Bài tập luyện thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 (Có đáp án)

Nội dung text: Bài tập luyện thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 (Có đáp án)

1. BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 – LUYỆN GIẢI ĐỀ THI - NĂM HỌC 2017-2018 LUYỆN GIẢI ĐỀ THI Câu 1: (3,5 điểm) x2 6 1 10 x2 Cho biểu thức A 3 : x 2 x 4x 6 3x x 2 x 2 a) Tìm điều kiện của x để A xác định. b) Rút gọn biểu thức A. c) Tìm giá trị của x để A > O Giải x3 4x 0 x 0 a) ĐKXĐ 6 3x 0 x 2 x 2 0 x 2 b) Rút gọn biểu thức A ta có : x2 6 1 10 x2 A 3 : x 2 x 4x 6 3x x 2 x 2 x 2(x 2) x 2 6 = 2 : (x 4) (x 2)(x 2) (x 2)(x 2) x 2 (x 2x 4 x 2).(x 2) 1 1 = = (x 2)(x 2).6 x 2 2 x 1 Vậy A = 2 x 1 c) Để A > 0 ta có > 0 2 – x > 0 x 0. Câu 2: (3 điểm) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) x2 – x – 6 b) x3 – x2 – 14x + 24 Giải a) x2 – x – 6 = x2 – 3x + 2x – 6 = x(x – 3) + 2 (x – 3) = (x – 3)(x + 2) Vậy x2 – x – 6 = (x – 3)(x + 2) b) x3 – x2 – 14x + 24 = x3 – 4x – x2 – 10 x + 24 = x(x2 – 4) – x(x – 2) – 12 x + 24 = x(x2 – 4) – x(x – 2) – 12 (x – 2) = ( x – 2) (x2 + 2x – x – 12) = ( x- 2) (x2 - 3x + 4x - 12 ) = ( x – 2)(x – 3) ( x + 4) Như vậy: x3 – x2 – 14x + 24 = (x - 2)(x - 3)(x + 4) . CaoThị Huề - 01275 850 275 - Trường THCS thị trấn Mường Khương 1
2. BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 – LUYỆN GIẢI ĐỀ THI - NĂM HỌC 2017-2018 Câu 3: (3,5 điểm) x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 a) Giải phương trình: 6 0 1000 999 998 997 996 995 b) Tìm x, y nguyên thỏa mãn: x2 – xy – 2x – y – 2 0 . Giải x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 a) Ta có : 6 0 1000 999 998 997 996 995 x 1001 x 1001 x 1001 x 1001 x 1001 x 1001 0 1000 999 998 997 996 995 1 1 1 1 1 1 (x 1001)( ) 0 1000 999 998 997 996 995 x = - 1001. Vậy tập nghiệm của phương trình là S= {- 1001}. b) Từ PT: x2 – xy – 2x – y – 2 = 0 (x + 1) y = x2 - 2x – 2 * Nếu x = -1 thì phương trình có dạng 0y = 1 (vô nghiệm) x2 2x 2 * Nếu x -1 thì ta phải tìm x nguyên để y nguyên x 1 1 x 2;y 6 y x 3 ¢ x + 1 Ư{1} x {-2; 0} x 1 x 0;y 2 Vậy (x, y) = {(-2; -6), (0; -2)} Câu 4: (4 điểm) 27 12x a) Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức A x2 9 b) Tìm số nguyên n để giá trị của biểu thức A chia hết cho giá trị của biểu thức B. A n3 2n2 3n 2; B n2 n . 1 1 1 c) Cho x, y, z đôi một khác nhau và 0 . x y z yz xz xy Tính giá trị của biểu thức: A x 2 2yz y 2 2xz z 2 2xy Giải 2 2 2 2 27 12x 27 12x x 12x 36 x 9 x 6 a) Ta có: A 1 1 x2 9 x2 9 x2 9 x2 9 A đạt giá trị nhỏ nhất là -1 x 6 2 0 x 6 Vậy: Min A 1 x 6 2 27 12x 4x2 36 4x2 12x 9 2x 3 - Ta lại có: A 4 4 . x2 9 x2 9 x2 9 2 3 A đạt GTLN là 4 khi và chỉ khi 2x 3 0 x 2 2 CaoThị Huề - 01275 850 275 - Trường THCS thị trấn Mường Khương
3. BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 – LUYỆN GIẢI ĐỀ THI - NĂM HỌC 2017-2018 3 Vậy: Max A 4 x 2 3 2 2 2 b) Ta có A n 2n 3n 2 n 3 n – n 2 n n Ta có: A  B 2  n2 –n hay n2 –n Ư(2), mà Ư (2) = {1; -1; 2; -2} Với n2 –n = 1 n( n – 1) = 1 (vô lí) n2 –n = - 1 n(n –1) = - 1 (vô lí) n2 –n = 2 n2 –n – 2 = 0 (n-2)(n+1) = 0 n = 2 hoặc n = -1 n2 –n = -2 n(n –n ) = -2 (vô lí) Vậy A  B nếu n = 2 hoặc n = -1 1 1 1 xy yz xz c) Vì 0 0 xy yz xz 0 yz –xy – xz x y z xyz x2 2yz x2 yz – xy – xz x x – y – z x – y x – y x – z Tương tự: y2 2xz y – x y – z ; z2 2xy z – x z – y yz xz xy Do đó: A x 2 2yz y 2 2xz z 2 2xy yz xz xy (x y)(x z) (y x)(y z) (z x)(z y) yz(y z) xz(z x) xy(x y) (x y)(y z)(z x) (x y)(y z)(z x) (x y)(y z)(z x) y2 z yz2 xz2 x2 z x2 y xy2 1. Vậy A = 1 xyz y2 z yz2 xz2 x2 z x2 y xy2 xyz Câu 5: (6 điểm) Hình thang ABCD (AB // CD) có hai đường chéo cắt nhau tại O. Đường thẳng qua O và song song với đáy AB cắt các cạnh bên AD, BC theo thứ tự ở M và N. a) Chứng minh rằng OM = ON. 1 1 2 b) Chứng minh rằng . AB CD MN 2 2 c) Biết SAOB 2008 (đơn vị diện tích); SCOD 2009 (đơn vị diện tích). Tính SABCD. GT ABCD (AB//CD) A B AC BD O  O N MN // AB // CD (M AD; N BC) M 2 2 SAOB 2008 ; SCOD 2009 C KL a) OM = ON. D CaoThị Huề - 01275 850 275 - Trường THCS thị trấn Mường Khương 3
4. BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 – LUYỆN GIẢI ĐỀ THI - NĂM HỌC 2017-2018 1 1 2 b) AB CD MN c) Tính SABCD OM OD ON OC a) Lập luận để có , AB BD AB AC OD OC Lập luận để có (do AB//CD - gt) BD AC OM ON OM = ON AB AB OM DM OM AM b) Xét ABD để có (1), xét ADC để có (2) AB AD DC AD 1 1 AM DM AD Từ (1) và (2) OM.( ) 1 AB CD AD AD 1 1 Chứng minh tương tự: ON.( ) 1 AB CD 1 1 1 1 2 Từ đó có (OM ON).( ) 2 AB CD AB CD MN S AOB OB S BOC OB S AOB S BOC c) , S AOB .S DOC S BOC .S AOD S AOD OD S DOC OD S AOD S DOC Chứng minh được S AOD S BOC 2 S AOB .S DOC (S AOD ) 2 2 2 Thay số để có: 2008 .2009 SAOD SAOD 2008.2009 2 2 2 2 Do đó SABCD 2008 2.2008.2009 2009 2008 2009 4017 (đơn vị dt) Hết 4 CaoThị Huề - 01275 850 275 - Trường THCS thị trấn Mường Khương
5. BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 – LUYỆN GIẢI ĐỀ THI - NĂM HỌC 2017-2018 GIẢI ĐỀ THI CẤP TRƯỜNG 2017-2018 Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) 3x2 – 7x 2 b) a x2 1 – x a2 1 Giải a) 3x2 – 7x 2 3x2 – 6x – x 2 3x x – 2 – x – 2 x – 2 3x –1 b) a x2 1 – x a2 1 ax2 a – a2 x – x ax x – a – x – a x – a ax –1 3x3 14x2 3x 36 Bài 2: Cho biểu thức A 3x3 19x2 33x 9 a) Tìm giá trị của biểu thức A xác định. b) Tìm giá trị của biểu thức A có giá trị bằng 0. c) Tìm giá trị nguyên của x để A có giá trị nguyên. Giải 3x3 14x2 3x 36 (x 3)2 (3x 4) a) Ta có A 3x3 19x2 33x 9 (x 3)2 (3x 1) x 3 x 3 0 ĐKXĐ: 1 3x 1 0 x 3 3x 4 b) Ta có A 3x 1 4 Để A=0 3x + 4 = 0 x = (thoã mãn ĐK). 3 4 Vậy với x= thì biểu thức A có giá trị bằng 0. 3 3x 4 5 c) Ta có A 1 . 3x 1 3x 1 5 Để A có giá trị nguyên thì phải nguyên 3x – 1 là ước của 5 3x 1 3x – 1 Mà U(5) = { 1, 5} 2 Với 3x – 1 = 1 x = (KTMĐK) 3 Với 3x – 1 = - 1 x = 0 (TMĐK) Với 3x – 1 = 5 x = 2 (TMĐK) 4 Với 3x – 1 = - 5 x = (KTMĐK) 3 Vậy với giá trị nguyên của x là 0 hoặc 2 thì A có giá trị nguyên. CaoThị Huề - 01275 850 275 - Trường THCS thị trấn Mường Khương 5
6. BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 – LUYỆN GIẢI ĐỀ THI - NĂM HỌC 2017-2018 Bài 3: Tìm x, y, z thỏa mãn phương trình sau: 9x2 y2 2z2 –18x 4z 6y 20 0 . Giải: Ta có 9x2 y2 2z2 –18x 4z 6y 20 0 . 9x2 –18x 9 y2 2y.3 9 2 z2 2z 1 0 . x 1 0 x 1 2 2 2 9 x –1 y – 3 2 z 1 0 y 3 0 y 3 z 1 0 z 1 Vậy với x = 1; y = 3; z = - 1thì 9x2 y2 2z2 –18x 4z 6y 20 0 x y z a b c x2 y2 z2 Bài 4: Cho 1 và 0 . Chứng minh rằng: 1 . a b c x y z a2 b2 c2 Giải a b c ayz+bxz+cxy Từ: 0 0 ayz bxz cxy 0 x y z xyz x y z x y z x2 y2 z2 xy xz yz Ta có: 1 ( )2 1 2( ) 1 a b c a b c a2 b2 c2 ab ac bc x2 y2 z2 cxy bxz ayz x2 y2 z2 2 1 1 a2 b2 c2 abc a2 b2 c2 (đpcm) Bài 5: Cho hình bình hành ABCD có đường chéo AC lớn hơn đường chéo BD. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của B và D xuống đường thẳng AC. Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của C xuống đường thẳng AB và AD. a) Tứ giác BEDF là hình gì ? Hãy chứng minh điều đó ? b) Chứng minh rằng: CH.CD = CB.CK H c) Chứng minh rằng: AB.AH + AD.AK = AC2. Chứng minh Ta có: BE AC (gt); DF AC (gt) BE // DF C Chứng minh: BEO DFO(g c g) B F BE = DF O E Suy ra: Tứ giác BEDF là hình bình hành (dh3). A K Ta có: ·ABC ·ADC H· BC K· DC D CH CK Chứng minh: CBH : CDK(g g) CH.CD CK.CB CB CD AF AK Chứng minh: AFD : AKC(g g) AD.AK AF.AC AD AC CF AH Chứng minh: CFD : AHC(g g) CD AC CF AH Mà CD = AB AB.AH CF.AC AB AC Suy ra: AB.AH AD.AK CF.AC AF.AC CF AF .AC AC 2 (đfcm). 6 CaoThị Huề - 01275 850 275 - Trường THCS thị trấn Mường Khương
7. BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 – LUYỆN GIẢI ĐỀ THI - NĂM HỌC 2017-2018 Hết GIẢI ĐỀ THI CẤP TRƯỜNG 2017-2018 Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) x2 xy x y b) x2 7x 6 x 2 1 10 x2 Bài 2: Cho biểu thức A 2 : x 2 Thi cấp huyện 1718 x 4 2 x x 2 x 2 a) Rút gọn A 1 b) Tính giá trị của biểu thức khi x 2 2 c) Với giá trị nào của x thì A = 5 d) Tìm giá trị nguyên của x để A có giá trị nguyên Bài 3: Giải phương trình: a) x2 3x 2 0 b) 4x2 12x 9 0 Bài 4: Chứng minh rằng với mọi n ¥ thì n5 và n luôn có chữ số tận cùng giống nhau. Bài 5: Cho tam giác ABC. Trên tia AB lấy điểm F sao cho AF = 1 AB. Trên AC lấy 3 điểm G sao cho AG = 1 AC. Lấy điểm E đối xứng với G qua điểm F. Lấy điểm H đối 3 xứng với F qua điểm G. a) Chứng minh FG//BC b) Chứng minh tứ giác BEHC là hình bình hành Bài 6: Tìm các số x, y, z biết: x2 y2 z2 xy yz zx (1) và x2012 y2012 z2012 32013 (2) Hết Họ và tên thí sinh: SBD: CaoThị Huề - 01275 850 275 - Trường THCS thị trấn Mường Khương 7
8. BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 – LUYỆN GIẢI ĐỀ THI - NĂM HỌC 2017-2018 TRƯỜNG THCS THỊ TRẤN HƯỚNG DẪN CHẤM MƯỜNG KHƯƠNG ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2015 -2016 ->17-18 MÔN: TOÁN 8 ĐỀ CHÍNH THỨC Câu Ý Nội dung Điểm 1 a x2 - xy + x - y = x(x - y) + (x - y) = (x - y)(x + 1) 1,5 3đ b x2 7x 6 x2 x 6x 6 x x 1 6 x 1 x 1 x 6 1,5 x 2 1 10 x2 A 2 : x 2 x 4 2 x x 2 x 2 ĐKXĐ x 2; x 2 0,5 x 2 1 (x 2)(x 2) 10 x2 A : (x 2)(x 2) x 2 x 2 x 2 a x 2(x 2) x 2 6 0,5 : (x 2)(x 2) x 2 x 2x 4 x 2 x 2 0,5 . (x 2)(x 2) 6 6 1 1 0,25 6(x 2) x 2 2 x 0,25 ĐKXĐ x 2; x 2 1 1 1 0,5 2 Từ x x ; x (TMĐK) 5đ 2 2 2 b 1 2 0,25 *x A 2 3 1 2 0,5 *x A 2 5 ĐKXĐ x 2; x 2 2 1 2 1 Từ A = 5 4 2x 2x 1 x (TMÐK) c 5 2 x 5 2 0,5 1 2 Vậy: Với x thì A = 0,25 2 5 ĐKXĐ x 2; x 2 1 A ¢ ¢ 2 x U(1) 1; 1 d 2 x 0,5 + Nếu 2 - x = - 1 thì x = 3 (TMĐK) + Nếu 2 - x = 1 thì x = 1 (TMĐK) 0,25 8 CaoThị Huề - 01275 850 275 - Trường THCS thị trấn Mường Khương
9. BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 – LUYỆN GIẢI ĐỀ THI - NĂM HỌC 2017-2018 Vậy: Với x 1; 3 thì biểu thức A có giá trị nguyên. 0,25 x2 - 3x + 2 = 0 x2 x 2x 2 0 0,25 x(x 1) 2(x 1) 0 0,25 (x 1)(x 2) 0 0,25 a x 1 0 x 1 0,25 x 2 0 x 2 3 3đ Vậy: Phương trình có tập nghiệm là S 1; 2 0,25 4x2 + 12x + 9 = 0 3 (2x 3)2 0 2x 3 0 x 0,5 b 2 3 Vậy: Phương trình có tập nghiệm là S  2  0,25 Chứng minh rằng với mọi n N thì n 5 và n luôn có chữ số tận cùng giống nhau. Cần chứng minh: Hiệu n5 – n  10 + Chứng minh: n5 - n  2 n5 – n = n(n2 – 1)(n2 + 1) = n(n – 1)(n + 1)(n2 + 1)  2 (vì n(n – 1) là tích của hai số tự nhiên liên tiếp) 1,0 + Chứng minh: n5 – n  5 4 n5 - n = = n(n - 1)(n + 1)(n2 – 4 + 5) 3đ = n(n – 1) (n + 1)(n – 2) (n + 2 ) + 5n(n – 1)(n + 1) - Vì n(n – 1)(n + 1)(n – 2) (n + 2) là tích của 5 số tự nhiên liên tiếp nên  5 và 5n(n – 1)(n + 1)  5 Do đó: Tổng n(n – 1) (n + 1)(n – 2) (n + 2 ) + 5n(n – 1)(n + 1)  5 1,25 Mà (2 ; 5) = 1 nên n5 – n  (2.5) tức là n5 – n  10 Suy ra n5 và n có chữ số tận cũng giống nhau. 0,75 Giám khảo tự vẽ hình - Ta có: AF 1  5 AB 3 AF AG 1 1,25  5đ a AG 1 AB AC 3 AC 3 Do đó: FG//BC (đlý Ta lét đảo) 0,75 EH//BC (vì E, F, G, H thẳng hàng) (1) CaoThị Huề - 01275 850 275 - Trường THCS thị trấn Mường Khương 9
10. BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 – LUYỆN GIẢI ĐỀ THI - NĂM HỌC 2017-2018 - Xét ABC có: FG//BC (c/m a) 0,5 Nên đồngAFG dạngva (đ/lýABC về đồng dạng) 0,5 FG 1 BC 3FG (2) 0,5 b BC 3 0,5 Mặt : EF = FG = GH (t/c các điểm đối xứng) và EH = EF + FG + GH (vì E, F, G, H thẳng hàng) 0,5 nên EH = 3FG (3) - Từ (1); (2) và (3) suy ra tứ giác BEHC là hbh (dh3) 0,5 Ta có: x2 + y2 + z2 = xy + yz + zx (1) 2x2 +2y2 + 2z2 – 2xy – 2yz – 2zx = 0 (x - y)2 + (y - z)2 + (z - x)2 = 0 0,5 x y 0 x y 2012 2012 2012 0,25 6 y z 0 y z x y z x y z 1đ z x 0 z x - Thay vào điều kiện (2) ta có 3.z2012 32013 z2012 32012 z 3 Vậy x = y = z = 3 0,25 * Lưu ý: Học sinh giải cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa 20,00 10 CaoThị Huề - 01275 850 275 - Trường THCS thị trấn Mường Khương
11. BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 – LUYỆN GIẢI ĐỀ THI - NĂM HỌC 2017-2018 UBND HUYỆN MƯỜNG KHƯƠNG ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NĂM HỌC 2016 -2017 MÔN: TOÁN 8 Thời gian làm bài: 150 phút ĐỀ CHÍNH THỨC Bài 1: (3,0đ) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) x2 x 6 b) 2x2 5x 7 x2 3x 2x 6 2x2 7x 2x 7 x(x 3) 2(x 3) x(2x 7) (2x 7) (x 3)(x 2) (2x 7)(x 1) 1 x3 1 x2 Bài 2: (4,0đ) Cho biểu thức B x : 2 3 (x 1) 1 x 1 x x x a) Rút gọn B b) Tính giá trị của x để biểu thức B 1 thì B < 0. c) ĐKXĐ: x 1 x 4 5 x 9 (TM) Ta thấy: x 4 5 x 4 5 x 1 (KTM) Thay x = 9 vào biểu thức, ta được: B (92 1)(1 9) 82.( 8) 656 Vậy: Tại x = 9 thì B = - 656 Bài 3: (4,0đ) a) Chứng minh rằng với mọi số nguyên x và y thì: (1 x2 )(1 y2 ) 4xy 2(x y)(1 xy) là số chính phương. b) Giải phương trình: x2 3x 2 x 1 0 CaoThị Huề - 01275 850 275 - Trường THCS thị trấn Mường Khương 11
12. BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 – LUYỆN GIẢI ĐỀ THI - NĂM HỌC 2017-2018 - Xét trường hợp x 1 0 x 1 thì x 1 x 1 , ta có phương trình: x2 3x 2 x 1 0 x2 2x 1 0 (x 1)2 0 x 1 (TM x 1) - Xét trường hợp: x 1 0 x 1 thì x 1 1 x , ta có phương trình: x2 3x 2 1 x 0 x2 4x 3 0 x2 3x x 3 0 x 3 x(x 3) (x 3) 0 (x 3)(x 1) 0 (KTMĐK x < 1) x 1 Vậy: Phương trình đã cho có tập nghiệm là: S 1 Bài 4 (3,0đ) a) Tìm GTNN của biểu thức A x2 5y2 2xy 4x 8y 2015 3(x 1) b) Tìm GTLN của B x3 x2 x 1 Giải: a) TXĐ:  x ¡ Ta có: A x2 y2 4 2xy 4x 4y 4y2 4y 1 2010 (x2 y2 4 2xy 4x 4y) (4y2 4y 1) 2010 (x y 2)2 (2y 1)2 2010 Vì (x y 2)2 0; (2y 1)2 0  x, y ¡ Nên A (x y 2)2 (2y 1)2 2010 2010  x, y ¡ 3 y x y 2 0 2 Dấu “=” xảy ra 2y 1 0 1 y 2 3 x 2 Vậy: A 2010 min 1 y 2 b) TXĐ:  x ¡ , x 1 3(x 1) 3(x 1) 3 Ta có: B x2 (x 1) (x 1) (x 1)(x2 1) x2 1 Biểu thức B đạt giá trị lớn nhất khi mẫu của nó đạt giá trị nhỏ nhất. Mà mẫu x2 1 1  x ¡ . Dấu “=” xảy ra x 0 Vậy: BMAX 3 x 0 Bài 5: (3,0đ) Cho hình vuông ABCD; Trên tia đối tia BA lấy E, trên tia đối tia CB lấy F sao cho AE = CF. 12 CaoThị Huề - 01275 850 275 - Trường THCS thị trấn Mường Khương
13. BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 – LUYỆN GIẢI ĐỀ THI - NĂM HỌC 2017-2018 a) Chứng minh EDF vuông cân b) Gọi O là giao điểm của 2 đường chéo AC và BD. Gọi I là trung điểm EF. Chứng minh O, C, I thẳng hàng. Giải: E 2 I a) (1đ) Chứng minh EDF vuông cân 1 1 - Xét có:A DE & CDF B C 2 F E· AD F· CD 900 AC = CD ( 2 cạnh hình vuông) O AE = CF (gt) Do đó: ADE CDF (c.g.c) A D DE DF (2 cạnh t/ứng) (1) và E·(2D gócA t/ứng)F· DC Mặt khác: E· DA E· DC 900 nên E· DC F· DC 900 Hay E· DF 900 (2) - Từ (1) và (2) EDF vuông cân tại D. b) (1đ) Chứng minh O, C, I thẳng hàng Theo tính chất đường chéo hình vuông CO là trung trực BD 1 Mà EDF vuông cân DI = EF (t/c đ/t.tuyến ứng c/huyền) 2 1 1 Tương tự BI = EF (t/c đ/t.tuyến ứng c/huyền trong EBF ) DI BI EF 2 2 Do đó: I thuộc đường trung trực của DB I thuộc đường thẳng CO Hay O, C, I thẳng hàng. Bài 6: (3,0đ) Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Các điểm D, E theo thứ tự di chuyển trên AB, AC sao cho BD = AE. Xác địnhvị trí điểm D, E sao cho: a) DE có độ dài nhỏ nhất b) Tứ giác BDEC có diện tích nhỏ nhất. B Giải: a) (1đ) Chứng minh DE có độ dài nhỏ nhất Đặt AB AC a không đổi; AE BD x 0 x a D Áp dụng định lý Pitago với ADE vuông tại A có: DE 2 AD2 AE 2 a – x 2 x2 2x2 – 2ax a2 2 2 C 2 2 a a A 2 x – ax a 2 x – E 2 2 2 2 a a a2 a2 Vì x – 0 nên 2 x – 2 2 2 2 CaoThị Huề - 01275 850 275 - Trường THCS thị trấn Mường Khương 13
14. BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 – LUYỆN GIẢI ĐỀ THI - NĂM HỌC 2017-2018 a a Dấu „=” xảy ra x – 0 x 2 2 a - Ta có DE nhỏ nhất DE2 nhỏ nhất x 2 a Vậy: DE nhỏ nhất BD AE D, E là trung điểm AB, AC 2 b) (1đ) Chứng minh Tứ giác BDEC có diện tích nhỏ nhất. 1 1 1 Ta có: S .AD.AE .AD.BD (do AE BD) .AD. AB –AD ADE 2 2 2 1 . AD2 – AB.AD 2 2 2 2 2 1 2 AB AB AB 1 AB AB (AD – 2.AD. ) AD 2 2 4 4 2 2 8 2 2 AB 1 AB AB2 AB2 Vì AD 0 nên AD 2 2 2 8 8 AB AB Dấu “=” xảy ra AD 0 AD D là trung điểm AB. 2 2 AB2 AB2 3AB2 Mà S S – S không đổi BDEC ABC ADE 2 8 8 3 Do vậy: min S AB2 khi D, E lần lượt là trung điểm AB, AC BDEC 8 Hết Bài 3: (3điểm) Hai c¹nh cña mét h×nh b×nh hµnh cã ®é dµi lµ 6cm vµ 8cm. Mét trong c¸c ®­êng cao cã ®é dµi lµ 5cm. TÝnh ®é dµi ®­êng cao thø hai. - VÏ h×nh: A 8cm B 6cm K D H C Gi¶ sö ABCD lµ h×nh b×nh hµnh cã AB = 8cm, AD = 6cm vµ cã mét ®­êng cao dµi 5cm. V× 5 < 6 vµ 5 < 8 nªn cã thÓ x¶y ra hai tr­êng hîp: 20 AH = 5cm. Khi ®ã S AB.AH BC.AK Hay 8.5 6.AK AK (cm) ABCD 3 14 CaoThị Huề - 01275 850 275 - Trường THCS thị trấn Mường Khương
15. BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 – LUYỆN GIẢI ĐỀ THI - NĂM HỌC 2017-2018 15 AK = 5cm. Khi ®ã S AB.AH BC.AK Hay 8.AH 6.5 AH (cm) ABCD 4 20 15 VËy ®­êng cao thø hai cã ®é dµi lµ cm hoÆc cm 3 4 Bµi 4: (3 ®iÓm) Mét vßi n­íc ch¶y vµo mét bÓ kh«ng cã n­íc. Cïng lóc ®ã mét vßi n­íc kh¸c ch¶y 4 tõ bÓ ra. Mçi giê l­îng n­íc ch¶y ra b»ng l­îng n­íc ch¶y vµo. Sau 5 giê n­íc trong 5 1 bÓ ®¹t tíi dung tÝch bÓ. Hái nÕu bÓ kh«ng cã n­íc mµ chØ më vßi ch¶y vµo th× bao l©u 8 bÓ ®Çy? Giải: Gäi thêi gian vßi n­íc ch¶y ®Çy bÓ lµ x(giê). §K: x > 0 1 Khi ®ã: Trong 1 giê vßi ®ã ch¶y ®­îc bÓ x 4 1 4 Trong 1 giê vßi kh¸c ch¶y ra l­îng n­íc b»ng . (bÓ). 5 x 5x 1 4 1 Theo ®Ò bµi ta cã ph­¬ng tr×nh .5 x 5x 8 Gi¶i ph­¬ng tr×nh t×m ®­îc x = 8 (TM§K x> 0) VËy thêi gian ®Ó vßi ch¶y ®Çy bÓ lµ 8 giê. Baøi 6: (4,0 ñieåm) Hình thang ABCD có AB//CD, đường cao bằng 12(m), AC BD, BD=15(m). a) Qua B kẻ đường thẳng song song với AC, cắt DC ở E. Chứng minh BD2 =DE.DH. Từ đó tính độ dài DE. b) Tính diện tích hình thang ABCD. Giải: a) Chứng minh BD2 =DE.DH : Kẻ BH  DC tại H. - Xét BHD,Hµ 900 có: DH 2 BD2 BH 2 (định lý Py ta go) DH 2 152 122 92 DH 9 m - Xét BDH & EDB có: CaoThị Huề - 01275 850 275 - Trường THCS thị trấn Mường Khương 15
16. BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 – LUYỆN GIẢI ĐỀ THI - NĂM HỌC 2017-2018 · · BHD DBE 1v  BD DH  BDH : EDB (g g) BD2 DE.DH · DE BD BDE chung  BD2 152 225 DE 25 m DH 9 9 b) Tính diện tích hình thang ABCD. 1 Ta có: SABCD AB DC BH 2 Mà AB CE (2 cạnh đối của hbh) DE DC CE nên DE DC AB 1 1 Do đó: S  DE  BH  2512 150 m2 ABCD 2 2 16 CaoThị Huề - 01275 850 275 - Trường THCS thị trấn Mường Khương
17. BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 – LUYỆN GIẢI ĐỀ THI - NĂM HỌC 2017-2018 ĐỀ THI SỐ 46 ĐỀ THI CẤP HUYỆN 2015-2016 Câu 1: (4,0 điểm) Thi cấp huyện 2015 – 2016 Phân tích các đa thức sau thành nhân tử : a) 3x2 – 7x + 2; b) a(x2 + 1) – x(a2 + 1). 2 x 4x2 2 x x2 3x Câu 2: (5,0 điểm) Cho biểu thức A ( ) : 2 x x2 4 2 x 2x2 x3 a) Tìm ĐKXĐ rồi rút gọn biểu thức A ? b) Tìm giá trị của x để A > 0? c) Tính giá trị của A trong trường hợp: |x - 7| = 4. Câu 3: (5,0 điểm) a) Tìm x, y, z thỏa mãn phương trình sau: 9x2 y2 2z2 –18x 4z 6y 20 0 . x y z a b c x2 y2 z2 b) Cho 1 và 0 . Chứng minh rằng: 1 . a b c x y z a2 b2 c2 Câu 4: (6,0 điểm) (Đề số 1/22) Cho hình bình hành ABCD có đường chéo AC lớn hơn đường chéo BD. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của B và D xuống đường thẳng AC. Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của C xuống đường thẳng AB và AD. a) Tứ giác BEDF là hình gì ? Hãy chứng minh điều đó ? b) Chứng minh rằng: CH.CD = CB.CK c) Chứng minh rằng: AB.AH + AD.AK = AC2. HƯỚNG DẪN CHẤM THI Nội dung đáp án Điểm Bài 1 a 2,0 3x2 – 7x + 2 = 3x2 – 6x – x + 2 1,0 = 3x(x -2) – (x - 2) 0,5 = (x - 2)(3x - 1). 0,5 b 2,0 a(x2 + 1) – x(a2 + 1) = ax2 + a – a2x – x = 1,0 = ax(x - a) – (x - a) = 0,5 = (x - a)(ax - 1). 0,5 Bài 2: 5,0 a 3,0 CaoThị Huề - 01275 850 275 - Trường THCS thị trấn Mường Khương 17
18. BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 – LUYỆN GIẢI ĐỀ THI - NĂM HỌC 2017-2018 2 x 0 2 x 4 0 x 0 ĐKXĐ: 2 x 0 x 2 1,0 2 x 3 x 3x 0 2 3 2x x 0 2 x 4x2 2 x x2 3x (2 x)2 4x2 (2 x)2 x2 (2 x) A ( ) : ( ) . 1,0 2 x x2 4 2 x 2x2 x3 (2 x)(2 x) x(x 3) 4x2 8x x(2 x) . 0,5 (2 x)(2 x) x 3 4x(x 2)x(2 x) 4x2 0,25 (2 x)(2 x)(x 3) x 3 4x2 Vậy với x 0, x 2, x 3 thì A . 0,25 x 3 b 1,0 4x2 Với x 0, x 3, x 2: A 0 0 0,25 x 3 x 3 0 0,25 x 3 (TMDKXD) 0,25 Vậy với x > 3 thì A > 0. 0,25 c 1,0 x 7 4 x 7 4 0,5 x 7 4 x 11 (TMDKXD) 0,25 x 3 (KTMDKXD) 121 Với x = 11 thì A = 0,25 2 Bài 3 5,0 a 2,5 9x2 y2 2z2 –18x 4z 6y 20 0 9x2 –18x 9 y2 – 6y 9 2 z2 2z 1 0 1,0 9 x 1 2 y 3 2 2 z 1 2 0 (*) 0,5 Do: (x 1)2 0;(y 3)2 0;(z 1)2 0 0,5 Nên : (*) x 1; y 3; z 1 0,25 Vậy. x, y, z 1; 3; 1 0,25 b 2,5 18 CaoThị Huề - 01275 850 275 - Trường THCS thị trấn Mường Khương
19. BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 – LUYỆN GIẢI ĐỀ THI - NĂM HỌC 2017-2018 a b c ayz+bxz+cxy Từ: 0 0 0,5 x y z xyz ayz bxz cxy 0 0,25 x y z x y z Ta có : 1 ( )2 1 0,5 a b c a b c x2 y2 z2 xy xz yz 2( ) 1 0,5 a2 b2 c2 ab ac bc x2 y2 z2 cxy bxz ayz 2 1 0,5 a2 b2 c2 abc x2 y2 z2 1(dfcm) 0,25 a2 b2 c2 Bài 4 6,0 H C B 0,25 F O E A K D a 2,0 Ta có: BE AC (gt); DF AC (gt) => BE // DF 0,5 Chứng minh: BEO DFO(g c g) 0,5 => BE = DF (2 cạnh t/ứng) 0,25 Suy ra: Tứ giác: BEDF là hình bình hành (dh3). 0,25 b 2,0 Ta có: ·ABC ·ADC (2 góc đối của hbh) H· BC K· DC (t/c góc kề bù) 0,5 Chứng minh : CBH : CDK(g g) 1,0 CH CK CH.CD CK.CB (đpcm) 0,5 CB CD c 1,75 Chứng minh : AFD : AKC(g g) 0,25 AF AK AD.AK AF.AC (1) 0,25 AD AC Chứng minh : CFD : AHC(g g) 0,25 CaoThị Huề - 01275 850 275 - Trường THCS thị trấn Mường Khương 19
20. BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 – LUYỆN GIẢI ĐỀ THI - NĂM HỌC 2017-2018 CF AH 0,25 CD AC CF AH Mà: CD AB (2 cạnh đối của hbh) AB.AH CF.AC (2) 0,5 AB AC Từ (1) và (2) Suy ra: AB.AH AD.AK CF.AC AF.AC CF AF AC AC 2 0,25 AC.AC AC 2 (đpcm). 20 CaoThị Huề - 01275 850 275 - Trường THCS thị trấn Mường Khương
21. BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 – LUYỆN GIẢI ĐỀ THI - NĂM HỌC 2017-2018 UBND HUYỆN MƯỜNG KHƯƠNG ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NĂM HỌC 2015 -2016 MÔN: TOÁN 8 Thời gian làm bài: 150 phút ĐỀ CHÍNH THỨC CaoThị Huề - 01275 850 275 - Trường THCS thị trấn Mường Khương 21
22. BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 – LUYỆN GIẢI ĐỀ THI - NĂM HỌC 2017-2018 UBND HUYỆN MƯỜNG KHƯƠNG KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NĂM HỌC 2017 - 2018 MÔN: TOÁN 8 Thời gian làm bài: 150 phút ĐỀ CHÍNH THỨC Ngày thi 20/4/2018 (Đề thi gồm 01 trang 05 câu) Câu 1: (4,0điểm) 1. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) 4x2 20x 25 b) 3x2 5x 2 c) x4 x3 2x2 x 1 2. Chứng minh biểu thức Aluôn x dương4 2x với2 mọi giá trị của x. x 2 1 10 x2 Câu 2 (3,0điểm) Cho biểu thức A 2 : x 2 x 4 2 x x 2 x 2 a) Rút gọn biểu thức A. b) Tìm các giá trị nguyên của x để A có giá trị nguyên. Câu 3 (4,0điểm) a) Tìm GTNN của biểu thức P x2 5y2 2xy 4x 8y 2015 b) Giải phương trình: x2 3x 2 x 1 0 c) Tìm các số nguyên x, y, z thỏa mãn: x2 y2 z2 xy 3y 2z 4 Câu 4 (2,0điểm) Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình Quãng đường từ A đến B gồm một đoạn lên dốc AC, đoạn nằm ngang CD, đoạn xuống dốc DB, tổng cộng dài 30km. Một người đi từ A đến B rồi từ B về A hết tất cả 4 giờ 25 phút. Tính quãng đường nằm ngang, biết rằng vận tốc lên dốc (cả lúc đi lẫn lúc về) là 10km/h, vận tốc xuống dốc (cả lúc đi lẫn lúc về) là 20km/h, vận tốc trên quãng đường nằm ngang là 15km/h. Câu 5 (7,0điểm) 1. Hai cạnh của một hình bình hành có độ dài 8cm và 10cm. Một trong các đường cao có độ dài 6cm. Tính độ dài đường cao thứ hai. 2. Cho hình vuông ABCD, trên cạnh AB lấy điểm E và trên cạnh AD lấy điểm F sao cho AE = AF. Vẽ AH vuông góc với BF (H thuộc BF), AH cắt DC và BC lần lượt tại điểm M và N. Chứng minh rằng: a) Tứ giác AEMD là hình chữ nhật. 1 1 1 b) . AD2 AM 2 AN 2 Hết 22 CaoThị Huề - 01275 850 275 - Trường THCS thị trấn Mường Khương
23. BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 – LUYỆN GIẢI ĐỀ THI - NĂM HỌC 2017-2018 UBND HUYỆN MƯỜNG KHƯƠNG HƯỚNG DẪN CHẤM PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2017 - 2018 MÔN: TOÁN 8 ĐỀ CHÍNH THỨC Ngày thi 20/4/2018 (Hướng dẫn chấm thi gồm 05 trang) Câu 1: (4,0điểm) 1. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) 4x2 20x 25 (2x)2 2.2x.5 52 (2x 5)2 b) 3x2 5x 2 3x2 3x 2x 2 3x(x 1) 2(x 1) (x 1)(3x 2) c) x4 x3 2x2 x 1 (x4 x3 x2 ) (x2 x 1) x2 (x2 x 1) (x2 x 1) (x2 x 1)(x2 1) 2. Chứng minh biểu thức Aluôn x dương4 2x với2 mọi giá trị của x. Ta có: A x4 2x2 1 x2 2x 1 x2 (x4 2x2 1) (x2 2x 1) x2 (x2 1)2 (x 1)2 x2 Vì (x2 1)2 0 x; (x 1)2 0 x; x2 0 x Nên (x2 1)2 (x 1)2 x2 0 x Vậy Aluôn x không4 2x âm2 với mọi giá trị của x. x 2 1 10 x2 Câu 2 (3,0điểm) Cho biểu thức A 2 : x 2 x 4 2 x x 2 x 2 a) Rút gọn biểu thức A. ĐKXĐ: x 2 x 2 1 x2 4 10 x2 Ta có: A : (x 2)(x 2) x 2 x 2 x 2 x 2(x 2) 1(x 2) 6 x 2x 4 x 2 x 2 6 1 1 1 : . . (x 2)(x 2) x 2 (x 2)(x 2) 6 (x 2) 6 x 2 2 x b) Tìm các giá trị nguyên của x để A có giá trị nguyên. 1 ĐKXĐ: x 2 A ¢ ¢ 2 x U (1) 1;1 2 x + Nếu 2 x 1 thì x 3 ¢ (TM ) + Nếu 2 x 1 thì x 1 ¢ (TM ) Vậy: Với x 1; 3 thì biểu thức A có giá trị nguyên. Câu 3 (4,0điểm) a) Tìm GTNN của biểu thức P x2 5y2 2xy 4x 8y 2015 TXĐ: x ¡ CaoThị Huề - 01275 850 275 - Trường THCS thị trấn Mường Khương 23
24. BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 – LUYỆN GIẢI ĐỀ THI - NĂM HỌC 2017-2018 Ta có: P x2 y2 4 2xy 4x 4y 4y2 4y 1 2010 (x2 y2 4 2xy 4x 4y) (4y2 4y 1) 2010 (x y 2)2 (2y 1)2 2010 Vì (x y 2)2 0 x ¡ ; (2y 1)2 0 x ¡ Nên (x y 2)2 (2y 1)2 2010 2010 x ¡ 3 2 x (x y 2) 0 x y 2 0 2 Dấu “=” xảy ra (2y 1)2 0 2y 1 0 1 y 2 3 1 Vậy: P 2010 x ; y min 2 2 b) Giải phương trình: x2 3x 2 x 1 0 + Nếu x 1 0 x 1 thì x 1 x 1 , ta có phương trình x2 3x 2 x 1 0 x2 2x 1 0 (x 1)2 0 x 1(TMĐK x 1 ) + Nếu x 1 0 x 1 thì x 1 1 x , ta có phương trình x2 3x 2 1 x 0 x2 4x 3 0 x2 3x x 3 0 x 3 0 x 3 x(x 3) (x 3) 0 (x 3)(x 1) 0 (KTM x 1) x 1 0 x 1 Vậy: Phương trình đã cho có tập nghiệm là S 1 c) Tìm các số nguyên x, y, z thỏa mãn: x2 y2 z2 xy 3y 2z 4 Câu 4 (2,0điểm) Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình Quãng đường từ A đến B gồm một đoạn lên dốc AC, đoạn nằm ngang CD, đoạn xuống dốc DB, tổng cộng dài 30km. Một người đi từ A đến B rồi từ B về A hết tất cả 4 giờ 25 phút. Tính quãng đường nằm ngang, biết rằng vận tốc lên dốc (cả lúc đi lẫn lúc về) là 10km/h, vận tốc xuống dốc (cả lúc đi lẫn lúc về) là 20km/h, vận tốc trên quãng đường nằm ngang là 15km/h. Câu 5 (7,0điểm) 1. Hai cạnh của một hình bình hành có độ dài 8cm và 10cm. Một trong các đường cao có độ dài 6cm. Tính độ dài đường cao thứ hai. 2. Cho hình vuông ABCD, trên cạnh AB lấy điểm E và trên cạnh AD lấy điểm F sao cho AE = AF. Vẽ AH vuông góc với BF (H thuộc BF), AH cắt DC và BC lần lượt tại điểm M và N. Chứng minh rằng: a) Tứ giác AEMD là hình chữ nhật. 1 1 1 b) . AD2 AM 2 AN 2 24 CaoThị Huề - 01275 850 275 - Trường THCS thị trấn Mường Khương
25. BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 – LUYỆN GIẢI ĐỀ THI - NĂM HỌC 2017-2018 Hết CaoThị Huề - 01275 850 275 - Trường THCS thị trấn Mường Khương 25
26. BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 – LUYỆN GIẢI ĐỀ THI - NĂM HỌC 2017-2018 BÀI TOÁN CỰC TRỊ Bµi 4. (1®) T×m gi¸ trÞ lín nhÊt hoÆc nhá nhÊt cña biÓu thøc sau (nÕu cã): M 4x2 4x 5 Ta cã M 4x2 4x 5 2x 2 2.2x.1 1 4 2x 1 2 4 V× 2x 1 2 0 2x 1 2 4 4 M 4 1 VËy: M 4 x min 2 C©u 5. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt: A x2 2xy 6y2 –12x 2y 45 . A x2 2xy 6y2 12x 2y 45 x2 y2 36 2xy 12x 12y 5y2 10y 5 4 x y 6 2 5 y 1 2 4 4 y 1 0 y 1 Vậy: Amin 4 x y 6 0 x 7 C©u 5. Cho a, b, c, lµ c¸c sè d­¬ng. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biểu thức: 1 1 1 P (a b c)( ) . a b c Ta cã: F a a b b c c a b a c b c P 1 1 1 3 b c a c a b b a c a c b x y MÆt kh¸c 2 víi mäi x, y d­¬ng P 3 2 2 2 9 . y x Dấu “=” xảy ra a b c Vëy: Pmin 9 a b c . Bµi 4 (1®). x2 2x 2007 T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: A x 0 . x2 Nhân cả tử và mầu của biểu thức với 2007, ta được: 2007x2 2x.2007 20072 x2 2x.2007 20072 2006x2 A 2007x2 2007x2 2007x2 (x 2007)2 2006 2006 2007x2 2007 2007 (x 2007)2 (x 2007)2 2006 2006 Vì 0  x ¡ nên . 2007x2 2007x2 2007 2007 Dấu “=” xảy ra x 2007 0 x 2007 26 CaoThị Huề - 01275 850 275 - Trường THCS thị trấn Mường Khương
27. BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 – LUYỆN GIẢI ĐỀ THI - NĂM HỌC 2017-2018 2006 Vậy: A x 2007 0 x 2007 (0,5®) min 2007 C©u 5 (1 ®iÓm) a) Chøng minh r»ng x 3 y 3 z 3 x y 3 3xy. x y z 3 1 1 1 yz xz xy b) Cho 0. TÝnh A x y z x 2 y 2 z 2 Giải: a) Chøng minh x 3 y 3 z 3 x y 3 3xy. x y z 3 BiÕn ®æi vÕ ph¶i được ®iÒu ph¶i chøng minh. b) Vì a b c 0 (gt) nên a b c . Ta cã a 3 b3 c 3 a b 3 3ab a b c 3 c 3 3ab c c 3 3abc (v× a b c 0 nªn a b c ) 1 1 1 1 1 1 3 Theo gi¶ thiÕt 0. . x y z x 3 y 3 z 3 xyz yz xz xy xyz xyz xyz 1 1 1 3 khi ®ã A 2 2 2 3 3 3 xyz 3 3 3 xyz. 3 x y z x y z x y z xyz C©u 2: (1 ®iÓm) a) Chøng minh ®¼ng thøc: x2 y2 1 x.y x y (víi mäi x; y) x 2 b) T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc sau: A x3 x2 x 2 Giải: a) (1 ®iÓm ) x2+y2+1 x. y+x+y x2+y2+1 - x. y-x-y 0 2x2 +2y2+2-2xy-2x-2y 0 ( x2+y2-2xy) + ( x2+1-2x) +( y2+1-2y) 0 (x-y)2 + (x-1)2+ (y- 1)2 0 BÊt ®¼ng thøc lu«n lu«n ®óng. x 2 1 1 b) Ta cã A 2 2 1 3 (x x 1)(x 2) x x 1 (x )2 2 4 1 3 1 1 VËy A [(x )2 ] min x 0 x max 2 4 2 2 4 1 A x max 3 2 Bµi 2: (1,5 ®iÓm). x Cho biÓu thøc: y ; ( x>0) (x 2004)2 T×m x ®Ó biÓu thøc ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt. T×m gi¸ trÞ ®ã CaoThị Huề - 01275 850 275 - Trường THCS thị trấn Mường Khương 27
28. BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 – LUYỆN GIẢI ĐỀ THI - NĂM HỌC 2017-2018 1 §Æt t 2004y Bµi to¸n ®­a vÒ t×m x ®Ó t bÐ nhÊt 2 (x 2004) x2 2.2004x 20042 Ta cã t 2004x 2004x x 2004 x2 20042 2 2 (1) 2004 x 2004x Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho hai số dương, ta có: x 2 20042 x2 + 20042 2. 2004 .x 2 (2) 2004x DÊu “=” x¶y ra khi x= 2004 Tõ (1) vµ (2) suy ra: t 4 VËy gi¸ trÞ bÐ nhÊt cña t = 4 khi x =2004. 1 1 VËy: y Khi x= 2004 max 2004t 8016 3 Bµi 5(1 ®iÓm). Cho c¸c sè a; b; c tho¶ m·n: a b c . 2 3 Chøng minh r»ng: a2 b2 c2 . 4 2 2 1 2 1 2 1 Ta cã: a 0 a a 0 a a 2 4 4 1 1 T­¬ng tù ta còng cã: b2 b ; c2 c 4 4 Céng vÕ víi vÕ c¸c bÊt ®¼ng thøc cïng chiÒu ta ®­îc: 3 3 3 a2 b2 c2 a b c . V× a b c nªn: a2 b2 c2 4 2 4 1 DÊu “=” x¶y ra khi a b c . 2 C©u 4. Cho a, b, c lµ ®é dµi ba c¹nh cña mét tam gi¸c . Chøng minh r»ng: a2 + b2 + c2 0. x x2 25x 144 144 Ta cã A x 25 (0,5®) x x 28 CaoThị Huề - 01275 850 275 - Trường THCS thị trấn Mường Khương
29. BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 – LUYỆN GIẢI ĐỀ THI - NĂM HỌC 2017-2018 144 C¸c sè d­¬ng x vµ Cã tÝch kh«ng ®æi nªn tæng nhá nhÊt khi vµ chØ khi chúng bằng x 144 nhau, tức là x x 12 (0,5®) x VËy Min A 49 x 12 (0,5®) C©u 4: T×m d­ cña phÐp chia ®a thøc x99 x55 x11 x 7 cho x2 1 99 55 11 2 Gäi Q(x) lµ th­¬ng cña phÐp chia x x x x 7 cho x 1 99 55 11 Ta cã x x x x 7 x 1 x 1 .Q(x) ax b * trong ®ã ax+b lµ d­ cña phÐp chia trªn Víi x=1 th× (*) 11 a b Víi x=-1 th× (*) 3 a b a 4,b 7 VËy d­ cña phÐp chia x99 x55 x11 x 7 cho x2 1 la 4x 7 . Bµi 3: (2®) a) Cho 3 sè x, y, z Tho· m·n x.y.z = 1. TÝnh biÓu thøc 1 1 1 M 1 x xy 1 y yz 1 z zx b) Cho a, b, c lµ ®é dµi 3 c¹nh cña mét tam gi¸c 1 1 1 1 1 1 Chøng minh r»ng: a b c b c a c a b a b c a) V× xyz = 1 nªn x 0, y 0, z 0 1 z z 1 x xy z(1 x xy) z xz 1 1 xz xz 1 y yz (1 y yz)xz xz 1 z z xz 1 M = 1 z xz 1 xz 1 z 1 z xz b) a,b,c lµ ®é dµi 3 c¹nh cña mét tam gi¸c nªn a+b-c > 0; b+c-a > 0; c+a-b > 0 1 1 4 víi x,y > 0 x y x y 1 1 4 2 a b c b c a 2b b 1 1 2 b c a c a b c 1 1 2 c a b a b c a Céng tõng vÕ 3 bÊt ®¼ng thøc råi chia cho 3 ta ®­îc ®iÒu ph¶i chøng minh. X¶y ra dÊu ®¼ng thøc khi vµ chØ khi a = b = c C©u 2: (1 ®iÓm) T×m GTNN cña: x2 + x + 1 CaoThị Huề - 01275 850 275 - Trường THCS thị trấn Mường Khương 29
30. BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 – LUYỆN GIẢI ĐỀ THI - NĂM HỌC 2017-2018 1 3 3 1 1 Ta cã: x2 + x + 1 = (x )2 . VËy f(x) ®¹t GTNN khi (x )2 = 0 Tøc x = - 2 4 4 2 2 C©u 3: (1 ®iÓm) Chøng minh r»ng: (n5 – 5n3 + 4n)  120 víi m, n Z. Ta cã: n5 – 5n3 + 4n = n5 – n3 – 4n3+ 4n = n3(n2 - 1) – 4n( n2 - 1) = n(n - 1)(n + 1)(n - 2)(n + 2) lµ tÝch cña 5 sè nguyªn liªn tiÕp trong ®ã cã Ýt nhÊt hai sè lµ béi cña 2 ( trong ®ã mét sè lµ béi cña 4, mét sè lµ béi cña 3, mét sè lµ béi cña 5). VËy tÝch cña 5 sè nguyªn liªn tiÕp chia hÕt cho 8.3.5 = 120. C©u 4: (1,5 ®iÓm) Cho a > b > 0 so s¸nh 2 sè x, y víi: 1 a 1 b x ; y 1 a a2 1 b b2 1 1 a a2 a2 1 1 1 1 - Ta cã x,y > 0 vµ 1 1 1 1 1 a 1 1 1 1 x 1 a 1 a y a2 a2 a b2 b 1 1 1 1 V× a> b > 0 nªn vµ . VËy x < y. a2 b2 a b Bµi 5. (1®) Chøng minh: B n4 14n3 71n2 154n 120 chia hÕt cho 24 BiÕn ®æi: B n n 1 n 1 n 2 8n n 1 n 1 24n3 72n2 144n 120. Suy ra B  24 C©u 2: (1 ®iÓm) a) Chøng minh ®¼ng thøc: x2 y2 1 x.y x y (víi mäi x; y) x 2 b) T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc sau: A x3 x2 x 2 C©u 5(2®): Cho hai sè x, y thỏa m·n ®iÒu kiÖn 3x y 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A 3x2 y2 - Từ 3x y 1 y 1 3x 2 2 2 1 1 Ta cã: A 3x 1 3x 12 x 4 4 1 1 1 VËy A khi x ; y . min 4 4 4 Bµi 4. Cho a 4; ab 12. Chøng minh r»ng C a b 7 . 3 1 3ab 1 312 1 Ta cã: C = a + b = ( a b) a 2 a 2  4 7 (đpcm) 4 4 4 4 4 4 C©u 4: Trong hai sè sau ®©y sè nµo lín h¬n: a 1969 1971 ; b 2 1970 Ta cã: 19702 – 1 < 19702 1969.1971 < 19702 30 CaoThị Huề - 01275 850 275 - Trường THCS thị trấn Mường Khương
31. BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 – LUYỆN GIẢI ĐỀ THI - NĂM HỌC 2017-2018 2 1969.1971 2.1970 (*) (0.25®) Céng 2.1970 vµo hai vÕ cña (*) ta cã: 2.1970 2 1969.1971 4.1970 (0.25®) ( 1969 1971) 2 (2 1970) 2 (0.25®) 1969 1971 2 1970 (0.25®) VËy: 1969 1971 2 1970 (0.25®) Bµi 3 (1®) 27 12x T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ nhá nhÊt cña biÓu thøc A x2 9 2 27 12x x2 12x 36 x2 9 x2 6 A 1 1 x2 9 x2 9 x2 9 Vậy: A ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt lµ -1 x 6 2 0 x 6 2 27 12x 4x2 36 4x2 12x 9 2x 3 A 4 4 . x2 9 x2 9 x2 9 2 3 Vậy: A ®¹t GTLN lµ 4 2x 3 0 x 2 Bµi 5 (1®) Cho c¸c sè d­¬ng a, b, c cã tÝch b»ng 1. CMR: a 1 b 1 c 1 8 Do a, b, c lµ c¸c sè d­¬ng nªn ta cã; 2 a –1 2 0  a 0 a2 1 2a a2 2a 1 a2 1 4a (1) 0,25® T­¬ng tù b 1 2 4b (2) 0,25® c 1 2 4c (3) 0,25® Nh©n tõng vÕ cña (1), (2), (3) ta cã: b 1 2 a –1 2 c 1 2 64abc vi abc 1 2 b 1 a –1 c 1 64 b 1 a –1 c 1 8 0,25® C©u IV: (1®) T×m nghiÖm nguyªn d­¬ng cña ph­¬ng tr×nh sau: yx2 +yx +y =1. y x2 + y x + y = 1. (1) NÕu ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm th× x, y > 0. y 1 y 1 (1) y x2 x 1 1 2 x x 1 1 x 0 VËy nghiÖm nguyên dương cña ph­¬ng tr×nh trªn lµ (x, y)= (0; 1) Bµi 3:(2 ®iÓm) Chøng minh r»ng sè: 1 1 1 1 a (n ¢ ) kh«ng ph¶i lµ mét sè nguyªn. 1.2 2.3 3.4 n.(n+1) Ta cã: CaoThị Huề - 01275 850 275 - Trường THCS thị trấn Mường Khương 31
32. BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 – LUYỆN GIẢI ĐỀ THI - NĂM HỌC 2017-2018 1 1 1 1 1 1 1 a = 1 0,5®iÓm 2 2 3 3 4 n n+1 1 n = 1 = 1 ; 0.5 ®iÓm n+1 n+1 MÆt kh¸c a > 0. Do ®ã a kh«ng nguyªn 0.5 ®iÓm Bµi 2 (3 ®iÓm) x2 x 1 x2 x 2 7 a) T×m nghiÖm nguyªn tö cña ph­¬ng tr×nh: x2 x 2 x2 x 3 6 x2 b) T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc: B (x 0) 1 x4 Giải: x2 x 1 x2 x 2 7 a) x2 x 2 x2 x 3 6 T×m ®­îc nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh x1 = 0; x2= -1 (1.5 ®iÓm) b) T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc x2 B= víi x # 0 gi¶i vµ t×m ®­îc B max = 1/2 th× x = 1 ( 1, 5 ®iÓm ) 1 x4 Câu 2: (2đ) 1 1 1 Cho x, y, z 0 thoả mãn x+ y +z = xyz và + + = 3 x y z 1 1 1 Tính giá trị của biểu thức P = x 2 y 2 z 2 Câu 4: (3đ) 3 3 a) Chứng minh rằng A n3 n 1 n 2  9 với mọi n ¥ * b) Cho x,y,z > 0 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức x y z P = y z z x x y a) = n3+(n3+3n2+3n+1)+(n3+6n2+12n+8) =3n3+9n2+15n+9 = 3(n3+3n2+5n+3) Đặt B= n3+3n2+5n+1 = n3+n2+ 2n2+2n + 3n+3 =n2(n+1) +2n(n+1) +3(n+1) = n(n+1)(n+2) + 3(n+1) Ta thấy n(n+1)(n+2) chia hết cho 3 ( vì tích của 3 số tự nhiên liên tiếp ) 3(n+1) chia hết cho3 B chia hết cho 3 A =3B chia hết cho 9 b) Đặt y+z =a ; z+x =b ; x+y = c x+y+z = a b c 2 a b c a b c a b c x = ; y = ; z= 2 2 2 32 CaoThị Huề - 01275 850 275 - Trường THCS thị trấn Mường Khương
33. BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 – LUYỆN GIẢI ĐỀ THI - NĂM HỌC 2017-2018 a b c a b c a b c 1 b c a c a b P = = ( 1 1 1 ) 2a 2b 2c 2 a a b b c c 1 b a c a b c 3 = ( 3 ( ) ( ) ( )) 2 a b a c c b 2 3 Min P (Khi và chỉ khi a=b=c x=y=z 2 Câu 6(2điểm) Chứng minh rằng nếu a, b, c là các số hữu tỷ và ab bc ac 1 thì 1 a2 1 b2 1 c2 bằng bình phương của số hữu tỉ. Ta có 1 a2 ab ac bc a2 a c a b Tương tự 1 b2 a b b c 1 c2 b c a c (1 a 2 )(1 b 2 )(1 c2 )  a b a c b c 2 đpcm Câu 1: (4điểm) x 2x 3y a) Cho: 3y-x=6 Tính giá trị biểu thức: A= y 2 x 6 1 1 1 3 b) Cho (a+b+c)2=a2+b2+c2 và a,b,c 0. Chứng minh : a 3 b 3 c 3 abc a) 3y-x=6 x=3y-6 Thay vào ta có A=4 ab ac bc Vì: (a+b+c)2=a2+b2+c2 và a,b,c 0. ab ac bc 0 0 abc 1 1 1 1 1 1 0 Đặt : x; y; z a b c a b c b) chứng minh bài toán Nếu x+y+z=0 thì: x3+y3+z3=3xyz đpcm Bài 5: (2 điểm) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x6+3x2+1=y3 Với x≠ 0 ta có 3x4>0; 3x2>0 ta có (x2)3 <y3<(x+1)3 nên phương trình vô nghiệm Với x=0 ta có y3=1 suy ra y=1 Phương trình có nghiệm nguyên duy nhất(x;y)=(0;1) CaoThị Huề - 01275 850 275 - Trường THCS thị trấn Mường Khương 33