Bài tập Hình học Lớp 12 nâng cao - Khối nón

Nội dung text: Bài tập Hình học Lớp 12 nâng cao - Khối nón

1. TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH KHÁ MỨC 7-8 ĐIỂM Lý thuyết chung MẶT NÓN Các yếu tố mặt nón: Một số công thức: S . Đường cao: h SO . ( SO cũng . Chu vi đáy: p 2 r . được gọi là trục của hình nón). . Diện tích đáy: S r 2 . . Bán kính đáy: đ l h r OA OB OM . 1 1 2 l . Thể tích: V h.S h. r . l 3 đ 3 . Đường sinh: l SA SB SM . (liên tưởng đến thể tích khối chóp). A B r O . Góc ở đỉnh: ·ASB . . Diện tích xung quanh: Sxq rl . M . Thiết diện qua trục: SAB cân Hình thành: Quay vuông tại S. . Diện tích toàn phần: 2 SOM quanh trục SO , ta được . Góc giữa đường sinh và mặt Stp Sxq Sđ rl r . mặt nón như hình bên với: đáy: S· AO S· BO S·MO . h SO . r OM 40 Chuyên đề Toán 12 Ôn thi THPT Năm 2021 chia thành 3 mức điểm 6-7, mức 7-8, mức 9-10, hi vọng với tài liệu này sẽ giúp ích được cho quý thầy cô trong việc luyện thi cho học sinh của mình, liên hệ Zalo 0988166193 để có tài liệu siêu hot này nhé Dạng 1. Diện tích xung quanh, diện tích toàn phần, chiều cao, bán kính đáy, thiết diện Câu 1. (Đề Tham Khảo 2020 Lần 2) Trong không gian, cho tam giác ABC vuông tại A , AB a và AC 2a . Khi quay tam giác ABC quanh cạnh góc vuông AB thì đường gấp khúc ACB tạo thành một hình nón. Diện tích xung quanh hình nón đó bằng A. 5 a2 . B. 5 a2 . C. 2 5 a2 . D. 10 a2 . Lời giải Chọn C BC AB2 AC 2 a 5 . Diện tích xung quanh hình nón cần tìm là S . AC.BC .2a.a 5 2 5 a2 . Câu 2. (Mã 101 - 2020 Lần 1) Cho hình nón có bán kính đáy bằng 2 và góc ở đỉnh bằng 60 . Diện tích xung quanh của hình nón đã cho bằng 16 3 8 3 A. 8 . B. . C. . D. 16 . 3 3 Lời giải Chọn A Trang 1
2. S 60° A B Gọi S là đỉnh của hình nón và AB là một đường kính của đáy. Theo bài ra, ta có tam giác SAB là tam giác đều l SA AB 2r 4 . Vậy diện tích xung quanh của hình nón đã cho là Sxq rl 8 . 40 Chuyên đề Toán 12 Ôn thi THPT Năm 2021 chia thành 3 mức điểm 6-7, mức 7-8, mức 9-10, hi vọng với tài liệu này sẽ giúp ích được cho quý thầy cô trong việc luyện thi cho học sinh của mình, liên hệ Zalo 0988166193 để có tài liệu siêu hot này nhé Câu 3. (Mã 102 - 2020 Lần 1) Cho hình nón có bán kính bằng 5 và góc ở đỉnh bằng 60 . Diện tích xung quanh của hình nón đã cho bằng 100 3 50 3 A. 50 . B. . C. . D. . 100 3 3 Lời giải Chọn A r 5 Ta có độ dài đường sinh là l 10 . sin sin 30 2 Diện tích xung quanh Sxq rl 50 . Câu 4. (Mã 103 - 2020 Lần 1) Cho hình nón có bán kính bằng 3 và góc ở đỉnh bằng 600 . Diện tích xung quanh của hình nón đã cho bằng A. 18 . B. 36 . C. 6 3 . D. 12 3 . Lời giải Chọn A Gọi l là đường sinh, r là bán kính đáy ta có r 3. r r 3 Gọi là góc ở đỉnh. Ta có sin l 6 . l sin sin 300 Vậy diện tích xung quanh S rl .3.6 18 . Câu 5. (Mã 104 - 2020 Lần 1) Cho hình nón có bán kính đáy bằng 4 và góc ở đỉnh bằng 600 . Diện tích xung quanh của hình nón đã cho bằng 64 3 32 3 A. . B. 32 . C. 64 . D. . 3 3 Lời giải Chọn B Trang 2
3. TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 S 300 l O r B Ta có Góc ở đỉnh bằng 600 O· SB 300 . r 4 Độ dài đường sinh: l 8 . sin 300 1 2 Diện tích xung quanh hình nón: Sxq rl .4.8 32 . Câu 6. (Mã 123 2017) Cho một hình nón có chiều cao h a và bán kính đáy r 2a . Mặt phẳng (P) đi qua S cắt đường tròn đáy tại A và B sao cho AB 2 3a . Tính khoảng cách d từ tâm của đường tròn đáy đến (P). 3a 5a 2a A. d B. d C. d D. d a 2 5 2 Lời giải Chọn C Có P  SAB . Ta có SO a h,OA OB r 2a, AB 2a 3 , gọi M là hình chiếu của O lên AB suy ra M là trung điểm AB , gọi K là hình chiếu của O lên SM suy ra d O; SAB OK . Ta tính được OM OA2 MA2 a suy ra SOM là tam giác vuông cân tại O , suy ra K là SM a 2 trung điểm của SM nên OK 2 2 Câu 7. (KSCL THPT Nguyễn Khuyến 2019) Cho hình nón đỉnh S , đường cao SO, A và B là hai a 3 điểm thuộc đường tròn đáy sao cho khoảng cách từ O đến SAB bằng và 3 S· AO 300 , S· AB 600 . Độ dài đường sinh của hình nón theo a bằng Trang 3
4. 40 Chuyên đề Toán 12 Ôn thi THPT Năm 2021 chia thành 3 mức điểm 6-7, mức 7-8, mức 9-10, hi vọng với tài liệu này sẽ giúp ích được cho quý thầy cô trong việc luyện thi cho học sinh của mình, liên hệ Zalo 0988166193 để có tài liệu siêu hot này nhé A. a 2 B. a 3 C. 2a 3 D. a 5 Lời giải Chọn A S H B O K A Gọi K là trung điểm của AB ta có OK  AB vì tam giác OAB cân tại O Mà SO  AB nên AB  SOK SOK  SAB mà SOK  SAB SK nên từ O dựng OH  SK thì OH  SAB OH d O, SAB SO SA Xét tam giác SAO ta có: sin S· AO SO SA 2 SK SA 3 Xét tam giác SAB ta có: sin S· AB SK SA 2 1 1 1 1 1 Xét tam giác SOK ta có: OH 2 OK 2 OS 2 SK 2 SO2 SO2 1 1 1 4 2 6 3 SA 2a2 SA a 2 OH 2 SA2 3SA2 SA2 SA2 SA2 SA2 a2 4 4 4 Câu 8. (THPT Cẩm Giàng 2 2019) Cho một hình nón có bán kính đáy bằng a và góc ở đỉnh bằng 60 . Tính diện tích xung quanh của hình nón đó. 2 3 a2 4 3 a2 A. S 4 a2 . B. S . C. S . D. S 2 a2 . xq xq 3 xq 3 xq Lời giải S 60 A a O B Trang 4
5. TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Giả sử hình nón có đỉnh là S , O là tâm của đường tròn đáy và AB là một đường kính của đáy. r OA a , ·ASB 60 ·ASO 30 . OA Độ dài đường sinh là l SA 2a . sin 30 2 Vậy diện tích xung quanh của hình nón là Sxq rl .a.2a 2 a . 40 Chuyên đề Toán 12 Ôn thi THPT Năm 2021 chia thành 3 mức điểm 6-7, mức 7-8, mức 9-10, hi vọng với tài liệu này sẽ giúp ích được cho quý thầy cô trong việc luyện thi cho học sinh của mình, liên hệ Zalo 0988166193 để có tài liệu siêu hot này nhé Câu 9. (THPT Cẩm Giàng 2 2019) Cho đoạn thẳng AB có độ dài bằng 2a , vẽ tia Ax về phía điểm B sao cho điểm B luôn cách tia Ax một đoạn bằng a . Gọi H là hình chiếu của B lên tia Ax , khi tam giác AHB quay quanh trục AB thì đường gấp khúc AHB vẽ thành mặt tròn xoay có diện tích xung quanh bằng: 2 2 2 3 2 a2 3 3 a 1 3 a 2 2 a A. . B. . C. . D. . 2 2 2 2 Lời giải A H I x B Xét tam giác AHB vuông tại H . Ta có AH = AB2 HB2 a 3 AH.HB a 3.a a 3 Xét tam giác AHB vuông tại H , HI  AB tại I ta có HI = AB 2a 2 Khi tam giác AHB quay quanh trục AB thì đường gấp khúc AHB vẽ thành mặt tròn xoay (có diện tích xung quanh là S ) là hợp của hai mặt xung quanh của hình nón (N1) và (N2). Trong đó: (N1) là hình nón có được do quay tam giác AHI quanh trục AI có diện tích xung quanh là a 3 3 a2 S = π.HI.AH = . .a 3 1 2 2 (N2) là hình nón có được do quay tam giác BHI quanh trục BI có diện tích xung quanh là a 3 3 a2 S = π.HI.BH = . .a 2 2 2 2 3 a2 3 a2 3 3 a S = S + S . 1 2 2 2 2 Câu 10. (HSG Bắc Ninh 2019) Cho hình nón có chiều cao h 20 , bán kính đáy r 25 . Một thiết diện đi qua đỉnh của hình nón có khoảng cách từ tâm của đáy đến mặt phẳng chứa thiết diện là 12. Tính diện tích S của thiết diện đó. A. S 500 B. S 400 C. S 300 D. S 406 Trang 5
6. Lời giải Giả sử hình nón đỉnh S , tâm đáy O và có thiết diện qua đỉnh thỏa mãn yêu cầu bài toán là SAB (hình vẽ). S H B O I A Ta có SO là đường cao của hình nón. Gọi I là trung điểm của AB OI  AB . Gọi H là hình chiếu của O lên SI OH  SI . Ta chứng minh được OH  SAB OH 12 . 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Xét tam giác vuông SOI có . OH 2 OS 2 OI 2 OI 2 OH 2 OS 2 122 202 225 OI 2 225 OI 15 . Xét tam giác vuông SOI có SI OS 2 OI 2 202 152 25 . Xét tam giác vuông OIA có IA OA2 OI 2 252 152 20 AB 40 . 1 1 Ta có S S AB.SI .40.25 500 . ABC 2 2 Câu 11. (Liên Trường THPT TP Vinh Nghệ An 2019) Cắt hình nón (N ) đỉnh S cho trước bởi mặt phẳng qua trục của nó, ta được một tam giác vuông cân có cạnh huyền bằng 2a 2. Biết BC là một dây cung đường tròn của đáy hình nón sao cho mặt phẳng (SBC ) tạo với mặt phẳng đáy của hình nón một góc 600 . Tính diện tích tam giác SBC . 4a2 2 4a2 2 2a2 2 2a2 2 A. B. C. D. 3 9 3 9 Lời giải Thiết diện qua trục của hình nón là tam giác vuông cân, suy ra r = SO = a 2 Trang 6
7. TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 · 0 Ta có góc giữa mặt phẳng (SBC ) tạo với đáy bằng góc SIO = 60 SO 2 6 · 6 Trong tam giác SIO vuông tại O có SI = = a và OI = SI .cosSIO = a sinS·IO 3 3 4 3 Mà BC = 2 r 2 - OI 2 = a 3 1 4a2 2 Diện tích tam giác SBC là S = SI .BC = 2 3 40 Chuyên đề Toán 12 Ôn thi THPT Năm 2021 chia thành 3 mức điểm 6-7, mức 7-8, mức 9-10, hi vọng với tài liệu này sẽ giúp ích được cho quý thầy cô trong việc luyện thi cho học sinh của mình, liên hệ Zalo 0988166193 để có tài liệu siêu hot này nhé Câu 12. (Sở Hà Nội 2019) Cho hình nón tròn xoay có chiều cao bằng 4 và bán kính bằng 3. Mặt phẳng P đi qua đỉnh của hình nón và cắt hình nón theo thiết diện là một tam giác có độ dài cạnh đáy bằng 2 . Diện tích của thiết diện bằng. A. 6 . B. 19 . C. 2 6 . D. 2 3 . Lời giải Ta có: h OI 4, R IA IB 3, AB 2 . Gọi M là trung điểm AB MI  AB AB  SMI AB  SM . Lại có: SB OI 2 IB2 42 32 5; SM SB2 MB2 52 12 2 6 . 1 1 Vậy: S .SM.AB .2 6.2 2 6 . SAB 2 2 Câu 13. (Chuyên Hạ Long 2019) Cắt hình nón bằng một mặt phẳng qua trục của nó, ta được một thiết diện là một tam giác vuông cân cạnh bên a 2 . Tính diện tích toàn phần của hình nón. A. 4a2 (đvdt). B. 4 2a2 (đvdt). C. a2 2 1 (đvdt). D. 2 2a2 (đvdt). Lời giải Giả sử hình nón đã cho có độ dài đường sinh l , bán kính đáy là R . Thiết diện của hình nón qua trục là tam giác OAB vuông cân tại O và OA a 2 . Áp dụng định lý Pitago trong tam giác vuông cân OAB ta có: AB2 OA2 OB2 4a2 AB 2a . Vậy: l a 2, R a . Trang 7
8. Diện tích toàn phần của hình nón là: 2 2 STP Sxq S§¸ y Rl R a 2 1 (đvdt). Câu 14. (Chuyên KHTN 2019) Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a . Tính diện tích toàn phần của vật tròn xoay thu được khi quay tam giác AA'C quanh trục AA'. A. 3 2 a2 . B. 2 2 1 a2 . C. 2 6 1 a2 . D. 6 2 a2 . Lời giải A' D' B' C' A D B a C Quay tam giác AA'C một vòng quanh trục AA' tạo thành hình nón có chiều cao AA' a , bán kính đáy r AC a 2 , đường sinh l A'C AA'2 AC 2 a 3 . Diện tích toàn phần của hình nón: S r r l a 2 a 2 a 3 6 2 a2 . Câu 15. Cho hình nón có chiều cao và bán kính đáy đều bằng 1. Mặt phẳng P qua đỉnh của hình nón và cắt đáy theo dây cung có độ dài bằng 1. Khoảng cách từ tâm của đáy tới mặt phẳng P bằng 7 2 3 21 A. . B. . C. . D. 7 2 3 7 Lời giải Chọn D Ta có l h 1 Mặt phẳng P qua đỉnh của hình nón và cắt đáy theo dây cung AB có độ dài bằng 1. I , K là hình chiếu O lên AB ; SI . Ta có AB  SIO OK  SAB 2 2 2 2 1 3 ta có IO R OA 1 . 2 2 Trang 8
9. TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 1 1 1 OI.SO 21 2 2 2 OK . OK OI OS OI 2 OS 2 7 Câu 16. Cho hình nón đỉnh S , đáy là đường tròn O;5 .Một mặt phẳng đi qua đỉnh của hình nón cắt đường tròn đáy tại hai điểm A và B sao cho SA AB 8. Tính khoảng cách từ O đến SAB . 3 3 3 2 13 A. 2 2 . B. . C. . D. . 4 7 2 Lời giải Chọn B Gọi I là trung điểm AB . AB  SO Ta có AB  SOI SAB  SOI . AB  OI Trong SOI , kẻ OH  SI thì OH  SAB . d O; SAB OH . 2 2 2 8.5 2 Ta có: SO SA OA 5 39 . 5 2 2 2 2 4.5 Ta có: OI OA AI 5 3. 5 1 1 1 3 13 Tam giác vuông SOI có: OH . OH 2 OI 2 SO 2 4 3 13 Vậy d O; SAB OH . 4 Câu 17. (Chuyên ĐHSPHN - 2018) Cho hình nón đỉnh S , đáy là hình tròn tâm O , bán kính, R 3cm , góc ở đỉnh hình nón là 120. Cắt hình nón bởi mặt phẳng qua đỉnh S tạo thành tam giác đều SAB , trong đó A , B thuộc đường tròn đáy. Diện tích tam giác SAB bằng A. 3 3 cm2 . B. 6 3 cm2 . C. 6 cm2 . D. 3 cm2 . Lời giải Trang 9
10. S B D O C A Theo đề bài ta có góc ở đỉnh hình nón là 120 và khi cắt hình nón bởi mặt phẳng qua đỉnh S tạo thành tam giác đều SAB nên mặt phẳng không chứa trục của hình nón. Do góc ở đỉnh hình nón là 120 nên O· SC 60 . OC OC 3 Xét tam giác vuông SOC ta có tan O· SC SO 3 . SO tan O· SC tan 60 Xét tam giác vuông SOA ta có SA SO2 OA2 2 3 . 2 1 2 Do tam giác SAB đều nên S SAB 2 3 .sin 60 3 3 cm . 2 Câu 18. (Chuyên Nguyễn Quang Diêu - Đồng Tháp - 2018) Cho hình nón có thiết diện qua trục là tam giác vuông có cạnh huyền bằng a 2 . Tính diện tích xung quanh Sxq của hình nón đó. a2 3 a2 2 a2 2 a2 2 A. S . B. S . C. S . D. S . xq 3 xq 2 xq 6 xq 3 Lời giải S A B Gọi S là đỉnh hình nón, thiết diện qua trục là tam giác SAB . AB a 2 Ta có AB a 2 SA a , suy ra l SA a ; r . 2 2 a 2 a2 2 Vậy S rl . .a . xq 2 2 40 Chuyên đề Toán 12 Ôn thi THPT Năm 2021 chia thành 3 mức điểm 6-7, mức 7-8, mức 9-10, hi vọng với tài liệu này sẽ giúp ích được cho quý thầy cô trong việc luyện thi cho học sinh của mình, liên hệ Zalo 0988166193 để có tài liệu siêu hot này nhé Trang 10