Bài tập giải Hệ phương trình - GV: Nguyễn Tất Thu - Trường THPT Lê Hồng Phong

Nội dung text: Bài tập giải Hệ phương trình - GV: Nguyễn Tất Thu - Trường THPT Lê Hồng Phong

1. Nguy n T t Thu 0918927276 or 01699257507 Trong cỏc ph n tr ưc chỳng ta ủó ủi xột m t s dng h mà cú ủưng l i gi i t ng quỏt. Trong ph n này chỳng ta ủi xột m t s h mà khụng cú ủưng l i gi i t ng quỏt. ð tỡm li gi i c a nh ng h này 1. Ph ươ ng phỏp th : Ni dung c a ph ươ ng phỏp này t m t ph ươ ng trỡnh ho c k t h p hai ph ươ ng trỡnh c a h ta bi u di n n này qua n kia hoc m t bi u th c này qua bi u th c khỏc và th vào ph ươ ng trỡnh cũn l i chuy n v ph ươ ng trỡnh m t n (cú th là n ph ). Mc ủớch c a vi c làm này là gi m s n. Tựy thu c vào ủc ủim c a bài toỏn mà ta cú nh ng cỏch bi n ủi phự h p. Trong ph ươ ng phỏp này ta c n l ưu ý m t s d u hi u sau. • Nu trong h ph ươ ng trỡnh cú m t ph ươ ng trỡnh b c nh t ủi v i m t n thỡ ta rỳt n ủú qua n kia th vào ph ươ ng trỡnh cũn l i và chuy n v gi i ph ươ ng trỡnh m t n. • Vi hai s th c b t kỡ x≠ 0;y ta luụn cú y= tx (t là s th c c n tỡm). V i cỏch làm này ta s ủưc h v ph ươ ng trỡnh m t n t. • Ph ươ ng trỡnh f(x;y)= f(y;x) luụn cú m t c p nghi m x= y (cỏc b n th gii thớch vỡ sao?), do ủú ta luụn phõn tớch ph ươ ng trỡnh ủó cho v d ng: (x− y)g(x;y) = 0 . • Trong h ph ươ ng trỡnh n u bi u th c u(x) xu t hi n hai ph ươ ng trỡnh thỡ ta cú th ủt t= u(x) ủ làm ủơ n gi n hỡnh th c bài toỏn. x3 y= 16 (1) Vớ d 1: Gi i h ph ươ ng trỡnh:  . 3x+ y = 8 (2) Gi i : Ta th y (2) là m t ph ươ ng trỡnh b c nh t hai n nờn ta rỳt n này qua n kia. T ph ươ ng trỡnh (2) ⇒ y= 8 − 3x thay vào ph ươ ng trỡnh (1) ta ủưc: x(83− 3x) =⇔ 16 3x 43 − 8x +=⇔− 16 0 (x 2)(3x 22 ++=⇔= 4x 4) 0 x 2 Vy h cú nghi m là x= y = 2 . Chỳ ý : cỏch gi i trờn ta th y h cú nghi m duy nh t x= y = 2 , ủng th i t hai ph ươ ng trỡnh ta cú nh n xột x,y> 0 và ph ươ ng trỡnh (2) VT là 3x+ y , ph ươ ng trỡnh (1) cú tớch x3 y . ðiu này g i cho chỳng ta liờn t ưng ủn B ðT Cauchy. Ta cú cỏch gi i khỏc nh ư sau: Ta th y n u h cú nghi m (x;y) thỡ x,y> 0 . Áp d ng b ủt Cauchy ta cú: 3x+=+++≥ y x x x y 4xy4 3 = 8 . ðng th c x y ra ⇔x = y = 2 . Th l i ta th y th a món. Tr ưng THPT Lờ H ng Phong – Biờn Hũa – ðng Nai 1
2. Nguy n T t Thu 0918927276 or 01699257507  2 2 y(1+ x ) = x( 1 + y) (1) Vớ d 2: Gi i h ph ươ ng trỡnh:  . x2+ 3y 2 = 1 (2) Gi i: D th y ph ươ ng trỡnh (1) cú c p nghi m x= y , do ủú ta bi n ủi ph ươ ng trỡnh (1) c a h ra th a s (x− y) . x= y Ta cú: (1)⇔ x − y + xy(y − x) = 0 ⇔ (x − y)(1 − xy) = 0 ⇔  . xy= 1 1 * xy= ⇒ 4x2 = 1 ⇔ x =± . 2 1 * x= ⇒ 3y4− y 2 + 10 = ph ươ ng trỡnh vụ nghi m. y 1 Vy nghi m c a h là: x= y = ± . 2  1 1 x− = y − (1) Vớ d 3 : Gi i h ph ươ ng trỡnh:  x y .  2y= x3 + 1 (2) Gi i: xy≠ 0 x= y x− y 1  Ta cú (1)⇔ xy − + = 0 ⇔ (xy)(1 − + )0 = ⇔ 1 . xy xy y = −  x * x= y thay vào (2), ta ủưc: −1 ± 5 x3− 2x +=⇔− 1 0 (x 1)(x 2 +−=⇔= x 1) 0 x 1;x = . 2 1 1 1 3 * y = − thay vào (2), ta ủưc: x4++=⇔ x20 (x 2 − )(x ++ ) 2 += 0 vụ x 2 2 2 nghi m. −1 ± 5 Vy h ủó cho cú ba c p nghi m: x== y 1;x == y . 2 Tr ưng THPT Lờ H ng Phong – Biờn Hũa – ðng Nai 2
3. Nguy n T t Thu 0918927276 or 01699257507  xy+ =3 xy + Vớ d 4: Gi i cỏc h ph ươ ng trỡnh sau:  .  x− y =3 x −− y12 x+ y ≥ 0 Gi i: ðK:  . x− y ≥ 0 Ta th y m i ph ươ ng trỡnh c a h là ph ươ ng trỡnh m t n x+ y và x− y . Do ủú ủiu mà chỳng ta ngh ĩ t i là ủi gi i t ng ph ươ ng trỡnh tỡm x+ y và x− y , khi ủú ta cú ủưc h ph ươ ng trỡnh m i ủơ n gi n h ơn nhi u. ð ủơ n gi n v m t hỡnh th c ta ủt a=+ x y, b =− x y⇒ a,b≥ 0 ta cú h : a=3 a  a3 = a 2  a == 0 V a 1 ⇔  ⇔  . 3 3 2 =  b= b − 12 b= (b − 12) b 4 a0=  xy0 +=  x2 = *V i ⇔  ⇔  b4=  xy4 −=  y =− 2  5 x = a1=  xy1 + =  2 * V i ⇔  ⇔  b4=  xy4 − = 3 y = −  2 5 3 Vy nghi m c a h là: (x;y)= (2; − 2), ( ; − ) . 2 2  x+ y − x −= y 2 (1) Vớ d 4: Gi i h ph ươ ng trỡnh:  . 2 2 2 2  x+ y + x − y = 4 (2) Gi i: ðK : x≥ |y| Vỡ (1) trong c ăn ch ch a l ũy th a b c 1 ủi v i x,y cũn (2) thỡ trong c ăn ch a l ũy th a bc 2 ủi v i x,y nờn suy ngh ĩ ủu tiờn là ta s bỡnh ph ươ ng hai v ph ươ ng trỡnh (1) ủ ủư a v hai ph ươ ng trỡnh ủng b c. T (1) ⇒ xy+ > xy − ⇒ y0> . 2≤ x ≤ 6 22  22 xxy2−−=  xyx2 −=−  H ⇔ ⇔  ⇔−=−  x2 y 2 (2 x) 2 xy4xy22+=− 22 −  xy6x 22 +=−    x2+ y 2 = (6 − x) 2 Tr ưng THPT Lờ H ng Phong – Biờn Hũa – ðng Nai 3
4. Nguy n T t Thu 0918927276 or 01699257507 ≤≤ ≤≤ 2x6  2x6  5   x = ⇔2x2222 = (2 − x) + (6 − x) ⇔  2x = 40 − 16x + 2x 2 ⇔  2 . 22 2  2  = x+=− y (6x)  y =− 3612x y 6 5 Vy nghi m c a h ủó cho là: ( ; 6) . 2 x2 ++ 1 y(y + x) = 4y (1) Vớ d 6: Gi i h ph ươ ng trỡnh:  . (x2 + 1)(y +− x 2) = y (2) Gi i: ðt a= x + y t (1) ⇒ x2 + 1 = y(4 − a) th vào (2), ta cú: y(4− a)(a −=⇔ 2) y y(a2 −+=⇔= 6a 9) 0 y 0; a = 3 * V i y= 0 thay vào (1) ta th y h vụ nghi m. * V i a3= ⇔ x + y3 = thay vào h ta cú: = = 2 2 x1⇒ y 2 x+ 1y3x = = − ⇔ x + x20 − = ⇔  . x= − 2⇒ y5= Vy h ủó cho cú hai c p nghi m: (x;y)= (1;2), ( − 2;5) . x3− 8x = y 3 + 2y (1) Vớ d 7: Gi i h ph ươ ng trỡnh:  . x2− 3 = 3(y 2 + 1) (2) Gi i: Cỏch 1: T (2) ⇒ x2= 3(y 2 + 2) (3) thay vào (1) ta ủưc : = 2 x 0 3− = 2 + =x ⇔ 2 − − = ⇔  x 8x y(y 2) y x(3x xy 24) 0 3x2 − 24 . 3 y =  x * V i x= 0 thay vào (3) ta cú: y2 + 2 = 0 vụ nghi m. 2 − 2 −  2 = 3x 24 2 =3x 24 + * V i y thay vào (3) ta ủưc: x 3  6 x x  x2 = 9 x= ± 3⇒ y= ± 1 ⇔4 − 2 + = ⇔ ⇔  13x 213x 864 0 96  96 78 . x2 = x= ± ⇒ y = ∓  13  13 13 Tr ưng THPT Lờ H ng Phong – Biờn Hũa – ðng Nai 4
5. Nguy n T t Thu 0918927276 or 01699257507 96 78 Vy h cú b n c p nghi m: (x;y)=±± ( 3; 1), ( ± ;∓ ) . 14 13 Cỏch 2: Ta th y x= 0 khụng là nghi m c a h nờn ta ủt y= tx . Khi ủú h tr thành x3−=+ 8x tx 33 2tx  x(1 23 −=+ t) 2t 8 1t−3 t4 + ⇔ ⇒ =   2 x2−= 3 3(t 22 x + 1)  x 22 (1 −= 3t ) 6 1− 3t 3  1 t = 3 2 2 3 ⇔3(1 − t ) = (t + 4)(1 − 3t ) ⇔ 12t − t − 1 = 0 ⇔  . 1 t = −  4  2− 2 = x (1 3t ) 6 x= ± 3 = 1  ⇔ * t ⇒ x  . 3 y = y= ± 1  3  4 78 x = ± 1  13 * t = − ⇒  . 4  78 y = ∓  13 | x2 − 2x | + y = 1 (1) Vớ d 8: Gi i h ph ươ ng trỡnh:  . x2 + | y | = 1 (2) Gi i: T (2) ⇒ −1 ≤ x,y ≤ 1 . Ta xột cỏc tr ưng h p sau * y≥ 0 ⇒ (1)⇔ x2 + y =⇔ 1 y =− 1 x 2 thay vào (2) ta ủưc: |x2− 2x|1x +−=⇔−=⇔ 2 1 |x 2 2x|x 22242 x(x − 2) =⇔−+= x x(4x 4) 0 x= 0⇒ y1= ⇔  x= 1⇒ y= 0 * y< 0⇒ (1)⇔ y = x2 − 1 thay vào (2) ta cú: |x22− 2x|x +−=⇔ 11 |x 2 − 2x|2 =−⇔− x 232 x 2x +=⇔− 10 (x1)(x 2 −−= x1) 0 x= 1 ⇔  15− 15 − . x= ⇒ y =  2 2 Tr ưng THPT Lờ H ng Phong – Biờn Hũa – ðng Nai 5
6. Nguy n T t Thu 0918927276 or 01699257507 1− 51 − 5 Vy h cú ba c p nghi m (x;y)= (0;1), (1;0), ( ; ) . 2 2  2 2 2xy x+ y + = 1 (1) Vớ d 9: Gi i h ph ươ ng trỡnh:  x+ y .  2  x+ y = x − y (2) Gi i: ðK : x+ y > 0 (x+ y)2 − (x 2 + y) 2 Ta cú: (1)⇔++ x2 y 2 −= 1 0 . x+ y (xy)(xy)(xy)2++−+ 2 2 2 xy2 + 2 ⇔ ++−=⇔+−xy10 (xy1)( += 1)0 . x+ y x+ y x2+ y 2 ⇔x + y10 −=⇔ y1x =− ( Do > 0 ) Thay vào (2), ta ủưc: x+ y = = 2 2 x 1⇒ y 0 x− (1x)1 − = ⇔ x + x − 20 = ⇔  . x= − 2⇒ y3= Vy h cú hai c p nghi m: (x;y)= (1;0), ( − 2;3) .  7x++ y 2x += y 5 Vớ d 10 : Gi i h ph ươ ng trỡnh:  ( HSG Qu c Gia – 2001 ).  2x+ y + x − y = 2 Gi i: 8x+ t = (3 − t) 2  7x+ y = 3 − t  Cỏch 1: ðt tyx= − ⇔ yxt = + ta cú h : ⇔  3x += t (2 + t) 2  2x+ y = 2 + t  −2 ≤ t ≤ 3  3t−=−−+ 8t 3(3 t)2 8(2 t) 2  t 2 ++= 9t 1 0 −9 + 77 ⇒ ⇔  ⇔t = . −≤≤2t3  −≤≤ 2t3 2  (t+ 2)2 − t x= = 10 − 77  3 ⇒  là nghi m c a h ủó cho.  11− 77 y= t + x =  2 Tr ưng THPT Lờ H ng Phong – Biờn Hũa – ðng Nai 6
7. Nguy n T t Thu 0918927276 or 01699257507 u+ v = 5 Cỏch 2: ðt u= 7x + y, v = 2x + y . H tr thành:  . v= 2 + y − x 5− x Mt khỏc u2− v 2 = 5x⇒ (u− v)(u + v) = 5x⇒ u− v = x⇒ v = (Do u+ v = 5 ). 2 5x− 1x + 1+ x 5 − x T ủú ⇒ =2 + y − x⇒ y = thay vào h ta cú ủưc: 2x + = 2 2 2 2 x5≤  x5 ≤ 11− 77 ⇔ ⇔  ⇔x = 10 − 77 ⇒ y = . 10x+=− 2 (5 x)2  x 2 −+= 20x 23 0 2 x= 10 − 77  Thay vào h ta th y th a món. V y h ủó cho cú nghi m  11− 77 . y =  2  1 3x(1+ ) = 2  x+ y Vớ d 11: Gi i h ph ươ ng trỡnh:  ( HSG Quc Gia – 1996 ). 1  7y(1− ) = 42  x+ y Gi i: ðK : x,y≥ 0 . Vỡ x=0 hay y=0 khụng là nghi m c a h nờn ta cú:   +1 = 2 1 2 2 1 1= + (1) x+ y 3x  3x 7y H ⇔ ⇔  . Nhõn (1) v i (2) ta ủưc: 1 4 2 1− =  1= 1 − 22 +  (2)  x y 7y x+ y 3x 7y 1 1 221 22 18 =( − )( − ) =−⇔=+ 21xy(xy)(7y24x) − x+ y3x 7y 3x 7y 3x 7y ⇔24x2 + 38xy − 7y 2 =⇔− 0 (6x y)(4x +=⇔= 7y) 0 y 6x (Do x,y> 0 ) 1 2 1147+ 2287 + Thay vào (1) ta cú: 1= + ⇔= x⇒ y6x= = 3x 7x 21 7 Th l i h ta th y th a món.  11+ 4 7 x =  21 Vy h cú c p nghi m duy nh t  .  22+ 8 7 y =  7 Tr ưng THPT Lờ H ng Phong – Biờn Hũa – ðng Nai 7
8. Nguy n T t Thu 0918927276 or 01699257507 x3+ 3xy 2 = − 49 (1) Vớ d 12: Gi i h ph ươ ng trỡnh:  (HSG QG – 2004 ) . x2− 8xy + y 2 = 8y − 17x (2) Gi i: Cỏch 1: Ta th y x= 0 khụng ph i là nghi m c a h nờn x3 + 49 T (1) ⇒ y2 = − (*) th vào ph ươ ng trỡnh (2) ta ủưc: 3x x3 + 49 x2 −− 8xy =−⇔ 8y 17 24y(x2 +=+ x) 2x 3 51x 2 − 49 3x x= − 1 ⇔ + = +2 + − ⇔  24xy(x 1) (x 1)(2x 49x 49) 2x2 + 49x − 49 y =  24x * x= − 1 th vào (*) ⇒ y= ± 4 . 2x2 + 49x − 49 * y = th vào (*), ta cú: 24x 3+ 2 + −  2 −x 49 = 2x 49x 49 ⇔−3 +=+− 2 2   192x(x 49) (2x 49x 49) 3x 24x  Bi n ủi rỳt g n ta ủưc: 4x432+ 4x + 45x + 94x +=⇔+ 49 0 (x 1)(4x 22 −+ 4x 49) =⇔=− 0 x 1 . Vy h cú hai c p nghi m: (x;y)= ( − 1; ± 4) . Cỏch 2: Nhõn ph ươ ng trỡnh (2) vi 3 r i c ng v i (1) theo t ng v ta ủưc: x322++ 3x 3xy − 24xy +=−− 3y 2 24y 51x 49 ⇔+x3 3x 2 +++ 3x 1 3y 2 (x +− 1) 24y(x ++ 1) 48(x += 1) 0 ⇔+(x 1)(x( ++ 1)2 3y 2 − 24y + 48) =⇔=− 0 x 1 . Th x= − 1 vào ph ươ ng trỡnh (1) ta cú: y2 = 16 ⇔ y =± 4 . Vy h cú hai c p nghi m (x;y)= ( − 1; ± 2) . Cỏch 3: Vỡ x= 0 khụng là nghi m c a h nờn ta ủt y= tx . Khi ủú h tr thành: Tr ưng THPT Lờ H ng Phong – Biờn Hũa – ðng Nai 8
9. Nguy n T t Thu 0918927276 or 01699257507  3 −49 − 49 − 49 x = = = x3 (1+ 3t 2 ) = − 49  1+ 3t2 49 + 3(t 2 − 16) 49+ 3a ⇔  2−+ 2 = − 8t17− 8t17 − b x (1 8t t ) x(8t 17) x = = =  t2−+ 8t 1 (t 2 −−− 16) (8t 17) a− b (Trong ủú ta ủó ủt: a=− t2 16; b =− 8t 17 ). −49 b 3 ⇒ = ⇔49b()3 +−+= (a b) 3 3a 0 49+ 3a (a− b) 3 ⇔2 − −+− 2 +=⇔=⇔=  2 a49b( b(a b) (a b)) 3  0 a 0 t 16 . Th t2 = 16 vào h ⇒ x= − 1⇒ y= ± 4 . Bài t p: Gi i cỏc h ph ươ ng trỡnh sau: 3 xy− = xy − 3 xy− = xy −  2x++− y1 x + y1 = 1)  2)  3)  xy+= xy2 ++  x4+− 1y −= 12x − 3x+ 2y = 4  −1 = − 1  x2+ x 3 = x3 y= 16 x y ( ) ( ) 12 5)  6)  x y 7)  y y 3x+ y = 8   2y= x3 + 1 (xy)2 + xy = 6  2 +1 + x =  2x 2y x 3   + = 3  y2 y  x+ y + x − y2 = 8)  y x 9)  10)    x 1  + − − = x− y + xy = 3 x+ + = 3  y x y x1  y y  2 2 3 85 4xy+ 4(x ++ y ) = x2− xy + y 2 = 3(x − y)  (x+ y) 2 3 11)  12)   2+ + 2 = − 2 1 13 x xy y 7(x y) 2x + =  x+ y 3 x2+ y 2 = 1  x2+ y 2 + xy = 1 x3+ y 3 − xy 2 = 1 13)  14)  15)  3− 3 = 1 3 3 4 4 3x y x+ y = x + 3y 4x+ y = 4x + y  x+ y x2+ y 2 ++−= xy40 16)  2x2+ xy − y 2 − 5x ++= y 2 0 Tr ưng THPT Lờ H ng Phong – Biờn Hũa – ðng Nai 9