Bài tập Hình học Lớp 12 - Chương 3: Hệ tọa độ trong không gina - Năm học 2018-2019

Nội dung text: Bài tập Hình học Lớp 12 - Chương 3: Hệ tọa độ trong không gina - Năm học 2018-2019

1. Chương III Hệ tọa độ trong không gian Năm học: 2018-2019 A. MẶT PHẲNG I. Các kiến thức cơ bản. - Trước tiên học sinh phải nắm thật kĩ các kiến thức cơ bản sau: + Sự liên hệ giữa cặp vectơ chỉ phương (VTCP) và vectơ pháp tuyến (VTPT): mặt phẳng (P) có cặp vectơ chỉ phương a;b và vectơ pháp tuyến n thì n a;b + Phương trình mặt phẳng (P) đi qua một điểm M 0 (x0 ; y0 ; z0 ) và có một vectơ pháp tuyến n (A; B;C) phương trình mặt phẳng (P) : A(x x0 ) B(y y0 ) C(z z0 ) 0 + Phương trình mặt phẳng( ) : Ax By Cz D 0;(A2 B2 C 2 0) - Để viết phương trình của mặt ta sử dụng một trong hai cách sau: + Biết một điểm M 0 (x0 ; y0 ; z0 ) vả một vectơ pháp tuyến n (A; B;C) ta sử dụng công thức: ( ) : A(x x0 ) B(y y0 ) C(z z0 ) 0 + Phương trình mặt phẳng (P): Ax By Cz D 0;(A2 B2 C 2 0) dựa vào giả thiết của bài toán chúng ta xác định các hệ số A; B; C; D. II. Các dạng viết phương trình mặt phẳng thường gặp Dạng 1: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M 0 (x0 ; y0 ; z0 ) và một vectơ pháp tuyến n (A; B;C) + Cách 1: (P) : A(x x0 ) B(y y0 ) C(z z0 ) 0 + Cách 2: (P): Ax By Cz D 0 ; M 0 (P) D trả lời phương trình mp (P) Ví dụ: Trong không gian Oxyz viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M 0 ( 2;3;1) và vuông góc với đường thẳng đi qua hai điểm A(3;1; 2); B(4; 3;1) Giải:  - VTPT n AB (1; 4;3) - Cách 1: (P): 1(x 2) 4(y 3) 3(z 1) 0 (P) : x 4y 3z 11 0 - Cách 2: (P): x 4y 3z D 0 ; M 0 ( 2;3;1) (P) D 11 (P): x 4y 3z 11 0 Dạng 2: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M 0 (x0 ; y0 ; z0 ) và song song với mặt phẳng (Q) : Ax By Cz D 0 .  + Cách 1: (P)//(Q) VTPT n(P) VTPT n(Q) (A; B;C) (P) : A(x x0 ) B(y y0 ) C(z z0 ) 0 + Cách 2: (P) //(Q) (P) : Ax By Cz D ' 0;(D ' D) ; M 0 ( ) D ' phương trình mp (P). Ví dụ: Trong không gian Oxyz viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M0 ( 2;3;1) và song song với mặt phẳng (Q): 4x 2y 3z 5 0 Giải:  + Cách 1: (P) //(Q) VTPT n(P) VTPT n(Q) (4; 2;3) (P) : 4(x 2) 2(y 3) 3(z 1) 0 (P) : 4x 2y 3z 11 0 + Cách 2: (P) //(Q) (P) : 4x-2y 3z D 0(D 5) M 0 ( 2;3;1) (P) D 11 (P) : 4x - 2y 3z 11 0 Dạng 3: Viết phương trình mặt phẳng (P)đi qua điểm M (x ;y ;z ) và vuông góc với đường thẳng(d)   0 0 0 0 + P  (d) VTPT n(P) VTCPu(d ) (Áp dụng một trong hai cách trên viết phương trình mp (P)) Ví dụ: Trong không gian Oxyz viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M0 ( 2;3;1) và vuông góc với đt x 1 y 3 z 4 (d): 2 1 3 Giáo viên: Trần Danh Vũ Tel: 0839.400.191 1 Trường THPT Mường Chà
2. Chương III Hệ tọa độ trong không gian Năm học: 2018-2019 Giải:   (P)  (d) VTPT n(P) VTCPu(d ) ( 2;1;3) (P) : 2(x 2) (y 3) 3(z 1) 0 (P) : 2z y 3z 10 0 Dạng 4: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M (x ;y ;z ) và vuông góc với hai mặt phẳng (P)&(Q)   0 0 0 0 (P)  (Q) VTPTn  VTPTn     (P) (Q) +    VTPTn(P) n(Q) ,n(R) (P)  (R) VTPTn  VTPTn (P) (R)  Áp dụng một trong hai cách trên viết phương trình mp(P) Ví dụ: Trong không gian Oxyz viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M0 ( 2;3;1) và vuông góc với hai mặt phẳng (Q): x-3y+2z-1=0; (R): 2x+y-z-1=0 Giải:   (P)  (Q) VTPTn  VTPTn (1; 3;2)    (P) (Q)    VTPTn(P) n(Q) ,n(R) (1;5;7) (P)  (Q) VTPTn  VTPTn (2;1; 1) (P) (R)  (P) : (x 2) 5(y 3) 7(z 1) 0 (P) : x 5y 7z 20 0 Dạng 5: Viết phương trình mp (P) đi qua 3 điểm A(x ;y ;z ); B(x ; y ; z ); C(x ; y ; z ) không thẳng hàng  A A A B B B C C C AB    + Cặp VTCP mặt phẳng (P)  VTPT n AB, AC Áp dụng một trong hai cách trên viết phương trình mp (P) (P) AC Ví dụ: Trong không gian Oxyz viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua 3 điểm A(2;0; 1); B(1; 2;3);C(0;1;2) Giải:  AB ( 1; 2;4)    VTPT n AB, AC ( 10; 5; 5) Cặp VTCP mặt phẳng (P)  (P) AC ( 2;1;3) (P) : 10(x 2) 5(y 0) 5(z 1) 0 (P) : 2x y z 3 0 Dạng 6: Viết ptmp (P) đi qua A(xA; yA; zA ); B(xB ; yB ; zB ) và  (Q)  AB    + Cặp VTCP mặt phẳng( )  VTPT n AB,n Áp dụng một trong hai cách trên viết ptmp(P) n (P) (Q) (Q) Ví dụ: Trong không gian Oxyz viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua 2 điểm A(2;0; 1); B(1; 2;3) và vuông góc với mặt phẳng (Q): x y z 1 0 Giải:  AB ( 1; 2;4)     VTPT n AB,n (2;5;3) Cặp VTCP mặt phẳng (P) (P) (Q) n(Q) (1; 1;1) (P) : 2(x 2) 5(y 0) 3(z 1) 0 (P) : 2x 5y 3z 1 0 Dạng 7: Viết ptmp (P) đi qua A(x ; y ; z ) ;  (Q) và // với đt (d) A A A n    (Q) + Cặp VTCP mặt phẳng (P)  VTPT n(P) n(Q) ,u(d ) u (d ) Áp dụng một trong hai cách trên viết phương trình mp(P) Ví dụ: Trong không gian Oxyz viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A(1; 2;3) vuông góc với mặt phẳng x 1 y 3 z 4 (Q): x 2y z 5 0 và song song với đường thẳng (d): 2 1 3 Giáo viên: Trần Danh Vũ Tel: 0839.400.191 2 Trường THPT Mường Chà
3. Chương III Hệ tọa độ trong không gian Năm học: 2018-2019 Giải:  n(Q) (1;2; 1)    VTPT n n ,u (7;1;5) Cặp VTCP mặt phẳng (P)  (P) (Q) (d ) u(d ) ( 2;1;3) (P) : 7(x 1) (y 2) 5(z 3) 0 (P) : 7x y 5z 20 0 Dạng 8: Viết ptmp (P) chứa hai đường thẳng(d)và (d’) cắt nhau.  u    (d ) + Cặp VTCP mặt phẳng (P)  VTPT n(P) u(d ) ,u(d ') u (d ') + Lấy điểm M0 (d) hoặc M0 (d’) (Áp dụng một trong hai cách trên viết phương trình mp (P)) Ví dụ: Trong không gian Oxyz viết phương trình mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng cắt nhau x 1 t x 1 y 1 z 12 (d): và (d’): y 2 2t 1 1 3 z 3 Giải:   d  M (1; 1;12)VTCP u(d ) (1; 1; 3) ; d '  M '(1;2;3)VTCP u(d ') ( 1;2;0)    MM ' (0;3; 9); u ,u (6;3;1) (d ) (d ')    (d) & (d ') cắt nhau u ,u .MM ' 0 (d ) (d ')  u    (d ) Cặp VTCP mặt phẳng (P)  VTPT n(P) u(d ) ,u(d ') (6;3;1) u (d ') (P) : 6(x 1) 3(y 2) (z 3) 0 (P) : 6x 3y z 15 0 Dạng 9: Viết ptmp (P)chứa hai đường thẳng(d)và (d’) song song nhau. + M1 (d) , VTCP u d ; M 2 (d ') VTCP ud  M1M 2    :   VTPT n M M ,u + Cặp VTCP mặt phẳng (P) 1 2 (d ) u(d ) (hoac u(d ') ) Áp dụng một trong hai cách trên viết phương trình mp (P) Ví dụ: Trong không gian Oxyz viết phương trình mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng song song với nhau x 1 t x 1 y 1 z 12 (d): và (d’): y 2 t 1 1 3 z 3 3t Giải:  d  M (1; 1;12)VTCP u(d ) (1; 1; 3)  d '  M '(1;2;3)VTCP u(d ') (1; 1; 3) (d) P(d ')    MM ' (0;3; 9); MM ',u ( 18; 9; 3) 0 (d )  M1M 2 (0;3; 9)     VTPT n M M ,u ( 18; 9; 3) Cặp VTCP mặt phẳng (P) (P) 1 2 (d ) u(d ) (1; 1; 3) Giáo viên: Trần Danh Vũ Tel: 0839.400.191 3 Trường THPT Mường Chà
4. Chương III Hệ tọa độ trong không gian Năm học: 2018-2019 (P) : 18(x 1) 9(y 2) 3(z 3) 0 (P) : 6x 3y z 15 0 Dạng 10: Viết ptmp (P) là trung trực của AB. + VTPT n(P) AB + Tìm tọa độ trung điểm M0 của đoạn AB Áp dụng một trong hai cách trên viết phương trình mp (P) Ví dụ: Trong không gian Oxyz viết phương trình mp trung trực (P) của đoạn AB biết A(1;1; 1); B(5;2;1) Giải:   3 VTPT n AB 4;1;2 Trung điểm M0 của đoạn AB: M 0 (3; ;0) (P) 2 3 27 (P) : 4(x 3) (y ) 2(z 0) 0 (P) : 4x y 2z 0 2 2 Dạng 11: Viết pt mp(P) chứa (d) và đi qua A + (d)  M , VTCP u d 0  M A    0 + Cặp VTCP mặt phẳng (P)  VTPT n(P) M 0 A,u(d ) u (d ) Áp dụng một trong hai cách trên viết phương trình mp (P) x 1 y 1 z 12 Ví dụ: Trong không gian Oxyz viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng (d): 1 1 3 và đi qua điểm A(1;1; 1) Giải:   d  M 0 (1; 1;12)VTCP u(d ) (1; 1; 3) ; M 0 A (0;2; 13)  M 0 A (0;2; 13)     VTPT n M A,u ( 19; 13; 2) Cặp VTCP mặt phẳng (P) (P) 0 (d ) u(d ) (1; 1; 3) (P) : 19(x 1) 13(y 1) 2(z 1) 0 (P) :19x 13y 2z 30 0 Dạng 12: Viết pt mp (P) chứa (d) và // ( ) + Tìm điểm M (d) 0  u    (d ) + Cặp VTCP mặt phẳng (P)  VTPT n(P) u(d ) ,u( ) u ( ) Áp dụng một trong hai cách trên viết phương trình mp (P) x y z x 1 y z 1 Ví dụ: Trong không gian oxyz cho hai đường thẳng (d): ; ( ) Viết phương trình mp (P) 1 1 2 2 1 1 chứa (d) và song song với ( ) Giải:  u(d ) (1;1;2)    VTPT n u ,u ( 1; 5;3) Cặp VTCP mặt phẳng (P)  (P) (d ) ( ) u( ) ( 2;1;1)  (d)  M 0 (0;0;0) Mặt phẳng (P) đi qua M0 và có VTPT n(P) ( 1; 5;3) (P) : 1(x 0) 5(y 0) 3(z 0) 0 (P) : x y 3z 0 Giáo viên: Trần Danh Vũ Tel: 0839.400.191 4 Trường THPT Mường Chà
5. Chương III Hệ tọa độ trong không gian Năm học: 2018-2019 Dạng 13: Viết Pt mp(P) chứa (d) và  (Q) + Tìm điểm M (d) 0  u    (d )  VTPT n(P) u(d ) ,n(Q) + Cặp VTCP mặt phẳng (P) n (Q) Áp dụng một trong hai cách trên viết phương trình mp (P) x 1 y z 2 Ví dụ: Trong không gian oxyz cho đường thẳng (d): và mặt phẳng (Q) : 2x y z 1 0 . Viết 2 1 3 phương trình mp (P) chứa (d) và vuông góc với mp (Q) Giải:  (d)  M (1;0; 2) VTCP u(d ) (2;1; 3)  u(d ) (2;1; 3)    VTPT n u ,n (4; 8;0) Cặp VTCP mặt phẳng (P)  (P) (d ) (Q) n(Q) (2;1;1) (P) : 4(x 1) 8(y 0) 0(z 2) 0 (P) : 2x 4y 2 0 Dạng 14: Viết PT mp (P) // (Q) : Ax By Cz D 0 và d(A;(P))=h ; A(xA; yA; zA ) cho trước + Vì (P) // (Q) nên pt mp (P) có dạng (Q) : Ax By Cz D ' 0 (trong đó D’ D) + Vì d(A,(P))= h nên thay vào ta tìm được D’ . Kết luận pt mặt phẳng (P) Ví dụ: Trong không gian oxyz cho mặt phẳng: (Q): x - 2y + 2z - 3 = 0 và điểm A(3; 1; 1). Viết phương trình mặt phẳng (P) //mp (Q) và d(A;(P))=2 Giải: Vì (P) // (Q) nên pt mp (P): x - 2y + 2z + D = 0 ( D - 3) 3 D D 9 d(A;(P))=2 2 3 D 6 t / m 3 D 3 Vậy (P1) : x 2y 2z 9 0;(P2 ) : x 2y 2z 3 0 Dạng 15: Viết PT mp (P) chứa (d) và d(A,( P))=h; A(x ; y ; z ) A A A + Gọi VTPT của mp (P) là n = (A; B; C) với đk là A2 + B2 + C2 0 ( P) + (d)  M (x ; y ; z ), VTCP u 0 0 0 0  d  n  u + Vì (d) nằm trong (P) (P) (d) u d. n ( P) = 0 (1) + PT mp (P) đi qua M0: A(x-x0) + B(y-y0) + C(z-z0) = 0 + d(A,( P)) = h (2) + Giải (1); (2) ta tìm được A,B theo C từ đó chọn A,B,C đúng tỉ lệ, ta viết được pt mp(P). x 1 y z 2 Ví dụ: Trong không gian Oxyz cho đường thẳng (d): và điểm A(3;1;1). Viết pt mp (P) chứa (d) và 2 1 3 d (A,( P))= 2 3 . Giải: Gọi VTPT của mp (P) là n = (A; B; C) với đk là A2 + B2 + C2 0 ( P) (d)  M (1;0; 2) VTCP u (2;1; 3) 0  (d) Vì d  (P)d. n(P)  u(d ) 2A B 3C 0 B 3C 2A 1 (P): A(x 1) B(y 0) C(z 2) 0 Ax By Cz A 2C 0 Giáo viên: Trần Danh Vũ Tel: 0839.400.191 5 Trường THPT Mường Chà
6. Chương III Hệ tọa độ trong không gian Năm học: 2018-2019 2A B 3C d A, P 2 3 2 3 2A B 3C 2 3 A2 B2 C 2 (2) A2 B2 C 2 (1)(2) 6 C 2 3 5A2 12AC 10C 2 A C 5A2 12AC 7C 2 0 7 A C 5 *A C chon A C 1 B 1 (P) : x y z 1 0 7 *A C chon C 5; A 7 B 1 (P) : x y z 3 0 5 0 Dạng 16: Viết Pt mp (P) chứa (d) và hợp với mp (Q) một góc 90 + Gọi VTPT của mp (P) là n = (A;B;C) với đk là A2 + B2 + C2 0 ( P) + (d)  M0(x0;y0;z0), VTCP u d + Vì d  (P) u d . n ( P) = 0 (1) + cos ((P),(Q))= cos (2) + Giải (1) ; (2) ta tìm được A,B theo C từ đó chọn A,B,C đúng tỉ lệ , ta viết được pt mp(P). x 1 y 2 z 3 Ví dụ: Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng (Q): x + 2y +z -3 = 0 và đường thẳng (d): . 1 1 1 3 Viết phương trình mp (P) chứa (d) và hợp với mp (Q) một góc thỏa cos = . 6 Giải: Gọi VTPT của mp (P) là n = (A; B; C) với đk là A2 + B2 + C2 0 (P) (d)  M ( 1;2; 3),VTCP u (1; 1; 1) 0 (d ) Vì d  (P) u d. n ( P) 0 A B C 0 A B C (1)   3 A 2B C 3 cos P , Q cos cos(n(P) ,n(Q) ) 6 6 A2 B2 C 2 6 6 A 2B C 3 A2 B2 C 2 (2) B C 2 2 2 2 2 (1)(2) 2 4C 3B 3 A B C 8B 11B 3C 0 3 B C 8 *B C chon B 1;C -1 A 0 (P) : (y - 2) - (z 3) 0 (P) : y - z -5 0 3 *B C chon B 3;C -8 A -5 (P) : -5(x 1) 3(y - 2) -8(z 3) 0 8 -5x 3y -8z -35 0 0 Dạng 17: Viết Pt mp (P) chứa (d) và hợp với đth( )một góc 90 + Gọi VTPT của mp ( ) là n = (A;B;C) với đk là A2 + B2 + C2 0 ( P) + (d)  M0(x0;y0;z0), VTCP u d Giáo viên: Trần Danh Vũ Tel: 0839.400.191 6 Trường THPT Mường Chà
7. Chương III Hệ tọa độ trong không gian Năm học: 2018-2019 + Vì d  (P) u d. n ( P) = 0 (1) + sin ((P),( )) = sin (2) +Giải (1) và (2) tìm được A,B theo C từ đó chọn A,B,C đúng tỉ lệ , ta viết được pt mp(P). y 2 Ví dụ: Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng (d) và ( ) lần lượt có phương trình: (d): x z và 1 x 2 z 5 ( ) : y 3 . Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa (d) và hợp với ( ) một góc 300 2 1 Giải: 2 2 2 Gọi VTPT của mp (P) là n ( P) = (A; B; C) với đk là A + B + C 0   d)  M (0;2;0) và VTCP u (1; 1;1) ; ( )  M (2;3; 5) và VTCP u( ) (2;1; 1) 1 (d ) 2 Vì d  (P) u d. n ( P) = 0 A B C 0 B A C (1)   2A B C 1 sin ((P),( )) sin 300 cos(n ;u ) sin 300 ( p) ( ) 2 2 2 2 6 A B C 2 2A B C 6 A2 B2 C 2 (2) A C 2 2 2 2 2 (1)(2) 2 3A 6 A (A C) C 2A AC C 0 1 A C 2 *A C chon A C 1 B 2 (P) : (x - 0) 2(y - 2) (z - 0) 0 (P) : x 2y z 4 0 1 *A C chon C -2; A 1 B -1 (P) : (x - 0) - (y - 2) - 2(z - 0) 0(P) : x y 2z 2 0 2 Dạng 18: Cho A (xA; yA; zA) và (d), viết PT mp (P) chứa (d) sao cho d (A, (P)) là lớn nhất + Gọi H là hình chiếu  của A lên (d) + Ta có: d (A,(P)) = AK AH (t/c đường vuông góc và đường xiên). Do đó d(A(P)) max AK = AH K  H + Viết PT mp (P) đi qua H và nhận AH làm VTPT x 1 2t Ví dụ: Trong không gian oxyz cho đường thẳng (d): y t và điểm A(1;2;3).Viết phương trình mp (P) chứa z 1 t (d) sao cho d (A, (P)) là lớn nhất. Giải: Gọi H là hình chiếu  của A lên (d) .Ta có: d (A, (P)) = AK AH (tính chất đường vuông góc và đường xiên). Do đó d(A, (P)) max AK = AH K  H. Mp (P) đi qua H và nhận AH làm VTPT H (d) H ( 1 2t;t;1 t) AH ( 2 2t;t 2;t 2)   Vì H hc(d ) (A) AH  u(d ) ( 2;1;1) 6t 0 t 0   H ( 1;0;1) VTPT n( p) AH (2;2;2) (P) : 2(x 1) 2(y 0) 2(z 1) 0 (P) : x y z 0 Dạng 19: Viết Pt mp (P) // với (Q): Ax + By + Cz + D = 0 và tiếp xúc với mặt cầu (S) + Xác định tâm I, bán kính R của mặt cầu (S) + Vì (P) // (Q) nên (P) có dạng Ax + By + Cz + D' = 0 (D’ D) + Mà (P) tiếp xúc với (S) nên d (I, (P))= R tìm được D' Giáo viên: Trần Danh Vũ Tel: 0839.400.191 7 Trường THPT Mường Chà
8. Chương III Hệ tọa độ trong không gian Năm học: 2018-2019 + Từ đó ta có pt (P) cần tìm Ví dụ: Trong không gian Oxyz cho mp(Q): x - 2y + 2z - 3 = 0 và mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 + 2x - 4y - 2z 19 = 0. Viết pt mp (P) // với (Q): Ax + By + Cz + D = 0 và tiếp xúc với mặt cầu (S). Giải: 2 2 2 (S): (x 1) (y 2) (z 1) 25 I( 1;2;1) BK R 5 Vì (P) // (Q) (P): x - 2y + 2z + D = 0 (D -3) D 3 (P)tiep xuc voi mat cau (S) d I, P R 5 D 3 15 3 D 18 P1 : x 2y 2z 12 0 D 12 P2 : x 2y 2z 18 0 Dạng 20: Viết PT mp(P) // (Q): Ax + By + Cz + D=0 và cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đường tròn(C) có bán kính r ( hoặc diện tích, chu vi) cho trước. + Xác định tâm I, bán kính R của mặt cầu (S) 2 +Adct : Chu vi đường tròn C = 2 r và diện tích S = r tính r. + d(I,(P)) = R2 r2 (1) + Vì (P) // (Q) nên (P) có dạng Ax + By + Cz + D'=0 ( D' D) + Suy ra d (I,(P)) (2) 1  2 D' pt (P). Ví dụ: Trong không gian Oxyz. Cho mp (Q): x + y - 2z + 4 = 0 và mc(S): x2 y2 z2 2x 4y 2z 3 0 . Viết pt mp(P) // (Q và cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đường tròn(C) có bán kính r = 2 Giải: (S): (x-1)2+(y+2)2+(z+1)2=9 Tâm I (1;-2;-1), bán kính R = 3 Vì (P) // (Q) (P): x+y-2z+D = 0 (D 4) D 1 30 P : x y 2z 1 30 0 d I, P R2 r 2 1 D 30 D 1 30 P : x y 2z 1 30 0 Dạng 21: Viết PT mp (P) chứa (d) và tiếp xúc với mặt cầu (S) ((d)không cắt mặt cầu) +Xác định tâm I, bán kính R của mặt cầu (S) + (d)  M0(x0; y0; z0), VTCP u d 2 2 2 + Gọi VTPT của mp (P) là n ( P) = (A; B; C) với đk là A + B + C 0 =>pt mp (P) đi qua M0: A(x-x 0) + B(y-y0) + C(z-z0) = 0 + (d)  (P) u(d).n(P) 0 (1) + Mà (P) tiếp xúc với (S) nên d(I,(P))= R (2) + Giải hệ (1) và (2) tìm được A,B theo C pt mp (P). x 1 y z 2 Ví dụ: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S): x2+y2+z2 - 2x + 4y - 6z + 5 = 0 và d : . Viết pt 1 1 4 mp (P) chứa (d) và tiếp xúc với mặt cầu (S) Giải: 2 2 2 (S): (x - 1) + (y + 2) + (z - 3) = 9 tâm I (1;-2;3), bán kính R = 3 (d)  M (1;0; 2),VTCP u ( 1;1;4) 0 (d ) 2 2 2 Gọi VTPT của mp (P) là n ( P) = (A; B; C) với đk là A + B + C 0 mp(P) đi qua điểm M0: Giáo viên: Trần Danh Vũ Tel: 0839.400.191 8 Trường THPT Mường Chà
9. Chương III Hệ tọa độ trong không gian Năm học: 2018-2019 (P): A(x -1) + B(y – 0) + C(z +2) = 0 Ax + By + Cz -A +2C = 0 (d)  (P) u(d ).n(P) 0 A B 4C 0 A B 4C (1) (P) tiếp xúc với (S) nên d(I,(P))= R 5C 2B 3 A2 B2 C 2 (2) B 2C 2 2 2 2 (1)(2) 5C 2B 3 2B 8BC 17C 14B 92BC 128C 0 32 B C 7 *B 2C chon B -2; C 1 A 2 (P) : 2x - 2y z 0 32 *B C chon B 32;C -7 A 4 (P) : 4x 32y - 7z -18 0 7 Dạng 22: Viết Pt mp (P) chứa (d) và cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đường tròn (C) có bán kính r ( hoặc diện tích , chu vi) cho trước. + Xác định tâm I, bán kính R của mặt cầu (S) 2 + Adct : Chu vi đường tròn C = 2 r và diện tích S = r tính r. +(d)  M0(x0;y0;z0), VTCP u d + Gọi VTPT của mp (P) là n (P) = (A; B; C) với đk là A2 + B2 + C2 0, =>pt mp (P) đi qua M0: A(x-x0) + B(y-y0) + C(z-z0) = 0 + Vì d  (P) ud . n ( P )=0 (1) + Vì (P) cắt (S) theo đường tròn bán kính r nên d(I,(P)= r (2) +Giải hệ (1) và (2) tìm được A,B theo C pt mp (P). 2 2 2 x 3 y z 4 Ví dụ: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S): x y z 2x 4y 2z 3 0 và d : . 3 1 1 Viết pt mp (P) chứa (d) và cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đường tròn (C) có bán kính r = 6 . Giải: 2 2 2 (S): (x - 1) + (y + 2) + (z +1) = 9 tâm I(1;-2;-1), bán kính R = 3 (d)  M (3;0;4),VTCP u (3; 1;1) 0 (d ) 2 2 2 Gọi VTPT của mp (P) là n ( P) = (A; B; C) với đk là A + B + C 0 =>pt mp (P) đi qua M0 (P): A(x - 3) + B(y - 0) + C(z - 4) = 0 Ax + By + Cz –3A – 4C = 0 (d)  (P) u(d).n(P) 0 3A – B + C = 0 B = 3A + C (1) Vì (P) cắt (S) theo đường tròn bán kính r nên d(I,(P)= r 2A 2B 5C 6 A2 B2 C 2 (2) (1)(2) 8A 7C 6 10A2 6AC 2C 2 4A2 76AC 37C 2 0 1 A C chon A 1; C -2 B 1 (P) : x y - 2z 5 0 2 37 B C chon A 37;C -2 B 109 (P) : 37x 109y - 2z -103 0 2 Dạng 23: Viết PT mp (P) chứa (d) và cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đường tròn (C) có bán kính nhỏ nhất ((d) cắt mặt cầu) . +Xác định tâm I, bán kính R của mặt cầu (S) + Bán kính r = R2 d2(I,(P)) Giáo viên: Trần Danh Vũ Tel: 0839.400.191 9 Trường THPT Mường Chà
10. Chương III Hệ tọa độ trong không gian Năm học: 2018-2019 +Để r min d(I,(P)) max + Gọi H là hình chiếu  của I lên (d) ; K là hình chiếu  của I lên (P) +Ta có: d(I,(P))= IK IH ( tính chất đường vuông góc và đường xiên) +Do đó: d(I,(P)) max AK = AH K  H + Mp(P) đi qua H và nhận IH làm VTPT pt mp(P). 2 2 2 Ví dụ: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S): x y z 2x 4y 2z 3 0 và x 1 y 1 z d : . Viết pt mp (P) chứa (d) và cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đường tròn (C) có bán kính r 2 1 1 nhỏ nhất Giải: (S): (x - 1)2 + (y + 2)2 + (z +1)2 = 9 tâm I(1;-2;-1), bán kính R = 3     (d)  M (1; 1;0),VTCP u (2; 1;1); IM (0;1;1); IM ,u (2;2; 2) 0 (d ) 0 0 (d )   IM ,u 0 (d ) d(I,(d))  2 R (d) cat mat cau u(d ) 2 2 2 Bán kính r = R d (I,(P)) = 9 d (I,(P)) . Để r min d(I,(P)) max Gọi H là hình chiếu  của I lên (d) ; K là hình chiếu  của I lên (P). Ta có: d(I,(P))= IK IH ( tính chất đường vuông góc và đường xiên). Do đó: d(I,(P)) max AK = AH K  H. Mp(P) đi qua H và nhận IH làm VTPT Gọi (Q) là mặt phẳng đi qua điểm I và vuông góc vơi (d) VTPT n (Q) =(2;-1;1) (Q) 2x –y +z – 3=0; H là hình chiếu  của I lên (d); tọa độ điểm H là nghiệm của hệ phương trình: x 1 y 1 z x 1  y 1 H(1; 1;0) 2 1 1 VTPT n ( P) = IH =(0;1;1) 2x – y z – 3 0 z 0 (P): (y + 1) + (z – 0) = 0 y + z + 1 = 0 B. ĐƯỜNG THẲNG Dạng 1 : Viết phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng d biết d đi qua điểm M(x0;y0;z0) và có chỉ phương u = (a; b; c). x x0 at * Phương trình tham số của đường thẳng d là : y y0 bt ( t là tham số) z z0 ct x x y y z z * Phương trình chính tắc của đường thẳng d là : 0 0 0 ( điều kiện a.b.c 0 ) a b c Ví dụ : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , viết phương trình tham số và phương trình chính tắc của d biết d đi qua điểm M(-2; 1; -4) và có véc-tơ chỉ phương là u =(-3; 2; -1) Lời giải x 2 3t Ta có phương trình tham số của d là : y 1 2t ( t là tham số ) z 4 t x 2 y 1 z 4 phương trình chính tắc của d là: 3 2 1 Dạng 2: Viết phương trình tham số của đường thẳng d biết d đi qua hai điểm A, B cho trước. Hướng dẫn: - VTCP của d là AB - Chọn điểm đi qua là A hoặc B- Đưa bài toán về dạng 1 Giáo viên: Trần Danh Vũ Tel: 0839.400.191 10 Trường THPT Mường Chà
11. Chương III Hệ tọa độ trong không gian Năm học: 2018-2019 Ví dụ : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình tham số của d đi qua A(1; 2; -3) và B(-2; 2; 0 ) Lời giải  Do d đi qua A và B nên VTCP của d là AB = (-3; 0; 3) x 1 3t => phương trình tham số của d là y 2 ( t là tham số ) z 3 3t Dạng 3 : Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M và vuông góc với mặt phẳng ( ) . Hướng dẫn: -VTPT của mặt phẳng ( ) là VTCP của đường thẳng d đưa bài toán về dạng 1 Ví dụ : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình tham số của d đi qua A(-2; 4; 3) và vuông góc với ( ):2x - 3y – 6z + 19 = 0 Lời giải x 2 2t VTPT của ( ) là n (2;-3;-6). Do d  ( ) nên d nhận n là VTCP ptts của d là y 4 3t ( t là tham số) z 3 6t Dạng 4: Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M và song song với đường thẳng d’. Hướng dẫn: - VTCP của d’ chính là VTCP của d đưa bài toán về dạng 1. Ví dụ : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , viết ptts của đường thẳng d đi qua điểm A(2; -5; 3) và song song với x 2 t d’ y 3 2t ( t là tham số) z 5 3t Lời giải x 2 t Do d // d’ vectơ chỉ phương của d là u = (1; 2; -3) ptts của d là: y 5 2t ( t là tham số) z 3 3t Dạng 5 : Đường thẳng d đi qua điểm M và song song với 2 mặt phẳng cắt nhau (P) và (Q) Hd :VTCP của d là u = [ n P, n Q] ( n P ; n Q lần lượt là VTPT của hai mp (P) và (Q))-> Đưa bài toán về dạng 1. Ví dụ : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , viết phương trình tham số của d biết d đi qua điểm M(3; 1; 5) và song song với hai mặt phẳng (P): 2x + 3y - 2z +1 = 0 và (Q): x – 3y + z -2 = 0. Lời giải . Ta có n P = (2; 3; -2); n Q=(1; -3; 1) lần lượt là VTPT của hai mp (P) và (Q). Do d //(P) và d//(Q) nên vectơ chỉ x 3 3t phương của d là u = [ n P, n Q] = (-3; - 4; -9) Ptts của d là: y 1 4t ( t là tham số) z 5 9t Dạng 6: Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M, song song với mặt phẳng (P) và vuông góc với đường thẳng d’ ( d’ không vuông góc với (P)) Hd: Xác định VTPT của (P) và VTCP của d’ lần lượt là n P và u ’VTCP của d là u = [ n P, k ]=>Đưa btoan về dạng 1. Ví dụ: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , viết phương trình tham số của đường thẳng d đi qua điểm M(2; 3; 0), x 1 y 1 z 3 song song (P): 3x – 2y +z+1 = 0 và vuông góc với d’: . 2 3 4 Lời giải  ' Ta có : - VTPT của (P) là n P = (3; -2; 1). VTCP của đường thẳng d’ là u = (2; 3; 4 ) x 2 11t '  ' Do d//(P) và d  d’ VTCP của đt d là u = [ n P, u ] = (-11; -10; 13) ptts của d là: y 3 10t ' ( t’ là tham số) z 13t ' Giáo viên: Trần Danh Vũ Tel: 0839.400.191 11 Trường THPT Mường Chà
12. Chương III Hệ tọa độ trong không gian Năm học: 2018-2019 Dạng 7 : Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M và vuông góc với hai đường thẳng d1 và d2 (d1 và d2 là hai đường thẳng chéo nhau)     Hd :Xác định VTCP của d1 và d2 lần lượt là u1 và u2 ). VTCP của d là u = [u1 , u2 ] => Đưa bài toán về dạng 1. Ví dụ: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , viết phương trình tham số của đường thẳng d biết d đi qua điểm x 2 3t x 1 y z 3 M(2; -3; 4), vuông góc với d1: y 3 t ( t là tham số ) và d2: 2 5 3 z 1 2t Lời giải   Ta có : VTCP của d1 là u = (-3; 1; 2) và VTCP của d2 là u = (2; 5; 3 ) 1   2 Do d  d1 và d  d2 VTCP của d là u = [u1 , u2 ]= (-7; 13; -17) x 2 7t Phương trình tham số của d là: y 3 13t ( t là tham số). z 4 17t Dạng 8 : Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M đồng thời cắt cả hai đường thẳng d1 và d2 Hướng dẫn : Cách 1 Viết pt mp(P) thoả mãn đi qua M và chứa d1. Xác định giao điểm C của d2 và mp(P) + Nếu không tồn tại giao điểm thì kết luận bài toán vô nghiệm + Nếu có vô số giao điểm thì kết luận bài toán có vô số nghiệm đó chính là chùm đường thẳng trong mp(P) đi qua M + Nếu có nghiệm duy nhất thì chuyển sang bước tiếp theo - Viết pt đường thẳng d thoả mãn đi qua M và nhận MC là VTCP. Chứng tỏ d không song song với d1. Khi đó d chính là đường thẳng cần tìm. Cách 2. - Chuyển pt của d1 và d2 về dạng tham số ( lần lượt theo tham số t và t’) - Giả sử d cắt d1 và d2 theo thứ tự tại B và C. Khi đó suy ra toạ độ B và C theo thứ tự thoả mãn các ptts của d1 và d2 - Từ điều kiện M, B, C thẳng hàng ta xác định được toạ độ của B và C. Đường thẳng d là đt đi qua 2 điểm A và B. Ví dụ: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình tham số của đường thẳng d biết d đi qua điểm A(1; 1; x 1 t x 0 0) và cắt cả 2 đường thẳng (d1) : y t và (d2) : y 0 (t, s là tham số ) z 0 z 2 s Lời giải   Cách 1. Gọi (P) là mp chứa A và d . Khi đó (P) qua A và nhận n là VTPT với n = AB,u 1 1  (trong đó B(1;0;0); u (1;-1;0) là VTCP của d ) => n (0;0;1)=> Phương trình của mp(P) là z = 0 1 1  Gọi C là giao điểm của (P) và d2 => C(0;0;0). Gọi d là đt đi qua A và C => d đi qua A và nhận CA 1;1;0 là VTCP x t '   => d có phương trình: y t ' ( t’ là tham số).Dễ thấy CA và u1 không cùng phương => d là đường thẳng cần dựng. z 0 Cách 2. Giả sử d là đường thẳng cần dựng và d cắt d1 và d2 theo thứ tự tại B và C. Khi đó: B d1 => B(1+t ; -t ; 0); C d2 => C(0 ; 0 ; 2+s) => AB t; t 1;0 ; AC 1; 1;2 s t k( 1) s 2 Ba điểm A, B, C thẳng hàng  t 1 k( 1) t 1/ 2 0 k(2 s) k 1/ 2 Giáo viên: Trần Danh Vũ Tel: 0839.400.191 12 Trường THPT Mường Chà
13. Chương III Hệ tọa độ trong không gian Năm học: 2018-2019 x t ' Vậy d là đường thẳng đi qua đi qua A(1;1;0) và C(0;0;0) => d có phương trình : y t ' ( t’ là tham số). z 0 Dạng 9: Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A, vuông góc với đường thẳng d1 và cắt đường thẳng d2 Hướng dẫn : - Chuyển phương trình của d2 về dạng tham số  - Giả sử d cắt d2 tại B, khi đó tìm được toạ độ B thoả mãn pt tham số của d2 => toạ độ AB - Vì d  d AB.u 0 => giá trị tham số => toạ độ điểm B 1 1  - Viết phương trình đường thẳng d thỏa mãn đi qua A và nhận AB là VTCP Ví dụ: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng d đi qua A(0;1;1), vuông góc với đường x 1 t x 2u thẳng d1 và cắt đường thẳng d2 cho bởi: (d1): y t và (d2) : y 1 u (t, u là tham số) z 1 z u Lời giải  Giả sử d là đường thẳng cần dựng và cắt d2 tại B, khi đó B(2u ;1+u ; u) => AB (2u ; u ; u-1). Gọi u1 là 1 VTCP của d1 ta có u1 (-1;1;0). Vì d  d1 AB.u1 0 u = 0 => AB (0;0;-1) x 0 Vậy phương trình đường thẳng d là : y 1 ( t là tham số). z 1 t Dạng 10: Viết phương trình đt d đi qua điểm A, vuông góc với đường thẳng d1 và cắt đường thẳng d1 Hướng dẫn : - Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên d1 => toạ độ H theo tham số t - Do AH  d1 AH.u1 0 (u1 là VTCP của d1) => giá trị của tham số t => toạ độ H - Vậy d là đường thẳng đi qua 2 điểm A và H Ví dụ: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng d đi qua A(1;2;-2), vuông góc với d’ và x t cắt d’ trong đó d’ có phương trình y 1 t ( t là tham số). z 2t Lời giải  Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên d’ => H(t ; 1 - t ; 2t) => AH (t – 1 ; -t – 1 ; 2t + 2)    2  Ta có: u (1; -1; 2) là VTCP của d’. Do AH  d’ AH.u 0  6t + 4 = 0 t = => AH 5 / 3; 1/ 3;2 / 3 1 1 3 5 x 1 u 3 1 Vậy phương trình của d là : y 2 u ( u là tham số) 3 2 z 2 u 3 Dạng 11 : Viết phương trình đường thẳng d nằm trong mp(P) đồng thời cắt cả hai đường thẳng d1 và d2 Hướng dẫn : - Nhận xét giao điểm của d1 và d2 với d chính là giao điểm của d1 và d2 với mp(P). - Xác định A và B lần lượt là giao điểm của d1 và d2 với (P) - Đường thẳng d cần tìm là đường thẳng đi qua 2 điểm A và B Giáo viên: Trần Danh Vũ Tel: 0839.400.191 13 Trường THPT Mường Chà
14. Chương III Hệ tọa độ trong không gian Năm học: 2018-2019 Ví dụ: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , viết phương trình đường thẳng d nằm trong mp(P) : y + 2z = 0 đồng x 1 t x 2 t ' thời cắt cả 2 đường thẳng d1: y t và d2 : y 4 2t ' ( t và t’ là tham số) z 4t z 1 Lời giải Gọi A và B lần lượt là giao điểm của d1 và d2 với (P) => A(1;0;0) và B(5;-2;1) Khi đó đường thẳng d cần tìm là đường thẳng đi qua A và nhận AB (4;-2;1) là VTCP => Phương trình của d là: x 1 4t y 2t ( t là tham số). z t Dạng 12 : Viết phương trình đường thẳng d song song với d’ đồng thời cắt cả hai đường thẳng d1 và d2 Hướng dẫn: - Chuyển pt của hai đường thẳng d1 và d2 về dạng tham số (giả sử theo tham số t và t’) - Giả sử A và B lần lượt là giao điểm của d với d1 và d2 => Toạ độ A và B theo tham số t và t’ - Xác định u là VTCP của d’ - Do d//d’ nên u và AB cùng phương => giá trị của tham số t và t’ => toạ độ 2 điểm A và B - Đường thẳng d là đường thẳng đi qua A và nhận AB là VTCP Ví dụ: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng d biết d song song với x t y 7 z 3 y 1 z 1 d’ : x - 4 = đồng thời cắt cả hai đường thẳng d1 và d2 với d1 : y 1 2t và d2 : x . 4 2 2 3 z t Lời giải x t ' d’ có VTCP u (1;4;-2), d2 có pt tham số y 1 2t ' z 1 3t ' Giả sử A và B lần lượt là giao điểm của d với d1 và d2 => A(t ; -1 + 2t ; t) và B(t’;1- 2t’;1 + 3t’) => AB (t’-t;2-2t’-2t;1+3t’-t)  t ' t 2 2t ' 2t 1 3t ' t t ' 1 Do d // d’ nên u và AB cùng phương   => A(2;3;2) 1 4 2 t 2 x 2 u Vậy d là đường thẳng đi qua A và nhận u là VTCP => d có pt là: y 3 4u ( u : tham số) z 2 2u Dạng 13 : Viết phương trình đường thẳng d song song và cách đều hai đường thẳng song song d1 và d2 đồng thời d nằm trong mặt phẳng chứa d1 và d2. Hướng dẫn : - VTCP u của d là VTCP của d1 hoặc d2 - Xác định toạ độ điểm M d1, N d2 toạ độ trung điểm I của MN thuộc d. - Vậy đường thẳng d cần tìm là đường thẳng đi qua I và nhận u là VTCP Ví dụ: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng x 2 3t x 4 y 1 z d1: y 3 t ( t là tham số ) và d2: . 3 1 2 z 4 2t Viết phương trình tham số của đt d nằm trong mặt phẳng chứa d1 và d2 đồng thời cách đều hai đường thẳng đó. Giáo viên: Trần Danh Vũ Tel: 0839.400.191 14 Trường THPT Mường Chà
15. Chương III Hệ tọa độ trong không gian Năm học: 2018-2019 Lời giải Do d1//d2 và d cách đều d1, d2 chỉ phương của d là u = (3; 1; -2) Lấy M(2; -3; 4) d1 , N(4; -1; 0) d2 toạ độ trung điểm I của MN là I(3; -2; 2) d x 3 3t phương trình tham số của d là y 2 t ( t là tham số ) z 2 2t Dạng 14 : Viết phương trình đt d là đường vuông góc chung của hai đường thẳng d1 và d2 chéo nhau. Hướng dẫn : Cách 1. - Gọi AB là đoạn vuông góc chung của d1 và d2( A d1 và B d2). Khi đó toạ độ A và B thoả mãn phương trình tham số của d1 và d2 =>Toạ độ của AB - Từ điều kiện AB  d1 và AB  d2 =>Toạ độ A và B - Đường thẳng d cần tìm là đường thẳng đi qua 2 điểm A và B Cách 2.   - Xác định vectơ u và u' lần lượt là VTCP của hai đt d và d . Gọi v là VTCP của đường thẳng d => v u,u' 1 2 - Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d và d1 - Xác định A là giao điểm của d2 và mp(P) - Đường thẳng d cần tìm là đường thẳng đi qua A và nhận v là VTCP . x 1 2t x 2 u Ví dụ: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho hai đường thẳng chéo nhau d1: y 2 t và d2 : y 3 2u . z 3 3t z 1 3u Viết phương trình đường vuông góc chung của d1 và d2. Lời giải    Gọi u1 và u2 theo thứ tự là VTCP của d1 và d2 =>u1 (2;1;3) và u2 (1;2;3) Gọi AB là đoạn vuông góc chung của d1 và d2( A d1 và B d2) => A(1+2t;2+t:-3+3t) và B(2+u;-3+2u;1+3u) => AB (u-2t+1;2u-t-5;3u-3t+4)   29 t AB. u1 0 2 u 2t 1 2u t 5 3 3u 3t 4 0 9 Từ điều kiện AB  d1 và AB  d2    u 2t 1 2 2u t 5 3 3u 3t 4 0 25 AB. u2 0 u 9 67 47 20  24 24 24 => A ; ; ; AB ; ; 9 9 3 9 9 9 67 x t ' 9 47 Vậy đt vuông góc chung d là đường đi qua A và nhận u 1;1; 1 là VTCP => d có pt là: y t ' ( t’ là tham số) 9 20 z t ' 3 Dạng 15 : Viết phương trình tham số của đường thẳng d là hình chiếu của d’ trên mặt phẳng (P). Hướng dẫn : - Xác định điểm chung của d’ và mp(P) + Nếu d’  (P) thì hình chiếu của d’ chính là d’ + Nếu d’//(P) thì *Xác định A d ' *Xác định B là hình chiếu vuông góc của A trên (P) Giáo viên: Trần Danh Vũ Tel: 0839.400.191 15 Trường THPT Mường Chà
16. Chương III Hệ tọa độ trong không gian Năm học: 2018-2019 *d là đường thẳng đi qua B và //d’ + Nếu d ' (P) M thì: *Xác định A d ' ( A không trùng với M) *Xác định B là hình chiếu vuông góc của A trên (P) *d là đường thẳng đi qua 2 điểm M và B Ví dụ : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình tham số của đường thẳng d là hình chiếu của x 2 3t d’ : y 1 t trên mặt phẳng (P): 2x- 3y + z +1 = 0. z 3 t Lời giải 1 3 5 Gọi M = d ' (P) => M( ; ; ) . Ta có A(2 ; 1 ; 3 ) d’ 2 2 2 x 2 2u Gọi d1 là đường thẳng đi qua A và vuông góc với (P) => d1 có pt là: y 1 3u (*) z 3 u Gọi B là hình chiếu vuông góc của A trên (P) => B = (P) d1 5 Thay (*) vào phương trình mp (P) ta được: 2(2+2u) – 3(1-3u) + 3+u +1 = 0 14u = - 5  u= 14 9 29 37  11 8 2 => B ; ; => MB ; ; 7 14 14 14 14 14  Đường thẳng d cần tìm là đường đi qua B và nhận u1 (11;8;2) là VTCP 9 x 11t 7 29 Phương trình tham số của d là : y 8t ( t là tham số ) 14 37 z 2t 14 Giáo viên: Trần Danh Vũ Tel: 0839.400.191 16 Trường THPT Mường Chà