Bài tập Đại số Lớp 12 nâng cao - Phương pháp tích phân mới (Có đáp án)

Nội dung text: Bài tập Đại số Lớp 12 nâng cao - Phương pháp tích phân mới (Có đáp án)

1. TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH KHÁ MỨC 7-8 ĐIỂM 40 Chuyên đề Toán 12 Ôn thi THPT Năm 2021 chia thành 3 mức điểm 6-7, mức 7-8, mức 9-10, hi vọng với tài liệu này sẽ giúp ích được cho quý thầy cô trong việc luyện thi cho học sinh của mình, liên hệ Zalo 0988166193 để có tài liệu siêu hot này nhé Dạng 1. Tích phân cơ bản có điều kiện 1.Định nghĩa: Cho hàm số y f x liên tục trên K ; a,b là hai phần tử bất kì thuộc K , F x là một nguyên hàm của f x trên K . Hiệu số F b F a gọi là tích phân của của f x từ a b đến b và được kí hiệu: f x dx F x b F b F a . a a 2. Các tính chất của tích phân: a b b b f x dx 0 f x g x dx f x dx g x dx a a a a a b b c b f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx b a a a c b b b b k. f x dx k. f x dx Nếu f x g x x a;b thì f x dx g x dx . a a a a Bảng nguyên hàm của một số hàm thường gặp 1 1 x 1 ax b x .dx C ax b dx . C 1 a 1 1 1 1 dx ln x C dx .ln ax b C x ax b a 1 1 1 1 1 dx . C 2 dx C 2 x x ax b a ax b 1 sin x.dx cos x C sin ax b .dx .cos ax b C a 1 cosx.dx sin x C cos ax b .dx .sin ax b C a 1 1 1 .dx cot x C .dx .cot ax b C sin2 x sin2 ax b a 1 1 1 .dx tan x C .dx .tan ax b C cos2 x cos2 ax b a x x 1 e .dx e C eax b .dx .eax b C a a x dx 1 x a a x .dx C ln C ln a x2 a2 2a x a 1  Nhận xét. Khi thay x bằng ax b thì lấy nguyên hàm nhân kết quả thêm . a 40 Chuyên đề Toán 12 Ôn thi THPT Năm 2021 chia thành 3 mức điểm 6-7, mức 7-8, mức 9-10, hi vọng với tài liệu này sẽ giúp ích được cho quý thầy cô trong việc luyện thi cho học sinh của mình, liên hệ Zalo 0988166193 để có tài liệu siêu hot này nhé Trang 1
2. 2 Câu 1. (Kinh Môn - Hải Dương 2019) Cho F x là một nguyên hàm của f x . Biết x 2 F 1 0 . Tính F 2 kết quả là. A. ln8 1. B. 4ln 2 1. C. 2ln 3 2 . D. 2ln 4 . Lời giải Chọn D 2 2 2 2 Ta có: f (x)dx F 2 F 1 2ln x 2 2ln 4 2ln1 2ln 4 1 1 1 x 2 F 2 F 1 2ln 4 F 2 2ln 4 (do F 1 0 ). Câu 2. (Mã 103 - 2019) Cho hàm số f x . Biết f 0 4 và f ' x 2sin2 x 1, x ¡ , khi đó 4 f x dx bằng 0 2 16 4 2 4 2 15 2 16 16 A. . B. . C. . D. . 16 16 16 16 Lời giải Chọn A 1 Ta có f x 2sin2 x 1 dx 2 cos 2x dx 2x sin 2x C. 2 Vì f 0 4 C 4 1 Hay f x 2x sin 2x 4. 2 4 4 1 Suy ra f x dx 2x sin 2x 4 dx 0 0 2 2 2 2 1 1 16 4 x cos 2x 4x 4 . 4 16 4 16 0 Câu 3. (Mã 104 - 2019) Cho hàm số f x . Biết f 0 4 và f x 2sin2 x 3, x R , khi đó 4 f x dx bằng 0 2 2 2 8 8 2 8 2 3 2 2 3 A. . B. . C. . D. . 8 8 8 8 Lời giải Chọn C 1 f x dx 2sin2 x 3 dx 1 cos2x 3 dx 4 cos2x dx 4x sin 2x C . 2 1 Ta có f 0 4 nên 4.0 sin 0 C 4 C 4 . 2 1 Nên f x 4x sin 2x 4 . 2 Trang 2
3. TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 4 4 2 1 2 1 8 2 f x dx 4x sin 2x 4 dx 2x cos2x 4x 4 . 2 4 8 0 0 0 40 Chuyên đề Toán 12 Ôn thi THPT Năm 2021 chia thành 3 mức điểm 6-7, mức 7-8, mức 9-10, hi vọng với tài liệu này sẽ giúp ích được cho quý thầy cô trong việc luyện thi cho học sinh của mình, liên hệ Zalo 0988166193 để có tài liệu siêu hot này nhé Câu 4. (Mã 102 - 2019) Cho hàm số f (x) .Biết f (0) 4 và f (x) 2cos2 x 3, x ¡ , khi đó 4 f (x)dx bằng? 0 2 8 8 2 8 2 2 6 8 2 2 A. . B. . C. . D. . 8 8 8 8 Lời giải Chọn B , 1 cos 2x Ta có f (x) f (x)dx (2cos2 x 3)dx (2. 3)dx 2 1 (cos 2x 4)dx = sin 2x 4x C do f (0) 4 C 4 . 2 1 4 4 1 Vậy f (x) sin 2x 4x 4 nên f (x)dx ( sin 2x 4x 4)dx 2 0 0 2 2 1 4 8 2 ( cos 2x 2x2 4x) . 4 0 8 1 2 Câu 5. Biết rằng hàm số f x mx n thỏa mãn f x dx 3, f x dx 8. Khẳng định nào dưới đây 0 0 là đúng? A. m n 4. B. m n 4 . C. m n 2. D. m n 2 . Lời giải m Ta có: f x dx mx n dx = x2 nx C . 2 1 m 2 1 1 Lại có: f x dx 3 x nx 3 m n 3 1 . 0 2 0 2 2 m 2 2 f x dx 8 x nx 8 2m 2n 8 2 . 0 2 0 1 m n 3 m 2 Từ 1 và 2 ta có hệ phương trình: 2 . n 2 2m 2n 8 m n 4 . 1 7 2 Câu 6. Biết rằng hàm số f x ax2 bx c thỏa mãn f x dx , f x dx 2 và 0 2 0 3 4 4 3 A. . B. . C. . D. . 4 3 3 4 Lời giải Trang 3
4. a b Ta có: f x dx ax2 bx c dx = x3 x2 cx C . 3 2 1 7 a 3 b 2 1 7 1 1 7 Lại có: f x dx x x cx a b c 1 . 0 2 3 2 0 2 3 2 2 2 a 3 b 2 2 8 f x dx 2 x x cx 2 a 2b 2c 2 2 . 0 3 2 0 3 3 13 a 3 b 2 3 13 9 13 f x dx x x cx 9a b 3c 3 . 0 2 3 2 0 2 2 2 1 1 7 a b c 3 2 2 a 1 8 Từ 1 , 2 và 3 ta có hệ phương trình: a 2b 2c 2 b 3 . 3 16 9 13 c 9a b 3c 3 2 2 16 4 P a b c 1 3 . 3 3 Câu 7. (Chuyên Lê Quý Đôn Điện Biên 2019) Có hai giá trị của số thực a là a1 , a2 ( 0 a1 a2 ) thỏa a a mãn 2x 3 dx 0 . Hãy tính T 3a1 3a2 log 2 . 2 1 a1 A. T 26 . B. T 12 . C. T 13 . D. T 28 . Lời giải Chọn C a a Ta có: 2x 3 dx x2 3x a2 3a 2 . 1 1 a 2 a 1 Vì 2x 3 dx 0 nên a 3a 2 0 , suy ra . 1 a 2 Lại có 0 a1 a2 nên a1 1; a2 2 . 2 a1 a2 a2 1 2 Như vậy T 3 3 log2 3 3 log2 13. a1 1 m Câu 8. (Chuyên Nguyễn Trãi Hải Dương 2019) Cho 3x2 2x 1 dx 6 . Giá trị của tham số m 0 thuộc khoảng nào sau đây? A. 1;2 . B. ;0 . C. 0;4 . D. 3;1 . Lời giải Chọn C m m Ta có: 3x2 2x 1 dx x3 x2 x m3 m2 m . 0 0 Trang 4
5. TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 m 3x2 2x 1 dx 6 m3 m2 m 6 0 m 2 0;4 . 0 Vậy m 2 0;4 . 1 Câu 9. (Thi thử Lômônôxốp - Hà Nội 2019) Cho I 4x 2m 2 dx . Có bao nhiêu giá trị nguyên của 0 m để I 6 0 ? A. 1. B. 5. C. 2. D. 3. Lời giải Chọn D 1 1 Theo định nghĩa tích phân ta có I 4x 2m 2 dx 2x 2 2m 2 x 2m 2 2 . 0 0 Khi đó I 6 0 2m2 2 6 0 m2 4 0 2 m 2 Mà m là số nguyên nên m 1;0;1. Vậy có 3 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu. a Câu 10. (Sở GD Kon Tum - 2019) Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của a để 2x 3 dx 4 ? 0 A. 5 . B. 6 . C. 4 . D. 3 . Lời giải Chọn C a a Ta có: 2x 3 dx x2 3x a2 3a . 0 0 a Khi đó: 2x 3 dx 4 a2 3a 4 1 a 4 0 Mà a ¥ *nên a 1;2;3;4 . Vậy có 4 giá trị của a thỏa đề bài. Câu 11. (THPT Lương Thế Vinh - HN 2018).Có bao nhiêu số thực b thuộc khoảng ;3 sao cho b 4cos 2xdx 1? A. 8. B. 2. C. 4. D. 6. Lời giải b b k b 1 12 Ta có: 4cos 2xdx 1 2sin 2x 1 sin 2b . 2 5 b k 12 Do đó, có 4 số thực b thỏa mãn yêu cầu bài toán. 4 Câu 12. (Cần Thơ - 2018) Cho hàm số f x xác định trên R\ 2;2 thỏa mãn f x , x2 4 f 3 f 3 f 1 f 1 2. Giá trị biểu thức f 4 f 0 f 4 bằng A. 4 . B. 1. C. 2 . D. 3 . Lời giải Trang 5
6. 4 1 1 2 dx dx ln x 2 ln x 2 C Ta có: x 4 x 2 x 2 . x 2 ln C khi x 2 x 2 1 2 x f x ln C khi 2 x 2 Do đó: 2 x 2 x 2 ln C3 khi x 2 x 2 1 1 f 3 ln 5 C ; f 3 ln C ; f 0 C ; f 1 ln 3 C ; f 1 ln C ; 1 5 3 2 2 3 2 C C 2 f 3 f 3 f 1 f 1 2 C C 2C 2 1 3 1 3 2 . C2 1 1 Vậy f 4 f 0 f 4 ln 3 C C ln C C C C 3 . 1 2 3 3 1 2 3 4 1 x ex Câu 13. (Chuyên Lương Thế Vinh - Đồng Nai - 2018) Biết dx a eb ec với a , b , c 2x 1 4x xe là các số nguyên. Tính T a b c A. T 3. B. T 3. C. T 4 . D. T 5 . Lời giải 2 1 x ex 1 1 Ta có nên x 4x xe2x 2 x e 4 x 4 4 1 x e 1 1 x 1 4 dx x dx x e 1 e e . 2x 1 1 4x xe 1 2 x e Vậy a 1, b 1, c 4 . Suy ra T 4 . x 1 Câu 14. (Sở Bạc Liêu - 2018) Cho hàm số f x xác định trên ¡ \ 0 thỏa mãn f x , x2 3 3 f 2 và f 2 2ln 2 . Giá trị của biểu thức f 1 f 4 bằng 2 2 6ln 2 3 6ln 2 3 8ln 2 3 8ln 2 3 A. . B. . C. . D. . 4 4 4 4 Lời giải x 1 1 Có f x f x dx dx ln x C x2 x 1 ln x C khi x 0 x 1 f x 1 ln x C khi x 0 x 2 3 1 3 Do f 2 ln 2 C C 1 ln 2 2 2 1 2 1 Trang 6
7. TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 3 1 3 Do f 2 2ln 2 ln 2 C 2ln 2 C ln 2 1 2 2 2 2 2 1 ln x 1 ln 2 khi x 0 x Như vậy, f x 1 ln x ln 2 1 khi x 0 x 1 8ln 2 3 Vậy f 1 f 4 2 ln 2 ln 4 ln 2 1 . 4 4 Câu 15. (Chuyên Lương Văn Chánh - Phú Yên - 2020) Cho hàm số f (x) có f (0) = 4 và π 4 f ¢(x) = 2cos2 x + 1, " x Î ¡ Khi đó ò f (x)dx bằng. 0 2 16 16 2 4 2 14 2 16 4 A. . B. . C. . D. . 16 16 16 16 Lời giải Chọn D Ta có æ ö 2 æ1+ cos 2xö ÷ f (x) = (2cos x + 1)dx = ç2ç ÷+ 1÷dx = (cos 2x + 2)dx ò òèç èç 2 ø÷ ø÷ ò sin 2x = cos 2xdx + 2dx = + 2x + C. ò ò 2 sin 2x Lại có f (0) = 4 Û C = 4 Þ f (x) = + 2x + 4. 2 π π π π π 4 4 æsin 2x ö 1 4 4 4 Þ f (x)dx = ç + 2x + 4÷dx = sin 2xd(2x) + 2xdx + 4dx ò òèç ø÷ ò ò ò 0 0 2 4 0 0 0 . π π - cos 2x π 2 + 16π + 4 = 4 + (x2 + 4x) 4 = . 4 16 0 0 Câu 16. (Sở Hà Tĩnh - 2020) Cho hàm số f x có f 0 0 và f ' x sin4 x, x ¡ . Tích phân 2 f x dx bằng 0 2 6 2 3 3 2 16 3 2 6 A. . B. . C. . D. . 18 32 64 112 Lời giải Chọn C Ta có: 2 4 1 cos 2x 1 2 1 1 cos 4x sin x 1 2cos 2x cos 2x 1 2cos 2x 2 4 4 2 1 cos 4x 4cos 2x 3 . 8 Trang 7
8. 1 1 1 3 Suy ra f x f ' x dx cos 4x 4cos 2x 3 dx sin 4x sin 2x x C . 8 32 4 8 1 1 3 Vì f 0 0 nên C 0 hay f x sin 4x sin 2x x . 32 4 8 2 2 2 1 1 3 1 1 3 2 Do đó f x dx sin 4x sin 2x x dx cos 4x cos 2x x 0 0 32 4 8 128 8 16 0 1 1 3 2 1 1 3 2 16 . 128 8 64 128 8 64 Dạng 2. Tích phân hàm số hữu tỷ b P x Tính I dx ? với P x và Q x là các đa thức không chứa căn. a Q x  Nếu bậc của tử P x bậc mẫu Q x PP chia đa thức. PP  Nếu bậc của tử P x bậc mẫu Q x mà mẫu số phân tích được thành tích số  đồng nhất thức để đưa thành tổng của các phân số. Một số trường hợp đồng nhất thức thường gặp: 1 1 a b + 1 ax m bx n an bm ax m bx n mx n A B A B x Ab Ba A B m + . x a x b x a x b x a x b Ab Ba n 1 A Bx C + với b2 4ac 0 . x m ax2 bx c x m ax2 bx c 1 A B C D + . x a 2 x b 2 x a x a 2 x b x b 2  Nếu bậc tử P x bậc mẫu Q x mà mẫu không phân tích được thành tích số, ta xét một số trường hợp thường gặp sau: dx + I , n N * PP x a.tan t . 1 n x2 a2 dx dx b + I , 0 . Ta sẽ đặt  x tan t . 2 2 2 ax bx c b 2a 4a a x 2a 4a px q + I .dx với b2 4ac 0 . Ta sẽ phân tích: 3 ax2 bx c p 2ax b dx b.p dx I q . và giải A bằng cách đặt t mẫu số. 3 2 2 2a ax bx c 2a ax bx  c A I2 2 dx Câu 1. (THPT Quỳnh Lưu 3 Nghệ An 2019) Biết a ln 2 bln 3 c ln 5. Khi đó giá trị 1 x 1 2x 1 a b c bằng Trang 8
9. TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 A. 3 . B. 2 . C. 1. D. 0 . Lời giải Ta có: 2 dx 2 2 1 2 1 2 1 dx 2 dx dx 1 x 1 2x 1 1 2x 1 x 1 1 2x 1 1 x 1 1 2 2 2 2 2. ln 2x 1 ln x 1 ln 2x 1 ln x 1 ln 5 ln 3 ln 3 ln 2 2 1 1 1 1 ln 2 2ln 3 ln 5 . Do đó: a 1, b 2, c 1. Vậy a b c 1 2 1 0 . 0 3x2 5x 1 2 Câu 2. (THPT An Lão Hải Phòng 2019) Biết I dx a ln b, a,b ¡ . Khi đó giá trị 1 x 2 3 của a 4b bằng A. 50 B. 60 C. 59 D. 40 Lời giải Chọn C 0 2 0 3x 5x 1 21 3 2 0 Ta có I dx 3x 11 dx x 11x 21.ln x 2 1 x 2 1 x 2 2 1 2 19 19 21.ln . Suy ra a 21,b . Vậy a 4b 59 3 2 2 2 1 x 2 1 Câu 3. Biết dx nln 2, với m,n là các số nguyên. Tính m n . 0 x 1 m A. S 1. B. S 4 . C. S 5 . D. S 1. Lời giải Chọn A 2 2 1 1 x 2 1 1 dx (x 1) 1 dx (x 1)dx ln | x 1|1 ln 2 0 0 0 0 x 1 x 1 2 0 2 m 2,n 1 m n 1 1 x 1 2 Câu 4. (Chuyên Lê Quý Đôn Quảng Trị 2019) Tích phân I dx a ln b trong đó a , b là 2 0 x 1 các số nguyên. Tính giá trị của biểu thức a b . A. 1. B. 0 . C. 1. D. 3 . Lời giải 1 2 1 1 1 x 1 2x 1 1 1 Ta có I dx 1 dx dx d x2 1 x ln x2 1 1 ln 2 2 2 2 0 0 0 x 1 0 x 1 0 0 x 1 a 1 a b 3. b 2 5 x2 x 1 b Câu 5. (Chuyên Trần Phú Hải Phòng 2019) Biết dx a ln với a , b là các số nguyên. 3 x 1 2 Tính S = a- 2b . A. S 2 . B. S 2 . C. S 5 . D. S 10 . Lời giải Trang 9
10. 5 5 x2 x 1 5 1 x2 3 a 8 dx x dx ln x 1 8 ln S a 2b 2 . x 1 x 1 2 2 b 3 3 3 3 2 2 x 10 a Câu 6. (THPT Gang Thép Thái Nguyên 2019) Cho x dx ln với a,b ¤ . Tính 1 x 1 b b P a b? A. P 1. B. P 5. C. P 7 . D. P 2 . Lời giải 2 2 2 2 x 2 x 1 1 2 1 Ta có x dx x dx x 1 dx 1 x 1 1 x 1 1 x 1 2 x3 10 10 2 10 a x ln x 1 ln 2 ln 3 ln ln . 3 3 3 3 b b 1 Suy ra a 2;b 3. Vậy a b 5 . 3 x 3 Câu 7. (Chuyên Sơn La 2019) Cho dx a ln 2 bln 3 c ln 5, với a, b, c là các số nguyên. 2 1 x 3x 2 Giá trị của a b c bằng A. 0 . B. 2 . C. 3 . D. 1. Lời giải 3 x 3 3 x 3 3 2 3 1 dx dx dx dx 2 1 x 3x 2 1 x 1 x 2 1 x 1 1 x 2 3 2ln x 1 ln x 2 2ln 2 ln 3 ln 5 1 Suy ra a 2 , b 1 , c 1. Nên a b c 2 1 1 2 . 4 5x 8 Câu 8. (Sở Phú Thọ 2019) Cho dx a ln 3 bln 2 c ln 5 , với a, b, c là các số hữu tỉ. Giá 2 3 x 3x 2 trị của 2a 3b c bằng A. 12 B. 6 C. 1 D. 64 Lời giải Chọn D 4 5x 8 4 5x 8 4 3 x 2 2 x 1 4 3 2 Ta có: I dx dx dx dx 2 3 x 3x 2 3 x 1 x 2 3 x 1 x 2 3 x 1 x 2 4 3ln x 1 2ln x 2 3ln 3 2ln 2 3ln 2 3ln 3 ln 2 0.ln 5 3 a 3 a 3b c 6 Suy ra b 1 2 2 64 . c 0 5 x2 x 1 b Câu 9. Biết dx a ln với a , b là các số nguyên. Tính S = a- 2b . 3 x 1 2 A. S 2 . B. S 2 . C. S 5 . D. S 10 . Trang 10
11. TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Lời giải Chọn A 5 5 x2 x 1 5 1 x2 3 a 8 dx x dx ln x 1 8 ln S a 2b 2 . x 1 x 1 2 2 b 3 3 3 3 1 1 a Câu 10. Biết rằng dx a,b ,a 10 . Khi đó a b có giá trị bằng 2 ¢ 0 x x 1 b A. 14. B. 15. C. 13. D. 12. Lời giải 1 1 1 1 Xét I dx dx . 2 2 0 x x 1 0 1 3 x 2 4 1 3 3 2 Đặt x tan t , với t , . Khi đó dx 1 tan t dt . 2 2 2 2 2 Với x 0 , ta có t . 6 Với x 1, ta có t . 3 3 2 3 1 tan t 3 3 2 2 2 3 a 3 Khi đó I dt dt= t . Từ đó suy ra a b 12 . 3 2 3 3 9 b 9 1 tan t 6 6 4 6 40 Chuyên đề Toán 12 Ôn thi THPT Năm 2021 chia thành 3 mức điểm 6-7, mức 7-8, mức 9-10, hi vọng với tài liệu này sẽ giúp ích được cho quý thầy cô trong việc luyện thi cho học sinh của mình, liên hệ Zalo 0988166193 để có tài liệu siêu hot này nhé Trang 11