suy ra: MEF KMP Mặt khác : MEF EMH 900 Nên MEF EMH EMP 1800 hay M; H và K thẳng hàng. Giáo viên : Nguyễn Đình Huynh 8 Tổ : Toán - Tin.
9. Gia sư Tài Năng Việt Vậy HM luôn đi qua điểm K cố định hay đường thẳng đi qua M vuông góc với EF luôn đi qua điểm K cố định. c) SSSSSKEF ABCD AEF CKF BEK 1 11S mà SSCKCFKBEB   = KBEBCFKBAB  ABCD CKFBEK 2 222 Vậy SKEF nhỏ nhất khi SAEF lớn nhất. 1 Mặt khác : = AE  AF đạt giá trị lớn nhất khi AE = AF ( bđthức Cô si) 2 11ABABS Hay Max = AE  AF= ABCD 22228 SSSABCDABCDABCD 3 Nên Min = SABCD 288 Bài tập 15: Cho hình vuông ABCD, M đương chéo AC. Gọi E,F theo thứ tự là hình chiếu của M trên AD, CD. Chứng minh rằng: a) BM  EF A B b) Các đường thẳng BM, AF, CE đồng quy. GIẢI : a) Tứ giác DEMF : DEF 900 Là hình chữ nhật. M E K Xét MEF và K B M : KM 900 EM = BK ( vì vuông cân) AEM H MF = MK ( = KC) Nên = ( c - g - c) MEF MBK Mặt khác : EMHBMK ( cặp góc đối đỉnh) D F C MBKBMK 900 0 Nên MEMHMBKBMKEF90 A B Vậy EMH 900 hay BM  EF . b) Gọi I AF  BE ; J CE  BF I Ta có : ADFBAE ( c - g - c) M DAF ABE E K )D AF AEB ABE AEB 900 H Nên AIE 900 hay FIBE Tương tự : DEC CFB J Suy ra : EJ BF Vậy BH; EJ và FI là ba đường cao của BEF D F C Nên đồng quy tại 1 điểm. Giáo viên : Nguyễn Đình Huynh 9 Tổ : Toán - Tin.
10. Gia sư Tài Năng Việt Giáo viên : Nguyễn Đình Huynh 10 Tổ : Toán - Tin.