Bài tập Đại số Lớp 11 - Nhị thức Newton (Có đáp án)

Nội dung text: Bài tập Đại số Lớp 11 - Nhị thức Newton (Có đáp án)

1. Bài 4. NHỊ THỨC NEWTON - LỜI GIẢI CHI TIẾT •Chương 2. TỔ HỢP - XÁC SUẤT I. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM Nhắc lại các hằng đẳng thức a b 0 1 a b 1 a b a b 2 a2 2ab b2 a b 3 a3 3a2b 3ab2 b3 Định nghĩa n n 0 n 1 n 1 n 1 n 1 n n k n k k a b Cn a Cna b Cn ab Cn b Cn a b k 0 Tính chất của Nhị thức Newton 1. Số các số hạng của công thức là n 1 2.Tổng số mũ của a và b trong mỗi số hạng luôn luôn bằng số mũ của nhị thức: n k k n k n k k 3. Số hạng tổng quát của nhị thức là: Tk 1 Cn a b (Đó là số hạng thứ k+1 trong khai triển a b n ) Chuyên đề Toán 10+11 tác giả Nguyễn Bảo Vương 2022 rất hay, có đầy đủ lý thuyết, bài tập tự luận, bài tập trắc nghiệm, phân dạng đầy đủ, tài liệu chia thành 2 bản học sinh (không giải) và bản giáo viên có giải chi tiết, rất thuận tiện cho quý thầy cô dạy học, liên hệ Zalo nhóm 0988166193 để mua tài liệu ạ Tam giác pascal trong khai triển nhị thức a b 0 1 a b 1 1 1 a b 2 1 2 1 a b 3 1 3 3 1 a b 4 1 4 6 4 1 a b 5 1 5 10 10 5 1 II. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP DẠNG 1: XÁC ĐỊNH ĐIỀU KIỆN CỦA SỐ HẠNG THỎA MÃN YÊU CẦU CHO TRƯỚC A. Bài tập tự luận Câu 1. Khai triển nhị thức Newton sau ĐA Cho khai triển nhị STT Yêu cầu thức sau Số hạng tổng quát Số hạng thứ k 1 7 Tìm số hạng tổng k 7 k k 7 k Thứ 4 k=3 T 3x 5 Tk 1 C7 3 5 .x 4 quát và số hạng thứ Trang 1
2. 4 2 9 Tìm số hạng tổng k k k k Các ý còn lại tương 1 5x Tk 1 C9 1 5 .x quát và số hạng thứ tự. 5 18 18 k 3 Tìm số hạng tổng k 2 x 1 T C k 1 218 k.x 2 quát và số hạng thứ k 1 18 9 4 6 Tìm số hạng tổng k k 6 k 6 k k 6x y Tk 1 C6 1 6 .x .y quát và số hạng thứ 3 5 10 Tìm số hạng tổng k k 2k 10 1 Tk 1 C10 1 .x x quát và số hạng thứ x 7 6 2 28 Tìm số hạng tổng T C k 228 k.x28 k .y2k 2x y k 1 28 quát và số hạng thứ 25 30 30 k 7 Tìm số hạng tổng k 2 x 4 y T C k 1 230 k.x 2 .yk quát và số hạng thứ k 1 30 16 8 9 Tìm số hạng tổng 7k 36 2 x T C k 1 k 29 k.x 6 quát và số hạng thứ k 1 9 3 x2 2 8 Lời giải Chuyên đề Toán 10+11 tác giả Nguyễn Bảo Vương 2022 rất hay, có đầy đủ lý thuyết, bài tập tự luận, bài tập trắc nghiệm, phân dạng đầy đủ, tài liệu chia thành 2 bản học sinh (không giải) và bản giáo viên có giải chi tiết, rất thuận tiện cho quý thầy cô dạy học, liên hệ Zalo nhóm 0988166193 để mua tài liệu ạ Khai triển nhị thức Newton sau 1. 3x 5 7 Theo công thức nhị thức Newton ta có 7 7 k 7 k k 7 k 3x 5 C7 3 5 .x k 0 k 7 k k 7 k Số hạng tổng quát Tk 1 C7 3 5 .x 3 7 3 3 7 3 4 Số hạng thứ 4(k=3) là T4 C7 3 5 .x 35375x 2. 1 5x 9 Theo công thức nhị thức Newton ta có 9 9 k k k k 1 5x C9 1 5 .x k 0 k 9 k k k k k k Số hạng tổng quát Tk 1 C9 1 5 C9 1 5 .x 4 4 4 4 4 Số hạng thứ 5(k=4) là T5 C9 1 5 .x 78750x 18 3. 2 x 1 Theo công thức nhị thức Newton ta có Trang 2
3. 18 18 k 1 18 1 18 18 k 18 k k 2 k 2 k 18 k 2 2 x 1 2x 1 C18 1 2x C18 1 2 .x k 0 k 0 18 k k k 18 k 2 Số hạng tổng quát Tk 1 C18 1 2 .x 18 8 8 8 18 8 2 10 8 5 Số hạng thứ 9 là T9 C18 1 2 .x 2 .C18 x 4. 6x y 6 Theo công thức nhị thức Newton ta có 6 6 k k 6 k 6 k k 6x y C6 1 6 .x .y k 0 k k 6 k 6 k k Số hạng tổng quát Tk 1 C6 1 6 .x .y k k 6 k 6 k k 2 4 4 2 Số hạng thứ 3 (k=2) là T3 C6 1 6 .x .y C6 6 x y 10 1 5. x x Theo công thức nhị thức Newton ta có 10 10 1 k x k 2k 10 C10 1 .x x k 0 k k 2k 10 Số hạng tổng quát Tk 1 C10 1 .x 6 6 2.6 10 6 2 Số hạng thứ 7 (k=6) là T7 C10 1 .x C10 x 28 6. 2x y2 Theo công thức nhị thức Newton ta có 28 28 2 k 28 k 28 k 2k 2x y C28 2 .x .y k 0 k 28 k 28 k 2k Số hạng tổng quát Tk 1 C28 2 .x .y 24 28 24 28 24 224 4 24 4 48 Số hạng thứ 25(k=24) là T24 C28 2 .x .y 2 C28 x y 30 7. 2 x 4 y Theo công thức nhị thức Newton ta có 30 30 k 1 30 1 30 30 k 30 k k 2 k 2 k 30 k 2 k 2 x 4 y 2x 4 y C30. 2x . 4 y C30 1 2 .x .y k 0 k 0 30 k k k 30 k 2 k Số hạng tổng quát Tk 1 C30 1 2 .x .y 30 15 15 15 30 15 2 15 45 15 2 15 Số hạng thứ 16(k=15) là T16 C15 1 2 .x .y 2 C30 x y 9 2 x 8. 3 x2 2 Theo công thức nhị thức Newton ta có 9 k 9 1 9 k 1 2 9 2 9 7k 36 2 x 2 x 2 x k k k 9 k 6 C9 C9 1 2 .x 3 2 2 2  2  x 3 2 k 0 3 2 k 0 x x 7k 36 k k 9 k 6 Số hạng tổng quát Tk 1 C9 1 2 .x 7.7 36 13 7 1 Số hạng thứ 8(k=7) là T C k 1 29 7.x 6 C 7 x 6 8 9 25 9 Trang 3
4. 12 8 1 Câu 2. Tìm hệ số của x trong khai triển 1 x Lời giải Chuyên đề Toán 10+11 tác giả Nguyễn Bảo Vương 2022 rất hay, có đầy đủ lý thuyết, bài tập tự luận, bài tập trắc nghiệm, phân dạng đầy đủ, tài liệu chia thành 2 bản học sinh (không giải) và bản giáo viên có giải chi tiết, rất thuận tiện cho quý thầy cô dạy học, liên hệ Zalo nhóm 0988166193 để mua tài liệu ạ Số hạng thứ k 1 trong khai triển là: k k 12 k 1 k 12 2k ak C12 x C12 x 0 x 12 x Ta chọn 12 2k 8 k 2 8 2 Vậy số hạng thứ 3 trong khai triển chứa x và có hệ số là: C12 66 . Câu 3. Tìm hệ số của x21 trong khai triển 2 3x 25 Lời giải 20 5 20 20 5 20 20 Số hạng thứ 21 trong khai triển C25 2 3x C25 2 3 x . Câu 4. Viết 3 số hạng đầu tiên theo lũy thừa tăng dần của x của các đa thức sau 10 x 8 a) 1 b) 3 2x 2 Lời giải 45 a) 1 5x x2 b) 38 C1372x C 2 364x2 4 8 8 20 Câu 5. Tìm số hạng thứ tư trong khai triển a 2x theo lũy thừa tăng dần của x . Lời giải 3 3 17 3 Áp dụng công thức nhị thức Newton số hạng thứ 4 trong khai triển là C20 2 a x Câu 6. Viết 4 số hạng đầu tiên theo lũy thừa tăng dần của x của các đa thức sau 20 12 9 x a) 1 3x b) 1 2x c) 1 3 Lời giải a) 1 36x 594x2 5940x3 2 3 3 2 3 b) 1 18x 144x 8C9 x 1 18x 144x 672x 20 190 1140 c) 1 x x2 x3 3 9 27 Câu 7. Tìm a) Số hạng thứ 8 trong khai triển 1 2x 12 9 x b) Số hạng thứ 6 trong khai triển 2 2 c) Số hạng thứ 12 trong khai triển 2 x 15 Lời giải Trang 4
5. Chuyên đề Toán 10+11 tác giả Nguyễn Bảo Vương 2022 rất hay, có đầy đủ lý thuyết, bài tập tự luận, bài tập trắc nghiệm, phân dạng đầy đủ, tài liệu chia thành 2 bản học sinh (không giải) và bản giáo viên có giải chi tiết, rất thuận tiện cho quý thầy cô dạy học, liên hệ Zalo nhóm 0988166193 để mua tài liệu ạ 1 a) C 7 27 x7 b) C5x5 c) 16C11x11 12 2 9 15 15 Câu 8. Tìm số hạng đứng giữa trong khai triển x3 xy Lời giải 15 3 k 3 15 k k Số hạng tổng quát trong khai triển x xy là Tk 1 C15 x . xy Trong khai triển trên có n 15 nên có 16 số hạng nên số hạng đứng giữa là số hạng thứ 8 và thứ 9. 7 3 15 7 7 31 7 T8 T7 1 C15 x . xy 6435x y 8 3 15 8 8 29 8 T9 T8 1 C15 x . xy 6435x y Câu 9. Tìm hệ số của: 1. Số hạng chứa x5 trong khai triển: 2x 1 12 . 10 11 2 1 2. Số hạng chứa x trong khai triển: x . x 14 3. Số hạng chứa x7 trong khai triển: x2 x . 15 4. Số hạng chứa x25.y10 trong khai triển: x3 xy . Lời giải 12 12 12 k 12 k k k 12 k k 12 k 2x 1  C12 2x 1  C12 2 1 x 1. k 0 k 0 Tại số hạng chứa x5 thì tương ứng với 12 k 5 k 7 . 5 7 5 7 Vậy hệ số của x là: C12 2 1 25344 . 10 10 10 k k 10 10 2 1 k 2 1 k 2 10 k k k k k 20 3k x  C10 x  C10x 1  C10 1 x 2. x k 0 x k 0 k 0 Tại số hạng chứa x11 thì tương ứng với 20 3k 11 k 3. 11 3 3 Vậy hệ số của x là: C10 1 120 . 14 x2 x x14 x 1 14 3. Không tồn tại số hạng chứa x7 . Vậy hệ số của x7 là: 0 . 15 15 15 k 15 15 3 k 3 k k 3 15 k k k k 45 2k k x xy  C15 x xy  C15x y  C15x y 4. k 0 k 0 k 0 Trang 5
6. 25 10 45 2k 25 Tại số hạng chứa x .y thì tương ứng với k 10 . k 0 11 10 Vậy hệ số của x là: C15 3003 . Câu 10. Tìm hệ số của số hạng không chứa x trong khai triển sau: 12 1 x2 4 1. x . 6 2 1 x 2. x . 7 1 3 x 4 3. x . Lời giải 12 12 12 1 2 12 k 1 x2 Ck x . Ck x24 6k 4  12 4k  12 1. x k 0 x k 0 Tại số hạng không chứa x thì tương ứng với 24 6k 0 k 4 . 4 Vậy số hạng tự do là: C12 495. 6 6 k 6 6 2 1 k 2 6 k 1 k k 2 6 k k k k 12 3k x  C6 x .  C6 1 x  C6 1 x 2. x k 0 x k 0 k 0 Tại số hạng không chứa x thì tương ứng với 12 3k 0 k 4 . 4 Vậy số hạng tự do là: C6 15 . 7 7 1 1 k 1 k 7 7k 7 7 k 7 7 k 7 1 1 k k k 3 x x3 C x3 .x 4 C x3 4 C x 3 12 4 1  7  7  7 x k 0 k 0 k 0 4 3. x 7 7k Tại số hạng không chứa x thì tương ứng với 0 k 4 . 3 12 4 Vậy số hạng tự do là: C7 35 . 10 3 1 Câu 11. Trong khai triển 2x 2 hãy tìm số hạng không phụ thuộc vào x . x Lời giải 10 k 3 1 10 k 1 2x k 3 k 10 k 30 5k Số hạng tổng quát trong khai triển 2 là Tk 1 C10 2x 2 C10 2 x x x Tk 1 không phụ thuộc vào x 30 5k 0 k 6 6 4 Số hạng không phụ thuộc vào x là số hạng thứ 7 ứng với k=6: T7 C10 2 . 6 Câu 12. Tìm số hạng hữu tỷ của khai triển 3 15 Lời giải Trang 6
7. 6 Số hạng thứ k 1 trong khai triển 3 15 là: k 6 k k k k k 3 2 Tk 1 C6 3 15 1 C6 3 5 0 k 6 k T là số hạng hữ tỉ là một số tự nhiên k chia hết cho 2 k {0;2;4;6} (vì 0 k 6 ) k 1 2 Vậy trong khai triển các số hạng hữu tỉ x là số hạng thứ 1; 3; 5; 7 0 2 0 2 0 3 2 2 3 2 T1 1 C6 3 5 27 T2 1 C6 3 5 2025 4 6 4 6 4 3 2 6 3 2 T5 1 C6 3 5 10125 T7 1 C6 3 5 3375 Chuyên đề Toán 10+11 tác giả Nguyễn Bảo Vương 2022 rất hay, có đầy đủ lý thuyết, bài tập tự luận, bài tập trắc nghiệm, phân dạng đầy đủ, tài liệu chia thành 2 bản học sinh (không giải) và bản giáo viên có giải chi tiết, rất thuận tiện cho quý thầy cô dạy học, liên hệ Zalo nhóm 0988166193 để mua tài liệu ạ Trang 7